Некоторые классы двумерных интегральных операторов с несколькими фиксированными особенностями и их приложения к эллиптическим системам дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Одинабеков, Джасур Музофирович

• Одинабеков, Джасур Музофирович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Одинабеков, Джасур Музофирович

ВВЕДЕНИЕ (Обзор литературы. Основные результаты работы)

§1 Описание пространств функций и некоторые вспомогательные сведения.

§2 Об одном классе двумерных сингулярных интегральных операторов с несколькими фиксированными особенностями

§3 О нетеровости и индексе некоторых классов двумерных сингулярных интегральных операторов с несколькими фиксированными особенностями.

§4 Сингулярные интегральные операторы с четной характеристикой и с коэффициентами, имеющие разрыв в двух точках.

§5 Двумерные сингулярные интегральные операторы с четной характеристикой и с несколькими фиксированными особенностями.

§6 Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые классы двумерных интегральных операторов с несколькими фиксированными особенностями и их приложения к эллиптическим системам дифференциальных уравнений»

Известно, что наиболее полные и тонкие результаты в теории дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными были получены на основе применения методов теории сингулярных интегральных уравнений.

Рассматриваемые в работе двумерные сингулярные интегральные уравнения соприкасаются с направлением, связанным с новым классом интегральных уравнений, введенных в рассмотрение Л.Г.Михайловым [48]-[57] при изучении дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами. Речь идет о многомерных интегральных уравнениях с однородными порядка (—п), ядрами, удовлетворяющих определенному условию суммируемости.

С другой стороны, исследуемые интегральные уравнения примыкают к направлению, связанному с теорией многомерных сингулярных интегральных операторов (С. Г. Михлин [58]-[60], А. Кальдерон и А. Зигмунд [66]-[68], И. Б. Симоненко [63]-[64], А. Джураев [32]-[37], Р. В. Дудучава [38]-[41], Н. JI. Василевский [6]-[9], И. И. Комяк [43]-[47], Б. М. Бильман и Г. Джангибеков [2]-[4], Г. Джангибеков [11]-[31], в частности, они включают в себе двумерные сингулярные операторы, которые, как показано в известной монографии И. Н. Векуа [10], а также в монографии А. Джураева [33] и в работе Б. Боярского [5], играют важную роль в теории краевых задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости. При этом следует особо отметить, что в работе Джураева (ДАН СССР, 1971,т.197, №6,с. 1251-1254) впервые обнаружен эффект влияния границы области на нетеровость и индекс двумерных сингулярных интегральных операторов по ограниченной области.

Перейдем к непосредственному изложению основных результатов работы.

Первый параграф носит вспомогательный характер. В нем описаны используемые в работе пространства.

Второй параграф посвящен исследованию в весовом пространстве Ьщ/з-2/р) (D) двумерных сингулярных интегральных операторов, представимые в виде суммы сингулярных операторов с несколькими разрывами в коэффициентах и операторов с ядрами имеющими фиксированные особенности в нескольких точках. £ //Quiz, Oka /(С)ЛС + c(z)(Bf)(z) (0.1) где a(z),b(z),c(z) - непрерывные в Z) = D(JV функции, а измеримые ограниченные в D функции hi (а) (I = 1,2, .,т) удовлетворяют следующим двум условиям: а) hi(a) - непрерывны по Гельдеру в точке а = I, т.е.

Ы(а)~Ц1)\<с\а~1\а, когда \а — 1| < е, где е -некоторое малое фиксированное число б) Я|а|<1 \hi{o)\\<x\-Pdsa + Яки<оо \hi{a)\\a\-2~^dsa < оо

Отметим, что в случае когда в (0.1) Е Ы&З) = 1, оператор А изучен ранее Джангибековым в работе [28], где получены необходимые и достаточные условия нетеровости оператора и вычислен индекс.

В диссертации показано, что каждая точка разрыва Zj существенно влияет на нетеровость и индекс оператора.

Как видно из (0.1) оператор А состоит из двух видов операторов. Первое слагаемое является сингулярным интегральным оператором по ограниченной области D, который к тому же еще в ядре содержит функции имеющие фиксированные особенности в точках Zj (j — 1,2, .,п). Остальные слагаемые являются операторами с суммируемыми однородными ядрами с несколькими фиксированными особенностями.

Теорема 0.1. Для нетеровости оператора А из (0.1) в ■^п(/?-2/р)(Р) (1 < Р < оо, (3 -из интервала (0;2)), необходимо и достаточно чтобы:

1) |ф)| ф \b{z)\ при zeD, a(t) + c{t) ф 0, t е Г

2) QijfaPj) ф 0, -00 <х< 00, j = 1,2, .,m, kj = nj, nj + 1,., при этом индекс оператора А равен х = {2/ndr(a(*) + c(t))+ т Nj

2 Е £ /nd —00<Х<00 Й (я; Pj) + VjIndG3nо(ж; $)},

J=1 fc=Tij+l ' где Aj - натуральное число, [ij = l, если четно и fij = 2, если щ нечетно, а функции где kj = rij,n^ + 1,(3j - некоторые числа (0;2), -оо < х < оо b(z)jf\(Zl~Zj)n' u + l3i~ix 1 з) tJi\zi -ZjJ v + 2- f3j + ix oj<oo

H'Jix-Jj) = ■ • 4 l=i- ZjJ j 1 *z\ - Zj\ni v + fy — ix ,у и+ 2 — fij + ix

Qu(zj,zj) II hu{(jyva\<y\-^ixdsa,

T|<oo n2J(x-,Pj) = a(zj) + Q2i(zj,Zj) II h2l(a)eiva\a\-^ixdsa) a\<oo Щ) + Q2i{zj,zj) JJ hMel^\a\^+ixdsa, r|<00 f-целое число, о; = агда.

Теорема 0.2. Если условия 1), 2) нарушены, то оператор А из (0.1) не может иметь ни левого, ни правого ограниченных регуляризаторов в

LU{0-2/p)(D)

В третьем параграфе рассматриваются двумерные сингулярные интегральные операторы по ограниченной области с коэффициентами при интегралах, содержащими в нескольких точках существенный разрыв и операторы с ядрами, имеющими в нескольких точках фиксированные особенности типа однородных функций порядка -2. В пространстве т ■ j=i где /?=(/?!,/?2,., An)) рассматривается следующий оператор v{z)B + 5{z)BK + £ 1-^ ЕЦК + H2j, (0.3) где rijj = 1,2,., т - целые числа, а операторы А', 5, В, Щ, В, В действуют по формулам

ЩП(г) = ff Qij(z, Oh (f-^) f(t)ds0 г = 1,2; j = I~m,

Z~Z3\ D \Z~Z31 lj(z) - однолистное конформное отображение области D на единичный круг с центром в начале координат, причем и>(0) = 0,u/(0) > 0,ds^ - элемент плоской меры Лебега, hij(cr) - измеримые на всей плоскости функции, причем

Л |hij(<r)\\(r\~0idso <оо, г = 1,2; j = 1,2,.,m сг|<00

Таким образом, коэффициенты при операторах K,S,~SK имеют существенные разрывы в точках z\, Z2,., zm, а операторы H\jK, #2j, j = 1,2,.,m имеют фиксированные особенности в точках z = zj. Следует отметить, что оператор А при b(z) = c(z) = S(z) = 0 изучен в работе [28].

