Моделирование и оптимизация движений транспортных манипуляционных систем в вязкой среде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Завалищин, Дмитрий Станиславович

• Завалищин, Дмитрий Станиславович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Завалищин, Дмитрий Станиславович

Введение

Глава I. Механико-математические модели транспортных манипулящионных систем в вязкой среде

1. Среда

2. Однозвенный транспортный манипулятор

3. Многозвенный транспортный манипулятор

4. Система "мостовой кран - сферический контейнер"

5. Система "мостовой кран - цилиндрический контейнер"

Глава II. Оптимальное по расходу энергии управление движением транспортных манипуляторов в вязкой среде

1. Однозвенный транспортный манипулятор Постановка задачи

Редукция исходной задачи Решение вспомогательной задачи Решение исходной задачи ОТМ со сосредоточенными массами Задача синтеза

2. Многозвенный транспортный манипулятор Постановка задачи

Редукция задачи 2.1 и решение вспомогательной задачи Решение исходной задачи Задача синтеза

Обоснование нового представления работы управляющих воздействий

Глава III. Оптимальное по расходу энергии управление движением манипуляционных систем "мостовой кран -контейнер" для перемещения грузов в резервуарах

1. Оптимальное по расходу энергии управление движением сферического тел^в вязкой среде

Постановка задачи

Редукция задачи 1.1 и решение исходной задачи

2. Оптимальное по расходу энергии управление движением цилиндрического тела в вязкой среде

Постановка задачи

Вывод необходимых условий оптимальности Сопряжение дуг экстремалей

Вывод уравнений оптимальных движений цилиндра Анализ основного уравнения

Построение экстремальных программ перемещения цилиндра Вычислительный эксперимент Решение исходной задачи 2.1 О работах, проведенных для БАЭС

Глава IV. Алгоритмы решения задач об оптимальном управлении транспортными манипуляционными системами

1. Алгоритм решения задачи об оптимальном управлении однозвенным транспортным манипулятором Общая схема алгоритма расчета оптимальных программных управлений Особенности численной реализации алгоритма Общая схема алгоритма оптимального импульсного управления по принципу обратной связи

2. Алгоритмические вопросы решения задачи об оптимальном управлении системой "мостовой кран - цилиндрический контейнер"

Алгоритм построения фазовой траектории, соответствующей второму экстремальному решению Особенности алгоритмов вычисления корней сопутствующих трансцендентных уравнений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и оптимизация движений транспортных манипуляционных систем в вязкой среде»

Проектирование машин, предназначены^ для работы в экстремальных условиях — одно из ведущих направлений развития науки и техники на современном этапе. Круг проблем, составляющих это направление, чрезвычайно широк. Проблема разработки мобильных манипуляционных роботов (именно этому термину отдается предпочтение в книгах [1, 2]), функционирующих в среде, принадлежит к числу наиболее актуальных из них. Это обусловлено, например, потребностью в роботах для изучения и освоения водных бассейнов, для проведения в них различных технологических работ (монтаж, ремонт и обслуживание подводных установок, трубопроводов и кабелей, проведение операций по спасению, подъему и обезвреживанию и т.п.). Более отдалена, но не менее актуальна, потребность в роботах, предназначенных для работы в условиях окружающей среды типа атмосферы планеты Венера.

Проектирование конкретных мобильных манипуляционных роботов (ММР) для работы в среде является комплексной задачей. Разработка системы управления, адекватной поставленным перед ММР целям — один из центральных моментов этой задачи. Ориентация на ситуацию, в которой следует исходить из весьма ограниченной энергетики ММР, является естественной, а подчас и неизбежной. Поэтому актуально построение энергосберегающих алгоритмов управления движением ММР. На содержательном уровне создание таких алгоритмов означает: найти законы изменения управляющих сил и моментов, обеспечивающие перемещение ММР из начального положения в заданное при минимальных затратах работы. Эта задача близка к кругу задач динамической оптимизации, рассмотренных в книгах [2], [3] (в связи с исследованием энергетики подводной ходьбы), [4, 5, 6]. Согласно принятой в механике жидкости классификации такие задачи принадлежат к числу внешних задач гидродинамики [13].

