Задачи граничного оптимального управления для параболических уравнений и разностные методы их решения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Оруджалиев, Акиф Падар Оглы

• Оруджалиев, Акиф Падар Оглы
• 1984

Оглавление диссертации Оруджалиев, Акиф Падар Оглы

Список обозначений.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА. I. Задача граничного оптимального управления

§ I. Постановка задачи.

§ 2. Физическая интерпретация задачи.

§ 3. Вопросы корректности задачи.Теоремы существования и единственности.

§ 4. Необходимые условия оптимальности.

§ 5. Задачи управляемости.

ГЛАВА 2. Разностные методы решения задачи граничного оптимального управления.

§ I. Разностная схема и ее корректность.

§ 2. Градиент дискретного функционала и дискретное условие оптимальности.

§ 3. Сходимость по функционалу и управлению.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи граничного оптимального управления для параболических уравнений и разностные методы их решения»

При исследовании тепловых процессов часто возникают граничные обратные задачи теплопроводности.Граничные обратные задачи теплопроводности,как и другие обратные задачи математической физики,относятся к классу некорректных задач.Некорректность в классическом смысле граничных задач теплопроводности создает много трудностей при исследовании их корректности и численном решении.Общим методом решения некорректных задач является метод регуляризации А.Н.Тихонова[6$ ] .Применяются также и другие методы и приемы получения устойчивых алгоритмов. Достаточно полный обзор методов решения граничных обратных задач теплопроводности содержится в работах О.М.Алифанова[i ] ,

A.А.Коздоба[35 ] и А.Г.Темкина[6? ] .Среди имеющихся методов решения граничных обратных задач теплопроводности значительное место занимают вариационные методы.При этом данная обратная задача формулируется как задача оптимального управления: требуется подобрать граничное условие ( температура или тепловой поток на границе) так,чтобы выбранный в качестве критерия функционал принимал свое наименьшее значение.Вопросы корректности^ также вывод условия оптимальности для задач граничного оптимального управления для уравнений теплопроводности при граничных управлениях рассматривались и исследовались в монографиях А.Г.Бутковского[ Щ ] ,Ф.П.Васильева [:/9 ] Д.И.Егорова Д.-Л.Лионса^^ ] ,Т.К.Сиразетдинова[б3 ] и в статьях

B.В.Алиферова и С.М.Кирьяна[2 ] ,Л.И.Гальчука[>€^ ] ,Н.Л.Гольд-мана] ,Т.П.Евсеенко[«?6" ] ,Ю.В.Егорова[,В.И.Плотникова!*^^ ] и др.В этих работах в качестве критерия оптимальности берется либо быстродействие,либо функционал с финальным наблюдением.

Наряду с теоретическими исследованиями большой интерес представляет разработка численных методов решения задач оптимального управления.Численные методы решения задачи оптимального управления для процессов.описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями,в настоящее время достаточно хорошо изучены.Достаточно полный обзор работ,посвященных исследованиям вопросов сходимости разностного метода нахождения решения задачи оптимального управления для системы обыкновенных дифференциальных уравнений,содержится в ] и J .

В приложениях,как сказано выше,возникает большое количест во задач оптимального управления процессами,описываемыми дифференциальными уравнениями с частными производными.В отличие от задач оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений,опыт численного решения таких задач невелик. Разработке численных методов решения задач оптимального управления для уравнений параболического типа посвящены работы О.М. Алифанова # ] ,Ф.П.Васильева [ dS J ,В.П.Гуленко и Ю.В.Ермольева]^^ ] Д.П.Иванова,Б.Т.Поляка и Г.В.Пухова] Д.Д. Искендерова и Н.М.Багирзаде[ 3<5* J ,Н.И.Никитенко[49 "] и др.

