Задачи на собственные значения для операторов смешанного типа с двумя линиями степенного вырождения и применения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Чиганова, Наталья Викторовна

• Чиганова, Наталья Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чиганова, Наталья Викторовна

Введение

Глава 1. Задача на собственные значения для оператора смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения

§1.1. Постановка спектральной задачи Т\.

§1.2. Построение многообразия частных решений уравнения смешанного типа в эллиптической части

§1.3. Построение многообразия частных решений уравнения смешанного типа в гиперболической части

§1.4. Построение собственных значений и собственных функций в смешанной области

§1.5. Исследование собственных функций на полноту в смешанной области.

Глава 2. Задачи на собственные значения для оператора смешанного типа с негладкой линией вырождения

§2.1. Постановка спектральной задачи Т\Л и построение собственных функций

§2.2. Исследование на полноту в Z/2 системы собственных функций задачи Т\х

§2.3. Постановка спектральной задачи ТгА и построение собственных функций

§2.4. Исследование на полноту в системы собственных функций задачи

Глава 3. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения

§3.1. Задача Т\.

§3.2. Задача Т2.

§3.3. Задача TNX

§3.4. Задача TN

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи на собственные значения для операторов смешанного типа с двумя линиями степенного вырождения и применения»

Уравнения смешанного типа встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера. Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [55, 56] и С. Геллерстедта [70], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Они изучали задачи для уравнения смешанного типа с одной линией параболического вырождения, теперь известные как "задача Трикоми" и "задача Геллерстедта".

В 50 - е годы XX столетия в работах Ф.И. Франкля [58], А.В. Бицад-зе [4, 5] было положено начало современной теории уравнений смешанного типа. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа. В дальнейшем эти краевые задачи изучались многими авторами как в нашей стране (В.Ф. Волкодавов, В.Н. Врагов, В.И. Жегалов, Т.Д. Джура-ев, Т.Ш. Кальменов, А.И. Кожанов, Е.И. Моисеев, A.M. Нахушев, С.М Пономарев, С.П. Пулькин, К.Б. Сабитов, М.С. Салахитдинов, М.М. Смирнов, А.П. Солдатов, Л.И. Чибрикова, Р.С. Хайруллин, Вагапов В.З., О.А. Репин и другие), так и за рубежом (S.Agmon, L.Nirenberg, M.N.Protter, C.S.Morawetz, P.Germain, R.Bader, P.O. Lax, R.P. Phillips, M. Schneider, Г.Д. Каратопракли-ев, Г.Д. Дачев, Н.И. Поливанов и другие). Основные результаты этих работ и соответствующая им библиография приведены в монографиях А.В. Бицадзе [5, 6], JL Берса [3], К.Г. Гудерлея [И], М.М. Смирнова [50] - [52], М.С. Сала-хитдинова [45], Т.Д. Джураева [13], Моисеева Е.И. [31].

Вместе с тем краевые задачи для уравнения смешанного типа с несколькими линиями изменения типа изучены сравнительно мало.

Краевыми задачами для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа занимались М.М. Зайнулабидов [15] - [17], В.Ф. Волкодавов [9],О.И. Маричев [25], Н.И. Попиванов [33], Т.Б. Ломоносова [22], Хе Кан Чер [61, 60], И.А. Макаров [23], С.С. Исамухамедов [18], С. И. Макаров [24], М.С. Салахитдинов [46] - [47], К.Б. Сабитов, А. А. Гималтдинова (Карамо-ва), Г.Г. Биккулова (Шарафутдинова) [35] - [43] и другие авторы.

Зайнулабидов М.М. [15] - [17] для уравнений в области D, ограниченной простой кривой Жордана с концами в точках Ai(l,0), i3i(0,l) при х,у > 0, характеристиками ОС\, C\Ai, ОС2 и В1С2 уравнения (0.1) или (0.2), исследовал задачи Трикоми (задачу Т\ с данными на Г U С1С2 и задачу Т2 с данными на Г U В1С2 U AiCi). Им доказаны единственность и существование решений задач Т\ и Т2 для уравнений (0.1) и (0.2), когда дуга Г - ляпуновская и оканчивается сколь угодно малой длины дужками "нормальной"кривой. Доказательство единственности решения задачи Т\ для уравнений (0.1) и (0.2) проведено на основании принципа экстремума А.В. Бицадзе, а при доказательстве единственности решения задачи I2 использовался метод интегральных тождеств Франкля. Существование решения доказано методом интегральных уравнений.

