Задача Римана и уравнения в свертках с символами, вырождающимися на счетном множестве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Джиргалова, С.Б.

• Джиргалова, С.Б.
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Джиргалова, С.Б.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПРЯМОЙ;

§ I. Пространства основных и обобщенных функций

§ 2. Классы коэффициентов, Факторизация

§ 3. Случай конечного числа нулей у коэффициента задачи

Римана в пространстве L^to^-co"^

§ 4. Случай бесконечного числа нулей у коэффициента задачи Римана в пространстве L^to-оэ^

§ 5. Исключительный случай задачи Римана в пространстве обобщенных функций на прямой

Глава П. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА НА ОКРУЖНОСТИ

§ 6. Пространства основных и обобщенных функций.

§ 7. Задача Римана в пространстве основных функций

§ 8. Задача Римана в пространстве обобщенных функций

Гс;пхя\.зз

Глава Ш. УРАВНЕНИЯ В СВЕРТКАХ

§ 9. Уравнение типа свертки с н Уь * ядрами"

§ 10. Интегрально-разностное уравнение Винера-Хопфа в пространстве L^L0*, о"^.

§ II. Интегрально-разностное уравнение в пространстве

Lpl^.o^.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача Римана и уравнения в свертках с символами, вырождающимися на счетном множестве»

Работа посвящена краевой задаче Римана и связанным с ней интегрально-разностным уравнениям типа свертки в пространствах основных и обобщенных функций.

Полная теория краевой задачи Римана и связанных с ней сингулярных интегральных уравнений, а также уравнений типа свертки изложена в монографиях [91 , [17"}. [18*1,1221, t 521, [ 55l • Отметим при этом основополагающие исследования ФД.Гахова [91 и Н.И.%схелишвили [521.

Краевая задача Римана в пространстве обобщенных функций изучалась многими авторами. Постановка задачи, по-ъщтощ t принадлежит О.С.Парасюку [531 , рассмотревшему задачу в случае, когда контур - вещественная ось.

Изучение задачи Римана в пространстве обобщенных функций связано с тем, что в различных прикладных задачах, например, в теории автоматического управления и теории массового обслуживания, возникает необходимость исследования уравнения типа свертки в классах медленно растущих на бесконечности функций [431 . Впервые задача Римана в нормальном случае в пространстве обобщенных функций была решена Ю.И.Черским в работе [671, который применил ее для исследования интегральных уравнений типа свертки в классах растущих на бесконечности функций. Существенное развитие в теорию задачи Римана в обобщенных функциях внес В.С.Рогожин (см., например, [56] - [59] ). В.С.Владимиров рассмотрел задачу Римана в пространстве обобщенных функций многих переменных [4"] .

Исключительный случай задачи Римана в пространстве обобщенных функций на вещественной прямой впервые рассматривал В.Б.Ды-бин [28] , [291 • Полное решение этого вопроса в сдучае прямой было дано в последующей за этим работе В.Б.Дыбина и Н.К.Карапе-тянца [391 , где было впервые показано, что в соответствующим образом подобранных пространствах основных и обобщенных функций краевая задача Римана с конечным числом нулей целого порядка у ее коэффициента подчиняется теории. После этого еще неоднократно ряд авторов возвращались к этому вопросу (см., например, [151 Д 461 , [471, С 481, С 511, [ 591 , [601/651 ), в частности, в [591 была детально рассмотрена аналогичная ситуация на замкнутом гладком контуре.

Исключительный случай задачи Римана в пространстве обобщенных функций опирается на соответствующий случай в пространстве основных функций. Здесь для случая конечного числа нулей у ее коэффициента следует отметить результаты Л.А.Чикина [69"} , Ф.Д.Гахова и В.И.Смагиной [101 , последующие результаты достаточно полно изложены в монографии З.Пресдорфа [55~1 # Случай бесконечного числа цулей рассматривали В.Б.Дыбин и В.Н.Гапоненко [341 , М.ИДуравлева [411 , [421, В.Б.Дыбин [331 . В работе[34] построена теория нормальной разрешимости задачи Римана, когда ее коэффициент имеет бесконечное множество периодически распределенных на вещественной оси нулей. В работах [411 ,[ 421 задача решается на луче методом Н.В.Говорова. В недавно опубликованной статье [331 В.Б.Дыбиным рассматривается случай общего распределения цулей с почти-периодической точкой сгущения.