ВВЕДЕНИЕ 6

Задача имеет ряд особенностей. Во-первых, она нерегулярна [7] — уравнения Эйлера - Лагранжа не содержат управляющие воздействия. Во-вторых, оптимальные программы изменения управляющих сил и моментов имеют импульсные составляющие. Поэтому классические варись ационные средства не применимы для нахождения оптимальных программ. Третья особенность вытекает из второй и состоит в проблеме подсчета энергетических затрат. Формально для этого требуется определить способ умножения импульсных управляющих воздействий на разрывные реализации скоростей звеньев ММР. Четвертая особенность касается ММР, включающих в свой состав тела с кусочно-гладкой поверхностью (например, тела цилиндрической формы). Здесь схемы, изложенные в [10, 18, 21, 14], позволяют провести редукцию исходной задачи к вспомогательной, решение которой не содержит импульсные составляющие. Однако эта задача принадлежит к числу задач негладкой оптимизации [26] и требует для своего решения специального подхода.

Следовательно, рассмотренный в данной работе круг задач является актуальным и с теоретической точки зрения — теории сингулярных [8] (особых [9], вырожденных [10]) решений задач динамической оптимизации, а также теории негладкой оптимизации.

Целью работы явилось построение моделей класса транспортных ма-нипуляционных систем (ТМС) в вязкой среде; решение задач об оптимальных по расходу энергии заданных перемещений ТМС; разработка алгоритмов и их численных реализаций; создание комплекса программ, моделирующих на ПЭВМ оптимальные движения ТМС.

Прежде чем перейти к описанию результатов, остановимся на принятом в работе подходе к проблеме. Дифференциальные уравнения движения рассматриваемых ТМС содержат гидродинамические силы и моменты, точный расчет которых возможен лишь на базе неупрощенных уравнений Навье - Стокса. Поэтому при решении поставленных задач в качестве приближения взято широко используемое в практике реше

ВВЕДЕНИЕ 7 ния прикладных задач аэро- и гидродинамики предствление [12] силы лобового сопротивления в функции скоростного напора с коэффициентом лобового сопротивления, рассчитываемым в одних случаях согласно Стоксу, а в других — Озеену (см. Приложение II). Значит, проведенное ных аппроксимаций оптимальных режимов.

Диссертация состоит из четырех глав и двух приложений. Для удобства чтения в Приложении II приведены основные понятия и положения динамики вязкой несжимаемой жидкости [22, 13].

В Главе I перечислены гидродинамические ограничения, которые делают возможным аналитическое исследование необходимых условий оптимальности. Считается, что вязкая среда несжимаема; выполнена обобщенная гипотеза Ньютона, устанавливающая дифференциальную связь между компонентами тензора напряжений и скоростями движений частиц жидкости, и при этом динамическая вязкость /л = const; движение ТМС происходит в объеме жидкости либо большой протяженности, либо заключенной внутри твердых границ; обтекание предполагается квазистационарным. При выполнении этих гипотез, величины силы лобового сопротивления и подъемной силы достаточно точно [12] рассчитываются по формулам в которых р — плотность среды, 5 — площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную вектору V , Со — коэффициент лобового со емной силе. В рамках перечисленных гипотез для осесимметрических тел коэффициент С в является функцией только формы тела, числа Рейнольдса и возможно угла атаки между вектором скорости перемещения центра инерции тела и его осью симметрии [13]. В дополнение к принятым ограничениям предполагается (гипотеза 1.5), что оптимальные законы соответствуют числам Рейнольдса, для которых коэффициенты

D = CdPSV2/2 , Dl = ClDpSV2/ 2 ,

B.l) противления, гидродинамический коэффициент ClD соответствует подъ

ВВЕДЕНИЕ 8 лобового сопротивления являются однородной функцией степени тс числа Рейнольдса. Тогда силы лобового сопротивления будут однородными функциями степени тс + 2 скорости центра инерции тела. Для тел сферической или цилиндрической формы последнее имеет место в случае достаточно малых чисел Рейнольдса и в случае достаточно больших чисел Рейнольдса, когда коэффициент лобового сопротивления практически не зависит от числа Рейнольдса (таким интервалом является достаточно протяженная левая полуокрестность числа "Яе = 5 ■ 105 ).