Одним из основных вопросов при численном решении задач оптимального управления для процессов,описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными,как и других задач оптимального управления,является изучение сходимости по функционалу и управлению.Вопросам изучения поведения разностных задач оптимального управления посвящены работы Б.М.Будака, Е.М.Берковича и Ю.Л.Гапоненко[1Z ],Б.М.Будака,Е.М.Берковича и Е.Н.Соловьева[41 ,Л.Д.Ивановича[33 "] ,А.З.Ишмухаметова[з2 ]

Ф.В.Лубышева[>5" ] ,М.М.Потапова\S& ],Р.К'.Тагиева[6£ ] Д.Д. Юрия[?з"].В монографиях О.М.Алифанова^ "] ,Б.М.Будака и Ф.П. Васильева^З *] .Ф.П.Васильева[/9 "] ,Ю.М.Ермольева,В.П.Гулен-ко и Т.И.Царенко^ЗО ] можно найти более полные сведения о состоянии численных методов решений в задачах оптимального управления.

Предлагаемая работа посвящена исследованию вопросов корректности и численного решения задач граничного оптимального управления для параболических уравнений.Доказаны теоремы существования и единственности.Выведены необходимые( в линейном случае и достаточные) условия оптимальности для этих задач. Разработан разностный алгоритм решения задач граничного оптимального управления в двумерном по пространственным переменным случае и доказана сходимость по функционалу и управлению.

Диссертация состоит из списка обозначений .введения,двух глав.которые содержат 8 параграфов и списка литературы.

В первой главе исследуются вопросы корректности задачи граничного оптимального управления для общих линейных параболических уравнений.Выводятся условия оптимальности и рассматриваются задачи управляемости с помощью граничных управлений.

Пусть JL -заданная ограниченная область в Уь -мерном евклидовом пространстве переменных X г , Г достаточно гладкая граница Л , Qt~ Jlx(o^t) -цилиндр, rmj лтг) лщ})

-его боковая поверхность, Н =/ Ш х^ (0/)гильбертово пространство элементов iTz(jfL(x), fyi)) со скалярным произведением

Г т

Л Mt о "ho о imj ,

V, M > VjC-L^ 10,T) >Уъ£-1р -заданные замкнутые

1 Pj ^ ® 3 множества, pt , >fz[S) -непрерывная на (о, <*>) функция,

Пусть требуется минимизировать функционал

М = lildxMWMtdt +/, (llv-yiH) (I)

Srp на множестве "у при условиях - L (Ч <*>*№ ) +1 Ык» — = g; WiixVstJL, сз)

CO где коэффициенты Ct^ , ^ , (Jl являются ограниченными измеримыми функциями в Qr при любом конечном Т , З^1 = к. - (0А/

С^ (V Л ПГ £ > faVt^T производная по конормали в точках , л) -внешняя нормаль к Г »^jtoj, im<) , . d /

L iJi) г fc 6 А* - заданные элементы, f^-t;^/fy), функции б; и Jfttxfab) -удовлетворяют условиям Каратеодори,т.е.при каждом б £>tc . , измеримые по ХбЛ , , ХбГ соответственно и непрерывные по г^ , <J2 , г^э и ю при-^х^ Xj, соответственно.Кроме того,выполняются следующие условия

I г О 61 Lt (?r), Vl3(t) бУ3 ;

Под решением задачи (2)-(4) при заданном управлении iT понимается функция Ltl^t) ,принадлежащая пространству и удовлетворяющая интегральному тождеству

JL Q ^ <rj-t * **i Wj *=X di^jcUck +Jj£ б(5) -jjfeDf^ixdlc + JtW^X; VtefrT) для любых функций ^(xt) 6 Wl /'Qt) .

В § 2 дается физическая интерпретация задачи (l)-(4). Приводятся примеры из теплофизики,для которых задачи (i)-(O являются математической моделью.

В § 3 исследуются вопросы корректности задачи (1)-(4). Задача (l)-(4) относится к некорректному в классическом смысле классу задач .Решение задачи (1)-(4) не всегда существуете если существует,то оно может быть неединственным и неустойчивым. Однако имеет место

Теорема I. Пусть: I) = , f- Vс imO О

-U- а) Дto « Vi ^ ^, FxcJl • im.-) о r (гпг)

Co £ л tf+GlO/r) » -заданные замкнутые ограниченные множества, ;2) функции (х,1Г), по переменной гГ удовлетворяют условию Липшица,^/х//^ ^CovtH^-oo^y^^^^r?^6^! -Тогда существует плотное подмножество //о пространства Н такое,что для любого при £>0 задача С0-(4) имеет хотя бы одно решение.Если , то решение задачи СО-(О единственно.

