Теоретическое исследование спектральных эффектов, обусловленных случайными деформациями в кристаллах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Абишев Нурбулат Мирбулатович

• Абишев Нурбулат Мирбулатович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Абишев Нурбулат Мирбулатович

Введение

Глава 1. Функция распределения случайных деформаций, индуцированных точечными дефектами в упруго анизотропном кристалле,

§1.1. Поле деформаций, индуцированных точечным дефектом

§1.2. Функции распределения деформаций в реальных кристаллах

Глава 2. Деформационное расщепление и уширение линий в оптических спектрах диэлектрических кристаллов с примесями редкоземельных ионов

§2.1. Гвмильтониан редкоземельного иона в диэлектрическом кристалле

§2.2. Форма линии синглет-дублетного перехода в кристалле ЫЬиР4;Рг3+

§2.3. Тонкая структура линий в оптических спектрах кристаллов АВ04

(А = У, Ьи; В = V, Р) с примесями ионов Тт3+

Глава 3. Спектральные эффекты, обусловленные микроскопической

неоднородностью сегнетоэластиков ЬаА103;Но3+ и ЬаА103;Тт3+

§3.1. Структура и спектральные характеристики кристаллов алюмината лантана, активированных редкоземельными ионами

§3.2. Моделирование деформационных расщеплений спектральных линий в оптических спектрах кристаллов ЬаА103;Тт3+ и ЬаА103;Но3+

Глава 4. Антипересечения сверхтонких подуровней в оптических спектрах

кристалла ЫУБ4;Но3+

Заключение

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Упругие постоянные, использованные в расчетах

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Параметры гамильтониана свободного редкоземельного

иона

ПРИЛОЖЕНИЕ В. Интегралы перекрывания

Список литературы

Публикации автора по теме работы

Введение

В настоящей работе представлено теоретическое исследование спектральных эффектов, обусловленных случайными деформациями кристаллической решетки, наблюдаемых в оптических спектрах диэлектрических кристаллов различной структуры, активированных редкоземельными (РЗ) ионами. Развита методика вычислений тонкой деформационной структуры спектральных линий, соответствующих излучательным переходам с участием орбитально вырожденных уровней энергии РЗ ионов с учетом упругой анизотропии кристалла.

В оптических спектрах диэлектрических кристаллов с примесями РЗ ионов ширины наблюдаемых линий, отвечающих переходам между подуровнями 4/ мультиплетов РЗ иона, всегда существенно больше естественной ширины участвующих в переходе уровней энергии вследствие неоднородного уширения. Неоднородное уширение является результатом взаимодействиями оптических центров с полями различной природы. В частности, взаимодействие 4/ электронов, локализованных на РЗ ионе, с полем случайных деформаций, индуцированных дефектами решетки, обусловливает квази-непрерывное распределение энергии квантовых переходов и соответствующее неоднородное уширение. Наряду с уширением, случайные деформации формируют тонкую структуру бесфононных линий в случае переходов, в которых участвуют орбитально вырожденные состояния РЗ ионов в кристаллических полях тригональной, тетрагональной и кубической симметрии.

Дефекты кристаллической решетки играют существенную роль в формировании физических свойств кристаллов. Точечные дефекты в кристалле (примесные ионы, вакансии, атомы в междоузлиях) искажают регулярную периодическую структуру решетки. Флуктуации кристаллического поля (КП), обусловленные статическими смещениями ионов, расположенных в окрестности дефекта, из узлов решетки, расщепляют и смещают уровни энергии парамагнитных ионов. Физические характеристики, позиции и распределение дефектов в объеме кристалла, как правило, не известны, и обусловленные дефектами изменения

спектров оптических центров имеют случайный характер. Статистическая теория неоднородного уширения спектров кристаллов, основанная на построении функции распределения случайных деформаций, индуцированных точечными дефектами в упруго изотропном континууме, была развита в работе [1]. Однако в рамках этой теории, в течение многих лет используемой при изучении формы неоднородно уширенных спектральных линий в различных системах, рассматривалась лишь одна из шести компонент тензора деформации, и не учитывались свойства симметрии тензора случайных деформаций в позиции оптического центра. Функции распределения для двух и трех компонент тензора деформации, преобразующихся по неприводимым представлениям фактор группы кристаллической решетки, были получены в работах [2,3]. Аналитическое представление обобщенной функции распределения для всех компонент тензора случайных деформаций, индуцированных точечными дефектами в упруго изотропном континууме, было введено в работе [4].

Целью настоящего исследования является развитие теории, описывающей профили неоднородно уширенных линий в оптических спектрах диэлектрических кристаллов, содержащих РЗ ионы, с учетом случайных деформаций, индуцированных в упруго анизотропной кристаллической решетке точечными дефектами либо доменной структурой в сегнетоэластиках.

Достижение поставленной цели предполагает решение следующих задач;

1. Вывод аналитического выражения для функции распределения случайных деформаций, индуцированных точечными дефектами в упруго анизотропном континууме. Определение структуры функции распределения случайных деформаций в мульти-доменном сегнетоэластике на основе анализа экспериментальных данных.

2. Разработка программы расчета параметров функции распределения случайных деформаций в кристаллах кубической, тетрагональной и тригональной симметрии с заданными упругими постоянными.

3. Разработка программ расчетов профилей спектральных линий в спектрах

РЗ ионов в кристаллах с учетом полей случайных деформаций и

4

сверхтонкого взаимодействия на основе построения операторов электрон-деформационного взаимодействия в рамках модели обменных зарядов.

4. Апробация развитой теории и методики расчетов спектральных эффектов, обусловленных случайными деформациями, на основе моделирования специфических особенностей спектров примесных РЗ ионов в тетрагональных кристаллах со структурой шеелита и циркона и в ромбоэдрическом сегнетоэластике ЬаЛ103, измеренных в Институте спектроскопии РАН и в Казанском федеральном университете.

5. Моделирование профилей спектральных линий, соответствующих оптическим переходам с участием некрамерсовских дублетов примесных ионов гольмия в тетрагональном кристалле ЫУБ4 во внешнем магнитном поле с целью выявления эффектов, обусловленных случайными деформациями, в области антипересечений сверхтонких подуровней дублетов.

Из теории упругости твердых тел следует, что векторное поле смещений, индуцируемых точечным дефектом в упругом континууме, является дальнодействующим, поскольку модули смещений обратно пропорциональны квадрату расстояния между источником напряжения (точечным дефектом) и произвольной точкой сплошной среды подобно электрическому полю точечного заряда. Таким образом, эффекты, обусловленные деформациями кристаллической решетки, могут наблюдаться в спектрах примесных РЗ ионов в кристаллах даже при низких концентрациях как точечных дефектов, так и зондов структуры кристаллической решетки - РЗ ионов. В исследованных нами спектрах активированных кристаллов номинальная концентрация РЗ ионов составляла ~ 0,10,5 ат. %.

В первой главе диссертации рассмотрена методика построения функции распределения случайных деформаций с использованием характеристик поля смещений, индуцируемых точечным дефектом в упруго анизотропном

континууме. Представлен вывод аналитического выражения для функции

5

распределения двух компонент тензора деформации. С использованием ряда приближений, для которых выполнены оценки вносимых погрешностей, получено аналитическое выражение для функции распределения всех симметризованных компонент тензора деформации, преобразующихся по неприводимым представлениям (НП) фактор группы кристаллической решетки, в виде обобщенного распределения Лоренца с шириной, являющейся характеристикой образца, равной произведению концентрации и «силы» дефектов. Приведены результаты вычислений параметров функции распределения для ряда кристаллов кубической, тетрагональной и тригональной симметрии.

Во второй главе представлена общая структура оператора Гамильтона РЗ иона в диэлектрическом кристалле и рассмотрено моделирование формы спектральных линий, соответствующих переходам между электронными подуровнями мультиплетов РЗ ионов, расщепленных тетрагональным кристаллическим полем, в кристаллах со структурой шеелита (Ь1ЬиБ4;Рг3+) и циркона (АВ04 ; Тт3+, где А = У, Ьи; В = Р, V). Моделирование спектров включает расчеты параметров КП и параметров электрон -деформационного взаимодействия в модели обменных зарядов, последовательную численную диагонализацию Гамильтониана РЗ иона в полном базисе состояний соответствующей электронной 4/ м конфигурации, корректировку параметров на основе сравнения вычисленных и измеренных частот оптических переходов и идентификацию спектральных линий, усреднение форм-функций излучательных переходов с функциями распределения случайных деформаций, полученными в Главе 1. Детально описано формирование дублетной структуры наблюдаемых спектральных линий, соответствующих оптическим переходам типа синглет - дублет.

