Исследование одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Замышляева, Алена Александровна

• Замышляева, Алена Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Замышляева, Алена Александровна

Обозначения и соглашения

Введение

1 ПОЛИНОМИАЛЬНО ОТНОСИТЕЛЬНО ОГРАНИЧЕННЫЕ ПУЧКИ ОПЕРАТОРОВ

1.1 Относительные резольвенты пучков операторов

1.2 Относительно спектральные проекторы.

1.3 Относительно присоединенные векторы.

1.4 Полиномиальная ограниченность относительно фредгольмова оператора.

2 ФАЗОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА

2.1 Пропагаторы.

2.2 Семейство вырожденных М, iV-функций

2.3 Производящие операторы аналитического семейства вырожденных М, TV-функций.

2.4 Морфология фазового пространства.

2.5 Задача Коши для неоднородного уравнения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка»

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть Ы и Т банаховы пространства; операторы А, Вп-1,., Bq G £(JJ',T)- Рассмотрим задачу Коши

0) = ii0, и(0) =щ, ^"-^(О) - un-i (0.1) для линейного неоднородного уравнения соболевского типа высокого порядка

Аи{п) = Бп1и(п-1) + • • • + В0и + /, п > 1, (0.2) где вектор-функция / : (—Т, Т) —> JF, Т €Е будет уточнена в дальнейшем.

Пусть существует оператор А~1 £ Ы), тогда уравнение (0.1) тривиально редуцируется к эквивалентному уравнению и<"> = С^ц/»"1* + • ■ • + С0и + /г, (0.3) где Ck = A~1BkeC(U), = 0,1.тг — 1, h = A~1f.

Введем в рассмотрение операторный пучок

AniCni + • • • + АоСо, (0.4)

Xi € С - произвольные числа) и поставим ему в соответствие вектор С = (Сп-1,., Со), с операторными элементами, определяющий пучок (0.4). Далее этот вектор и будем называть пучком операторов Сп-1,., Со

Если пучок С полиномиально ограничен, то есть

За £ V/x G С (И > а) (дп I-м^С^-----Со)"1 е £(U), 5 то, как показал М.В.Келдыш (цит. по [13]) при любых ик EU, к = 0,1,., п—1 и/г € С((—Т; Т)\Ы) существует единственное решение и Е Cn((—Т; Т); £/) задачи (0.1), (0.3), причем это решение имеет вид

7*1— 1 t) = Y, yiu*+ к=0 где V^, к — 0,1,., п — 1 - пропагаторы вида = 2Ь/ Wl-^Cn-1-----CorV*-1-----Ck+l)ef*dn, 7

0.6) а контур 7 = {ji £ С : \fi\ = г > а}.

Нас интересует разрешимость задачи (0.1), (0.2) в случае необратимости оператора А, когда кегЛ ^ {0}. В этом случае, как известно [12], задача (0.1), (0.2) разрешима не при любых начальных значениях щ,.,

Мы будем называть множество допустимых начальных значений (то есть тех, которые обеспечивают однозначную рзрешимость задачи (0.1), (0.2)), фазовым пространством уравнения (0.2). Если оператор А непрерывно обратим, то уравнение (0.2) тривиально редуцируется к уравнению (0.3), и поэтому фазовым пространством уравнения (0.2) будет служить все пространство U■ Нашей целью является описание морфологии (то есть структуры, формы, строения) фазового пространства уравнения (0.2), когда оператор А не является непрерывно обратимым. j V^th(s)ds, t G (-Т; Т), (0.5)

ИСТОРИОГРАФИЯ ВОПРОСА

Впервые уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, по видимому, изучались в работе А. Пуанкаре [94] в 1885 году. Затем они рассматривались в некоторых работах математиков и механиков. В первую очередь это было связано с исследованиями конкретных уравнений гидродинамики.

Особенно большой интерес к уравнениям вида (0.2) появился в связи с результатами C.W. Oseen [93], F.K.G Odqvist, J. Leray [36], J. Leray и J. Schauder, E. Hopf по системе Навье-Стокса (vt — vAv + Wp = 0, div v = 0) и исследованиями С. Jl. Соболева [63] задачи о малых колебаниях вращающейся жидкости, проведенными им в 40-е годы. Этот цикл работ был первым глубоким исследованием уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, и лег в основу нового направления, которое первоначально развили ученики C.J1. Соболева Р.А. Александрян [1], Г.В. Вирабян, Р.Т. Ден-чев, Т.И. Зеленяк, В.Н. Масленникова, С.А. Гальперн [12] и другие. Хорошо известно также, что после появления работ C.J1. Соболева, И.Г. Петровский отмечал необходимость изучения общих дифференциальных уравнений и систем, не разрешенных относительно старшей производной по времени (системы, не принадлежащие типу систем Ковалевской) (цит. по [14]).

В литературе уравнения вида (0.2) и конкретные его интерпретации часто называют уравнениями соболевского типа, отдавая честь первооткрывателю. В дальнейшем всюду мы считаем этот термин синонимом терминов "псевдопараболические уравнения"([28]), "уравнения типа Соболева"([49], [52], [55], "уравнения типа Соболева-Гальперна"([44], [30]) и "уравнения не типа Коши-Ковалевской"([37]).

Кроме того, мы считаем уравнения соболевского типа самостоятельной частью обширной области неклассических уравнений математической физики.

Возрастание интереса к уравнениям, не разрешенным относительно старшей производной, обусловлено было необходимостью решения важных прикладных задач, в частности, в области физики атмосферы, физики плазмы, а также естественным стремлением математиков к изучению новых математических объектов. В связи с этим можно выделить два направления исследований - решение некоторых задач для конкретных уравнений и систем математической физики [11], [29], [34], [5], [5], [86], [101], [102] и изучение абстрактных уравнений типа (0.2) и систем математической физики [9], [31], [32].

К первому направлению следует отнести работы, в которых результат о разрешимости начально-краевых задач для таких уравнений и систем получается посредством коэрцитивных оценок как следствие из какой-либо глубокой топологической теоремы типа теоремы о неподвижной точке. К этому разделу можно отнести результаты С.А.Гальперна [12], А.Г.Костюченко и Г.И.Эскина [30], В.Н.Врагова [10], А.И.Кожанова [26] - [28] и многих других.

Ко второй части относятся работы, в которых объектом исследования выступают абстрактные операторные уравнения вида (0.2), а конкретные, начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений служат иллюстративными примерами общих абстрактных результатов. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают И.В.Мельникова и ее ученики ([38] - [43], [2]), Н.А.Сидоров [60],[97] и его ученики [61], R.E.Showalter [95], [96],W.

Arendt [74], P.Colli [78], A.Favini, A.Jagi [81], [82]. К этому же разделу следует отнести работы Г.А.Свиридюка и его учеников ([48] [59], [3], [4], [15], [19], [20], [25], [33], [68], [72]).

В большей части работ, посвященных теории краевых задач для уравнений (0.2), рассматривался случай, когда оператор при старшей производной невырожден ([71], [75], [77], [85], [92], [104] - [106]). Естественно, что постановки задач имеют свои особенности по сравнению с классическими уравнениями, однако для некоторых классов уравнений установлены результаты о разрешимости задач, которые являются аналогами соответствующих классических теорем [69], [14]. Если условие невырожденности нарушается, то необходимы дополнительные требования на данные задачи типа условий ортогональности. Впервые этот факт был замечен в работах С.А.Гальперна [12]. Аналогичная особенность для смешанных краевых задач в четверти пространства была обнаружена в работах Г.В.Демиденко [14].

В [32], [23] основательно изучена задача (0.1), (0.2) в случае фредгольмова оператора А (т.е. indA = 0). В частности, здесь содержится исследование феномена "несуществования решения", т.е. показано, что задача (0.1), (0.2) может быть однозначно разрешима точно тогда, когда начальные значения лежат в некотором подпространстве U1 С Ы конечной размерности.

