Краевые задачи для уравнений термоупругости с граничными условиями типа неравенств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Селютин, Алексей Алексеевич

• Селютин, Алексей Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Селютин, Алексей Алексеевич

Введение.

Глава 1. Задача о равновесии термоупругой пластины 13 с краевым условием типа Синьорини.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Существование решения.

1.3 Теорема единственности.

1.4 Краевые условия на Г^.

Глава 2. Третья краевая задача о равновесии термоупругой 36 пластины, содержащей вертикальную трещину.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Существование решения.

2.3 Теорема единственности.

2.4 Краевые условия на Г^. •

Глава 3. Задача о равновесии термовязкоупругого тела, 58 содержащего трещину.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Априорные оценки.

3.3 Теорема существования. 68 Заключение. 73 Литература.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для уравнений термоупругости с граничными условиями типа неравенств»

Прочность хрупких тел существенно зависит от имеющихся в реальном твердом теле остроконечных деффектов, таких, как трещины, отверстия, включения инородных материалов и т.п. В процессе деформирования в окрестности таких деффектов возникает значительная концентрация напряжений, что приводит к образованию новых или росту уже имеющихся трещин и, как следствие, к локальному или полному разрушению тела. Исследование проблем теории трещин вызвано требованиями науки и техники и находит большое применение на практике.

В данной диссертации изучаются краевые задачи, описывающие термоупругое деформирование твердого тела, содержащего трещины и взаимодействующего с жестким штампом. Наличие трещины предполагает постановку краевой задачи в области с негладкой границей, состоящей из двух поверхностей, одна из которых ограничивает тело, а другая описывает форму трещины. Поэтому задавать краевые условия необходимо не только на внешней, но и на внутренней границе, которая сответствует берегам трещины.

Классический подход к задачам о трещинах предполагает задание на ее берегах значений функции перемещений точек тела или напряжений (см. [4, 8, 17-20, 24-27, 31-33]). Эти краевые условия имеют следующий вид: f = 9i или щ = /,-, где crtj - компоненты тензора напряжений, щ - компоненты вектора перемещений, v -нормаль к поверхности, описывающей форму трещины, /,-, д,- - некоторые заданные функции.

Для исследования задач теории трещин разработано несколько математических методов. К классическим подходам можно отнести применение аппарата теории функций комплексной переменной, который используется в работах Н.И. Мусхели-швили, В.А. Кондратьева, Г.П. Черепанова, В.З. Партона и др. (см. [7, 19, 20,

28, 29, 31-33]). Исследования в этой области направлены на изучение концентрации напряжений в окрестности кончика трещины. Получен критерий начала распространения трещины. Методом комплексных потенциалов и разложением в ряды Лорана в работе [21] решена задача об упругом равновесии плоскости с круговым включением и двумя симметрично размещенными на продолжении диаметра трещинами. Теория потенциалов, изложенная в монографии Д.В. Купрадзе (см. [11]), также получила применение к задачам о равновесии упругих тел, содержащих трещины. Для широкого класса проблем теории упругости используются методы факторизации и интегральных уравнений, предложенные Хопфом и Винером (см. [27]).

Краевые задачи для эллиптических операторов в областях с коническими и угловыми точками, с ребрами и остриями исследовались С.А. Назаровым, В.Г. Мазья и Б.А. Пламеневским (см. [15]). В частности, изучены вопросы о гладкости решения в окрестности сингулярных точек и исследована асимптотика решений эллиптических уравнений вблизи вершины трещины.

В статье С.А. Назарова (см. [22]) решена линейная задача о деформации составной анизотропной плоскости с трещиной. Предлагаются два подхода к определению напряженно - деформированного состояния вблизи вершины трещины: силовой и энергетический. Найдены все возможные степенные решения и показана общая связь между обычными и сингулярными решениями. Для случая прямолинейного распространения трещины вычислена асимптотика приращения потенциальной энергии.

В последнее время получили развитие методы, приводящие задачи теории упругости к квазивариационным неравенствам (см. [1, 3, 14, 40]). Рассмотрена контактная задача линейного программирования для нескольких тел (см. [58]).

Определение напряженно - деформированного состояния в окрестности нерегулярных точек для нелинейных задач теории упругости является достаточно сложным вопросом. Дж. Райсом и Г.П. Черепановым был предложен метод приближенного анализа концентрации напряжений вблизи нерегулярных точек, основанный на введении некоторого криволинейного интеграла, не зависящего от пути итегрирования вокруг сингулярной точки (см. [28, 38, 39]).

