Вариационные неравенства и экстремальные задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Беспалова, Татьяна Валерьевна

• Беспалова, Татьяна Валерьевна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Беспалова, Татьяна Валерьевна

Содержание

Введение

1 Вариационные неравенства и субдифференциальные обратные

задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме

1.1 Введение

1.1.1 Основные физические величины. Уравнения Максвелла

1.1.2 Уравнения состояния

1.1.3 Периодические по времени электромагнитные поля. Уравнения Максвелла в гармоническом режиме

1.1.4 Субдифференциальное определяющее соотношение

1.2 Постановка задачи и вывод вариационного неравенства

1.2.1 Постановка субдифференциальной задачи

1.2.2 Вывод вариационного неравенства

1.2.3 Корректность задачи 1.1

1.3 Примеры

1.3.1 Моделирование электромагнитных колебаний в поляризуемой среде

1.3.2 Задача об определении областей постоянной проводимости

по пороговым значения поля

1.4 Субдифференциальная обратная задача, связанная со стационарными уравнениями Максвелла

2 Исследование разрешимости краевых задач для уравнений Макс-

велла в гармоническом режиме в пространствах Соболева

2.1 Введение

2.2 Корректность задачи (2.1), (2.2) с гладкими граничными данными в ограниченной области

2.2.1 Предварительные замечания. Постановка задачи

2.2.2 Корректность задачи (2.7)

2.3 Корректность задачи (2.1), (2.2) с гладкими граничными данными в неограниченной области

2.3.1 Постановка задачи

2.3.2 Корректность задачи (2.19)

2.4 Корректность задачи (2.1), (2.2) с негладкими граничными данными в ограниченной области

2.4.1 Постановка задачи

2.5 Корректность задачи с негладкими граничными данными

3 Задачи оптимального граничного управления для уравнений

Максвелла в гармоническом режиме

3.1 Введение

3.2 Граничное

#1/2

-управление для стационарных уравнений Максвелла в ограниченной области

3.2.1 Постановка экстремальной задачи

3.2.2 Вывод системы оптимальности

3.3 Задача оптимального граничного управления для стационарных

уравнений Максвелла в неограниченной области

3.3.1 Постановка экстремальной задачи и вывод системы оптимальности

3.4 Задача граничного Ь2 - управления для уравнений Максвелла в

гармоническом режиме

3.4.1 Постановка экстремальной задачи и вывод системы оптимальности

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вариационные неравенства и экстремальные задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме»

Введение

Многие задачи математической физики допускают естественную вариационную постановку. В этой постановке задача сводится к отысканию экстремума некоторого функционала, т.е. к решению экстремальной задачи. Вариационный подход позволяет снять ограничения гладкости искомого решения, не вызванные физической природой изучаемого явления (рассматривается так называемое обобщенное или слабое решение). Условно вариационные задачи можно разделить на задачи оптимизации (задачи оптимального управления) и задачи, приводящие к вариационным неравенствам.

В механике, физике, экономике часто приходится иметь дело с более общим классом задач, которые также приводят к экстремальным, но на более узком множестве функций, чем традиционные, причем соответствующие функционалы могут не обладать гладкостью, необходимой для применения классических методов вариационного исчисления. Для исследования такого рода задач с ограничениями были привлечены так называемые вариационные неравенства, и это позволило решить довольно сложные задачи механики и физики, до того не поддававшиеся решению. К этому классу, в частности, относится сформулированная А.А.Ильюшиным вариационная задача теории вязко-пластичности, которая была исследована с помощью неклассического вариационного исчисления П.П.Мосоловым и В.П.Мясниковым.

Значительные результаты, полученные в теории вариационных проблем математической физики в 50-60 годы, привели к бурному развитию этой тематики. Математическое изучение вариационных неравенств было начато в начале 60-х годов работами Г.Фикеры, Ж.-Л.Лионса, Т.Стампаккьи, С.Л.Соболева, С.Г.Михлина, К.Фридрихса, П.П.Мосолова, В.П. Мясникова и др.. Ж.Ж. Мор-

ро связал теорию вариационных неравенств с выпуклым анализом, и в частности с теорией субдифференцируемости, введя понятие суперпотенциала. Затем была обнаружена связь теории задач на неравенства с теорией максимальных монотонных операторов. Независимо от упомянутых выше авторов, которые рассматривали в основном математические аспекты теории задач на неравенства, Г.Майер ставил и изучал такие задачи в прикладной механике, используя методы оптимизации.

