Задачи об установившихся колебаниях полуцилиндра с некоторыми упругими структурами и связанные с ними самосопряженные квадратичные пучки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Аргета Гарсия Марио Отон

• Аргета Гарсия Марио Отон
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Аргета Гарсия Марио Отон

Введение

Глава I. Установившиеся колебания полуцилиндра с кубической упругой структурой и соответствующие самосопряженные квадратичные пучки

§1. Спектральные задачи £а(сс) и («) в случае кубической структуры .И

1. Постановка задачи

§2. Сведение задач Lm(а) и Д,(а) к пучкам La(a) и

1. Сведение задачи £а(а) к пучку La(a)

2. Сведение задачи £ш(а) к пучку

§ 3. Некоторые свойства пучков Lm(a) и

1. Статический случай для задач £а (а) и £?а (а)

2. Основная теорема для пучков La(a) и

§4. Полнота корневых векторов пучка L(co,а)

1. Квадратичный пучок Ь(а)

2. Теорема о двукратной полноте корневых векторов пучка L(a)

3. Теорема о полноте корневых векторов для задач £0) (а) и (а)

§5. Некоторые предложения к задачам £а(сс) и Д{сс)

1. Нахождение корневых векторов задачи ZJ, (а) в точке а =

2. Теоремы движения вещественных собственных значений.

3. Спектральные задачи £а(а) и Д(се) в полуполосе

Глава II. Установившиеся колебания полуцилиндра с ромбической упругой структурой и соответствующие самосопряженные квадратичные пучки.

§6. Спектральные задачи £а (а) и Д (а) в случае ромбической структуры

1. Постановка задачи

§7. Сведение задач £т(а) и к пучкам L^a) и j£(a)

1. Сведение задачи £а (а) к пучку La (а)

2. Сведение задачи Д, (а) к пучку (а)

§8. Некоторые свойства пучков Lm(a) и

1. Статический случай для задач £а(а) и Д,(а)

2. Основная теорема для пучков Lm (а) и Z,°(a)

3. Теорема о полноте корневых векторов для задач £0 {а) и (а)

§9. Некоторые предложения к задачам £ш(а) и Z^(ctr)

1. Нахождение корневых векторов задачи в точке а =

2. Теоремы движения вещественных собственных значений.

3. Спектральные задачи £а(а) и в полуполосе

Глава III. Установившиеся колебания полуцилиндра с триклинной упругой структурой и соответствующие самосопряженные квадратичные пучки.

§10. Спектральные задачи £а(а) и в случае триклинной структуры

1. Постановка задачи.

§11. Некоторые свойства пучков La(a) и 1?а(а)

1. Статический случай для задач £а (а) и (а)

§12. Сведение задач £0(а) и (а) к пучкам La(a) и

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи об установившихся колебаниях полуцилиндра с некоторыми упругими структурами и связанные с ними самосопряженные квадратичные пучки»

В работе изучаются спектральные свойства квадратичных операторных пучков, возникающих при разделении переменных в задаче о колебаниях полуцилиндра с разными упругими структурами. Постановка математической задачи основана на упругих свойствах кристаллов и их симметрии при малых деформациях структурной решетки кристалла.

Рассматривая какое-нибудь деформированное тело, мы имеем, что если деформация тела очень мала, то по прекращении действия вызвавших деформацию внешних сил, тело возвращается в исходное недеформированное состояние. Такие деформации называют упругими. При больших деформациях прекращение действия внешних сил не приводит к полному исчезновению деформации. Такие деформации называют пластическими (см. [3]).

Бесконечное малое изменение dE внутренней энергии, равно следующей сумме: dE = TdS + crlkdelk где + охк ох( где Г-температура, S — энтропия, <т1к - тензор напряжения и е1к -тензор деформации. Вводя в место энергии Е свободную энергию W тела

W = Е-TS, получим следующее соотношение dW = -SdT + arlkdelk.

