Решение начально-краевых задач о движении бинарных смесей в цилиндрических областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Собачкина, Наталья Леонидовна

• Собачкина, Наталья Леонидовна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Собачкина, Наталья Леонидовна

Введение

Глава 1. Решение начально-краевой задачи, описывающей осе-симметрическое движение бинарной смеси с цилиндрической свободной границей

1.1 Основные уравнения и граничные условия в цилиндрической системе координат.

1.2 Задача о деформации жидкого цилиндра.

1.3 Точное решение.

1.4 Преобразование к задаче в фиксированной области.

1.5 Вывод конечномерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

1.6 Численное решение.

Глава 2. Задача об осесимметрическом движении смеси с плоской свободной границей

2.1 Постановка задачи.

2.2 Точное решение.

2.3 Преобразование к задаче в фиксированной области. Результаты численного анализа.

Глава 3. Движение бинарной смеси в горизонтальной цилиндрической трубе

3.1 Основные уравнения и граничные условия.

3.2 Стационарные ползущие движения в случае теплоизолированной стенки.

3.3 Стационарные ползущие движения при заданной температуре стенки.

3.4 Нестационарные ползущие движения.

3.5 Первое приближение

Глава 4. Решение начально-краевой задачи, возникающей при движении бинарной смеси в цилиндрической трубе

4.1 Основные уравнения и граничные условия.

4.2 Стационарное решение.

4.3 Априорная оценка поля скоростей.

4.4 Решение методом преобразования Лапласа.

4.5 Об определении расхода или градиента давления.

4.6 Определение возмущений температуры в слоях.

4.7 Определение возмущения концентрации смеси.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение начально-краевых задач о движении бинарных смесей в цилиндрических областях»

Актуальность проблемы. В механике жидких сред часто используются так называемые классические модели, к которым относятся уравнения: газовой динамики, Эйлера идеальной жидкости, Навье-Стокса вязкой жидкости, Обербека-Буссинеска конвективных течений. В последнее время в связи с появлением новых задач, развитием математического аппарата и средств вычислительной техники возрос интерес к неклассическим моделям гидродинамики. В качестве примера можно привести модели вязкого теплопроводного газа [35], микроконвекции [40], а также конвекции с учетом эффектов термодиффузии и диффузионной теплопроводности [22,54]. Такие усложненные модели с большей точностью (по сравнению с классическими) описывают реальные физические процессы и в последнее время активно используются в вычислительной гидродинамике. В связи с этим является актуальной задача качественного исследования уравнений подмоделей усложненных сред. В частности, точные решения всегда играли и продолжают играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Они используются в качестве "тестовых задач" для проверки корректности и оценки точности различных асимптотических, приближенных и численных методов.

Изучению моделей микроконвекции и вязкого теплопроводного газа с помощью теоретико-групповых методов посвящена монография [7]. Отметим также монографию [9], в которой наряду с классическими моделями исследуются уравнения термокапиллярного движения, пограничного слоя

Марангони, а также уравнения конвекции с коэффициентами переноса, зависящими от температуры.

Данная работа посвящена изучению уравнений подмоделей движения бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии. Эти подмодели возникают при изучении движений смесей в достаточно длинных цилиндрических слоях. По классификации группового анализа они являются инвариантными или частично-инвариантными решениями общих уравнений термодиффузии. Соответствующие системы уравнений хотя и содержат меньшее число зависимых и независимых переменных, однако начально-краевые задачи для них являются очень трудными для исследования.

Термодиффузией называют молекулярный перенос вещества, связанный с наличием в среде (жидком растворе или газовой смеси) градиента температуры. При термодиффузии концентрация компонентов в областях повышенной и пониженной температуры различна. Наличие градиента концентрации приводит к возникновению обыкновенной диффузии. Стационарное состояние устанавливается тогда, когда процессы диффузии и термодиффузии уравновешивают друг друга (то есть процесс перемешивания компонентов смеси компенсируется процессом их разделения). На практике часто встречается нормальная термодиффузия, при которой тяжелые компоненты стремятся перейти в более холодные области, а легкие компоненты — в более нагретые области. В некоторых случаях наблюдается аномальная термодиффузия, при которой направление движения компонентов меняется на противоположное. Термодиффузию в растворах также называют эффектом Соре.

Термодиффузия часто встречается в природе, а также имеет множество приложений в технике. В сочетании с тепловой конвекцией этот эффект используется для разделения изотопов в жидких и газовых смесях [43,44]. Термодиффузия используется для определения состава нефти и разделения ее компонентов [63], нанесения различных покрытий на изделия из металлов и играет важную роль в процессе выращивания кристаллов. Еще один пример практического применения рассматриваемого эффекта дает тепловой насос [14]. Термодиффузия также влияет на течения в морях и океанах, где массы соленой воды подвергаются различным режимам нагрева [60,62].

Основу модели термодиффузии бинарной смеси составляет система уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями тепло- и массоперено-са. Используется приближение Обербека-Буссинеска, предназначенное для описания конвективных течений в естественных земных условиях. Предполагается, что плотность смеси линейно зависит от температуры и концентрации легкого компонента: р = ро(1-/?10-Дгс).

Здесь ¿>о — плотность смеси при средних значениях температуры и концентрации, а через в и с обозначены малые отклонения от средних значений; коэффициент теплового расширения смеси, (3% — концентрационный коэффициент плотности (/% > 0, поскольку с — концентрация легкого компонента). Движение смеси описывается системой уравнений [22,54] иь + {и' Ч)и = -—Ур + 1УАи - е(/?1б> + /?2с),

Ро

0.1)

Сь + и • Ус = а?Дс + ас1А0, сИу и = 0, где и — вектор скорости, р — отклонение давления от гидростатического, и — коэффициент кинематической вязкости, х ~ коэффициент температуропроводности, в, — коэффициент диффузии, а — параметр термодиффузии, g — вектор ускорения свободного падения. Все характеристики среды предполагаются постоянными и соответствуют средним значениям температуры и концентрации. Параметр термодиффузии имеет вид а — —йв/Оо<1, где йо ~ коэффициент термодиффузии, во — средняя температура. Нормальной термодиффузии соответствуют значения а < 0, а для аномальной термодиффузии а > 0.

В частном случае (с = 0, а = 0) система (0.1) переходит в систему уравнений свободной конвекции однородной жидкости (модель Обербека-Буссинеска). Для данной модели известно достаточно много точных решений, значительная часть которых приведена в монографиях [22,23]; они являются стационарными, то есть не зависят от времени. Эти работы посвящены исследованию устойчивости различных типов конвективных течений, а также механического равновесия. Групповые свойства уравнений свободной конвекции в плоском случае изучались в [26], а для стационарных плоских течений — в более ранней работе [30] (см. также монографию [7]). В указанных работах построен ряд точных решений, часть из которых была найдена ранее другими методами.