Вариационные неравенства - стационарные и эволюционные - встречаются во многих областях, в частности задачи теории упругости с односторонними краевыми условиями (Синьорини, Фикера, Фремон) и с краевыми условиями, учитывающими трение упругого тела об ограничивающую поверхность (Дю-во, Лионе, Калкер), приводят к эллиптическим вариационным неравенствам, в эволюционном случае - к гиперболическим вариационным неравенствам (Дюво-Лионс). Задачи минимизации с ограничениями возникают в теории упругопла-стических сред (Койтер, Мандель, Прагер); исследования этих задач с применением метода вариационных неравенств были проведены в работах Брезиса и Сибони, Дюво и Лионса, Леви, Стампаккья, Моро. Вариационные методы в теории вязко-пластических сред были изучены П.П.Мосоловым и В.П.Мясниковым. К стационарным и эволюционным вариационным неравенствам приводят задачи гидродинамики пористых сред (Дюво, Лионе). Эволюционные неравенства возникают в некоторых задачах климатизации. Разнообразные физические явления, в которых валено учитывать одновременное протекание нескольких из упомянутых выше процессов также приводят к неравенствам (Дюво, Лионе, Прагер). К вариационным неравенствам приводят задачи со свободной границей (Байокки, Коминчиоли, Мадженес, Поззи и др.), а также многие задачи оптимального управления.

Вариационные неравенства различных типов также возникают в задачах

теории электромагнитного поля в нестабильной среде. Эти задачи приводят к постановкам с нелинейными ограничениями на решение, которые могут быть представлены в виде субдифференциальных определяющих соотношений. Таким образом, задачи на неравенства могут быть описаны также в терминах многозначных операторных уравнений. В частности, это представление оказывается полезным при изучении определенных классов нелинейных задач, связанных с уравнениями Максвелла.

Для уравнений Максвелла впервые постановки задач, приводящие к неравенствам были рассмотрены в работе Г.Дюво и Ж.Лионса [15]. Этими авторами изучались проводящие среды, в которых связь между электрическим полем и плотностью тока варажается классическим законом Ома, т.е. среды с постоянной проводимостью (мы называем такие среды "устойчивыми"). Кроме того, были рассмотрены среды, которые подвержены ионизации под влиянием электрического поля. Проводимость в таких средах резко изменяется при изменении поля; такие явления имеют место при пробое конденсаторов или антенн. Эти задачи изучались для нестационарных уравнений Максвелла. "Гибридные" задачи, включающие одновременно две из описанных выше ситуаций, также рассмотрены этими авторами (Дюво, Лионе [16], [17]). В работах [72,73] А.Ю. Чеботаревым изучалась задача о гармонических электромагнитных колебаниях в поляризуемой среде.

Первая глава работы посвящена теоретическому исследованию класса вариационных неравенств для уравнений Максвелла в гармоническом режиме (стационарные уравнения). Изучаются прямые и обратные краевые задачи для указанных уравнений, возникающие при рассмотрении субдифференциальных определяющих соотношений. Введение субдифференциальных определяющих соотношений позволяет рассмотреть широкий класс задач с нелинейными ограничениями на решение. Изучаемый класс краевых задач для дифферен-

циальных уравнений Максвелла включает, как частный случай, классические задачи, а также ряд постановок нелинейных краевых задач. Такие задачи сводятся к решению вариационных неравенств с некоэрцитивными операторами, что не позволяет непосредственно применить общую теорию для исследования корректности. В связи с эти, вопрос о разрешимости таких вариационных неравенств сводится к теореме о неравенствах с псевдомонотонными операторами [43].