Компоненты тензора напряжений можно получить, дифференцируя W по компонентам тензора деформации соответственно при постоянной энтропии S или температуре Т:

7,к = д де, ik J j

1)

При рассмотрении упругих свойств кристаллов мы имеем дело со связью между тензорами напряжения и деформации. Так как они оба являются симметрическими тензорами второго ранга, т. е. имеют по шесть компонент, то наиболее общий вид линейной связи между напряжениями и деформацией будет зависеть от 6x6 = 36 коэффициентов (см. [34]).

Изменение свободной энергии W при изометрическом сжатии кристалла является, как и у изотропных тел, квадратичной функцией тензора деформации. В противоположность тому что имеет место для изотропных тел, эта функция содержит теперь не два, а больше число независимых коэффициентов. Общий вид свободной энергии деформированного кристалла есть: = "2 Ciklmeikeim ' (2) где clklm есть некоторый тензор 4-го ранга (см. [33]), называемый тензорам модулей упругости. Поскольку тензор деформации симметричен, то произведение е^е1т не меняется при перестановке индексов i с к, I с т или пары /, к с парой /, т. Очевидно поэтому, что и тензор clklm может быть определен так, чтобы он обладал такими же свойствами симметрии по отношению к перестановке индексов:

Ciklm ~ Ckilm ~ Cikml ~ Clmik '

Путем простого подсчета можно убедиться в том, что число различных компонент тензора 4-го ранга, обладающего такими свойствами симметрии, равно в общем случае 21.

Соответственно выражению (2), для свободной энергии зависимость тензора напряжений от тензора деформации имеет в кристаллах вид:

Наличие той или иной симметрии кристалла приводит к появлению зависимостей между различными компонентами тензора сМт, так что число его независимых компонент оказывается меньшим, чем 21.

Упомянутое ранее число 21 относится к кристаллу с наиболее низкой симметрии, так называемому триклинному кристаллу.

Всего имеется 32 группы (класса) симметрии, которые относятся к 7 кристаллографическим структурам: триклинной, моноклинной, ромбической, тетрагональной или квадратной, ромбоэдрической или тригональной, гексагональной и кубической. В каждой из трех первых и двух последних структур все кристаллы ведут себя в отношении своих упругих свойств одинаковым образом, только в тетрагональной и ромбоэдрической структурах можно выделить по две подгруппы, различающиеся по упругим свойствам (см. [3]).

Выпишем число независимых параметров (модулей упругости или углов, определяющих ориентацию осей в кристалле) для классов различных структур:

Все сказанное относится к монокристаллам. Поликристаллические тела с достаточно ма-лами размерами входящих в их состав кристаллитов можно рассматривать как изотропные тела, Как и всякое изотропное тело, поликристалл характеризуется всего двумя модулями упругости.

В изотропных телах тепловое расширение происходим одинаковым по всем направлениям , так что тензор деформации при свободном тепловом расширении имеет вид: dW триклинная моноклинная . ромбическая . тетрагональная тетрагональная ромбоэдрическая ромбоэдрическая гексагональная кубическая

21 13 9 7 6 7 6 5 3 е^ЩТ-Т^ где «9 - коэффициент теплового расширения. В кристаллах же надо написать

3, о;> где 191к - некоторый тензор второго ранга, симметричный по индексам i, к . Выясним число независимых компонент этого тензора в кристаллах разных структур. Для этого проще всего воспользоваться известным из тензорной алгебры обстоятельством, что всякому симме-триичному тензору второго ранга можно привести в соответствие некоторый, как говорят, тензорный эллипсоид (тензорный эллипсоид определяется уравнением 31кх,хк = 1). Из соображений симметрии непосредственно очевидно, что при триклинной, моноклинной и ромбической симметриях эллипсоид является трехосным (т. е. длины всех его осей различны). При тетрагональной же, ромбоэдрической и гексагональной симметриях эллипсоид должен является эллипсоидом вращения (с осью соответственно вдоль осей симметрии). Наконец, кубическая симметрия приводит к вырождению эллипсоида в шар. Но трехосный эллипсоид определяется тремя независимыми величинами (длинами осей), эллипсоид вращения - двумя, а шар - всего одной (радиусом). Таким образом, число независимых компонент тензора 91к в кристаллах различных структур есть:

Кристаллы первых трех структур называются двухосными, а вторых трех - одноосными. Обратим внимание на то, что тепловое расширение кристаллов кубической структуры определяется всего одной величиной, т. е. что они ведут в себя в отношении своего теплового расширения как изотропные тела.