Г.А.Свиридюк ввел понятие фазового пространства, уравнения (0.2), как множества, содержащего все его решения и являющегося замыканием множества допустимых начальных значений задачи Коши для этого уравнения. Впервые термин "фазовое пространство "в данном контексте появился в работах [51], где заменил собой ранее употреблявшийся термин "многообразие решений"([49].

Фазовое пространство уравнения (0.2) при п — 1, А — L, Bq = М изучено достаточно полно. Прежде всего здесь следует отметить работы Г.А.Свиридюка [50], [53], в которых полностью изучены фазовые пространства уравнения (0.2) в случаях, когда оператор М (L,a)- ограничен и (1/,р)-секториален.

Работа [53] стала основой для многих глубоких исследований. Среди всех отметим результаты В.Е.Федорова ([55], [56],[68]), в которых всесторонне изучены фазовые пространства уравнений (0.2) при п — 1, А — L, Во = М при условии (£,р)-радиальности оператора М. В настоящее время эти результаты обобщают результаты A.Favini и A.Jagi [83] и служат основой для многочисленных приложений.

Первые результаты о разрешимости и корректности задачи Ко-ши (0.1),(0.2) при п — 2 были получены методом сведения к задаче Коши для уравнения первого порядка в произведении пространств и исследования резольвенты получающегося оператора-матрицы [31],[98]. На пути сведения к уравнению первого порядка [31],[89] получены достаточные условия на операторы А и В в случае, когда один из них можно считать "главным". Здесь не были получены условия необходимые и достаточные для корректности Задачи Коши (0.1),(0.2)в общем случае, так как при сведении к системе появляются дополнительные условия на решение или на операторы, обусловленные методом. Требование корректности задачи Коши для получаемых систем, как показано X. Фатторини [80], в общем случае сильнее требования корректности задачи Коши (0.1),(0.2).

Что же касается уравнений высокого порядка, то попытка изучения фазового пространства уравнения (0.2) при п > 1 была впервые сделана в [58], [59]. Здесь согласно идеологии М.В.Келдыша уравнение (0.2) редуцировалось к эквивалентному ему уравнению соболевского типа первого порядка, которое затем изучалось методами [53]. Однако обратная редукция привела к неоправданно сложному алгоритму построения фазового пространства. Более того, не удалось показать, что все начальные значения лежат в одном фазовом пространстве. В настоящей работе предложен более простой алгоритм построения фазового пространства, причем решены все вопросы, оставшиеся открытыми в [58], [59].

СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

В настоящее время имеется огромное число теоретических и прикладных работ, посвященных изучению уравнений и систем, не разрешенных относительно старшей производной.

Прежде всего следует отметить работы Р.А.Александряна [1], Т.И. Зеленяка [21] и их учеников. Здесь глубоко и основательно исследованы спектральные свойства дифференциальных операторов, возникающих в уравнениях соболевского типа. В частности, они провели анализ спектральных свойств операторов А — Д, Во — —Jp в уравнении С.Л.Соболева

Autt + иуу = 0 в зависимости от ограниченной области О, С R2. Здесь пространствами U и F являются W21(^) и W21(^), соответственно. В данной ситуации оператор Лапласа непрерывно обратим, поэтому Аспектром оператора Во является спектр оператора S = А~1В$.

Первым абстрактные уравнения вида (0.2) в их связи с уравнениями в частных производных начал изучать R.E. Showalter [95]. Он рассмотрел случай самосопряженного эллиптического оператора А, вырождающегося на некотором множестве ненулевой меры. Независимо от него Н.А. Сидоров со своими учениками [62] первыми начали изучать уравнения вида (0.2) с различными вырождениями оператора А и получать приложения абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам для уравнений в частных производных.

Начально-краевыми задачами для уравнений в частных производных, используя структуру дифференциальных операторов, в частности коэрцитивные оценки, занимаются представители школы В.Н. Врагова [10]. А.И.Кожанов [26]-[28], распространяя теорию уравнений математической физики составного типа на уравнения нечетного порядка в многомерных пространствах, рассматривает уравнения вида

AD?m+1u + Bu = f(z,t), где А и В эллиптико-параболические операторы. Решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А и В.

С.В. Поповым ([45], [46], [18]) рассматривалось дифференциально-операторное уравнение в интервале S = [0, Т]

-1 )nBu{2n~V + Lu = h{t), t G где L - самосопряженный и положительно определенный оператор,

В - самосопряженный оператор вЯ,к которому могут быть сведены параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Доказана сильная разрешимость начально-краевой задачи для такого уравнения и показано, что при выполнении определенных условий ортогональности сильное решение краевой задачи является гладким.

В [16], [18] И.Е. Егоров исследует краевую задачу для оператор-но-дифференциального уравнения общего вида

BuW + Lu = Вf{t), 0 < t < Г, где L - самосопряженный и положительно определенный оператор с плотной в Н областью определения; В - самосопряженный оператор в Н. Доказано, что при определенных условиях уравнение эквивалентно нестабильному уравнению, для которого существуют корректные краевые задачи.

В работе С.Г. Пяткова [47] рассматривается вопрос о разрешимости в цилиндрической области краевых задач для некоторых линейных уравнений высокого порядка неклассического типа с использованием обобщений абстрактных теорем Гривара.

A.JI. Павловым ([44]) получены результаты о единственности решений задачи Коши m

Y,Pk(Dx)dfu = 0 к=0 dtku дк, fc = 0,m-l t=о в классе степенного роста и условия корректности в этом классе. Н.И. Зоберн [22] в бесконечномерной цилиндрической области исследует краевую задачу для уравнения + р*и = в котором ord(Px) > ord(P2)- Здесь найдены достаточные условия однозначной и нормальной разрешимости задачи в некоторых классах функциональных пространств.

М.В.Фалалеев [67] рассматривал уравнение (0.2) с замкнутым фредгольмовым оператором А. Кроме того, предполагалось, что оператор А имеет полный обобщенный жорданов набор. Обобщенное решение уравнения (0.2) построено с использованием теории обобщенных функций в банаховых пространствах, понятия фундаментальных оператор-функций.

В [7] Л.А.Власенко, А.П.Руткас исследовали задачу (0.1), (0.2) в случае, когда [/, F - банаховы пространства, A, £n-i,., Bq линейные замкнутые операторы. В работе использованы экспоненциальные оценки резольвент, методы классического и локального преобразования Лапласа и принцип Фрагмена-Линделефа. Результаты исследования применяются к смешанной задаче для уравнения не типа Ковалевской п mj dj+ku(z t) j=0 k=0 dJ u(z,0) = Uj(z), j = 0,1,. .,n - 1 Uk[u] = 0, к — 1,., ttlq.

P.Colli и A.Favini [78] вводят в рассмотрение задачу

La'{t) + Bu(t) -f Au{t) = 0, 0 < t < T u(0) — щ, и (0) = iii, 14 где А, В, L- линейные операторы в комплексных банаховых пространствах, причем оператор L не предполагается обратимым. Получены достаточные условия однозначной разрешимости данной задачи.

В [82] исследуются существование, единственность и гладкость решений начальной задачи

Си)' + Ви + Ли = f{t), 0 < t < Т и(0) = щ, Си (0) = Сиъ где А, В, С- замкнутые линейные операторы. Изучается как случай D(B) С D(A), так и случай D(B) С D(A), D(A) ф D{B). В первом случае основным предположением является ограниченная обратимость оператора zC + В для всех z Е T,v — {z : Rez > —с(1 + | Imz|)2} и выполнение неравенства \\C(zC + В)"11| < к( 1 + \z\)~^1 z € 0</3<7у<1, а во втором случае на операторы на операторы А, В, С накладываются, кроме сформулированных, еще ряд условий.