Теорема 2. Пусть: I) ^ -четная,вогнутая и строго

Р / убывающая на (о, оо) функция, --»-<*> при I—60 и -Д дифференцируема с производной о ;2) множества выпуклые и удовлетворяется условие 2) теоремы I.Тогда существует плотное подмножество Д> в И такое,что для любого^еН0 задача СО-(О имеет единственное решение.

Отметим,что при условиях теорем I и 2 функция на о,оо) нигде не может обратиться.в нуль.Однако имеет место

Теорема 3. Пусть: I) коэффициенты уравнения (2) не зависят от переменной ± j » » • j ^

Iftto ' и Х*^ ~заданные кусочно-непрерывные функции и ^(х) <• т//(*; $ t ^[-t) *It) * э) J&(*,t)6, u>eCt НО , G*4 r=l кцхЩ (X), t—£

- ;

-2" Ktixytfjlt), где Kiityel^CJl'btKjtX) заданные функции,а <эд не зависит от управляющей функции .Тогда задача СО-СО имеет хотя бы одно решение.

Теорема 4. Пусть коэффициенты уравнения (2) бесконечно дифференцируемые функции в .функции (jj и СГ3 не зависят ОТ управлений,*^ -fax) е 1£(Л): ^/Vt;u(x,tf)-[«lx,t>-J(ypl

- заданные функции. Тогда задача СО-ОО имеет единственное решение.

В § 4 выводятся необходимые условия оптимальности.Необходимые условия оптимальности для задач граничного оптимального управления в линейном случае были выведены в работах Ф.П.Васильева^ ] Д.И.Егорова^ ] Д.-Л.Лионса["^] и др.В этих работах в качестве критерия оптимальности берется либо быстродействие, либо функционал с финальным наблюдением.

Пусть является решением сопряженной к (2)-(4) задачи.Введем обозначения

Ml I kL [if'r^] , hJ^i/J-^jufxt),

C~ l Г mi - ' i X

Предположим,что выполнены следующие условия: 1°) функция^ilxfj*) имеет непрерывную производную по (А- присед в.причем

VldKW удовлетворяет условию Липшица по U, , L(S)^i-S , Hi о f ' | ^"J < 06ЛК , djW,*- '> 2 ^ - ] ^ гдeVc -заданные замкнутые ограниченные множества, в ,Ет и соответственно; 3°) имеют непрерывные производные по Р при рУ€Л , fyxef и соответственно,причем удовлетворяют условию Липшица по Р ; е i(mt?fJi) . о, , г/я»; (*»>)

Sr) ,Y<f}* Wei* Ю,Т).

Теорема 5. При условиях 1°)-4°) функционал (I) дифференцируем по Фреше и для его градиента справедливо выражение f 1 Wt <2>гГа J

Теорема б. Пусть выполняются условия 1°)-3°).Тогда для f * * r* , т оптимальности управления v =|t/£ U)y02 (t),vl(Hj€.V необходимо выполнение условий:

У**х fyW-tfa-Uvl ] = ^(ЩМ) --Wife v bmL - jtV-o^V;fyK^dx] = г ^ г

VVj Г r где и* и у -решение редуцированной и сопряженной ей задачи соответственно при V-if

Далее рассматривается линейная задача граничного оптимального управления ( управление линейно входит в начальное и граничное условия) и находится необходимое и достаточное условие оптимальности управления.

В последнем параграфе главы I изучается задача управляемости с помощью граничных управлений.Пусть управляемый процесс характеризуется функцией,которая удовлетворяет уравнению (2) и условиям где С(*,-fc)€L^iSr) -заданная функция,a t/fa*)^ (J7O -управление.

Определение. Система,состояние которой определяется как решение задачи (2)-(4),называется управляемой,если наблюдение заметает подпространство,плотное в пространстве наблюдений, когда управление гГ пробегает все пространство управлений.