Основные математические основы по исследованию спектральных свойств ограниченных квадратичных самосопряженных пучков в задаче об установившихся колебаниях упругого полуцилиндра с изотропной структурой, были найдены в работе [1] А. Г. Костюченко, М. Б. Оразова. Эти результаты были фундаментальные, чтобы определить дальнейшее развитие по исследованию спектральных свойств квадратичных самосопряженных пучков в задаче об установившихся колебаниях полуцилиндра с разными упругими структурами. Следующее развитие в этом направление было осуществлено в работе [2] А. А. Шкаликовым, А. В. Шкредом, в задаче об установившихся колебаниях полуцилиндра с трансверсально-изотропной упругой структурой. На основе работ [1] и [2] мы смогли изучить спектарль-ные свойства ограниченных самосопряженных квадратичных пучков в задаче об установившихся колебаниях упругого полуцилиндра с любой упругой структурой.

Настоящая работа состоит из трех глав и посвящена исследованию спектральных свойств задач £а(а) и ЛУ0(се) в случае кубической, ромбической и триклинной структур и таким образом, определить общую картину для всех упругих структур.

В главе I §1. п. 1 приводим математическую постановку задачи в случае кубической структуры. В §2. п. 1 и п. 2 приводится сведение спектральных задач £а(сс) и 1?0(а), которые являются неограниченными операторами при каждом а е С, к ограниченным самосопряженным операторам Ьш(а) и L°a(a) (подробно см. [1]). Подобное сведение позволяет применить ряд результатов из теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой и из теории самосопряженных квадратичных пучков (см. [б, 22]).

В главе I §3. п.1 изучен важный статический случай для задач £а(а) и Д„(сс) а также определены достаточные условия на коэффициенты кубической структуры для эллиптичности задач £0)(а) и .

В п. 2 показываем также, что при каждом фиксированном а е R спектры ст(£а) и 0"(-С) состоят из собственных значений ак(й)) конечной кратности и расположены, за исключением конечного числа точек, в комплексной плоскости, причем точкой накопления спектра является бесконечность. Имеет место следующая основная теорема: триклинная, моноклинная, ромбическая . тетрагональная, ромбоэдрическая, гексагональная кубическая .

3 2 1

Теорема 3.1. Спектры cr(La) и <x(Z°) пучков Lm (а) и (а), в случае кубической структуры, со2 > 0 состоят из собственных значений ап конечной кратности, симметрично расположенных относительно вещественной оси и начала координат и, за исключением конечного числа точек, которые находятся в произвольно малых углах, примыкающих к мнимой оси. Кроме того, при а> = 0 пучок L°0(a) не имеет на вещественной оси точек спектра, а пучок L0(a) имеет лишь одну вещественную точку спектра а = О, которой отвечает четыре линейно-независимых собственных вектора: P~7v0, Р~*г/0, w0, P~*g0, где векторы v0, и0, w0, g0 заданны в (3.5) и являются собственными векторами задачи £^(сс), отвечающими точке а = 0.

При со1 > 0 пучки Ьа(а) и L°a (а) в области QeN допускают оценки резольвент: Рlap1; || РсU»"1 II<c(s,N) lap1

При возрастании параметра oeR число вещественных точек спектра, растет. В связи с указанной локализацией спектра пучков La{pc) и возникает вопрос: Какую часть корневых векторов, отвечающих вещественным собственным значениям сск(со) задачи £т(сс) (или ), нужно добавить ко всем корневым векторам из верхней полуплоскости, чтобы получить полную и минимальную систему в12(Т)) ?. Ответ на этот вопрос получен в §4 п. 2. Решение этой задачи представляет значительный интерес, поскольку имеет непосредственное отношение к известному в теории упругости принципу Сен-Венана.