Точные решения уравнений конвекции бинарной смеси рассматривались в работах [25,64], посвященных в основном изучению устойчивости соответствующих движений. Результаты исследования устойчивости механического равновесия бинарной смеси с учетом термодиффузии можно найти в [22]. Устойчивость термодиффузионного движения в вертикальном слое при наличии поперечной разности температур изучалась в [24], а при наличии еще и продольного градиента концентрации — в работе [37]. Отметим также работу [59], посвященную исследованию устойчивости горизонтального слоя при наличии вибрации и с учетом термодиффузии.

В указанных выше работах были найдены точные решения уравнений (0.1), описывающие стационарное основное течение. Методы группового анализа дифференциальных уравнений при этом не использовались. Однако, как показано в [45], все эти решения имеют групповую природу. Групповые свойства системы (0.1) в случае g = 0 рассмотрены в [2]; там же отмечена важность изучения нестационарных движений смесей. Исследование начально-краевых задач о движении смесей в цилиндрических слоях с поверхностями раздела или свободными границами является актуальной задачей.

Уравнения термодиффузионного движения (0.1) в отсутствие массовых сил в цилиндрической системе координат г, </?, г имеют вид

V V2 1 (Л 2 и \

Щ + ииг + - Чш + --=--Рг + *М Аи--хУф--о 1 г г р \ г1 гг)

V UV vt + uvr + - vv + wvz Ч—- = г г pr

0.2) v 1

Wt -f uwr 4— W(p -f wwz = —pz 4- z/Д-ш, r p и 1 ur H---(- - Vp + wz = 0, r r

Bt + u6r + -Btp + w0z = r V ct + ucr H— Си, + wcz = dAc + adAO, r где и, v, w — проекции вектора скорости на оси г, ip, z соответственно; р — давление; 9, с — отклонения температуры и концентрации от их равновесных значений 0q, со; Д = д2/дг2 + г~1д/дг + г~2д / dtp2 д2 / dz2 — оператор Лапласа.

Нам еще понадобятся компоненты тензора напряжений в цилиндрической системе координат:

Vrr = —р + 2fiUr, Vee — —р + 2д vv + i , = —р + 2/лк;2, Vrip = VVr = fi Uy, + vr - i , (0.3) = fi (vz + ^ ги^ , = Vzr = Ц ('wr + uz), где ¡л = pv — динамическая вязкость смеси.

Перейдем к постановке задачи о совместном движении двух смесей. Рассматривается движение двух несмешивающихся несжимаемых теплопроводных вязких смесей с общей границей раздела. Обозначим через Qj

7 = 1,2) области, занятые смесями, с поверхностью раздела Г, и^х, ¿), ^-(х, £) — соответственно вектор скорости и давление, вj(x,t) и сДх, ¿) — отклонения от средних значений температуры и концентрации. Тогда система уравнений термодиффузионного движения в отсутствии внешних сил = 0) имеет вид [8]:

Рис. 1: Схема области течения с/и.7 1

-I--Урн = ^7Ли7-, СНУШ = 0, аЬр4

0.4)

Сп . А 7 л + а^АО,, = ХзЩ, где рз — средняя плотность, г/^ — кинематическая вязкость, Хз ~ температуропроводность, ^ — коэффициент диффузии, щ — коэффициент термодиффузии (коэффициент Соре); <1/<И = д/дЬ + и., • V.

Предположим, что коэффициент поверхностного натяжения а на границе раздела зависит от температуры и концентрации а = а (в, с), причем для многих смесей он хорошо аппроксимируется линейной зависимостью , а(6, с) = а°- ая(0 - 90) - ве2(с - со), (0.5) где аех > 0 — температурный коэффициент, 8Э2 — концентрационный коэффициент (обычно ае2 < 0, поскольку поверхностное натяжение увеличивается с ростом концентрации). Сформулируем условия на поверхности раздела Г:

111 = и2, х € Г (0.6) равенство скоростей; и • п = х е Г, (0.7) кинематическое условие. Оно основано на предположении, что Г — движущаяся материальная поверхность. Здесь п — единичный вектор нормали к поверхности Г, направленный из в Г^, Уп — скорость перемещения поверхности в направлении нормали, и — значение вектора скоростей обеих жидкостей на Г, попарно совпадающих в силу (0.6);

Р2 - Р\)п = 2<т#п + Уг<7, х е Г, (0.8) динамическое условие, оно означает равенство всех сил, действующих на поверхность (сил давления, трения, поверхностного натяжения и термоконцентрационных сил). Здесь Р) = —р^Е + 2pjl/jD(uj) — тензоры напряжений, Б — тензор скоростей деформаций, Е —единичный тензор, Н — средняя кривизна поверхности Г, Уг = V — (п • У)п обозначает поверхностный градиент. Далее,

91 = 02, сх = Лс2, х е Г, (0.9) условие непрерывности температур и концентраций на границе раздела, Л — постоянная равновесия Генри. Условием равновесия между двумя жидкими средами является равенство температур и динамическое условие. Поэтому в состоянии равновесия между концентрациями распределяемого компонента в обеих фазах устанавливается некоторое соотношение, характеризуемое константой фазового равновесия Л. Для некоторых систем эта зависимость может быть вычислена, но в подавляющем большинстве случаев ее находят опытным путем.

Кроме того, на поверхности раздела

2§ ~к1ш = 0- х€ г- (оло) ю

Соотношение (0.10) представляет собой равенство потоков тепла на границе раздела. Постоянные kj — коэффициенты теплопроводности.

