Задача Дирихле и видоизмененные задачи для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Трегубова (Сулейманова), Альбина Хакимьяновна

• Трегубова (Сулейманова), Альбина Хакимьяновна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Трегубова (Сулейманова), Альбина Хакимьяновна

Введение

Глава 1. Задача Дирихле и видоизмененные задачи для уравнений смешанного типа со степенным характеристическим вырождением

§1.1. Построение частных решений уравнения смешанного типа (1.1) в прямоугольной области при т > 0.

§1.2. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа (1.1) в прямоугольной области при 0<т<1.

§1.3. Видоизмененные граничные задачи для уравнения смешанного типа (1.1) в прямоугольной области при 1 < m <

§1.4. Видоизмененные граничные задачи для уравнения смешанного типа (1.1) в прямоугольной области при m = 1.

Глава 2. Задача Дирихле и видоизмененные задачи для уравнений смешанного типа с фиксированным характеристическим вырождением

§2.1. Построение частных решений для уравнения смешанного типа

2.1) в прямоугольной области.

§2.2. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа (2.1) в прямоугольной области при 0<а<

§2.3. Видоизмененные граничные задачи для уравнения смешанного типа (2.1) в прямоугольной области при а > 1.

§2.4. Видоизмененные граничные задачи для уравнения (2.1) в прямоугольной области при а =

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача Дирихле и видоизмененные задачи для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением»

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа, в силу своей прикладной и теоретической значимости, является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, поэтому постановка и исследование краевых задач для таких уравнений привлекают внимание многих ученых.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [70, 71] и С. Геллерстедта [87], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа с одной линией параболического вырождения.

Систематическое изучение краевых задач для уравнений смешанного типа проводилось в работах Ф.И. Франкля [73], К.И. Бабенко [2], А.В. Бицадзе [5] -[6], В.Ф. Волкодавова [11], С.П. Пулькина [39], М.М. Смирнова [55], [56] , М.С. Салахитдинова [53], [54], В.И. Жегалова [13], [14], A.M. Нахушева [35] - [37], Е.И. Моисеева [33], К.Б. Сабитова [43] - [47], О.А. Репина [42], А.П. Солдатова [57] - [58], Т.Ш. Кальменова [24], Р.С. Хайруллина [75] - [77], J.R. Cannon [88], D. Dunninger [89] - [90] и других математиков.

Следует отметить, что подавляющая часть работ по уравнениям смешанного типа относится к исследованию краевых задач смешанного типа с нехарактеристическим вырождением. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением изучены сравнительно мало.

Первые исследования по уравнениям смешанного типа с характеристическим вырождением принадлежат И.Л.Каролю [25] - [28]. Его исследования посвящены выяснению корректной постановки задачи Трикоми для двух модельных уравнений:

Пусть D - область плоскости XOY, ограниченная простой жордановой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > Ос концами в точках 0(0,0) и А(1,0), и характеристиками ОС и АС рассматриваемого уравнения, расположенными в полуплоскости у < 0. Обозначим D+ — D П {у > 0}, D = D П {у < 0}.

Для уравнения (0.1) И.Л.Каролем [25] рассмотрена задачи Трикоми (задача Т): найти функцию и(х, у) из класса C(D) П Cl{D) П C2(D+ U DJ), удовлетворяющую уравнению (0.1) в D+ U D и принимающие заданные непрерывные значения на кривой Г и характеристике ОС. Он доказал однозначную разрешимость задачи Т при 0 < m < 1 в случае, когда кривая Г совпадает с так называемой ,,нормальной"кривой Го: (х — 1/2)2 + (-^z^y^)2 = 1/4. Но в общем случае, то есть для произвольной кривой Г, доказательство единственности решения задачи Т и его существования оставалось открытым. В работе К.Б. Сабитова [43] приводится доказательство единственности решения задачи Т для любой кривой Г из класса Ляпунова при 0 < m < 1. В работах [44, 45] им показано, что задача Трикоми для уравнения (0.1) при m > 2 поставлена не корректно. В связи с этим он исследовал задачу Трикоми для уравнения xmuxx + sgny • uyy = 0 при всех m > 0.

Исследования, проведенные И.Л. Каролем в работах [25] - [28], показали, что характер краевых задач, которые могут быть поставлены для уравнения

Lu = uxx + sgny • \y\mUyy = 0, m > 0,

0.1)

Lu = uxx + yuyy + auy — 0, a = const.

0.2)

0.2) в области D, в отличие от уравнений с нехарактеристическим вырождением, существенно зависит от коэффициента а и класса решений уравнения (0.2). Так, например, было обнаружено, что задача Т в случае а < 0 недо-определена. Наоборот, при а > 0 задача Т переопределена. В этом случае производная по у решения уравнения (0.2), а при а > 1 и самое решение будет, вообще говоря, неограниченным в окрестности точек параболического вырождения. Поэтому для определения решения и(х,у), ограниченного во всей смешанной области D: при а > 1 оказывается достаточно задавать его значение лишь на дуге Г, а характеристики ОС и АС следует освободить от граничных данных, или же только на одной их характеристик [22], освободив дугу Г и вторую характеристику от краевых данных.

И.Л. Кароль для уравнения (0.2) в области D при 0 < а < 1 изучил задачу Трикоми с весовыми условиями склеивания, то есть на линии перехода вместо обычного требования непрерывности производной по нормали иу(х, +0) = иу(х, —0), 0 < х < 1, вводится условие сопряжения с весом l-yfuy = к lim у%,0 < ж < 1, у—* 0—0 у—+0+0 где к = -1 при 0 < а < 1/2, к = 1 при 1/2 < а < 1.