В главе I §4 п.1 и п. 2 даны, нужные определения и вспомогательные результаты из теории квадратичного пучка L(a), действующего в гильбертовом пространстве (подробно см. [1]). Все эти определения и результаты будут использоваться в нашей работе в случае кубической, ромбической и триклинной структур.

В главе I §5 рассмотрены некоторые предложения к задачам £а(се) и . В п.1, показано какой вид, имеют Жордановы цепочки, отвечающие собственному значению а = 0 для задачи £^{сс), в случае кубической структуры, они вычисляются в явном виде и имеет место следующая теорема:

Теорема 5.1. В точке а = 0 задача в случае кубической структуры, имеет две цепочки собственных и присоединенных векторов длины 2 и две цепочки собственных и присоединенных векторов длины 4. Проекции этих собственных и присоединенных векторов на Ь2(Т)) имеют следующий вид (индекс 0 соответствует собственному вектору, а последующие индексы - присоединенным векторам): А) Общий случай, когда с2>0 и выполняются условия (3.1). v0 =(1,0,0), v,=U(0,х2,х3); и0= (0,1,0), щ=г(-х2+к2,0,0), и2=(0,и22,и23), и3=(и31,0,0); w0 =(0,0,1), wl =i(-x3+ k3,0,0), w2 = (0,w22,w23), w3 =(w31,0,0); g0 = (0,x3,-x2), g, =(gu,0,0), где константы k2 и k3 зависят от области Т>, и определяются уравнениями

J(x2 - k2)dx = 0 и J(x3 - k3)dx = 0, ■d т> координатные функции и22, и23, w22, w23 определяются равенствами и2 2 = A[jr (х2 — х3) — к2х2], и2 з = Л( х2х3 — к2х3); w22 = Л(х2х3 - к3х2), w23 = A,[j(x3 -х2) - к3х3]; с с — с2 где Я - константа для кубической структуры /I = -Ly—j-, функции изх, w3X, gxx являются с2 -сх решениями следующих краевых задач: с2 (D2 + D] )и3, = -/(с, + 2 Л(с2 + с3))(х2 — к2) в Т>, (n2D2 +«3A)M3iU = -i(n2u22+n3u23), c3(D2 + А2>з, = -/(с, + 2Д(с2 + с3))(х3 - &3) в Т), (n2D2 +«3D3)W31|sd = -/(«2iv22 + «3w23),

Z)22 +£)3)gn = 0 6 V, (n2D2 +n3D3)gn\dV = -z(«2x3 -n3x2). Б) Частный случай, когда c2=0 и выполняются условия (3.1), v0 = (1,0,0), v, = (0,x3,-x2); щ= (0,1,0), ux=i(-x2+k2,0,0), и2=(0,х3-х2), и3=(и31,0,0); w0= (0,0,1), wx = i(-x3+k3,0,0), w2=(0,x3,-x2), w3 =(w31,0,0); g0 = (0,x3,-x2), gx = (g„,0,0), где константы k2 и k3 зависят от области D, функции изх, w3l и gn являются решениями краевых задач из А) с Л = 0.

В п. 2 изучается поведение вещественных собственных значений ак(сог) при возрастании параметра со1 > 0. Правило такого поведения сформулировано в теореме 5.3 (подробно см. [1]).

Задача о движении вещественных собственных значений тесно связана с задачей о полна-те части корневых векторов. В этой связи представляет интерес теорема 5.2, которая утверждает, что при малом возмущении со2 -»й>2 + is, £>0 на вещественной оси не остается собственных значений, причем в верхней полуплоскости от каждого вещественного собственного значения смещается столько корневых векторов, сколько было необходимо добавить к корневым векторам из верхней полуплоскости, чтобы получить полную и минимальную систему в Ь2(Т>).