В третьей главе исследованы оптические спектры поглощения и фотолюминесценции и спектры селективного возбуждения излучения мульти-доменных кристаллов ЬаА103 в ромбоэдрической фазе, активированных ионами Тт3+ и Но3+, замещающими ионы Ьа3+ в позициях с точечной группой симметрии Э3. Получены параметры КП, представлена штарковская структура мультиплетов,

идентифицированы наблюдаемые аномально широкие спектральные линии.

6

Дублетная и триплетная структуры линий, соответствующих оптическим переходам с участием некрамерсовских дублетов, интерпретируются как результат взаимодействия РЗ ионов с полем случайных деформаций, индуцируемых в микроскопически неоднородном образце границами сегнетоэластических доменов с различными ориентациями спонтанной деформации вдоль четырех тригональных осей симметрии высокотемпературной кубической фазы. Профили спектральных линий вычисляются с использованием введенной автором функции распределения случайных деформаций сдвига в двух плоскостях, перпендикулярных границе соприкасающихся доменов. Впервые рассматривается механизм формирования и распределения интенсивности по компонентам деформационной триплетной структуры.

В четвертой главе представлен анализ сверхтонкой структуры линий, соответствующих переходам синглет-дублет между подуровнями двух нижних мультиплетов ионов гольмия, в спектрах поглощения кристалла 7LiYF4:Ho3+ во внешнем магнитном поле, параллельном оси симметрии тетрагональной решетки, с учетом поля случайных деформаций, индуцируемых точечными дефектами. Продемонстрирована возможность наблюдения деформационных расщеплений и тонкой четырёхкомпонентной структуры спектральных линий в образце высокого оптического качества в области антипересечений сверхтонких компонент дублетов с проекциями т и т' ядерного спина на направление внешнего магнитного поля, удовлетворяющими условиям антипересечения т=т' и |т-т'|=2.

В Заключении сформулированы результаты работы.

Актуальность темы исследования.

Изучение физических свойств реальных кристаллических соединений

является актуальным благодаря их широкому использованию как в научных

исследованиях, так и в современных технологиях. Исследования диэлектрических

кристаллов, активированных РЗ ионами, направлены на развитие терагерцевой

спектроскопии, квантовой электроники (поиск новых материалов для лазеров

различных диапазонов длин волн и сцинтилляторов), нанофотоники, сенсорики

(прецизионные датчики температуры, магнитных полей и напряжений) и

7

квантовой информатики (устройства квантовой памяти). Поскольку дефекты оказывают отрицательное влияние на физические характеристики функциональных материалов, изучение индуцированных дефектами спектральных эффектов и разработка спектроскопических методов получения информации о концентрации дефектов представляют несомненный интерес.

Выбор конкретных объектов, рассматриваемых в диссертации, основывался на широком использовании активированных РЗ ионами кристаллов двойных фторидов со структурой шеелита в качестве лазерных материалов и модельных систем в исследованиях квантовой динамики и релаксации электронных и спиновых возбуждений, они являются потенциальными кандидатами в качестве материалов квантовых технологий. Активированные кристаллы ортованадатов и ортофосфатов иттрия и лютеция являются коммерческими материалами, используемыми в генераторах импульсного и непрерывного излучения. Алюминат лантана широко используется в качестве подложки при эпитаксиальном синтезе тонкопленочных гетероструктур. Кристаллы ЬаА103 являются привлекательным материалом для электроники благодаря высокой диэлектрической проницаемости.

Новизна исследования

Выполненное исследование было стимулировано результатами измерений оптических спектров высокого разрешения кристаллов двойных фторидов, оксидов со структурой циркона, алюмината лантана, активированных ионами Рг3+, Но3+ и Тт3+, в Институте спектроскопии РАН, а именно, регистрацией дублетной и триплетной структур спектральных линий, соответствующих оптическим переходам с участием некрамерсовских дублетов. Новизна данного исследования заключается в развитии новых подходов и моделей в теории деформационных расщеплений и деформационного уширения спектральных линий, в которых учитывается упругая анизотропия кристаллической решетки при рассмотрении поля смещений, индуцированных точечными дефектами, и неоднородная доменная структура при рассмотрении поля случайных деформаций в мульти-доменном сегнетоэластике. Аналогов выполненному исследованию на основе полученных

аналитических выражений для функций распределения случайных деформаций в упруго анизотропных кристаллах в физической литературе нет.

Следует также отметить, что в рамках настоящей работы автором получены уточненные наборы параметров КП, действующего на примесные ионы тулия в кристаллах ортованадатов и ортофосфатов иттрия и лютеция, впервые идентифицированы спектральные линии в спектрах алюмината лантана, активированного ионами гольмия и тулия, найдены параметры КП и построена штарковская структура мультиплетов, вычислены параметры электрон -деформационного взаимодействия в кристаллах LaЛ103: Но3+ и LaЛ103: Tm3+.

Методы исследования

Решение основного уравнения теории упругости, связывающего индуцируемые точечным дефектом напряжения со смещениями точек упруго анизотропного континуума, было получено с использованием преобразования Фурье соответствующих функций Грина и аппарата векторного и тензорного исчисления. Использовались также численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, основанные на переходе от непрерывных к дискретным переменным. Для аналитического представления массивов данных, описывающих зависимости компонент тензора деформаций, индуцированных точечным дефектом в упруго анизотропном континууме, от сферических координат фиксированной точки, был использован метод разложения по сферическим гармоникам. Расчет параметров функции распределения, зависящей от двух случайных деформаций, был реализован при помощи встроенных в пакет МайаЬ методов аппроксимаций.

Симметрийный анализ компонент тензора деформации, кристаллических полей, волновых функций РЗ ионов в кристаллических полях был выполнен с использованием методов теории представлений точечных групп симметрии.

Квантово-механические расчеты спектров РЗ ионов выполнены в рамках матричной квантовой механики. Вычисления собственных значений и собственных векторов оператора Гамильтона РЗ иона выполнены методами численной

диагонализации матриц, заложенными в пакете МайаЬ. Методы проективных

9

операторов и теории возмущений использованы при рассмотрении сверхтонкого и электрон-деформационного взаимодействий.

Параметры кристаллических полей и электрон-деформационного взаимодействия были вычислены в рамках модели обменных зарядов.

Достоверность результатов, полученных в настоящей работе, обеспечивается использованием современного математического аппарата теоретической спектроскопии РЗ ионов в кристаллах, корректностью физических приближений, монотонным изменением параметров используемых моделей вдоль ряда лантанидов и ряда изоструктурных кристаллов различного химического состава, согласием результатов вычислений с результатами измерений.

Положения, выносимые на защиту:

1. Аналитические представления для функций распределения случайных деформаций, индуцированных точечными дефектами в упруго анизотропных кристаллах с кубической, тетрагональной (структуры циркона и шеелита) и тригональной симметрией, в виде обобщенной функции Лоренца симметризованных линейных комбинаций шести компонент тензора деформации, преобразующихся по неприводимым представлениям фактор группы кристаллической решетки.

2. Метод расчета параметров функций распределения случайных деформаций, индуцируемых точечными дефектами в упруго анизотропных кристаллах (в алмазе, эльпасолите, шеелите, ортофосфатах и ортованадатах иттрия и лютеция, двойных фторидах лития-иттрия и лития-лютеция и в алюминате лантана в ромбоэдрической фазе) с заданными упругими постоянными.

3. Теория тонкой деформационной структуры спектральных линий, соответствующих оптическим переходам между подуровнями мультиплетов РЗ ионов в кристаллическом поле с учетом взаимодействия 4/-электронов с полем случайных деформаций, индуцированных точечными дефектами в упруго анизотропной кристаллической решетке.

4. Наблюдаемая дублетная структура спектральных линий, соответствующих

переходам синглет-дублет, в оптических спектрах кристаллов ЫЬиР4;Рг3+,

10

ванадатов YV04, LuV04 и ортофосфатов YP04, LuP04 с различными концентрациями примесных ионов Тт3+ является результатом взаимодействия РЗ ионов с полем случайных деформаций, индуцируемых точечными дефектами. Ширина функций распределения деформаций ромбической симметрии равна по порядку величины 10-5, концентрация собственных дефектов кристаллической решетки ~10-5 на единичную ячейку в исследованных образцах.

5. Наблюдаемая в оптических спектрах поглощения тетрагонального кристалла 7LiYF4:Ho3+ во внешнем магнитном поле, параллельном оси симметрии решетки, двухкомпонентная структура спектральных линий, соответствующих переходам между электронно-ядерными подуровнями электронных синглетов и некрамерсовских дублетов при антипересечениях подуровней дублетов с одинаковыми проекциями т=т' ядерного спина на направление магнитного поля, является результатом расщеплений дублетов в поле случайных деформаций. Четырёхкомпонентная структура при антипересечениях подуровней дублета, удовлетворяющих условию |т- т'|=2, является результатом псевдо-квадрупольной сверхтонкой структуры синглета.