Задача Т для уравнения (0.2) при а < 0 становится корректно поставленной, если условия склеивания ввести по-иному. С.С. Исамухамедов [20], следуя С.А.Терсенову [68], для уравнения (0.2) в области D при а = ~п + ао, | < ад < 1, п = 1,2,., поставил задачу Т со следующими условиями склеивания: и(ж,+0) = и(х, -0) = т(х), 0<х<1, lim (-y)a[uy + А£(и)] = (-l)fc lim (-у)а^~[и - А~(т)} = и{х), 0 < ж < 1, у—>+о у-*-о оу где n = 1>*Н/)* [lr2k(z)(t(l-t))k+a^dt, k=о Jo n f)2ki / = z = x-2y/=i{l-2t\ k=1

Nk(k = 0, n), = l,n) - определенные постоянные.

Единственность решения этой задачи доказана методом экстремума, а существование для случая, когда кривая Г совпадает с нормальной кривой Го -методом интегральных уравнений.

Случай ао = 1/2 изучен Ю.М. Крикуновым [30], [31] для некоторых специальных областей.

Хайруллин Р.С. [75] для уравнения (0.2) в случае а < —1/2 в смешанной области, ограниченной нормальным контуром Го и двумя характеристиками, доказал однозначную разрешимость задачи Трикоми методом интегральных уравнений. В работе [76] в смешанной области, ограниченной при у > 0 произвольной кривой Г из класса Ляпунова и двумя характеристиками уравнения (0.2) им показана фредгольмовость задачи Трикоми при а < —1/2.

Интерес к задаче Дирихле для уравнения смешанного типа возник после известных работ Ф.И.Франкля [72, 73], в которых впервые обращено внимание на то, что ряд задач трансзвуковой динамики сводятся к этой задаче. Так, например, если рассматривать задачу перехода через звуковой барьер установившихся двумерных безвихревых течений идеального газа в соплах когда сверхзвуковые зоны примыкают к стенкам сопла вблизи минимального сечения, то она сводится к задаче Дирихле для линейных уравнений смешанного типа.

На некорректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева М.А. ихх + (sgny)uyy = 0 в смешанной области, гиперболическая часть 7 границы которой лежит в характеристическом треугольнике 0 <х + у<х — у < 1, впервые обратил внимание А.В Бицадзе [5]. Причем некорректность задачи Дирихле не зависит от малости меры области, заключенный между 7 и у = 0.

Результат А.В Бицадзе с необходимостью поставил вопрос поиска смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной.

Б.В. Шабат [82] исследовал задачу Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в области у > —h, h > 0, и области, гиперболическая часть которой лежит целиком внутри характеристического треугольника, построенного на отрезке действительной оси [0,1].

В работах Н.Н. Вахания [9] и J.R. Cannon [88] доказана корректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольных областях обладающих специальными свойствами.

В работе М.М. Хачева [81, с.ЗЗ] рассмотрена задача Дирихле для уравнения

L(u) = ихх + {sgny)[\y\muvy + а\у\т-\ + Ь\у\т~2и] =0, 0 < т < 2, со следующими условиями сопряжения: lim у~Р2и — lim (—у)~Р2и, у-*+0 у-*-0

Шу-Кщ-ъу-Ки] = И т[(-у)1-^иу+р2(-у)-^и}, т/—>4-0 у—*— о где

2Р1 = 1-а+ у/{а - I)2 - 46, 2р2 = 1 - а - у/{а - I)2 - 46, a, 6 - постоянные, подчиненные условиям:

1) 46 < (а - I)2 < 46 + (2 - ш)2;

2) 6 = 0 при а<1,1<а<3 — т и при а = 1,т<1;

3) 6 < 0 при а > 3 — т.

В работе Р.И.Сохадзе [60] для уравнения (0.2) при 0 < а < 1 исследуется вопрос о существовании хотя бы одного решения задачи Дирихле в прямоугольной области D = {(ж,г/)| 0 < х < 1,—а < у < /?}, а,{3 > 0 при условии f 2 sin(l - а)тг Гdk\ ехр ^ - у kJi-a(2nky/a) Ja-1(2ттк)J ^ 2 sin(l — а)-к Гdk\ где Ji-a(z) и I\-a{z)- функции Бесселя первого рода порядка 1 — а с действительными и чисто мнимыми аргументами соответственно. А в работе [59] для уравнения (0.2) при а > 1, где а - фиксированное не целое число, рассмотрена задача Дирихле со следующими условиями сопряжения: lim уа'1и(х,у) = lim {-y)a~lu{x,y), 0 < а; < 1; у->0+0 ?/—>0-0 lim уаиу(х,у) = lim {-у)аиу{х,у), 0 < х < 1. у—>0+0 у—>0—0

Методом разделения переменных построены частные решения уравнения (0.2) при 0<а<1,а>1ине целых. При этом решение задач формально построено в виде суммы ряда Фурье. В этих статьях отсутствуют четкие доказательства единственности решения поставленных задач и не приводятся обоснования сходимости рядов Фурье.

В работах А.П. Солдатова [57, 58] доказаны теоремы существования и единственности решения задач типа Дирихле для уравнения Лаврентьева - Би-цадзе в смешанной области, ограниченной при у > 0 и у < 0 соответственно гладкими дугами с общими концами в точках (0, 0) и (0,1), при этом дуга при у < 0 лежит внутри характеристического треугольника.

Нахушев A.M. [36] установил единственность решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа первого рода в цилиндрической области.