Салахитдиновым М.С., Хасановым А. [47] в области fi = D П {ж > 0} для уравнения изучена задача Трикоми с условиями Дирихле на Г, ОВ\ и ОС\. Единственность решения доказана методом интегралов энергии при п > т. Существование решения сведено к разрешимости интегрального уравнения Фредголь-ма второго рода.

0.1) (0.2) sgn у\у\пихх + хтиуу = 0, ш, п — const, т > п > 0, (0.3)

Сабитов К.Б. [36] изучал краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной и двумя перпендикулярными линиями изменения типа. Для уравнения Lu = К(у)ихх + N(x)uyy + Аих + Виу + Си = F, (0.4) где у К (у) > 0 при у Ф 0, хК{х) > 0 при х ф 0, в области D, ограниченной при х, у > 0 кривой Г с концами в точках Ai(a, 0), В{0,6), а, Ъ > 0, при х > 0, у < 0 - характеристиками ОС\ и С\А\ уравнения (0.4), при х < 0,у > 0 -характеристиками ОС2 и С2В, были изучены задачи Т\ и Т2. Установлены принципы экстремума для решений задач Т\ и Т2, при этом предполагалось, что уравнение (0.4) является слабо вырождающимся. На основе принципа экстремума при некоторых ограничениях на коэффициенты уравнения (0.4) доказаны единственность решения задач Т\ и Т2.

Сабитовым К.Б., Гималтдиновой (Карамовой) А.А., Биккуловой (Шара-футдиновой) Г.Г. [38] установлены принципы экстремума для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения

Lu = sgnу - \у\пихх + sgnх • \x\muyy+

Xsgn{xy)-\x\m\y\nu = 0 (0.5) в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области при всех 71, га > 0, n + m>0, А = 0и получены утверждения о единственности решения краевых задач типа Трикоми в классе регулярных и обобщенных решений уравнения (0.5) при произвольной эллиптической границе. В работе Сабитова К.Б., Биккуловой (Шарафутдиновой) Г.Г. [43] доказано существование регулярного решения задачи Трикоми для уравнения (0.5), в случае, когда А = 0 и "нормальная" кривая уравнения целиком содержится в эллиптической части области.

Одним из направлений в теории краевых задач для уравнений смешанного типа является изучение спектральных задач, которые позволяют строить решения краевых задач в специальных областях в виде сумм биортогональ-ных рядов. Моисеевым Е.И. [27] -[29] были решены спектральным методом задачи Трикоми и Геллерстедта для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа в специальной области с заданием нулевых данных на характеристике.

Сабитов К.Б., Гималтдинова (Карамова) А.А. [40] распространили этот метод для построения решения задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Ими были изучены спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева - Бицадзе с двумя перпендикулярными линиями вырождения и показаны применения при построении решения задачи Трикоми, а в работе [41] исследована краевая задача для уравнения (0.5) при £>0, п — т > 0, А = 0. На основании функциональных соотношений между следом решения и следом нормальной производной решения задачи Дарбу на линиях изменения типа краевая задача сводилась к новой нелокальной эллиптической задаче. В случае, когда область эллиптичности является четвертью круга с центром в начале координат, решение построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей спектральной задачи.

Задачи на собственные значения и краевые задачи для уравнения (0.5) ранее при А ф 0 не были изучены.

Целью данной диссертационной работы является исследование следующих вопросов:

1. Нахождение собственных значений и собственных функций спектральной задачи для оператора смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями степенного вырождения и исследование построенных систем собственных функций на полноту в пространстве Ь2.

2. Нахождение собственных значений и собственных функций спектральных задач для оператора смешанного типа с негладкой лицией степенного вырождения с различными граничными условиями на эллиптической границе; исследование построенных систем собственных функций на полноту в ь2.

3. Построение решений задач Трикоми и Трикоми - Неймана для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения методом рядов по собственным функциям.

4. Обоснование единственности регулярных решений поставленных краевых задач с различными граничными условиями для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав.

В главе 1 найдены собственные значения и собственные функции спектральной задачи для уравнения (0.5) в области D, ограниченной "нормальной" кривой Го : (ха / а)2 + (у13 / (З)2 = 1, лежащей в первой четверти х,у > 0 с концами в точках А(а1/а,$) и В(О,/?1^), характеристиками OCi,

CiA, ОС2 и С2В уравнения (0.5), где 0(0,0), Ci{xCl,yci), С2(хС2,ус2), где xqx = (а^/г)-, yCl = -{РаУа/2)К хС2 = - (а^/г)* , ус2 = {№'"/2)* , с* = (т + 2)/2, р = (п + 2)/2.