В работе доказана корректность класса вариационных неравенств для стационарных электоромагнитных полей. Кроме того, в качестве приложения полученных результатов рассмотрены некоторые примеры, а именно:

1) задача моделирования электромагнитных волн в поляризуемой среде для уравнений Максвелла в гармоническом режиме. Эта задача была исследована в двумерном и одномерном случаях. В двумерном варианте задача моделирования электромагнитных волн была рассмотрена как задача о распространении поперечно-магнитных волн в канале прямоугольного сечения с идеально проводящими стенками. Для этой задачи получен алгоритм численного решения методом итеративной регуляризации [2], который применяется при исследовании некоэрцитивных вариационных неравенств;

2) задача об определении областей постоянной проводимости по пороговым значения поля. Эта задача представляет собой, фактически, задачу со свободной границей, т.к. проводимость среды различна в различных частях рассматриваемой области. Подобласти с различной проводимостью заранее не заданы и определяются в ходе решения задачи.

Исследование субдифференциальных определяющих соотношений также позволяет рассмотреть класс обратных краевых задач для уравнений Максвелла в гармоническом режиме.

Вторая глава посвящена вопросам разрешимости краевых задач для уравнений Максвелла в гармоническом режиме в соболевских классах [54]. Отметим, что краевые задачи рассеяния электромагнитных волн на идеально проводящих телах, сформулированные как граничные задачи для уравнений Максвелла, изучались в работах Д. Колтона и Р. Кресса [30], [31]. Внешние граничные задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме также изучались Кнауффом [29], Вернером [10]. В работе С.И. Смагина [61] рассматривались задачи дифракции электромагнитных волн на локальных неоднородностях, а именно задачи о распространении стационарных электромагнитных колебаний в горизонтально-слоистой среде с однородным включением. В математическом плане эти задачи заключаются в отыскании решения стационарных уравнений Максвелла, удовлетворяющих условиям сопряжения на границах разрывов параметров сред и условиям излучения на бесконечности. В работах этих авторов исходные задачи сводятся к различным системам интегральных уравнений. Отметим также работу [74], в которой рассмотрена задача дифракции пучка на волнистой периодической поверхности, разделяющей две диэлектрические поверхности. В работе показано существование и единственность решения системы уравнеий Максвелла в гармоническом режиме посредством сведения граничной задачи к системе двух интегральных уравнений Фредгольма. В работе [64] Е.Сомерсало и Д.Исааксон исследовали обратную краевую задачу определения электромагнитных характеристик среды для уравнений Максвелла в гармоническом режиме в ограниченной области. В этой работе также была изучена корректность прямых краевых задач для однородных уравнений Максвелла в гармоническом режиме в случае различных (электрических и магнитных) граничных условий из пространства Я1//2(Г). В работе [65] тем же автором была рассмотрена обратная задача, в которой электромагнитные характеристики среды определялись по измерению поля вне рассматриваемой области.

Во второй главе настоящей работы изучается корректность прямых краевых задач для стационарных уравнений Максвелла с "гладкими" и "разрывными" граничными данными для ограниченных и неограниченных областей в пространствах Соболева. Основным результатом второй главы является исследование корректности обобщенного решения прямой краевой задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме в случае граничных данных из пространства £2(Г). В качестве вспомогательных результатов, использованных в главе 3, также получены теоремы существования и единственности обобщенных решений прямых краевых задач для указанных уравнений в случае граничных данных из Я1/2(Г) в ограниченной области (этот результат аналогичен результату, полученному в [64]), и в неограниченной области.

Основными этапами исследования корректности данных задач являются введение определения обобщенного решения в каждом из рассматриваемых случаев и вывод априорных оценок решений, на основе которых устанавливается разрешимость изучаемых задач.

Результаты, полученные во второй главе работы, являясь самостоятельными, в свою очередь были положены в основу исследования задач, которым посвящена третья глава.

Задачи, связанные с определением оптимальных электромагнитных характеристик среды приводят к постановкам задач на оптимизацию электромагнитных полей. С математической точки зрения эти задачи представляют собой задачи оптимального управления для уравнений Максвелла.

Одним из первых систематическое изучение задач оптимизации для уравнений с частными производными начал Ж.Л.Лионе в работе [44], где затронут широкий круг вопросов оптимального управления системами с распределенными параметрами. Большое внимание было уделено линейным эллиптическим задачам с квадратичной минимизируемой функцией, решение которых сводится

к так называемым односторонним граничным задачам, и задачам эволюционного типа.