В теории упругости часто используются вариационные принципы (см. [31, 33, 46, 50-53]). В частности, проблема о равновесии упругого тела может быть поставлена как задача минимизации функционала потенциальной энергии. Способы и формулировки задач в виде вариационных неравенств в каждом случае различны. В большинстве работ сведение к ним вызвано нелинейностью проблем. Нелинейность может быть связана с видом целевого функционала в задаче равновесия или нелинейными граничными условиями. Методы доказательства регулярности решений вариационных неравенств обусловлены конкретным видом ограничений.

Существование и гладкость решений краевых задач теории упругости с нелинейными граничными условиями исследованы A.M. Хлудневым (см. [30, 44-51]). В работах В.А. Ковтуненко (см. [49]) и Я.Соколовского (см. [50, 51]) решены неклассические проблемы для упругих и вязкоупругих тел и оболочек в областях с негладкими границами и ограничениями на решение. Основной особенностью этого класса задач является краевое условие типа неравенства, налагаемое на перемещения берегов трещины и обеспечивающее их взаимное непроникание друг в друга. В качестве эквивалентной формулировки задачи о равновесии предлагается постановка проблемы в виде вариационного неравенства. Получены результаты о регулярности решений вблизи вершины трещины. Исследованы проблемы оптимального управления вариационными неравенствами и вопросы выбора экстремальных форм разрезов в пластинах.

В.И. Козловым и И.А. Мотовиловцем изложены аналитические и численные методы решения задач термоупругости в статической и динамической постановке (см. [20]). Напряженно - деформированное состояние исследуемых тел вызывается как механическими факторами, так и тепловыми (внешний нагрев, внутренние источники тепла). Распространение плоских, сферических и цилиндрических возмущений исследовано с учетом взаимовлияния полей деформации и температуры. При рассмотрении нестационарных задач теплопроводности применяются явные и неявные разностные схемы.

Существование обобщенного решения линейной краевой задачи о равновесии N

- мерного термоупругого тела с гладкой границей исследовано в работе И. Зуазуа (см. [63]). Доказана теорема об однозначной разрешимости проблемы, получены оценки на функцию перемещений точек тела и температуру. Рассмотрены вопросы о регулярности и асимптотике решения.

В работе В.Г. Савченко и Ю.Н. Шевченко (см. [34]) на основе моделей, описывающих сложные неизотермические процессы нагружения упруговязкопластичного нелинейного материала, разработаны методы решения плоских и пространственных задач термовязкоупругости, развита теория тонких оболочек. Приведены различные способы линеаризации определяющих уравнений, идентичная форма которых позволяет построить единый алгоритм решения различных классов задач термовяз-копластичности. Решение задач получено на основе соответствующих вариационных уравнений для определения температурных полей и полей напряжений и деформаций методом конечных элементов.

Способы решения двумерных линейных задач термоупругости для однородных пластин с трещинами при произвольных силовых и температурных нагрузках изложены в работах М.Г. Кривцуна и Г.С. Кита (см. [9, 10]). С помощью гармонических потенциалов рассматриваемые граничные задачи сведены к интегро-дифференциальным уравнениям, для решения которых в общем случае используются численные и асимптотические методы. Изучены вопросы об интенсивности напряжений в окрестности трещины. В частности, решается задача термоупругости для свободной от внешних усилий полосы с продольной трещиной, когда на ее берегах, не контактирующих в процессе деформации, заданы температура и тепловые потоки, а на гранях полосы поддерживается некоторая температура. Трещина имитируется непрерывно распределенными источниками тепла, плотность которых определяется из сингулярного интегрального уравнения. Для случая, когда ширина полосы больше длины трещины, получено фундаментальное решение задачи термоупругости.

Нелинейная краевая задача о равновесии двух взаимодействующих термоупругих стержней с условием трения на границе рассматривалась в статьях [35-37, 59-61] А. Амасадом, К. Андрэусом, М. Софонея, П. Ши и М. Шиллором. Граничные условия контактной задачи имеют вид системы уравнений и неравенств. Проблема сформулирована в виде вариационного неравенства. Доказана разрешимость задачи в смысле обобщенных функций. Получены результаты о гладкости решения.