В главе представлены модели ТМС типа однозвенного и многозвенного транспортных манипуляторов (ТМ), а также систем типа "мостовой кран - сферический (или цилиндрический) контейнер" для перемещения грузов в резервуарах. Считается, что ТМС состоят из последовательно соединенных при помощи цилиндрических шарниров осесимметрических звеньев. Шарниры располагаются в центрах масс звеньев и их оси параллельны друг другу, оси звеньев находятся в одной плоскости — плоскости ТМС. Однозвенный транспортный манипулятор (ОТМ) статически уравновешен (за счет изменяемой длины его выдвижной части) и его часть — противовес находится в корпусе носителя. Предполагается, что в шарнирах ТМС действуют создаваемые внутренними усилиями управляющие моменты. Движение носителя осуществляется при помощи действующей в плоскости ТМС силы. Звенья ТМС (за исключением носителя системы "мостовой кран - контейнер") находятся в среде. Поэтому помимо управляющих воздействий и сил тяжести на находящиеся в среде звенья действуют также силы Архимеда и гидродинамические силы. Последние могут быть приведены к силам В -\-Dl, приложенным центрам масс звеньев, и моментам М. При этом силы лобового сопротивления И и подъемные силы В1 действуют в плоскости ТМС, а моменты М ей перпендикулярны. Этоти моменты обусловлены несовпадением в общем случае центров давления гидродинамических сил с центрами масс звеньев. Описанной физической модели ТМС соответствует эквивалентная плос

ВВЕДЕНИЕ 9 кая механическая система точечных масс, последовательно соединенных бесконечно тонкими абсолютно жесткими стержнями. Перечисленные выше силы приложены к этим точечным массам. Дифференциальные уравнения движения ТМС получены в форме уравнений Лагранжа 2-го рода для эквивалентной системы точечных масс. Литература по робототехнике содержит достаточно полное описание приводов различного типа, создающих угловые управляющие моменты. В работе рассмотрены два типа приводов. Первый из них реализует угловой момент II, имееющий природу момента, создаваемого парой сил. Этому, например, соответствует случай, когда момент II создается электродвигателем со статором на одном звене и ротором, жестко связанным с соседним звеном. Во втором случае угловой момент II создается посредством выходного штока переменной длины с фиксированным шарнирным закреплением на предыдущем звене. Для ОТМ установлено, что форма обобщенной силы (¿^ (Я(р — угловая координата манипулятора) является инвариантной по отношению к способу реализации углового момента манипулятора.

Таким образом, в главе, во-первых, выведены формулы для составляющих обобщенных сил, соответствующих действующим на звенья ТМС и цилиндрический контейнер подъемным силам и, во-вторых, установлена инвариантность формы обобщенных сил, соответствующих обобщенным угловым координатам, по отношению к способам реализации приложенных к звеньям ТМС моментов.

В следующих двух главах исследуются задачи энергетической оптимизации перемещений ТМС в вязкой среде. В начале введения были перечислены четыре особенности таких задач. Третья из них состоит в проблеме подсчета энергетических затрат. Формально для ее решения надо определить корректный с точки зрения теории обобщенных функций способ умножения разрывных функций на импульсные. Однако в работе выбран другой подход. Именно с использованием схем [10, 14] исходные задачи редуцируется к вспомогательным, имеющим структуру классических

ВВЕДЕНИЕ 10 задач динамической оптимизации. Такой подход соответствует строгой математической формализации указанных нелинейных операций над обобщенными функциями [14]. Редукция опирается на то, что, во-первых, движение ТМС происходит в потенциальном поле силы тяжести. Во-3 вторых, часть работы расходуется на изменение кинетической энергии ТМС. Поскольку граничные условия заданы, варируемая часть работы — это энергетические затраты на преодоление сил сопротивления. Вычисление мощности, соответствующей этим затратам, приводит к вспомогательной задаче минимизации таких затрат при ограничениях в виде дифференциальных уравнений, состоящих из кинематических связей ТМС и уравнения для энергетических затрат на преодоление сил сопротивления. Так построенная вспомогательная задача по форме принадлежит к числу задач классического вариационного исчисления. И так оно и есть в тех случаях, когда ТМС состоит из твердых тел с гладкой поверхностью. Если в состав ТМС входят тела с кусочно гладкой поверхностью (например, цилиндрические тела), то в фазовом пространстве обобщенных координат и скоростей исходной задачи могут появляться многообразия, на которых проекция этих тел на плоскость, перпендикулярную вектору скорости их центра масс, а, следовательно, и гамильтониан теряет свойство дифференцируемости.

