Общий метод множителей Лагранжа и оптимизация процессов в сплошных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Зубов, Владимир Иванович

• Зубов, Владимир Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Зубов, Владимир Иванович

Введение

Глава 1. Об одном подходе к определению вариации функционала с особенностями и о варьировании границ-характеристик.

§ 1.1. Постановка задачи.

§1-2. Определение производной функции Je (а) при а =

§1.3. Определение производной функции гЕ (а) при а =

§ 1.4. Учет связей.

§1.5. Определение производной функции SE (ot) при а =

§1.6. Определение производной функции S е(а) при а =

§ 1.7. Определение вариации исследуемого функционала через вариации управляющих функций.

§ 1.8. Определение членов, связанных с варьированием особой точки.

§ 1.9. Примеры.

§1.10. Случай, когда часть границы области - характеристика

§ 1.11. Замечания.

Глава 2. Исследование плоской вариационной задачи стационарной газовой динамики с помощью общего метода множителей Лагранжа.

§2.1. Постановка задачи.

§ 2.2. Необходимые условия экстремума при отсутствии точек излома профиля.

§2.3. Анализ полученных необходимых условий экстремума

§2.4. Новая постановка задачи.

§ 2.5. Оптимальный профиль заданного утолщения под "большим" углом атаки.

§ 2.6. Оптимальный симметричный профиль заданного утолщения под нулевым углом атаки.

§ 2.7. Оптимальный профиль в случае задания подъемной силы и момента.

§ 2.8. Описание численного алгоритма решения задачи.

Глава 3. Исследование задачи оптимизации сопла гидропушки

§3.1. Математическая постановка задачи.

§ 3.2. Необходимые условия экстремума в случае гладкой управляющей функции и непрерывных множителей Лагранжа

§ 3.3. Необходимые условия экстремума в случае гладкой управляющей функции и разрывных множителей Лагранжа

§ 3.4. О разрешимости задачи оптимизации в случае гладкой управляющей функции.

§ 3.5. О разрешимости задачи оптимизации в случае гладкой управляющей функции и "интегрального" функционала

§ 3.6. Исследование задачи в случае, когда допускается разрыв управляющей функции.

§ 3.7. Исследование задачи при наличии ограничений, накладываемых на управляющую функцию.

§ 3.8. О необходимости включения в обобщенный функционал условий совместности вдоль характеристик.

§3.9. Замечания и выводы.

Глава 4. Оптимальное управление процессом плавления и кристаллизации вещества.

§4.1. Математическая формулировка задачи.

§ 4.2. Аналитическое исследование задачи об оптимальном плавлении вещества.

§ 4.3. Первый алгоритм решения прямой задачи.

§4.4. Второй алгоритм решения прямой задачи.

§4.5. Третий алгоритм решения прямой задачи.

§ 4.6. Методы решения вариационной задачи о плавления вещества

§ 4.7. Решение задачи оптимального управления процессом плавления.

§ 4.8. Задача об оптимальном управлении процессом кристаллизации вещества.

§ 4.9. Приближенный метод решения задачи об оптимальном остывании вещества.

§4.10. Решение полной вариационной задачи.

Глава 5. Общий метод множителей Лагранжа и обобщенная методология быстрого автоматического дифференцирования.

§ 5.1. Применение обобщенной БАД-методологии к решению обратных задач.

§5.2. Об обобщенной БАД-методологии.

§ 5.3. Замечания и выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Общий метод множителей Лагранжа и оптимизация процессов в сплошных средах»

Бурное развитие науки и техники, усложняющаяся производственная технология приводят к тому, что человек начинает иметь дело с все более сложными процессами. Современные сложные, быстро протекающие и энергоемкие процессы уже невозможно реализовать без дополнения их современными системами автоматического управления. Существуют такие процессы, которые в принципе не могут идти без соответствующей системы управления хотя бы потому, что они являются существенно неустойчивыми. Многие производственные и энергетические системы работают в режимах, при которых недоиспользуются значительные возможности, заложенные в агрегате, и не достигаются показатели, которые могли бы быть достигнуты. В различных производственных процессах автоматические системы должны обеспечивать наивысшую производительность при заданном расходе сырья, топлива или энергии. Во многих процессах требуется обеспечить высокую точность работы системы или агрегата, высокое быстродействие; требуется приближаться к некоторому заданному режиму или состоянию при минимальном расходе имеющихся в распоряжении средств. Глубже вникнуть в сущность этих процессов и полнее их описать позволяют такие разделы современной математики, как математическое моделирование и теория оптимального управления сложными системами. В результате исследователю приходится иметь дело с так называемыми связанными задачами вариационного исчисления (см. [0.1]) (их называют также задачами на условный экстремум). Они состоят в оптимизации целевого функционала при наличии алгебраических или дифференциальных связей, наложенных на фазовые переменные и управляющие функции.

Одним из наиболее эффективных и популярных методов получения необходимых условий слабого экстремума целевого функционала (а также первой вариации целевого функционала) является метод множителей Лагранжа. Этот метод занял столь прочное место в теории оптимизации, что без его описания не обходится ни одно учебное пособие по дифференциальному исчислению (см., например, [0.2]), вариационному исчислению ([0.1], [0.3]-[0.6]), теории оптимального управления ([0.4], [0.7]). С помощью метода множителей Лагранжа решено большое число интересных с теоретической точки зрения и важных с практической точки зрения задач. Основным поставщиком таких задач являются механика и теория теплопроводности: это задачи оптимального управления тепловыми процессами (см. [0.8], [0.9]), задачи оптимального управления плазмой (см. [0.10]), задачи оптимального управления колебательными системами (см. [0.11]), вариационные задачи теории упругости (см. [0.12], [0.13]), задачи оптимизации аэродинамических форм (см. [0.14]). Решая задачи, подобные указанным задачам, исследователи не только используют метод множителей Лагранжа, но и постоянно обобщают его, модифицируют. Так, в первой половине 20-го века рассматривались в основном классические задачи вариационного исчисления, решения которых удовлетворяли необходимым условиям двустороннего экстремума. Вариационные задачи механики оказываются в большинстве случаев вырожденными (для них система уравнений Эйлера имеет пониженный порядок по сравнению с классическим случаем). Это приводит к тому, что их решение частично или полностью совпадает с границами области допустимых функций. Метод решения таких задач был разработан и опубликован в ряде работ Д.Е. Охоцимским (первой из них является работа 1946 года [0.15]). Это положило начало бурному развитию теории оптимального управления и его приложению в различных областях механики.

Среди задач оптимизации сложных механических систем особое место занимают задачи оптимизации форм тел, обтекаемых потоком газа. Вот как объясняет причину этого А.Н. Крайко в монографии [0.16]. "В газовой динамике зависимость оптимизируемого функционала от управлений (например, волнового сопротивления тела от его формы) определяется из решения весьма сложной краевой задачи для системы квазилинейных уравнений в частных производных. Положение осложняется тем, что эта система смешанная, причем в областях сверхзвуковых скоростей решение, как правило, содержит различные особенности (ударные волны, тангенциальные разрывы, пучки волн разрежения), которые не встречаются при рассмотрении объектов, описываемых уравнениями эллиптического или параболического типов, например, в задачах теплопроводности. В силу сказанного математический аппарат получения условий оптимальности в вариационных задачах газовой динамики намного сложнее и менее завершен, чем для задач, связанных с уравнениями параболического или эллиптического типов. . Для рассматриваемых задач положение таково, что соответствующий математический аппарат в значительной степени создается и отрабатывается именно на газодинамических задачах". В книге [0.10] также отмечается, что многие работы, выполненные в области оптимизации аэродинамических форм, содержат результаты, имеющие значение и для общей теории оптимального управления сложными системами.

Целое направление в исследованиях по оптимальным аэродинамическим формам (метод контрольного контура) породила оригинальная работа А.А. Никольского [0.17]. Основная идея этой работы заключается в сведении вариационной задачи в области сверхзвукового течения к задаче на границе этой области, составленной из характеристик уравнений газовой динамики. Иными словами, речь идет об уменьшении числа независимых переменных на единицу: для плоских и осесимметричных течений метод контрольного контура позволяет свести дело к оптимальным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Глубокие, обстоятельные исследования в этом направлении, приведшие к сильным результатам, принадлежат Ю.Д. Шмыглевскому [0.18], [0.19]. Следует отметить, что связанные вариационные задачи, возникающие в методе контрольного контура, исследовались с помощью метода множителей Лагранжа.