6. Аномально сильное неоднородное уширение, дублетная и триплетная структуры спектральных линий в оптических спектрах мультидоменного сегнетоэластика LaЛ103, активированного РЗ ионами, обусловлены взаимодействием РЗ ионов с полями случайных деформаций, индуцируемых границами доменов. Функция распределения случайных деформаций сдвига в плоскостях, перпендикулярных границам доменов, имеет вид двумерной функции Лоренца с шириной, равной по порядку величины

7. Параметры кристаллических полей и электрон-деформационного взаимодействия в кристаллах LiLuF4:Pr3, LuP04:Tm3+, YP04:Tm3+, LuV04:Tm3+, YV04:Tm3+, LaЛ10з:Ho3+, LaЛ10з:Tm3+.

Личный вклад автора

Направление, тематика и задачи работы предложены научным руководителем Б. З. Малкиным. Обсуждаемые в работе оптические спектры поглощения и фотолюминесценции высокого разрешения и спектры, зарегистрированные методами селективной лазерной спектроскопии, были измерены К. Н. Болдыревым и М. Н. Поповой в Институте спектроскопии РАН (Троицк, Москва) и И. Э. Мумджи и С. И. Никитиным в Казанском федеральном университете, соответственно, и представлены в совместных с автором диссертации работах. Автором получены используемые в работе аналитические выражения для функций распределения случайных деформаций, разработаны программы расчетов и построены массивы величин симметризованных компонент тензора индуцируемых точечным дефектом деформаций на сфере единичного радиуса с использованием приведенных в литературе упругих постоянных рассмотренных кристаллов кубической, тетрагональной и тригональной симметрии. Построены программы расчетов и получены величины параметров функций распределения деформаций. Автором выполнены все расчеты спектральных параметров, штарковских структур мультиплетов и профилей рассмотренных в работе спектральных линий. Подготовлены теоретические разделы и соответствующие иллюстрации для всех опубликованных совместно с коллегами-экспериментаторами статей. Автор лично представлял результаты работы в докладах, тезисы которых приведены в списке публикаций.

Работа была поддержана грантом РФФИ «Аспиранты» №19-32-90044 Теория деформационной тонкой структуры и уширения бесфононных линий в оптических спектрах кристаллов, активированных ионами редких земель.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретическое исследование спектральных эффектов, обусловленных случайными деформациями в кристаллах»

Апробация работы

Основные результаты работы были опубликованы в 5 статьях в журналах Physical Review B, Физика Твердого Тела, Optical Materials X, входящих в базы данных Scopus и Web of Science и указанных в перечне ВАК.

Результаты выполненных исследований были представлены и обсуждены на международных, всероссийских конференциях, форумах, а именно: «XXV Съезд по спектроскопии» (устный доклад, Троицк 2017), «XVII Международный Феофиловский симпозиум по спектроскопии кристаллов, активированных ионами редкоземельных и переходных металлов» (стендовый доклад, Екатеринбург, 23 -28 сентября 2018 г.), «Молодежный научный форум «Open Science 2020» (устный доклад, Гатчина, 18-20 ноября 2020 г.), «2-ая конференция Физика конденсированных состояний, посвященная 90-летия со дня рождения академика Ю.А. Осипьяна» (устный доклад, Черноголовка, 31 мая - 4 июня 2021 г.).

Также результаты исследования были представлены в докладах на Итоговых научных конференциях КФУ и семинарах кафедры теоретической физики Института физики КФУ.

Глава 1. Функция распределения случайных деформаций, индуцированных точечными дефектами в упруго анизотропных кристаллах

§1.1. Поле деформаций, индуцированных точечным дефектом

В настоящей работе индуцированные точечным дефектом деформации кристаллической решетки рассматриваются в приближении континуума. Поле смещений атомов и(г) из узлов регулярной решетки г, обусловленных статическими силами ®(г), действующими на единицу объёма кристалла, описывается в рамках теории упругости системой неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка

а 2ии

+^0' (1л)

где С - тензор упругих постоянных, задающий анизотропию системы (здесь и далее используется правило суммирования по повторяющимся индексам, если не сказано противное). Плотность сил, индуцируемая сферически симметричным точечным дефектом с радиус-вектором Я^, пропорциональна модулю всестороннего сжатия К, силе дефекта О0 (численно равной изменению объема элементарной ячейки, приходящемуся на один дефект) и градиенту дельта-функции Дирака [5, 6];

f (г) = -КП()УЗ(г - И,) . (1.2)

Уравнение для фундаментального решения (тензор Грина ) уравнения (1.1) имеет следующий вид:

с^ГНг~г'к (13)

Смещения точек упругого континуума запишем в виде свертки тензора Грина О и плотности сил /у;

иа=\Оар( г, г')/Д г') . (1.4)

Отметим, что в случае плотности сил вида (1.2) смещения пропорциональны сумме частных производных тензора Грина:

u„ = - Ka p

дх

(1.5)

p

Тензор деформаций еар - симметричный тензор второго ранга, который в линейном приближении имеет следующую связь со смещениями и (г) точек континуума:

1

eap = 2

ди ди.

У$ХР дХа J

(1.6)

В соответствии с ур. (1.5) получаем

к а

Г д2 G д2 G

ap

2

aj

Pr

yfapfaj дХадХг,

(1.7)

Следуя методике, развитой в работах [7, 8], компоненты тензора деформаций в точке с заданным радиус-вектором г можно представить интегралами по окружности единичного радиуса в плоскости, перпендикулярной вектору г - Я [8]:

а 2о.

aj

^ 2ж

= —тг J {2"ЛАГ -2F«r(KKnP+hPnJ+KAAr}У. (1.8)

дхкдхр 8ж r 0

Здесь kap = С p k0 k0 - матрица Кристофеля, дефект находится в начале

координат (R=0), n = r / r,

A

aj

СpvSp {(nvKp + npk0 v )( FapKtj + Fr^ ) - 2nvnpKlp?% }

К

(1.9) (1.10)

и компоненты единичного вектора k0 связаны со сферическими координатами в и

р единичного вектора n соотношениями

k0x = cosysinp- siny cosecosp, k0 = - cosy cosp- sin у cose sin р k0z = sin у sin в.

(111)

В случае упруго-изотропного континуума компоненты тензора деформации (1.6) могут быть представлены аналитически [5, 6]:

е -

а 1 + а( 3х«хр л ^ 2 V '

а 12л г 31 -а

(1.12)

где а- коэффициент Пуассона, 8ар - дельта-символ Кронекера, ха - декартовы

координаты радиус-вектора г. В выражении (12) зависимость компонент тензора деформации еар от сферических углов вектора г определяется линейной

комбинацией сферических функций второго ранга. Учет анизотропии кристаллической решетки впервые был выполнен И.М. Лифшицем и Л.Н. Розенцвейгом [7]. Ими успешно была решена задача о построении тензора Грина основного уравнения теории упругости, которая сводится к нахождению корней характеристического уравнения шестой степени. Также были найдены решения уравнения (1.3) для систем с кубической либо гексагональной симметрией. В случае более низкой симметрии аналитические решения не существуют, однако интегралы в правой части ур. (1.8) можно вычислить численно при заданной ориентации вектора г. В расчетах удобно использовать линейные комбинации компонент тензора деформации, которые преобразуются по неприводимым представления (НП) точечной группы симметрии кристалла.

Шестимерное пространство компонент тензора деформации можно разложить на линейные комбинации ет (г) = ех (Г, г), преобразующиеся по строке X

НП Г фастор группы пространственной группы симметрии кристаллической решетки. В соответствии с ур. (1.8) еар(г)~ Г, и для компонент тензора

деформации выполняется общее соотношение

ет (г) = (в, Р)/*л2г3 . (1.13)

Автором настоящей работы построена программа расчета функций qm (в,р), определяющих деформации на сфере единичного радиуса, для кристаллов произвольной симметрии и сформированы массивы данных функций (в, р) для кристаллов кубической (алмаз и эльпасолит СБ^аУБб с пространственными

группами ¥й3т и ¥т3т, соответственно), тетрагональной (ортованады и ортофосфаты со структурой циркона, двойные фторид ЫУБ4, ЫЬиР4 и шеелит

CaWO4, принадлежащие к группам Лауэ Т1(4/шшш) и Т11(4/т), соответственно) и

ромбоэдрической (ЬаАЮз, пространственная группа R3c) симметрии. Использованные в расчетах упругие постоянные изучаемых в настоящей работе кристаллов приведены в Приложении А. Ниже массивы величин (6,ф) используются при построении функций распределения случайных деформаций. Частичное аналитическое представление таблиц (6,ф) возможно, если величины (0,ф) разложить в ряд по сферическим функциям 7/т (б,ф).