Моисеев Е.И. [33] предложил новый метод построения решения краевых задач для модельных уравнений смешанного типа в специальных областях, гиперболическая часть которой есть характеристический треугольник. Этот метод основан на теории рядов по собственным функциям соответствующей одномерной спектральной задачи.

Хасановой C.JI. [78] изучены спектральные задачи с производной по конор-мали к эллиптической части границы для уравнения

L\u = ихх + уиуу + аиу + Хи = О, где А = const, 0 < а < 1, А - комплексный параметр, в области D, ограниченной при у > 0 "нормальной "кривой Го (ж2 + 4у = 1) с концами в точках Б(0,1) и К{—1,0), отрезком АК оси ОХ, где А = (0,0) и характеристиками АС(х — 2л/11!/ = 0) и СВ(х + 2У = 0) при у < 0, и показаны применения.

В работах Сабитова К.Б. [47, 48] исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа первого рода sgn у • |у\тихх + иуу - 62sgn у ■ \у\ти = 0 , т > 0, Ъ > 0, в прямоугольной области и в полуполосе. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности решения, которое построено в виде суммы ряда Фурье.

В данной диссертационной работе спектральный метод применен для решения поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа второго рода в прямоугольной области.

Целью работы является исследование на корректность постановки задачи Дирихле или первой граничной задачи для двух классов уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением

Lu — ихх + sgny • \у\тиуу - Ъ2и = 0 , (0.3)

Lu = uxx + уиуу + auy — b2u — 0 (0.4) в прямоугольной области D = {(ж,?/)| 0 < x < 1,—a < у < /?}, где b > 0, a; > 0, /3 > 0, m > Оиа - заданные числа, в зависимости от значений параметров т и а.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из двух глав.

В главе 1 для уравнения смешанного типа со степенным характеристическим вырождением (0.3) в прямоугольной области D в зависимости от значений т > 0 поставлены и изучены методом спектральных разложений следующие задачи.

Задача 1.1 (Задача Дирихле). Пусть 0 < т < 1. Найти в области D функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям: и(х,у) е C(D) n C\D) П C\D+ U £>); (0.5)

Lu(x, у) = 0, (x,y)eD+UD-, (0.6) и(0,у)=и(1,з/) = 0, -а<у<р; (0.7) u(x,P) = f(x), 0 < ж < 1; (0.8) и(х, -а) = д(х), 0 < ж < 1, (0.9) где fug- заданные достаточно гладкие функции, причем /(0) = /(1) = g(0) - д(1) = 0.

Задача 1.2 (Задача Б). Пусть 1 < т < 2. Найти в области D функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.5) - (0.8), где f - заданная достаточно гладкая функция, причем /(0) = /(1) = 0.

Задача 1.3. Пусть 1 < т < 2. Найти в области D функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям (0.6) - (0.9) и и(х, у) G C(D) П C2(D+ U D-); lim ут~1иу(х,у) = - lim {-y)m~luy(x, у), 1 < т < 2; у—»0+0 у—>0—0 иу(х,у) Uy(x,y) lim -1 = — Ьт гг~г—г, т = 1, у-»0+0 In у 2/—>0-0 In (—у) где f и g - заданные достаточно гладкие функции, причем /(0) = /(1) = 0(0) = <7(1) = 0.

Методом разделения переменных построены частные решения уравнения (0.3), удовлетворяющие условиям (0.7), которые имеют следующий вид: uk(x,y) = Xk(x)Yk(y), (0.10) где

Yk(y)

Хк(х) = V2 sin y/jl^x, fik = (тгк)2, к = 1,2,., (0.11)

Ук+(У) = ak^yI±{Pkyq) + bky/yKi(pktf), у > 0, zq Zq

Ук{у) = ck\/—yJ±{Pk(—y)q) + dky/=yYi(pk(-y)*), у< 0,

Zq 2q

0.12) где q — (2—m)/2, ak, bk, ck и dk - произвольные постоянные, pk = y/b2 -f (jrk)2/q, 11, (z) и Ki (z) - соответственно модифицированные функции Бесселя первого и третьего рода, J± (z) и Yi (z) - функции Бесселя первого и второго рода

2 Я 2? соответственно. Используя частные решения уравнения (0.10) - (0.12), построены решения поставленных задач 1.1 - 1.3 в виде суммы ряда по собственным функциям (0.11) одномерной спектральной задачи. Например, решение задачи 1.1 найдено в виде суммы ряда

00 и(х,у) = У2,у^ик(у) smrrkx, (0.13) к=1 здесь функции ик{у) определяется по формулам hy/щ Д*(<*, у) + 9kVPy Ак(у, р) щ{у) = <

А к(а,р)^Ф fkV-ay Вк(а, -у) + дку/~Ру Ак(-у, р)

A k(a,P)V^P

У> о,

У< О

0.14) где

А к(а,у) = J^kaq)K±{pkyq) + Y ±{pkaq)n{pkyq),

2д

29

2д

2q

Аь(у,/7) = I±(pkpq)Ki(pkyV) Ii(pkyi)Ki(pkpi),

2 <?

2?

2<7

2, а, -у) = Y i(pkaq)J i(pk(—y)q) - Y±(pk(-y)q)Ji(pkaq),

2q

2?

2q

2 g

Д*(-г/,/3) = J±(Pk(-v)9)K± (PkPq) + Уфк{-Уу)1фкрч)

2q

2 q

2 9

2? у^Ы-уУ) =

7г

29

2 q fk и дк ~ коэффициенты разложения функций /(ж) и д{х) соответственно по системе {л/2 sirnrkx} в пространстве L2[0,1]. Справедливы следующие утверждения.