Еще одно условие — равенство потоков вещества через границу раздела: (дс2 дв2\ , (дсх двЛ ^ , Л оп оп J \дп оп J

Области и могут контактировать не только друг с другом, но и с твердыми стенками. Обозначим стенки через Ена них ставится условие прилипания uj = a.j(х, t), х G Еj, (0.12) где aj(x, í) — скорость движения стенки T,j. Кроме того, будем считать, что температура в точках Еj удовлетворяет одному из условий

9(9 = QÍT(x, ¿), 6j = í), X G Е,-, (0.13) с заданными функциями QJCT и 93ст. То есть на твердой стенке задан либо поток тепла, либо температура. Отсутствие потока вещества через твердые поверхности Е^: дсп двп „ = x£Si. (0.14)

Области í^i и 0,2 могут также контактировать с газовой фазой. Обозначим для определенности через Ti границу раздела смеси Í2i с газом, тогда поверхность Гх называется свободной границей. На Г^ должны быть выполнены динамическое условие

Pgas ~ р)п + 2evD(u)n = 2сгНп + Vrc, X G гь (0.15) и кинематическое условие (/(х, t) = 0 есть уравнение Ti) + и • V/ = 0, хеГь (0.16) в (0.16) pgas — давление в газе — является известной функцией. Условие теплообмена смеси с газом запишется так: 7(0 - « = Q, Х€ГЬ (0.17) где 7 — постоянный коэффициент межфазного теплообмена, вёа8 — температура газа, — заданный внешний поток тепла. Еще одно условие на Г\: хег" (018) есть отсутствие потока вещества через свободную поверхность. Тем самым не учитывается влияние поверхностно-активных веществ на Г].

Для полной постановки задачи к соотношениям (0.4)-(0.18) следует добавить начальные условия

11^(х, 0) = 11(у(х),

•(х,0 ) = 0<у(х), (0.19) сДх, 0) = %(х), х е Далее для двухслойных смесей будем полагать ] = 1, 2, а для однослойных ; = 1 и индекс "1" опускается.

Приведем здесь, в цилиндрической системе координат, условия на свободной границе (0.15)—(0.18). Пусть описывается уравнением /(г, (р, г, ¿) = г — /г((/?, г, £) = 0. Так как в этой системе координат (д I д д\ Л 1 , ,Л 1 то кинематическое условие (0.16) при г = примет вид

Ы + ^Н(р + 'шН2-и = 0. (0.21)

Условие теплообмена (0.17) перепишется так: к(вг~Ь ^ " Ь~1 + 7(0 ~ вда= а условие (0.18) —

0.22) сг - Ь^Ср - + а (вг - ^ ЬрОф - ) = 0. (0.23)

Далее, касательные к Гх векторы ех = (1 + к~2к^р)~1/2{к~1к(р^ 1,0), в2 = (1 + /г2)1/,2(Дг, 0,1) образуют с вектором п локальный базис на Гх. Он ортогональный, если к^ = 0 или к2 = 0. Проектируя динамическое условие (0.15) на этот базис, получим три соотношения

Рд> ав р + 2риБп • п = 2сгЯ, = j = 1,2. (0.15')

Тензор скоростей деформаций в цилиндрической системе координат представляется матрицей (см. формулы (0.3))

В = иг

1 Л

2 I ~ + иг--^ 1 1 г

1/1 1 4 2 ^ + ^ - ; и

1 1

- и* + - гА г г

- (и2 + гиГ) 1 гУу,)

1 /

- [иг + Юг)

Юг

Поскольку УГсг • ej = • е^ав + Ус • е^-<тс, из (0.15') находим У<р и к к к щ + 'Шг) Ш к ь

РV к

0г + 19*Гв+\~нч'~гнчр1ис ч> сг "Ь Сгп I (гг

1 - к\){и2 + тг) + 2кг(иг - ии2) — ^ + к^ к%

Рдаз ~Р + 2РУЬ' и 'ХХ/ \ ^ Уг ~ к + ~к) = р» + ^ ав + + '

Пг ~ ~к Уг ~ Ть + н) ~ +

М* Л , <\ , ^ /Ч , Л , и2ш к к Г кЛ к +кГ 2 аН.

0.24)

0.25)

0.26)

Средняя кривизна поверхности Гх с уравнением г = к(<р, г, ¿) определяется по формуле

Н = - [(к^ - к)( 1 + к\)к - 2кчз{к^ + к^кгк)+

0.27)

Цель диссертационной работы заключается в исследовании инвариантных и частично-инвариантных решений начально-краевых задач, описывающих однослойные и двухслойные термодиффузионные движения смесей в цилиндрических слоях, построение точных решений этих задач и вычисление их асимптотического поведения, а также численное решение поставленных задач.

Методы исследования. В данной работе для нахождения точных решений и вычисления асимптотик использовались метод преобразования Лапласа, метод Фурье для решения параболических уравнений, метод априорных оценок, а также методы общей теории дифференциальных уравнений. Для численного решения задачи применялись следующие методы: метод численного обращения преобразования Лапласа при помощи квадратурной формулы наивысшей степени точности, метод Галеркина, метод Рунге-Кутта.

Научная новизна. В диссертации впервые исследованы начально-краевые задачи, описывающие нестационарные однослойные и двухслойные течения бинарных смесей в цилиндрических областях. Для решений специального вида найдены точные решения и вычислено их асимптотическое поведение. Численное решеиие некоторых задач хорошо подтверждают качественные результаты.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: моделирование конвективных течений, качественный анализ дифференциальных уравнений. Проведенное исследование моделей термодиффузионного движения вносят вклад в качественную теорию дифференциальных уравнений данной подмодели, а также теорию описываемых этой моделью явлений — конвекции, диффузии и термодиффузии. Полученные результаты могут быть использованы при решении соответствующих задач как аналитическими, так и численными методами. Данная работа соответствует концепции программы ПОДМОДЕЛИ, направленной на максимальное извлечение возможностей, заложенных в свойствах симметрии дифференциальных уравнений механики сплошной среды.

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов диссертации подтверждается использованием классических математических моделей механики сплошных сред и математических методов их исследования, а также согласованием аналитических решений и данных численных расчетов.

Личное участие автора в получении представленных научных результатов. Все результаты, включенные в диссертацию, принадлежат лично автору. В совместных работах вклад соавторов равнозначен.

Перейдем к описанию структуры и содержания диссертационной работы.

В первой главе изучаются осесимметрические нестационарные течения бинарной смеси вблизи точек локального нагрева свободной цилиндрической границы в случае, когда поверхностное натяжение есть линейная функция температуры и концентрации.

В § 1.1 рассматривается осесимметрическое движение бинарной смеси, так что в уравнениях термодиффузионного движения азимутальная скорость V равна нулю, а остальные функции не зависят от угла <р. Пусть гг(г, л, ¿), и>(г, г, Ь) — проекции вектора скорости на оси цилиндрической системы координат г и z, р(г, г, ¿) — давление, 0(г, г, ¿) — отклонение температуры от равновесной, а с(г, г, ¿) — отклонение концентрации от равновесной. Тогда система уравнений примет вид (внешние силы отсутствуют)

0.28) и)ь + итг 4- тии2 -\—Рг = VДгс, Р

0.29) вь + ивг + швг = хД0> сг + исг + тсг = с1Ас + ас! А9, иГ 4- - и + = 0, г

0.30) (0.31) (0.32) где Д = д2/дг2 + г~1д/дг + д2/дг2 — оператор Лапласа, р, г/, х, с/, а — положительные постоянные: плотность, кинематическая вязкость, температуропроводность, коэффициенты диффузии и Соре соответственно.