Проведенный анализ показал, что для хорошего согласия разложения в ряд по сферическим функциям с результатами численных расчетов в случае тетрагональной симметрии (в частности, для кристалла ЬиР04) в разложении достаточно ограничиться сферическими функциями до 10-го ранга (/=2,6,10).

Пространство компонент тензора деформации кубического кристалла в кристаллографической системе координат можно разложить на линейные комбинации, преобразующиеся в соответствии с НП Л1ё, Е8 и ¥2% точечной группы симметрии О^:

в (А1ё ) = (вхх + вуу + ezz )/л/6 , в ^ ) = (2вг2 - вхх - в^)/>/12 , e2 {Кё ) = (exx - в^ )/2 , (1.14а)

е1 (Р2ё ) = в^, в2 ) = ву2, вз ) = вху . (1.14б)

Линейные комбинации (1.14а) и (1.14б) тензора деформации в тетрагональных кристаллах со структурой циркона относятся к НП фактор группы 04ъ пространственной группы пЦ (/4\/ат^)\

в К ) = в1 =(вхх + вуу + ezz , е (4 ) = в2 =(2ezz - вхх - е^)/^ (1.15а)

е В ) = в3 =(вхх - вуу )/2, в (^ ) = в4 = вху , в1 (Eg ) = в5 = , в2 (Eg ) = в6 = ву2, (1.15б)

но в случае кристаллов со структурой шеелита с пространственной группой С^ (/41/а) изменяется набор НП, в частности, деформации В^ и В2ё симметрии относятся к одному и тому же одномерному НП В8 группы С4ь

в (А1) = в = (вхх + вуу + ezz)/V6, в (42) = в2 = (^ - вхх - вуу)/ъВ, (1.16а)

в К ) = в3 =(вхх - вуу )/2 в (Вя) = в4 = вху' в1 (Eg ) = в5 = вхг> в2 (Eg ) = в6 = ^ . (1.16б)

17

Разложение тензора деформации кристалла ЬаАЮз по НП фактор группы Оз& включает дважды как одномерное представление Л^, так и двумерное представление Е

еК) = е1 =(ехх + е^ + е22, е(а^) = е2 =(2егг -ехх -е^)/^л/з, (1.17а)

е1(Е1) = е3 =(ехх -)/2, е2 (Е1 ) = е4 = ех,, е1 (Е|) = е5 = ехг, е2 (Е1) = е6 = . (1.17б)

Рисунки 1-3 демонстрируют некоторые результаты выполненных расчетов деформаций, индуцированных точечным дефектом, на сфере единичного радиуса с центром на дефекте.

На Рис. 1 и Рис. 3 представлены изображения вычисленных ромбических деформаций е(В^) = (вхх-вуу)/2 и e(B2g) = вху в кристалле УР04 и e(Bg2) = вху в

кристалле ЫЬир4, и полно-симметричной деформации е (А1§) = (е^ + е^ + е22) / 46 в

кристалле ЫЬиР4, а также проекции полученных поверхностей на плоскость угловых переменных в,р. Деформации, вычисленные с учетом упругой анизотропии, существенно отличаются от деформаций (1.12), индуцируемых точечным дефектом в упругом континуум (где, в частности, е (А^) = 0).

Вычисленные зависимости ромбических деформаций в плоскости в = л / 2 от угла р в алмазе (отношение Пуассона а = С12/(Сп +С12) равно 0.1) и в эльпасолите (а =0.286), в тетрагональных кристаллах УР04 и ЫУБ4 (а=1/3) сравниваются с соответствующими зависимостями в упругом континууме (в соответствии с ур. (12) (ехх -е,,)/2 = -и^(2р) и е^ = -ияп(2р), где и = л(1 + а)(1 -а)-1(^0/8лУ)) на Рис.

2а,2с и 2Ь,2^, соответственно. Наиболее существенные различия, обусловленные упругой анизотропией, имеют место в случае тетрагональных кристаллических решеток.

Как видно на Рис. 1-3, упругая анизотропия существенно изменяет соотношения и величины компонент тензора деформации на единичной сфере.

Рис 1. Вычисленные деформации (а) е{В\ё)={ехх-еху)12 и (Ь) е(В2ё) =еху в единицах О0/8;г2г3в кристалле УР04 в зависимости от сферических координат

точки на сфере радиуса г. Дефект находится в центре сферы. Оси декартовой системы координат х, у, г параллельны кристаллографическим осям а, Ь, с, соответственно, тетрагональной кристаллической решетки.

Ф (degrees) ф (degrees)

Рис. 2. Индуцированные точечным дефектом деформации (вхх-вуу)12 и вху в кристаллах алмаза (D) и эльпасолита (Elp) кубической симметрии (a, c), YPO4 и LiYF4 тетрагональной симметрии (b, d) в плоскости в = п/2 в единицах Q0l8n2r3, вычисленные с учетом упругой анизотропии (сплошные линии) и в приближении упруго изотропного континуума (пунктирные линии).

Рис. 3. Функции дГ/1, соответствующие полно-симметричной (а, Г = ^) и ромбической (Ь, Г = В) деформациям, индуцированным точечным дефектом в кристалле ЫЬир4.

§1.2. Функции распределения деформаций в реальных кристаллах

Рассмотрим методику построения функции распределения случайных деформаций, индуцируемых точечными дефектами в кристалле, в рамках статистической модели в приближении упруго анизотропного континуума. Данное приближение справедливо, если считать поля смещений узлов кристаллической решетки, обусловленных точечным дефектом, дальнодействующими.

Определим функцию распределения деформации в следующем виде:

/ 6 ( ** Л\

8 (е) = {П3 ет -^Х (г) \ (1.18)

\я=1 V т=1 У/ где б( х) - дельта-функция Дирака, ет (г) - симметризованные компоненты тензора деформации, индуцированной 7-ым дефектом в точке, определяемой радиус-вектором г, N - количество точечных дефектов, П, Е - знаки произведения и суммирования, соответственно, (...) - конфигурационное усреднение по всевозможным положениям в пространстве N точечных дефектов. Деформации, индуцированные различными точечными дефектами, предполагаем независимыми при малой концентрации дефектов.

Функция распределения случайных деформаций, индуцируемых точечными дефектами в упруго изотропном континууме, известна [3]:

2уГ 6 Г3

2

8(е)= з Ее2 + Г

л \я=2 У

(119)

Она представляется обобщенной функцией Лоренца, характеризующейся единственным подгоночным параметром - шириной распределения

у = Л^1^а) С |, где Са - объемная концентрация точечных дефектов в

кристалле, а - коэффициент Пуассона. Поскольку в упруго изотропном континууме шпур тензора индуцированных точечным дефектом деформаций (1.12) равен нулю, функция распределения (1.19) определяет вероятности лишь пяти из шести симметризованных комбинаций компонент тензора деформации.

В общем случае расчет функции распределения, определяемой выражением (1.18), возможен лишь в численном виде. Используя преобразование Фурье дельта-функции Дирака, выражение (1.18) можно переписать в следующем виде

да да

g(е) = Г Г арбх ехр

V ' -да -да

6

^Рпвш - С(3(Pl,•••,Рб)

т=1

(1.20)

где

з (р) = \ а3

1 - ехр

Г 6 Л

/ V р в (г)

^^ г т т V / V т=1

(1.21)

Подставив в (1.21 ) симметризованные компоненты тензора деформации вш(г) в виде, записанном в (1.13), и проведя процедуру интегрирования по переменной г, получаем:

з(р) = Й^(р)-Р(рЬп(^)}, (122)

5(р) = Г(ОМ, Р(р) = - Г(П^ 1п|, (1.23)

J я

6

где ^ = Чт (0,ф). Функции 5(р) и Р(р) определяют ширину и сдвиг

т=1

максимума функции распределения g(e), соответственно. Поскольку по определению функции qm удовлетворяют условию

\ (^Чт (М = 0, (1.24)

функция в,у>) в интегралах (1.23) является знакопеременной, и оценка интегралов дает отношение | Р (р )|/^ (р) ~0.1 [2,3]. Пренебрегая мнимым слагаемым в (1.22), получаем

^ СО СО 6 6

&0) = т | ¿Ру\ Лрв ехр - I ^,РтЧт{в,<р)\}

V ' -да -да

т=1

т=1

(1.25)

где

# = |П0С / (48я). (1.25а)

Выражение (1.25) можно упростить, если ограничиться рассмотрением распределения для произвольной пары [в1, в2} симметризованных компонент

тензора деформации. Введем две новые функции от полярного угла Т в плоскости переменных р и р2 (р = р0 008), р2 = р ^пт). Выражение (1.25) принимает вид

8(el,е2> = [ ^тíPoexp{-р0[/¿(т,еР^ + Ьa(Т)]}dPo, (126)