Прежде всего отметим, что оператор А является оператором локального типа (см. [63]). Поэтому, для того чтобы А был оператором Нетера в £п(/з-2/р)(-^)> необходимо и достаточно, чтобы он был локально нетеров в каждой точке zq € D. В точках 2 ф zj,j = 1 ,т оператор А локально эквивалентен оператору М, который отличается от А тем, что в нем отсутствуют интегральные операторы с фиксированными особенностями HijK и H2j, j = 1,т. Операторы вида М изучены в работе [24]. Из результатов [24] в частности следует, что для нетеровости оператора А в необходимо выполнение одного из следующих (исключающих друг друга) условий

Al(z)\>\X(z)\ + \n(z)\ VzeV, (0.4)

Д2(*)|>|А(г)| + И*)| V^GA (0.5) где

1{z) = \a{z)\2 -\b{z)\2, |Д2(,) = |ф)|2-|с(,)|2, г)=Щс{г)-Ь(г)Щ, n{z) = а(г)ф) -Щс{г). (0.6)

Прежде чем сформулировать результат о нетеровости и индексе оператора А в £п(/?-2/р)(-^)> введем некоторые обозначения.

Если имеет место условие (0.4), то положим rji(zj) = (1 -в\(zj) = ai(zj), Ti(j) = 1; если же имеет место неравенство (0.5), то положим rj2{zj) = (|а2(^)|2 - I)"1, 02(zj) = 1, r2(j) = a2(zj). Далее обозначим через j = 1 ,га целую часть числа (щ - 1)/2, где i — 1,2; j = 1 ,m,kj = +1,., -оо < х < со, пЦ = в, п j 1 / Zi -Zj\ni т + (3j - ix iiWlzi-Zjl) т + 2-Pj + ix JJ h\j{a)e-irM~0i+ixdSa,

H< 00 filj = 7ГП (Azll)Щ T +

LT VLL\{\ZI-Zj\) T + 2-Pi + ix' JJ Кф)е1ТМ~Рз+1хй80 cr|<00 JJ V2j(a)e-iTi\a\-b+ixds0 tr|<oo |ff|<00 г- целое число, 7 = arg <7. Функции ^.(ж; fy) непрерывны при -00 < х < оо, причем Hm GL (:х; /3j) = 1, 1 = 1,2, j = Tjn. х —»00 3

Теорема 0.3. Для нетеровости оператора Л в Ьщ2/р){Р)Л < р < оо, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих (исключающих друг друга) условий:

Al(z)\>\\(z)\ + Hz)\ дляЪ eD,

1 + v*(t) ф 0 для V* 6 Г, 0, -оо < а; <оо, 7 j = Tjn, % = +1,., (0.7) либо

Д2(г)|>|А(*)|4>(*)|дляУ*€Д 0t2 + vi£ о, для\/£ e г, Йа^я;/?,) 7^0, -oo < x <oo, j = l7m, (0.8)

При этом, если выполнено (0.7), то индекс оператора А равен т Nj к = 2ЫГ(1 + vftt))+

2£ £ Ind G{k{x\Pj) + Xj Ind OL>Wi). j—1 Kj—Tlj-rl а если выполнено (0.8), то x = 2 IndT{a2(t) + v\ (*))+ m Nj

2£ g Ind Ind g> „(*;&), r^ , ,, -00<x<00 LK1v •// -oo<x<oo 2njK rjn

J—ftj—7lj"rl где iV} - некоторое натуральное число,

Xj = \

1, если rij четно

2, если rij нечетно Четвертый параграф посвящен исследованию интегрального оператора 1 + Я21 + tf22, (0.9) где т -целое положительное число, a(z),b(z),c(z) -непрерывные в ограниченной односвязной области D - функции, операторы Sm,Hij (i,j = 1,2) действуют по формулам

-2 гтпв //Ohij ЛС)Л(

Qij(z, С) - измеримые ограниченные функции, имеющие пределы lim С) = Qij(zj, zj), i = 1,2; j = 1,2; h(j(a) - измеримые на всей плоскости функции, причем

Л \fkj(cr)\\(r\-^d8a < оо, г = 1,2; j = 1,2;

Т <00 где fy -некоторые числа из интервала (0;2), cu(z) -однолистное конформное отображение области D на единичный круг с центром в начале координат, причем ЦО) = 0, а/(0) > 0.

Прежде чем сформулировать результат о нетеровости и индексе оператора А в ^п(/з-2/р)(-^)> введем некоторые обозначения.

Обозначим через п(j = 1,2, .,m) целую часть числа■ ^Цр. Предполагая \а^2)\ ф \b{z2)\ обозначим

1 ft) - Н1к]{х- ft)H%nj2{x-, ft) где kj = rtf, rR + 1,.; -оо < x < оо

1Ф2)|2-|6Ы1 '■j = nj>nj nlj(x;(3j) = fZi - Zj\n' и (5j — ix i-z) и + 2 — ft + ix ' ff <00

Hl>(x-J,) = l=\KZi — Zj' V + 2 — pj + lX

Qij(zj,zJ) // a|<oo a(z2)^-Q2j(zj,zj) JJ h2j(a)eiva\a\-^+ixdsff, a|<oo

ЯУ(х-ь) = + Q2j{zj,zj) Jj lv^{a)eivot+ixdsa, H<00

1/-делое число, a = arga. Функции Q{{x\ (3j) -непрерывны при —oo < x <00 причем lira QL (ж; fij) = 1, j = 1,.'., m x|-»oo 1

Теорема 0.4. Пусть a(z),b(z),c(z),Qij(z, Q,hij(a) (i = 1,2; j = 1,2, .,m) удовлетворяют указанным выше условиям. Тогда для того чтобы оператор А был нетеровым в (1 < р < оо), необходимо и достаточно выполнение условий:

1) |ф)| ф \b{z)\ при zeD, a(t) + c{t) ^ 0,i G Г

2) GkfaPj) Ф °> -oo < rc < oo, j = 1,2, .,m, kj = n<j, ri) + 1,., причем индекс оператора А равен K = {2IndrUt) + c(tj)+2 £ IndQUx- (3j) + Ind-oo^ooGi^ix]

4 ' k=-m+2 где Nj - натуральное число, (ij = l, если rij четно и fij = 2, если щ нечетно.