Кроме краевой задачи Римана ниже рассматривается интегрально-разностное уравнение иг ci I R^cb.I) где и связанное с ним парное уравнение.

-5

Нормальный случай этих уравнений, когда tr\<hoLOO\>0 f v xfclR. ' W*2' где 0100=000 + KimS C:elX,L4 tattle* dt (в.з)

• в пространстве , p^oo t был впервые рассмотрен И.Ц.Гохбергом и И.Ц.Фельдманом CI81. Они построили полную теорию односторонней обратимости оператора, порождаемого левой частью уравнения (B.I). В этом случае символ интегрально-разностного оператора, которым является функция О.ОС) вида (В.З), имеет так называемый почти-периодический разрыв в бесконечно удаленной точке.

Заметим, что в работах [261 и 1271 Р.В.Дудучава и А.И.Саги-нашвили построили -теорию для уравнения Винера-Хопфа в случае полу-почти-периодического разрыва у ее символа ) на бесконечности.

Переходя к исключительноцу случаю уравнения (B.I), отметим, что полное исследование его частного случая, который носит название уравнение Винера-Хопфа и его дискретного аналога, проведено в работах [30l , [ 311,, [45l , [ 641 , [ббК см. также монографию [551 ). В работе [301 впервые был опробован новый метод - метод нормализации линейных операторов, который в последующем нашел широкое применение при исследовании интегральных уравнений в исключительном случае. В частности, В.Б.Дыбин и В.Н.Гапоненко [81 применили этот метод к исследованию исключительного случая уравнения (B.I) в пространстве , °° , когда функция СЦ)0 имеет периодически распределенные нули, а именно, где У - целое число, - действительное число, ДДх) -функция вида (В.З), удовлетворяющая условию (В.2). После этого В.Н.Гапоненко рассмотрел парное и транспонированное к парному уравнения в аналогичной ситуации t5l-l7l.

Заметим, что этот метод используется и в теории двумерных уравнений в свертках в исключительных случаях, в связи с этим отметим работы В.Б.Дыбина и А.Э.Пасенчука [40") » А.Э.Пасенчука [541 , М.Б.Городецкого tI6"\ .

В работах 15 -81 созданы предпосылки для исследования задачи Римана в обобщенных функциях с бесконечным мно -жеством нулей у ее коэффициента. Но сама задача рассматривается здесь впервые. Из предыдущих исследований ясно, что в этом случае появляется бесконечное множество сингулярных С"- образных") решений, но тем не менее проблему представляет, во-первых, полное описание всех решений однородной задачи Римана, а во-вторых, конструкции обратных операторов, необходимых для нахождения частного решения неоднородной задачи.

Исследование задачи Римана в пространстве обобщенных функций позволяет изучить соответствующее интегрально-разностное уравнение в пространстве функций со степенным ростом на бесконечности и найти все решения указанного уравнения в этом классе. Вначале мы с помощью преобразования Фурье описываем поведение интегрально-разностного оператора в классе функций, принадлежащих пространству и растущих на бесконечности как некоторая степень X . Эти результаты позволяют получить конструкции обратных операторов, и поэтому построить теорию нормальной разрешимости в более широких пространствах Lpl[oo)o'j5 , где •

В отличие от нормального случая в рассматриваемом исключительном случае появляется бесконечное множество линейно независимых решений, которые растут на бесконечности не быстрее некоторой степени.

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации. Работа состоит из введения и трех глав, разбитых на одиннадцать параграфов.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Джиргалова, С.Б.