В § 1.1 приводится постановка спектральной задачи, соответствующей задаче Трикоми.

Спектральная задача (Задача Т\). Найти собственные значения А и соответствующие им собственные функции и\{х,у) = и(х,у), удовлетворяющие условиям: где D+ = D П {х > 0, у > 0}; Dx = D П {х > 0, у < 0}; D2 = D П {х < 0, у > 0}. и(х, у) е C(D) П C\D) П C2{D+ U A U D2);

Lu(x, у) = 0, (х, у) е D+ U £>i U D2; и{х, у) = 0, (х, у) е Г0 U OCi U ОС2, й

0.6)

0.7) (0.8)

В §§ 1.2, 1.3 методом разделения переменных построены многообразия частных решений уравнения в эллиптической и гиперболических областях соответственно.

В § 1.4 для уравнения (0.5) найдены собственные значения и построена соответствующая система собственных функций спектральной задачи Т\ : и

1 Л

-q-p X Г(1 - + +1 + рл)г(1 + „) Г* q-p 1 q-p 1 3 (^)2

XF Г— + 2 +Ph + 2 " ■2 - ■(1^)2 + (У )2 )2 1 v/? в области D+,

0.9) ,'l Л r(g±a + ft)r(V + l+Pt)

-2- + Й, —+ 2+Р»,2Л + 1;-^в области Di, и- (х v) - Г(|-р)Г(-? + |+№) cos(g + pt)7T sinf

X (жф^У - X х f (g+I + izg + 1 + Рк! ы + 1; W ), (0.11) б области D4, где c^k Ф 0 -произвольная постоянная, 2q = (а — 1)/а, 2р = ((3—l)//3, Jp(-) - функция Бесселя первого рода порядка и, Г(-) - гамма -функция Эйлера, F(-) - гипергеометрическая функция Гаусса.

Теорема 1.1. Собственными значениями спектральной задачи (0.6) -(0.8) являются положительные корни Xk,i уравнения J2pk{VX) = 0, где pt = p-\-q + kul£N, к — 0,1,2,. . Соответствующие собственные функции определяются по формулам (0.9) - (0.11).

Теорема 1.2. Система собственных функций спектральной задачи (0.6) - (0.8) при п = т не полна с весом хтут в пространстве L^iD), причем размерность дефекта равна бесконечности.

Глава 2 посвящена исследованию спектральных задач для оператора смешанного типа с негладкой линией вырождения

L{u) = sgn у \у\тихх + хтиуу + A sgn у хт\у\ти = 0, т > 0, (0.12) в области G = D П {х > 0}.

В § 2.1 найдены собственные значения и соответствующие им собственные функции спектральной задачи 71А для уравнения (0.12).

Задача Т\х. Найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям: и(х,у) е C(G) П C\G) П C2{G+ U G-), (0.13)

Lu(x,y) = 0, (x,y)eG+UG-, (0.14) и(х,у) = 0, (х,у)е Г0; (0.15) и(х,у) = 0, (х,у)€ОСи (0.16) и{х,у) = 0, (х,у) е ОВ. (0.17)

Методом разделения переменных найдены собственные значения Xkl,i и соответствующие им собственные функции ukl,i{x,y) спектральной задачи Т\х\ и ukiaj/) у) ^ ukui(x,y)£G J

Ux> у) = N^fV^HP) x

-2 q

4, X

Цд + Рь)та-д)

2 q) 'r(l-q + Phl)ra + qy

F[q + Ph,q- PhX + q\ у

2a

2 ' x2a + y2a У

2a

2a

1-29 /1 1 3 у y/X2a + y2aJ F U + ' 2 " ^' 2 " 95 r(2Pfel + 1)Г(| + g) x

2a

-2? X

0.18)

X Jo 4 ж

2a

2a - (-J/)

2a

-Q-Pki

1 X2a - C—г/)2а\ где Akl,i — 1- й корень уравнения J2ph (л/А) = 0, pkl = h~ q/2 + 3/4, к\ — 0,1,2,. и C2,fc! ф 0 - произвольная постоянная.

В § 2.2 изучен вопрос о полноте системы собственных функций (0.18), (0.19) в области эллиптичности и в целом в смешанной области.