Другой подход в изучении задачи (0.1), (0.2) предложен И.В.Мельниковой и ее учениками [39], [43], [2]. Они рассматривали задачу при п = 2

Qu"(t) =Au(t) + Bu(t), £>0, и(0) = х, и'(0)=у (0.7) с ограниченным оператором Q и замкнутыми операторами А, В в банаховом пространстве Е. Здесь предполагается априорное расщепление пространства задачи на ядро оператора Q и образ резольвенты операторов А и В. Базой исследований является теория вырожденных интегрированных полугрупп, связанных с задачей

Коши первого порядка [38], [40] - [42], [74] и теория М, iV-функций - операторов решения задачи (0.7) (в случае Q = /).

На базе этой теории были получены необходимые и достаточные условия корректности задачи (0.7) в терминах R(А2) := (Л2 — ХА — В)~г, называемой резольвентой операторов А, В.

С помощью М, N - функций для коммутирующих операторов А, В показано, что условие типа Miadera - Feller - Phillips - Hille -Yosida (MFPHY):

3M > 0, w > 0 : ||i?(fc)(A2)||, ||^fc)(A2)|| < M- kl

ReA — cu)k+l' k = 0,1,2,., ReA > u, (0.8) где Ri(X2) = (A — A)R(А2) является достаточным и необходимым условием для корректности регулярной (Q = I) задачи (0.7).

В [107] - [109] осуществлено приложение М, N- теории без коммутируемости операторов А, В при некоторых дополнительных условиях.

С помощью теории интегрированных полугрупп для бизамкну-тых операторов Л, В, сводя задачу (0.7) к задаче v'(t) = Tv{t), t > 0, v(0) = v0, (0.9) где

И.В. Мельникова доказала, что следующее условие типа MFPHY:

ЗМ > 0, U > 0 ||^)(А2)||, ||4fc)(A2)il < М V к = 0,1,2,., ReA > w, (0.10) где Я2(Л2) = (Л — A)R(X2), является необходимым и достаточным для корректности невырожденной задачи Коши (0.7).

Результат такого же типа был получен N.H. Abdelazis, F. Neubrari-der [73] только для ограниченного оператора А . Для такого оператора было показано, что корректность задачи (0.7) эквивалентна существованию интегрированной полугруппы с генератором Т.

У.А. Ануфриевой [2] найден критерий корректности вырожденной задачи (0.7). А именно показано, что необходимым и достаточным условием корректности задачи (0.7) является условие типа MFPHY:

ЗМ >0, wGl ReA > to

RAB{X)(XQ - B)\w (RAB{X)\k) k\

11 v A-1 J V J ~~ (ReA — uj)k+l' fc = 0,1,2,., и условие разложения пространства Dn := R^gE в прямую сумму

Dn = [Dn+1}n®{kevQ)Dn.

Аналогично регулярному случаю мы введем в рассмотрение семейство вырожденных М, А^-функций уравнения (0.7) и при дополнительных условиях на относительные резольвенты, типа MFPHY, покажем однозначную разрешимость задачи (0.7) на подпространстве U1 = im М(0) без предположения о расщеплении пространства U

Особый интерес у исследователей вызывают неполные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, когда отсутствуют слагаемые, соответствующие младшим производным по t функции it, вида

Аи{п) = Ви + /. (0.11)

Мы уже отмечали работы И.Е. Егорова, С.В. Попова, С.Г. Пят-кова, А.И. Кожанова, Q. Zheng и других.

В случае невырожденного (А = I) неполного уравнения почти одновременно несколькими авторами: М. Совой, Г. Да Прато и Е. Джусти, X. Фатторини [99],[79],[80] был предложен новый метод исследования задачи Коши для уравнения (0.11) - метод фундаментальных решений, построена теория O(t), S(t) - косинус-, синус-функций и получен аналог теоремы Филлипса, т.е. необходимые и достаточные условия разрешимости в терминах резольвенты оператора В. Развитию этого метода в насоящее время посвящено большое число работ.

В [103] по аналогии с С-полугруппами введено определение С-косинус - функций для задачи d2 u(t) = Au(t), и{0) = х, u'(0) = у, получена характеристика типа Хилле-Иосиды генератора С-косинус - функции и показана корректность задачи Коши с оператором А, являющимся генератором С-косинус-функции.

Q. Zheng [107] - [109] рассматривает аналогичную задачу Коши, строит семейство тг-раз интегрированных косинус-функций, изучает свойства последних, в частности, связь с аналитическими интегрированными полугруппами и экспоненциально ограниченными С-косинус-фу нкциями.

Следует отметить, что семейство MjiV-функций, рассмотренное И.В. Мельниковой, является обобщением понятия семейства косинус и синус функций на случай полного уравнения второго порядка.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной по времени, возникают в ряде прикладных задач. Приведем некоторые примеры уравнений вида (0.2), возникающие при исследовании реальных физических процессов.

Уравнение Соболева. В сороковые годы при решении задачи о малых колебаниях вращающейся идеальной жидкости C.JI. Соболевым было рассмотрено следующее уравнение

Аии + ш2иХзХз = /, п = 3, где | - угловая скорость. Для этого уравнения С.Л. Соболев изучил задачу Коши, первую и вторую краевые задачи в цилиндрической области, а также сформулировал ряд новых задач математической физики.

Уравнение малых колебаний вращающейся вязкой жидкости. При решении задач о малых колебаниях вращающейся вязкой жидкости возникает уравнение

Аии - 2уА2щ + v2A3u + ш2иХзХа = f, где v > 0 - коэффициент вязкости.

Уравнение гравитационно-гироскопических и внутренних волн. Изучение малых колебаний несжимаемой идеальной вращающейся экспоненциально-стратифицированной жидкости в поле силы тяжести приводит к рассмотрению уравнения

Д 2 д2 £)2

Д - (32)ии + ^(щ + щ)и + - и2Р2и = 0, П = 3, где /3 - параметр стратификации, N2~ квадрат частоты Вяйселя-Брента, | - угловая скорость.

При и — 0 это уравнение называется уравнением внутренних волн.

Отметим также уравнение гравитационно-гироскопических волн

92 д2 д2 и

Autt+N4 + )u+u*— = 0 и уравнение внутренних волн в приближении Буссинеска

Уравнение Буссинеска. Уравнение вида т2Д — 1)ии + 72Ап = О возникающее при описании продольных волн в стержнях, в теории длинных волн на воде, а также при описании волн в плазме (Х.Инези [24], Дж. Уизем [66]) называют уравнением Буссинеска. Отметим также уравнение Буссинеска-Лява

А' - А)иц = а(Д - Х')щ + /?(Д - А")и + д, (0.12) описывающее продольные колебания в упругом стержне с учетом инерции и при внешней нагрузке.

Уравнение de Gennes звуковых волн в смектиках. В [35] приведен вывод уравнения звуковых волн в смектиках, впервые полученного P.G.de Gennes и имеющего вид

З2 д & л

А3и = ai—Д2К, а\ > О, где Дз = Д2 + Д2 = +

Исходная модель имеет смысл в цилиндрической области по переменным {z,x 1,^2} £ Ь] х П. В случае установившихся звуковых колебаний и{х\1х2,z,t) = v(x\, х2, z) ехр(—iu>t) в смектике исходное уравнение примет вид д2 (A2v + a2v) + a2A2v = 0, а2 = (0.13) oz*

Начально-краевые задачи для таких уравнений удается редуцировать к задаче Коши (0.1), (0.2) при п = 2. Поэтому наше исследование следует признать актуальным.

НОВИЗНА ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Основными результатами диссертации являются достаточные условия однозначной разрешимости задачи Коши для уравнений соболевского типа высокого порядка.

Построены пропагаторы уравнения (0.2) и семейство вырожденных М, iV-функций уравнения (0.2) второго порядка.

Изучена морфология фазового пространства уравнения (0.2).

Полученные абстрактные результаты реализованы в конкретных начально-краевых задачах.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Для исследования используются методы функционального анализа, в частности, метод пропагаторов, результаты спектральной теории, теории полиномиально ограниченных пучков и теории полугрупп. При исследовании задачи Коши для уравнения (0.2) второго порядка мы существенно опираемся на теорию М, iV-функций - операторов решения задачи (0.1), (0.2), разработанную И.В.Мельниковой для невырожденного уравнения (0.2) второго порядка.