Задачи оптимального управления, связанные с уравнениями Максвелла, изучались различными авторами в нестационарном случае. Точное граничное управление для нестационарной системы Максвелла рассматривалось Д. Расселом [57] для круговой цилиндрической области П. К. Кайм [24] исследовала эту задачу для сферической области О, а Д. Лагнез [42] - для произвольной области. Отметим также работы Б.В. Капитонова [25,26], посвященные задаче точного граничного управления для эволюционных систем, в которых, в частности, рассматривается эволюционная система первого порядка - система Максвелла в неоднородной среде. При изучении вопросов управления в этих работах использовался метод, основанный на специальной теореме единственности, предложенный Ж.-Л. Лионсом в работе [47].

Рассмотрение электромагнитных полей в гармоническом режиме приводит к системе эллиптических уравнений для комплекснозначных вектор-функций. Построение теории вариационных задач для такой системы и разработка на ее основе алгоритмов решения нелинейных краевых задач и задач оптимизации представляет теоретический интерес и может иметь интересные приложения.

Третья глава посвящена задачам оптимального граничного управления для уравнений Максвелла в гармоническом режим, причем управляющей функцией является поверхностная плотность тока. Задача оптимального граничного управления состоит в определении неизвестных граничных значений поверхностной плотности тока, а также соответствующих решений системы уравнений Максвелла по дополнительному условию минимизации некоторого функционала (функции стоимости) [44].

Целью исследований, проводимых в третьей главе, является получение необходимых (или необходимых и достаточных) условий экстремума, а также изуче-

ние структуры и свойств соотношений, выражающих эти условия. Эти условия характеризуют оптимальное управление и называются системой оптимальности. В третьей главе получены системы оптимальности для различных экстремальных задач, соответствующих прямым краевым задачам, рассмотренным во второй главе работы.

Таким образом, цель работы заключается в следующем:

1. Теоретическое исследование класса вариационных неравенств для уравнений Максвелла в гармоническом режиме и приложение полученных результатов к задачам распространения электромагнитных волн в нестабильных средах.

2. Исследование класса субдифференциальных обратных задач для стационарных уравнений Максвелла.

3. Исследование разрешимости краевых задач для уравнений Максвелла в гармоническом режиме в соболевских классах.

4. Изучение задачи оптимального граничного управления для уравнений Максвелла в гармоническом режиме и вывод критерия оптимальности в форме вариационного неравенства (принципа максимума типа Понтрягина).

5. Исследование качественных свойств решений экстремальных задач на основе системы оптимальности.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Доказана корректность класса вариационных неравенств для стационарных электромагнитных полей.

2. Выведено вариационное неравенство и исследованы вопросы корректности для задачи распространения электромагнитных волн в поляризуемой среде, а также для задачи об определении областей постоянной проводимости по пороговым значения поля.

3. Изучена субдифференциальная обратная краевая задача для уравнений Максвелла в гармоническом режиме.

4. Проведены исследования корректности прямых краевых задач для уравнений Максвелла в гармоническом режиме в пространствах Соболева в случае граничных данных из пространства £2(Г).

5. Изучена корректность экстремальных задач для уравнений Максвелла в гармоническом режиме. Выведены системы оптимальности в случае граничного И1!2 - управления для неограниченной и ограниченной областей. Получена система оптимальности в случае граничного Ь2 - управления.

Основными методами исследования являются методы теории вариационных неравенств, функционального анализа, а также методы теории отималь-ного управления, метод галеркинских приближений и априорных оценок. Главным моментом при этом является получение априорных оценок в соболевских классах и вывод на их основе условий разрешимости и единственности краевых задач для уравнений Максвелла, а также обоснование систем оптимальности.

Основные результаты работы представлялись на международной конференции "Математическое моделирование и криптография" (Владивосток, 1995), на 6-ом международном симпозиуме по вычислительной гидродинамике (Невада, 1995), на 11-ой Всероссийской конференции, памяти К.И. Бабенко, "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" (Пущино, 1996), на Дальневосточных математических школах-семинарах, имени акад. Е.В.Золотова (Владивосток, 1997, 1998), на семинарах Института прикладной математики ИПМ ДВО РАН, на международной конференции "Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)" (Красноярск, 1997), а также на научном семинаре по дифференциальным уравнениям Хабаровского технического университета (рук. д.ф.-м.н. А.Г. Зарубин) и др.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [76]-[82], список которых приведен в конце работы.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Беспалова, Татьяна Валерьевна

Заключение

В данной работе изучаются вариационные неравенства и экстремальнее задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме.