Предположим, что свободная граница описывается уравнением г = /¿(г, ¿). Тогда условия на ней примут вид:

Ы + шНг~и = 0; (0.33)

1 - к1)(и2 + гиг) + 2Кг(иг - = —

РV п п к \ до /1 ч да

Мг + &г) + (Ь2СГ + Сг) —

0.34)

Рдаз -р + 2риЬ~2[иг - кг(иг + иог) + Н\шг] = 2агН; (0.35) кЬ~1(вг - кг0г) + 7(0 - вдов) = <2; (0.36) сг - Нгсг + а(вг - Мг) = 0, (0.37) где Ь — (1 + Ь2)1/2] сг(6, с) — коэффициент поверхностного натяжения смеси и для большинства реальных жидкостей он хорошо аппроксимируется линейной зависимостью а(в, с) = а0 - ае1(0 - 0°) - эе2(с - с0) (0.38) с некоторыми постоянными <7°, 0°, с0, аех, аэ2; и 05а5 — давление и температура окружающего газа, который считается пассивным. В (0.35) Н — средняя кривизна свободной границы: И2 — 1 л .

Н=2 + (°'39)

Полная система уравнений и граничных условий в силу нелинейности, неизвестной свободной границы довольна сложна даже для численного решения. Поэтому целесообразно принять некоторые упрощающие предположения.

В § 1.2 рассмотрена четырехпараметрическая подгруппа, порожденная операторами дг^дг + <9С. Нетрудно проверить, что она допускается системой уравнений термодиффузии (0.28)-(0.32). Ее инварианты суть

1,г,и,р, значит, частично-инвариантные решения относительно этой подгруппы имеют вид и = и{г,€), т = ги(г,;г,£), р = р(г,£), 0 = 0(г, г, ¿), с = с(г,г,$. (0.40)

В этом случае из уравнения сохранения массы (0.30) следует, что т есть линейная функция от х. Положим

Общий вид инвариантного многообразия относительно рассматриваемой подгруппы в пространстве {г, г, £} есть г = с произвольной функцией Пусть зависимость сг(9,с) имеет вид (0.38), тогда из граничного условия (0.34) получим, что ае^ — в°) — ээг (с — с0) есть квадратичная функция 2. Поэтому положим, что

0(г, 2;, ¿) = а(г, ф2 + 6(г, , с(г, г, г) = 1{г, г) г2 + д(г, ¿), (0.42)

Интерпретация решения (0.40)-(0.42) такова. Пусть при осесимметрич-ном нагревании достаточно длинного цилиндра бинарной смеси внешняя температура на его границе имеет максимум (а < 0) или минимум (а > 0) в точке z = 0. Тогда в окрестности точки внешнюю температуру можно аппроксимировать по параболическому закону, а движение внутри смеси описывается функциями (0.40)-(0.42).

Подстановка вида решения (0.40)-(0.42) в (0.28)-(0.37) приводит к нелинейной краевой задаче об отыскании функций только двух переменных г и t в области с неизвестной цилиндрической границей радиуса Н(Ь).

В § 1.3 при специальных данных найдено точное решение полученной начально-краевой задачи, которое имеет вид

0.41) т тг

0.43) --, и = — -г--- , т = сопэ^

1 + тЬ 2(1 + тЬ) сг°(1 + га£)1//2 рь>т

0.44) го 1 + шЬ

0.45)

Аналогично находятся и функции Ь(г, ¿), ¿(г, £), д(г, £); для них соответствующие уравнения будут неоднородными. Это решение использовалось в качестве "тестового"при численном решении общей задачи.

В § 1.4 с помощью специальной замены переменных общая задача преобразуется к начально-краевой задаче для системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в фиксированной области на отрезке [0,1] по пространственной переменной. Кроме того, эта задача оказалась разрешенной относительно производной по времени.

В § 1.5 приближенное решение искалось в виде ряда по смещенным полиномам Якоби .йд.0'1^ Это связано с тем, что исходная система (0.28)-(0.32) имеет особенность при г = 0. При этом, интересующее положение свободной границы определяется только нулевым членом разложения. В процессе решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений возникает необходимость вычисления определенных интегралов от произведений полиномов Якоби. В приложении приводится алгоритм расчета интегралов в общем виде для любого приближения по методу Галеркина.

В § 1.6 численно построены распределения поля скоростей, температуры и концентрации, а также описана эволюция свободной границы. Получены следующие результаты:

1. Если начальные значения температуры и концентрации равны нулю, то осевая скорость и радиус цилиндра монотонно убывают, а температура и концентрация тождественно равны нулю.

2. Пусть внешний поток тепла, начальные значения температуры и концентрации не равны нулю. Тогда температурное поле в точке воздействия имеет максимальное значение и, следовательно, поверхностное натяжение имеет минимум. Жидкость течет в сторону максимального поверхностного натяжения — оттекает от центра. Скорость движения замедляется, радиус жидкого цилиндра уменьшается, концентрация также уменьшается. А температура сначала возрастает, затем быстро стремится к нулю. Осевая скорость с течением времени меняет знак на границе, следовательно, жидкость меняет направление движения и начинает притекать к центру из-за увеличения поверхностного натяжения. Радиус жидкого цилиндра постепенно увеличивается, концентрация возрастает, температура по-прежнему стремится к нулю. Заметим, что минимальные значения радиуса и концентрации наблюдаются при переходе скорости через нуль.

Глава 2 посвящена исследованию осесимметрического нестационарного движения плоского слоя со свободными границами.

В § 2.1 решение задачи (0.28)-(0.32) ищется в виде (в отличие от (0.40)-(0.42)): u = rui(z,t), w — w(z,t), р = p(z,t), 9 = afz, t)r2 + b(z, t),

0.47) с = h(z, t)r2 + g(z, t).

Эти решения являются частично-инвариантными относительно четы-рехпараметрической подгруппы, порожденной операторами д/дг, td/dr + д/ди, д/дв, д/дс. Подстановка (0.47) в систему уравнений термодиффузии (0.28)-(0.32) и отделение переменной г приводит к нелинейной начально-краевой задаче об отыскании функций только двух переменных z и t в области с неизвестной границей, которой является толщина слоя l(t).