Общий итог проведенных исследований можно сформулировать так. На оптимальных перемещениях ТМС мощность сохраняет постоянное значение. Если на оптимальной фазовой траектории мощность дифференцируема по обобщенным скоростям звеньев ТМС, то ее градиент по ним также сохраняет постоянное значение.

Более подробно, для многозвенного транспортного манипулятора (раздел 2 Главы II) выражение для мощности имеет вид

У = <гт(С(д, д)П + М), У (г) = Уг . (В.2)

Здесь И = (Д), Дь • ■., Аг)Т ? А), Дь • • • 5 Dn — величины сил лобового сопротивления, приложенные к центрам инерции звеньев Оо , 0\,., Оп

ВВЕДЕНИЕ

11 соответственно, М = (О, ., Мп) , М\,., Мп — величины моментов, действующих на звенья МТМ гидродинамических сил относительно их центров инерции, С(д, д) — некоторая (п + 1) х (п + 1) матрица, q = а, q(r) = qT . О

В.З)

В качестве нового управления выбирается а и ставится вспомогательная задача 2.2.

Задача 2.2. Решить задачу динамической оптимизации Y(tp) min при динамических связях (В.2), (В.З) и краевых условиях q(tp) = qp .

Если звенья МТМ имеют гладкую поверхность, то применение вариационной процедуры Эйлера - Лагранжа дает уравнение

- dL dVda'~~ dq

B.4) которое совместно с уравнением (В.З) описывает оптимальное движение МТМ в промежуточные моменты I (т < t < tp) . Задача 2.2 требует приведение МТМ в заданное состояние, что возможно только лишь за счет выбора начальных скоростей сг,-(г + 0) = сг®(ят,т) , г = 0, вообще говоря, отличных от достигнутых к моменту т. Система (В.4) имеет два первых интеграла дУ/ду = Си у - ^ = Сз

Константы С\, С'з должны подбираться из условия решения граничной задачи. В предположении гипотезы 1.5 о среде получено утверждение.

Теорема 2.1. На оптимальных перемещениях многозвенного транспортного манипулятора мощность У и ее производная по скорости движения носителя сохраняют постоянные значения.

После прохождения управляющего импульсного воздействия в момент г при отсутствии возмущений фазовое изображение МТМ движется по многообразию, описываемому уравнениями a = a\q,t), <т° = (а°0,. ,

В.5)

ВВЕДЕНИЕ 12

Согласно принятой терминологии такое многообразие называется сингулярным [7], (особым [8]).

Итак, установлено, что программы оптимальных переходов имеют двухимпульсную структуру. Цель начального импульсного воздействия о сбросить фазовое изображение МТМ на особое многообразие, а конечного — придать элементам МТМ заданные динамические показатели. В результате исходная задача сведена к двухточечной граничной задаче. Такая задача решается численно обычно так называемым методом стрельбы [15].'

В условиях неопределенных флуктуаций среды, управляющие воздействия входят в уравнения движения МТМ с помехами. Возникает задача о построении позиционного алгоритма управления МТМ, который обладал бы свойством: с любого момента исчезновешхя возмущений алгоритм обеспечивает оптимальное по отношению к сложившейся позиции завершение процесса управления. В качестве такого алгоритма в работе используется позиционная процедура импульсной коррекции, в результате которой осуществляется сброс фазового изображения МТМ на особую поверхность (В.5). С уменьшением времени между последовательными коррекциями фазовая точка все чаще начинает попадать на многообразие (В.5). В результате в процесс управляемого движения МТМ вносится эффект типа скольжения вдоль особой поверхности. Спрашивается, будет ли с увеличением частоты коррекции фазовая траектория МТМ стремиться к траектории, соответствующей так называемому идеальному скольжению [18]. Такое скольжение описывается исходной возмущенной системой с управлением, превращающим многообразие (В.5) в интегральное. Так как эта система совпадает с системой оптимальных движений (В.З), (В.4), то, положительный ответ на поставленный вопрос позволил бы сделать вывод о том, что процедура импульсной коррекции с неограниченно возрастающей частотой обеспечивает оптимальное поведение МТМ при любых возмущениях 811¿(£) (г = 1,. ,п), , 0 < t < tp, и, ъ