(2^ 0 о

где

<2(77) = | д1(в,(р)соБТ] + д2(9,(р)Бтт]\, (1.27)

Ь(т, е, е2) = (е 0О8) + е2 §т т) . (1.28)

Выполнив интегрирование по переменной р0, получаем

г 1 )2

8(в1,е2) = - /(е-/ £^2 / £), (1.29)

чь )

где

Л2 2^

^ а(Т) - Ь( el, е2

\2п2

/М2) = (±) |^ Те-^ . (1.30)

Ч2п) 0 [а(т) + Ь(т,е-,е2) ]

Интегралы (1.30) были вычислены с использованием массивов данных для функций (6,ф), введенных в формуле (1.13). В качестве примеров на Рис. 4 и Рис. 5 представлены вычисленные функции распределения деформаций, индуцированных точечными дефектами в кристаллах ЫЬиР4 и ЬиР04. Функции распределения для разных компонент тензора деформации в упруго анизотропном континууме имеют существенно различную ширину. Линии постоянной величины функции распределения деформаций 8 (е, е2 ) = 5, где £ - константа, в общем

случае могут быть аппроксимированы замкнутыми кривыми второго порядка с главными осями, отклоненными от ортогональных координатных осей в плоскости {е, е }• В случае деформаций, соответствующих различным неприводимым

представлениям, результаты расчетов функции распределения хорошо аппроксимируются обобщенным распределением Лоренца (см. Рис. 5Ь):

8 (е-, е2) = -^ЛА2 + е22) + £2]-3/2. (1.31)

2жу

Для получения канонической формы функции распределения деформаций с одинаковыми трансформационными свойствами (преобразующимися по одному и тому же НП Г) в виде

g (в(Г1), в(Г2)) = ^{^в '(Г1)2 + в '(Г2)2] + ^2}"3/2 Я

(1.32)

мы используем линейное преобразование

в '(Г1) = соб^г в(Г1) + в(Г2), в '(Г2) = - втуг в(Г1) + соб^г в (Г2), (1.33) соответствующее повороту системы координат в плоскости {в, в2} на угол у/т (см. Рис. 4a, Рис. 4Ь и Рис. 5a).

Рис. 4. Функции распределения случайных деформаций (слева Г=^, справа - В^), индуцированных точечными дефектами в кристалле ЫЬиР4. Штриховыми линиями обозначены главные оси распределения.

Рис. 5. Функции распределения случайных деформаций T2g(el|T ,е2/Т} в кристалле ЬиР04. (а) е1=е(48), е2=е(А^), Г = /л£; (Ь) е1=е(В1§), е2=е(В2§),

Г = . Прямые красные линии указывают направление главных осей, в которых функция распределения принимает канонический вид.

Таким образом, круговые сечения функций распределения деформаций (1.19) в изотропном континууме переходят в эллиптические вследствие упругой анизотропии кристаллической решетки.

Аналитический вид функции распределения (1.20) в полном пространстве шести компонент тензора деформации можно найти, используя аппроксимацию функции (см. (1.23))

Л Л Л1/2

я(р) = |dо ХаЛ =|^О Х^тл

т=1 у т,к=1

(1.34)

выражением

я (р d оГ]Т р2т д.1

,1/2

¡2

т

\ т=1

(1.35)

Мы пренебрегаем в (1.34) слагаемыми, содержащими знакопеременные произведения функций Ят Як (т Ф к), учитывая условие ортогональности

|dОцтдк = 0 (т Ф к), справедливое при рассмотрении линейных комбинаций ет

компонент тензора деформации, преобразующихся в соответствии с НП фактор группы кристаллической решетки. Выполненные расчеты с использованием массивов функций (в,ф) в реальных упруго анизотропных кристаллах показали,

что аппроксимация (1.35) увеличивает функцию Я (р) на 10-15%.

/ 6 Л1/2 ,_ 1/2

Далее мы используем тождество |dQ Хр«2=({d01|d5(1,2)) ,

\т=1

6

где В(1,2) = Х РтРИ (1) (2), и интегрирование проводится по переменным 1 и

т,к=1

2. В функции В(1,2) выделим симметризованное и антисимметризованное слагаемые:

6 2 Вя = Х Р2тр2 [IЯт (1) Як (2)| + \Ят (2) Як (1)] ,

т ,к=1 6

ВА =Хртр2 [|Ят (1) Як (2)|- \чт (2) Як (1)] .

(1.36)

т ,к=1

Поскольку при интегрировании по поверхностям двух сфер \ят (1) Я (2)| ~ \ят (2) Як (1)|, справедливо неравенство В5 >> В, и мы получаем возможность аппроксимировать функцию 5(1,2) следующим ниже выражением

1 1 ( 6 V

В(1,2) = —(В + ВА)~ ~(В3 -ВА) = £Р1 \ят(1)ЯД2)|1. (1.37)

4 4 V :=1 У

Как следует из численных оценок, аппроксимация (1.37) уменьшает функцию Я (р)

на ~ 10-20%, что частично компенсирует погрешность, обусловленную аппроксимацией (1.35). Используя (1.37), получаем

Я(р) = (26рК\Л>|Ят|)2)"2 = (26Р1/МТ , (1.38)

:=1 :=1

где 1/Мт = \^^\Яп\ • Подставив (1.38) в (1.22), и далее (1.22) в (1.20), с учетом

возможности наличия одинаковых НП в разложении шестимерного пространства компонент тензора деформации по НП фактор группы, получаем функцию распределения деформаций в виде

8(е) = =8т3)ЗиП) (21,„=1 Мтпетеп + р, (09)

где коэффициенты цтп задают положительно определенную квадратичную форму. Приведение к каноническому виду

8( е) = =/&т' )П :,=,Мт (X 6=1 м2е; + ^ р О.40)

даёт обобщенную функцию Лоренца, частным случаем которой после интегрирования по четырем переменным являются приведенные выше двумерные распределения (1.31) и (1.32).

В соответствии с (1.40) функция распределения случайных деформаций в кубических кристаллах может быть записана в виде

8 ( е ) = (15^/8^ уУ ){г/е( \ )2 + г,-2 22 (Е^ )2 + у-2 ^ек (^ )2 + £2 }-?/2. (1.41)

к=1 к=1

Вычисленные величины параметров распределения (1.41) для кристаллов алмаза (эльпасолита Св2КаУБб) равны: уА =2.5 (3.4), уЕ =22.4 (34.1), уР =17.8 (25.4).

Число независимых параметров функции распределения увеличивается с понижением симметрии кристалла. В тетрагональных кристаллах со структурой циркона

/ ч \5vaVr£ g(e)= x

у;2

8кУАу2вГ2Е

v2Ae'( Alg )2 + e'(A?g )2 ] + ув"2 (Blg ) + e (B2g ) ] + у^:2 £ e (Egtf +

-1 L -1 1=1,2

-7/2

(1.42)

в кристаллах со структурой шеелита

g(e)= x

О 3 2 2 2

УлУвУЕ

УА1

vAe (A )2 + e'(Ag )21 + у^2 U(B )2 + e(B )2] + у? £ e(E^ + (

i -7/2

(1.43)

1=1,2

Для кристалла ЬаАЮз

g (e ) =

15йй

2

{[vAe'(Alg )2 + e'(A2g )2]/ y\

+

Йe'(Egl)2 + e'(Egl)2] / yi2 + й2e'(Eg2)2 + e'(Eg2)2] / у^ + £2}

-7/2

(1.44)

Величины параметров функций распределения (1.42, 1.43) и (1.44), приведенные в таблицах 1 и 2, получены в результате численных расчетов интегралов (1.30) и аппроксимации вычисленных функций распределения пар компонент тензора деформации, относящихся к одному и тому же одномерному НП или к двумерному НП фактор группы, аналитическим выражением (1.32). Параметры у и у / vr определяют ширину лоренцевой функции распределения для конкретных компонент тензора деформации в единицах параметра £, параметры vr и углы ц/т являются характеристиками эллиптических сечений парных функций распределения (g(e1,e2) = const), vr равно отношению главных осей эллипса, а угол ц/т определяет ориентацию главных осей.

Отметим, что свойства конкретного образца определяются единственным

безразмерным параметром пропорциональным произведению «силы» дефекта П0 и концентрации С точечных дефектов.

Таблица 1. Параметры функции распределения g(e\,e2) случайных деформаций, индуцированных точечными дефектами в кристаллах АВ04 ( А = У, Ьи; В = Р, V).