Теорема 7. Пусть fty-fc) и t/г^тлх] scow^t,*. Тогда система (2), (б) управляема относительно наблюдения?^

Вторая глава диссертации посвящена разностным методам решения задачи граничного оптимального управления.

В § I этой главы дана постановка разностной задачи граничного оптимального управления и исследована корректность разностной краевой задачи .В цилиндре Q^- основанием которого является прямоугольник = , c границей ,где TL = }, х^, o^-i^] рассматривается задача минимизации функционала jjr«W-3(W]1<xdt>о (7) на множествеy^tMffOel^o,?) -zivaiflVsU-b) ,te(оут) j при условиях k } +/ ^ ^'w ^' (6) ul = о,* eJZ (9)

С10) где fcj^t) , dl^t; * X^faV » -заданные ограниченные измеримые функции в и J^ соответственно,причем

-заданные функции, Ь Г *(q,7») , г/t; и

- , - ГО) —

-заданные кусочно-непрерывные функции.ПустьwZK К-U,- -последовательность прямоугольных сеток на Л и на[0,т] соответственно ,где

- (о) r (4J (Cg) 7 -го) (о)

U)2K =jx = (/t l.otw^vlh^^,

Чк = > ^К =

Для любого натурального К рассмотрим задачу минимизации функционала

IK[V> zYK l h* (II)

И 2Гк J J=1 на решениях (/(x,t) , (x-O£U/0>xu) следующей разностной схемы

CI3)

VJ+1 (14) Л 1+*> , N

А (§4-У)-л^р nwX€WiK (15) где дискретные управления fvj = [v*.• • vMk) выбираются из * множества = {/>3 = (v' — : th vJ < г*> J- i ^ }. Здесь = ; hK- VW f+O

A , *

Ц при X € W

JuK при^и/ ^ *

Г ^

Д определяются следующим образом

-А*ул*Г f-^л>=

КС* Ы h4X

Сеточные функции сг , dr , F , , , t , £ и & строятся

Ы CI <х по известным функциям с^ад , Дл1х,Ь) , » и ylw так: | J. j ^M^j^MsA,

11 4 i- tCr-L)

Cr t • V t=tj J-1 xf и аналогично дшя всех остальных функций.

В § 2 доказывается дифференцируемость дискретного функционала (II) и выводится необходимое и достаточное условие оптимальности.

В § 3 доказывается сходимость по функционалу и по управлению. Обозначим f= лю > iK*=«4 TkWK НеV lv\tWK

Определение. Скажем,что последовательность задач (II)

15) аппроксимирует задачу (7)-(Ю) по функционалу, если fen*. Тк = К—»Оо

Отметим,что сходимость по функционалу задач граничного оптимального управления для параболических уравнений с критерием качества отличным от (7) доказана в работах Ф.П.Васильева[7Р], Т.П.Евсеенко \Z€ ] ,Л.Д.Ивановича[зз и др.

Пусть функции Я^"t) , d^fct) и удовлетворяют условию Липшица not при^х^Л и ^хеГ соответственно.

Теорема 8. Пусть последовательность разбиений цилиндра

6L такова,что Ь1к = Ьдк=Тк и liy^ А^ •

1 к—>0° <—*<*>

Тогда:

I. Последовательность разностных экстремальных задач (II)-(15) аппроксимирует исходную задачу (7)-(Ю) по функционалу,т.е. few Т, ~ D • К

2. Последовательность кусочно-постоянных восполнений последовательности \ [V JK j ,где [V ]к определяется из условия X <■ ' *

Л^Л^о, является минимизирующей дяя функционала ,т.е. liv* ,а ее сильный прек-* Оо дел в L2[o)tV) есть решение исходной задачи оптимального управления (7)-(10).

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики ( руководитель чл.корр.АН Азерб.ССР.проф.М.Г.Гасымов) и кафедры оптимизации и управления( руководитель д.ф.м.н.,проф.А.Д.Искендеров) АГУ им.С.М.Кирова,на II республиканской конференции аспирантов Вузов Азербайджана( г.Еаку) в 1979 г.,на семинаре отдела численного анализа НИВЦ МГУ им.М.В.Ломоносова( руководитель д.ф.м.н., проф.В.А.Морозов),на семинаре проф.О.М.Алифанова в Московском авиационном институте им.Серго Орджоникидзе.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю проф.Искендерову А.Д. за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования Оруджалиев, Акиф Падар Оглы, 1984 год

1. Алифанов О.М. Граничные обратные задачи теплопроводности.-Инженерно-физический журнал,1975,т.29,$ 1.с.13-25.