К сожалению, метод контрольного контура применим лишь в тех случаях, когда ограничены размеры тела и в потоке отсутствуют ударные волны. Если изопериметрические условия имеют более общий характер или в потоке имеются сильные разрывы, то приходится использовать иной подход, получивший название общего метода множителей Лагранжа. Общий метод множителей Лагранжа -обобщение стандартного метода множителей Лагранжа; он предназначен для оптимизации функционалов достаточно общего вида при связях, задаваемых дифференциальными уравнениями с частными производными. Указанное обобщение было проведено К.Г. Гудерлеем и Д.В. Армитейджем [0.20] и независимо от них Т.К. Сиразетдиновым [0.21] для связей, задаваемых дифференциальными уравнениями газовой динамики. Авторы работ [0.20], [0.21] предложили учитывать связи (дифференциальные уравнения с частными производными) с помощью надлежащим образом введенных множителей Лагранжа. Пользуясь обычной процедурой вариационного исчисления, можно получить уравнения Эйлера и естественные граничные условия. С помощью так модифицированного подхода удалось решить некоторые интересные задачи оптимизации. Однако исследование ряда практически важных задач потребовало дополнительной модификации метода множителей Лагранжа, что и было сделано А.Н. Крайко в [0.22], [0.23]. Была показана возможность разрывов множителей Лагранжа при непрерывных параметрах течения; выяснено, что линиями разрыва могут быть характеристики всех семейств; получены условия на разрывах и установлено, что одной из причин их появления являются внутренние угловые точки; выявлено, что разрывы отражаются от твердых стенок, ударных волн и оси симметрии; рассмотрены вопросы, связанные с варьированием координат угловых точек. Классический метод множителей Лагранжа вместе со всеми указанными выше модификациями и составили метод, который в литературе принято называть общим методом множителей Лагранжа. С помощью этого метода было решено много интересных задач оптимизации аэродинамических форм (ссылки на эти работы можно найти в монографии [0.16]). Важно отметить, что общий метод множителей Лагранжа может с успехом применяться не только к исследованию и решению задач оптимизации аэродинамических форм, но и к любым другим задачам оптимального управления системами с распределенными параметрами.

Развитие методов оптимизации привело к созданию знаменитого принципа максимума Понтрягина. К настоящему времени математические вопросы оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами разработаны очень подробно (см. [0.7]). Что касается систем с распределенными параметрами, то для них также стремятся получить необходимые условия оптимальности типа принципа максимума Понтрягина, и в этом направлении достигнуты определенные успехи (см. [0.8], [0.9], [0.24], [0.25]). Однако, как пишет К.А. Лурье в книге [0.10], "наряду с большим количеством добытых фактов и решенных задач, в теории оптимального управления распределенными системами остается множество открытых вопросов, среди которых немало серьезных проблем большого практического значения". Поэтому общий метод множителей Лагранжа не следует списывать со счета, не следует сдавать в архив, сосредоточив все усилия на получении необходимых условий экстремума типа принципа максимума Понтрягина. Применение принципа максимума Понтрягина к исследованию и решению некоторых задач может оказаться нерациональным, может существенно усложнить дело. На сегодняшний день решить некоторые сложные задачи оптимального управления системами с распределенными параметрами удается именно с помощью общего метода множителей Лагранжа. Общий метод множителей Лагранжа - эффективный инструмент исследования и решения задач оптимального управления сложными системами. В подтверждение сказанного укажем на то, что в книге [0.11] для исследования и решения задач оптимального управления системами с распределенными параметрами наряду с принципом максимума Понтрягина активно используется и общий метод множителей Лагранжа. В монографии [0.10] автор, стремящийся получить для рассматриваемых им задач необходимые условия оптимальности типа принципа максимума Понтрягина, основные исследования проводит с помощью общего метода множителей Лагранжа.

Настоящая работа посвящена исследованию и решению некоторых сложных задач оптимального управления системами с распределенными параметрами с помощью общего метода множителей Лагранжа, а также изучению некоторых вопросов, связанных с самим общим методом множителей Лагранжа. Это и является целью диссертации.

Структурно диссертация разбита на пять глав и Заключение. Каждая глава разбита на параграфы. В некоторых параграфах содержатся подразделы. Ссылки на цитируемую литературу и фигуры содержат две позиции. Первая позиция указывает на номер главы, которой принадлежит ссылка, а вторая позиция - на порядковый номер ссылки в данной главе. Ссылки на формулы, встречающиеся в тексте диссертации, имеют три позиции. Первая позиция ссылки на формулу указывает на номер главы, в которой впервые встретилась формула; вторая позиция - на номер параграфа; третья позиция - на порядковый номер ссылки в данном параграфе.

Первая глава диссертации носит методический характер. В ней исследуются вопросы, связанные с применением общего метода множителей Лагранжа в нестандартных случаях. Основной вопрос, рассматриваемый в первой главе, такой: как определить первую вариацию целевого функционала, когда на границе области имеются особые точки дифференциальных уравнений, определяющих поведение системы (уравнений-связей). Этот вопрос рассматривался и ранее в работах [0.23], [0.16]. Исследования, проведенные в первой главе диссертации, можно рассматривать как обобщение результатов, представленных в [0.23], [0.16]. Кроме того, для определения вклада в первую вариацию целевого функционала, обусловленного вариацией координат особой точки, в диссертации использовался иной, чем в [0.23], [0.16], подход. Этот подход, по мнению автора диссертации, более прост, более естественен и позволяет глубже понять природу членов, связанных с варьированием координат особой точки.

В §1.1 первой главы приводится постановка двумерной задачи общего вида. В плоскости двух независимых переменных имеется некоторая ограниченная область G с кусочно-гладкой границей Г. В области G и на ее границе Г определены фазовые переменные и управляющие функции (отметим, что область G и ее граница Г в общем случае зависят от управляющих функций, то есть меняются при варьировании). Целевой функционал, первая вариация которого вычисляется в первой главе, представляет собой сумму двух интегралов. Первый интеграл -интеграл по области G от заданной функции фазовых переменных и управлений. Второй интеграл - интеграл по границе Г от другой заданной функции, также зависящей от фазовых переменных и управлений. Фазовые переменные и управляющие функции в области G связаны между собой системой дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, а на границе Г - системой алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений. Предполагается, что на границе Г области G имеется точка Р, являющаяся особой для фазовых переменных. Определение первой вариации целевого функционала проводится по классической схеме: допустимое управление, при котором мы хотим определить вариацию функционала, погружается в однопараметрическое семейство допустимых управлений; целевой функционал при этом становится функцией параметра семейства; дифференциал этой функции по параметру и представляет собой первую вариацию целевого функционала. Учет связей проводится с помощью общего метода множителей Лагранжа. Вычисление дифференциала указанной выше функции следует проводить с учетом присутствия особой точки на границе области. Для этого из рассмотрения исключается окрестность особой точки малого диаметра 8. Функции, с которыми теперь придется иметь дело, уже не будут иметь особенностей, и их дифференцирование (хотя и довольно громоздкое) не будет представлять принципиальных трудностей. В §1.2, §1.3 вычисляется производная "урезанной" (определенной вне 8 окрестности особой точки) целевой функции. Связи, наложенные на фазовые переменные и управляющие функции, умножаются на произвольные множители Лагранжа, интегрируются по соответствующей области и добавляются к целевому функционалу. Эти добавленные члены также дифференцируются, чему и посвящены §1.4, §1.5, §1.6. Наконец, в §1.7 формулируется сопряженная задача таким образом, чтобы дифференциал целевой функции зависел бы только от дифференциалов управляющих функций.

Все, что делалось ранее, в предыдущих параграфах, справедливо для функций, определенных вне некоторой произвольной малой окрестности особой точки. Переходя в полученных соотношениях к пределу при стремлении к нулю диаметра исключенной окрестности особой точки, получаем окончательные формулы, позволяющие определять первую вариацию целевого функционала. Этому посвящен §1.8 первой главы. Здесь же получены и выражения, определяющие вклад в первую вариацию целевого функционала вариаций координат особой точки. В §1.9 рассмотрены некоторые конкретные задачи оптимального управления системами с распределенными параметрами. Эти задачи были решены ранее, и все они имеют особые точки на границе области. При решении этих задач вклад в первую вариацию целевого функционала, обусловленный варьированием координат особых точек, был вычислен с помощью подхода работы [0.23]. В §1.9 показано, что формулы, определяющие этот вклад и полученные ранее, непосредственно следуют из выражений, выведенных в первой главе настоящей диссертации.