УV04 УРО4 LuV04 ЬиР04

е = е' (А1) ¥ 20,\о 22,0о \6,0о 20,\о

е2 = е' ( А1) УА 2,48 3,74 2,32 2,86

УA 3\,2 29,4 26,7 3\,0

е = е (В,, ) Vв 5,2\ 4,35 4,8\ 5,43

е2 = е (В2, ) Ув \05,0 83,\ 83,5 88,6

е. = е (Ее1) е2 = е (2) Уе 46,5 3\,8 42,8 30,3

Таблица 2. Параметры функций распределения случайных деформаций для кристаллов ЫЬиР4 , ЫУБ4, CaW04 и ЬаА103.

Ь1ЬиБ4 ЫУБ4 CaW04 ЬаА103*

е = е' ( А ) е2 = е'( А ) ¥А 9,2о \0,9о -2,3о 7,4о

УА 5,26 7,\4 5,56 5,88

УА 30,3 33,9 30,5 26,2

е1 = е' (В) е2 = е'(К) ¥в -35,0о -28,7о -48,7о -

Vв 2,32 2,44 2,44 -

ув 54,0 57,\ 43,8 -

е1 = е ( Е? 1) е2 = е ( Е 2 ) УЕ 30,4 29,4 32,4 -

е. = е' (Е1) е2 = е'^1) ¥е 45о

е. = е' (Е12) е2 = е'( ) УЕ - - - \,35

Уе 36,6

*НП А следует заменить на \

Выполненные расчеты выявили обусловленные упругой анизотропией кристаллической решетки существенные различия ширины распределений случайных деформаций, преобразующихся в соответствии с различными НП фактор группы. В частности, отношения у / у ширины распределений деформаций exy и ^ - e>y)/2, относящихся к НП F2g и Eg, соответственно, в кубических кристаллах с относительно слабой упругой анизотропией равно примерно 0.8, но это отношение увеличивается примерно в шесть раз 5) в тетрагональных кристаллах со структурой циркона, где рассматриваемые деформации относятся к различным невырожденным НП B2g и Blg. Ширина

распределения полно-симметричных деформаций е () кубических кристаллов

на порядок величины меньше ширины распределений низко-симметричных деформаций, тогда как в тетрагональных кристаллах все распределения имеют сопоставимую ширину. Отношение ширины распределения деформаций симметрии Г в упруго анизотропных кристаллах к ширине распределения деформаций в упруго изотропном континууме, определяемой только отношением Пуассона, равно Ят = ут [9(1 -^)/16^2(1 + а)]. Величина этого отношения для

полно-симметричных деформаций е' (Л^) в кристаллах со структурой циркона

близка к единице (0.97 >RA >0.76), однако для деформаций Еg симметрии отношение RE заметно отличается от единицы (1.32 >RE> 0.86), причем отклонения от единицы имеют разные знаки, а большие значения отношения Rв в случае ромбических деформаций eXy симетрии B2g как в ортованадах, так и в ортофосфатах (3.0>Rв>2.4) свидетельствуют о существенной роли упругой анизотропии в формировании поля деформаций в реальных кристаллах. Следует заметить, что именно ромбические деформации расщепляют некрамерсовские электронные дублеты в спектрах редкоземельных ионов в кристаллических полях тетрагональной симметрии. Спектральные эффекты, обусловленные случайными деформациями кристаллических решеток, рассматриваются в следующих главах диссертации.

Выводы по главе 1

1. Построена программа расчета поля деформаций, индуцированных точечным дефектом в упруго анизотропных кристаллических решетках кубической, тетрагональной и ромбоэдрической симметрии. Сформированы дискретные массивы величин симметризованных комбинаций компонент тензора деформации, преобразующихся в соответствии с НП фактор группы кристалла, на сфере единичного радиуса с центром на дефекте для кристаллов алмаза, эльпасолита, ортованадатов и ортофосфатов со структурой циркона, двойных фторидов иттрия и лютеция, шеелита CaWO4 и алюмината лантана в низкотемпературной сегнетоэластической фазе.

2. Получено аналитическое выражение для функции распределения компонент тензора случайных деформаций, индуцированных изотропными точечными дефектами в упруго анизотропном континууме, в виде обобщенной шестимерной функции Лоренца с шириной, пропорциональной концентрации дефектов и силе дефекта. Построена методика вычислений параметров функции распределения для реальных кристаллов с известными упругими постоянными на основе последовательных численных расчетов поля смещений атомов кристаллической решетки и преобразования Фурье функции распределения. Найдены параметры функций распределения для кристаллов алмаза, Св2КаУБб, УУ04, УРО4, ЬиУ04, ЬиР04, ЫУБ4, Ь1ЬиБ4, CaWO4, ЬаА103. Обнаружено существенное различие ширины распределений деформаций различной симметрии, свидетельствующее о доминирующей роли низкосимметричных деформаций по сравнению с полносимметричными в формировании спектральных эффектов, обусловленных случайными деформациями.

Основное содержание Главы 1 опубликовано в работах [9, 10].

Глава 2. Деформационное расщепление и уширение линий в оптических спектрах диэлектрических кристаллов с примесями РЗ ионов

В оптических спектрах диэлектрических кристаллов с примесями РЗ ионов ширины наблюдаемых линий, отвечающих переходам между подуровнями 4/-мультплетов РЗ иона, всегда существенно больше естественной ширины участвующих в переходе уровней энергии вследствие неоднородного уширения. Неоднородное уширение является следствием взаимодействия оптических центров с полями различной природы. В частности, взаимодействие 4f электронов РЗ ионов с полем случайных деформаций, индуцированных дефектами кристаллической решетки, обусловливает квази-непрерывное распределение энергии квантовых переходов и соответствующее неоднородное уширение. Наряду с уширением, случайные деформации формируют тонкую структуру бесфононных линий в случае переходов, в которых участвуют орбитально вырожденные состояния РЗ ионов в кристаллических полях тригональной, тетрагональной и кубической симметрии.

Далее в работе рассмотрено моделирование деформационных расщеплений и уширения линий с использованием построенной нами функции распределения случайных деформаций (1.40) в кристаллах различной структуры.

§2.1. Гамильтониан редкоземельного иона в диэлектрическом кристалле

Спектр энергий электронно-ядерных состояний РЗ иона с ядерным спином I в кристалле описывается гамильтонианом:

Н = НР1 + НСЕ + Ннш + ННЕд + Нд + Нг1 _агГ, (2.1)

где Нм - энергия свободного иона [10], Н^ - энергия взаимодействия иона с кристаллическим полем (КП), Ннш и Ннщ - операторы сверхтонкого магнитного и квадрупольного взаимодействия, соответственно, HQ - энергия взаимодействия квадрупольного момента ядра Q с градиентом действующего на ядро электрического поля кристаллической решетки, Не^в/ - электрон-деформационное

взаимодействие. Эффекты, обусловленные электрон-фононным взаимодействием, в настоящей работе не рассматриваются.

Гамильтониан свободных РЗ ионов записывается в стандартной форме [11]:

Нш = ^ +аЬ +Р0(02) + уО( Я,) + £( + РЧРЧ + Т% + МЧтя), (2.2)

к ч

где М - параметры Слетера электростатических взаимодействий, < - константа спин-орбитального взаимодействия, а, (, у и ТЧ - параметры двух- и трехчастичного электростатического межконфигурационного взаимодействия, соответственно, параметры РЧ и МЧ определяют спин-орбитальное и спин-спиновое взаимодействия между 4/ электронами, соответственно. Операторы

/V /V ^

G, /, р, t , т определены в литературе [11], 4 и Sk - операторы орбитального и спинового моментов 4/-электронов, ь = 4 - оператор полного орбитального момента.

Гамильтониан РЗ иона в кристаллическом поле без учета междуэлектронных корреляций (одно-частичное приближение) имеет вид

Нсг = £ £ врор, (2.3)

р=2,4,6 к=_ р,... р

где операторы О^ - линейные комбинации сферических тензорных операторов, определенные в [12] (в пространстве состояний ,7-мультиплета операторы Окр

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Абишев Нурбулат Мирбулатович, 2022 год

Список литературы

1. Stoneham, A. M. Shapes of inhomogeneously broadened resonance lines in solids /A.M. Stoneham // Rev. Mod. Phys. - 1969. - V. 41. - P. 82-108.

2. Random fields in disordered magnetics with Jahn-Teller ions / M. A. Ivanov, V. Y. Mirtofanov, L. D. Falkovskaya, A. Y. Fishman // J. Mag. Mag. Mat. - 1983. - V. 36.

- P. 26-38.

3. Ivanov, M. A. Magnetic anisotropy of disordered magnetics with Jahn-Teller ions / M. A. Ivanov, V. Y. Mirtofanov, A. Y. Fishman// Phys. Status Solidi (b). - 1984. - V. 121. - P. 547-559.

4. Random lattice deformations in rare-earth-doped cubic hexafluoroelpasolites: Highresolution optical spectroscopy and theoretical studies / Malkin B. Z. [et al.] // Phys. Rev. B. - 2012. - V. 86. - P. 134110.