Первая глава посвящена теоретическому исследованию класса вариационных неравенств для уравнений Максвелла в гармоническом режиме и приложение полученных результатов к задачам распространения электромагнитных волн в нестабильных средах. Кроме того, исследован класс субдифференциальных обратных задач для стационарных уравнений Максвелла.

Во второй главе проведено исследование разрешимости краевых задач для уравнений Максвелла в гармоническом режиме в соболевских классах.

Третья глава посвящена задачам оптимального граничного управления для уравнений Максвелла в гармоническом режиме и выводу критерия оптимальности в форме вариационного неравенства (принципа максимума).

Таким образом, в работе получены следующие основные результаты:

- Доказана корректность класса вариационных неравенств для стационарных электромагнитных полей.

- Выведено вариационное неравенство и исследованы вопросы корректности для задачи распространения электромагнитных волн в поляризуемой среде, а также для задачи об определении областей постоянной проводимости по пороговым значения поля.

- Изучена субдифференциальная обратная краевая задача для уравнений Максвелла в гармоническом режиме.

- Проведены исследования корректности прямых краевых задач для уравнений Максвелла в гармоничесском режиме в пространствах Соболева.

- Изучена корректность экстремальных задач для уравнений Максвелла в гармоническом режиме. Выведены системы оптимальности в случае граничного Я1/2 - управления для неограниченной и ограниченной областей. Получена система оптимальности в случае граничного Ь2 - управления.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Беспалова, Татьяна Валерьевна, 1999 год

Список литературы

1. Angell T., Kirsch A. The conductiv boundary condition for Maxwell equations // SIAM J. on Math. Anal. Dec. 1992. P.1597-1610.

2. Бакушинский A.B., Гончарский A.B. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989.

3. Barbu V. Analysis and Control of Nonlinear Infinit Dimensional Systems. San Diego: Academic Press, 1993.

4. Барфут Ж., Тейлор Дж. Полярные диэлектрики и их приложения. М.: Мир, 1981.

5. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М: Наука, 1969.

6. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М: Наука, 1965.

7. Бутковский А.Г., Полтавский JI.H. Оптимальное управление волновыми процессами. М: Наука, 1967.

8. Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторов векторного анализа //Труды МИАН СССР. 1960. С.5-36.

9. Быховский Е.Б. Решение смешанных задач для уравнений Максвелла в случае сверхпроводящей границы // Вестник МГУ. 1957. N13. С.50-65.

10. Вернер П. On the exterior boundary-value problem of perfect reflection for stationary electromagnetic waves // J. Math. Anal. Appl. 1963. V.7. P.348-396.

11. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. M.: Наука, 1967.

12. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

13. Гловински В., Лионе Ж., Тремольер Р. Численные исследования вариационных неравенств. М.: Мир, 1979.

14. Goeleren D. On the solvability of noncoercive linear variational inequalities in separable Hilbert spaces //J. Optim. Theory. Appl. 1993. V.79. N3. P.493-511.

15. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства а механике и физике. М.: Наука, 1980.

16. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Inequation en therme-elasticite et magneto- hydrodynamique // Archive Rat. Mach. Anal.1972.

17. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Transfert de Chaleur dans les Fluides de Bingham dont la Viscosite depend de la Temperature //J- Functional Analysis. 1972. V.ll. N1. P.93-110.

18. Dobson D., Friedman A. The time-harmonic Maxwell equations in doubly periodic structure // J. of Math. Anal, and Appl.15 May 1992. P. 507-528.

19. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа (часть 1, 2). М.: Наука, 1973.

20. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М: Наука, 1974, 480 с.