ВВЕДЕНИЕ 13 частности, она решает задачу синтеза. Так оно и есть, поскольку уравнения движения МТМ и особая поверхность (В.5), удовлетворяют условиям теоремы 2.2 из книги [18]. Задача об оптимальном перемещении однозвенного транспортного манипулятора (раздел 1 Главы II) формулируется и исследуется аналогично. Поэтому можно ограничиться указанием лишь дополнительных фактов, обязанных небольшой размерности фазового пространства, равной четырем, и тому, что рассмотрение ведется для случая малых чисел Рей-нольдса, т.е. в приближении Стокса. Система дифференциальных уравнений, описывающая оптимальное движение ОТМ в промежуточные моменты процесса управления допускает три интеграла, которые позволяют вычислить начальные условия и выписать непрерывные составляющие оптимальных управлений в функции текущего значения угла поворота манипулятора ip(t). Сама же программа оптимального изменения угла <p(t) — решение задачи Коши ф = о;0 (ВД/ДЫ)1/2, <р(т) = <рт . (В.б)

Для ее решения можно воспользоваться таблицами для эллиптических интегралов. Особая поверхность задается уравнениями

Рр tp-t)p-(R(<p))1/*f(X(<p))-1/*d<p = О, tp-^t)x—xp+x — ni2/nu(tp — t)(pc0s (p + ni2/nii(sin(pp — sin(p)=0. где приняты обозначения: пц = b(an22)~1nf2 , Щ2 — al/ cos j3 , П22 — at2 .

В третьей главе ставятся и решаются две задачи об оптимальных по расходу энергии на преодоление силы лобового сопротивления перемещениях транспортных манипуляционных систем типа "мостовой кран - сферический (или цилиндрический) контейнер", описанных в Главе I. Остановимся на случае цилиндрического контейнера. Показано, что исследуемая задача может быть редуцирована к задаче минимизации работы силы лобового сопротивления лишь с учетом кинематических соотноше

ВВЕДЕНИЕ

14 ний, описывающих движение цилиндрического тела. Начальное и конечное положение цилиндра вертикальное, время и расстояние перемещения заданы. Сила лобового сопротивления рассчитывается по формуле (В.1), в которой V —1 скорость центра масс цилиндра, 5 — площадь проек-■си ции цилиндра на плоскость, перпендикулярную вектору V . Вычислив площадь 5(а), можно получить выражение для силы лобового сопротивления и мощности

У = Св{а) рУ2(Ъ\р\ + а|д|)/2 , У2 = V2 - 2ь1ш соз <р + , (В.7) где Ъ = 2Ы , 21 и й — длина и диаметр цилиндра соответственно, а

Здесь £ — горизонтальная координата точки захвата, а <р — угол между вертикалью и осью цилиндра.

Задача 2.2. Найти функции у^) , и>({), минимизирующие функционал Упри ограничениях (В.7), (В.8) и граничных условиях £(£&) = £а , = 0 . Угол атаки подсчитывается по формуле а = — атсЬдр/д .

Задача имеет две особенности. Во-первых, оптимальный процесс обладает свойством симметрии относительно момента времени ¿¿/2 и расстояния перемещения £¿/2. Поэтому достаточно решить эту задачу для граничного условия £(£¿/2) = £*/2, оставляя ориентацию цилиндра в момент времени свободной. Во-вторых, в силу отсутствия ограничений на величину управлений задача относится к числу задач классического вариационного исчисления. Но формальной попытке составить уравнения Эйлера - Лагранжа препятствует то, что мощность, а отсюда и гамильтониан не дифференцируемы в ситуации, когда или р — 0 , или д = 0. Указанное противоречие заставляет предусмотреть участок [¿х, ¿2] оптимального процесса, до которого д = 0 , а после р = 0 .

Теорема 2.1. На оптимальном перемещении цилиндра мощность не изменяет своего значения. Производная мощности по скорости точки за

В.8)

ВВЕДЕНИЕ

15 хвата вне интервалов движения, во время которых р = v cos ip — lu = 0 , также сохраняет постоянное значение.