Теорема 2.2. Система функций (0.18) спектральной задачи (0.13) - (0.17) полна с весом хтут в пространстве L,2(G+).

Теорема 2.3. Система функций (0.18) и (0.19) спектральной задачи Т\х не полна с весом xmym в пространстве L2 (G), причем размерность дефекта равна бесконечности.

В §§ 2.3 и 2.4 для уравнения (0.12) исследована спектральная задача Т2Х.

Задача Т2Л. Найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям (0.13) — (0.16) и их{0,у) = 0, 0 <у <Ъ. (0.20)

Теорема 2.4. Собственными значениями спектральной задачи Т2Л являются положительные корни А^ уравнения J2Pfc2(\/A) = 0, где pk2 = k,2 + #/2 + 1/4 ul е N, = 0,1,2,. . Соответствующие собственные функции задачи Т2Х определяются по формулам: х

Ux> у) - ~2qJ2Pk2 l \ r(g + pfc2) Щ-q) ^ 1 о~q] '¥Гл—7—uvi-L- ^[Q + P^q-+ y2a IX 1+ x2a + y2a y2a ,i2 q (l l 3 y2a ( . „ J + Pfc. 2 - Ph, 2 ~ & x2a + y2aJ V2 ' 2 2 Ж2* + |/2a ukJ*,y) = C2J--q ■ r(2 1)r(J + e)x

0.21) хF(q + ft,, , + 1 ■ ^ ), (0.22) ф 0 - произвольная постоянная. Теорема 2.5. Система функций (0.21) спектральной задачи ТгА полна с весом хтут в пространстве 1/2(G+).

Теорема 2.6. Система функций (0.21) и (0.22) спектральной задачи ТгА не полна с весом хтут в пространстве L/2(G), причем размерность дефекта равна бесконечности.

В главе 3 показано применение системы собственных функций, построенных в главе 2, для построения решения краевых задач для уравнения смешанного типа (0.12) в области G. Единственность решения краевых задач для уравнения (0.5) при п > т доказывается методом установления знакоопределенности интеграла а

Re J хт и(х, 0) иу(х, 0) dx, о а в случае п = т — на основании принципа максимума модуля решения данного уравнения.

В § 3.1 приведена постановка краевой задачи Т\ для уравнения

L(u) ЕЕ sgn у \у\пихх + xmuyy + Л sgn у хт\у\пи = 0, п, т > 0, (0.23) в области области G, ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в первой четверти х,у > 0 с концами в точках A(alla,ti) и В(0,Ь), Ъ > 0, отрезком О В оси х = 0 и характеристиками ОС\ и С\А уравнения (0.23), где 0(0,0),

Cl (xCl,yCl), ХСг = (а1+1/72:УС1 = - (Ма/2)' •

Задача Т\. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям: и(х,у) е C(G) П C\G) П C2{G+ U GL); (0.24)

Lu(x,y) = 0, (x,y) G G+UG-; (0.25) и(х,у) = Ь(х,у), (x,y)eT-, (0.26) u(x,y) = 0, (x,y)€OCu (0.27) u(0,y) = 0, 0 <y<b, (0.28) где fi - заданная достаточно гладкая функция.

Определение 3.1. Под регулярным в G решением уравнения (0.23) будем понимать функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:

1) (0.24) , (0.25) задачи Тх;

2) производные первого порядка их, иу непрерывны в G, за исключением точек О, А и В и , кроме того, на окружностях Kqs , Ки и К2s с центрами в точках О, А и В произвольно малого радиуса 5 > 0 справедливы неравенства j (уп\их\ + xm\uy\)dS < О,, j = 0,1,2, KjSf]G+ где постоянные Cj не зависят от S. Лемма 3.1. Если и = 0 на OCi, и(х, у) = y)+i и2(х, у) и X — \i+i\2,

А < -Ai (- Vf + \{p + Я)\ Ai < 0, (0.29) n > m, то для любого регулярного решения уравнения (0.23) имеет место неравенство

J tm L (*, 0)uly(t, 0) + u2(t, 0)u2y(t, 0) j dt> 0. о ^ '

Лемма 3.3. Пусть: 1) u(x,y) удовлетворяет условиям (0.24), (0.25) и равна нулю на ОС\; 2) т = п > 0,

V2\\2\-\1<21~qq(l + q), Ai < 0. (0.30)

Тогда max \и\ достигается на OA. g

Лемма 3.4. Пусть: 1) и— регулярное решение уравнения (0.23) при п = т в области G ; 2) и(х,у) удовлетворяет условиям (0.24), (0.25) и равна нулю на ОС\; 3) выполнено условие (0.30). Тогда max т/)| достигается g наТиОВ.