Утверждение 0.1. Если существует решение задачи (0.5) - (0.9), то оно единственно только тогда, когда при всех к € N

Ак(а,0) = Зф^КЛрфЧ) + Y±{pkaq)I±{pkpq) ф 0.

29 29 2 9 2 9

0.15)

Если при некоторых а, Р n k — I нарушено условие (0.15), то есть А/(а, /5) = 0, то однородная задача (0.5) - (0.9) (где /(ж) = g{x) = 0) имеет нетривиальное решение щ{х,у) = < Ai(a>y)

J^-{piofl) y/Tjsimrlx, у > 0, у/—у sin 7Г/ж, у < 0.

Ij-W1)

2q

При доказательстве единственности решения задачи (0.5) - (0.9) используется только полнота системы функций (0.11) в пространстве 1/г[0,1].

Отметим, что ранее такой метод применялся в работах В.А. Ильина [17], [18] при доказательстве единственности решения первой начально-граничной задачи для уравнений гиперболического типа в цилиндрической области.

Утверждение 0.2. Если выполнено одно из следующих условий: 1) aq = aq/q - любое натуральное число; 2) aq = п/т - любое дробное число, где п и т, 4 и т - взаимно-простые натуральные числа; то при больших к справедлива оценка

Vk5k(a,p)\>C0>0, (0.16) где

K±{pk(3q)

2 Я

Утверждение 0.3. Пусть f{x) 6 С3[0,1], д{х) 6 С3[0,1] и /^(0) = /«(1) = о, 0^(0) - #(i)(l) = 0;г = 0,2и выполнены условия (0.15), (0.16). Тогда задача (0.5) - (0.9) однозначно разрешима и это решение определяется рядом (0.13); где коэффициенты ик{у) находятся по следующим формулам (0.14).

В задаче 1.2 (1 < т < 2) решение уравнения (0.3) ищется в классе (0.5). В этом случае производные функций У^(у) и У^{у) из (0-12) обращаются при у —> 0 в бесконечность порядка:

Y^(y)^0(y1-m), УГ(у) = 0((-у)1~т), Кт<2,

У1+(у) = 0(\пу), Yl-(y) = 0(H~v)), т = 1. Поскольку в силу класса (0.5) должны выполняться следующие равенства:

У*(0 + 0) = Ук(0 - 0), Yi(0 + 0) = ГЦ0 - 0), то в формуле (0.12) потребуем, чтобы = 0 и df. = 0. Тогда получим =

С учетом этих равенств функции (0.12) примут вид:

Ук(у) = akyilj{pky4), у> 0,

Ук(у) = <

Ук~(у) = -ak{-v)*J±(pk{-v)q) У<Ъ

2 q

В этом случае задача Дирихле переопределена. Тогда мы имеем задачу с неполными граничными данными, т.е. задачу Е по терминологии М.В.Келдыша [29]. Поэтому достаточно задать лишь одно граничное условие на верхнем основании прямоугольника D. Решение задачи 1.2 построено в виде суммы ряда (0.13), где функции ик(у) определяются по формулам h щ(у) рЬ1±(ркр«) 24

2q fk

Ii(pkyq)yу > 0,

0.17)

Ji.(Pk(-y)q){-y)*,y < о.

2 q

Установлена справедливость следующих утверждений.

Утверждение 0.4. Если существует решение задачи 1.2, то оно единственно.

Утверждение 0.5. Если f(x) € С3[0,1] и выполнены условия /^(0) — yW(l) = 0; г = 0,2, то задача 1.2 однозначно разрешима. Это решение определяется рядом (0.13), где коэффициенты ик(у) находятся по формулам (0.17).

В случае задачи 1.3 установлены необходимые и достаточные условия единственности решения. При этом само решение построено в виде суммы ряда (0.13), у которого коэффициенты ик(у) определяются по формулам

Г fky/y 1±(РкУч)

2 q у/РЫРкР)

Щ{у)~\ дклД-у) J±.{pk{-y)q)

Ji(pka4)Va

2 q

У> 0, у< 0.

Как известно [29], постановка первой граничной задачи для уравнения (0.4) в области эллиптичности существенным образом зависит от коэффициента а. Поэтому в главе 2 для уравнения смешанного типа (0.4) в прямоугольной области D = {(я,у)\ 0 < х < 1, —а < у < (3} поставлены и изучены следующие граничные задачи.

Задача 2.1 (Задача Дирихле). Пусть 0 < а < 1. Найти в области D функцию и{х,у), удовлетворяющую следующим условиям: и{х, у) б C(D) Г) C\D+ U £>); (0.18) lim уаиу(х,у) = Пт (-у)аиу(х,у), 0 < а: < 1; (0.19)

2/—>0+0 у—>0—0

Lu{x, у) = 0, {х,у) е D+UD-; (0.20) и{0, у) = и{1, у) = 0, —а < у < (3- (0.21) и(х,Р) = /(ж), 0<ж<1; (0.22) и(х, -а) = д(х), 0 < х < 1, (0.23) где fug- заданные достаточно гладкие функции, причем /(0) = /(1) = 0, <7(0) = </(!) = 0.

Задача 2.2 (Задача Е). Пусть а > 1. Найти в области D функцию и{х,у), удовлетворяющую условиям (0.5), (0.20) - (0.22), где f - заданная достаточно гладкая функция, причем /(0) = /(1) = 0.