В пятом параграфе рассматриваются двумерные сингулярные интегральные операторы с четной характеристикой и с несколькими фиксированными особенностями.

В пространстве т

М : П - = F(z) € ii/II где fi = (fa,/32, • • •) An)» рассматриваются следующий оператор n j \ m.j—2 л = Ф)1 + И,) П(^) n / \ т^—2 ф) + £ HijK + H2j, (0.10) где rrij,j = 1,2, .,n - целые числа, а операторы К, Sm, Bm, Hij, Bm, действуют по формулам

Kf)(z) = f(z), Smf(z) - ---JJ dsC

Sm = Sm = KSmK, В = KBK m-1 вт = в + J2 вквж k= 1 77—712 ИQij(z> 0h /(0*0 i = 1,2; j = TjH, z~zj\ d \z~zi) u>(z) - однолистное конформное отображение области D на единичный круг с центром в начале координат, причем а>(0) = 0,а/(0) > 0, ds^ - элемент плоской меры Лебега.

Таким образом, коэффициенты при операторах K,S,1>K имеют существенные разрывы в точках zi, 22,., zn, а операторы Н^К, H2j,j = 1,2,. ,т имеют фиксированные особенности в точках z = Zj.

Прежде всего из результатов [24] в частности следует, что для нетеровости оператора А в необходимо и достаточно выполнение одного из следующих (исключающих друг друга) условий:

A1(z)\>№\ + HZ)№£D, (0.11)

A2(z)\>\\(z)\ + \fi(z)\ VzeD, (0.12) где

Д1(г) = |а(г)|2-|6(г)|2, |Д2(,) = |ф)|2-|с(г)|2, X(z) = a(z)c(z) - b(z)d(z), ц(г) =a{z)d(z)-b{z)c{z). (0.13)

Таким образом нами доказана.

Теорема 0.5. Для нетеровости оператора А в 1 < р < оо, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих (исключающих друг друга) условий:

Ai(*)| > |А(г)| + \ц(г)| для Vz е D, 1 + ^(t) ф 0 для Vt 6 Г,

GikjfaPj)? О, -оо < а; <оо, j =%т, kj = nj,nj + 1,., (0.14) либо

1^2(2)! > |A(z)| + \v>{z)\ для Vz £ D,

2 + v\ Ф 0, ДпяУ* <Е Г, GLfaPj)^®, -оо < х <00, j=Tjn, (0.15)

При этом, если выполнено (0.14), то индекс оператора А равен x=2m/ndr(l + "i(*))+ т Nj

2Е Е Jnd<ooд'щ(х;0j) + Xi Ind Sf .(х;ft), j=l kj—rij+1 а если выполнено (0.15), то х = 2mlndr(a2{t) + v%(t))+ m Nj

2E t E Js^ta + »

J—l Kj—Ttj'T 1 где iVj - некоторое натуральное число, Xj = 1> если rij четно, и Xj — 2, если rij нечетно.

Как известно, задача Дирихле корректна не для всякой системы уравнений эллиптического типа; существуют эллиптические системы второго порядка, для которых в некоторой области задача Дирихле не является даже нетеровой, т.е. подпространство решений однородной задачи Дирихле и подпространство условий разрешимости неоднородной задачи имеют бесконечные размерности (см. [12], [29]). Поэтому исследования разрешимости задачи Дирихле эллиптических систем высокого порядка на плоскости является актуальным.

Хорошо известно (И. Н. Векуа [10], Б. Боярский [5], А. Джураев [33]), что теория двумерных сингулярных интегральных операторов тесно связана с теорией краевых задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости. В частности методом сингулярных интегральных уравнений Б. Боярский [5] показал, что для сильно эллиптических систем второго порядка с двумя независимыми переменными задача Дирихле фредгольмова.

В последние годы Г. Джангибековым [12], [29] были получены эффективные необходимые и достаточные условия нетеровости и формулы для подсчета индекса задачи Дирихле для систем двух дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

В шестом параграфе дано также применение результатов третьего параграфа к исследованию задачи Дирихле для общих эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с двумя сингулярными точками.

В единичном круге D = {z : \z\ < 1} рассмотрим следующую эллиптическую систему второго порядка с двумя сингулярными точками К*)!!; + + ф)е^дгп dzdz v 'dzdb w dz2 w dz2 (ai(^) j a2(z) \ / [ hjz) \ до | - z\ z-z2jdz \z~zi z~z2) dz duj du) + Ф)ш + = (°-16) где 2 = x + гу,о> = + iv(x,y),ipj = arg(2 - Zj),j = 1,2, формальные производные погиг определяются по формулам

А - I (JL -<L\ 1.-1(1. -А az~2Uc dz~ 2\дх+гду коэффициенты a(z),b(z), и т.д. будем считать непрерывными функциями в Д a g(z) € Lpu{p2/p)(D) (2 < р < оо, 0 < ft < 1).

Как видно из (0.16) коэффициенты при двух старших производных в точках г = z\ и z — z2 по всем лучам, выходящим из этих точек имеют разные пределы, а коэффициенты при двух первых производных в указанных точках имеют сингулярную особенность первого порядка. Отметим, что системе с одной сингулярной точкой, т.е. когда в (0.16) b(z) = c(z) = 0, a2(z) = b2(z) = 0, посвящена работа [27].

Задача Дирихле. Найти непрерывные решения w(z) системы (0.15) в области D из класса ^ W2(D\zj), (2 < р < оо,

0 < ft < 1, j = 1,2), удовлетворяющие на границе Г условию и

Это означает, что функция и(z) имеет в D\zj,j = 1,2 обобщенные производные {к = 1,2; J = 0,1,2) и \z - zi\^\z - €

LP(D) при 2 < p < оо, 0 < ft < 1.

Доказывается, что указанная задача эквивалентна решению следующего двумерного сингулярного интегрального уравнения: c(z) rr e~2i(7l+72) a(z)S(z) + b(z)Hz) - ш jj ^рг/ССКчф) Ф)n em . ,

-—jj JTWmds< + — JJ Jylicf где V - вполне непрерывный оператор, 7j = arg(( — Zj), j = 1,2, a коэффициенты Aj(z),Bj(z) определяются по формулам

Ai(z) = ai{z) + a(z)~ c(z)-——, A2(z) = a2(z) -a(z) + c(z)-——,

Zi — Z2 Z\- z2

ВД = bi{z) + b{z) ~ d{z)zr—z-, B2{z) = b2(z) - b{z) + d{z

Z\ — Z2 Z\— z2

Применяя к интегральному уравнению (0.18) результаты теоремы 0.3 доказана следующая

Теорема 0.6 Для того чтобы задача (0.16), (0.17) была нетеровой в классе ^12/р)(^) Г) W2(D\zj), (2 < р < оо, 0 < fo < 1 ,j = 1,2), необходимо и достаточно выполнение условий

Ai(*)l>|A(*)| + M*)l даяУге Д

1 + рЩ) Ф 0 для W 6 г, йьД^/У^О» -оо<ж<оо, i = l,m, = + (0.19) либо

Д2(,)| > |А(*)| + для Vz е D, 012 + Ф °> ДляУ^е Г, й^&ОМ -оо<х<оо, (0.20)

При этом, если выполнено (0.19), то индекс оператора Л равен

X = 2ЫГ(1 + v\[(*))+ a если выполнено (0.20), то х = 2Indr(a2(t) + i4(t))+ где Nj - некоторое натуральное число.