Теорема 3.1. Если в классе регулярных решений уравнения (0.23) существует решение задачи (0.24) - (0.28), то оно единственно в случаях

1) Р > Ч (п > т) и условии (0.29);

2) Р — q (п = т) и условии (0.30).

В случае, когда Г = Го, Ь = (5W и п = т, на основании собственных функций задачи Т\х построено решение задачи Т\ в области G.

Теорема 3.2. Если /i(y?) Е С1[0,7г/2], функция fi(<p) в малой окрестности точек (р = 0 и <р = 7г/2 дважды непрерывно дифференцируема, 0) = 0, /{(0) = 0, тг/2) = 0, /{(тг/2) = 0, то существует единственное решение задачи (0.24) — (0.28), и оно имеет вид 00 и(х,у) = £ Wx/Ar)-2V2^r) 8mW-*2<pP9-W/2(-co82<p) ki=0 в области G+ uix,у) = uh= т^гжwi—iiwi—:—ГТ X

-WVA) (2 - ЙЧР* + Уч1 - 9 - P*i) X ^V*20 - ^j ^ ^V^^j X ж2а / x x2a-y2a'

X[x2ay2a 1 F И + ^ ' g + ' 1 + ^> в области G-, при этом коэффициенты определяются по формулам: fkо - 0, fh = h^ll~q{e)F(e)d9, h = 1,2,3,.,

VV2 о / 7Г — t

F{9)= sin6> / Л -Г- (cost -cos6»)91dt, где Р^(-) - присоединенная функция Лежандра, hv{&), // = 1,2,., —3<v< —1 — биортогональная система, которая построена в [27].

В § 3.2 для уравнения (0.23) в области G найдено решение следующей задачи.

Задача Тг. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.20) и (0.24) - (0.27) .

Теорема 3.3. Если в классе регулярных решений уравнения (0.23) существует решение задачи Тг, то оно единственно в случаях

1) р > q (п > т) и условии (0.29);

2)p — Q (п = т) и условии (0.30).

При Г = Го, Ь = (З1^ и n = т решение задачи Т2 построено на основании собственных функций задачи Т2Л.

Теорема 3.4. Если /г(<^) 6 С1[0,7г/2], функция /г(^) в малой окрестности точек ip = 0 и ip = 7г/2 дважды непрерывно дифференцируема, /2(0) = /2(0) = /2 (vr/2) = /2(71-/2) = 0, то существует единственное решение задачи Т2, и оно определяется формулами +00 /^(v'ar)-^sin1^-^ 2с^р cos 2^) fc2=о е области f^n f^n (VA) (2 - + + P*,) x 1 - y2a^j JPk2 ~ x x2a \~q~pk2 / 1 x2ay2a

X1 X2ay2a J F Ь + ^ + Pk2A + ^ в области (?, где fk2 ~ коэффициенты определяются no формулам j Я"

F(d)= sine j ^^^(sin*)29"^ {cost-cose)-qdt.

В § 3.3 для уравнения (0.12) в области G рассмотрена спектральная

Задача TNix. Найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х, у), удовлетворяющие условиям (0.13), (0.14), (0.16), (0.17) и = ут— ~ ^ = о, у) е Го. (0.31)

Теорема 3.5. Собственными значениями спектральной задачи TNix являются положительные корни уравнения

VXJ^(y/X)-2qJ2pki(Vx) = 0t где ркг = к\ — q/2 + 3/4 и I G N, к\ = 0,1, 2,. . Соответствующие собственные функции в областях G+ и G определяются по формулам (0.18) и (0.19).

Теорема 3.6. Система собственных функций спектральной задачи TN\X полна с весом хтут в пространстве L2(G+) и не полна с весом хтут в пространстве L2(Gпричем размерность дефекта равна бесконечности.

В области G для уравнения (0.23) исследована задача TN\, аналогичная задаче Ti, только вместо (0.26) задано граничное условие

Й = (0.32) где ui(x,y) - заданная достаточно гладкая функция.

Теорема 3.7. Если в классе регулярных решений уравнения (0.23) существует решение задачиТИх, то оно единственно в случаях 1) и 2) теоремы 3.1.

В случае, когда Г совпадает с нормальной кривой Го и п — т, Ъ — а1/0, при некоторых ограничениях 5ж[и]|г0 = 0 < <р < тг, на граничную функцию получено представление решения задачи в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей спектральной задачи TN\X.