2. Алифанов О.М. Определение тепловых нагрузок из решения нелинейной обратной задачи.-Теплофизика высоких температур, 1977,т.15,М 3,с.598-605.

3. Алифанов О.М.,Михайлов В.В. Решение нелинейной обратной задачи теплопроводности итерационным методом.-Инженерно-физи-ческий журнал,1978,т.35Д 6,с.1123-1129.

4. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов.-М.:Машиностроение,1979.

5. Алифанов О.М.,Артюхин Е.А.,Румянцев С.В. Решение граничных и коэффициентных обратных задач теплопроводности итерационными методами.-В кн.:Тепломассообмен-У1.Минск:ИТМ0 АН БССР,т.9, 1980 ,с. I06-II2.

6. Алифанов О.М. Идентификация процессов тепло-и массообмена по методам обратных задач.-В кн.'.Современные экспериментальные методы исследования процессов тепло-и массообмена.Материалы международной школы-семинара.Ч.2.Минск:ИТМО АН БССР,1981,с. 133-147.

7. Алифанов О.М. О методах решения некорректных обратных задач-Инженерно-физический журнал,1983,т.45,Л 5,с.742-752.

8. Алиферов В.В.Дирьян С.М. О минимизации функционалов,зависящих от промежуточных значений координат.-В сб.-.Математические методы оптимизации систем с распределенными параметрами. -Фрунзе:Изд-во Илим,1975.

9. Алиферов В.В.Даимкулов Ы. О приближенном решении задачи сточечными и граничными управлениями.-В сб.:Математические методы оптимизации систем с распределенншли параметрами.-Фрунзе:Изд-во Илим,1978.

10. Андреев В.Б.Об одном методе численного решения третьей краевой задачи для уравнения параболического типа в р мерном параллелепипеде.-В сб.вычислительные методы и программирование .-М.:Изд-во Московск.ун-та, 1967,вып.9,с.64-75.

11. Будак Б.М.Беркович Е.М.Соловьева Е.Н. О сходимости разностных аппроксимаций для задач оптимального управления.-Е.вычисл. матем.и матем.физ.,1969,т.9,13,с.522-547.

12. Будак Б.М.,Беркович Е.М.,Гапоненко Ю.Л. О построении сильно сходящиейся минимизирующей последовательности для непрерывного выпуклого функционала.-Е.вычисл.матем.и матем.физ.,1969, т.9,1 2,с.286-299.

13. Будак Б.М.Васильев Ф.П. Некоторые вычислительные аспекты задач оптимального управления.-М.:Изд-во Московск.ун^га,1975.

14. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами.-М.:Наука,1965.

15. Васильев Ф.П. Приближенные методы решения задач оптимального управления С тезисы лекций).-М.:Изд-во Московск.ун-та,1969, вып.2.

16. Васильев Ф.П. Об итерационных методах решения быстродействия,связанных с параболическими уравнениями.-М.вычисл.матем.и матем.физ.,1970,т.10,& 4,с.942-957.

17. Васильев Ф.П.,Иванов Р.П. О приближенном решении задачи быстродействия в банаховых пространствах при наличии ограничений на фазовые координаты.-Ж.вычисл.матем.и матем.физ.,1971, т.11,$ 2,с.328-347.

18. Васильев Ф.П. Численный метод решения задачи быстродействия при приближенном задании исходных данных.-Вестник Московск. ун-та.Сер.вычисл.матем.и киберн.,1977,$ 3,с.26-36.

19. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач.-М.:Наука, 1981.

20. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.-М.:Наука, 19 81.

21. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вешественной переменной. -М. :Наука,1973.