Если и, р, a, b, h, g являются четными, aw — нечетной функцией переменной г, тогда поверхность z = —l{t) можно принять за вторую свободную границу и следует добавить условия симметрии: uz = 0, w = 0, az = 0, bz = 0, hz = 0, gz = 0. (0.48)

В § 2.2 находится точное решение сформулированной выше задачи при специальных данных. Оно имеет вид, отличный от (0.43)-(0.46): k 2 к 1п

1 + kt ' 1 + kt ' w (1 + kt)2 '

P P,™ + (1 + kt)2 VW z) 1 + kt, /г = const > 0, Z(0) = Iq = const > 0.

1 00 t) = ^ J2 an cos (Л*^1 + exP ( - , (0.50) n=0

7ГП ЛГ (1 + kt)5 - 1

An = — , nGiV, r = ^--f-. o ok

Аналогично находятся и функции b(z,t), h(z,t), g(z,t); для них соответствующие уравнения будут неоднородными. Это решение будет использоваться в качестве "тестового"при численном решении общей задачи.

В § 2.3 выполняется преобразование к задаче в фиксированной области. Решение задачи определялось методом Галеркина. В качестве базисных функций были взяты полиномы Лежапдра, причем, как следует из условий симметрии, достаточно ограничиться четными полиномами Р2т(у); т — 0,1, Система нелинейных интегро-дифференциальных уравнений преобразуется к системе ОДУ первого порядка относительно Зп + 1 неизвестных функций. Было показано, что решение (0.49), (0.50) является точным решением системы галеркинских приближений для любого п.

Расчеты задачи Коши для системы уравнений проводились методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Были получены следующие результаты:

1. Если начальные значения температуры и концентрации равны нулю, то температура и концентрация равны нулю, а радиальная скорость и толщина слоя монотонно убывают. Здесь точно воспроизводится тестовое решение.

2. Пусть внешний поток тепла, начальные значения температуры и концентрации не равны нулю. Тогда толщина слоя, как и компонент скорости, уменьшается. При переходе через нуль радиальная скорость меняет знак — жидкость меняет направление движения, начинает притекать вдоль поверхности к центру. Это объясняется тем, что поверхностное натяжение уменьшается, и жидкость оттекает от центра, затем поверхностное натяжение увеличивается, и жидкость снова начинает притекать. Толщина слоя увеличивается, концентрация растет. Минимальные значения толщины слоя и концентрации наблюдаются при смене знака скорости.

В главе 3 рассматривается инвариантное относительно оператора —dz + pogx((3iA + (32В)др + Адт + Вдс решение уравнений движения бинарной смеси в модели Обербека-Буссинеска, которое имеет представление u = (и(х, у, t),v(x, у, t),w(x, у, £)), р= -{A(3i + ¡32B)gpQxz + q(x, у, ¿), Т — — Az -f 9(x,y,t), с = —Bz + c(x,y,t),

0.51)

Введем функцию тока ф(г,(р), связанную с и и d соотношениями и = г-1^, у — —фг- Тогда система система уравнений, описывающая движение смеси в горизонтальной цилиндрической трубе, запишется в виде - d^'f) = + + Сг) 8[п(р + I (д + с ) cosip] (о.52) г д(г,(р) г

Щ + — (ф<р1иг — i/v%>) = Aw — г eos v?; (0.53) АРг

Pr 6t + — (ф<рвг ~ Фг9<р) — w — АО; (0.54)

Sccf + — Se (фсрСг — фтСф) — Ei w = Ac — sA9, (0.55) где д(Аф, ф) = ^ (Аф = фгг + - фг + ^ фч д(г,ф) ~ V—Г/7-ТНР ч—г/^гп —-г -ГГТ . г г/- • г2 «т» где введены безразмерные параметры, такие как число Рейнольдса А = РгО2, число Грассгофа в, число Прандтля Рг, число Шмидта Бс, параметры термодиффузии £,£1, определяемые формулами

0,3)

Ставятся начальные и граничные условия: w = w0(r,(p), ф = 1ро(т, ф), 0 = во(г,ф), с = с0(г,р) при i = 0;

0.57) ф = 0, фг = 0, w = О, 9Г = 0, сг — £0Г = 0 при г = 1; (0.58)

- ф,р, фГ: w, 9, с ограничены при г = 0. (0.59)

Таким образом, решаем задачу (0.52)-(0.59) с неизвестными ф, w, 9, с, причем t > 0, 0 < г < 1, 0 < <р < 2тг.

В § 3.2 находится стационарное решение для ползущего движения А = 0 в случае теплоизолированной стенки.

1 , я „ (г5 - Зг3 + 4г) . g {г' -г) cost/?, в3 =--^g—--^ cos ip, (0.60) gl+g)(r5-3r3 + 4r) °S =---cos ip. (0.61)

Фв(г, <fi) = 2lS3m32^ 5 (1 + £ + £i)(2r8 - 15r6 + 24r4 - llr2). (0.62) r2(l+!?+fl) [Ю(2г4 - 9r2 + 24) + 3(5r4 - 20r2 + 9) cos2<p]. (0.63)

Если e = —ei, то получим решение В.В. Пухначева без учета концентрации. Если е = —1 — £i, то ф3(г, (р) = 0, и, следовательно, и — v — 0, qs = 0, a ws = ws(r,tp), 9S = 9s(r,ip), cs = cs(r,ip) определяются по формулам (0.60), (0.61).

Для полученного решения массовый расход смеси через поперечное сечение трубы является нулевым.

В § 3.4 находится нестационарное решение для ползущего движения при Л = 0:

Скорость определяется формулой w h (^гм^) где ¡i^ — корни функции J\ (/¿), а распределение "температуры"

00 I ( 1 Г / МП2*

Prexp - ^ к у

Рг ) , ч

7 (0.65)

• Ji(fJ*Pr) COS ф.

Решение при Рг = 1 находится из (0.65) предельным переходом при Рг —» 1.

Распределение "концентрации" и функция тока также определяются в виде рядов Фурье.

Доказано, что нестационарное решение выходит на стационарный режим при больших временах, например, ||k;s — w\\2 < С\ ехр[—2(ц^)Ч] в норме пространства ¿^((О,1) х (0,27г); г), где С\ = const > 0.

В § 3.5 находится решение стационарной задачи при достаточно малых значениях числа Рейнольдса в первом приближении. Это решение ищется в виде

Ф (г, <р) = Фо (г, ф) + Хф1 (г, ф), w (г, ф) = w0 {г, ф) + Лгу 1 (г, ф),

0.66)

9(г, ф) = во (г, ф) + \9\{г, ф), с(г, ф) = с0 (г, ф) + Лс1(г, ф), где ф0,1п°)С0 есть решение соответствующих задач при Л = 0 (например ■0°,u!o,co определяются формулами (0.60)-(0.62), а функции — последовательно как решение линейных задач. Они найдены в виде полиномов по переменной г и тригонометрических функций по ф, имеют громоздкий вид и здесь не приводятся.