В § 3.4 для уравнения (0.12) в области G рассмотрена спектральная

Задача TN2x. Найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям (0.14), (0.16), (0.20) и (0.31).

Теорема 3.9. Собственными значениями спектральной задачи TN2x являются положительные корни \k2,i уравнения

V\J^(VX)-2qJ2pk2(VX) = 0, где pk2 = к2 + q/2 + 1/4 и I G N, к2 = 0,1,2,. . Соответствующие собственные функции в областях G+ и G определяются по формулам (0.21), (0.22).

Теорема 3.10. Система собственных функций спектральной задачи TN2x полна с весом хтут в пространстве L2(G+) и не полна с весом хтут в пространстве L2(G), причем размерность дефекта равен равна бесконечности.

Для уравнения (0.23) в области G рассмотрена задача (0.24), (0.25), (0.20), (0.27) и (0.32). В классе регулярных решений доказана теорема единственности данной задачи. В случае, когда Г совпадает с нормальной кривой Го и п = т, Ъ = а1/а, аналогично § 3.3, при некоторых ограничениях на граничную функцию 5х[и]\т0 = ш2((р), 0 < (р < 7г, получены представление решения задачи в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей спектральной задачи TN2x.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Найдены собственные значения и построена соответствующая система собственных функций для оператора смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения; показано, что система собственных функций не полна с весом в Ь2 в смешанной области.

2. Найдены собственные значения и построена система собственных функций для оператора смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения; доказано, что система собственных функций полна с весом в

L2 в области эллиптичности и не полна с весом в L2 в целом в смешанной области.

3. Построены решения краевых задач типа Трикоми и Трикоми - Неймана для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения.

4. Доказаны теоремы единственности регулярных решений краевых задач с различными граничными условиями при произвольной эллиптической границе для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения типа.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [44], [62] - [66].

Работа [44] выполнена в соавторстве с научным руководителем Сабитовым К.Б., которому принадлежит постановка задачи и идеи доказательства.

Автор выражает сердечную признательность научному руководителю доктору физико - математических наук, профессору, чл. - корр. АН РБ Камилю Басировичу Сабитову за предложенную тематику исследований, ценные советы и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чиганова, Наталья Викторовна, 2006 год

1. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. В 3 т. Т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. -М.: Наука, 1965. - 293 с.

2. Бейтмен, Г.Высшие трансцендентные функции. В 3 т. Т. 2. Функции Бесселя. Функции параболического цилиндра. Ортогональные многочлены / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. М.: Наука, 1973. - 299 с.

3. Берс, Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / Л. Берс. М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

4. Бицадзе, А.В. О некоторых задачах для уравнений смешанного типа / А.В. Бицадзе // Докл. АН СССР. 1950. - Т. 70, № 4. - С. 561 - 564.

5. Бицадзе, А.В. Уравнения смешанного типа / А.В. Бицадзе. М. Серия "Итоги науки". - 1959,- Вып. 2. - 164 с.

6. Бицадзе, А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А.В. Бицадзе. М.: Наука, 1981. - 448 с.

7. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций. В 5 ч. Ч I. Теория бесселевых функций / Г.Н. Ватсон. М: ИЛ, 1949. - 799 с.

8. Волкодавов, В.Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными: Дис. на соиск. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Волкодавов В.Ф. Казань, 1969.

9. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров. М.: Наука, 1976. - 528 с.И. Гудерлей, К.Г. Теория околозвуковых течений / К.Г. Гудерлей. М.: ИЛ, 1960. - 421 с.

10. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. М.: ИЛ, Изд -во физ. - мат. лит., 1963.- 1109 с.

11. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно- составного типов / Т.Д. Джураев. Ташкент: Фан, 1979 - 238 с.

12. Жегалов, В.И. Исследование краевых задач со смещением для уравнений смешанного типа. Автореферат дис.на соиск. науч.степ, д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Жегалов В.И. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989.- 28 с.

13. Зайнулабидов, М.М. Некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа с двумя пересекающимися линиями параболического вырождения: Авторефер. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Зайнулабидов М.М. Новосибирск, 1969. - 18 с.

14. Зайнулабидов, М.М. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения / М.М. Зайнулабидов // Дифференц. уравнения. 1969. - Т. 5, № 1. - С. 91-99.