21. Ichimura Hideo Study on Maxwell equations // Repts. Math. Phys. 1989. V.28. N3. P.299-311.

22. Ichimura Hideo Maxwell equations and constitutive relations // Repts. Math. Phys. 1989. V.28. N3. P.317-333.

23. Kabanikhin S.I., Lorenzi A. An indentification problem related to the integro-differential Maxwell equations 11 Inverse Problem. 1991. V7. N6. P.863-886.

24. Kime K. Boundary controllability of Maxwell's equations in a spherical region 11 SIAM J. Control and Optimization. 1990 V.28. N2. P.291-319.

25. Капитонов Б.В. Теоремы единственности и точное граничное управление для эволюционных систем // Сиб. мат. журнал. 1993. Т.34. N5. С.67-84.

26. Капитонов Б.В. Об экспоненциальном убывании при t —У +оо решений внешней краевой задачи для системы Максвелла // Мат. сб. 1989. Т.180. N4. С.469-490.

27. Kapitonov В. Stabilization and exact boundary controllability for Maxwell equations // SIAM J. on Contr. and Opt. 1994. P.408-420.

28. Киндерлерер Д., Стампаккъя Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М: Мир, 1983.

29. Кнауфф В., Кресс P. On the exterior boundary-value problem for the time-harmonic Maxwell equations //J. Math. Anal. Appl. 1979. V.72. P.215-235.

30. Колтон Д., Кресс P. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.

31. Колтон Д., Кресс P. The impedance boundary-value problem for the time-harmonic Maxwell equations // Math. Meth. in the Appl. Sci. 1981. V.3.

32. Colton D., Kress R. Time-harmonic electromagnetic waves in an inhomogeneous medium // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. A. 1990. V.116. N3-4. P.279-293.

33. Colton D., Paivarinta L. The uniqueness of a solution to an inverse scattering problem for electromagnetic waves // Arch. Rat. Mech. Anal.1991. P.59-70.

34. Komornik, Vilmos Boundary stabilization of Maxwell's equations // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I. Math. 1994. N6. P.536r540.

35. Costabel M., Stephan E. Strongly elliptic boundary integral equations for electromagnetic transmission problems // Proc. R. Soc. Edinburgh. 1988. V.109. P.271-296.

36. Котляков H.C., Глинер Э.Б., Смирнов M.M. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970.

37. Курбанов И.О. О разрешимости нелинейных краевых задач для уравнений Максвелла с памятью // Мат. физ. и нелин. мех. 1991. N16. С.56-63.

38. Курбанов И.О. О гладкости обобщенных решений краевых задач электродинамики с общими материальными уравнениями // Укр. мат. ж. 1992. N5. С.601-630.

39. Кюрчкам А.Г., Стернин Б.Ю. Особенности продолжения решений уравнений Максвелла // Радиотехника и электроника. 1992. Т.37. N5. С.777-796.

40. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

41. Ладыженская О.А. Об интегральных оценках сходимости приближенных методов и решений в функционалах для линейных эллиптических операторов // Вестник ЛГУ. 1958. N7. С.60-69.

42. Lagnnese J. Exact boundary controllability of Maxwell's equations in general region // SIAM J. Contr. and Optim. 1989. V.27. N2. P.324-335.

43. Лионе Ж. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

44. Лионе Ж. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.

45. Лионе Ж., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

46. Лионе Ж. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987.

47. Lions J.-L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed system // SIAM Reuiew. 1988. V.30. N1. P.l-68.

48. Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.: Наука, 1987.

49. Maksimov V. Approximation of an inverse problem for variational inequalities j I Diif. and Integ. Eq. Nov. 1995. P.2189-2196.

50. Milani A., Picard R. Weak solution theory for Maxwell equations in the semistatic limit case // J. Math. An. Appl. 1 Apr. 1995. P.77-100.

51. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977.

52. Monk P. A finite element method for approximating the time- harmonic Maxwell equations // Numereshe Mathematik 63:2. Nov 1992. V.63:2. P.243-262.

53. Nedelec J. С., Starling F. Integral equation methods in quasi- periodic diffraction problem for the time-harmonic Maxwell equations // SIAM J. on Math. Anal. Nov. 1991. P.1679-1701.

54. Панагиотопулос 77. Неравенства в механике и их приложения, М.: Мир, 1989.