Задача 2.3. Пусть а > 1. Найти в области D функцию и(х,у), неограниченную при у —> 0 и удовлетворяющую условиям (0.20) - (0.23), и и(х, у) € C(D\{y - 0» П C2(D+ U £>); (0.24)

Нт уа-1и{х, у) = lim (-y)a~lu{x,y), а > 1, 0 < re < 1, (0.25) у—>0+0 у—>0—0 lim уаиу{х,у)= lim (-у)аиу(х,у), а > 1, 0 < х < 1; у—>0+0 у—>0—0 lim (Iny)~lu(x,y) = lim (ln(—y))~lu{x, у), a = 1, 0 < ж < 1, у—>0+0 у—>0—0 где /ид- заданные достаточно гладкие функции, причем /(0) = /(1) = 0, <7(0) = д( 1) = 0.

Задача 2.4. Пусть а > 1. Найти в области D функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.20) - (0.25) и

1™п(Уиу(х1У) + du(x,y)) = lim ((-у)иу(х,у) - du(x,y)), у—>0+0 у—>0—0 где fug - заданные достаточно гладкие функции, причем /(0) = /(1) = 0; 0(O)=s(l) = O,d = a-l.

Методом разделения переменных построены частные решения уравнения (0.4): щ{х,у) — Xk(x)Yk(y), где Xk(x) определяются по формуле (0.11), а функции Yt(y) имеют вид г

Ykiy) = акУ^I\i-a\(jpky1*) + ЬкУ^Щг^рьуъ), у > 0,

П(у) = I Yk~(y) = ск(-у)^(°-26) dk{-y)k*LY\1al(pk(-y)2)i у < 0, v. где Ък, Ск и dk - произвольные постоянные, р\ — 4(b2 + )■

Используя частные решения (0.11) и (0.26), решения задач 2.1 - 2.4 построены в виде суммы ряда по системе собственных функций (0.11). Например, в задаче 2.1 постоянные (0.26) подбираются так, чтобы выполнялись следующие равенства:

П(0 + 0) = УЦ0 - 0), lim yaYfy) = lim {-y)aYl{y). (0.27) у—>0+0 у—>0-0

Первое из равенств (0.27) выполнено, если dk = —irbk/2 при любых ак и а второе равенство имеет место при dk = —7тЬк/2 и Ск = 7ГЪк tg(^)/2 — Тогда функции (0.26) примут вид о-кУ^ h-аЫУ*) + hy^Ki-aiPkyhi У > °>

Yk(y)

-ак(-у) * J^aipki-y)^) + Ьк(-у) 2 Y^aipki-y)*), у<0,

1-а где l-a(Pfe(-y)5)

7г

Jlo(Pfc(-2/)^) + J-(iQ)(Pfc(-?/)*)).

2 sin 7ra

Решение задачи 2.1 найдено в виде суммы ряда (0.13), где функции ик{у) определяется по формулам fk(ay)1^Ak(a,y)+gk(Py)1^Ak(y,P) ик(у) = <

А к(а,Р)(аР)^ fk{-ay)^Вк{а, -у) + дк(-Ру)^Ак(-у, Р) Ак{а, р){ар)^

У> о, У< 0

0.28) где

0.29)

Ак{а,Р) = Jl-a{jPk<X*)Kl-a{PkP*)+Yl-a{PkOfi)h-a{pkP*) ± °> Ак{а,у) = Ji-a{pkO&)Ki-a{pky*) +Yi-a{pka^)Ii-a{pky^), Ак(у,(3) = Il-a{Pkfi)Kl-a(Pky*) - h-a(Pky*)Kl-a(PkP*)> Вк(а, -у) = Yia{pk{—y)^)Jla(pka?) - Yi-a{jpka?) Ji-a(pk(-y)^),

A k{~y,P) = ^-аЫ-у^Кг^рф1*) + Y^M-yfth-atPkP*). Справедливы следующие утверждения.

Утверждение 0.6. Если существует решение задачи (0.18) - (0.23), то оно единственно только тогда, когда выполнено условие (0.29) при всех к е N.

Если при некоторых а, Р и к — I G N : Ai(a, Р) =0. Тогда однородная задача (0.18) - (0.23) (где f(x) = g{x) = 0) имеет нетривиальное решение

Ai(a, у)ук^к sin irlx щ{х,у) - <

Jai(pfco;2)

1 —a

Ai(-y,p)(-y) 2 sin7г1х

У> о, У < о. h-\{pkP1*)

Утверждение О.Т. Если выполнено одно из следующих условий: 1) а = - любое натуральное число; 2) а — п/т - любое дробное число, где п и т, 4 и m - взаимно-простые натуральные числа, то при больших к справедлива оценка

Vk5k(a, Р)\ > Со > 0, (0.30) где бк(а,Р) = Ч-Тг-аЫа*). h-a{PkP*)

Утверждение 0.8. Пусть f(x) G С3[0,1], g(x) G С3[0,1], /«(0) = /W(l) = 0; 5^(0) = 5^(1) = 0; г = 0,2 м выполнены условия (0.29) и (0.30). Тогда задача (0.18) - (0.23) однозначно разрешима и это решение определяется рядом (0.13); где коэффициенты щ(у) определяются по формулам (0.28).

При исследовании задач 2.3 и 2.4 установлены необходимые и достаточные условия единственности решения. Сами решения построены в виде суммы ряда с обоснованием сходимости в соответствующих классах.

Решение задачи 2.2 также построено в виде суммы ряда. Доказаны соответствующие теоремы единственности и существования решения.

Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты.