Выводы об односторонней обратимости оператора в пространстве Lp+lco,о] те же самые, что и в пространстве Теоремы 10.I - 10.3 сохраняются полностью с заменой на (Lptc^oTj4) .

Замечание II.I. По сравнению с нормальным случаем в исключительном случае при

540 и , ЭсЛО у уравнения появляются новые неклассические решения. Рассмотрим, например, частный случай: = h^ • Из теоремы 10.3 получим, что функция

Ч U Кег А') имеет вид v ^ со

Если $ то функция Y , определенная на устойчиво периодична с периодом уб^ , причем при Функция устойчиво периодична с разряжением ( на отрезках (.£=-0,4,.,^ ^ равна нулю). Проиллюстрируем это графически.

Цусть функция имеет график, изображенный на рис.2: Ч рис.2

Тогда график функции Ч' получим, сдвигая график функции Ч0 вправо на , £ = 0)^. (рис.3 и 4): рис.3

- (Г К рис.4 уьк>

Если » то функция определена на IR+ и представима в виде суммы двух функций , первая из которых из а вторая функция определена на ^^ и периодична с периодом /к : где К-~ т ~ £ , если ~ X - целое число : И= Т 1 ~ ^ х. р*. если - нецелое число. т, '

Например, пусть - - э , тогда график функции ^ будет иметь следующий вид (рис.5): к

К | I рис.5

Функция ^ не принадлежит Lp^lR4)» но удовлетворяет условию: It+l4) ("Н € Lp+ (S^ j^^Vp * На самом Деле»

UM^ ±Jh\$$ \ Pol**f 1 « tv-^i v?vk 1 v.

CO e=o

4 е. ИЧ 11 ы 0 p,

Ы чг-г *

-IC-t^jb, V

Ряд C^- Z. сходится, так как .

А решение с более высоким ростом на бесконечности можно пои. лучить, рассматривая оператор ^ с символом

Скс, , t у: ч й-к. . . ' k в £ ' ) ) ^к^ • • Возьмем в качестве функции функцию, график которого изображен на рис 6: JK рис.6

Даже прип^Х, в случае имеем следующую картину:

Перейдем теперь к исследованию парного оператора Ц> в пространстве Lpl°o,o^ .

Вначале рассмотрим оператор ScL^ '

Ук<-0 , сопряженный к оператору JTI^-P^JTL^ + 'Ту. Известно [5] , что при /Ь^О и У^<0 оператор ^^ ( обратим, а его обратный оператор имеет вид

В пространстве справедливо следующее предложеч ние.

Предложение II.2. Оператор непрерывно обратим в пространстве Lq^-ooj о~\ , а его обратный оператор имеет вид (II.9).

4 Очевидно, что \\гг . Равенства Si^A/^ Т проверяются непосредственной подстановкой. Докажем непрерывность оператора А/к . со (I .v \ s 0

00 4 e=o 1 ifr

Таким образом, мы показали справедливость неравенства (2.6) для оператора , тем самым доказали его непрерывность в пространстве L^t-oo.o^ .у

Следствие. Оператор^.^, непрерывно обратим в пространстве Lp^cojO"^ # и его обратный оператор имеет вид

Л/ £ = N Д + Д/^ , CII.IO) где л/Г-11p. Ny = f С' ^ ■ <П.Н)

Д to 'к YK + ' ^ Чь

Далее в этом же пространстве L^co рассмотрим оператор ^ * гуь

П % Р.^П Ту Р. , >0, г<0 .

Если lorv^iw , то"> оператор можно разложить в композици» = Л1" . где тГ'Т. + Р

Ус=Л /Ч * - '

Su ~ П Тк Р * П 1Т Р . При - yv\ гк ^ ^ A 2.

Оператор uiTc^* можно представить в виде произведения уже рассмотренных попарно коммутирующих операторов.Поэтому

- 117 оператор непрерывно обратим в пространстве L 0} > а его обратный оператор определяется по формуле: [ i^TtL^*!