Суть нашего метода исследования заключается в редукции сингулярного уравнения (0.2) к уравнению (0.3), определенному однако не на всем банаховом пространстве U, а на некотором его подпространстве V, которое мы понимаем как фазовое пространство исходного уравнения. Особо привлекательной чертой этой теории является ее адекватность широкому кругу прикладных задач.

При изучении начально-краевых задач для уравнений (0.12), (0.13) мы используем стандартную технику, созданную на стыке функционального анализа и теории уравнений в частных производных. Основы этой техники были заложены в классической монографии C.JI. Соболева [64].

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация кроме Введения содержит три главы и Список литературы. Список литературы не претендует на полноту и отражает лишь личные вкусы и пристрастия автора.

В первой главе изложены результаты, связанные с полиномиально относительно ограниченными пучками операторов. В первом параграфе вводится определение и изучаются свойства относительных резольвент пучка операторов В

Второй параграф содержит некоторые достаточные и необходимые условия полиномиальной А-ограниченности пучка операторов.

Здесь построены проекторы, расщепляющие пространства U и ^ в прямую сумму подпространств, доказана теорема о расщеплении действия всех операторов и получено представление относительной резольвенты пучка В в ряд.

В третьем параграфе определяются ^-присоединенные векторы оператора А и исследуется их связь с относительными резольвентами пучка В■ В частности, показано, что ker(R^(B)A)P+1 есть линейная оболочка множества собственных и ^-присоединенных высоты не больше р векторов оператора А.

В четвертом параграфе приведены достаточные условия полиномиальной Л-ограниченности пучка операторов В в случае, когда оператор А - фредгольмов. Именно этот частный случай является важным в смысле приложений.

Вторая глава содержит наиболее значимые результаты диссертации. В первом параграфе строятся пропагаторы - операторы-решения однородного уравнения (0.2).

Во втором параграфе аналогично регулярному случаю вводится понятие семейства вырожденных М, TV-функций уравнения (0.2) при п = 2 и в предположении полиномиальной Л-ограниченности пучка операторов В доказывается существование аналитического семейства М, TV-функций.

В третьем параграфе найдены достаточные условия полиномиальной А-ограниченности пучка В в терминах вырожденных М, N-функций, которые являются в то же время необходимыми условиями.

Четвертый параграф содержит основной результат второй главы - теорему о том, что если пучок полиномиально А-ограничен и оо - несущественная особая точка относительной резольвенты пучка В, то фазовое пространство уравнения (0.2) совпадает с образом проектора Р и образом оператора (R^(B)A)P+1, гдер - порядок полюса точки оо. Здесь также изучается морфология фазового пространства.

В пятом параграфе получены достаточные условия однозначной разрешимости задачи Коши для неоднородного уравнения (0.2).

Первый параграф третьей главы носит реферативный характер. Здесь представлены основные результаты по теории дифференциальных операторов в банаховых пространствах. Основное внимание здесь уделяется формализации понятия "дифференциальный оператор" в областях с границей класса С°°. В основном все результаты, касающиеся собственно дифференциальных операторов, взяты из богатой содержанием справочной монографии X. Трибеля [65].

Содержательной частью третьей главы следует считать второй и третий параграфы. Здесь содержатся приложения абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам для уравнений в частных производных. Отметим здесь, что эти уравнения относятся к классу неклассических уравнений математической физики. Редукция прикладных задач к абстрактной задаче опирается на идеи и методы, восходящие к С.Л.Соболеву и предложенные в [37] и [65].

АПРОБАЦИЯ

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ некорректных задач "(Екатеринбург, 1998) [126], Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач (Понт-рягинские чтения - IX, Х)"1998, 1999 гг. [113],[115], Третьем и Четвертом сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ - 1998, 2000 (Новосибирск, 1998, 2000) [127], [117], Всероссийской научно-практической конференции "Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе" (Магнитогорск, 1999) [116], Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения "(Одесса, 2000) [118], Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач"(Екатеринбург, 2001) [119], Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели"(Челябинск, 2002) [120], Международной конференции "Ill-posed and inverse problems"(Новосибирск, 2002)[129], Международной конференции "Kolmogorov and contemporary mathematics" (Москва, 2003)[130].

БЛАГОДАРНОСТИ

В заключение считаю своим приятным долгом выразить огромную благодарность моему научному руководителю профессору Г.А. Свиридюку за стимулирующие дискуссии и консультации; коллективу кафедры математического анализа ЧелГУ за строгую, но конструктивную критику, моему мужу Александру Васильевичу за терпимость и заботу; а также моим родителям Зельфире Михайловне, Александру Алексеевичу и сестре Анастасии за безграничную помощь и поддержку.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Замышляева, Алена Александровна

Основные результаты: эллиптический дифференциальный оператор

А : W2m+k{Bj} Wk; А : С2т+*+"{В,-} -> Ск+" является нетеровым и его индекс indA не зависит от к = 0,1,. -VmG Wpm+k{Bj} имеет место оценка:

С\\\и\\2т+к,р < ||An||fc)P+ ||«||ОД < С2\\и\\2т+к,р 1 где ci52 — константы, зависящие от Q, A, {Bj}, к, р, но не зависят от щ

Уи £ C2m+k+^{Bj} имеет место оценка: cilMbт+к+ц < \\Аи\\к+р + IM|o < C2\\uhm+k+ii 1 где как и выше, — константы, не зависящие от и; в силу сказанного, существует проектор Р вдоль kerA на coimA, причем имеют место оценки: съ\\и\\2т+к,Р < \\Аи\\к,Р < с4и\\2т+Кр\ и £ PW2m+k{B3} ; с'3|М|2m+fc+M < \\Au\\k+fi < с'4\\и\\2т+к+ц ; И € PC2m+k^{Bj} ; где Сз;4 и с'3 4 — константы, не зависящие от щ ядро ker А и коядро cokerA не зависят от1 < р < оо, 0 < д < 1 и /с = 0,1,. Имеют место включения ker А С {и£ C°°{Q) : BjU = 0 на ; cokerA С C°°(Q); либо резольвентное множество оператора А пусто, либо спектр а (А) состоит из изолированных точек, являющихся собственными значениями конечной кратности, и сгущаются только на бесконечности.

3.2 "Уравнение Буссинеска - Лява

Пусть О С Ж.п - ограниченная область с границей 50 класса С°°. В цилиндре QxR рассмотрим задачу Коши-Дирихле v(x, 0) = ^о(а^), 0) = ^(ж), х Е О v(x, t) = 0, (х, t) е 50 х R (3.2.1) для уравнения

А - A)vtt = а(Д - \')щ + /?(Д - А> + /, (3.2.2) описывающее продольные колебания упругого стержня с учетом инерции и при внешней нагрузке [66]. Начально-краевую задачу для уравнения (3.2.2) можно описать в терминах задачи (2.5.1) для уравнения (2.5.2), причем отрицательные значения параметра А не противоречат физическому смыслу этой задачи.

Редуцируя задачу (3.2.1),(3.2.2) к задаче (2.5.1), (2.5.2), положим и = {v е W<+2(0) : v(x) = 0, X G 60}, Т = Wj(fi) или и = {ve Cl+2+^(0) : v(x) = 0,хЕ 60}, Т = С1+\0), где Wq(Q) - пространства Соболева 2 < q < оо, С1+1{0) - пространства Гельдера 0 < 7 < 1, 1 — 0,1,. . Операторы А , Bi и Bq зададим формулами А = А — Д , В\ — а(А — А'), В0 = /?(Д — А"). При любом I G {0} U N операторы А, £ь В0 <G C(U] Т) [65].

Обозначим через сг(А) спектр однородной задачи Дирихле в области О для оператора Лапласа Д. Напомним, что спектр сг(Д) отрицателен, дискретен, конечнократен и сгущается только к — оо.