1) Установлены промежутки изменения параметра га:0<т<1,1< т < 2, т = 1, в которых задача Дирихле или видоизмененные задачи для уравнения смешанного типа со степенным характеристическим вырождением (0.3) в прямоугольной области поставлены корректно. В каждом из этих случаев установлены теоремы единственности и решения задач построено в виде суммы ряда по собственным функциям одномерной спектральной задачи с соответствующим обоснованием сходимости рядов в указанных классах решений данного уравнения.

2) Найдены промежутки изменения параметра а:0<а<1,а>1,а=1,в которых задача Дирихле или видоизмененные задачи для уравнения смешанного типа с фиксированным вырождением (0.4) в прямоугольной области поставлены корректно. В каждом из этих случаев доказаны теоремы единственности решения задач, которые построены в виде суммы ряда Фурье. Установлены достаточные условия сходимости рядов в соответствующих классах решений уравнения (0.4).

Основные результаты опубликованы в работах [49] - [52], [61] - [67].

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах лаборатории дифференциальных уравнений (науч. рук. - профессор К.Б. Сабитов, 2004 - 2009 гг.), лаборатории физики и астрофизики (науч. рук. - профессор А.И. Филиппов, 2007 - 2009 гг.) Стер-литамакского филиала АН РБ и СГПА, кафедры дифференциальных уравнений (науч. рук. - профессор В.И. Жегалов, 2009 г.) Казанского гос. университета, а также на региональных, всероссийских и международных научных конференциях: «Студенческая наука - в действии» (г. Стерлитамак, 2004 г.), «Современные проблемы физики и математики» (г. Стерлитамак, 2004 г.), «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2005 г.), международной конференции «Тихонов и современная математика» (г. Москва, 2006 г.), «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2007 г.), международной научной конференции «Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика» (г. Уфа, 2007 г.), международной научной конференции «ВЕКУА - 100», (г. Новосибирск, 2007 г.), международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», (г. Москва, 2007 г.), международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы», посвященной юбилеям академиков В.А.Ильина и Е.И.Моисеева (г. Стерлитамак, 2008 г.), международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию академика В.А. Садовничего (г. Москва, 2009 г.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Трегубова (Сулейманова), Альбина Хакимьяновна, 2009 год

1. Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции / В.Я. Арсенин. - М.: Наука, 1984. - 384 с.

2. Бабенко, К. И. К теории уравнений смешанного типа: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М., 1952.

3. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. -М.: Наука, 1966. Т. 2. 296 с.

4. Берс, Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / JI. Берс. М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

5. Бицадзе, А.В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа / А.В. Бицадзе // Докл. АН СССР. 1953. - Т. 122. - № 2. -С. 167 - 170.

6. Бицадзе, А.В. Уравнения смешанного типа / А.В. Бицадзе. М.: Изд-во АН СССР, 1959. - 164 с.

7. Бицадзе, А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка / А.В. Бицадзе. М.: Наука, 1966. - 404 с.

8. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций / Г.Н. Ватсон. М.: ИЛ, 1949. - Т. 1. - 798 с.

9. Бахания, Н.Н. Об одной краевой задаче с данными на всей границе для гиперболической системы, эквивалентной уравнению колебания струны / Н.Н. Вахания // Докл. АН СССР. 1957. - Т. 116. - № 6. - С. 906 - 909.

10. Вахания, Н.Н. О задаче Дирихле для уравнения колебания струны / Н.Н. Вахания // Сообщения академии наук Грузинской ССР. 1958. - Т. XXI. -№2.- С. 131 - 138.

11. Волкодавов, В. Ф. Принцип локального экстремума и его применения к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Казань, 1969.

12. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т.Д. Джураев. Ташкент: Фан, 1979. — 239 с.

13. Жегалов, В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В.И. Жегалов // Уч. записки Казанск. ун-та. 1962. - Т. 122. -кн. 3. - С. 3 - 16.

14. Жегалов, В.И. Нелокальная задача Дирихле для уравнения смешанного типа / В.И. Жегалов // Неклассические уравнения матем. физики. -Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1985. - С. 168 - 172.

15. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд. М.: Мир, 1965. -Т. 1. - 616 с.

16. Ильин, В.А. О существовании приведенной системы собственных и присоединенных функций у несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора / В.А. Ильин //Труды Матем. института им. В.А. Стеклова. 1976. - Т.142. - С. 148-155.

17. Ильин, В.А. Единственность и принадлежность W\ классического решения смешанной задачи для самосопряженного гиперболического уравнения / В.А. Ильин //Мат. заметки. 1975. - Т. 17. - № 1. - С. 91 - 101.

18. Ильин, В.А. Теорема о единственности и принадлежности классу классического решения смешанной задачи для несамосопряженного гиперболического уравнения в произвольном цилиндре / В.А. Ильин //Дифференц. уравнения. 1975. - Т. 11. - № 1. - С. 60 - 65.

19. Ильин, В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка / В.А. Ильин //ДАН СССР. 1983. Т. 273. № 5. С. 789 -793.

20. Исамухамедов, С. С. Видоизмененная задача Трикоми для уравнения смешанного типа втрого рода / С.С. Исамухамедов // Изв. АН УзССР. Сер. физико-мат. наук. 1974. - №1. - С. 9 - 15.

21. Исамухамедов, С. С. О краевых задачах для уравнения смешанного типа второго рода с негладкой линией вырождения / Ж.О. Орамов // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18. - №2. - С. 324 - 334.

22. Исамухамедов, С. С. Краевые задачи типа Е для уравнения смешанного типа второго рода / С.С. Исамухамедов / Сб.: Краевые задачи для дифференциальных уравннеий. 1972. - №2. - С. 97 - 103.