V г-~ч

П Л/w » где /\/ имеет вид (II.10), Оператор а и также не-км ^ к прерывно обратим, а его обратный оператор имеет ввд

1 = Г\ N А ус- Л у ^ } где А/определяется по формуле (II.II). Непрерывность оператора вытекает из: того, что оператор является сопряженным к оператору

Тогда оператор непрерывно обратим в пространстве LAo^o^ и его обратный оператор имеет вид rf Nk + Nt .

Случаи рассматривается аналогично.

Из вышесказанного нетрудно сообразить, что оператор

Л - Г1 Т ; Р+ + rf Т 5 £. непрерывно обратим, и его обратный оператор имеет вид /V*- Г? IN* ^ + П СЛ/* . (п.is)

Теперь рассмотрим оператор [fe , когда функции ^(.Х) и (ЦОО имеют вид (II.Ч) и (II.5). И предположим, что в разложении (2.3) функций Lx\ (лМДЪ. Тогда оператор можно разложить в композицию

- \ Аг+ [и, VO ft * ft Т>4 V

Ч +а,, /Г РЛ - ьл в, г, где , операторы обратимы, операторы имеют вид (II.6), (11,7), а оператор односторонне обратим.

Если СГ>0 , то оператор В ^ обратим слева, и состоит из тех и только тех функций f которые обращаются в нуль на to^G"! . Если (Г^О , то оператор В^ обратим справа, и

Учитывая вышесказанное, получим следующий результат для оператора В .

Теорема II.2. I) Если 6">0 , то оператор В обратим слева в пространстве Lp^00, . Для того, чтобы | £ ^ В необходимо и достаточно, чтобы функция обращалась в нуль на отрезке Со^с?! .

2) Если о , то оператор В обратим справа в пространстве Lpt^vO^ . Для того, чтобы Ч ^ Кег R , необходимо и достаточно, чтобы она имела вид ч^л/Чт-и^Г , где - произвольная функция из Р^о-б-з ^ Р^^^ » опеРа"* тор Д/* действует по формуле (II.12).

3) Если <э-0 , то оператор В обратим в пространстве

Один из обратных (единственный при О ) с соответствующей стороны операторов к определяется формулой где ^Ц^* , а Д/* имеет вид (II.12).

Замечание II.2. Сделанное выше предположение не существенно для качественных результатов, содержащихся в теореме II.2.

Замечание II.3. Так же как и в случае уравнения Винера-Хопфа у уравнения о в исключительном случае появляются новые неклассические решения, определенные на всей гфямой

R .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты главы П позволяют исследовать некоторые случаи дискретных уравнений типа свертки с символами, аннулирующимися на счетном множестве, по аналогии с интегрально-разностными уравнениями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Джиргалова, С.Б., 1984 год

1. БАНЦУРИ Р.Д., ДЖАНАШИЯ Г.А. Об уравнениях типа свертки на полуоси. - ДАН СССР, 1964, 155, № 2, 251-253.

2. БЕРКОВИЧ Ф.Д. Об одном классе интегральных уравнений первого рода. В сб.: Математический анализ и его приложения, Ростов-н/Д, РТУ, 1974, т. 5, 7-15.

3. ВЛАДИМИРОВ B.C. Уравнения математической физики. М., Наука, I98I.-5I2 с.

4. ВЛАДИМИРОВ B.C. Задача линейного сопряжения голоморфных функций многих переменных. Изв.АН СССР, сер.матем., 1965,29:4, 807-834.

5. ГАПОНЕНКО В.Н. Парный интегрально-разностный оператор с аннулирующимся символом. В сб.: Математический анализ и его приложения, Ростов-н/Д, РТУ, 1974, т.6, 99-105.

6. ГАПОНЕНКО В.Н. Об одном интегрально-разностном операторе в исключительном случае. Изв.СКНЦ ВШ, сер.естест.науки, 1974, т. 4, 68-71.

7. ГАПОНЕНКО В.Н. Парный интегрально-разностный оператор с аннулирующимся символом в пространстве L^lr0*,00^ . Изв.вузов, сер.матем., 1976, № 5 /168/, I08-III.