Обозначим через {А^} множество собственных значений, занумерованное по невозрастанию с учетом кратности, а через {ipk} ~ семейство соответствующих собственных функций, ортонормированных относительно скалярного произведения < •, • > из L2(Q). Поскольку {срк} С С°°(П) [65], то х2А - (iBi - В0 = оо

- А*)/*2 + <*(\' - xk)fi + /?(А" - Afc)] < tpk,' > <рк, к=1 где <•,•>- скалярное произведение в Ь2{р).

Лемма 3.2.1 Пусть выполнено одно из следующих условий: (г) А £ сг(Д); и) (А 6 <т(Д)) А (А ф А'); (iii) (А 6 <г(Д)) А (А = А') А (А ф А"). Тогда пучок В = (Bi,Bq) полиномиально А-ограничен, причем оо - устранимая особая точка А резольвенты пучка В

Доказательство. Так как оператор А, в силу самосопряженности, фредгольмов, то, в силу теоремы 1.4.2, достаточно показать отсутствие ^-присоединенных векторов у любого вектора <р G ker А\{0}. i) Если А ^ сг(Д), то ker А = {0} и оператор А не имеет собственных векторов. ii) Если А £ о~(А), тогда ker Л = span{(/?o, <pi}, где cpk - ортогональные собственные функции однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа, отвечающие собственному значению А. Тогда im А = {g е Т : (д, <рк) = 0, к = 1, 2,., 1} и поэтому

I I

Wa) = - Л') akipk & im А, к=1 к=1 I если Л ф X' и ^ \ак\ > 0. То есть оператор А не имеет В-присоеди-к=1 ненных векторов. iii) Если Л Е <т(Д) и Л = Л', но Л ф Л",то i i ~ Л") Е ак(Рк & im А> к=1 fc=1 I если ^ > 0 и оператор А также не имеет ^-присоединенных Jfe=l векторов высоты 1. >

Замечание 3.2.1 В случае (i) А-спектр пучка

В аА(В) = {/4' :

1 2

А; Е N}, где рк' - корни уравнения

Л - Хк)р? + а (А' - Хк)р + /3(А" - Хк) = 0. (3.2.3)

В случае (ii) аА{В) = {р\'к : ^ € N}, где pj^ - корни уравнения (3.2.3) при Л = А/. В случае (iii) И(В) = : fc Е N, к ф I}.

Замечание 3.2.2 Как нетрудно видеть, в случае (Л Е ег(Д))Л(А = А' = А") пучок В не будет полиномиально А-ограниченным.

Теперь проверим условие (А). В случае (i) существует оператор А~1 Е поэтому в силу утверждения 1.2.2 условие (А) выполняется. В случае (ii)

Ini J (рк, ■ > <pkdp

2тгг J ^(A-A k)p? + a(A' - Xk)p + (3( X" - Xk) т.е. (А) не выполняется, поэтому этот случай исключается из дальнейших рассмотрений. В случае (iii) (А) выполняется.

Построим проекторы. В случае (i) Р = 1 и Q — I, в случае (ii)

Р = I" < РкГ > Рк, a=afc а проектор Q имеет тот же вид, но определен на пространстве Т-Итак, в силу теоремы 2.5.1 справедлива

Теорема 3.2.1 Пусть вектор-функция / € С"г((-Т,Т);Я ПС([-Т,Т];Я и Л ^ сг(/\)- Тогда при любых Vq,Vi Е W существует единственное решение задачи (3.2.1), (3.2.2), которое к тому же имеет вид v(t)=х: k=1 iUA - + а(А' - Afc) ^ 4(А- Afc) + a(A'- Хк) lt

А — Afc)(/z^ — р2к) + (А — Хк)(р2к — р\) срк: v0 > срк+ gMfct — gMfe* j eiA{t-s) ert(t-s i. i J w (A - - Pi) к m > Vkds' 4 e ("T'T)' л—1 n 0 ii) (A € сг(А)) Л (A = А') Л (A ^ А"). Тогда при любых v0, V\£U таких, что

0) V- /'(0) существует единственное решение задачи (3.2.1), (3.2.2), которое к тому же имеет вид

Л < Wb/W > л ,

КЛ" "

- Xk) + - bk) nit V2k(X - Xk) + a(X'- Xk) it x

X <(/?£, V0 > (fk + ' ( 1 2 < (fik, Vi > (Pk + г ет*~з) У (А- А ,)(/4 - nl) < ^/(s) > 1 e (~T'T)' о где штрих у знака сумм означает отсутствие членов с номерами к такими, что X — Хк.

Доказательство, (i) Так как в этом случае оператор А непрерывно обратим, то задача однозначно разрешима для любых V0,Vi EU, и решение представимо в виде t с: - • -: о где М(-), N(-) - семейство невырожденных MyN функций. Учитывая, что ъ i(t) = M(t)u0 + N(t)u 1 + J N(t - s)A~1f{s)ds t € (-T, T),

Л-1 v^ (<Pk,-) k= oo

ГЬ-J.

1 2 где ji^ - корни уравнения 3.2.3, получим

M(t)vо = (М21-^1 7

00, r^(A-At)+a(A'-At)^,t + Е fc=i > ^fc

Далее,

Afc) + a(V - AQ г

00 "U „ult

Найдем выражение для третьего слагаемого, t t

J N(t—s)A~1f(s)ds = J J^i-^Sl-SQ)-le^A-lf{s)dlxdi oo « ;1 v

0 7 t

7T-\~T7~~i-2T < W, f{s) > (fikds.

A=1 u ii) В силу леммы 3.2.1 пучок В полиномиально А-ограничен, причем оо - устранимая особая точка А резольвенты пучка В• Таким образом, можно применить теорему 2.5.1. Учитывая, что

CROX-I V^ (Vk,') а операторы (А1)"1, (д21 —fiS\ — 5o)~\ (д21 —fiSi — 3b)-1(/z][ —Si) имеют тот же вид, что в пункте (i), за исключением того, что сум

1 2 мирование ведется по всем к таким, что А^ ^ А и - корни уравнения 3.2.3 при А Ф А&.

В силу теоремы 2.5.1 при любых г>о,г>1 € U таких, что

Ик

J-P)vk = {I-Q)f(P), то есть

V- /(0) V—v /'(0)

Е < > = Е < > = о,

A=Afc A=Afc существует единственное решение задачи (3.2.1),(3.2.2), которое можно представить в виде v(t) = u(t) + w(t), где = - (BoVHi-WW = - Е

Л—Afc а решение и>(£) не подпространстве получается аналогично пункту (i), исключая во всех суммах слагаемые, соответствующие тем номерам /с, для которых А*; — А. о

3.3 Уравнение de Gennes звуковых волн в смектиках

Уравнение звуковых волн в смектиках, впервые полученное P.G.de Gennes, имеет вид д2 д2

A3u = a1—A2u,ai>0, (3.3.1) где Д3 = Л2 +& А2 = £{ + £1.

Исходная модель имеет смысл в цилиндрической области по переменным {z,xi,x2} € [а, Ь] х В случае установившихся звуковых колебаний u(xi,x2, z,t) = v(xi, х2: z) ехр(—iut) в смектике исходное уравнение примет вид q2 a2v) + a2A2v = 0, а2 = (3.3.2)

Пусть fi - ограниченная область с границей SQ класса С°°. В цилиндре Q, х R рассмотрим начально-краевую задачу v(x, 0) = vo(e)j vz(x,0) = vi(x), х=(х1,х2)е£2 v(x, z) = 0, (x, z) eSQxR (3.3.3) для уравнения (3.3.2).

Начально-краевую задачу для уравнения (3.3.2) можно описать в терминах задачи (2.5.1) для уравнения (2.5.2).

Редуцируя задачу (3.3.3),(3.3.2) к задаче (2.5.1), (2.5.2), положим

U = {v <Е \У'+2(П) : v(x) = 0,xG Т = W^Q) или

U = {ve Cl+2+\Q) : v(x) = 0,хеЩ, т= С'+7(П), где Wq(Q) - пространства Соболева 2 < q < оо, Cl+1{Vl) - пространства Гельдера 0 < 7 < 1, Z = 0,1,. . Положим для удобства а = — ск2, Д = Дг- Операторы А , В\ и Bq зададим формулами А = Д — а , В\ = О, Bq = аД. При любом I Е {0} U N операторы А,ВиВоеС(и;Г) [65].