В п. 3 рассмотрены уравнения колебания в полуполосе П и соответствующие спектральные задачи £0(сс) и £а(а) в случае кубической структуры и получены необходимые результаты, в частности имеет место следующая теорема:

Теорема 5.4. В точке а = 0 у пучка £q(cc), в случае кубической структуры, имеются только две цепочки собственных и присоединенных векторов: v0=(l,0), у,=-А(0,х2); ci ио = (ОД), ux=-i(x2-±, 0), и2=-^-(0,х22-х2), щ = -/С'2 ~ {\х\ -jx2,0). где в этом случае сх > 0, с2> 0, с3> 0 и с\ >с2 + 2с2с3.

В главе II мы даём математическую постановку спектральных задач £ю{а) и J^ipc) в случае ромбической структуры, и приводим сведение этих спектральных задач к ограниченным самосопряженным пучкам L^(а) и . Все результаты, которые были получены в главе I в случае кубической структуры, переносим на случай ромбической структуры, в частности имеют место следующие теоремы:

Теорема 8.1. Спектры <т(А») и <x(Z,°) пучков La(a) и Z° (а), в случае ромбической структуры, со2 > 0 состоят из собственных значений ап конечной кратности, симметрично расположенных относительно вещественной оси и начала координат и, за исключением конечного числа точек, которые находятся в произвольно малых углах, примыкающих к мнимой оси. Кроме того, при а> = 0 пучок L°0 (а) не имеет на вещественной оси точек спектра, а пучок Ь0(а) имеет лишь одну вещественную точку спектра а = О, которой отвечает четыре линейно-независимых собственных вектора: P~*v0, Р~*и0, w0, P~*g0, где векторы v0, и0, w0, g0, заданны в (8.5) и являются собственными векторами задачи ^(а), отвечающими точке а = О.

При о2 > О пучки La{a) и L°0](a) в области Q.eN допускают оценки резольвент: Р*£?(а) Ц<с(£,Ю | а Г1 ; II РсteW1 II*c(e,N) | ar Г .

Теорема 9.1. В точке а = О задача в случае ромбической структуры, имеет две цепочки собственных и присоединенных векторов длины 2 и две цепочки собственных и присоединенных векторов длины 4. Проекции этих собственных и присоединенных векторов на L2(D) имеют следующий вид (индекс О соответствует собственному вектору, а последующие индексы - присоединенным векторам): А) Общий случай, когда с, > О, i = l,.,9, и выполняются условия (8.1) v0 =(1,0,0), v, =/(0Д*2Л*э); и0= (0,1,0), щ =i(-x2+k2,0,0), и2=(0,и22,и23), щ = (м31,0,0); w0 = (0,0,1), w, = /(-х3 + &3,0,0), w2=(0,w22,w23), w3 = (w31,0,0); g0 = (0,x3,-x2), g, = (g„,0,0), где константы k2 и k3 зависят от области Т>, и определяются равенствами:

J(x2 - k2)cbc = 0 и J(x3 -к3) = 0, v D координатные функции и22, и23, w22, w23 определяются равенствами: w22 = Мх2хз - k3xi) > ^23 = KihA -кгхг) " Л гх\ \ q q — с с с с -с С - константы для ромбической структуры Л, = -^у-, = --, функции с2с3 — с6 с2с3 — с6 из\> w3i> 8 и являются решениями следующих краевых задач: cnD\ + csD3)u3l = -/(с, + Л1(с4 +с7) + Мс5 +СЖХ2 ~кг) 6 (S1n2D2+c&n3D3)u3\dV=-i{c1n2u22-¥ctniu23), c7D2 + csD3)w3l = -/(с, + Л,(с4 + с7) + ^(с5 + с8))(х3 -к3) в D, (c1n2D2+csn3D3)w3x\m=-i(c1n2w22 +c%n3w23),