15. Зайнулабидов, М.М. Краевая задача для уравнений смешанного типа с двумя пересекающимися линиями вырождения /М.М. Зайнулабидов // Дифференц уравнения. 1970. - Т. 6, № 1. - С. 99 - 108.

16. Исамухамедов, С.С. О краевых задачах для уравнения смешанного типа второго рода с негладкой линией вырождения / С.С. Исамухамедов, Ж. Орамов // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18, № 2. - С. 324 -334.

17. Кальменов, Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева Бицадзе / Т.Ш. Кальменов // Дифференц. уравнения -1977. - Т. 13, №8. - С. 1718 - 1725.

18. Кальменов, Т.Ш. О регулярных краевых задачах и спектре для уравнений гиперболического и смешанного типов: Автореф. дисс на соикан. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Т.Ш. Кальменов М., 1982. -28 с.

19. Колмогоров, А.Н. Элементы теорий функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М: Наука, 1972. - 496 с.

20. Ломоносова, Т.Б. Существование решения задачи Т для уравнения с двумя линиями сингулярности коэффициентов / Т.Б. Ломоносова // Дифференциальные уравнения: Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. Рязань, 1977. - Вып. 10. - С. 88 - 96.

21. Макаров, И.А. Теория потенциала для уравнений с двумя линиями вырождения / И.А. Макаров // Дифференц. уравнения. Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. 1973. Вып. 2. - С. 124 - 155.

22. Маричев, О.И. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения / О.И. Маричев // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1970.- № 5. - С. 21 - 29.

23. Моисеев, Е.И. О базисности одной системы синусов и косинусов / Е.И. Моисеев // Докл. АН СССР. 1984. - Т. 1275, №4.- С. 794 - 798.

24. Моисеев, Е.И. О базисности одной системы синусов / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения 1987. - Т. 23, №1- С. 177 - 179.

25. Моисеев, Е.И. Применение метода разделения переменных для решения уравнений смешанного типа / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, № 7. - С. 1160 - 1172.

26. Моисеев, Е.И. О представлении решения задачи Трикоми в виде биор-тогонального ряда / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1991. -Т. 27, № 7. - С. 1229 - 1237.

27. Моисеев, Е.И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1992. - Т. 28, № 1.-С. 110-121.

28. Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 150 с.

29. Пономарев, С.М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешанного типа Лаврентьева- Бицадзе: Авторефер. на соискан. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Пономарев, С.М. М., 1981. - 28 с.

30. Попиванов, Н.И. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с двумя линиями параболического вырождения / Н.И. Попиванов. Сер-дика. Болгарско математическо списание, - 1975. - Т. 1. - С. 295 - 310.

31. Репин, О.А. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типа и дробное интегродифференцирование . Авторефер. дисс.на соискан. учен.степ, д-ра физ. мат. наук: 01.01.02 / Репин О.А.Минск, 1998. - 30 с.

32. Сабитов, К.В. О принципе максимума для уравнений смешанного типа / К.Б. Сабитов // Дифференц. уравнения. 1988. - Т. 24, № И. - С. 1967- 1976.

33. Сабитов, К.Б. Некоторые вопросы качественной и спектральной теории уравнений смешанного типа: Дисс. на соикан. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Сабитов К.Б. М., 1991.

34. Сабитов, К.Б. Экстремальные свойства модуля решений одного класса систем уравнений смешанного типа / К.Б. Сабитов // Докл. АН СССР.- 1990. Т. 310. - № 1. - С. 33 - 36 .

35. Сабитов, К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения / К.Б. Сабитов, А.А. Карамова, Г.Г. Шарафутдинова // Известия вузов. Математика. 1999. - № 11. - С. 70 - 80.

36. Сабитов, К.Б. О построении собственных значений и функций одной газодинамической задачи Франкля / К.Б. Сабитов, В.В. Тихомиров // Матем. моделирование.- 1990,- Т. 2, МО С. 100 - 109.

37. Сабитов, К.Б. Спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя линиями изменения типа и их применения / К.Б. Сабитов, А.А. Карамова // Изв. РАН. Серия математическая. 2001.- №4. - С. 133 - 150.

38. Сабитов, К.Б. Решение одной газодинамической задачи для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / К.Б. Сабитов, А.А. Карамова // Дифференц. уравнения. 2001. - Т. 37, №1. - С. 111 - 116.

39. Сабитов, К.Б. О знаке производной по конормали вблизи точки максимума решения вырождающихся эллиптических уравнений / К.Б. Сабитов,Ф.Х. Мукминов // Дифференц. уравнения. 2000 - №6. - С. 844 - 848.