5. Eshelby, J. D. The continuum theory of lattice defects / J. D. Eshelby // Solid State Physics. - 1956. - V. 3. - P. 79-144.

6. Костевич, А. М. Основы механики кристаллической решетки / А. М. Костевич Москва: Наука, 1972. - 280 с.

7. Лифшиц, И. М. О построении тензора Грина для основного уравнения теории упругости в случае неограниченной упруго-анизотропной среды / И.М. Лифшиц, Л.Н. Розенцвейг // ЖЭТФ. - 1947. - Т. 17. - Вып. 9. - С. 783-791.

8. Barnett, D. M. The precise evaluation of derivatives of the anisotropic elastic Green's functions / D. M. Barnett // Phys. Stat. Sol. (b). - 1972. - V. 49. - P. 741-748.

9. Distribution function of random strains in an elastically anisotropic continuum and defect strengths of Tm3+ impurity ions in crystals with zircon structure / B. Z. Malkin [et al.] // Phys. Rev. B. - 2017. - V. 96. - P. 014116.

10. Deformation broadening and the fine structure of spectral lines in optical spectra of dielectric crystals containing rare-earth ions / N. M. Abishev [et al.] // Phys. Sol. State.

- 2019. - V.61. - P. 795-801.

11. A systematic analysis of spectra of the lanthanides doped into single crystal LaF3 / W. T. Carnall [et al.] // J. Chem. Phys. - 1989. - V. 90. - P. 3443-3458.

12. Malkin, B. Z. Crystal field and electron-phonon interaction in rare-earth ionic paramagnets. In: Spectroscopy of solids containing rare-earth ions, ed. by A. A. Kaplyanskii and R. M. Macfarlane / B. Z. Malkin // Elsevier Science Publishers. -1987. - ch. 2. - P. 13-49.

13. Gupta, R. P. Sternheimer shielding-antishielding; Rare-Earth ions / R. P. Gupta, S. K. Sen // Phys. Rev. A. - 1973. - V. 7. -P. 850-859.

14. Sovers, O. J. Trivalent lanthanide 4f electron radial wave functions / O. J. Sovers // J. Phys. Chem. Solids. - 1967. - V. 28. - P.1073.

15. Clementi, E. Atomic negative ions / E. Clementi, A. D. McLean // Phys. Rev. - 1964. - V. 133. - P. A419-A423.

16. Abragam, A. Electron paramagnetic resonance of transition ions / A. Abragam, B. Bleaney // Clarendon Press. - Oxford, 1970. - P. 911.

17. Hyperfine interactions of Ho3+ ions in KY3Fi0: Electron paramagnetic resonance and optical spectroscopy studies / D. S. Pytalev [et al.] // Phys. Rev. B. - 2012. - V. 86. -P.115124.

18. Gupta, R. P. Sternheimer shielding-antishielding; Rare-Earth ions / R. P. Gupta, S. K. Sen // Phys. Rev. A. - 1973. - V. 7. - P. 850-861.

19. Sharma, K. K. Optically detected nuclear magnetic resonance studies of LiYF4:Pr3+ in the ground electronic state 3H4 / K. K. Sharma, L. E. Erickson // J. Phys. C: Solid State Phys. - 1981. - V. 14. - P. 1329 -1339.

20. Comparison between correlation crystal field calculations using extended basis sets and two-electron operators / M. J. Lee [et al.] // J. Alloys Compounds. - 2001. - V. 323. - P. 636-639.

21. Электрон-деформационное взаимодействие и пьезоспектроскопические характеристики кристалла LiTmF4 / А. В. Винокуров [и др.] // ФТТ. - 1988. - T. 30, - P. 3426-3430.

22. Shannon, R. D. Revised effective ionic radii and systematic studies of interatomic distances in halides and chalcogenides / R. D. Shannon // Acta Cryst. - 1979. - V. A32, - P.751.

23. Crystal field analysis of Tm3+ and Yb3+ in YPO4 and LuPÜ4 / P. C. Becker [et al.] // J. Chem. Phys. - 1984. - V. 81. - P. 2872-2878.

24. Fuller, G. H. Nuclear spins and moments / G. H. Fuller // J. Phys. Chem. Ref. Data. -1976. - V. 5. - P. 835-890.

25. Knoll, K. D. Absorption and fluorescence spectra of Tm3+ in YVO4 and YPO4 / K. D. Knoll // Phys. Stat. Sol. B. - 1971. - V.45. - P.553-559.

26. Wortman, D. E. Analysis of the ground configuration of Tm3+ in YVO4 / D.

E.Wortman, R. P. Leavitt, C. A. Morrison //J. Phys. Chem. Sol. - 1974. - V. 35. - P. 591-593.

27. Crystal field analysis of Tm3+ and Yb3+ in YPO4 and LuPO4 / P. C. Becker [et al.] // J. Chem. Phys. - 1984. - V. 81. - P. 2872-2878.

28. Crystal-field excitations and magnetic properties of TmPO4 / C.-K. Loong [et al.] // J. Chem. Phys. - 1993. - V. 98. - P. 4214-4222.

29. Comparative optical study of thulium-doped YVO4, GdVO4 and LuVO4 single crystals / R. Lisiecki, [et al.] // Phys. Rev. B. - 2006. - V. 74. - P. 035103.

30. Пекуровский, В. Р. Расчеты термодинамических характеристик редкоземельных кристаллов со структурой циркона в рамках микроскопической теории/ В. Р. Пекуровский // Изв. АН СССР. Сер. физ. - 1986. - Т. 50. - №2. - С. 324-329.

31. Пьезоспектроскопичское исследование кристалла YVO4:Tm3+ / A. В. Винокуров [и др.] // ФТТ. - 1988. - Т. 30. - С .2415-2420.

32. Gehring, G. A. Co-operative Jahn-Teller effects / G. A. Gehring, K. A. Gehring // Rept. Prog. Phys. - 1975. - V. 38. - P. 1-90.

33. Growth and fluorescence properties of Tm3+ doped YVO4 and Y2O3 single crystals /

F. S. Ermeneux [et al.] // Opt. Mater. - 1997. - V. 8. - P. 83-90.

34. Chakoumakos, B. C. Crystal structure refinements of zircon-type MVO4 (M=Sc, Y, Ce, Pr, Nd, Tb, Ho, Er, Tm, Yb, Lu) / B. C. Chakoumakos, M. M. Abraham, L. A. Boatner // J. Solid State Chem. - 1994. - V. 109. - P. 197-202.

35. Ni, Y. Crystal chemistry of the monazite and xenotime structures / Y. Ni, J. M. Hughes // Am. Miner. - 1995. - V. 80. - P.21-26.

36. Transformation processes in LaAlÜ3: Neutron diffraction, dielectric, thermal, optical, and Raman studies / S. A. Hayward [et al.] // Phys. Rev. B. - 2005. - V.72. - P.054110.

37. Howard, C. Neutron powder diffraction study of rhombohedral rare-earth aluminates and the rhombohedral to cubic phase transition / C. Howard, B. J. Kennedy, B. C. Chakoumakos // J. Phys.: Condens. Metter. - 2000. - V. 12. - P. 349.

38. Unravelling the domain structures in GeTe and LaAlÜ3 / P. A. Vermeulen [et al.] // Crystal growth and design. - 2016. - V. 16. - P. 5915 -5922.

39. Influence of the ferroelastic twin domain structure on the {100} surface morphology of LaAlÜ3/HTSC substrates / S. Bueble [et al.] // Surface Science. - 1998. - V. 400. - P. 345 -355.

40. Deren, P. J. Spectroscopic characterization of LaALÜ3 crystal doped with Pr3+ ions / P. J. Deren // J. Lumiun. - 2007. - V. 122-123. - P. 40-43.

41. Pelletier-Allard, N. Étude théorique des spectres optiques des ions Pr3+ dans AlLaÜ3 / N. Pelletier-Allard, F. Martin-Brunetière // J. Phys. - 1969. - V. 30. - P. 849-855.

42. Laser action in LaAlÜ3:Nd3+ single crystal / P. J. Deren [et al.] // J. Appl. Phys. -2008. - V. 103. - P. 043102.

43. Deren, P. J. Spectroscopic investigations of LaAlÜ3:Eu3+ / P. J. Deren, J. C. Krupa // J. Lumin. - 2003. - V. 102-103. - P. 386-390.

44. Deren, P. J. Spectroscopic properties of LaAlÜ3 crystal doped with Ho3+ / P. J. Deren, J. C. Krupa // J. Alloys Compds. - 2004. - V. 380. - P. 362-367.