ClD22+csD23)gu= 0 е V, (с7и2£>2 + csn3D3)gu\gT) = -i(c7n2x3 - csn3x2). Б) Частный случай, когда с4=с5=с6= 0 и выполняются условия (8.1), v0 =(1,0,0), v, =(0,х3,-х2); м0= (0,1,0), щ = /(-х2+#2,0,0), w2 =(0,х3 ,-х2), и3=(и31,0,0); w0 = (0,0,1), wl = i(-x3 + #з,0,0), w2 = (0,x3,-x2), w3 = (w3,,0,0); go = (0,x3,-x2), g, = (g„,0,0), где константы к2 и къ зависят от области Т), функции u3l, w31 и gu являются решениями краевых задач из А) с \ = = 0.

Теорема 9.2. В точке а = 0 у пучка -Cq(cc), в случае ромбической структуры, имеются только две цепочки собственных и присоединенных векторов: vo = (l,0), Vj = -i—(0,x2), с2 ио=(0,1), М,=-/(х2-1,0), и2=-^-(0,х22-х2), щ = -\x\,Q) ,

2 с2 2 с2с7 где в этом случае с, > 0, с2 > 0, с4 > 0, с7 > 0 и схс2 >с%+ 2с4с7.

В главе III приводим математическую постановку спектральных задач £т (а) и Д,(сс) в случае триклинной структуры, изучен статический случай, т. е. когда со = 0, было доказано, что условия эллиптичности спектральных задач £w(a) и £т(а) для триклинной структуры почти совпадают с условиями эллиптичности спектральных задач £а(а) и £а(а) в случае ромбической структуры. Также уставлено, что сведение этих задач происходит тем же образом, как и в случае ромбической структуры, а это означает, что все результаты получены в случае ромбической структуры полностью переносятся на случай триклинной структуры. Например имеет место теорема:

Теорема 12.1. Спектры ct{L(0 ) и сг(£°а) пучков Lm(a) и L°a(a), в случае триклинной структуры, со2 > 0 состоят из собственных значений а„ конечной кратности, симметрично расположенных относительно вещественной оси и начала координат и, за исключением конечного числа точек, которые находятся в произвольно малых углах, примыкающих к мнимой оси. Кроме того, при со = 0 пучок L°0 (а) не имеет на вещественной оси точек спектра, а пучок L0(a) имеет лишь одну вещественную точку спектра а = 0, которой отвечает четыре линейно-независимых собственных вектора: P~*v0, Р~*и0, РР~*gQ, где векторы v0, и0, w0, g0, заданные (8.5) и являются собственными векторами задачи £^{а), отвечающими точке а = 0. При (о1 > 0 пучки La(cc) и L^ (а) в области CleN допускают оценки резольвент:

IIР*£(«) I а Г1; II Ро^»-1 N) \ а I"1.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Костюченко Анатолию Гордеевичу за предоставление интересной темы и полезные советы, а также всему коллективу кафедры теории функции и функционального анализа за ценные замечания при обсуждении полученных результатов, способствовавшие успешной работе над диссертацией. Я также благодарен комитету по науке и технике Мексики (CONACyT) за помощь при осуществлении аспирантуры и совершении диссертации. и

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Аргета Гарсия Марио Отон

ЗАКЛЮЧЕНИЯ

Перечислим основные результаты, составляющие содержание настоящей диссертации и выносимые на защиту

1. Построена математическая модель задачи об установившихся колебаниях полуцилиндра с упругой средой в случаях кубической, ромбической и триклинной структур. И так как триклинная структура является самым общим случаем упругих структур, то эта модель применима к любой упругой структуре.

2. Приведено сведение спектральных задач L0(cc) и 4(°0 в случае кубической, ромбической и триклинной структур к самосопряженным квадратичным пучкам La(a) и (°0 соответственно. Это сведение можно применить к спектральным задачам 4(a) и 4(а) в случае любой упругой структуры.