55. Панин О.И. К вопросу о разрешимости внешних краевых задач для волнового уравнения и уравнений Максвелла//Успехи мат. наук. 1965. Т.20. С.221-226.

56. Puta, Mircea On the Maxwell-Bloch equations with one control // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I. Math. 1994. N7. P.679-683.

57. Russel D.L. The Dirichlet - Neumann boundary control problem associated with Maxwell's equations in cylindrical region //SIAM J. Control and Optim. 1986. V.25. N2. P.199-229.

58. Райзер Ю.П. Основы современной физики газоразрядных процессов. М.: Наука, 1980.

59. Ronald П., Норре W. A penalty method for the approximate solution of stationary Maxwell equations // Numerishe Mathematik. 1981. N36. P.389-403.

60. Cea Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973.

61. Смагин С.И. Интегральные уравнения задач дифракции. Владивосток: Дальнаука, 1995.

62. Сливняк Й.М. О краевых задачах для уравнений Максвелла // Мат. сб. 1954. Т.35(77). N3. С.369-394.

63. Слободецкий Л.Н. Пространства Соболева дробного порядка и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных // ДАН СССР. 1958. Т.118. N2. С.243-246.

64. Somersalo Е.,Isaacson D. A linearized inverse boundary value problem for Maxwell's equations // J. Comput. Appl. Math. 1992. N42. P.123-136.

65. Somersalo E. Layer stripping for time-harmonic Maxwell's equations with high frequency// Inverse Problems. 1994. N10. P.449-466.

66. Suz Z., Uhlmann G. An inverse boundary value problem for Maxwell's equations 11 Arch. Rat. Mech. Anal. N119. P.71-93.

67. Сухорослова M.B. Структура фундаментальных решений задачи Коши для системы Максвелла в случае кусочно-гладкого коэффициента проводимости //АН СССР СО Инст. мат. Новосибирск. 1991. С. 144-159.

68. Тамм И.Е. Основы теории электричества М.: Гостехиздат, 1956.

69. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

70. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

71. Нои L.S., Peterson J.S. Boundary optimal control for an electrically conducting fluid using boundary electrical potential controls//Nonl. Anal. Theory. Meth. and Appl. Mar 1995. P.857-874.

72. Чеботарев А.Ю. Математическое моделирование электромагнитных колебаний в поляризуемой среде // Материалы 1-го Российско-Корейского симпозиума по мат. моделированию. Владивосток. 1991. Т.1. С.106-109.

73. Чеботарев А.Ю. Корректность задачи об электромагнитных колебаниях в поляризуемой среде // Динамика сплошной среды. Новосибирск. ИГ СО РАН. 1993. В.107.

74. Chen Xinfu, Friedman A. Maxwell's equations in a periodic structure // Trans. Amer. Math. Soc. 1991. V.322. N2. P.32-45.

75. Yao Jen-Chin Applications of variational inequalities to nonlinear analysis // Appl. Math. Lett. 1991. N4. P.89-92.

76. Беспалова Т.В., Чеботарев А.Ю. Моделирование электромагнитных колебаний в поляризуемой среде и вариационные неравенства. Препринт. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 1993. 22 с.

77. Беспалова Т.В. Задача оптимального граничного управления для стационарных уравнений Максвелла // Дальневосточный математический сборник. 1995. В.1. С.84-91.

78. Bespalova Т. V. Boundary optimal control problems for the stationary Maxwell equations // Abstracts of Pacific International Conference on Mathematical Modeling and Cryptography. Vladivostok. 1995. C.5.

79. Беспалова Т.В. Задача оптимального граничного управления для стационарных уравнений Максвелла в неограниченной области. Препринт N14. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 1996. 9 с.

80. Беспалова Т.В. Задача оптимального граничного Н1^2- управления для уравнений Максвелла в гармоническом режиме в неограниченной области // И-ая Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", посвященная памяти К.И. Бабенко. Тез.докл. Пущино. 1996. С.14-15.

81. Беспалова Т.В., Чеботарев А.Ю. Вариационные неравенства и обратные субдифференциальные задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме // Дифференциальные уравнения (в печати). 1999.

82. Беспалова Т.В. Граничное £2-управление для уравнений Максвелла в гармоническом режиме. Препринт N17. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 1998. 15 с.