23. Камке, 9. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э.Камке. Спб.: Лань, 2003. 575 с.

24. Кальменов, Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лавретьева-Бицадзе / Т.Ш. Кальменов // Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13. -№8. - С. 1718 - 1725.

25. Кароль, И.Л. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа второго рода / И.Л. Кароль // Докл. АН СССР. 1953. - Т. 88. - №2. -С. 197 - 200.

26. Кароль, И.Л. Краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико — гиперболического типа /И.Л. Кароль // Докл. АН СССР. 1953. - Т. 88.- №3. С. 397 - 400.

27. Кароль, И.Л. Краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико — гиперболического типа /И.Л. Кароль // Докл. АН СССР. 1955. - Т. 101. - №5. - С. 793 - 796.

28. Кароль, И.Л. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико — гиперболического типа /И.Л. Кароль // Математический сборник.- 1956. Т. 38(80). - №5. - С. 261 - 283.

29. Келдыш, М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области /М.В. Кельдыш // Докл. АН СССР. -1951. Т. 77. - № 2. - С. 181 - 184.

30. Крикунов, Ю.М. Видоизмененная задача Трикоми для уравнения ихх + уиуу + (—п + |)иу = 0 /Ю.М. Крикунов // Изв. вузов. Математика. -1979. №9. - С. 21 - 28.

31. Крикунов, Ю.М. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа / Ю.М. Крикунов // Казань: Изд-во Казанского университета. -1986. 148 с.

32. Кожанов, А.И. Краевые задачи и свойства решений уравнений третьего порядка / А.И. Кожанов // Дифференциальные уравнения. 1989. - Т. 25. - № 25. - С. 2143 - 2153.

33. Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев. М.: МГУ, 1988. - 150 с.

34. Мухлисов, Ф.Г. Решение краевых задач вырождающегося эллиптического уравнения второго рода / Ф.Г. Мухлисов, А.М.Нигмедзянова// Известия вузов. Математика. 2009. - № 8. - С. 57 - 71.

35. Нахушев, A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа /A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения. 1969. - Т. 5. - № 1. - С. 44 - 59.

36. Нахушев A.M. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области / A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения. 1970. - Т. 6. - № 1. - С. 190 - 191.

37. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии / A.M. Нахушев. -М.: Высшая школа, 1995. 304 с.

38. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. М.: Наука, 1983. - 752 с.

39. Пулькин, С.П. Исследование по уравненеиям смешанного типа: Дис. . д-ра физ. мат.наук. - Казань: КГУ, 1958.

40. Пулъкина, Л. С. Смешанная задача с нелокальным условием для гиперболического уравнения / J1.C. Пулькина // Неклассич. уравнения матем. физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. С. 176 - 184.

41. Пулькина, JI.C. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболических уравнений / JI.C. Пулькина // Дифференц. уравнения. -2004. Т. 40, № 7. - С. 887 - 892.

42. Репин, О.А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой полуполоса / О.А. Репин // Дифференциальные уравнения. - 1996. - Т. 32. - № 4. - С. 565 - 567.

43. Сабитов, К.Б. О постановке краевых задач для уравнения смешанного типа с вырождением второго порядка на границе бесконечной области / К.Б. Сабитов // Сибирский математический журнал. 1980. - Т. 21. -Ш. С. 146 - 150.

44. Сабитов, К. Б. Задача типа Трикоми для уравнения смешанного типа с сильным характеристическим вырождением / К.Б. Сабитов // Дифференц. уравнения. 1984. - Т. 20. - №2. - С. 333 - 337.

45. Сабитов, К.Б. Уравнения математической физики. / К.Б. Сабитов. М.: Высшая школа. - 2003. - 255 с.

46. Сабитов, К. Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов // ДАН. 2007. - Т. 413. № 1. - С. 23 - 26.

47. Сабитов, К.Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в полуполосе / К.Б. Сабитов // Дифференц. уравнения. 2007. - Т. 43. - №10. - С. 23 - 26.

48. Сабитов, К.Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, А. X. Сулейманова // Материалы международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы». Москва: МГУ, 2007. - С. 265.

49. Сабитов, К. В. О задаче Дирихле для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, А. X. Сулейманова // Материалы международной конференции "ВЕ-КУА 100". - 2007. - С. 272 - 273.

50. Сабитов, К. В. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, А. X. Сулейманова // Известия вузов. Математика. 2007. - № 4. - С. 45 - 53.

51. Сабитов, К.В. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, А. X. Сулейманова // Известия вузов. Математика. 2009. - № 11. - С. 43 -53.

52. Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа / М.С. Сала-хитдинов. Ташкент: Фан, 1974. - 156 с.

53. Салахитдинов, М.С. Краевые задачи для уравнения смешанного типа второго рода / М.С. Салахитдинов, С.С. Исамухамедов // Serdica Bulgaricae mathematicae publicationes. 1977. - Т. 3. - №3. - С. 181 -188.

54. Смирнов, М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1966. - 292 с.

55. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов. М.: Высшая школа, 1985. - 304 с.

56. Солдатов, А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Би-цадзе. I. Теоремы единственности / А.П. Солдатов // ДАН. 1993. - Т. 332. - № 6. - С. 696 - 698.

57. Солдатов, А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе. II. Теорема существования / А.П. Солдатов // ДАН. 1993. -Т. 333. - № 1. - С. 16 - 18.

58. Сохадзе, Р. С. Первая краевая задача для уравнения смешанного типа с весовыми условиями склеивания вдоль линии параболического вырождения / Р.С. Сохадзе // Дифференц. уравнения. 1981. - Т. 17. - №1. - С. 150 - 156.