Задача о равновесии N - мерного термоупругого тела с краевыми условиями типа Синьорини была исследована в работах М. Шиллора и П. Ши (см. [42, 52-56, 62]). Проблема сформулирована в виде вариационного неравенства, причем решение на части границы удовлетворяет ограничению ип > д, где и - вектор перемещений точек тела, п - внутренняя нормаль к границе, ад- функция, которая задает форму жесткого штампа. Предложен способ доказательства разрешимости такого типа задач. В основу метода легла теория псевдомонотонных операторов.

A.M. Хлудневым и Д. Хембергом решена нелинейная задача о равновесии тер-мовязкоупругой электропроводимой пластины, содержащей вертикальную трещину (см. [43]). Полный набор краевых условий на внутренней границе, соответствующей трещине, имеет вид системы уравнений и неравенств. Доказано существование обобщенного решения в случае малых значений параметра S, пропорционального коэффициенту температурного расширения пластины. Рассмотрены вопросы о гладкости решения вблизи нерегулярных точек.

Для краевых задач, описывающих равновесие упругих пластин, содержащих трещины, A.M. Хлудневым было предложено граничное условие, которое имеет вид неравенства (см. [51]):

W] и> дш

I на Г, где и - нормаль к поверхности Г, описывающей форму трещины; 21 - толщина пластины, [и] = и+ — и~ - скачок функции и на берегах трещины, W, и - функции, задающие горизонтальные и вертикальные перемещения точек срединной поверхности пластины. Это условие интерпретируется как взаимное непроникание берегов трещины друг в друга для линейной модели упругой пластины. Наличие граничного условия типа неравенства приводит к использованию вариационного неравенства в качестве эквивалентной формулировки проблемы. Постановка краевой задачи с условием такого вида отражает суть явления более точно, поскольку исключает взаимное проникание берегов трещины.

В настоящей работе исследуются нелинейные краевые задачи для термоупругих пластин и тел с негладкими границами и граничными условиями типа неравенств.

В первой главе изучается проблема о равновесии термоупругой пластины, которая подчиняется закону Дюгамеля - Неймана. На части границы Г перемещения точек срединной поверхности пластины удовлетворяют краевому условию типа Синьорини: дш

Wn > дп где п - внутренняя нормаль к части незакрепленной границы Г1? 21 - толщина пластины, (I - область, занимаемая пластиной, Q = Q х (О, Г).

При нестационарном температурном поле мы имеем дело с задачей об одновременном изгибе и сжатии пластины, поскольку нестационарное температурное поле, даже при отсутствии внутри пластины источника тепла, вызывает плоское напряженное состояние. Если условие свободного расширения пластины и ее плоскости не будет выполнено, то одновременно возникают изгиб и сжатие (растяжение) пластины. В модели, выведенной В. Новацким (см. [23]), предполагается, что температурное поле аппроксимируется зависимостью

0(а;ь х2, х3, t) = 0o(zi, х2, t) + ®3 0i(®ij х2, t), тогда уравнение теплопроводности и условие равновесия разделяются на систему выражений, описывающих квазистатическое деформирование термоупругой пластины (см. [23, 30, 59]) - Д0 + S'^idWW - Да;) = /, (1)

- aijj + S2 0,t- = 0, i = 1, 2, (2)

Д2ш + 52Д© = 0. (3)

Здесь S - положительный параметр, характеризующий температурное расширение пластины. В уравнении (2) производится суммирование по повторяющимся индексам и (Tij = aij(W) определяются следующим образом: on = £п + ке22, 022 = £22 + кеп, <т12 = (1 — k)ei2, к = const € (0, 1/2).

Компоненты тензора деформации срединной поверхности пластины задаются формулой (дш{ ди>\ . . , ft

Задача (1)-(3) является связанной, поэтому возникает необходимость совместного решения уравнений описывающих распространение тепла и деформирования пластины. Определим оператор А, который действует по формуле

А(0,х),(©,х)} = / (^ + S2jt{divW-Au)\QdQ + J VOVOcт

Q Q т J (в (w,w)+b{ш,ш) + 82 (О, AuJ) - S2 (©,divW}) dt. о

Билинейные формы

Ь(ш,Ш) = J (wxxUJxx + ШууШуу + кшххпуу + кшууШхх + 2(1 - к)и>хуЫху) сШ, п

B{W,W) = (спЛЮ , £ij(W)) , характеризуют изгибные свойства и энергию деформирования пластины, через (•, •) обозначено скалярное произведение в пространстве Ь2(П). Проблема о равновесии термоупругой пластины с краевым условием типа Синьорини формулируется в виде вариационного неравенства