8. ГАПОНЕНКО В.Н. , ДЫБИН В.Б. Интегрально-разностные уравнения Винера-Хопфа с аннулирующимся символом. Матем.исслед., Кишинев, Штиинца, 1972, 7, вып.4 /20/, 50-59.

9. ГАХОВ §.Д. Краевые задачи. М., 1977.-638 с.

10. ГАХОВ Ф.Д., СМАГИНА В.И. Исключительный случай интегральных уравнений типа свертки и уравнений первого рода. Изв. АН СССР, сер.матем., 1962, 26, 3, 361-390.

11. ГАХОВ Ф.Д., ЧЕРСКИЙ Ю.И, Уравнения типа свертки. М., Наука, 1978.-295с.

12. ГЕЛЬФАНД И.М., РАЙКОВ Д.А., ШИЛОВ Г.Е. Коммутативные нормированные кольца. М., Физматгиз, I960.-316 с.

13. ГЕЛЬФАНД И.М., ШИЛОВ Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М., Физматгиз, 1958.-439 с.

14. ГЕЛЬФАНД И.М., ШИЛОВ Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. М., Физматгиз, 1958.-307 с.

15. ГЛАДУН К.К. Задача Римана с бесконечным индексом для полуплоскости в исключительном случае. В сб.: Математический анализ и его приложения, Ростов н/Д, РГУ, 1974, т.5, 127-135.

16. ГОРОДЕЦКИЙ М.Б. О дискретных свертках в четверти плоскости с бесконечно дифференцируемым символом. Матем.заметки, 1980, 27, № 2, 217-224.

17. ГОХБЕРГ И.Ц., КРУПНИК Н.Я. Введение в теорию одномерных интегральных операторов. Кишинев, Штиинца, 1973.-426 с.

18. ГОХБЕРГ И.Ц., ФЕЛЬДМАН И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М., Наука, I97I.-352 с.

19. ГОХБЕРГ И.Ц., СЕМЕНЦУЛ А.А. Теплицевы матрицы, составленные из коэффициентов Фурье функций с разрывами почти-периодического типа. Матем.исслед., Кишинев, Штиинца, 1970, 5, вып. 4, 63-83.

20. ГРУДСКШ С.М. Краевая задача Римана с бесконечным индексом в классах суммируемых функций. Кандидатская диссертация, РГУ,1981.

21. ГРУДСШ С.М., ДЫБМН В.Б. Краевая задача Римана в пространциента. Матем.исслед., Кишинев, Штиинца, 1980, вып. 54, 36-49.

22. ДАНИЛЮК И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. -М., Наука, 1975.-295 с.почти-периодическими разрывами у ее коэффи- 122

23. ДЖИРГAJIОБА С.Б. Об интегрально-разностных операторах в пространстве растущих на бесконечности функций. Ростов н/Д, 1984,-13 с. - Рукопись представлена Ростовским ун-том, Деп. в ВИНИТИ 2.04.84, № 1819-84 Деп.

24. ДЖИРГАЛОВА С.Б. Краевая задача Римана с почти-периодическими разрывами у ее коэффициента в пространстве обобщенных функций. Ростов н/Д, 1984,-20?. - Рукопись представлена Ро -стовским ун-том, Деп. в ВИНИТИ 24.05.84, № 3387-84 Деп.

25. ДЖИРГАЛОВА С.Б., ДЫБИН В.Б. Об уравнениях типа свертки с "двумя ядрами" в пространствах L^-co^ , ^^-со"^ . В сб.: Дифференциальные и интегр.у равнения и их приложения, Элиста, 1982, 42-53.

26. ДУДУЧАВА Р.В., САГИНАШВЮШ А.И. Интегральные операторы свертки на полуоси с полу-почти-периодическим предсимволом.-Сооб. АН Груз.ССР, 1980, 98, № I, 21-24.