В §1.10 первой главы исследуется второй методический вопрос, важный для понимания и использования общего метода множителей Лагранжа: нужно ли при постановке оптимизационной задачи в случае, когда частью границы Г области G является характеристика системы уравнений с частными производными, в функционал Лагранжа включать условия совместности этой системы. В §1.10 показано, что если часть границы - характеристика системы уравнений с частными производными, определяющей поведение оптимизируемого процесса, то эта часть границы является также характеристикой сопряженной системы уравнений с тем же, что и у исходной системы уравнений числом линейно независимых характеристических соотношений. Показано, что если на участке границы -характеристике фазовые переменные и управляющие функции не связаны никакими соотношениями, и они не влияют на значение целевого функционала, то учитывать при варьировании функционала условия совместности системы определяющих уравнений нет необходимости. В противном случае условия совместности вдоль характеристики необходимо включать в обобщенный функционал Лагранжа со своими множителями.

Наконец, в §1.11 первой главы приводятся замечания, на которые следует обратить внимание при использовании общего метода множителей Лагранжа, а также указываются естественные и очевидные обобщения предложенного в первой главе подхода, позволяющие применять его в более сложных ситуациях.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию и решению задачи оптимизации плоских крыловых профилей в стационарном сверхзвуковом набегающем потоке совершенного газа. Целевым функционалом является волновое сопротивление, которое должно быть минимальным у оптимального профиля. Решение задачи проводится для тех значений входных параметров, для которых оптимальный профиль и профили сравнения (профили, близкие к оптимальному профилю), обтекаются с образованием в потоке газа присоединенных ударных волн. Считается также, что при рассматриваемых значениях параметров в областях взаимного влияния потока и профиля течение сверхзвуковое и внутренних ударных волн нет. Кроме того, искомый профиль должен иметь заданную длину, заданную толщину, должен быть расположен под заданным углом атаки по отношению к набегающему потоку и должен в общем случае обладать заданными значениями подъемной силы и момента относительно передней острой кромки профиля.

В §2.1 приводится математическая постановка задачи. Управляющими функциями в данной задаче являются функции, описывающие составляющие профиля в системе декартовых координат. Определяются области взаимного влияния потока и профиля. В качестве фазовых переменных здесь выступают функции, описывающие поведение газа (плотность, давление, энтропия, компоненты вектора скорости). Целевой функционал (волновое сопротивление) и связи, наложенные на фазовые переменные и управляющие функции (дифференциальные уравнения с частными производными, описывающие взаимодействие набегающего потока и профиля; подъемная сила; момент профиля относительно его передней острой кромки; условия непротекания на составляющих профиля), записываются с использованием введенных фазовых переменных и управлений. Формулируются дополнительные связи, без выполнения которых получающиеся оптимальные профили не будут иметь физического смысла (замкнутость профиля; условия, связывающие параметры газа в набегающем потоке с параметрами за присоединенной ударной волной). В результате этого вариационная задача построения оптимального крылового профиля приводится к стандартному виду, в котором формулировалась и исследовалась общая вариационная задача в первой главе диссертации.

В §2.2 с помощью общего метода множителей Лагранжа выводятся необходимые условия слабого экстремума вариационной задачи, сформулированной в §2.1. Вывод необходимых условий проводится в предположении, что образующие профиля гладкие (не имеют точек излома) и что в замкнутых областях взаимного влияния потока и профиля параметры газового потока непрерывны. Формулируется сопряженная задача, приводятся необходимые условия, которым должен удовлетворять оптимальный профиль.

В §2.3 анализируются полученные в предыдущем параграфе необходимые условия экстремума. Доказывается, что полученные необходимые условия экстремума переопределены, то есть в рамках предположений об отсутствии изломов у составляющих профиля вариационная задача решения не имеет.

В §2.4 приводится новая постановка задачи. Здесь теперь допускается наличие изломов у составляющих профиля. Это существенно усложняет постановку задачи и ее решение: допускаются разрывные решения сопряженной задачи, определяющей множители Лагранжа; появляется необходимость использовать подход, предложенный в первой главе для вычисления вклада в первую вариацию целевого функционала, вызванного варьированием координат точек излома профиля. В §2.4 получены новые необходимые условия экстремума целевого функционала, соответствующие новой постановке задачи. Выведены некоторые новые соотношения, которые имеют место на оптимальной замыкающей характеристике.

В следующих трех параграфах приводится решение некоторых конкретных задач оптимизации с применением полученных ранее условий стационарности. В §2.5 изучается и решается задача об определении оптимального профиля заданного утолщения в том случае, когда в окрестности передней острой кромки профиля с подветренной стороны реализуется волна разрежения. Это обеспечивает неизменность энтропии потока в подветренной области при варьировании профиля. Именно наличие этой волны и вкладывается в понятие "большого" угла атаки. Приводятся необходимые условия экстремума, которые соответствуют конкретной, сформулированной в данном параграфе вариационной задаче. Приведены параметры построенных оптимальных профилей.

В §2.6 рассматривается задача определения оптимального симметричного профиля заданного утолщения, расположенного под нулевым углом атаки. Рассмотрены два класса профилей, среди которых отыскивается оптимальный профиль. Показано, что в первом, простейшем классе (профили этого класса имеют по одному излому у верхней и нижней образующих) оптимальное решение не содержится. Решение задачи оптимизации симметричного профиля, расположенного под нулевым углом атаки, найдено среди профилей второго класса. Профили этого класса имеют две точки излома на верхней (нижней) образующей. Приведены параметры оптимальных профилей, построенных с помощью необходимых условий экстремума целевого функционала.

В §2.7 решена задача определения оптимального несимметричного профиля заданного утолщения, расположенного под малым углом атаки по отношению к набегающему потоку. В этом случае в окрестности передней острой кромки профиля и с верхней, и с нижней стороны возникают присоединенные ударные волны. Полученные оптимальные профили можно разделить на две группы. К первой группе относятся профили, полученные при условии, что заданы координаты задней острой кромки профиля, толщина профиля и подъемная сила (момент профиля не задан). В этом случае участки профиля между изломами, исключая окрестности изломов, близки к прямолинейным. Ко второй группе относятся профили, которые, кроме перечисленных выше условий, обладают также заданным значением момента профиля относительно передней острой кромки. Влияние последнего условия сказывается в искривлении участков профиля между изломами. Представлены параметры оптимальных профилей, полученных в результате проведенных расчетов.

Наконец, в §2.8 описывается численный алгоритм, с помощью которого были построены все оптимальные профили, о которых шла речь в §2.5, §2.6, §2.7.

Третья глава диссертации посвящена исследованию и решению задачи оптимизации сопла гидропушки. Эта задача имеет большое практическое значение. Действительно, в угольной и горнодобывающей промышленности для разрушения пород широкое распространение получило использование мощных струй воды. Одной из установок для получения таких струй является гидропушка, в которой ускорение жидкости создается благодаря взаимодействию этой жидкости с сужающимся соплом. Форма сопла гидропушки - один из главных факторов, определяющих параметры струи. Поэтому конструирование гидропушки, позволяющей получить оптимальные параметры струи, связано с выбором оптимальной формы сопла гидропушки. Важность задачи оптимизации сопла гидропушки подтверждается также большим числом теоретических и экспериментальных работ, посвященных этой задаче. Наиболее известными из предложенных форм сопел гидропушки является сопло Витошинского и сопло Войцеховского (экспоненциальное).

В главе 3 диссертации исследуется гидропушка безударного действия, в которой разгоняемый поршень плотно прилегает к столбу воды, и столб воды движется вместе с поршнем. Длина столба воды столь велика, что возмущения от сопла за время втекания воды в сопло не успевают дойти до поршня. Следовательно, при такой постановке задачи поршень не оказывает никакого влияния на процесс втекания воды в сопло гидропушки. Это эквивалентно рассмотрению задачи о втекании полубесконечного столба воды в сужающееся сопло гидропушки.

В §3.1 приводится математическая постановка задачи. Для описания течения воды внутри сопла используется квазиодномерное приближение, так как считается, что площадь поперечного сечения сопла гидропушки изменяется не слишком быстро (и, конечно, отсутствуют скачки площади поперечного сечения сопла). Процесс втекания столба воды в сопло является существенно нестационарным, поэтому используется модель сжимаемой жидкости. Управляющей функцией, однозначно определяющей форму сопла (при заданном входном сечении), является производная по длине сопла от логарифма площади поперечного сечения. Функционалом, оценивающим качество сопла гидропушки, выбран функционал достаточно общего вида, представляющий собой сумму двух слагаемых. Первое слагаемое - интеграл от некоторой функции координаты свободной поверхности жидкости и значения скорости на свободной поверхности. Второе слагаемое - некоторая функция от скорости жидкости в момент ее истечения из сопла и площади выходного сечения. При постановке задачи допускается, что площадь выходного сечения сопла может быть задана.