Результаты диссертации были доложены на научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава ТГНУ ( 2005 г.), на республиканском симпозиум "Экономика Бадахшана на современном этапе и в перспективе" (Хорог, 2005г.), международной научной конференции "Математика и информационные технологии "посвященная 15-летию независимости Республики Таджикистан (Душанбе, Академия наук Республики Таджикистан, Институт математики, 2006 г.), а также на семинаре кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений ТГНУ.

Основные результаты опубликованы в работах [56-57],[61-62]

§1.0ПИСАНИЕ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИИ И НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Определение 1.1. Простую замкнутую гладкую кривую Г назовем кривой Ляпунова, если она удовлетворяет следующему условию: касательная к кривой образует с постоянным направлением угол, удовлетворяющий условию Гельдера относительно дуги s кривой Г.

1.1. Описание используемых пространств функций

Пусть D -конечная односвязная область комплексной плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой Ляпунова Г и содержащая внутри точку Z — 0.

Пространство L^2//p(D) - это множество комплекснозначных измеримых в D функций f(z) для которых функция F(z) = \zf-4pf(z) суммируема с р - ой степенью, где 1 < р < оо, 0 < (3 < 2. Норма в LPp2/p{D) вводится по формуле

Пространство Ljg2/p(D). Будем говорить, что функция f(z)

1/р где z = reltp. где

2тг

Fk(r) = - / F(z)e'ik4<p, к = 0, ±1,., z — reТ

Очевидно, что все аксиомы нормы выполняются.

Пространство Ср. Будем говорить, что функция f(z) принадлежит пространству Ср, если F(z) = \z\®f(z) непрерывна при \z\ < 1 и

00

Е шхтг)\ < 00. k— 00

Пространство Ср. Обозначим через С'^ множество функций /(г) 6 Ср в круге \z) < 1 таких, что F(0) = 0.

Пространство М^. Будем говорить, что функция f(z) G Мр, если функция F(z) = \z\@f(z) измерима и почти везде ограничена в круге \z\ < 1 и

00 ll/IU = £ vrai sup 1^(01 <

0 к=-00 0<г<1 .

Лемма 1.1. Пространства LPp2/p{D), Ср, Ср, Мр являются полными, т.е. банаховыми.

Доказательство полноты L^2/,p(D). Пусть \z\ < 1 и {/И(2)} . фундаментальная последовательность функций из LPp2/p(D), т.е. для любого е > 0, существует такой номер N, что

00 /1 \1/Р ||/M(*)-/M(,z)||~, = £ \Jr\Ft\r)-Ft\r)\4r) <е, (1.1) Д /Р k=-00\Q J как только га, п > N. Покажем, что для любого фиксированного к последовательность сходится по норме Щ-\/р на отрезке [0,1]. В самом деле, для любого е > О

1 \ 1/р

Н/И(г) " /(п)(г)IU5 1/р(01) = />(г) " Fin\r)\4r о

1 \УР к=-оо \ о как только т,п > N, т.е. последовательность {/^(r)} е является фундаментальной последовательностью. Поскольку пространство l$-i/p(q,i) полно> т0 {flm){r)} fk(r) в Lppl/pm. Покажем, что функция к—~оо принадлежит пространству Щ-2/р- Действительно, для любого £> О, существует такой номер N, что как только

1 \

1/р / 1 \ 1/Р I/< Е (/-+ к=-оо \о / к~—оо \о )

1 \ 1/Р r|Fin)(r)l^r <<г + А о /

Переходя к пределу при т —> оо, получим

1 \ Vp о J

Следовательно, {/*т)(г)} € Ц-2/piD) ПРИ N < L

Докажем теперь, что последовательность {f^(z)} —> /(2) по норме LPp2/p(D). Из (1.1) следует, что для любого М существует такой номер N, что

М /1 \1/Р Е к=-М r|Fim)(r)-Fin)(r)|^r <е, Vo / как только п,т > N. Переходя в этом неравенстве к пределу при п оо имеем ^

Е (jr\Ft\r)-Fk(r)\4r) <е, к=-м \о ; при любых М, т> N. Переходя здесь к пределу при М —> оо получим, что f{m)(z)^f(z) по норме

Доказательство полноты Ср, Мр получается рассуждениями аналогичными выше.

1.1 Нетеровы операторы и основные их свойства

В этом пункте приводятся основные понятия и факты теории нетеровых операторов в банаховых пространствах, которыми мы будем пользоваться в работе. Доказательства всех приводимых здесь утверждений можно найти например в монографии [42].

Пусть X - банахово пространство, А - линейный ограниченный оператор, действующий в X, А* - сопряженный к нему оператор, действующий в сопряженном пространстве X*. Множество КегА всех решений уравнения

Ах = 0 (1.2) называется множеством нулей или ядром оператора А. Множество КегА является подпространством пространства X. Размерность подпространства КегА, т.е. число линейно независимых решений уравнения (1.2), будем обозначать через ад = dimKerA. Через КегА* обозначим подпространства нулей оператора А*, т.е. множество всех решений уравнения

А*х = 0 (1.3) называется ядром оператора А* и наконец Ра = а.а* = КегА*. Числа ал, Ра называются дефектными числами оператора А. Если хотя бы одно из чисел «л и Ра - конечное, то их разность называется индексом оператора А и обозначается через IndA,

IndA = а а~ Pa- (1.4)

Очевидно, IndA конечен тогда и только тогда, когда обе размерности а а и Ра - конечны.

Для того чтобы уравнение

Ах = у,уеХ, (1.5) имело хотя бы одно решение, необходимо, чтобы свободный член у был ортогонален к КегА* (иначе говоря, чтобы элемент у аннулировался любым функционалом и € Кет А*). Действительно, если уравнение (1.5) имеет решение х, а и € КегА*, то у, и) = {Ах, и) = (х, Л*м) = (ж, 0) = 0; где здесь круглыми скобками обозначено значение функционала на соответствующем элементе.