Условия сопряжения экстремальных дуг дают возможность выписать выражения для двух углов <ppi и <рр2 , нй, одном из которых возможен сход цилиндра в режим движения, в течение которого р = 0 . Такой режим назван скольжением, т.к. в ходе него цилиндр движется с нулевым углом атаки. Скольжение описывается системой (В.8) при условии, что мощность постоянна и р = 0 . Такая система интегрируется до конца, при этом р = arceos e~v4ll , f (f) = V* t + / ln(l + y/l - e"2™/*) .

Если скольжение наступает с момента t = О , то Vo = 21/tk lnc/í(£¿/2Z) . Именно с такой по величине скоростью движется в скольжении центр инерции цилиндра. Установлено, что помимо этой экстремали, называемой третьей, есть еще две. Первая из них соответствует движению цилиндра с сохранением вертикальной ориентации и с постоянной скоростью точки захвата. Уравнения движения в соответствии со второй экстремалью приведены к виду, удобному для организации вычислительного процесса для нахождения текущих оптимальных значений скоростей v и ш , а именно = у!?7

0 = Г1у.™( i-v)

Sin (р Sin ip

V = с21/3 C¿1/3 N~1/z Г~1/3 (р/2)"1/3 .

B.9) (B.10)

7 = s(pm + <т arccos T , s — sp sq , sq = sgn q , sp = sgnp , (B.ll) o-(7) =

-1 , 0 ^ 7 < (pm , 7г/2 ^7 <7Г-(рт

1 J Vm < 7 < тг/2 » 7Г - (pm ^ J < 7Г cr(7 - 7г) , 7Г/2 < 7 ^ 27Г ,

В.12)

ВВЕДЕНИЕ

16

2Т2+1)соз(<р-з<рт)+2(тТ(1-Т2)1/28т((р-з(рт)-Ззр11Т2^ =

В.13)

В.14)

Здесь угол атаки а = 7 — 7г/2 , определяется соотношениями Ь = N соз(рт , а = N зпкрт , & С2 — тт А — минимальная мощность, находимая из условия: захват цилиндра в момент ^/2 должен находиться на расстоянии £¿/2 . В [13] приведены данные по коэффициентам лобового сопротивления цилиндров с образующими либо перпендикулярными, либо параллельными потоку. Эта информация положена в основу интерполирования коэффициента лобового сопротивления цилиндра по двум переменным — относительному удлинению и углу атаки. Для интерполирования по относительному удлинению были использованы интерполяционные полиномы Лагранжа. Особенность системы (В.9)-(В.13) заключается в том, что ее правые части определены неявным образом. Предварительный теоретический анализ позволил установить интервалы знакопостоянства параметров , и о . Оказывается, что зр = = 1, о — —1 для ф < (рр и <7 =1 для (р > (рр , где (рр — зависящий от относительного удлинения цилиндра г корень некоторого трансцендентного уравнения. Кроме этого, установлено существование двух универсальных констант щ и ср\, доторые позволили классифицировать и описать структуру второй экстремали. Если (рт < щ , то сход в режим скольжения происходит по достижению угла <рр2 и при этом срр2 > <рр . В противном случае это происходит на углу <рр 1. Для (рт < угол Фр1 < ? в противном случае угол (рр\ > срр . Полученная информация о структуре системы (В.9)-(В.13), являясь полезной, не снимает проблему интегрирования, связанную с неявным заданием правых ее частей. Это затруднение преодолевается введением для угла 7 запаздывания по времени и вычислительный процесс осуществляется по следующей схеме. Пусть в момент t = заданы углы и 7(^-1). Тогда можно

ВВЕДЕНИЕ 17 последовательно найти угол атаки = 7(^-1) — тг/2 , коэффициент лобового сопротивления Сх>(г, — «(£,)), коэффициент Я, корень уравнения (В.13). Затем по формуле (В.11)-(В.12) подсчитывается угол 7(^г), а по формуле (В, 10) — скорость перемещения центра масс У(Ъ). Эта информация позволяет определить правые части системы (В.9) в момент ti. После этого по формуле метода Рунге-Кутта находятся обобщенные координаты цилиндра £(¿¿+1), ^(^+1) Б следующий момент I = . Очевидно, что описанная процедура опирается на предположение о том, что система обладает свойством технической устойчивости по отношению к введенному запаздыванию. При интегрировании системы (В.9)-(В.14) необходимо на каждом шаге решать уравнение (В.13). Главная особенность этого уравнения состоит в неединственности его решений. Поэтому разработана процедура, которая обеспечивает удержание на выбранной ветви решений уравнения (В.13) и в случае исчезновения этой ветви переходить на другую ветвь. Процедура, в отличие от метода деления отрезка пополам [25], предусматривает на каждом шаге сужения интервала неопределенности не один дополнительный эксперимент при наличии уже двух проведенных, а два симметричных при наличии одного проведенного.