40. Сабитов, К.Б. Задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения / К.Б. Сабитов, Г.Г. Ша-рафутдинова // Дифференц. уравнения. 2003. - Т. 39, № 6 - С. 788 -800.

41. Сабитов, К.Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / К.Б. Сабитов, Н.В. Чиганова // Изв. Вузов. Математика. 2006. - № 7. - С. 65 - 76.

42. Салахитдинов, М.С. Уравнения смешанно составного типа / М.С. Салахитдинов.- Ташкент. Фан, 1974. - 156 с.

43. Салахитдинов, М.С. Задача Трикоми для общего линейного уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / М.С. Салахитдинов, Б. Исломов // Докл. АН СССР. 1986. - Т. 289, № 3. - С. 549 -553.

44. Салахитдинов, М.С. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / М.С. Салахитдинов, А. Хасанов // Дифференц. уравнения. 1983. - Т. 19, № 1. - С. 110 - 119.

45. Салахитдинов, М.С. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с двумя внутренними линиями вырождения / М.С. Салахитдинов, Б. Исломов // Докл. АН СССР. 1991. - Т. 316, № 5. - С. 1051 - 1054.

46. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

47. Смирнов, М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1966. - 292 с.

48. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1970. - 296 с.

49. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов. М.: Высш. шк., 1985. - 304 с.

50. Солдатов, А.П. О единственности решения одной задачи А.В. Бицадзе / А.П. Солдатов // Дифференц. уравнения. 1972. - Т. 8, №1. - С. 143 -146.

51. Солдатов, А.П. Об одной задаче теории функций / А.П. Солдатов // Дифференц. уравнения. 1973. - Т. 9, №2. - С. 325 - 332.

52. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа / Ф. Трикоми . M.-JL: Гостехиздат, 1947. -192 с.

53. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных / Ф. Трикоми. М.: ИЛ, 1957. - 443 с.

54. Уиттекер, Э.Т. Курс современного анализа. В 2 ч. Ч. II. Трансцендентные функции / Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон. М., Физматгиз. - 1963.- 516 с.

55. Франкль, Ф.И. О задачах Чаплыгина С.А. для смешанных до- и сверхзвуковых течений / Ф.И. Франкль // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1945.- Т. 9, № 2. С. 121 - 142.

56. Франкль, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике / Ф.И. Франкль. -М.: Наука, 1973. 605 с.

57. Хе Кан Чер. О сингулярной задаче Трикоми для одного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения / Хе Кан Чер // Препринт. ИМ СО АН СССР. 1976. - 16 с.

58. Хе Кан Чер. О единственности решения задачи Трикоми для уравнения с двумя линиями вырождения / Хе Кан Чер //В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными / ИМ СО АН СССР. -Новосибирск. 1980. - С. 64 - 67.

59. Чиганова, Н.В. Задача на собственные значения для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения /Н.В. Чиганова // Изв. Вузов. Математика. 2003. - № 9. - С. 67 - 74.

60. Agmon, S. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic hyperbolic type / S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Protter // Comm. Appl. Math. - 1953. - V. 6, № 4. - P. 455 - 470.

61. Agmon, S. On solutions of linear partial differential equations of mixed type / S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Protter // Amer. J. Math., 1952. -V. 74, P. 444 - 474.

62. Gellerstedt, S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte / S. Gellerstedt. These pour le doctorat. Uppsala. 1935.

63. Hopf, E.A. A remark on linear elliptic differential equations of second order / E.A. Hopf // Proc. Amer. Math. Soc. 1952. - V. 3, P. 791 - 793.

64. Michael, J. The will-posed Tricomi problem of two kings / J. Michael // R. J. Math, and Phys. Sci. 1993. - V. 27, N 6. - P. 383-393.

65. Protter, M.H. New boundary value problems for the ware equation and equations of mixed type / M.H. Protter // J. Rat.Mech. and Anal. 1954. -V. 3, N 4. - P. 435-446.

66. Morawetz, C.S. A uniqueness theorem for the frankl problem / C.S. Morawetz // Communs pure ahd Appl. Math. -1954. V. 7, N 4. P. 697-703.

67. Morawetz, C.S. Note on maximum principle and a uniqueness theorem for on elliptic-hyperbolic equation / C.S. Morawetz // Proc. Roy. Soc. 1956. - V. 236, N 1024. P. 141-144.