27. ДУДУЧАВА Р.В., САГИНАШВИЛИ А.И. Интегральные уравнения свертки на полуоси с полу-почти-периодическим предсимволом. -Диффер.уравнения, 1981, 17, № 2, 301-312.

28. ДЫБИН В.Б. Исключительный случай интегральных уравнений типа свертки в классах обобщенных функций. ДАН СССР, 1965, 161, 4, 753-756.

29. ДЫБИН В.Б. Исключительный случай интегральных уравнений типа свертки. Изв.АН БССР, 1966, № 3, 37-45.

30. ДЫБИН В.Б. Интегральный оператор Винера-Хопфа в классах функций со степенным характером поведения на бесконечности. -Изв. АН Арм.ССР, сер.матем., 1967, Z, № 4, 250-270.

31. ДЫБИН В.Б. Нормализация оператора Винера-Хопфа. ДАН СССР, 1970, 191, № 4, 759-762.

32. ДЫБИН В.Б. О сингулярном интегральном операторе на вещест- 123 венной оси с почти-периодическими коэффициентами. В сб.: Теория функций, дифференциальные уравнения и их прилож., Элиста, 1976, 98-108.

33. ДЫБИН В.Б.(<byfor\V.b) Я* Нитмп 6ou.n<lcLiff v&Ub рт-оЯ&ъ Oh Ol c£o$,zd- consfout with bh infinite. n.u.m(!est o$ zeros in lib1. Cedent -PWldkode* dm. flWfc^J. Vl-M

34. ДЫБИН В.Б., ГАПОНЕНКО В.Н. Краевая задача Римана с квазипериодическим вырождением коэффициентов. ДАН СССР, 1973, 212, № 5, 1046-1049.

35. ДЫБИН В.Б., Д1ИРГАЛ0ВА С.Б. Краевая задача Римана на окружности с почти-периодическими разрывами у ее коэффициента в неэллиптическом случае. В сб.: Дифференциальные и инте -тральные уравнения и их приложения, Элиста, 1983, 44-53.

36. ДЫБИН В.Б., ДЖИРГАЛОВА С.Б. Интегрально-разностное уравнение Винера-Хопфа в исключительном случае. Ростов н/Д, 1983," 15 с. - Рукопись представлена Ростовским ун-том. Деп. в ВИНИТИ 9.09.83. № 5178-83 Деп.

37. ДЫБИН В.Б., Д0Д0Х0ВА Г.В. Корректная постановка краевой задачи Римана на прямой с почти-периодическим разрывом коэффи -циента. Ростов н/Д, 1981,-44 с. - Рукопись представлена Ростовским ун-том, Деп.в ВИНИТИ 12.03.81, № 1497-81 Деп.

38. ДЫБИН В.Б., Д0Д0Х0ВА Г.В. Корректная постановка краевой задачи Римана на замкнутом контуре в случае почти-периодических разрывов у ее коэффициента. Изв.АН Арм.ССР, 1983, ХУШ, № 5, 380-393.

39. ДЫБИН В.Б., КАРАПЕТЯНЦ Н.К. Об интегральных уравнениях типа свертки в классе обобщенных функций. Сибир.математ.ж., 1966,т. 7, J& 3, 531-545.

40. ДЫБИН В.Б., ПАСЕНЧУК А.Э. О дискретных свертках в четверти плоскости с аннулирующимся символом.

41. Часть I : Изв. СКНЦ ВШ, 1977, № 3, 7-10, Часть П : Изв. СКНЦ ВШ, 1978, № 4, 11-14.

42. ЖУРАВЛЕВА М.И. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом со счетным множеством цулей и полюсов ее коэффициента. ДАН СССР, 1974, 214, № 4, 755-757.

43. КАРАПЕТЯНЦ Н.К. О нормализации дискретных уравнений типа свертки. Изв.вузов, сер.матем., 1968, № 12, 45-52.

44. КАРАПЕТЯНЦ Н.К. Дискретные уравнения типа свертки в одном исключительном случае. Сибир.матем.ж., 1970, 11:1, 80-90.