Рассматриваемое в задаче (0.52)-(0.59) при Л = 0 течение имеет плоскости симметрии х = 0, у = 0. Область течения х2 + у2 < 1, z Е 1Z разбивается плоскостями х = 0, у = 0 на четыре части, каждая из которых заполнена вложенными друг в друга цилиндрическими поверхностями тока ф(х,у) = const, z Е 71. Траектории жидких частиц имеют спиральный характер. В верхней половине трубы смесь движется в отрицательном направлении оси z, а в нижней — в положительном.

Приводится численный расчет профилей скорости, распределения "температуры" и "концентрации" для различных значений суммы параметров е-\-£\. При отсутствии термодиффузии {£ + Е\ = 0) жидкость поднимается вверх около нагретой стенки и опускается вниз около холодной. В этом случае отсутствуют неоднородности "концентрации" (с = 0). Если е+б1 > 0, то происходит нормальная термодиффузия и легкий компонент диффундирует в сторону нагретой границы. При Е-\-Е\ = —1 функция тока обращается в ноль, наступает механическое равновесие. Дальнейшее уменьшение суммы параметров е + Е\ приводит к аномальной термодиффузии: легкие компоненты стремятся в сторону холодной границы, а тяжелые оказываются в областях с повышенной температурой.

Указанная четырехъячеистая структура, которой обладает решение стационарной задачи при Л = 0, сохраняется и в решении нелинейной стационарной задачи для той же системы при достаточно малых Л ф 0. Показано, что движение смеси в цилиндре не меняется. Происходит расширение области, в которой движутся жидкие частицы, на величину порядка Л, т. е. спираль, по которой перемещаются частицы, расширяется на эту величину. Что касается функций 9 и с, то их максимальные значения уменьшаются на величину порядка Л.

Глава 4 посвящена исследованию однонаправленного движения бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости с общей поверхностью раздела в цилиндрической трубе под действием градиента давления в смеси.

Система уравнений термодиффузионного движения в цилиндрической системе координат допускает двухпараметрическую подгруппу непрерывных преобразований, соответствующую операторам д/ду, д/дг + Ад/дв + Вд/дс - р/фд/др,

А, В — постоянные, /(£) € С°° — произвольная функция. Инвариантное решение следует искать в виде и = 0, у = 0, 1и = ии(г^) р=

0.67)

9 = Аг + Т(г, £), с = В г + К (г, £).

Решение (0.67) применяется для описания однонаправленного движения бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости в круглой цилиндрической трубе радиуса b под действием градиента давления /i(i) в смеси. Пусть смесь занимает область 0 < г < a, < оо, а вязкая жидкость — цилиндрический слой а < г <b, \z\ <00, так что Wj(r, t) — осевая скорость (j = 1, 2), pj = —pjfj(t)z + T>j(t) — давление, 0j = AjZ + Tj(r, t) — распределение температуры, c\ = B\z + K{r, t) — распределение концентрации в смеси.

Подстановка (0.67) в систему уравнений термодиффузии с учетом условий на поверхности раздела г = а, твердой стенке г = b и условий ограниченности на оси симметрии приводит к начально-краевой задаче wjt — fj(t) + Vj (vjjrr + ^ ; (0.68)

ТЛ = Xj (rjrr + \ Tjr^J - Awj;

0.69)

Кг = с?1 ^-г + ^ + + ^ Т^ - (0.70) и)1(а, Ь) = ъи2(а^), 71 (а, ¿) = Т2(а,£),

1 дТг(а^) и дТ2(а,г) дК(а,г) , 37! (а, ¿) (°-71)

Л1-£- = Л2-о-> -----о- = аг от ог ог

2(*) = рЛ(*), Дг(*) = АС*) +Р^рх/Ы (0.72) X

2^2г(а, ¿) - М1гУ1Г(а, ¿) = 0. (0.73) г02(М) = О, Г2(М) = 0. (0.74)

К(0,£)1 < оо, |Т1(0,4)| < оо, |К(0,£)| < сю. (0.75)

IV у (г, 0) = 0, 7)(г, 0) = 0, К (г, 0) = 0. (0.76)

Доказано, что задача (0.68)-(0.76) имеет стационарное решение только при В\ = 0 и оно представляется в виде (постоянные находятся из граничных условий) и>1 К

Ь2 — а2)// + а2 ( 1 — -Ца" о Л г2\ ™2 = "¡¿Г V ' м = го 1 16X1^1

21 а2 + /2(62 - а2) - Г <?2,

0.77) то = Ат*р/? , и2 ахЛг2/?

16x1^1

21 а2 + 11(Ъ2 -а2)-1- С3

Можно видеть, что при заданных /].(£), задачи для (гУ1, г^г),

ТЬТ2), (X) решаются последовательно.

В § 4.3 сначала рассматривается задача об определении поля скоростей в слоях. Справедлива

Лемма 1. Имеет место неравенство а Ь / а Ь \ ГИ)\ с1г + J тт\ (1г < Мо I У ги,1г + Р2 I гии^^) (0.78)

0 о V о а / с постоянной Мо, не зависящей от Wj и являющейся решением вариационной задачи

Мо = вир

VI ,г>2еУ гу\ <1г + / гг?! <1г

0а а Ь

1 / (¿Г + / ^Г

0.79)

Множество У является подпространством И^Чг; 0, а) х И/21(г; а, 6), причем выполнены граничные условия (0.71), (0.73—0.76) для г>2. На ее основе доказана

Теорема 1. Решение начально-краевой задачи для определения возмущения поля скоростей при выполнении условия оо м 0

1(т)|еЛт<*т = С7з,

0.80) стремится к нулевому решению, причем справедливы оценки f

5 < 2/x^z/x/a2,

0.81) w2(r,t)| < Vcle-W,

0.82) равномерные в интервалах [a, b], [0,а].

Здесь ¡11 — первый корень уравнения <7о(д) — 0, а не динамическая вязкость; iVi, С4 = const > 0.

Другими словами, если градиент давления в смеси достаточно быстро стремится к нулю, то происходит торможение смеси и жидкости за счет вязкого трения согласно неравенствам (0.81), (0.82).