А(0,х),(0,х)-(0,х)} > //(0 - Q)dQ. (4) Q

Доказано, что оператор А является линейным, ограниченным и обладает свойством псевдомонотонности (см. [6]). Выведены оценки на решение, установлена дополнительная гладкость функции х = {W, ш) по переменной t. Существование единственного решения вариационного неравенства (4) получено в случае достаточно малых значений параметра 6 с помощью неклассических методов выпуклого анализа.

Граничное условие типа Синьорини не является единственным краевым условием. Из вариационного неравенства (4), в предположении о достаточной гладкости решения, вытекает система уравнений (1)-(3) и полный набор краевых условий на границе, взаимодействующей с жестким штампом ди>

Wn > дп

0 = 0, (*,!/,<) €Г{, n{W) < 0, as{W) = 0, {x,y,t) G rf, ол

М{и) = О, Я(си) - = 0, (x,y,t) G Г[, ffnWkn ди дп 0, (x,y,t) € Г[.

Здесь {cr,j = <Js s + an n, crn = сг^-п^ п,- - нормальные, а <т5 - касательные напряжения. M(u) и i?(u) - дифференциальные операторы второго и третьего порядков. В предположении о дополнительной гладкости решения доказана эквивалентность постановок задачи о равновесии в виде вариационного неравенства (4) и в виде системы уравнений (1)-(3) с полным набором граничных условий.

Во второй главе исследуется третья краевая задача о равновесии термоупругой пластины, содержащей вертикальную трещину. На внешней границе области Qc заданы условие жесткого защемления края пластины и температура 0. Предполагается, что на внутренней границе Гс, соответствующей берегам трещины, выполнены следующие краевые условия

W]u> дш ди д& ди

- Q0 = 0.

Л1(0,х),(в,5с)} = / (^ + 62jt(divW-Au)^J QdQc + J VQ4QdQc+

Проблема формулируется в виде вариационного неравенства с оператором А\ д& . г-у д

Qc " Qc Т J [a QQ]dS + J [В (W,W) +Ъ {и, ш) + б2 (0, Дат) - д2 (в, divF)) dt.

Гт О

В области Qc получены оценки на функции 0, W и ш. Установлена дополнительная регулярность по переменной t функций W и to. Доказана теорема об однозначной разрешимости проблемы (5).

5)

T„(W) - 0) [W] и + (M(w) + 0) 0, {x,y,t) 6 if.

В предположении о достаточной гладкости решения, на внутренней границе найдены естественные краевые условия

MW) - 0] = 0, as{W) = 0, (x,y,t) G if,

М(ы) + 0] = 0, R(w) + Q0 = 0, (x,y,t) Е if,

МН + 0| < 0 - au(W), (х,т/,*) € if, ди>

Установлена эквивалентность формулировки задачи в виде вариационного неравенства (5) и постановки проблемы в виде системы уравнений (1)-(3) с полным набором краевых условий.

Третья глава посвящена изучению задачи о равновесии трехмерного термовяз-коупругого тела, содержащего трещину. Неизвестными функциями краевой задачи являются температура в, перемещения точек тела и и компоненты тензора напряжений aij. Предполагается, что рассматриваемое тело занимает ограниченную область Л, форму трещины описывает достаточно гладкая поверхность £с. Задача равновесия рассматривается в области Qc = flc х (0, Т), где fic = Q\£c. Основной особенностью проблемы является граничное условие типа неравенства (см. [49, 51]) и] и > 0 на Sc, где функция u(xi,x2,x3,t) = (щ, U2, из) задает малые перемещения точек тела, и -нормаль к поверхности £с. Для описания квазистатического деформирования термо-вязкоупругого тела Д. Хембергом, A.M. Хлудневым и Я. Соколовским была предложена модельная система уравнений (см. [43]): aij,j = fii г = 1,2,3, (6) t e„(u) = оы + 82 p{j0 + J Ъ(т) stJ(r)dr, i,j = 1,2,3, (7) о гч

9t-Ав + 82 — di vu = g. (8)