Если упомянутое выше условие ортогональности достаточно для разрешимости уравнения (1.4), то говорят, что оператор А нормально разрешим. Таким образом можно дать следующее определение

Оператор А называется нормально разрешимым в смысле Хаусдорфа, если неоднородное уравнение (1.5) разрешимо тогда и только тогда, когда ее правая часть у ортогональна всем решениям сопряженного однородного уравнения (1.3)

Известна следующая теорема Хаусдорфа: для того чтобы оператор был нормально разрешимым, необходимо и достаточно, чтобы его область значений была замкнутой.

Определение 1.2. Оператор А называется нетеровым в X, если он нормально разрешим и числа а а, Ра конечны.

Определение 1.3. Индексом IndA нетерова оператора А называется целое число IndA = ад — /За

Следующее определение из всего множества нетеровых операторов выделяет подмножество фредгольмовых операторов:

Определение 1.4. Нетеров оператор, индекс которого равен нулю, называется фредгольмовым.

Свойства 1.1. (теорема о композиции). Если А и В нетеровы операторы в X, то их композиция АВ также нетерова в X, причем

IndAB = IndA + IndB. Свойства 1.2. Если А нетеров вХтои А* нетеров в X*, причем

IndA* = -IndA.

Свойства 1.3. (возмущение вполне непрерывным оператором). Если

А нетеров, а Т вполне непрерывен в X, то А + Т также нетеров в X, причем

Ind(A + T) = IndA.

Свойства 1.4 (возмущение малым по норме оператором). Если А нетеров в X, то существует такое £ = е(А), что для всех операторов В таких, что ||В|| < е, оператор А + В нетеров в X и

Ind(A + В) = IndA.

Говорят, что оператор А допускает левую (правую) регуляризацию, если существует линейный ограниченный оператор R такой, что произведение RA (AR) является оператором Фредгольма. Оператор R в этом случае называется левым (правым) регуляризатором оператора А.

Свойства 1.5. Для того, чтобы оператор А был нетеровым, необходимо и достаточно, чтобы у него существовали левый и правый регуляризаторы.

Определение. Нетеровы операторы А и В называются гомотопными, если существует семейство нетеровых операторов A(t), t € [0,1], которое равномерно непрерывно по норме на сегменте [0,1]: по любому заданному е > 0 можно найти такое 6 = 6(e) > 0, что если -t21 < 6, то \\А{и) - A{t2)|| < б, и Л(0) = А, А( 1) = В.

Свойства 1.6 Если операторы An В гомотопны, то

IndA = IndB.

§2. ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ДВУМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С НЕСКОЛЬКИМИ ФИКСИРОВАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ

В этом параграфе рассматривается вопрос нетеровости и индекса некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов с несколькими точками разрыва в коэффициентах и операторы с ядрами имеющими фиксированные особенности в нескольких точках. Отметим, что одномерные интегральные уравнения с одномерными порядка —1 в нескольких точках ядрами изучены Михайловым Л.Г. [49] а одномерные сингулярные интегральные операторы с несколькими фиксированными особенностями изучены в работах Р.В. Дудучавы [40], Р.В. Дудучавы и Т.Лацабидзе [41] а также А.П.Солдатова [65]

Пусть D - конечная односвязная область комплексной плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой Ляпунова Г и содержащая внутри точку z = 0 и точки zi,z2,.,zm; D = D U Г hij(a)~ измеримые на всей плоскости функции, причем

If \hij{(T)\\(T\-bdsa < оо, г = 1,2; j = 1,2,., га, (2.1) r|<00 где /^-некоторые число из интервала (0;2) а измеримые ограниченные в D функции hi (а) удовлетворяют следующим двум условиям: а)hi(о")-непрерывны по Гельдеру в точке а = 1, то есть \hi(a)-h(l)\ < |а — когда|<т — 1| < е, где е-некоторое малое фиксированное число б)

Jf\W)\W\'fid8a+ Л \hi{a)\\a\~2-^dsa < оо Н<1 , 1<Н<00

Через Ьщр2iv){D) -обозначим лебегово пространство с весом

ЩР-2/р) llfllw = где (3 = (Pi, fh, • • •, Рт), Pj - числа из (2.1)

В пространстве -рассматривается следующий оператор

A = a(z)f(z)+ изучен ранее Джангибековым в работе [28], где получены необходимые и достаточные условия нетеровости оператора и вычислен индекс.

В этом параграфе показано, что каждая точка разрыва Zj существенно влияет на нетеровость и индекс оператора.

Как видно из (2.2) оператор А состоит из двух видов операторов. Первое слагаемое является сингулярным интегральным оператором по ограниченной области D, который к тому же еще в ядре содержит функции, имеющие фиксированные особенности в точках zj (j = 1,2, .,п). Остальные слагаемые являются операторами с суммируемые однородными ядрами с несколькими фиксированными особенностями.

Перепишем сингулярный интеграл (2.2) в виде: где a(z), b(z),c(z) - непрерывные в D функции.

Отметим, что в случае когда в (2.2) £ = 1, оператор А

11 4 т 1

Тогда оператор А принимает вид:

1 j—^р // Qu(z> Ohi(^j)mdsc + c(z)(Bf)(z) (2.3) Первый интеграл правой части (2.3) дает сингулярный оператор

РМ1)— Ё Ы{1) // = £ Mi)

1=1 ь (v-^r

Из наложенных на функции h{o) условий а) и б) следует, что второй интеграл является интегральным с однородным ядром степени -2

IJ^m^-

Ь ((С - ч) - -л))

Если теперь в (2.3) положить и \ г» Ф) % ( z ~ zi \ni ut\ hi(a)-hi(l) то тогда (2.2) примет вид оператора А из [28].

Пусть nQj (j = 1,., т) целая часть числа Предполагая a(zj)| ф \b(zj)\, j = 1 ,.,m, обозначим

1 2(x-Jj)

Ш\* - Щ)? nlj(x;Pj) = где kj = nj,rij + 1,.; 'fy - числа из (2.1), -сю < х < оо

3 } /7.1 — 7,л

Zi — Zj\ni v + fij-ix v + 2-pj + ix'

Яи(ъъ) JJ ЛиИе^кГ^Л,,

М<°° Hlj(x-,(3j) =

-h(7S nV^-^У U + Pj~ix | " f + 2 — + гж

Яи(м) jj Ы^еПа^Ж, H<00

Hlj(x-Jj) = И<00

Н2Лх-Ь) = = ФЛ + Qaifa.Si) // +ixds<j> т|<00 у-целое число, a = arga.

Функции QJk(x]pj) -непрерывны при -с» < х < оо причем lim Q{ = 1, j = l,.,m x|—ИЗО '

Теорема 2.1. Для нетеровости оператор А из (2.2) в ^п(/?-2Д>) (1 < Р < оо, /? -из интервала (0;2)), необходимо и достаточно чтобы:

1) \a{z)\ ф |b(z)\ при zeD, a(t) + c(t) ^ 0, * € Г

2) GkfaPj) М -оо < х < оо, j = l,2,.,m, % = nj, nj + l,., при этом индекс оператора А равен v m Nj х = {2IndT(a{t) + c(t))+2 £ £ IndGUx; ft) + fijIndQ^z; ft)} 4 J j=l Ц+i ' где iVj - натуральное число, Hj — 1, если щ четно и Hj = 2, если щ нечетно.