В § 4.6 рассматривается эволюция температурных возмущений. Были получены априорные оценки и на основе их доказана

Теорема 2. Решение начально-краевой задачи для определения возмущений температур при условии (t).80j стремится к нулевому решению, причем справедливы оценки

N2, С5, С7 = const > 0.

В § 4.7 рассматривается эволюция возмущений концентрации. Справедлива

Лемма 2. Предположим, что функция g(r) непрерывна на отрезке

О, а], а > 0, дг £ L2(r; 0, а) и а / rp(r) dr — 0.

Тогда для д(г) справедливо неравенство Фридрихса 2

J rg2[r)dr J rgl(r)dr.

На ее основе доказана

Теорема 3. При В\ = 0 и выполнении условия (t).80j возмущение концентрации стремится к нулю при t оо. Если lim fi(t) = fi = const ^ t—» oo

0, то это возмущение стремится к стационарному распределению (0.77).

Для получения более подробной информации о поведении скоростей, температур и концентраций применяется преобразование Лапласа. После некоторых выкладок найдено точное решение для изображений в виде: w 1 w2 = C2IQ ( clIo[JLr)+iM

Vi ) P

-Г ) + C^Kq V2

P Л+ IM "2 J P

0.85) (0.86)

ACi p2 pxi(i/xi - IM) ol./^r

T2(r,p) = P2/0

AC2 r + D3K0 r

PX2(1/X2 - IM) n

P \ r i- PX2(1/X2 - IM)

Aftfr) p2

V2

0.87) r J yF{y,p) y)K0 T dy (0.88) с постоянной Ь\} определяемой а

Li = - h

У) +

0.89)

Iq

Доказано, что если lim fi(t) = /1 = const 0, то возмущения скоростей, температур и концентрации стремятся к стационарному распределению (0.77). Именно, поля скоростей в пределе будут такими же, как у течения Пуайзеля, а температура и концентрация являются полиномами четвертого порядка по радиальной координате.

Полученные формулы (0.85)-(0.89) в изображениях по Лапласу были использованы при численном нахождении полей скоростей, температур и концентрации для различных заданных перепадах давления в смеси. Численные расчеты подтверждают выход решения рассматриваемой задачи на стационарный режим (0.77).

В Приложении приводится алгоритм расчета интегралов от произведений смещенных полиномов Якоби в общем виде для любого приближения по методу Галеркина.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, семинарах и научных школах:

Конкурс-Конференция молодых ученых Института Вычислительного моделирования СО РАН (г.Красноярск, 2004г.),

XXXV Региональная молодежная школа-конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики"(г.Екатеринбург, 2004г.),

XXXVII Региональная молодежная школа-конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики "(г. Екатеринбург, 2006г.),

VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Красноярск,

2006 г.)

XXXVIII Региональная молодежная школа-конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики"(г.Екатеринбург, 2007г.),

Семинары Института Вычислительного моделирования СО РАН "Математическое моделирование в механике "под руководством профессора В. К. Андреева;

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [10-12], [48]- [52].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В.К. Андрееву за постановку задачи, помощь и ценные советы при работе над диссертацией.

Работа по теме диссертации выполнена при финансовой поддержке Красноярского краевого фонда науки, проект 12^003М (2005); Российского фонда фундаментальных исследований, проекты 05 — 01 — 00836 и НШ5873.2006.1 (2006), проект 02-01-00934 (2004), проект 08-01-00762 (2008); интеграционного проекта СО РАН 2.15 (2006), междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН 65 (2008).

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Собачкина, Наталья Леонидовна

Заключение

1. Аналитическими и численными методами изучены осесимметрические нестационарные течения бинарной смеси вблизи точек локального нагрева свободной цилиндрической границы в случае, когда поверхностное натяжение есть линейная функция температуры и концентрации.

2. Найдены значения интегралов от произведения смещенных полиномов Якоби.

3. Изучено осесимметрическое нестационарное движение плоского слоя со свободными границами. Найдено точное решение при специальных данных. Общая задача сведена к системе нелинейных интегродиффе-ренциальных уравнений, которая решена методом Галеркина.

4. Получены решения стационарной и нестационарной задачи о ползущем движении бинарной смеси в горизонтальной цилиндрической трубе. Показано, что нестационарное решение выходит на стационарный режим при больших временах. Найдены решения стационарной задачи при достаточно малых значениях числа Рейнольдса в первом приближении.

5. Изучено инвариантное решение задачи о совместном движении вязкой теплопроводной жидкости и бинарной смеси в цилиндрической трубе, которое происходит под действием нестационарного перепада давления. Вязкая жидкость (смазка) и смесь не смешиваются и имеют общую поверхность раздела. Задача сводится к сопряженной начально-краевой задаче для параболических уравнений. Получены априорные оценки возмущений скоростей, температур и концентрации. Найдено стационарное состояние системы и доказано, что если градиент давления смеси достаточно быстро со временем (по экспоненте) стремится к нулю, то возмущения всех величин также стремятся к нулю. Если градиент давления имеет ненулевой предел при Ь —> оо, то решение выходит на стационарный режим. Именно, поля скоростей в пределе будут такими же, как и у течения Пуазейля, а температура и концентрации являются полиномами четвертого порядка по радиальной координате. Кроме того, доказаны два новых интегральных неравенства типа неравенств Фридрихса. Полученные конечные формулы в изображениях по Лапласу использованы при численном нахождении полей скоростей, температур и концентрации для различных заданных перепадах давления в смеси.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Собачкина, Наталья Леонидовна, 2009 год

1. Андреев В. К. Термокапиллярное течение жидкого цилиндра // Деп. ВИНИТИ 4058-В-87. - Красноярск: ВЦ СО РАН, 1987. - С. 22.

2. Андреев В. К. Об инвариантных решениях уравнений термодиффузии // Труды III Межд. конф. "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - С. 13-17

3. Андреев В.К., Гапоненко Ю.А. Математическое моделирование конвективных течений. Учебное пособие. Красноярск: КрасГУ. -2006. - 392 с.

4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. - 432 с.

5. Андреев В. К., Пухначев В. В. Инвариантные решения уравнений термокапилярного движения// Численные методы механики сплош-ношной среды. 1983.Т.14, №5. С.3-23 С. 182-191.

6. Андреев В.К., Рыжков И.И. Групповая классификация и точные решения уравнений термодиффузии // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 4, № 4. С. 508-517.

7. Андреев В.К., Бублик В.В., Вытев В.О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука, 2003. - 352 с.

8. Андреев В.К., Захватаев В.Е., Рябицкий Е.А. Термокапиллярная неустойчивость. Новосибирск: Наука, 2000. - С. 280.

9. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994. - 319 с.