Поставленная задача оптимизации сопла гидропушки отличается от задачи оптимизации крылового профиля, рассмотренной в главе 2. Во-первых, задача оптимизации сопла гидропушки является задачей оптимального управления нестационарным процессом, в то время как в главе 2 рассматривался стационарный процесс. Во-вторых, здесь исследуется функционал, который наряду с интегральной частью содержит "точечную" часть. Наконец, управляющая функция в задаче оптимизации сопла гидропушки входит в правую часть системы уравнений с частными производными, а не в граничные условия, как это было в задаче главы 2. Исследование вариационной задачи с такими особыми чертами имеет большое теоретическое значение не только для понимания самой задачи, но и для общей теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, так как многие свойства получаемого здесь решения присущи и решениям других задач.

В §3.2 выводятся необходимые условия экстремума функционала в случае гладкой управляющей функции и непрерывных множителей Лагранжа. Исследование задачи проводится с помощью общего метода множителей Лагранжа. Вычисляется первая вариация обобщенного функционала, формулируется и исследуется сопряженная задача. Показывается, что сопряженная задача в общем случае не имеет непрерывного решения.

В §3.3 выводятся необходимые условия слабого экстремума функционала в случае гладкой управляющей функции, но теперь допускаются разрывы множителей

Лагранжа. Показывается, что получающаяся в классе разрывных множителей Лагранжа сопряженная задача всегда имеет решение.

Параграфы 3.4, 3.5 посвящены вопросу разрешимости задачи оптимизации сопла гидропушки в случае гладкого управления. Изучение этого вопроса основано на исследовании поведения "функции-невязки". Если существует управляющая функция (форма сопла), доставляющая двусторонний экстремум целевому функционалу, то при таком управлении "функция-невязка" должна тождественно равняться нулю. Поведение "функции-невязки" изучается в окрестности точки, координата которой выбирается специальным образом. Показывается, что "функция-невязка" непрерывна в этой точке, но ее первая производная здесь разрывна. На основании этого делается вывод о том, что при гладкой управляющей функции решение сформулированной задачи в общем случае не существует.

В §3.6 исследуется задача оптимизации сопла гидропушки в случае, когда допускается разрыв управляющей функции. Выводятся и анализируются необходимые условия экстремума, исследуется поведение "функции-невязки" в окрестности той же специальной точки. Делается вывод о том, что разрывное управление не улучшает положение. Решение вариационной задачи и в классе разрывных управлений не существует.

В §3.7 приводится новая постановка задачи оптимизации сопла гидропушки. Она отличается от предыдущей постановки тем, что на управляющую функцию наложены дополнительные ограничения типа неравенства. Формулируются необходимые условия слабого экстремума целевого функционала. Описывается алгоритм численного решения задачи. Приводятся результаты полученных расчетов.

В §3.8 обсуждается вопрос о необходимости включения в обобщенный функционал Лагранжа условий совместности вдоль характеристик. В качестве иллюстрации рассмотрены две задачи оптимального управления системами с распределенными параметрами. В первой задаче управляемый процесс описывается решением задачи Гурса для гиперболического уравнения второго порядка. Во второй задаче процесс описывается решением задачи Гурса для системы двух уравнений первого порядка гиперболического типа. В случае первой задачи общий метод множителей Лагранжа позволяет легко выразить первую вариацию целевого функционала через вариацию управляющей функции. Для второй задачи аналогичный подход не приводит к успеху. Однако исключить вариации фазовых переменных из выражения для первой вариации функционала удается, если добавить в обобщенный функционал Лагранжа условия совместности вдоль характеристик. Из анализа результатов, полученных в §3.8, делается вывод о том, что при варьировании обобщенного функционала на границе-характеристике общий метод множителей Лагранжа не учитывает автоматически условия совместности на характеристике, а учитывает лишь некоторую линейную комбинацию этих условий. Поэтому в общем случае необходимо условия совместности на характеристике включать в обобщенный функционал Лагранжа с помощью неопределенных множителей. В §3.8 обсуждается также случай, когда целевой функционал является чисто "точечным". Формальное применение общего метода множителей Лагранжа не позволяет выразить первую вариацию целевого функционала через вариацию управляющей функции. Предлагаются два пути разрешения этого вопроса: представить "точечный" функционал как интеграл по границе области от некоторой функции или использовать некоторые дополнительные связи на границе области (например, условия совместности, если граница области является характеристикой).

В §3.9 подводится итог исследований, проведенных в главе 3. Высказывается предположение, что при отсутствии ограничения типа неравенства на управляющие функции решение задачи оптимизации сопла гидропушки может содержаться среди сопел с внезапным расширением или сужением.

Четвертая глава диссертации посвящена задаче оптимального управления процессом плавления и кристаллизации вещества. Формулируется эта задача следующим образом: требуется расплавить заданную часть металлического образца и затем кристаллизовать его, создав для этого необходимые условия и затратив при этом минимальное количество подводимого тепла. Сформулированная задача исследуется в рамках одномерной (с радиальной симметрией) нестационарной постановки. Источник подводимого тепла располагается вдоль оси симметрии, причем рассматриваются случаи как распределенного по пространству источника, так и точечного. В качестве управления выбирается распределение по времени количества выделяемого источником тепла. На управляющую функцию могут быть наложены ограничения типа неравенства, призванные моделировать требования, предъявляемые к процессу плавления и кристаллизации вещества.

Сформулированная задача моделирует, к примеру, оптимизацию процесса электросварки металла и поэтому имеет большое практическое значение. Эта задача имеет также большое теоретическое значение, так как ее исследование представляет интерес для теории оптимального управления системами с распределенными параметрами. Дело в том, что поведение оптимизируемого процесса, рассмотренного в главе 4, существенно отличается от поведения объектов, изучавшихся в главах 2, 3. Там поведение объектов описывалось системой дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа, а здесь - системой уравнений параболического типа. Это приводит к тому, что оптимальное управление процессом плавления и кристаллизации не имеет участков двустороннего экстремума, а состоит из участков одностороннего экстремума.

Существенной чертой задач плавления и кристаллизации является наличие движущейся поверхности раздела между твердой и жидкой фазами, причем закон движения этой поверхности заранее неизвестен и его следует определять. Под управлением процессом плавления и кристаллизации часто подразумевают управление поведением поверхности раздела фаз, то есть именно с этой поверхностью связывают те или иные условия. Отсюда вытекает необходимость определять координаты поверхности раздела фаз с высокой точностью.

В §4.1 приводится математическая постановка задачи. Формулируется прямая задача, состоящая в определении закона движения поверхности раздела фаз и распределения температуры в исследуемой области при заданной зависимости от времени количества выделяемого источником тепла (мощности источника). Формулируется полная вариационная задача определения оптимальной мощности источника. Полная вариационная задача разбивается на две подзадачи: задачу оптимального плавления вещества и задачу оптимальной кристаллизации вещества.

В §4.2 проводится аналитическое исследование задачи об оптимальном плавлении вещества. Исследование базируется на общем методе множителей Лагранжа. Вычисляется первая вариация обобщенного функционала, формулируется сопряженная задача для множителей Лагранжа. Из анализа первой вариации целевого функционала делается вывод о том, что в окрестности момента времени, при котором вся требуемая масса вещества расплавится, оптимальное управление должно содержать участок краевого экстремума. В рассматриваемой задаче это означает, что мощность источника на конечном этапе должна равняться нулю.

Решение поставленной вариационной задачи проводилось с помощью численных методов оптимизации, опирающихся на решение прямой задачи. Для решения прямой задачи были разработаны и реализованы три подхода, дополняющие один другой, имеющие различные области применения и позволившие контролировать точность получаемых результатов.

В §4.3 описывается первый алгоритм решения прямой задачи. Он предназначен для работы с "размазанным" источником. По своей сути этот алгоритм можно отнести к алгоритмам сквозного счета. Основная идея этого алгоритма базируется на отказе от явного выделения поверхности раздела фаз и требования выполнения на ней условий, связывающих параметры среды в жидкой и твердой фазах. Для этого осуществляется переход от неизвестной функции температуры к функции теплосодержания. Приводится формулировка прямой задачи для определения новой неизвестной функции - теплосодержания. После определения поля функции теплосодержания поверхность раздела фаз выделяется с помощью некоторой интерполяционной процедуры.