Установлено, что если относительное удлинение цилиндра превосходит величину (Ь/й)* = 1.112350., то оптимальным является его движение в режиме скольжения. Если относительное удлинение цилиндра не превосходит величину (Ь[д)*, то в случае, когда дальность перемещения не превышает некоторого критического значения, оптимальным является третье экстремальное решение. В противном случае оптимальным становится первое экстремальное решение. Первое экстремальное решение предусматривает начальный скачок скорости и, следовательно, импульсное воздействие на цилиндр в начальный момент времени. Третье экстремальное решение предусматривает скачок угловой скорости вращения цилиндра по достижению середины дистанции перемещения и, значит, со

ВВЕДЕНИЕ 18 ответствующий импульсный управляющий момент. В начальный и конечный момент угловая скорость цилиндра и скорость перемещения захвата неограничены, в то время как скорость его центра масс конечна.

На наш взгляд, приведенные выводы, основанные на вычислительном эксперименте, нуждаются в следующем комментарии. Вряд ли можно рассчитывать, что известные значения коэффициентов лобового сопротивления, определены с точностью, превышающей 1%. Поэтому точность результатов вычислительного эксперимента не может превышать указанную. Как следствие, например, для цилиндра с относительным удлинением г = 1.43766 при пробеге в 400 см в качестве оптимальной может быть выбрана как вторая, так и третья экстремаль.

Исходная задача решается как обратная задача динамики. Действительно, информация об оптимальных управлениях в задаче 2.2 является по сути дела информацией об оптимальных фазовых траекториях в исходной задаче 2.1. Ее учет в уравнениях движения цилиндра, разрешенных относительно управлений, дает выражения для оптимального момента, приложенного к цилиндру, и оптимальной силы, приложенной к его захвату.

Поскольку оптимальное движение цилиндра может осуществляется либо с сохранением вертикальной ориентации и с постоянной скоростью, либо в режиме скольжения, то в режиме оптимального движения на цилиндр со стороны среды действует лишь сила лобового сопротивления, а подъемная сила равна нулю. При этом, если в первом случае лобовое сопротивление входит в оптимальные силу и момент, то во втором случае оно участвует только в силе. Чтобы цилиндр мгновенно начал двигаться и при этом сохранил исходную ориентацию, к нему необходимо применить импульсные силу и момент. Третья экстремальная программа предусматривает скачок угловой скорости цилиндра в момент t = tk/2 . Для реализации этого скачка программы оптимальных воздействий должны иметь импульсные составляющие.

ВВЕДЕНИЕ 19

Описанные результаты обобщают исследования, проведенные в рамках хозяйственного договора N АЭ 04/93 Уральский политехнический институт — Белоярская АЭС [11]. Цель договора состояла в выработке и обосновании предложений по оптимизации рабочих режимов мостового о. крана, предназначенного для перемещения цилиндрических чехлов с отработанными тепловыделяющими сборками в бассейне выдержки БВ-3 атомной станции с энергоблоком БН-600. Разработанный комплекс программ в мультимедийном варианте применяется для исследовательских и учебных целей. Основные результаты могут быть использованы в ходе научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ по созданию перспективных образцов новой техники.

Автор выражает благодарность за внимание к исследованиям в данном направлении академику РАН Ф.Л. Черноусько и ценные советы профессорам H.H. Болотнику и Е.Л. Тонкову.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Завалищин, Дмитрий Станиславович

Заключение

Таким образом, в ходе проведенного исследования получены следующие основные результаты:

1) установлено, что в рамках принятых ограничений, мощность и ее производная по скорости движения носителя ТМС на оптимальных перемещениях постоянны;

2) построены двухточечные граничные задачи, которые с учетом двух найденных интегралов дифференциальной системы оптимальных движений позволяют численно моделировать особые многообразия — источника для расчета оптимальных программных управлений и импульсных позиционных процедур, решающих задачу синтеза в условиях неопределенных возмущений среды;

3) разработан комплекс программ, моделирующих оптимальные движения рассмотренных ТМС.