10. Андреев В.К., Собачкина H.JI. Нестационарное растяжение жидкого цилиндра под действием эффекта Соре. // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки,-Красноярск: КрасГУ, 2004. Вып.1 С. 192-199.

11. Андреев В.К., Собачкина H.JI. Движение бинарной смеси в горизонтальной цилиндрической трубе.// Вычислительные технологии. -Новосибирск. 2008. Т.13, № С.З 14.

12. Андреев В.К., Собачкина И.Л. Свойства решений начально-краевой задачи, возникающей при движении бинарной смеси в цилиндрической трубе. Препринт №1 - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2009. - 40с.

13. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984.

14. Бокштейн B.C. Термодиффузия // Соросовский образовательный журнал. 1999. - № 4. - С. 40-43.

15. Дою. Бетчелор Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.760 с.

16. Вейтмен В., Эрдейн А. Таблицы интегральнх преобразований. М.: Наука, 1969 - Т.1.

17. Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности. М.: Высшая школа, 1982,- Ч.1.-327 с.

18. Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности. М.: Высшая школа, 1982 - Ч.2.-304 с.

19. Бирих Р. В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // ПМТФ. 1966. №3. С. 63-74.

20. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972. - 720 с.

21. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2003. 398 с.

22. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. - 392 с.

23. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий A.A. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. - 320 с.

24. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Сорокин JI.E. Об устойчивости конвективного течения бинарной смеси с термодиффузией // ПММ. -1982. Т. 46. - Вып. 1. - С. 66-71.

25. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Сорокин JI.E. Об устойчивости плоскопараллельного конвективного течения бинарной смеси // ПММ. 1980. - Т. 44. - Вып. 5. - С. 823-830.

26. Гончарова О.Н. Групповая классификация уравнений свободной конвекции // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1987. - Вып. 79. - С. 22-35.

27. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегральных сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1965.

28. Жермен П. Курс механики сплошных сред.- М.: Высшая школа, 1983.- 399 с.

29. Зайцев В.Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

30. Катков В.Л. Точные решения некоторых задач конвекции // ПММ.- 1968. Т. 32. - Вып. 3. - С. 482-487.

31. Крылов В.И., Скобля H.G. Справочная книга по численному обращению преобразования Лапласа.- Минск: Наука и техника, 1968.

32. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа М.: Наука, 1974.-224 с.

33. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1973.- 736 с.

34. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа- М.: Наука, 1967736 с.

35. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. - 848 с.

36. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации.- М.: Мир, 1980.

37. Николаев Б.И., Тубин A.A. Об устойчивости конвективного течения бинарной смеси в плоской термодиффузионной колонне // ПММ. -1971. Т. 35. - Вып. 2. - С. 248-254.

38. Овсянников Л.В.Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978.

39. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

40. Пухначев В. В. Модель конвективного движения при пониженной гравитации // Моделирование в механике. 1992. - Т. 6 (23), № 4. -С. 47-56.

41. Пухначев В. В. Неустановившееся движение вязкой жидкости со свободной границей, описываемые частично-инвариантными решениями уравнений навье-Стокса// Динамика сплошной среды. Вып. 10. Институт гидродинамики СО АН СССР Новосибирск, 1972. С. 125-137.

42. Пухначев В. В. Теоретико-групповая природа решения Бириха и его обобщения // Сб. тр. международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. С. 180-183.

43. Рабинович Г.Д. Разделение изотопов и других смесей термодиффузией. М.: Атомиздат, 1981.- 144 с.

44. Рабинович Г.Д., Гуревич Р.Я., Боброва Г.И. Термодиффузионное разделение жидких смесей. Минск: Наука и техника, 1971.

45. Рыжков И. И. Инвариантные подмодели и точные решения уравнений термодиффузии // Дис. . канд. физ.-мат. наук. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. - 168 с.

46. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматлит, 1962. - 500 с.

47. Смородин Б.Л. Конвекция бинарной смеси в условиях термодиффузии и переменного градиента температуры // ПМТФ. 2002. - Т. 43, № 2. - С. 54-61.

48. Собачкина Н.Л. Нестационарное движение жидкого цилиндра при наличии эффекта Соре. // Труды Межд.конф. "Студент и научно-технический прогресс"- Новосибирск, 2003. С. 91-95.

49. Собачкина Н.Л. О нестационарном движении жидкого цилиндра //Труды XXXV Регион.конф. "Проблемы теоретической и прикладной математики" Екатеринбург: ИМиМ УрО РАН, 2004. -С. 176-180.

50. Собачкина Н.Л. Осесимметрическое движение вязкой жидкости с плоской свободной границей под действием термокапиллярных сил //Труды XXXVII Регион.конф. "Проблемы теоретической и прикладной математики" Екатеринбург: ИМиМ УрО РАН, 2006. -С. 247-252.

51. Собачкина Н.Л. О ползущем движении бинарной смеси в горизонтальной цилиндрической трубе //Труды XXXVIII Регион.конф. "Проблемы теоретической и прикладной математики" Екатеринбург: ИМиМ УрО РАН, 2007. - С. 328-332.

52. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1972.

53. Шапошников И. Г. К теории конвективных явлений в бинарной смеси // ПММ. 1953. - Т. 17. - Вып. 5. - С. 604-606.

54. Федорюк М.В. Метод перевала.- М.: Наука, 1977.-368 с.

55. Физические величины. Справочник / Под. ред. Григорьева И.С., Мейлихова Е.З. М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

56. Формалев В.Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2004.-400 с.

57. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. - 352 с.

58. Gershuni G.Z., Kolesnikov А.К., Legros J.С., Myznikova B.I. On the vibrational convective instability of a horizontal, binary-mixture layer with Soret effect // J. Fluid Mech. 1997. - V. 330. - P. 251-269.

59. Huppert H.E., Turner J.S. Double-diffusive convection //J. Fluid Mech. 1981. - V. 106. - P. 299-329.

60. Pukhnachov V. V. On a problem of viscous strip deformation with a free boundary// C.R. Acad. Scien. Paris, t.328, Serie 1, 1999-P. 357-362.

61. Tritton D.J. Physical Fluid Dynamics // Oxford University Press. 1988. - 519 p.

62. Wiegand S. Thermal diffusion in liquid mixtures and polymer solutions / / J. Phys.: Condens. Matter., 16 (2004). P. 357-379.

63. Yanase S., Kohno K. The Effect of a Salinity Gradient on the Instability of Natural Convection in a Vertical Fluid Layer // J. of the Phys. Soc. of Japan. 1985. - V. 54, № 10. - P. 3747-3756.