22. Гальчук Л.И. О некоторых задачах на оптимальное управление системами описываемыми параболическим уравнением.-Вестник Московск.ун-та,сер.матем.и механика,1968,Je 3,с.21-33.

23. Гольдман Н.Л. О решении некорректной задачи Коши для квазилинейного параболического уравнения.-В сб.'.Вычислительные методы и программирование.-М.:Изд-во Московск.ун-та,1977, вып.26,с.138-154.

24. Гольдман Н.Л. Об одном классе обратных задач для многомерных квазилинейных параболических уравнений.-Дифференц.уравнения ,1978,т.147,с.1245-1254.

25. Гуленко В.П.,Ермольев Ю.М. О конечно-разностном методе в задачах управления системами с распределенными параметрами. -В сб.кибернетика.-Киев,1970,3 5,с.81-83.

26. Евсеенко Т.П. О решении разностными методами задач синтеза и программного оптимального управления.-В сб.:Матем.мет. упр.системами с распредел.параметрами.-Фрунзе:Илим,1978.

27. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации.-М.:Наука,1982.

28. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами.-М.:Наука,1978.

29. Егоров Ю.В. Некоторые задачи теории оптимального управления. -Ж.вычисл.матем.и матем.физ.,1963,т.3,J 5,с.887-904.

30. Ермольев Ю.М.,Гуленко В.П.,Царенко Т.И. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления.-Киев:Наукова думка, 1978.

31. Забрейко П.П.Красносельский М.А. и др.Интегральные уравнения. -М. :Наука,1968.

32. Иванова Т.П.Поляк Б.Т.,Пухова Г.В. Численные решения некоторых экстремальных задач с частными производными.-В сб.: Вычислительные методы и программирование.-М.:Изд-во Московок .ун-та ,19 67,вып.9,с.194-202.

33. Иванович Л.Д. Разностная аппроксимация и регуляризация задачи об оптимальном нагреве стержня.-Вестник Московск.унта ,сер.вычисл .матем.и киберн.,1982,$ 3,с.10-15.

34. Искендеров А.Д.Дагиев Р.Г. Задачи оптимизации с управлениями в коэффициентах нестационарных квазилинейных уравнений. -Докл.АН Аз.ССР,1981,т.17,$ 8,c.8-II.

35. Искендеров А.Д.Багирзаде Н.М. Идентификация дискретных нестационарных процессов управления.-В сб.:Приближенные методы и ЭВМ.-Баку:Изд-во Аз.гос.ун-та им.С.М.Кирова,1982,с.70-78.

36. Иосида К. Функциональный анализ.-М.:Мир,1967.

37. Иоффе А.Д.Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач.-М.: Наука,1974.

38. Ишмухаметов А.З. Разностная аппроксимация задачи оптимального управления поперечными колебаниями стержня.-В сб.:Вычислительные методы и программирование.-М.:Изд-во МГУ,1983, вып.39,с.155-165.

39. Коздоба JI.A. Численные решение обратных нелинейных задач нестационарной теплопроводности.-Инженерно-физический журнал ,1975, т. 28, J 6,с.1076-1080.

40. Колмогоров А.Н.,Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.-М.:Нака,1972,

41. Ладыженская О.А.,Солонников В.А.,Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.-М.:Наука ,1967.

42. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики.-М.: Наука,1973.

43. Латтес Р.,Лионе К.-Л. Методы квазиобращения и его приложения. -М. :Мир,1970.

44. Лионе 1.-Л. Оптимальное управление системами,описываемыми уравнениями с частными производными.-М.:Мир,1972.

45. Лубышев Ф.В. О дифференциально-разностных аппроксимациях многомерных задач оптимального управления с распределенными в пространстве параметрами.-Дифференц.уравнения,1977, т. I3,J2 4,с .711-718.

46. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. -М. :Наука,1983.

47. Морозов В.А.О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации.-Ж.вычисл.матем.и матем. физ.,1966,т.6,1 I,с.170-175.

48. Морозов В.А. О регуляризации некоторых классов экстремальных задач.-В кн.'.Вычислительные методы и программирование. -М.: Изд-во Московск.ун-та,1969,вып.12,с.24-37.