3. Доказана теорема для всех упругих структур о том, какую часть корневых векторов, отвечающих вещественным собственным значениям ак задачи 4(а) и (или4(°0)> нужно добавить ко всем корневым векторам, отвечающим собственным значениям из верхней полуплоскости, чтобы получит полную и минимальную систему в пространстве Ь2(Т>).

4. В статическом случае для спектральных задач 4(°0 и4(а)> в случае кубической, ромбической и триклинной структур, были найдены достаточные условия на упругие коэффициенты для эллиптичности этих задач. После исследования условий на коэффициенты в случае триклинной структуры мы нашли, что эти условия примерно одинаковы с условиями на коэффициенты в случае ромбической структуры.

5. Доказана основная теорема для любой упругой структуры о том, что при каждом фиксированном meR спектры cr(La) и <7(1°) состоят из собственных значений оск(со) конечной кратности, симметрично расположенных относительно вещественной оси и начала координат и, за исключением конечного числа точек, которые находятся в произвольных малых углах, примыкающих к мнимой оси, причем точкой накопления спектра является бесконечность. Кроме того, при со = 0, пучок L°0 (а) не имеет на вещественной оси точек спектра, а пучок L0 (а) имеет лишь одну вещественную точку спектра а = 0, которой отве

1 i i чает четыре линеино-независимых собственных вектора: Р 2v0, Р 2и0, Р 2w0, Р 2g0, где векторы v0, и0, w0, g0 являются собственными векторами задачи 4(°0 > отвечающими точке а = 0.

6. В статическом случае, мы нашли явный вид всех корневых векторов (Жордановы цепочки) для спектральной задачи 4 (°0 в точке a = 0, в случае кубической, ромбической и триклинной структур, и какую часть из них нужно добавить ко всем корневых векторам, отвечающим собственным значениям из верхней полуплоскости, чтобы получилась полная и минимальная система в пространстве W\ (Т)) (ив Lj(2)) ).

7. Мы определили, что при малом возмущении со2 -> со2 + is, е > 0 на вещественной оси не остается собственное значение, причем в верхней полуплоскости от каждого веществеиного собственного значения смещается столько корневых векторов, сколько было согласно добавить к корневым векторам, отвечающим собственным значениям из верхней полуплоскости, чтобы получит полную и минимальную систему в пространстве W2(T>) (и в L2{ £>)).

8. Мы рассмотрели уравнения колебания в полуполосе П и составили спектральные задачи La(a) и J^ipc) в случае кубической и ромбической структур и нашли все упрощенные результаты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Аргета Гарсия Марио Отон, 2005 год

1. Костюченко А. Г., Оразов М. Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки. -« Труды семинара им. И. Петровского», 1981г., вып. 6, 97-146.

2. Шкаликов А. А. Шкред А. В. Задача об установившихся колебаниях трансверсально-изо-тропного полуцилиндра // Математический сборник. 1991. Т.182. № 8. С. 1222 1246.

3. Ландау Л. Д., ЛифшицЕ. М. Теория упругости. М.: Наука, 1987.

4. Костюченко А. Г., Оразов М. Б. О полноте корневых векторов некоторых самосопряженных пучков // Функциональный анализ и его приложения. 1977. Т. 11, № 4. С, 85 — 87.

5. ФикераГ. Теоремы существования в теории упругости. М., Мир, 1974.

6. Крейн М. Г., Лангер Г. К. О некоторых математических принципах теории демпфированных колебаний континуумов // Труды международного симпозиума по применению теории функции в механике сплошной среды. М., Наука 1965. Т. 2. С. 238 322.

7. Костюченко А. Г., Шкаликов А. А. Самосопряженные квадратичные пучки операторов и эллиптические задачи//Функциональные анализ и его приложения. 1983. Т. 17, №2. с. 38-61.

8. Костюченко А. Г., Оразов М. Б. О некоторых свойствах корней самосопряженного квадратичного пучка. // Функциональный анализ и его приложения. 1975. Т. 9, № 4. 28 40.