Теорема 2.2. Если условия 1), 2) нарушены, то оператор А из (2.2) не может иметь ни левого, ни правого ограниченных регуляризаторов в

Ццр-2/р){В)

Замечание. Пусть в пространстве рассматривается следующий оператор

А = a(z)f(z)+

1 - (z-zj^

ДИ) // (С -z)2 где a(z), c(z) - непрерывные в D функции,^ (z, С) - измеримые ограниченные функции, имеющие пределы

Km Qij(z, С) = Qij(zj, zj), i = 1,2; j = 1,2,., m а измеримые ограниченные в функции hi(a) (I = \,2, .,т) удовлетворяют следующим двум условиям. а) hi(a) - непрерывны по Гельдеру в точке <7 = 1, т.е. hi(a) - fr(l)| < с\а - 1|а, когда \а - 1| < е, где е - некоторое малое фиксированное число б) Я \hi{a)\\ff\-^dac + If \hi(cr)\\a\~2~^dsa < оо т\< 1 1 <|<т|<00

Можно показать, что для оператора более общего вида (2.4) также имеют место утверждения теорем 2.1 и 2.2.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Одинабеков, Джасур Музофирович

Результаты работы [30] показывают, что отказ от непрерывности коэффициентов приводит к тому, что найденные в [12], [29] условия нетеровости перестают быть достаточными, и более того, разрешимость задачи будет зависить от показателя р лебегового пространства //(£>)

В настоящей работе в единичном круге D = {z : jz| < 1} рассмотрим следующую эллиптическую систему второго порядка с двумя сингулярными точками d\(z)— + ei(z)u + hi(z)u> = g(z),

6.1) где z = х -I- iy,u> = u(x,y) + iv(x,y),<Pj = arg(z — zj),j = 1,2, формальные производные no z и z определяются по формулам dz~ 2\дх гдуJ' dz~ 2\дх*гду)' коэффициенты a(z),b(z), и т.д. будем считать непрерывными функциями в Д a g{z) е Lpnw2/p)(D) (2 < р < оо, 0 < # < 1).

Как видно из (6.1) коэффициенты при двух старших производных в точках z = z\ и z = z2 по всем лучам, выходящим из этих точек имеют разные пределы, а коэффициенты при двух первых производных в указанных точках имеют сингулярную особенность первого порядка. Отметим, что системе с одной сингулярной точкой, т.е. когда в (6.1) b(z) = c(z) = 0, a2(z) = b2(z) = О, посвящена работа [27].

Задача Дирихле. Найти непрерывные решения w(z) системы (6.1) в области D из класса £п(/з-1-2Д>)(-^) ^ W2(-D\zj)i (2 < р < оо, О < (3j < 1, j = 1,2), удовлетворяющие на границе Г условию w(t)|r-0. (6.2)

Это означает, что функция u{z) имеет в D\zj,j = 1,2 обобщенные производные (к = 1,2; I = 0,1,2) и \z - z^'^z - z2\^uj{z) €

IS(D) при 2 < р < оо, 0 < fy < 1.

Пусть теперь \z - zi\^p\z - z2f2~2/puj(z) е LP{D) при 2 < р < оо, 0 < (3j < 1. Тогда е и более того непосредственными вычислениями можно показать, что все функции (гг^г2), обладающие в D обобщенными производными второго порядка, непрерывные в D и удовлетворяющие на Г условию (6.2), единственным образом представляются в виде dsC, где /(г) - неизвестная функция из пространства Ьщ2^(D), 2 < р < оо, О < fij < l,j = 1,2. с-*

Тогда имеем дш 2

OU I rr 2z — Z\ — Z2 я JJ K-*i)(C-S»)

1 rr (Z ~ zi){z - 22) 1 rr (z - zi){z - z2) (l<

9?" (C-*i)(C-*i)V?-z i-*C

In

C-* С до d~z

1 rf(z-ll)(z-z2) ( 1 С \ ~П7)И"

Л ч 1 /у 22 - 21 - 22 / 1 с \ , ш = f{z) --JJ(C-«J(C-») " ТГ5сJ -трГ I /У 22-^i-Z2 I 1 I, С - /rliZilliiZJ2! /L

9г2 iff

С2

C-*i)(C-*2)UC-*)2 (i-O2,

С)Л»с, f(0dso д2Ш 1 rr {j-z\)(z-z2) dz2

7г jj (c 1 c2 й (?-*)(?(С-*)2 (W)2,

Подставляя эти значения производных в систему (6.1) и выделив вполне непрерывные слагаемые, мы для определении неизвестной функции /(2) из пространства < р < оо,0 < fy < 1, получим сингулярное интегральное уравнение с двумя фиксированными особенностями вида cfz\ ,, e-2i(7i+72) a(z)f(z)^b(z)f(z)-C^JJe1^^mdsc-d(z) „е^-Ы c(2) C2/(C) где V - вполне непрерывный оператор, 7j = arg(( — zj), j = 1,2, a коэффициенты Aj(z),Bj(z) определяются по формулам

Ai(z) = ai(z) + a{z) - c(z)-——, A2(z) = a2(z) - a{z) + c(z)-——,

Z\ — Z2 Z\— z2

Bi(z) = h(z) + b(z) - d(zB2(z) = b2(z) - b(z) +

Zl~Z2 Zi~ z2

Интегральное уравнение (6.3) по виду относится к классу двумерных сингулярных интегральных уравнений по ограниченной области, теория Нетера которых построена §3.

Пусть + Мг)1 (6.4) где A1(z) = \a(z)\2-\b(z)\2, z) = a(z)c(z) - b(z)d(z), n(z) = a(z)d(z) - b(z)c(z).

Тогда, согласно результатам работы [56], имеет место

Лемма 6.1.Если выполнено условие (6.4), то интегральное уравнение из (6.3) представляется в виде где Т\ -обратимый оператор оператор, ul(t),Sl(t) - такие непрерывные в D функции, которые на границе Г соответственно имеют значения

А.) (&,)(&,)'

Пусть теперь

2(*)|>|А(*)| + И*)| VzeD, (6.6) где

Д2(г) = \d(z)f - |ф)|2,

X(z) = a(z)c(z) - b(z)d(z), fj,(z) = a(z)d(z) - b(z)c(z).