Обозначим через {А^} множество собственных значений однородной задачи Дирихле в области Q для оператора Лапласа Д, занумерованное по невозрастанию с учетом кратности, а через - семейство соответствующих собственных функций, ортонормиро-ванных относительно скалярного произведения < •, • > из L2(Q).

Поскольку {<рк} С C°°(Q) [65], то

I? А - pBi - В0 = оо Aft)//2 + а\к] <(pk,- > ifk где <•,•>- скалярное произведение в L2(Q).

Лемма 3.3.1 Пусть а Е R. Тогда пучок В = (B\,Bq) полиномиально А-ограничен, причем оо - устранимая особая точка А резольвенты пучка В

Доказательство. Так как оператор А, в силу самосопряженности, фредгольмов, то, в силу теоремы 1.4.2, достаточно показать отсутствие .^-присоединенных векторов у любого вектора tp Е ker А\{0}. i) Если а £ сг(Д), то ker А = {0} и оператор А не имеет собственных векторов. ii) Если a Е сг(Д), тогда ker А = span{</?o, где <pk - ортогональные собственные функции однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа, отвечающие собственному значению а. Тогда i -> если ^ \ак\ > 0 и оператор А также не имеет ^-присоединенных к=1 векторов. с> im A = {g £ Т : (g,(pk) = 0, к = 1,2, .,1} и поэтому А — 12

Замечание 3.3.1 В случае (i) А-спектр пучка В ст (В) = {ц>к ■ к £ N}, где р}^2 - корни уравнения

Aft - а)р2 - а\к = 0. 81

3.3.4)

В случае (ii) аА(В) = • ^ ^ где " коРни уравнения

3.3.4) при а ф Л;.

Теперь проверим условие (А). В случае (i) существует оператор € С.(Т\1А), поэтому в силу утверждения 1.2.2 условие (А) выполняется. В случае (ii)

Построим проекторы. В случае (i) Р — I и Q = I, в случае (ii) а=Х к а проектор Q имеет тот же вид, но определен на пространстве Т■ Итак, в силу теоремы 2.4.2 справедлива

Теорема 3.3.1 (%) Пусть а 0 0"(Д). Тогда при любых v$,vi Е Ы существует единственное решение задачи (3.3.3), (3.3.2), которое к тому же имеет вид

Afc - а)р2 - а\к (рк, - > Vkdp u(z) = 53 < > Vkch а<А к

3.3.5)

И) Пусть (а £ сг(А)). Тогда при любых vo, vi € U1 = {v £ U :< v, Lpk >= О, Л = Л^} существует единственное решение задачи (3.3.3), (3.3.2), имеющее вид (3.3.5).

Доказательство, (i) Так как в этом случае оператор А непрерывно обратим, то задача однозначно разрешима для любых vq,v\ £U, и решение представимо в виде u(z) = M(z)u0 + N(z)uu z £ [a, 6], где M(-), N(-) - семейство невырожденных M,N функций. Учитывая, что оо

А = > -г-<Рк, и л Хк ~ « к—1

- ад- - О*-*)- =

1-vlSx-SO)-1^! -50 = /V1 -So)"1 = £ fiz{Xk - а) - аХк получим

M(Z)vq = K^l-SoT^vodfi =

-f t

Im J ^ л(Хк - a)

27™ ./ 13 - a) - aXk у к—1 (pk,v0> (pke^zv0dn =

У] < V0, > + e <V^(Pk> Vk cos \j-~a<Xk a>Xk

Найдем выражение для N(z)vi iV(z)vi = з^У (А^-ЗоГ^М/* =

2ni J ^ - a) - k 1 < »ЬЙ > Vk^J^-shy/ a< Afc a> Afc ii) В силу леммы 3.3.1 пучок В полиномиально А-ограничен, причем оо - устранимая особая точка А резольвенты пучка В• Таким образом, можно применить теорему 2.4.2. Образом проектора Р будет множество Ц1 из условия теоремы.

В данном случае операторы (А1)-1, (/х21 — So)-1, — So)-1 имеют тот же вид, что в пункте (i), за исключением того, что суммирование ведется по всем к таким, что ф а. В силу теоремы 2.4.2 при любых г>о, vi Е Ы1 получим, что существует единственное решение задачи (3.3.3),(3.3.2), которое целиком лежит в фазовом пространстве U1 и его можно представить в виде (3.3.5). >

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Замышляева, Алена Александровна, 2003 год

1. Александрян Р.А. Спектральные свойства операторов порожденных системами дифференциальных уравнеий типа Соболева // Тр. ММО. 1960. Т.9. С.455-505.

2. Ануфриева У.А. Вырожденная задача Коши для уравнения второго порядка. Критерий корректности //Дифференц. уравн. 1998. Т. 34. №8. С. 1131-1133.

3. Бокарева Т.А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. СПб, 1993.

4. Брычев С.В. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 2002.

5. Вадиаа А. Малые колебания плоского маятника с полостью, заполненной одной идеальной капиллярной жидкостью // Деп. в ГНТБ Украины. №98-Ук94.

6. Вадиаа А. Малые колебания пространственного маятника с полостью, заполненной системой несмешивающихся идеальных жидкостей // Деп. в ГНТБ Украины. №100-Ук94.

7. Власенко Л.А., Руткас А.Г. Теоремы единстаенности и аппроксимации для одного вырожденного операторно-дифференциального уравнения // Матем. заметки. 1996. Т. 60, т. С. 597-601

8. Васильев В.В., Крейн С.Г., Пискарев С.И. Полугруппы операторов, косинус оператор-функции и линейные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техн. Сер. Матем. анализ. Изд. ВИНИТИ. 1990. Т. 28. С. 87-202.

9. Вишик М.И. Задача Коши для уравнений с операторными ко-эффициентаим, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения // Матем. сб. 1956. Т. 38, №1. С. 51-148.

10. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: НГУ, 1983.

11. Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М.: Наука, 1986.

12. Гальперн С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными // УМН.1963. Т.18, вып.2. С.239-249.

13. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.

14. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга, 1998.

15. Дудко J1.J1. Исследование полугрупп операторов с ядрами. Дисс. . .канд. физ.-мат. наук. Новгород, 1996.

16. Егоров И.Е. Краевые задачи для одного дифференциально-оператороного уравнения высокого порядка // Матем. заметки Якут. гос. ун-та. 1997. Т.4, N1. С.21-25.

17. Егоров И.Е. Разрешимость нелокальной краевой задачи для дифференциально-оператороного уравнения смешанного типа // Матем. заметки Якут. гос. ун-та. 1995. Т.2, N2. С. 61-72.

18. Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов С.В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

19. Ефремов А. А. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1996.

20. Загребина С.А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 2002.

21. Зеленяк Т.И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск: НГУ. 1965.

22. Зоберн Н.И. Краевые задачи в бесконечногм цилиндре для одного уравнения, неразрешенного относительно второй производной // Рук. деп. в ВИНИТИ. №1260-В96.

23. Зубова С.П., Чернышов К.И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной // Диффер. уравн. и их применения. 1976. №14. С.21-39.

24. Инези X. Экспериментальное исследование солитонов в плазме // Солитоны в действии М.: Мир, 1981. С. 163-184.

25. Келлер А.В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1997.

26. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка // Новосиб. ун-т. Новосибирск, 1990.- 132 с.

27. Кожанов А. И. Существование "почти регулярных "решений граничной задачи для одного класса линейных соболевских уравнений нечетного порядка // Матем. заметки Якут.гос. унта. 1997. Т.4, N1. С.29-37.

28. Кожанов А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений // ДАН СССР. 1992. Т.326, №5. С. 781-786.

29. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. М.: Наука, 1989.

30. Костюченко А.Г., Эскин Г.И. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперина // Труды Моск. матем. об-ва. 1961. Т. 10. С. 273-285.

31. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.- М.: Наука, 1967,- 275 с.

32. Крейн С.Г., Чернышев К.И. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве // Препринт Ин-та матем. СО АН СССР.- Новосибирск, 1979. 18 с.

33. Кузнецов Г.А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1999,- 105 с.

34. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

35. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, VII. Теория упругости. М.: Наука, 1987.

36. Лере Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.

37. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

38. Мельникова И.В., Алыпанский М.А. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве // ДАН. 1994. Т. 336, №1. С. 17-24.

39. Мельникова И.В. Вырожденная задача Коши в банаховых пространствах // Изв. УрГУ. Матем. и мех. 1998. Т. 3, №1. С. 147-160.

40. Мельникова И.В. Метод интегрированных полугрупп для задачи Коши в банаховом пространстве // Сиб. матем. журн. 1999. Т.40, №1. С. 119-129.

41. Мельникова И.В., Алынанский М.А. Обобщенная корректность задачи Коши и интегрированные полугруппы // ДАН. 1995. Т.343, т. С. 448-451.

42. Мельникова И.В., Филинков А.И. Интегрированные полугруппы и С-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач // Успехи матем. наук. 1994. Т. 49, т. С. 111-150.

43. Мельникова И.В., Филинков А.И. Интегрированное семейство М, А/'-функций // ДАН. 1993. Т. 46, №2. С. 214-219.

44. Павлов А. Л. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперна в пространствах функций степенного роста // Матем. сб. 1993. Т. 184, N 11. С. 3-20.

45. Попов С.В. О граничной задаче для оператороно-дифференциального уравнения высокого порядка // Матем. заметки Якут. гос. ун-та. 1997. Т. 4, N1. С. 105-109.

46. Попов С.В. Гладкость решений краевых задач для операторно-дифференциального уравнения высшего порядка // Матем. заметки Якут. гос. ун-та. 1998. Т. 5, №1. С. 106-112.

47. Пятков С.Г. Об одном линейном уравнении неклассического типа высокого порядка. Препринт / ИМ СО АН СССР, 1981. 24 с.

48. Свиридюк Г.А. Линейные соболевские уравнения // Рук. деп. ВИНИТИ, 1985, Деп. №4265-85, 40 с.

49. Свиридюк Г.А. Задача Коши для линейного операторного уравнения типа Соболева с неположительным оператором при производной // Дифференц. уравн. 1987. Т. 23, №10. С. 18231825.

50. Свиридюк Г.А. Задача Коши для линейного сингулярного операторного уравнения типа Соболева // Дифференц. уравн. 1987. Т. 23, №12. С. 2168-2171.

51. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений // Дифференц. уравн. 1990. Т. 26, №2. С. 250-258.

52. Свиридюк Г.А., Апетова Т.В. Фазовые пространства линейных динамических уравнений типа Соболева // ДАН. 1993. Т. 330, №6. С. 696-699.

53. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи матем. наук. 1994. Т. 49, №4. С.47-74.

54. Свиридюк Г.А. Линейные уравнения типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов с ядрами // ДАН. 1994. Т. 337, №5. С. 581-584.

55. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева // Сиб. матем. журн. 1995. Т. 36, №5. С. 1130-1145.

56. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Относительно сильно радиальные операторы и сильно непрерывные полугруппы операторов с ядрами // Успехи матем. наук. 1995. Т. 50, №4. С. 142.

57. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Полугруппы операторов с ядрами // Вестник ЧелГУ. Матем. и мех. Челябинск. 2002, №1. С. 42-70.

58. Свиридюк Г.А., Вакарина О.В.Задача Коши для линейных уравнений типа Соболева высокого порядка // Дифференц. уравн. 1997. Т. 33, №10. С. 1410 1418.

59. Свиридюк Г.А., Вакарина О.В. Линейные уравнения типа Соболева высокого порядка // ДАН. 1998. Т.393, №3. С. 308 -310.

60. Сидоров Н.А. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления,- Иркутск: Иркут. ун-т, 1982.- 312 с.

61. Сидоров Н.А., Романова О.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений // Дифференц. уравн. 1983. Т. 19, N 9. С. 1516 -1526.

62. Сидоров Н.А., Фалалеев М.В. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при старших производных // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, №9. С. 1516 1526.

63. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР, сер. матем. 1954. Т. 18. С. 3-50.

64. Соболев С.Л. Применение функционального анализа к математической физике. Л.: Наука, 1961.

65. Трибель X.Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

66. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

67. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах // Сиб. мат. ж. 2000. Т. 41, №5. С. 1167 1182.

68. Федоров В.Е. Исследование разрешающих полугрупп уравнений типа Соболева. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1996.- 104 с.

69. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. М.: Мир, 1986-88.

70. Шароглазов B.C. О некоторых свойствах решений вырожденных дифференциальных уравнений // В сб. Аналитические и конструктивные методы исследования дифференциальных уравнений. Иркутск: Иркут. ун-т, 1993.- 214 с.

71. Шкляр А.Я. Корректность задачи Коши для трехчленных дифференциально- операторных уравнений высших порядков // Укр. мат. ж. 1993. Т. 45, №5. С. 707-714.

72. Якупов М.М. Фазовые пространства некоторых задач гидродинамики. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1999.

73. Abdelazis N.H., Neubrander F. Degenerate abstract Cauchy problems // Seminar notes in Funct. Anal, and Part. Dif. Eq. Louisiana State Univ. 1991-1992. P. 1-12.

74. Arendt W., Favini A. Integrated solutions to implicit differential equations // Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino. 1993. V. 51, №4. P. 315-329.

75. Autret L., Laubenfels R. Полуаналитические векторы и некорректные задачи Коши второго порядка // C.r.Acad.Sci. Ser.l. 1995. V. 321, т. С. 271-275.

76. Cioranescu Ioana, Lizama Carlos Теорема о спекетраль-ном отображении для интегрированных cos-функций // Part.Differ.Equat.: Models Phys. and Biol.: 1st Belg.-French Meet. Berlin, 1994. P. 82-90.

77. Chinni A.,Cubiotte P. Уравнения с частными производными в банаховом пространстве с нильпотентными операторами // Ann. Pol. Math. 1996. V. 65, №1. P. 67-80.

78. Colli P., Favini А. О некоторых вырождающихся уравнениях второго порядка смешанного типа //FunKc. Ekvac. 1995. V. 38, т. Р. 473-489.

79. Da Prato G., Giusti E. Una carratterizazione dei generatori di funzioni coseno astratoe // Boll. Unione mat. ital. 1967. V. 22. P. 357-362.

80. Fattorini И.О. Ordinary differential equations in linear topological spaces. I, II // J. Different. Equat. 1969. V. 5, №1,6. P. 72-105, 50-70.

81. Favini A., Yagi A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations // Ann. Mat. pur. ed appl. 1993. V.CLXIII. P. 353-384.

82. Favini A., Yagi A. Abstract second order differential equations with applications // Funkc. Ekvac. 1995. V. 38, №1. P. 81-99.

83. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. Marcel Dekker, Inc.: New York Basel - Hong Kong, 1999.

84. Jin Liang,Tijun Xiao Непрерывность по норме пропагаторов (при t>0) абстрактных дифференциальных уравнений произвольного порядка в гильбертовом прстранстве // J. Math. Anal, and Appl. 1996. V. 204, №1. P. 124-137.

85. Kim Du Jin Начальная задача для операторно-дифференциального уравнения высокого порядка / / Kwahagwon tongbo-Bull.Acad.Sci.D.PR Korea. 1992. №6. P. 8-11.

86. Leis R. Начально-краевая задача теории упругости для сред с кубической симметрией // Bonn. math.Schr. 1993. №239. P. 11-20.