В §4.4 описывается второй алгоритм решения прямой задачи. Он имеет более узкую область применения, чем первый алгоритм. Предполагается, что источник подводимого тепла "точечный", а плотность вещества, его теплоемкость и коэффициент теплопроводности являются постоянными. Прямая задача формулируется в терминах температуры. Она аппроксимируется на специальной расчетной сетке, сгущающейся к поверхности раздела фаз. Поверхность раздела фаз выделяется явно, являясь одной из линий расчетной сетки. Особенности, связанные с "точечным" характером источника, также выделяются.

Параграф 4.5 посвящен описанию третьего алгоритма решения прямой задачи. Область применения этого алгоритма - самая узкая из трех методов. Он применим в случае, когда источник "точечный", плотность вещества, его теплоемкость и коэффициент теплопроводности являются постоянными величинами. Необходимо также, чтобы термические свойства твердой и жидкой фаз были бы одинаковыми. В основе третьего алгоритма лежит использование метода интегрального уравнения. Температура в любой точке рассматриваемой области может быть представлена в виде суммы трех функций. Первая функция описывает линейный источник тепла и выражается тепловым потенциалом простого слоя с известной плотностью, распределенной вдоль оси. Вторая функция определяет влияние температуры, которую имело вещество в начальный момент времени. Третья функция описывает влияние поверхности раздела фаз. Ее можно построить, выбрав произвольно траекторию движения поверхности раздела фаз. Третья функция обусловлена движущимся источником тепла и выражается тепловым потенциалом простого слоя с плотностью, зависящей от скорости движения поверхности раздела фаз и распределенной вдоль выбранной траектории. На поверхности раздела фаз температура (сумма трех функций) всегда должна совпадать с температурой плавления. Это приводит к интегральному уравнению для определения искомой траектории.

В §4.6 рассматриваются численные методы решения вариационной задачи плавления. Эти методы являются некоторыми разновидностями градиентных методов. Для их реализации необходимо знание градиента целевой функции. Градиент дискретной целевой функции (получена в результате аппроксимации целевого функционала) при дискретных связях (получены в результате аппроксимации дифференциальных уравнений) находится с помощью методологии быстрого автоматического дифференцирования (см. главу 5). Большое внимание в §4.6 уделяется учету того условия, что должна быть расплавлена масса вещества, не меньшая заданной. В одном алгоритме это условие учитывается с помощью метода штрафных функций, в другом его выполнение достигается с помощью некоторой итерационной процедуры.

В §4.7 приводятся результаты численного решения задачи оптимального управления процессом плавления. На основании полученных результатов делается вывод о структуре оптимального решения. Оптимальное управление в случае "точечного" источника при наличии ограничений на мощность источника состоит из двух участков краевого экстремума: с нулевого момента времени до некоторого, определяемого в процессе решения ненулевого момента времени управление совпадает с верхней границей ограничения, затем скачком оно переходит на нижнюю границу ограничения. Если же ограничение сверху на величину мощности источника отсутствует, то оптимальное управление процессом плавления должно состоять во "впрыскивании" всей необходимой энергии в начальный момент времени. Если источник распределен по пространству, то структура оптимального решения в этом случае такая же, что и в случае "точечного" источника. Однако при изменении пространственной ширины источника оптимальное значение функционала также меняется. Наилучшие результаты получаются тогда, когда источник "размазывается" на всю область, которую необходимо расплавить.

В §4.8 рассматривается оптимизация второй части процесса - определение такой мощности источника, которая обеспечивает оптимальное остывание вещества и его кристаллизацию. При этом считается, что первая часть оптимального управления, определяющая процесс нагревания вещества и его плавление, уже найдена и не изменяется при определении второй части. Существенной чертой второй части задачи, отличающей ее от первой части, является то, что при построении оптимального решения определяющую роль играет условие, ограничивающее скорость кристаллизации. Именно здесь, на этой стадии процесса, скорость кристаллизации может стать недопустимо большой, и для ее уменьшения необходимо вновь включать источник тепла. Определение второй части оптимального управления проводится, как и определение первой части, путем минимизации целевого функционала. Ограничение на скорость движения фронта плавления учитывается с помощью добавления к целевому функционалу дополнительного функционала - штрафной функции. Вновь полученный обобщенный функционал оптимизируется градиентным методом. В §4.8 описан алгоритм, позволяющий строить оптимальное управление. Приведены результаты численных расчетов. Выяснено влияние предельной скорости остывания на оптимальную мощность источника. Обнаружено, что источник всегда включается раньше того момента времени, когда начинает нарушаться ограничение на скорость остывания. Исследовано влияние пространственной ширины источника на оптимальное управление. Расчеты показали, что наиболее выгодным является использование не "размазанных", а "точечных" источников для оптимального управления процессом кристаллизации.

В §4.9 предлагается приближенный, более простой метод решения задачи об оптимальном остывании вещества. Суть нового способа в следующем. Определяется траектория движения фронта кристаллизации при выключенном (на этапе кристаллизации) источнике. Находится момент времени t 2 > ПРИ котором скорость остывания начинает превосходить предельно допустимую. Строится новая траектория движения фронта кристаллизации: до момента времени t = t 2 она d остается прежней, а после этого момента ее наклон определяется предельно допустимой скоростью. Требование, чтобы на новой траектории температура среды равнялась бы температуре плавления, приводит к интегральному уравнению первого рода для определения мощности источника. Момент времени, в который разрешается включаться источнику, должен предшествовать моменту t 2. Для его d выбора предлагается некоторое эмпирическое правило.

В §4.10 исследуется задача оптимального управления процессом плавления и кристаллизации вещества в полной постановке, когда учитывается взаимное влияние стадии плавления и стадии кристаллизации друг на друга. Анализ полученных в этом параграфе результатов показал, что при рассматриваемых входных параметрах решение задачи в полной постановке можно найти, последовательно решая две вспомогательные задачи, рассмотренные в предыдущих параграфах - задачу оптимизации процесса плавления и задачу оптимизации процесса кристаллизации вещества.

Пятая глава диссертации посвящена обобщенной методологии быстрого автоматического дифференцирования (БАД-методология). При решении задач оптимального управления сложными системами часто используются численные методы оптимизации. Наиболее популярными среди них являются градиентные методы минимизации функционала. Для реализации градиентных методов необходимо уметь определять значение функционала в произвольной точке и значение его градиента в этой же точке. При этом крайне важно использовать точное значение градиента.

Одним из подходов, позволяющих определять точное значение градиента целевого функционала, является обобщенная БАД-методология. Эта методология возникла как естественное обобщение и развитие методов, разработанных в нелинейном программировании (см. [0.26]). В чем суть обобщенной БАД-методологии, рассмотрим на примере задачи оптимального управления сложной системой. Задача оптимального управления состоит в оптимизации некоторого целевого функционала, зависящего от управлений и фазовых переменных. Управления и фазовые переменные связаны между собой некоторыми соотношениями (например, при заданных управлениях фазовые переменные определяются как решения некоторой краевой задачи для системы уравнений с частными производными). Первый шаг обобщенной БАД-методологии состоит в дискретизации функционала и связей. В результате приходим к задаче оптимизации функции многих переменных, которые связаны системой алгебраических уравнений. Второй шаг заключается в нахождении дифференциала дискретной целевой функции (или ее градиента) при наличии связей. Эту задачу можно решить точно (см., например, [0.2]). В работе [0.26] приведены канонические формулы, позволяющие точно вычислять градиент функции. Теперь для оптимизации целевой функции можно использовать градиентные методы. Следует отметить, что формулы, аналогичные приведенным в работе [0.26], могут быть получены с помощью общего метода множителей Лагранжа.

В §5.1 на примере конкретной задачи показывается как, применяя общий метод множителей Лагранжа, получить точное значение градиента целевой функции. В качестве конкретного примера выбрана задача минимизации функционала, представляющего собой норму отклонения решения краевой задачи для уравнения Бюргерса от некоторой заданной функции (экспериментальных данных). Роль управлений играют граничные условия задачи. Первая вариация функционала вначале определяется в непрерывном случае с помощью общего метода множителей Лагранжа. Затем выбираются некоторые аппроксимации целевого функционала и краевой задачи, и определяется дифференциал полученной дискретной функции (опять-таки с помощью общего метода множителей Лагранжа). Сравниваются сопряженные задачи в дискретном и непрерывном случаях, сравниваются выражения для градиента функционала. Рассматриваемая в §5.1 задача является обратной задачей идентификации. Она решается градиентным методом с использованием полученного выражения для градиента дискретной функции. Если экспериментальные данные, с которыми сравнивается решения краевой задачи Бюргерса, заданы во всей расчетной области, то граничные условия воспроизводятся с высокой точностью. Если же экспериментальные данные заданы в части расчетной области, то результат восстановления граничных условий зависит от того, где именно они заданы. Расчеты показали, что если экспериментальные данные имеются в непосредственной близости от линий, на которых формулируются граничные условия, то граничные условия также воспроизводятся с высокой точностью.