9. Купрадце В. Д., Гегелина Т. Г., Башейлейшвши М. О., Бургуладзе Т. В. Трехмерные задачи математической теории упругости. Тбилиси, 1968.

10. Агронович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // УМН. 1964. Т. 19, № 3, С. 53 161.

11. Саркисян В. С. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного те-тело. Ереван: Издательство Ереванского университета, 1976.

12. Флоге В., Келкар В. С. Задача об упругом круговом цилиндре. «Механика», 1970 No. 2,73 95.

13. Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала. М.: Гостехиздат, 1953.

14. Радзиевский Г. В. Квадратичный пучок операторов. Киев, 1976.

15. Гасимое М. Г. О кратной полноте части собственных и присоединенных векторов полиномиальны операторов оперативных пучков. Изд. АН АрмССР. Сер. Матем., 1971, 6 No. 2-3,131-147.

16. Параска В. И. Об асимптотике собственных и сингулярных частей линейных операторов, повышающих гладкости. Матем. сб., 1965, 68, 621 - 631.

17. Лионе Ж. Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир 1971.

18. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных операторов. УМН, 1971,26, No. 4,15-41.

19. Маркус А. С. Некоторые признаки полноты системы корневых векторов линейного оператора в банаховом пространстве. Матем. сб., 1966, 70 No. 4 526 570.

20. Крейн С. Г., Лаптев Г. И. К задаче о движении вязкой жидкости в открытом сосуде. -Функциональный анализ и его приложения, 1969, 2, № 1, с. 40 50.

21. Крейн С. Г., ПетунинЮ.И. Шкала банаховых пространств. УМН, 1966, 21, №2, с. 89-168.

22. Крейн М. Г. Введение в геометрию индефинитных J— пространств и теорию операторов в этих пространствах. В кн.: Вторая летная математическая школа, 1. Киев, 1965, с. 15-92.

23. Шкаликов А. А. Некоторые вопросы теории полиномиальных пучков. УМН, 1983, т. 38, №3.

24. ГасымовМ.Г. К теории полиномиальных операторных пучков.-ДАН СССР, 1971, т. 200, № 1, с. 13-16.

25. Шкаликов А. А. Эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве и спектральные задачи, связанные с ними // Тр. семинара им. И. г. Петровского. Т. 14. М.: Изд-во МГУ 1989, с. 140-224.

26. МезонУ. Физическая акустика, т. la. М.: Мир, 1967.

27. БабешкоВ.А. К теории динамических контактных задач. ДАН, 1971, 201, №3, с. 310-335.

28. НаймаркМ.А. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 1969.

29. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейнных несамосопряженных операторов. М., Наука, 1965.

30. Рисс Ф., Секефалъви-Надъ Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

31. МаркушевичА. И. Теория аналитических функций. М.: Наука, 1968.

32. ЛюстерникЛ. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука 1965.

33. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука 1967.

34. Зоммерфелъд А. Механика деформируемых сред. М.: Иностранная литература 1954.

35. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970.

36. Тихонов А. К, Самарский А. А. Уравнения математической физике. М.: Наука, 1977.

37. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

38. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве М.: Наука, 1966.

39. ХиллеЭ., Фииллипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Наука, 1976.

40. Сидоров Ю. В., Федорук М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функции комплексного переменного М.: Наука, 1989.

41. ТитчмаршЕ. Теория функции. М.: Наука, 1980.

42. Мальцев А. И. Основы Линейной алгебры. М.: Наука, 1975.

43. Костюченко А. Г., Аргета Гарсия М. Задача об установившихся колебаниях полуцилиндра с кубической упругой структурой и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки. Доклады Академии Наук, том 400, №3, 2005.

44. Аргета Гарсия М. Задача об установившихся колебаниях полуцилиндра с ромбической упругой структурой и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки. Успехи Математических Наук, том 60, № 1, 2005.