Здесь S - положительный параметр, характеризующий температурное расширение тела. В (6) суммирование производится по повторяющимся индексам. В уравнении (7) постоянными величинами являются коэффициенты еда характеризуют упругие свойства материала и удовлетворяют условиям симметричности и положительной определенности. Функция b является элементом пространства С1 [О, Г]. Через {s,j} обозначен девиатор тензора напряжений {<т,•,•}. На внутренней границе выполнены следующие краевые условия дв =0, <7„ <0, crs = 0, [<т„] =0, *„■[«] •!/ = (), (x,y,z,t) е Sc х (0,Г), где {aij = cra + crv = crijUj Ui - нормальные напряжения, crs - касательная составляющая. На внешней границе заданы температура и перемещение

0 = 0, и = 0, (x,y,z,t) G Г х (0, Т).

Кроме того, выполнено начальное условие на температуру

0(0, х,у, z) = в0(х,у,г), {x,y,z) € Пс

Задача о равновесии формулируется в виде вариационного неравенства. Доказательство существования решения проводится в несколько этапов. На первом шаге предполагается, что в - заданная функция. Компоненты тензора напряжений <r,j и и - элемент множества допустимых перемещений являются неизвестными. Исследуется регуляризованная задача, сформулированная в виде системы вариационных неравенств a J Vuf V(ut- - щ) + J (Tb{j ey (й - и) > J fb(u- u), W € K,

Пс fic ft^ Uki - + ? Pi At) + / 4) = 0. € L2(Q). fic \ О /

Для регуляризованной проблемы получены оценки и доказана теорема о существовании обобщенного решения. Предельный переход влечет равномерные по параметру регуляризации а оценки на решение. При помощи разностных отношений установлена дополнительная гладкость функций (uj, и2, из) и aij по переменной t. На втором шаге доказано существование решения задачи и выведены оценки на в в предположении о том, что (ui, if 2, U3) и cr,j являются заданными функциями.

На третьем шаге изучается проблема о равновесии термовязкоупругого тела. Неизвестными функциями этой задачи являются в, (щ, и2, щ) и <r,j. Для доказательды выпуклого анализа. В частности, установлено, что оператор L, действующий по формуле обладает свойством псевдомонотонности. Положим Si = {9 G Е | 0(0) = во } и 52 = {и £ Н | и € V}, где V - множество допустимых перемещений. Существование решения системы вариационных неравенств доказано для малых значений S. Следует отметить, что в предположении о достаточной гладкости решения задачи о равновесии термовязкоупругого тела, содержащего трещину, формулировки проблемы в виде уравнений (6)-(8) с полным набором начальных и краевых условий и в виде системы вариационных неравенств (10)-(12) являются эквивалентными. ства разрешимости вариационного неравенства использованы неклассические мето

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Селютин, Алексей Алексеевич

Заключение.

Наличие краевых условий типа неравенств на внутренней или части внешней границы приводит к постановке проблемы в виде вариационного неравенства. При определенной гладкости решения эта постановка эквивалентна краевой задаче, где полный набор граничных условий имеет вид системы уравнений и неравенств, в частности, условие непроникания является одним из них. Исследуя соответствующие вариационные неравенства можно получить свойства решения задачи о равновесии. В данной работе получены результаты о существовании и регулярности решений для нелинейных задач термоупругости.

В главе 1 исследуется задача о равновесии термоупругой пластины с краевым условием типа Синьорини. Проблема сформулирована в виде вариационного неравенства. Оператор А вариационного неравенства обладает свойством псевдомонотонности, но не является коэрцитивным. Поэтому применяются неклассические методы выпуклого анализа. При доказательстве существования решения выведены оценки как на температуру в, так и на полный вектор перемещений точек срединной поверхности пластины х- Ограничения на решение влекут неравенство для параметра 5, пропорционального коэффициенту температурного расширения. Следует отметить, что это условие не означает малости решения. Норма функции 0 зависит от геометрии области О, а также от норм функций / в пространстве L2(QC) и в0 в H1,0(QC). При помощи подстановки в вариационное неравенство пробных функций специального вида получен полный набор краевых условий. Установлено, что формулировка проблемы в виде вариационного неравенства и постановка задачи в виде системы уравнений с полным набором краевых условий, в предположении о достаточной гладкости решения являются эквивалентными. Теорема о единственности решения проблемы равновесия термоупругой пластины установлена для любых значений параметра 8.