87. Liang Jin, Xiao Tijun Характеризация непрерывных по норме пропагаторов абстрактных дифференциальных уравнений второго порядка //Comput. and Math. Appl. 1998. V. 36, №2. P. 87-94.

88. Maksudov F.G. Некоторые вопросы спектральной теории операторных пучков // Mem.Differ.Equat. and Math.Phys. 1997. V. 12. P. 157-164.

89. Neubrander F. Well-posedness of higher order abstract Cauchy problems // Transl. amer. Math. Soc. 1986. V. 295, №1. P. 257290.

90. Neubrander F. Integrated semigroups and their applications to the abstract Cauchy problem // Pacific J. Math. 1988. V. 135. P. 111-155.

91. Neubrander F. Integrated semigroups and their applications to complete second order Cauchy problems // Semigroup Forum. 1989. V. 38. P. 233-251.

92. Oka Hirokazu Об одном классе полных линейных дифференциальных уравнений второго порядка //Proc.Amer.Math.Soc. 1996. V. 124, №10. P. 3143-3150.

93. Oseen C.W. Hydrodynamik. Leipzig, 1927.

94. Poincare H. Sur l'equilibre d'une masse fluide animee d'un mouvement de rotation // Acta Math. 1885. V. 7. P. 259-380.

95. Showalter R.E. Partial differential equations of Sobolev-Galperin type // Pacific J. Math. 1963. V. 31, №3. P. 787-793.

96. Showalter R.E. Well-posed problems for partial differential equations of order 2m + 1// SIAM J. Math. Anal. 1970. V. 1, №2. P. 214-231.

97. Sidorov N., Loginov В., Sinytsyn A., Falaleev M. Lyapunov-Schmidt method in nonlinear analysis and applications. Dordrecht Harbound: Kluwer Academic Publishers, 2002.

98. Sova M. Problems de Cauchy pour equations hyperboliques operationneles a coefficients constants nonbornes // Ann. scuola norm, super. Pisa. Sci. fis. e mat. 1968. V. 22, №1. P. 67-100.

99. Sova M. Cosine operator functions // Rozpr. Math. 1966. V. 49. P. 1-47.

100. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht: VSP, 2003. 268 p.

101. Vadiaa А. Собственные колебания плоского маятника с полостью, заполненной системой несмешивающихся вязких жидкостей // Spectral and Evol.Probl.: CROMSH-IV. Simferopol, 1995. P. 83-85.

102. Vadiaa A.,Kopachevski N.D. Малые колебания плоского маятника с полостью, частично заполненной идеальной капиллярной жидкостью // Spectral and Evol.Probl.: CROMSH-IV. Simferopol, 1995. P. 98-102.

103. Wang Haiyan C-cosine operator functions and abstract 2nd order Cauchy problem // Northeast. Math. J. 1995. V. 11, №1. P. 85-94.

104. Xiao Tijun, Liang Jin Задача Коши для одного класса абстрактных уравнений высокого порядка // Chin. Ann. Math. А. 1997. V. 18, №2. P. 135-144.

105. Xiao Tijun, Liang Jin Задача Коши для абстрактного дифференциального уравнения высокого порядка // Chin. Ann. Math. А. 1993. V. 14, №5. P. 523-535.

106. Xiao Tijun, Liang Jin Полугруппы, возникающие из упругих систем с диссипацией // Comput and Math. Appl. 1997. V.33, mo. p.i-9.

107. Zheng Quan, Lei Yansong Exponential bounded C-cosine operator functions //J. Syst. Sci. and Math. Sci. 1996. V. 16, №3. P. 242-252.

108. Zheng Quan Интегрированные косинус-функции // Int. J. Math, and Math. Sci. 1996. V. 19, №3. P. 575-580.

109. Zheng Quan Strongly continious M, TV-families of bounded operators // Int. Equat. Oper. Th. 1994. №19. P. 106-119.

110. Замышляева А.А. Об одной начально-краевой задаче для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной / / Студент и научно-технический прогресс: Тез. докл. Челябинск, 1997. С. 9-11.

111. Замышляева А.А. Об одной начально-краевой задаче для уравнения теории фильтрации // Материалы XXXV Между-нар. науч. студ. конф. "Студент и научно-технический прогресс". Новосибирск, 1997. С. 36-37.

112. Замышляева А.А. Задача Коши для неполного уравнения соболевского типа высокого порядка // Материалы XXXVI Междунар. науч. студ. конф. "Студент и научно-технический прогресс". Новосибирск, 1998. С. 44-45.

113. Замышляева А.А. Неполные уравнения соболевского типа //Современные методы в теории краевых задач (Понтрягинские чтения IX): Тез. докл. Воронеж, весенней матем. школы. Воронеж, 1998. С. 80.

114. Замышляева А.А. Неполные линейные уравнения соболевского типа высокого порядка // Рук. деп. ВИНИТИ, 1998, № 2001-В98. 33 с.

115. Замышляева А.А. Линейные уравнения соболевского типа высокого порядка // Тез. докл. конф. "Понтрягинские чтения -ХмВоронеж. весенней матем. школы. Воронеж, 1999. С. 104.

116. Замышляева А.А. Семейство M,N оператор-функций одного класса уравнений соболевского типа // Матер. Всерос. научно-практ. конф. "Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе". Магнитогорск, 1999. С. 14.

117. Замышляева А.А. Семейство M,N оператор-функций // Тез.докл. Четвертого сиб. конгресса по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ 2000. Новосибирск, 2000. С.58.

118. Замышляева А.А.Полиномиально сг-ограниченные пучки // Межд. конф. "Дифференц. и интегр. уравн.". Одесса, 2000. С.108-109.

119. Замышляева А.А. Полиномиально ст-ограниченные пучки и пропагаторы // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. всерос. конф. Екатеринбург, 2001. С. 149-150.

120. Замышляева А.А. Фазовое пространство уравнения соболевского типа второго порядка // Тез. докл. Межд.конф."Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели". Челябинск, 2002. С. 38.

121. Замышляева А.А. Задача Коши для линейного уравнения соболевского типа второго порядка // Уравнения соболевского типа. Сб. науч. работ. ЧелГУ. 2002. С. 16-29.

122. Замышляева А.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа второго порядка //Вычислит. технол. 2003. Т. 8, №4. С. 45-54.

123. Замышляева А.А. Задача Коши для неоднородного уравнения соболевского типа высокого порядка // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Матер, конф., Воронеж: Воронежский гос. ун-т, 2003. С. 105-106.

124. Замышляева А.А., Бородина О.Ю. Регулярные пучки матриц // Вестник ЧелГУ. Матем., мех. и информат. Челябинск. 2003, Ж. С. 22-33.

125. Замышляева А.А., Уткина А.В. Достаточные условия полиномиальной ограниченности пучка операторов // Вестник ЧелГУ. Матем., мех. и информат. Челябинск. 2003, №1. С. 66-73.

126. Свиридюк Г.А., Замышляева А.А. Об одном классе неполных уравнений типа Соболева //Алгоритмический анализ некорректных задач: Тез. докл. всерос. конф. Екатеринбург, 1998. С. 225-226.

127. Свиридюк Г.А., Замышляева А.А. Неполные уравнения соболевского типа высокого порядка // Тез.докл. Третьего сиб.конгресса по прикладной и индустриальной математике ИН-ПРИМ 98. Новосибирск, 1998. С.39.

128. Свиридюк Г.А., Замышляева А.А. Морфология фазовых пространств одного класса линейных уравнений типа Соболева высокого порядка / / Вестник Чел ГУ. Матем. и мех. Челябинск. 1999, т. С. 87-102.

129. Zamyshlyaeva A.A. The Cauchy problem to the Sobolev type equation of the second order // Abstracts Sci.Int.Conf "Ill-posed and inverse problems". Novosibirsk, 2002. P. 177.

130. Zamyshlyaeva A.A. On the Cauchy problem for one Sobolev type equation of the second order equation // Kolmogorov and contemporary mathematics: Abstracts of the Int. Conf. Moscow: Moscow State University, 2003, P. 262-263.