45. Deren, P. J. Spectroscopic characterization of LaAlÜ3 crystal doped with Er3+ ions / P. J. Deren, R. Mahiou // Üpt. Mater. - 2007. - V. 29. - P. 766-772.

46. Spectroscopic characterization of LaAlÜ3 crystal doped with Tm3+ ions / A. Gocalinska [et al.] // Üpt. Mater. - 2008. - V. 30. - P. 680-683.

47. Antic-Fidancev, E. Energy levels and crystal field calculations of Er3+ in LaAlÜ3 / E. Antic-Fidancev, P. J. Deren, J. C. Krupa // J. Alloys Compds. - 2004. - V. 380. - P. 376.

48. Karbowiak, M. Crystal-field analysis for RE3+ ions in laser materials: III. Energy levels for Nd3+ and Er3+ ions in LaAlÜ3, YAlÜ3, and LaGaÜ3 single crystals -

Combined approach to low symmetry crystal field parameters / M. Karbowiak, P. Gnutek, C. Rudowicz // Chem. Phys. - 2012. - V. 400. - P. 29-38.

49. Disorder effects in LaAlÜ3:Ho3+ single crystals revealed by optical spectra / K. N. Boldyrev [et al.] // Phys. Rev. B. - 2021. - V. 103. - P. 054103.

50. High-resolution spectroscopic studies of random strains in ferroelastic domains in a LaAlÜ3:Tm3+ single crystal / K. N. Boldyrev [et al.] // Optical Materials: X. - 2022. -V. 14. - P. 100155.

51. Hyperfine interactions in YAB:Ho3+: A high-resolution spectroscopy investigation / A. Baraldi, [et al.] // Phys. Rev. B. - 2007. - V. 76. - P. 165130.

52. Spectroscopic properties of oxygen vacancies in LaAlÜ3 / Ü. A. Dicks [et al.] // Phys. Rev. B. - 2016. - V. 93. - P. 134114.

53. Nuclear Spin Driven Quantum Relaxation in LiY0.998Ho0.002F4 / R. Giraud [et al.] // Phys. Rev. Lett. - 2001. - V. 87. - P. 057203.

54. Giraud, R. Quantum Dynamics of Atomic Magnets: Cotunneling and Dipolar-Biased Tunneling / R. Giraud, A. M. Tkachuk, B. Barbara // Phys. Rev. Lett. - 2003. - V.91. - P. 257204.

55. Kirton, J. Paramagnetic Resonance of Trivalent Holmium Ions in Calcium Tungstate / J. Kirton // Phys. Rev. - 1965. - V. 139. - P. A1930-A1933.

56. Direct measurements of anticrossings of the electron-nuclear energy levels in LiYF4:Ho3+ with submillimeter EPR spectroscopy / G. S. Shakurov [et al.] // Appl. Magn. Reson. - 2005. - V. 28. - P. 251-262.

57. Random strain effects in optical and EPR spectra of electron-nuclear excitations in CaWÜ4:Ho3+ single crystals / G. S. Shakurov [et al.] // Phys. Chem. Chem. Phys. -2014. - V. 16. - P. 24727-24738.

58. Üptical response from terahertz to visible light of electronuclear transitions in LiYF4:Ho3+ / G. Matmon [et al.] // Phys. Rev. B. - 2016. - V. 94. - P. 205132.

59. Cross-relaxation and phonon bottleneck effects on magnetization dynamics in LiYF4:Ho3+ / S. Bertaina [et al.] // Phys. Rev. B. - 2006. - V. 74. - P. 184421.

60. Direct observation of hyperfine level anticrossings in the optical spectra of 7LiYF4:Ho3+ single crystal / K. N. Boldyrev [et al.] // Phys. Rev. B. - 2019. - V.96. -P.014116.

61. Strain broadening of the 1042-nm zero phonon line of the NV- center in diamond: A promising spectroscopic tool for defect tomography / T. B. Biktagirov [et al.] // Phys. Rev. B. - 2017. -V. 96. - P. 075205.

62. Linear Stark effect in Y3Al5 O12:Tm3+ crystal and its application in the addressable quantum memory protocol / M. M. Minnegaliev [et al.] // Phys. Rev. B. - 2021. - V. 103. - P.174110.

63. High-resolution transmission and luminescence spectroscopy of Pr3+:YPO4 / S. A. Klimin [et al.] // J. Lumin. - 2020. - V. 219. - P. 116920.

64. Luminescent characteristics of perovskite type LaAlO3:Dy3+ for radiation detectors / Teodoro Rivera-Montalvo [et al.] // J. Lumin. - 2021. - V. 240. - P. 118403.

65. McSkimin, H. J. The elastic moduli of diamond as a function of pressure and temperature / H. J. McSkimin, P. Jr. Andreatch // J. Appl. Phys. - 1972. - V. 43. - P. 2944-2948.

66. Brik, M. G. Density functional studies of cubic elpasolites Cs2NaYX6 (X=F, Cl, Br) at ambient and elevated hydrostatic pressure / M. G. Brik, V. Krasnenko, P. A. Tanner // J. Lumin. - 2014. - V. 152. - P. 49-53.

67. Huang, Z. Synthesis, structure, elastic properties, lattice dynamics and thermodynamics of YVO4 polymorphs from experiments and density functional theory calculation / Z. Huang, L. Zhang, W. Pan // J. Alloys Compounds. - 2013. - V. 580. - P. 544-549.

68. Composition, lattice parameters, and room temperature elastic constants of natural single crystal xenotime from Novo Horizonte / P. Mogilevsky, E. B. [et al.] // Phys. Chem. Minerals. - 2006. - V. 33. - P. 691-698.

69. Ni, Y. Crystal chemistry of the monazite and xenotime structures / Y. Ni, J. M. Hughes // Am. Miner. - 1995. - V. 80. - P. 21-26.

70. Huang, Z. Physical properties of zircon and scheelite lutetium orthovanadate : Experiment and first-principle calculation / Z. Huang, L. Zhang, W. Pan// J. Solid State Chem. - 2013. - V. 205. - P. 97- 103.

71. Armbruster, A. Measurement of the elastic constants of LuAsO4 and LuPO4 by Brillouin scattering and determination of Debye temperatures / A. Armbruster, R. Thoma, H. Werhle // Phys. Stat. Solidi A. - 1974. - V. 24. - P. K71-K73.

72. Магнитоупругие явления в двойных фторидах редких земель / С. А. Альтшулер [и др] // Парамагнитный резонанс. Изд. Казанского университета. - 1984. -B. 37. - C. 29-83.

73. Blanchfield P., Saunders G. A. The elastic constants and acoustic symmetry of LiYF4 / P. Blanchfield, G. A. Saunders // J. Phys. C. - 1979. - V. 12. - P. 4673-4689.

74. Anomalous mode, elastic constants and phonon images in CaWO4 /K. Hayasaka [et al.] // Sol. State Commun. - 2007. - V. 143. - P. 386-389.

75. Elastic relaxations associated with the Pm-3m-R-3c transition in LaAlO3: I. Single crystal elastic moduli at room temperature // M. A. Carpenter [et al.] // J. Phys.: Condens. Matter. - 2010. - V. 22. - P. 035403.

Публикации автора по теме диссертации

1. Distribution function of random strains in an elastically anisotropic continuum and defect strengths of Tm3+ impurity ions in crystals with zircon structure / B. Z. Malkin, N. M. Abishev, E. I. Baibekov, D. S. Pytalev, K. N. Boldyrev, M. N. Popova, M. Battinelli // Phys. Rev. B. - 2017. - V. 96. - P. 014116.

2. Deformation broadening and the fine structure of spectral lines in optical spectra of dielectric crystals containing rare-earth ions / N. M. Abishev, E. I. Baibekov, B. Z. Malkin, M. N. Popova, D. S. Pytalev, and S. A. Klimin // Phys. Sol. State. 2019. - V. 61. - P. 795-801.

3. Direct observation of hyperfine level anticrossings in the optical spectra of 7LiYF4:Ho3+ single crystal / K. N. Boldyrev, M. N. Popova, B. Z. Malkin, N. M. Abishev // Phys. Rev. B. - 2019. V. 96. - P. 014116.

4. Disorder effects in LaAlO3:Ho3+ single crystals revealed by optical spectra / K. N. Boldyrev, N. M. Abishev, I. E. Mumdzi, S. I. Nikitin, P. J. Deren, B. Z. Malkin, M. N. Popova // Phys. Rev. B. - 2021. V. 103. - P. 054103.

5. High-resolution spectroscopic studies of random strains in ferroelastic domains in a LaAlO3:Tm3+ single crystal / K. N. Boldyrev, N. M. Abishev, I. E. Mumdzi, S. I. Nikitin, B. Z. Malkin, R. V. Yusupov, M. N. Popova // Optical Materials: X. - 2022. - V. 14. - P. 100155.