В §5.2 рассматривается вопрос о том, нужно ли при применении обобщенной БАД-методологии к решению задач оптимального управления сложными системами согласовывать между собой аппроксимации целевого функционала и связей. Показано, что при отсутствии такого согласования дискретный градиент не аппроксимирует точный градиент, а получаемое дискретное оптимальное управление может не аппроксимировать точное оптимальное управление.

В §5.3 подводится итог исследований, проведенных в главе 5, делаются выводы и даются рекомендации по применению обобщенной БАД-методологии. Предлагается определять градиент целевого функционала одновременно в непрерывном и дискретном случаях и выбирать согласованные аппроксимации. Аппроксимации считаются согласованными, если дискретная сопряженная задача аппроксимирует непрерывную сопряженную задачу и дискретный градиент аппроксимирует непрерывный градиент.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту.

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [2.21], [2.13], [2.22], [2.16], [3.33] - [3.36], [4.18] - [4.26], [5.27] - [5.31].

Результаты, полученные в диссертации, докладывались на XX научной конференции МФТИ (Долгопрудный, Россия, 1974 г.); на VII Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, Россия, 1991 г.); на международной конференции "3rd IFIP WG-7.6 Working Conference on Optimization-Based Computer-Aided Modelling and Design" (Прага, Чехия, 1994 г.); на международной конференции по моделированию систем и оптимизации "17th IFIP ТС 7 Conference on System Modelling and Optimization" (Прага, Чехия, 1995 г.); на конференции по обратным и некорректно поставленным задачам (Москва, МГУ, 1998 г.); на Десятой юбилейной международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, (Переславль-Залесский, Россия, 1999 г.); на международной конференции по автоматическому дифференцированию "Third International Conference on Automatic Differentiation: From Simulation to Optimization" (Ницца, Франция, 2000 г.); на международном конгрессе "16th IMACS World Congress 'IMACS 2000' on Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation" (Лозанна, Швейцария, 2000 г.); на Одиннадцатой международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Москва-Истра, Россия, 2001 г.); на 12-й Байкальской международной конференции "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, Россия, 2001 г.), на семинаре "Методы оптимизации" под руководством Ф.П. Васильева (факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова), на семинарах Вычислительного центра им. А.А. Дородницына РАН.

Автор благодарит за оказанную помощь в работе своих соавторов А.Ф. Албу, В.И. Горбунова, Ю.Г. Евтушенко, Е.С. Засухину, В.А. Инякина.

Автор приносит искреннюю благодарность своему учителю А.В. Шипилину. Именно он показал автору красоту вариационных задач.

Автор никогда не забудет ту поддержку, которую с самого начала работы он ощущал со стороны Ю.Д. Шмыглевского. Его советы и постоянное внимание стимулировали эту работу. Ю.Д. Шмыглевскому автор выражает глубочайшую признательность.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Зубов, Владимир Иванович

Основные результаты, изложенные в главе 5, опубликованы в работах [5.27] -[5.31].

Заключение

В заключении сформулируем основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту.

1). Предложен новый способ определения первой вариации целевого функционала в случае, когда на границе области имеются особые точки дифференциальных уравнений, определяющих поведение системы.

С помощью этого способа получены формулы, позволяющие вычислять вклад в первую вариацию целевого функционала, обусловленный вариацией координат особой точки. Эти формулы можно использовать при решении достаточно широкого класса задач оптимального управления системами с распределенными параметрами.

2). Исследована общая задача оптимизации в случае, когда частью границы области, в которой определены фазовые переменные и управляющие функции, является характеристика системы уравнений с частными производными, определяющей оптимизируемый процесс.

Показано, что эта часть границы является также характеристикой сопряженной системы уравнений с тем же, что и у исходной системы уравнений числом линейно независимых характеристических соотношений.

Показано, что если на участке границы - характеристике фазовые переменные и управляющие функции не связаны никакими соотношениями, и они не влияют на значений целевого функционала, то учитывать при варьировании функционала условия совместности системы определяющих уравнений нет необходимости. В противном случае условия совместности вдоль характеристики необходимо включать в обобщенный функционал Лагранжа со своими множителями.

3). Исследована и решена задача определения плоского крылового профиля, обладающего минимальным волновым сопротивлением в стационарном сверхзвуковом набегающем потоке совершенного газа. Решение задачи проводилось для тех значений входных параметров, для которых оптимальный профиль и профили сравнения обтекаются с образованием в потоке газа присоединенных ударных волн. Считалось, что при рассматриваемых значениях параметров в областях взаимного влияния потока и профиля течение сверхзвуковое и внутренних ударных волн нет. Искомый профиль должен иметь заданную длину, заданную толщину, должен быть расположен под заданным углом атаки по отношению к набегающему потоку и должен в общем случае обладать заданными значениями подъемной силы и момента относительно передней кромки. Исследование задачи выполнялось с помощью общего метода множителей Лагранжа.

Предложен численный алгоритм, позволяющий строить оптимальные крыловые профили.

4). Исследована и решена задача оптимизации сопла гидропушки.

Показано, что при гладкой управляющей функции (производной от логарифма функции, описывающей форму сопла) сопряженная задача в общем случае не имеет непрерывного решения.

Показано, что при гладкой управляющей функции сопряженная задача в классе разрывных множителей Лагранжа имеет решение.

Показано, что в классе гладких управляющих функций решение задачи оптимизации сопла гидропушки в общем случае не существует.

Показано, что в классе разрывных управляющих функций (сопла с изломом образующих) решение задачи оптимизации сопла гидропушки в общем случае также не существует.

Приведена новая постановка задачи оптимизации сопла гидропушки, когда на управляющую функцию наложены дополнительные ограничения типа неравенства. Предложен алгоритм численного решения задачи. Приведены результаты полученных расчетов.

Рассмотрен вопрос о применении общего метода множителей Лагранжа для вычисления необходимых условий экстремума в случае, когда целевой функционал является "точечным".

5). Исследована и решена задача оптимального управления процессом плавления и кристаллизации вещества.

Проведено аналитическое исследование задачи об оптимальном плавлении вещества.

Разработаны и реализованы три алгоритма, предназначенные для численного решения прямой задачи.

Разработаны численные алгоритмы решения вариационной задачи плавления.

На основе результатов численного решения задачи оптимального управления процессом плавления сделан вывод о структуре оптимального решения.

Исследовано влияние пространственной ширины источника на оптимальное управление.

Решена задача определения такой мощности источника, которая обеспечивает оптимальное остывание вещества и его кристаллизацию.

Предложен приближенный метод решения задачи об оптимальном остывании вещества.

Показано, что при рассматриваемых входных параметрах решение задачи оптимального управления процессом плавления и кристаллизации вещества в полной постановке можно найти, последовательно решая две вспомогательные задачи - задачу оптимизации процесса плавления и задачу оптимизации процесса кристаллизации вещества.

6). Отмечена тесная связь между обобщенной методологией быстрого автоматического дифференцирования и общим методом множителей Лагранжа.

С помощью обобщенной БАД-методологии решена обратная задача идентификации. Она состоит в выборе таких граничных условий краевой задачи для уравнения Бюргерса, при которых минимальна норма отклонения решения этой задачи от некоторой заданной функции (экспериментальных данных).

На основе проведенных в работе исследований сделан вывод о том, что при применении обобщенной БАД-методологии к решению задач оптимального управления сложными системами необходимо согласовывать между собой аппроксимации целевого функционала и связей.

Предлагается выбирать согласованные аппроксимации функционала и связей путем одновременного применения обобщенной БАД-методологии к дискретному варианту задачи и общего метода множителей Лагранжа к непрерывному варианту задачи.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Зубов, Владимир Иванович, 2002 год

1. Литература к введению

2. Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления. Ленинград-Москва: ГИТТЛ, 1941. 308 с.

3. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1. М.: Наука, 1966. 608 с.

4. Гелъфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: ГИФМЛ, 1961. 228 с.

5. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974. 488 с.