59. Сохадзе, Р. С. О первой краевой задаче для уравнения смешанного типа в прямугольнике / Р.С. Сохадзе // Дифференц. уравнения. 1983. - Т. 19. -т. - С. 127 - 133.

60. Сулейманова, А. X. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области / А. X. Сулейманова // Сборник трудов Всероссийской конференции «Дифференц. уравнения и их приложения» Самара: "Универс-групп". - 2005. - С. 86 - 87.

61. Сулейманова, А. X. О первой краевой задаче для уравнения смешанного типа в прямоугольнике / А. X. Сулейманова // Сборник трудов Всероссийской конференции «Дифференц. уравнения и их приложения» -Самара: "Универс-групп". 2007. - С. 139 - 140.

62. Терсенов, С. А. К теории гиперболических уравнений с данными на линии вырождения типа / С.А. Терсенов // Сиб. матем. ж. 1961. - Т. 2. - № 6.

63. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М.: Наука, 1977. - 735 с.

64. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных смешанного типа / Ф. Трикоми. М.: ИЛ, 1947. - 192 с.

65. Трикоми, Ф. Дифференциальные уравнения. М., 1962. 351 с.

66. Франклъ, Ф.И. О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений / Ф. И. Франкль //Изв. АН СССР. Серия математическая. -1945. Т. 9. - № 2. - С. 121 - 142.

67. Франкль, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике / Ф. И. Франкль.- М.: Наука, 1973. 711 с.

68. Фокин, М.В. О задаче Дирихле для уравнения колебания струны / М.В. Фокин. В кн.: Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск, - 1981. - С. 178 - 182.

69. Хайруллин, Р. С. Задача Трикоми для уравнения второго рода в случае нормальной области / Р.С. Хайруллин // Дифференц. уравнения. 1990.- Т. 26. т. - С. 1396 - 1407.

70. Хайруллин, Р.С. К задаче Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода / Р.С. Хайруллин // Сибирский математический журнал. -1994. Т. 35. - Ш. - С. 927 - 936.

71. Хайруллин, Р. С. О задаче Трикоми для уравнения второго рода в случае произвольной области/ Р.С. Хайруллин // Дифференц. уравнения. 1995.- Т. 31. №5. - С. 894 - 895.

72. Хасанова, С. Л. Решение кравевых задач для уравнений смешанноготипа методом спектрального анализа: Автореф.кан. физ.-мат. наук. Стерлитамак, 2003. 18 с.

73. Хачев, М.М. Задача Дирихле для уравнения Трикоми в прямоугольнике / М.М. Хачев // Дифференц. уравнения. 1975. - Т. XI. - № 1. - С. 151 - 160.

74. Хачев, М.М. Задача Дирихле для одного уравнения смешанного типа / М.М. Хачев // Дифференц. уравнения. Минск. 1976. - Т. 12. - № 1. -С. 137 - 143.

75. Хачев, М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа / М.М. Хачев. Нальчик: Изд. "Эльбрус - 1998. - 168 с.

76. Шабат, Б. В. Примеры решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа / Б.В. Шабат // ДАН. СССР. 1957. - Т. 112. - № 3. - С. 386 - 389.

77. Abdul-Latif A. Dirichlet, Neumann and mixed boundary value problems for the wave equation uxx — utt = 0 for the rectangle / A. Abdul-Latif , S. Diaz // Appl. Anal. 1971. - V. 1. - № 1. - P. 1 - 12.

78. Abdul-Latif A. Dirichlet, Neumann and mixed boundary value problems for uxy = 0 in rectangles / A. Abdul-Latif , S. Diaz // Proc. Rayal. Soc., Edinburg, 82A, - 1978. P. 107 - 110.

79. Bourgin, P.G. The Dirichlet problem the virbating string equation / P.G. Bourgin // Bull. Amer. Math. Soc., 1939. - V. 45. - № 12. P. 851 - 858.

80. Bourgin, P.G. The Dirichlet problem for the damped wave equation / P.G. Bourgin // Duke. Math. J., 1940. - 7. P. 97 - 120.

81. Gellerstedt, S. G. Sur on probleme aux limites pour une equations lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte / S.G. Gellerstedt // Thes pour le doctorat. Uppsala, 1935. - P. 92.

82. Cannon, J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinius coefficient / J.R. Cannon // Ann. math, pura ed appl. 1963. -V. 62. - P. 371 - 377.

83. Dunninger, D. The condition for uniquencess of solution of the Dirichlet problrm for the wave equation in coordinate rectanglrs / D. Dunninger, E. Zachmanoglou // J. Math. Anal, and Appl. 1967. - V. 20. - № 1. - P. 17 -21.

84. Dunninger, D. The condition for hyperbolic equtions in cylindrical domains / D. Dunninger, E. Zachmanoglou // J. Math, and Mech. 1969. - V. 18. -№ 8. - P. 763 - 766.

85. Fox, D. W. The Dirichlet problem for the wave equation / D.W. Fox, C. Pucci // Ann. math, pura ed appl. 1958. - V. 46. - № 4. - P. 155 - 182.

86. John, F. The Dirichlet problem for a hyperbolic equation/ F. John // Amer. J. Math. 1941. - V. 63. - № 1. - P. 141 - 154.

87. Khalique, C. Dirichlet and Neumann problems for the oun-dimensional wave equation in a rectangle / C. Khalique //J. London Math. Soc. 1980. - V. 22. - № 3. - P. 543 - 548.