Тогда, согласно результатам работы [56], имеет место Лемма 6.2. Если выполнено условие (6.6), то интегральное уравнение из (6.3) представляется в виде где Т2 - обратимый оператор а и*(t),5*(t) - непрерывные в D функции, которые на границе Г имеют соответственно значения ~ дГ~ \

Для получения условий нетеровости оператора А в пространстве Ьщр2^(П), и формулы для его индекса в случае, когда имеет' место (6.4), достаточно применить к операторам из правой части (6.7) результаты работы »

Применяя к каждой из указанных операторов результаты работы [56], получим, что для нетеровости системы (6.1),(6.2) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (6.4), (б.б). Сформулируем основной результат для задачи (6.1),(6.2)

Теорема 6.1. Для того чтобы задача (6.1), (6.2) была нетеровой в классе L^^D) П W2(D\Zj), (2 < р < оо, 0 < ft < 1, j = 1,2), необходимо и достаточно выполнение условий

Al(z)\>\\(z)\ + \ti(z)\№zVz£D, 1 + v*(t) ф 0 для V* б Г,

-оо < х < со, *, = п},п$ + 1,., (6.8) либо

Д2(г)| > |А(г)| + |/i(«)| для а.ъ + у\ф 0, дляМ € Г, GikfaPj) Ф 0, -оо<х<оо, j = Тут, (6.9)

При этом, если выполнено (6.8), то индекс оператора А равен х = 2Indr(l + vl(t))+ m Nj , • и 11 -оо<я<оо 1A:JV -oo<x<oo lniv

J—1 /Cjj—Wj+l а если выполнено (6.9), то x = 2IndT(a2(t) + f£(f))+ m, Nj

2E E .Jnd„^,.(x;ft) + Ind (^(xj/J,), где iV} - некоторое натуральное число.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Одинабеков, Джасур Музофирович, 2007 год

1. Бильман Б. М. Об условиях полной непрерывности некоторых многомерных интегральных операторах с однородными ядрами. //ДАН СССР, 1971 т.197, М, с. 14-17.

2. Бильман Б. М., Джангибеков Г. О разрешимости одного особого двумерного интегрального уравнения. // Докл. АН ТаджССР, 1977, т. 20, №4, с. 3-8.

3. Бильман Б.М., Джангибеков Г. Об условиях нетеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных уравнений с разрывными коэффициентами по ограниченной односвязной области // ДАН СССР, 1986, т. 288, Ш, с. 792-797.

4. Бильман Б. М., Джангибеков Г. Об условиях нетеровости и индексе некоторых особых двумерных интегральных уравнений.// ДАН СССР, 1990, т. 312, т, с. 15-19.

5. Боярский Б.В. Исследования по уравнениям эллиптического типа на плоскости и граничным задачам теории функций // Дисс. докт. физ.-мат. наук. М.: I960.

6. Василевский Н. JI. Банаховы алгебры, порожденные некоторыми двумерными интегральными операторами I.// Math. Nachr.-1980.-Bd. 96.-S.245-255.

7. Василевский Н. JI. Банаховы алгебры, порожденные некоторыми двумерными интегральными операторами II.// Math. Nachr.-1980.-Bd. 99.-S.135-144.

8. Василевский Н. JI. Об алгебры, порожденной двумерными интегральными операторами с ядром Бергмана и кусочно-непрерывными коэффициентами // ДАН CCCP.-1983.-t.271, №51041-1044 с.

9. Василевский Н. JI. Банаховы алгебры, порожденные двумерными интегральными операторами с ядром Бергмана и кусочно-непрерывными коэффициентами // Изв. ВУЗов Матем.-1986, №2,-с. 12-21.

10. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959, 672 с.

11. Джангибеков Г. О нетеровости и идексе одного класса двумерных сингулярных интегральных уравнений с разрывными коэффициентами //ДАН СССР, 1988, т. 300, №2, с. 272-276.

12. Джангибеков Г. Об одном классе двумерных сингулярных интегральных операторов и его приложениях к краевым задачам для эллиптических систем уравнений на плоскости // Док. РАН, 1993, т. 330, №4, с. 415-417.

13. Джангибеков Г. О некоторых двумерных сингулярных интегральных операторах // Матем. заметки, 1989, т. 46, №46, с. 91-93.

14. Джангибеков Г. Нетеровость и индекс некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов // Изв. ВУЗов, матем. 1991, №1, с. 19-28.

15. Джангибеков Г. О нетеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных уравнений с разрывными коэффициентами // Изв. ВУЗов, матем. 1992, №9, с. 25-37.

16. Джангибеков Г. О некоторых двумерных сингулярных интегральных операторах по ограниченной области // Док. РАН, 2002, т. 383, №1, с. 7-9.

17. Джангибеков Г. Об условиях нетеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов // ДАН СССР, 1991, т. 319, Ш, с. 811-815.

18. Джангибеков Г. О краевых задачах Дирихле и Неймана для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка // Вестник ХоГУ, 1999, серия 1, №1, с. 19-25.

19. Джангибеков Г. Теория нетера некоторых сингулярных интегральных уравнений с суммируемыми однородными ядрами.//Вестник ХоГУ, 2000, серия 1, Ш, с. 31-56.

20. Джангибеков Г. О нетеровости и индексе одного класса двумерных интегральных уравнений с особенностями.//Вестник ХоГУ, 2002, серия 1, #5, с. 15-20.

21. Джангибеков Г. Об одном классе двумерных сингулярных интегральных уравнений, содержащих комплексные сопряжение искомой функции.// Докл. АН Тадж. ССР, 1981, т. 24, №, с. 80-85.

22. Джангибеков Г. Об одном классе двумерных сингулярных интегральных операторов // ДАН СССР, 1990, т. 314, №5, с. 1055-1059.

23. Джангибеков Г. О разрешимости одного особого двумерного интег-ралного уравнения с комплексно сопряженной неизвестной функцией. //. Докл. АН ТаджССР, 1978, т. 21, №7, с. 3-8.

24. Джангибеков Г. О нетеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов // ДАН СССР, 1989, т. 308, №5, с. 1037-1041.

25. Джангибеков Г. Задача линейного сопряжения решений эллиптических систем дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами на плоскости // ДАН СССР, 1991, т. 317, ЛЧ, с. 813-818.

26. Джангибеков Г. Об одном классе двумерных сингулярных интегральных операторов и его приложениях к краевым задачам для эллиптических систем уравнений на плоскости // ДАН СССР, 1993, т. 330, №4, с. 415417.

27. Джангибеков, М.Зарифбеков О нетеровости и индексе задачи Дирихле для одной эллиптической системы второго порядка с сингулярными коэффициентами.//Вестник Национального Университета,серия математика, 2004, №1, с. 33-41.

28. Джангибеков Г. Об одном классе двумерных сингулярных интегральных операторов с несколькими фиксированными особенностями // ДАН СССР, 1992, т.322, №1, с. 22-27.

29. Jangibekov G. On a class of two-dimensional singular integral operators and its applications to boundary value problems for elliptic systems of equations in the pline.- Prosidings of the second ISAAC Congress, volum 2, 2000, p. 1421-1430.