6. Ахиезер НИ. Лекции по вариационному исчислению. М.: ГИТТЛ, 1955. 248 с. 0.6. Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению. М.: Издательство иностранной литературы, 1950. 348 с.

7. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с. 0.8. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965, 476 с.

8. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975.

9. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975, 480 с.

10. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. 480 с.

11. Черноусъко Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973.

12. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Физматгиз, 1962.

13. Теория оптимальных аэродинамических форм / Под ред. А. Миеле. М.: Мир, 1969. 508 с.

14. Охоцимский Д.Е. К теории движения ракет // ПММ. 1946. Т. 10. Вып. 2. С. 251-272.

15. Шмыглевский Ю.Д. Некоторые вариационные задачи газовой динамики. М.: ВЦ АН СССР, 1963. 142 с.

16. Шмыглевский Ю.Д. Аналитические исследования динамики газа и жидкости. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 232 с.

17. Общий метод определения оптимальных сверхзвуковых ракетных сопл // Механика. Период, сб. перев. иностр. статей. 1963. № 6. С. 85-101.

18. Сиразетдинов Т.К. Оптимальные задачи газодинамики // Изв. вузов. Сер. Авиац. техника. 1963. №2. С. 11-21.

19. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики неравновесных и равновесных течений // ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 2. С. 285-295. 0.23. Крайко А.Н. К решению вариационных задач сверхзвуковой газовой динамики // ПММ. 1966. Т.30. Вып.2. С. 312-320.

20. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных. М.: Мир, 1972. 0.25. Ahmed N.U., Тео K.L. Optimal Control of Distributed Parameter Systems. North Holland, New York Oxford. 1981. 430 c.

21. Evtushenko Y.G. Computation of exact gradients in distributed dynamic systems // Optimization Methods and Software. 1998. V. 9. P. 45-75.1. Литература к главе 1

22. Крайко А.Н. К решению вариационных задач сверхзвуковой газовой динамики // ПММ. 1966. Т.30. Вып.2. С. 312-320.

23. Шипилин А.В. Вариационные задачи газовой динамики с присоединенными ударными волнами // Сборник теоретических работ по гидромеханике. М.: ВЦ АН СССР, 1970. С. 54-106.

24. Зубов В.И. Об оптимальном сверхзвуковом профиле заданного утолщения // Изв. АН СССР. МЖГ. 1976. № 1. С. 89-96.

25. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука, 1979. 447 с.

26. Зубов В. И Об оптимальных профилях под малыми углами атаки в сверхзвуковом потоке газа// ПММ. 1997. Т.61. Вып.1. С. 88-96.

27. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974. 488 с.

28. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: ГИТТЛ, 1955. 248 с.

29. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. 480 с.

30. Теория оптимальных аэродинамических форм / Под ред. А. Миеле. М.: Мир, 1969. 508 с.

31. Сиразетдинов Т.К. Оптимальные задачи газодинамики // Изв. вузов. Сер. Авиац. техника. 1963. №2. С. 11-21.

32. Гельфанд ИМ., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: ГИФМЛ, 1961. 228 с.

33. Курант Р. и Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: Издательство иностранной литературы, 1950. 427 с.

34. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978. 688 с.

35. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981. 368 с.

36. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Газовая динамика сопел. М.: Наука, 1990. 368 с.1. Литература к главе 2

37. Теория оптимальных аэродинамических форм / Под ред. А. Миеле. М.: Мир, 1969. 508 с.

38. Черный Г.Г. Сверхзвуковое обтекание профиля, близкого к клину // Тр. ЦИАМ им. П.И. Баранова. 1950. № 197. 11 с.

39. Черный Г.Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз, 1959. 220 с.

40. Сиразетдинов Т.К. Оптимальные задачи газодинамики // Изв. вузов. Серия Авиационная техника. 1963. №2. С. 11-21.

41. Крайко АН. Вариационные задачи газовой динамики неравновесных и равновесных течений // ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 2. С. 285-295.

42. Борисов В.М. Об оптимальной форме тел в сверхзвуковом потоке газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. Т. 3. № 4. С. 788-793.

43. Шипилин А.В. О телах с минимальным волновым сопротивлением в неравномерном набегающем потоке газа // ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 3. С. 543-547.

44. Борисов В.М. О системе тел с минимальным волновым сопротивлением // Инж. ж. 1965. Т. 5. Вып. 6. С. 1028-1034.

45. Крайко АН. # решению вариационных задач сверхзвуковой газовой динамики //ПММ. 1966. Т.30. Вып.2. С. 312-320.

46. Шипилин А.В. Оптимальные формы тел с присоединенными ударными волнами // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. № 4. С. 9-18.

47. Шипилин А.В. Вариационные задачи газовой динамики с присоединенными ударными волнами // Сборник теоретических работ по гидромеханике. М.: ВЦ АН СССР, 1970. С. 54-106.

48. Зубов В.И. Об оптимальном сверхзвуковом профиле заданного утолщения // Изв. АН СССР. МЖГ. 1976. № 1. С. 89-96.

49. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. 480 с.

50. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука, 1979. 447 с.

51. Зубов В.И. Об оптимальных профилях под малыми углами атаки в сверхзвуковом потоке газа// ПММ. 1997. Т.61. Вып.1. С. 88-96.

52. Шмыглевский Ю.Д. Некоторые вариационные задачи газовой динамики. М.: ВЦ АН СССР, 1963. 142 с.

53. Борисов В.М., Шипилин А.В. О соплах максимальной тяги с произвольными изопериметрическими условиями // ПММ. 1964. Т.28. Вып.1. С. 182-183.

54. Кацкова О.Н., Наумова И.Н., Шмыглевский Ю.Д., Шулишнина Н.П. Опыт расчета плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений газа методом характеристик. М.: ВЦ АН СССР, 1961. 60 с.

55. Бахвалов НС. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1975. 632 с.

56. Зубов В.И. Оптимальная форма профиля при заданном утолщении // Труды XX научной конференции МФТИ. 1974 г. Сер. " Аэрофизика и прикладная математика ". Долгопрудный, 1975. Часть П. С. 154-163.

57. Zubov V.I. Some problems of plane wing optimization // System Modelling and Optimization. 17th IFIP TC 7 Conference, July 10-14, 1995. Prague, Czech Republic. Published by ПТА CzAS, Prague. 1995. Vol. П. P. 404-405.1. Литература к главе 3

58. Лаврентьев М.А., Антонов Э.А., Войцеховский Б.В. Вопросы теории и практики импульсных водяных струй. Новосибирск: изд-во ИГД СО АН СССР, 1961.

59. Войцеховский Б.В., Дудин Ю.А., Николаев Ю.А., Николаев П.П., Никитин В.В. Кавитационный эффект в экспоненциальном струйном насадке // Динамика сплошной среды. Вып. IX. Новосибирск: изд-во ИГД СО АН СССР, 1971. С. 7-11.

60. Атанов Г.А. Внутренняя баллистика гидропушки и импульсного водомета: Дис. . докт. физ.-матем. наук. М.: ВЦ АН СССР, 1978. 220 с.

61. Атанов Г.А., Уланова Г.Д., Шипилин А.В. Сопло для получения максимальной скорости втекания жидкости // Тезисы докл. П Всес. конф. по оптимальному управлению в механ. системах. Казань, 1978. С. 88-89.

62. Атанов Г.А., Зуйкова З.Г. Вариационная задача газовой динамики с условиями на замыкающей характеристике // Матем. методы механ. жидкости и газа. Днепропетровск: РИО ДГУ, 1982. С. 125-130.

63. Зуйкова З.Г. Оптимизация сопла гидропушки по среднему потоку импульса // Матем. методы механ. жидкости и газа. Днепропетровск: РИО ДГУ, 1982. С. 130133.

64. Атанов Г.А. Об одной вариационной задаче нестационарной газодинамики // Гидромехан. Киев: Наук, думка, 1985. Вып. 52.

65. УиземДж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 624 с.

66. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

67. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. 424 с.

68. КоулЛ. Подводные взрывы. М.: Изд-во иностр. лит., 1950. 494 с.

69. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Наука, 1971. 854 с.

70. Зуйкова З.Г. О выборе управляющей функции при оптимизации сопла гидропушки // Донец, ун-т. Донецк. 1979. 16 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 14.12.79. № 4268-79 Деп.

71. Атанов Г.А. Оптимизация сопла гидропушки по скорости истечения // Теоретическая и прикладная механика. Выпуск 15. Киев-Донецк: Виша школа, 1984. С 124-131.