В главе 2 изучается третья краевая задача о равновесии термоупругой пластины, содержащей вертикальную трещину. Проблема сформулирована в виде вариационного неравенства. Наличие трещины приводит к тому, что область определения имеет негладкую границу. При помощи аппарата теории псевдомонотонных операторов установлено существование обобщенного решения задачи в случае малых значений коэффициента температурного расширения. Найдены естественные краевые условия на берегах трещины. Оценки на решение получены как для положительного так и для отрицательного коэффициента третьего краевого условия. Вывод ограничений на решение краевой задачи основан на свойствах дифференциальных неравенств и на оценках, которые следуют из теорем вложения. Доказана дополнительная гладкость по переменной t функции перемещений точек срединной поверхности пластины х-Теорема о единственности решения установлена при помощи априорных оценок (в случае отрицательных значений параметра а использован пошаговый метод). Отметим, что исходную задачу можно формулировать двояко. С одной стороны ее можно ставить в виде вариационного неравенства, тогда все краевые условия являются формальным следствием такой формулировки в предположении о достаточной гладкости решения. С другой стороны, задачу можно сформулировать в виде системы модельных уравнений и полного набора краевых условий как на внешней, так и на внутренней границе. Доказано, что эти постановки являются эквивалентными в предположении о достаточной гладкости решения.

В главе 3 изучается задача о равновесии термовязкоупругого тела, содержащего трещину. В трехмерной области модель описывается квазистатическими уравнениями термоупругости. На внутренней границе, соответствующей берегам трещины, на перемещения точек тела наложено ограничение типа неравенства. Доказательство существования решения проводится в несколько этапов.

На первом этапе предполагается, что температура в Е L2(0,T; Я1,0(Г2С)) является фиксированной функцией и удовлетворяет начальному условию 9 — 0Q при t — О, а также 0* 6 L2(fic). Исследуется регуляризованная задача с неизвестными функциями (ui, U2, из) и сг,j. Проблема формулируется в виде вариационного неравенства с монотонным, коэрцитивным оператором. Установлено существование единственного решения и получены оценки для функций и и ст. При помощи разностных отношений доказано, что решение (tti, и2, из), dij обладает дополнительной гладкостью по переменной t. Предельный переход по параметру регуляризации влечет равномерные оценки на функции (itx, и2, и3), crij и разрешимость исходной задачи в пространстве ЯЧО^Я1-0^)) х L2(£lc).

На втором этапе доказано существование решения в G £2(0,Т; H1,0(QC)) проблемы о равновесии. В предположении о том, что заданными функциями являются и € Ях(0, Т; Я1,0(Ос)) и а € £2(ПС), выведены оценки на в.

На третьем этапе рассматрена задача о равновесии термовязкоупругого тела, содержащего трещину, сформулированная в виде вариационного неравенства. Неизвестными функциями этой проблемы являются 9, (и1} и2, и3) и . Получено свойство псевдомонотонности оператора вариационного неравенства. С помощью неклассических методов выпуклого анализа установлена однозначная разрешимость проблемы в случае малых значений параметра 5.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Селютин, Алексей Алексеевич, 2002 год

1. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Наука, 1988.

2. Бураго Ю., Мазья В.Г. Некоторые вопросы теории потенциала и теории функций для областей с нерегулярными границами. JL: Наука, 1967.

3. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.

4. Галин JI.A., Черепанов Г.П., Морозов Е.М., Партон В.З. Об условии в конце трещины. ДАН СССР, 1972, т.187, №4, с.754-757.

5. Главачек И., Гаслингер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. М.: Мир, 1979.

6. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.

7. Иваньшин Н.А., Широкова Е.А. Решение задачи теории упругости для плоскости с двоякосимметричным вырезом, имеющим два нулевых угла. ПММ, 1995, т.59, вып.З, с.524-537.

8. Карпов Г.Н., Курносое Н.В., Партон В.З. О применении метода потенциала к двумерным задачам упругого равновесия области с нерегулярной границей. Проблемы прочности, 1982, №7, с.3-21.

9. Кит Г.С., Кривцун М.Г. Плоские задачи термоупругости для тел с трещинами. Киев : Наукова думка, 1983.

10. Кит Г.С., Лысый И.П. Симметричная задача термоупругости для полосы с продольной трещиной // Математические методы в термомеханике. Киев. 1983, с.28-36.

11. Купрадзе В.Д. Метод потенциала в теории упругости. М.: Физматиз, 1963.

12. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

13. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

14. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Наука, 1972.

15. Мазья В.Г., Назаров С.А. Ассимптотика интегралов энергии при малых возмущениях границы вблизи угловых и конических точек // Труды Моск. матем. о-ва. Т.50. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987, с. 79-129.

16. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

17. Морозов Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука, 1980.

18. Морозов Е.М., Сапунов В.Т. Применение вариационного принципа к решению задач теории трещин в упруговязких средах. Прикладная математика, 1972, т.8, №6.

19. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

20. Мотовиловец И.А., Козлов В.И. Термоупругость. Киев : Наукова думка, 1987.

21. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.

22. Назаров С.А. Трещина на стыке анизотропных тел. Сингулярности напряжений и инвариантные интегралы // ПММ, 1987. Т.62, вып. 3, с. 489-502.

23. Новацкий В. Вопросы термоупругости. М.: Наука, 1962, с. 313-320.

24. Панагитопулос П. Неравенства в механике и их приложения. М.: Наука, 1976.

25. Панасюк В.В., Стадник М.М. Пространственные задачи теории трещин // Физико-химическая механика материалов, 1979, Т.4, с.39-55.

26. Партон В.З., Борисковский В.Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение, 1988.

27. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1981.

28. Райе Дж. Математические методы в механике разрушения. М.: Мир, 1985.

29. Сильвестров В.В. Краевые задачи теории упругости для плоскости со счетным числом разрезов // Известия ВУЗов. Математика. 1992, №4, с.61-69.

30. Хлуднев A.M. Задача о равновесии термоупругой пластины, содержащей трещину // Сиб. Мат. журнал. 1996. Т.37, №2, с. 452-463.

31. Черепанов Г.П. Механика разрушения композитных материалов. М.: Наука, 1983.

32. Черепанов Г.П. О распространении трещин в среде // ПММ. 1967, Т.31, №3, с.476-488.

33. Черепанов Г.П., Ершов Л.П. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977.

34. Шевченко Ю.Н., Савченко В.Г. Термовязкопластичность. Киев : Наукова думка, 1987.

35. Amassad A., Shillor М., Sofonea М. A quasistatistic contact problem with slip-dependent coefficient of friction // Math. Methods in the Applied Sciences. 1999, vol.22, p.267-284.

36. Andrews K., Shi P., Shillor M., Wright S. A parabolic system modeling the thermoelastic contact of two rods // Quarterly of Applied Mathematics. 1995, vol.53, no. 1, p.137-153.

37. Andrews К., Shillor M., Wright S. On the dynamic vibration of an elastic beam in frictional contact with a rigid obstacle // Journal of Elasticity 1996, vol.42, p. 1-30.

38. Bui H.D. An integral equation method for solving problem of a plane crack of arbitrarily shape // J. of mechanics and physics of solids. 1977. N25, p.29-42.

39. Cafarelli L., Kinderlehrer D. Potential methods in variational inequalitis // L. Math. Anal. 1980. vol.37, p.285-295.

40. Cotterell В., Rise J. Slightly curved or kinked cracs // Int. J. Fracture. 1980. N16, p.155-169.

41. Fremond M., Kuttler K.L., Nedjar В., Shillor M. One-dimentional models of damage // Journal of Mathematical Sciences and Applications. Tokyo, 1998, vol.8, no.2, p.541-570.

42. Fremond M., Kuttler K.L., Shillor M. Exsistence and uniqueness of solutions for a dynamic one-dimentional damage model // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1999, vol.229, p.271-294.

43. Hoemberg D., Khludnev A.M., Sokolowski J. On an equlibrium problem for a cracked body with electrothermoconductivity // Les prepublicatiouns de l'Institut Elie Cartan. 1999, no.23, p.1-16.

44. Khludnev A.M. Existence of extreme unilateral cracks in plate // Control and Cybernetics. 1994, vol.23, no.3, p.453-460.

45. Khludnev A.M. On contact problem for a plate having a crack // Control and Cybernetics. 1995, vol.24, no.3, p.349-361.

46. Khludnev A.M. Contact problem for a plate having a crack of minimal opening // Control and Cybernetics. 1996, vol.25, no.3, p.254-269.

47. Khludnev A.M. The contact between two plates, one of which contains a crack // J. Appl. Math. Mech. 1997, vol.61, no.5, p.851-862.