45. КАРТАШЕВА Л.В. Интегральные уравнения со сдвигом в пространстве обобщенных функций на разомкнутом контуре. В сб.: Ма-тем.анализ и его приложения, Ростов н/Д, РГУ, 1974, т. 5, 20-27.

46. КАРТАШЕВА Л.В. Случай вырождения символа сингулярного интегрального уравнения в пространстве обобщенных функций на разомкнутом контуре. Изв.вузов, сер.матем., 1982, № 6, 19.

47. КОСУЛИН А.Е. Одномерные сингулярные уравнения в обобщенных функциях. ДАН СССР, 1965, 163, № 5, 1054-1057.

48. КРЕЙН М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, за- 125 висящим от разности аргументов. УМН, 1958, 13, 5 /83 /, 3-120.

49. ЛЕБЕДЕВ Н.А., СМИРНОВ В.И. Конструктивная теория функций. -М., Наука, 1964.- 438с.

50. МОРАРУ Н.И. Исключительный случай задачи Римана в пространстве обобщенных функций. Матем.-исслед., Кишинев, Штиинца, 1969, 4,3.

51. МУСХЕЛИНШИЛИ Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., Наука, 1968. - 511 с.

52. ПАРАСЮК О.С. О парных интегральных уравнениях в классе обобщенных функций. ДАН СССР, 1956, ПО, 6, 957-959.

53. ПАСЕНЧУК А.Э. Об одном классе двумерных интегральных операторов в свертках с вырожденным символом. В сб.: Матем.анализ и его приложения, Ростов н/Д, РТУ, 1981, I05-II2.

54. ПРЕСДОРФ 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М., Наука, 1979.-493 с.

55. РОГОЖИН B.C. Краевая задача Римана в пространстве обобщенных функций и полиномы Фабера. ДАН СССР, 1963, 152, № 6, 1308-I3II.

56. Р0Г01ИН B.C. Краевая задача Римана в классе обобщенных функций. Изв. АН СССР, 1964, 28, 6, 1325-1344.

57. РОГОЖИН B.C. Общая схема решения краевых задач в пространстве обобщенных функций. ДАН СССР, 1965, 164, № 2, 277-280.

58. РОГОЖИН B.C. О решении краевой задачи аналитических функций в пространстве функционалов. Труды семинара по краев.задачам, Казан.ун-т, 1970, вып.7, 225-231.

59. РОГОЖИН B.C. Теория операторов Нетера. Ростов н/Д, РГУ, 1973.--82 с.

60. РОГОЖИН B.C., КАРТАШЕВА Л.В. Сингулярные интегральные уравнения в пространстве основных и обобщенных функций на замкнутом контуре в исключительном случае. Изв.вузов, сер.матем., 1975, }Ь 6, II4-123.

61. РОГОЗИН С.В. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом в исключительном случае для полуплоскости. -Вестник Белорус.ун-та, cep.I, 1983, № 2, 60-62.

62. ХАЙКИН М.И. Исключительный случай однородной задачи Римана с конечным индексом коэффициента. Изв.вузов, сер.матем., 1972, № 5, 92-103.

63. ЧЕБОТАРЕВ Г.Н. Об одном особом случае уравнения Винера-Хопфа в пространстве ограниченных функций. Изв.вузов, сер.матем., 1967, 1Ь 10/65/, 39-49.

64. ЧЕРСКИЙ Ю.И. К решению краевой задачи Римана в классе обобщенных функций. ДАН СССР, 1959, 125, 3, 500-503.

65. ЧЕРСКИЙ Ю.И. Интегральные уравнения типа свертки и некоторые их приложения. Автореферат диссертации. Тбилиси, I964.-I4 с.

66. ЧИКИН Л.А. Особый случай краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнения. Учен.записки Казан.ун-та, 1953, ИЗ: 10, 57-105.

67. ЭДВАРДС Р. Функциональный анализ. М., Мир, I969.-I07I с.