72. Atanov G.A. The optimal control problem of profiling the hydro-cannon nozzle to obtain the maximum outlet speed // Proc. Instn. Mech. Engrs. 1997. Vol. 211. Part C. P. 541-547.

73. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики неравновесных и равновесных течений // ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 2. С. 285-295.

74. Курант Р. и Фридрихе К Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: Издательство иностранной литературы, 1950. 427 с.

75. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978. 688 с.

76. Овсянников JI.B. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981. 368 с.

77. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука, 1979. 447 с.

78. Жуков А.И. Применение метода характеристик к численному решению одномерных задач газовой динамики // Тр. матем. ин-та им. В.А. Стеклова. М., 1960. Т. 58. №8. 155 с.

79. Борисов В.М. О системе тел с минимальным волновым сопротивлением // Инженерный журнал. 1965. Т. 5. Вып. 6. С. 1028-1034.

80. Зуйкова З.Г Вариационная задача о втекании сжимаемой жидкости в сужающийся канал. Дис. . канд. физ.-матем. наук. Донецк: Донецкий гос. ун-т, 1984. 84 с.

81. Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления. Ленинград-Москва: ГИТТЛ, 1941. 308 с.

82. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965, 476 с.

83. Лурье К А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975, 480 с.

84. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. 480 с.

85. Егоров А.И. Об оптимальном управлении процессами в распределенных объектах // ПММ. 1963. Т. XXVII. № 4.

86. Егоров А.И. Об оптимальном управлении процессами в некоторых системах с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1964. Т. XXV. № 5.

87. Сиразетдинов Т.К. К теории оптимальных процессов с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1964. Т. XXV. №4.

88. Крайко А.Н. .К-решению вариационных задач сверхзвуковой газовой динамики // ПММ. 1966. Т.30. Вып.2. С. 312-320.

89. Егоров А.И. Необходимые условия оптимальности для систем с распределенными параметрами // Математический сб. 1966. Т. 69. Вып. 3.

90. Зубов В.К, Зуйкова З.Г. Оптимизация формы канала при втекании в него сжимаемой жидкости // Анн. докл. VII Всес. съезда по теоретической и прикладной механике. Москва, 15-21 августа 1991 г. С. 165-166.

91. Зубов В.К, Зуйкова З.Г. Об одном классе решений задачи оптимизации сопла гидропушки // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34. №10. С. 1541-1550.

92. Zubov V.I., Zuikova Z.G. On One Class of Solutions of Hydrogun Nozzle Optimization Problem // Abstracts of 3rd IFIP WG-7.6 Working Conference on

93. Optimization-Based Computer-Aided Modelling and Design, Prague, Czech Republic, May 24-26, 1994. Published by ПТА CzAS. P. 173-175.

94. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975.

95. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

96. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978.

97. Rose М. A method for calculating solutions of parabolic equations with a free boundary // Math. Comput. 1960. V. 14. P. 249-256.

98. White R.E. An enthalpy formulation of the Stephan problem // SIAM J. Numer. Analys. 1982. V. 19. №6. P. 1129-1157.

99. White R.E. A numerical solution of the enthalpy formulation of the Stephan problem // SIAM J. Numer. Analys. 1982. V. 19. №6. P. 1158-1172.

100. Самарский А.А., Николаев E.C. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

101. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

102. Даръин НА., Мажукин В.И. Математическое моделирование задачи Стефана на адаптивной сетке // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. №7. С. 1154-1160.

103. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

104. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964.

105. Бахвалов НС. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1975. 632 с.

106. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978.

107. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973.

108. Birgin E.G., Evtushenko Y.G. Automatic differentiation and spectral projected gradient methods for optimal control problems // Optimizat. Methods and Software. 1998. V. 10. P. 125-146.

109. Evtushenko Y.G. Computation of exact gradients in distributed dynamic systems // Optimizat. Methods and Software. 1998. V. 9. P. 45-75.

110. Тихонов A.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

111. Албу А.Ф., Горбунов В.И., Зубов В.И. Оптимальное управление процессом плавления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. №4. С. 517-531.

112. Албу А.Ф., Горбунов В.И., Зубов В.И. Об оптимальном управлении процессом плавления//Матем. моделирование. 2000. Т. 12. №5. С. 114-118.

113. Албу А.Ф., Зубов В.И О процессе плавления с ограничением на скорость остывания // Труды 12-й Байкальской международной конференции "Методы оптимизации и их приложения", том 2 "Оптимальное управление", Иркутск: ИГУ,2001, С. 15-19.

114. Албу А.Ф., Зубов В.И. О модификации одной схемы для расчета процесса плавления//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. №9. С. 1434-1443.

115. Албу А.Ф., Зубов В.И О процессе плавления с ограничением на скорость остывания//Матем. моделирование. 2002. Т. 14. №8. С. 119-123.1. Литература к главе 5

116. МарчукГ.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. М.: Наука, 1992.

117. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 823 с.

118. Шмыглевский Ю.Д. Некоторые вариационные задачи газовой динамики. М.: ВЦ АН СССР, 1963. 142 с.

119. Шмыглевский Ю.Д Аналитические исследования динамики газа и жидкости. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 232 с.

120. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука, 1979.

121. Grievank A. On automatic differentiation // In Iri M. and Tanabe K. (Eds). Mathematical Programming: Recent Developments and Applications. Kluwer Academic Publishers, 1989. P. 83-108.

122. Grievank A. and Corliss G.F. (Eds.) Automatic Differentiation of Algorithms: Theory, Implementation and Application. Philadelphia: SLAM, 1991.

123. Grievank A. Achieving logarithmic growth of temporal and spatial complexity in reverse automatic differentiation // Optimization Methods and Software. 1992. V. 1. P. 3554.

124. Iri M. History of Automatic differentiation and rounding error estimation // Automatic Differentiation of Algorithms: Theory, Implementation and Application. Philadelphia: SIAM, 1991. P. 3-16.

125. Iri M. Simultaneous computation of functions, partial derivatives and estimates of rounding errors//Japan Journal of Applied Mathematics. 1984. V. 1. P. 223-252.

126. Айда-Заде K.P., Евтушенко Ю.Г. Быстрое автоматическое дифференцирование //Математическое моделирование. 1989. Т. 1. С. 121-139.

127. Baur W., Strassen V. The complexity of partial derivatives // Theoretical Computer Sciences. 1983. V. 22. P. 317-320.

128. Bertsekas D. Constrained optimization and Lagrange multiplier methods. New York: Academic Press. 1982.

129. Евтушенко Ю.Г., Мазурик В.П. Математическое обеспечение оптимизации. М: Знание. 1989.

130. Evtushenko Y.G. Automatic differentiation viewed from optimal control theory // Automatic Differentiation of Algorithms: Theory, Implementation and Application. Philadelphia: SIAM, 1991.

131. Грачев Н.И., Евтушенко Ю.Г. Библиотека программ для решения задач оптимального управления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1979. Т. 19. № 2. С. 367387.

132. Evtushenko Y.G. Computation of exact gradients in distributed dynamic systems // Optimization Methods and Software. 1998. V. 9. P. 45-75.

133. Le Dimet F.-X., Talagrand O. Variational algorithms for analysis and assimilation of meteorological observations: Theoretical aspects // Tellus. 1986. V. 38A. P. 97-110.

134. Devenon J.L. Optimal control theory applied to an objective analysis of a tidal current mapping by HF radar // J. Atmospheric and Oceanic Technol. 1990. V. 7. P. 269-284.

135. Talagrand O. The use of adjoint equations in numerical modeling of atmospheric circulation // Automatic Differentiation of Algorithms: Theory, Implementation and Application. Philadelphia: SIAM, 1991. P. 169-180.

136. Lellouche J.-M., Devenon J.-L., Dekeyser I. Boundary Control of Burgers' Equation -A Numerical Approach // Computers Math. Applic. 1994. V. 28, № 5, P. 33-44.

137. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

138. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965, С. 476.

139. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

140. Моисеев Н.Н., Иваншов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978.

141. Евтушенко Ю.Г, Засухина Е.С., Зубов В.И. О численном подходе к оптимизации решения задачи Бюргерса с помощью граничных условий // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. №12. С. 1449-1458.

142. Evtushenko Yu.G., Zasuhina E.S, Zubov V.I. FAD Method to Compute Second Order Derivatives 11 In.: "Automatic Differentiation of Algorithms: from Simulation to Optimization", New York: Inc. Springer-Verlag. 2002. P. 327-333.

143. Иллюстрации и таблицы к главе 2