Разработанный комплекс программ в мультимедийном варианте является полезным для учебных и рекламных целей.

Представленные результаты могут быть эффективно использованы в ходе научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ по созданию перспективных образцов новой техники.

Список сокращений и обозначений отм мтм тм мс тмс а 5

В В1

Я, и

А дТ т

6т

А IV однозвенный транспортный манипулятор многозвенной транспортный манипулятор однозвенный (или многозвенный) транспортный манипулятор манипуляционная система "мостовой кран - сферический (или цилиндрический) контейнер" транспортная манипуляционная система (ТМ и угол атаки площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную вектору скорости V его центра инерции сила лобового сопротивления подъемная сила обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате д управляющая сила управляющий момент оператор обобщенного дифференцирования производная Фреше символ операции транспонирования импульс Дирака в момент т работа гидродинамических сил работа управляющих сил

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Завалищин, Дмитрий Станиславович, 1999 год

1. Попов E.H., Верещагин А.Ф., Зенкевич С. Л. Манипуляционные роботы^ динамика и алгоритмы. М.: Наука, 1978, 400 с.- -О

2. Черноусько Ф.Л., Болотник H.H., Градецкий В.Г. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация. М.: Наука, 1989 368 с.

3. Белецкий В.В. Двуногая ходьба. М.: Наука, 1984, 288 с.

4. Ястребов B.C. Телеуправляемые подводные аппараты (с манипуляторами). Судостроение, 1973, 199 с.

5. Охоцимский Д.Е., Платонов А.К., Лапшин В.В. Энергетика движения шестиногого шагающего аппарата // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1976. N 5. С. 42-47.

6. Аветисян В.В., Акуленко Л.Д., Болотник H.H. Оптимизация режимов управления манипуляционными роботами с учетом энергозатрат // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1987. N3. С. 100107.

7. Красовский H.H. Теория оптимальных управляемых систем // Механика в СССР за 50 лет. Т. 1. М.: Наука, 1968.

8. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.

9. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М. Наука, 1973.

10. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Hay ка, 1985.

11. Завалищин Д. С. Вопросы технической реализации оптимальных по расходу энергии перемещений чехлов в бассейне выдержки атомной станции // Вестник УГТУ УПИ. Екатеринбург. 1995. С. 57-60.

12. Седов JIM. Механика сплошной среды. Т.1. М.: йЬука, 1973. 536 с.

13. Дейли Дою., Харлеман Д. Механика жидкости. М.: Энергия, 1971. 480 с.

14. Zavalishchin S.T. and Sesekin A.N. Dynamic Impulse Systems. Theory and Applications. The Netherlands. Kluwer Academic Publishers, 1997. 268 p.

15. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1973. 632 с.

16. Завалищин Д. С. Энергосберегающие алгоритмы перемещения транспортного манипулятора в вязкой среде // Известия АН. Теория и системы управления. 1995. N 2. С. 169-174.

17. Завалищин Д.С., Завалищин С. Т. Оптимальное по расходу энергии управление движением цилиндрического тела в вязкой среде //ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 5. С. 721-730.

18. Завалищин С. Т., Суханов В.И. Прикладные задачи синтеза и проектирования управляющих алгоритмов. М.: Наука, 1985. 144 с.

19. Шилов Г.Е. Математический анализ. М.: Наука, 1965.

20. Голубева О.В. Теоретическая механика. М.: Высш. шк., 1968.

21. Завалищин С. Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы: модели и приложения. М.: Наука, 1991.

22. Слезкин H.A. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: ГИТТЛ, 1955. 520 с.

23. Аппазов Р.Ф., Лавров С. С., Мишин В.П. Баллистика управляемых ракет дальнего действия. М.: Наука, 1966. 308 с.

24. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1968. 720 с.о .-.—

25. Моисеев H.H., Иванилов Ю.П., Столярова E.H. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978. 352 с.

26. Батухтин В.Д., Майборода Л.А. Оптимизация разрывных функций. М.: Наука, 1984.

27. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962.