49. Никитенко Н.И. Разностный метод решения граничных обратных задач теплопроводности.-Инженерно-физический журнал,1977, т.32,$ 3,с.502-507.

50. Оруджалиев А.П. Разностная аппроксимация одной задачи оптимального управления для уравнения теплопроводности.-Тезисы докладов II республиканской конференции аспирантов вузов Азербайджана.-Баку,1979,с.б.

51. Оруджалиев А.П. О приближенном решении задач оптимального управления для параболических уравнений в Р -мерном параллелепипеде. -Деп.в ВИНИТИ,J 4138-80 Деп.,26 стр.

52. Оруджалиев А.П. Разностная аппроксимация для одной задачи оптимального управления.-Деп.в ВИНИТИ,Je 1398-81'Деп.,17стр.

53. Оруджалиев А.П. О приближенном решении одной задачи оптимального управления.-В сб.:Приближенные методы и ЭВМ.-Баку:Изд-во Аз.гос.ун-та им.С.М.Кирова,1982,с.98-108.

54. Плотников В.И. Теоремы единственности,существования и априорные свойства обобщенных решений.-Докл.АН СССР,1965, т. 165,J§ I,с.33-35.

55. Плотников В.И. О сходимости конечномерных приближений (в задаче об оптимальном нагреве неоднородного тела произвольной формы).-1.вычисл.матем.и матем.физ.,1968,т.8,$ I,с.136-152.

56. Плотников В.И.,Сикорская Е.Р. Оптимизация управляемого объекта .описываемого нелинейной системой гиперболических уравнений ,-Изв .Выс,Уч.Завед.,сер.радиофизика,т.153,с.346-357

57. Поляк Б.Т. Полунепрерывность интегральных функционалов и теоремы существования в задачах на экстремум.-Матем.сборник, 1969,т. 78,Je I,с.65-84.

58. Потапов М.М. Разностные аппроксимация и регуляризация задачоптимального управления системами Гурса-Дарбу.-Вестник Московск.ун-та,сер.вычисл,матем.и киберн.,1978,$ 2,с.17-26.

59. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума.-М.:Наука, 1969.

60. Самарский А. А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений параболического типа.-1.вычисл. матем.и матем.физ.,1963,т.3,$ 2,с.266-298.

61. Самарский А.А.,Андреев. В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений.-М.:Наука,1972.

62. Самарский А.А. Теория разностных схем.-М.:Наука,1977.

63. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами . —М. -.Наука ,1977.

64. Смирнов В.И. Курс высшей математики.-М.:Физматгиз,1980,т.5.

65. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физики.-Л.:Изд-во Ленинградок.ун-та,1950.

66. Тагиев Р.Г. Задачи оптимального управления для параболических и гиперболических уравнений и разностные методы их решения.- Автореферат канд.диссерт.,1982.

67. Темкин А.Г. Обратные методы теплопроводности.-М.:Энергия, 1973.

68. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации.-ДАН СССР,1963,т.1513,с.501-504.

69. Тихонов А.Н.Дрсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М. :Наука,1974.

70. Тихонов А.Н.Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М. -.Наука, 19 77.

71. Тихонов А.Н. Обратные задачи теплопроводности.-Инженернофизический журнал,1975,т.29,3 I,с.7-12.

72. Черноусько Ф.Л.Долмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления.-Итоги науки и техники,сер.математический анализ,т.14,с.Ю1-166.

73. Юрий А.Д. Об одной оптимальной задаче типа Стефана.- Докл, АН СССР,1980,т.251,J 6,0.1317-1321.

74. Экланд И.,Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные пробле-мы.-М.:Мир,1979.

75. Liovi% Е. PI&WWA ШХ LvvtiiJX rvov^• GwhJL (V oj>timi a>vtvbt o^ tU,Соэ^соС^кМ (j dl.ptCc. ^{ежл . MifrtLfcke. JIjUoLua^^ Уо^гм^ Jet

76. TYliZoLcUa, S., " U^uCct-C du. ръу&ь^те^ dty {dudconi роил- ^иАс^илЛ O^CKL-tuulS di^iM^tiMi pa^k^M&j76