48. Khludnev A.M. On a Signorini problem for inclusions in shells // Europ. J. Appl. Math. 1996, vol.7, p.499-510.

49. Khludnev A.M., Kovtunenko V.A. Analysis of Cracks in Solids. WIT Press, Southampton-Boston, 2000.

50. Khludnev A.M., Sokolowski J. On solution existence for elastoplastic plates with cracks // Les prepublicatiouns de l'Institut Elie Cartan. 1997, no.47, p.1-12.

51. Khludnev A.M., Sokolowski J. Modelling and Control in Solid Mechanics. Birhauser. Basel, Boston, Berlin, 1997.

52. Klarbring A., Mikelic A., Shillor M. On friction problems with normal compliance // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. 1989, Vol.13, No.18, p.935-955.

53. Klarbring A., Mikelic A., Shillor M. Duality applied to contact problems with friction // Applied Mathematics and Optimization. 1990, No.22, p.211-226.

54. Kuttler K.L., Renard Y., Shillor M. Models and simulations of dynamic frictional contact of a beam // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1999, vol.177, p.259-272.

55. Kuttler K.L., Shillor M. A dynamic contact problem in one-dimensional thermoviscoelasticity // Nonlin. World. 1995, vol.2, p.355-385.

56. Kuttler K.L., Shillor M. Set-valued pseudomonotone maps and degenerate evolution inclusions // Communications in Contemporary Math. 1999, vol.1, No.l, p.87-123.

57. Popova T.S. The equilibrium problem for a linear viscoelastic body with a crack // Математические заметки ЯГУ. 1998, т.5, вып.2, с.118-134.

58. Rochdi M., Shillor M., Sofonea M. A quasistatistic viscoelastic contact with normal compliance and friction // Journal of Elasticity. 1998, vol.51, p.105-126.

59. Shi P., Shillor M. Existence of a solution to the N-dimensional problem of thermoelastic contact // Communs. Partial Differential Equations. 1992, vol.17, no.9-10, p.1597-1618.

60. Shi P., Shillor M. A quasistatistic contact problem in thermoelasticity whith a radiation condition for the temperature // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1993, vol.172, no.l, p.147-165.

61. Shillor M., Sofonea M. A quasistatistic contact problem for an elastoplastic road // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1998, vol.217, p.579-596.

62. Shillor M., Sofonea M., Tonzani R. Quasistatic frictional contact and wear of a beam // Journal of Impulsive Systems. 1997, vol.26, p.1-18.

63. Zuazua E. Controllability of the linear system of thermoelasticity // J. Math, Pures Appl. 1995, vol.74, p.291-315.

64. Селютин А.А. Задача о равновесии термоупругой пластины с краевым условием типа Синьорини // Материалы XXXV МНСК. Новосибирск, Изд-во НГУ. 1997, часть 1, с. 108.

65. Селютин А.А. Задача о равновесии термоупругой пластины, содержащей трещину // Сибирская школа-семинар "Математические проблемы механики сплошных сред". Тезисы докладов. Новосибирск, 1997, с.123.

66. Селютин А.А. Третья краевая задача о равновесии термоупругой пластины, содержащей вертикальную трещину // Материалы XXXVI МНСК. Новосибирск, Изд-во НГУ. 1998, часть 1, с.101.

67. Селютин А.А. Задача о равновесии термоупругой пластины с условиями типа неравенств на границе // Вторая сибирская школа-семинар "Математические проблемы механики сплошных сред". Тезисы докладов. Новосибирск, 1998, с.97.

68. Селютин А. А. Задача о равновесии термовязкоупругого тела с ограничениями на решение // Третья сибирская школа-семинар "Математические проблемы механики сплошных сред". Тезисы докладов. Новосибирск, 1999, с.105.

69. Селютин А.А. Задача о равновесии термоупругой пластины с краевым условием типа Синьорини // Динамика сплошной среды: Сборник научных трудов. СО РАН Ин-т Гидродинамики. 1999, Вып. 114, с.200-204.

70. Селютин А.А. Третья краевая задача о равновесии термоупругой пластины, содержащей трещину // Сиб. жури, индустриальной математики. 2000, том III, № 2(6), с.180-198.

71. Селютин А.А. Равновесие термовязкоупругого тела, содержащего трещину // Вестник НГУ. 2001, том I, выпуск 1, с.88-102.

72. РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННА^1. БИБЛИОТЕКА- -ОСЬ