30. Джангибеков Г., Худжаназарова Г. О задаче Дирихле для эллиптической системы двух уравнений четвертого порядка на плоскости // ДАН России, 2004, т. 397, №3

31. Джангибеков Г., Теория нетера уравнений содержащих оператор с экспоненциальной характеристикой четного порядка, оператор с поликерн функцией и операторы с суммируемым однородным ядрами. // Дисс. докт. физ.-мат. наук. Тбилис -1992

32. Джураев А. Д. Об одном методе исследования сингулярных интегральных уравнений по ограниченной плоской области // ДАН СССР. 1971, т. 197, т, -с.1251-1254.

33. Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1987, 415 с.

34. Джураев А. Д.О некоторых системах двумерных сингулярных интегральных уравнений с полиномиальными характеристиками в ограниченной области // Докл. АН Тадж ССР.-1974, т. 17, №9, с. 3-6.

35. Джураев А. Д. Применение эллиптических краевых задач к иследованию сингулярных интегральных уравнений по ограниченной плоскости // Труды симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. -Тбилиси. -1972. т. 2, с. 104-118.

36. Джураев А. Д. О некоторых двумерных интегральных уравнениях по ограниченной области // В кн.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Краевые задачи. -Тбилиси. -1979, с. 89-94.

37. Джураев А. Д. Поликерн функция области, керн-операторы и сингулярные интегральные операторы // ДАН СССР. -1985, т. 283, №5, с. 1057-1060.

38. Duduchava R. On multidimensional singular integral operators. I, II // J. of operator theory. 1984. v. 11, p. 41-76,199- 214.

39. Дудучава P. В. О многомерных сингулярных интегральных уравнениях. Основные теоремы // Сообщения АН ГрузССР. -1983, т.Ш, №3, с. 465467.

40. Дудучава Р. В. Сингулярные интегральные уравнения с фиксированными особенностями в ядре на кусочно-гладких линиях // Сообщения АН ГрузССР. -1978, т.91, Ш, с. 293-298.

41. Дудучава Р. В.,Лацабидзе Т.И. Об индексе сингулярных интегральных уравнений с комплексно сопряженными функциями на кусочно гладких линиях. // Труды Тбилисс. матем.ин-та . им.А.М.Размадзе -1985, t.LXXVI. с. 40-59.

42. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М. 1971,103 с. •

43. Комяк И. И. Общее решение одного двумерного сингулярного интегрального уравнения // Докл. АН БСССР.-1977, т. 21, №2, с. 10741077.

44. Комяк И. И. Об условиях нетеровости и формуле индекса одного класса сингулярных интегральных уравнений // Докл. АН БССР, 1978, т.22, №6, с. 488-491.

45. Комяк И. И. Об одном классе двумерных сингулярных интегральных уравнений с ядром Бергмана //Докл. АН БССР, 1979, т. 23, №1, с. 8-11.

46. Комяк И. И. Условия нетеровости и формула индекса одного класса сингулярных интегральных уравнений по круговой области // Дифференц. уравнения.-1980, т. 16, №2, с. 328-343.

47. Комяк И. И. О некоторых классах двумерных интегральных уравнений // В сб.: Научные труды юбилейного семинара по краевым задачам, посвященного 75 летию со дня рождения акад. АН БССР Ф. Д. Гахова.-Минск, 1985,с. 64-68.

48. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами.- Душанбе, Дониш, -1963, -183 с.

49. Михайлов Л. Г. Интегральные уравнения с ядром, однородным степени -1, Душанбе, Дониш, 1966, 49 с.

50. Михайлов Л. Г. О некоторых многомерных интегральных операторах с однородными ядрами // ДАН СССР, -1967, т. 176, с. 263-265.

51. Михайлов Л. Г. О некоторых двумерных интегральных уравнениях с однородными ядрами // ДАН СССР, -1970. т. 192,№2, -с. 272-275.

52. Михайлов JI. Г. Об одном интегральном уравнений теории обобщенных аналитических функций в сингулярном случае // ДАН СССР, -1970. т. 190. Я«3, с. 531-534.

53. Михайлов JI. Г. Многомерные интегральные уравнения с однородными ядрами // Труды симпоз. по механике сплошной среды и родственным пробл. анализа.- Тбилиси.- 1973, т. 1, с. 182-191.

54. МИХАЙЛОВ Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений // Math. Nachr. 1977. bd. 76. p. 91-107.

55. Михайлов Л.Г.// ДАН СССР. 1991.4.319. М. с. 46-52.

56. Михайлов Л. Г., Бильман Б. М. Об условиях полной непрерывности опреаторов с особенностью типа однородной функции степени -1. // Докл. АН ТаджССР. -1965, т. 8. №9, с. 3-7.

57. Михайлов Л.Г.Джангибеков Г., Одинабеков Дж. О некоторых двумерных сингулярных интегральных операторах и их приложениях к эллиптическим системам дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами // ДАН России, -2006. т. 409,№6, -с. 1-5.

58. Михайлов Л.Г.Джангибеков Г., Одинабеков Дж. О нетеровости и индексе некоторых классов двумерных сингулярных интегральных операторов с несколькими фиксированными особенностями // Вестник Хорогского госуниверситета, 2006.серия 1,№7,с. 10-19.

59. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962, 254 с.

60. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая шкала, 1977, 431 с.

61. Михлин С.Г. О вычислении индекса системы одномерных сингулярных уравнений // ДАН СССР, 1968, т. 168, М.

62. Одинабеков Дж. Об одном классе двумерных сингулярных интегральных операторов с несколькими фиксированными особенностями //Вестник ТГНУ, 2005 серия маиематика №1,с.33-36

63. Одинабеков Дж. Двумерные сингулярные интегральные операторы с четной характеристикой и с несколькими фиксированнымиособенностями //Вестник Хорогского Госуниверситет, 2007, серия1. №8 с. 17-23

64. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений. I,1.. // Изв. АН СССР, сер. матем. 1965, т. 29, №3,4 с. 567-580, 757-782.

65. Симоненко И.Б. Локальный метод в теории одномерных сингулярных интегральных уравнений с кусочно -непрерывными коэффициентами. // Из-во Ростов универ. 1986, 58 с.

66. Солдатов А.П. К нетеровской теории сингулярных операторов общего вида // ДАН СССР. 1978, т.38, №5, С.-1067-1070.

67. Calderon A.,Zigmund A.On the existense of certain singular integrals // Acta math.-1952.-v.88. -M. p. 85-139.

68. Calderon A.,Zigmund A. On singular integrals //American j. math. -1956. -78,-p. 289-309.

69. Zigmund A. On singular integrals // Rend. math, eapplic. -1957-v. 5-16. -fass 3-4.-p. 468-505.