Перенос тепла в сильнонеравновесных течениях реагирующей смеси газов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Мехоношина, Мария Андреевна

• Мехоношина, Мария Андреевна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Мехоношина, Мария Андреевна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. Алгоритмы расчета коэффициентов переноса в различных приближениях

1.1. Кинетические уравнения для функции распределения

1.1.1. Внутренняя энергия и удельная теплоемкость

1.2. Уравнения неравновесного течения реагирующей смеси газов в однотемпе-ратурном приближении

1.2.1. Характерные времена релаксации

1.2.2. Система уравнений для макропараметров

1.2.3. Нулевое приближение

1.2.4. Первое приближение

1.2.5. Коэффициенты переноса

1.2.6. Расчет интегральных скобок в однотемпературном приближении

1.3. Уравнения неравновесного течения смесей с колебательной релаксацией и химическими реакциями в поуровневом приближении

1.3.1. Характерные времена релаксации

1.3.2. Система уравнений для макропараметров

1.3.3. Нулевое приближение

1.3.4. Первое приближение

1.3.5. Коэффициенты переноса

1.3.6. Расчет интегральных скобок в поуровневом приближении

1.4. Вычисление - интегралов

1.5. Оценка эффективных диаметров возбужденных атомов

1.6. Выводы главы 1

2. Процессы переноса в однотемпературном приближении

2.1. Коэффициент теплопроводности. Поправка Эйкена

2.1.1. Формула Эйкена для коэффициента теплопроводности

2.1.2. Сравнение с экспериментом при низких температурах

2.1.3. Сравнение точной и упрощенных моделей при высоких температурах

2.2. Релаксационное давление

2.2.1. Расчет интеграла от сечений реакции диссоциации

2.2.2. Вклад релаксационного давления в тензор напряжений

2.3. Диффузия и поток тепла за фронтом ударной волны

2.3.1. Однотемпературное описание диффузии и потока тепла

2.3.2. Числовая плотность, температура

2.3.3. Скорости диффузии

2.3.4. Поток тепла

2.4. Выводы главы 2

3. Процессы переноса в поуровневом приближении

3.1. Поуровневое описание диффузии и потока тепла в бинарной смеси

3.2. Уравнения поуровневой кинетики за ударной волной

3.3. Скорости диффузии

3.4. Поток тепла

3.5. Вклады различных процессов

3.6. Выводы главы 3

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Перенос тепла в сильнонеравновесных течениях реагирующей смеси газов»

ВВЕДЕНИЕ

1. Современное состояние проблемы

Прогнозирование газодинамических параметров потока и массо- и теп-лопсреноса при входе тел в атмосферу Земли — важная проблема современной физической газовой динамики, которая широко обсуждается в литературе. Для предсказания поведения макропараметров в неравновесных условиях необходимо записать, замкнуть и решить соответствующую систему уравнений газодинамики. В зависимости от соотношения характерных времен физико-химических процессов, происходящих в смеси газов, система уравнений может содержать различные релаксационные уравнения, описывающие переход к термодинамическому равновесию; данные уравнения включают потоковые и источниковые члены и набор неизвестных кинетических коэффициентов (коэффициенты переноса и скорости медленных процессов). Кинетическая теория позволяет получить замкнутые системы уравнений и разработать алгоритмы для вычисления кинетических коэффициентов, если известны параметры взаимодействия молекул.

В 1867 году Дж. Максвелл вывел уравнения газодинамики из микроскопических представлений [97]. Л. Больцман показал, что уравнения газодинамики следуют из кинетических уравнений для функции распределения молекул газа по скоростям [56]. Для слабонеравновесного газа без внутренних степеней свободы и без учета химических реакций С. Чепмен и Д. Энског предложили метод замыкания системы уравнений переноса [45,69,73].

Позднее, метод Энскога-Чепмена для расчета коэффициентов переноса был обобщен для газов с внутренними степенями свободы на основе квантово-механического [6,113,114], классического [110] и полуклассического [115,116] подходов для слабонеравновесных газов. Для смесей газов с внутренними степенями свободы эффективные алгоритмы для расчета коэффициентов переноса были предложены Е. Мэзоном и Л. Мончиком [95,96], вычислению коэффициентов переноса были посвящены работы [46,79,98,103]. В работах [3-5] был обобщен метод Энскога-Чепмена для реагирующих смесей газов с химическими реакциями в условиях слабого отклонения от равновесия. Сильные отклонения от равновесия для газов с химическими реакциями бы-

ли рассмотрены в работах [1,7-13,19-23,25,28,34-36,38-40,43,47].

В зависимости от иерархии характерных времен релаксации определяется подход для описания динамики течения и расчета коэффициентов переноса. Однотемпературный алгоритм для вычисления коэффициентов переноса в газах с медленными химическими реакциями представлен в [1,74], многотемпературный подход кинетической теории предложен в [23,30,32-34,71,90,106] и использован для изучения кинетики и процессов переноса в ударно-нагретых воздушных потоках в [72, 102] и в расширяющихся сверхзвуковых течениях [58,72,89,104]. Поуровневый подход разработан в [92] и применялся для моделирования кинетики различных потоков [29. 35, 36. 41, 49, 52-54, 62, 64, 65, 89. 91. 93]. Были выявлены характерные особенности колебательно-химической кинетики ряда неравновесных течений. Однако систематических исследований процессов переноса в поуров-невом приближении до настоящего времени не проводилось. Одна из задач настоящей диссертации состоит в восполнении этого пробела.

Рассмотрим подробнее методы учета внутренних степеней свободы при расчете коэффициентов переноса. Первой попыткой учета возбуждения внутренних степеней свободы при расчете коэффициента теплопроводности стала феноменологическая поправка Е. Эйкена [75]. Позднее строгий алгоритм кинетической теории для расчета коэффициентов переноса был разработан для слабонеравновесных смесей газов. Обобщение формулы Эйкена на основе точной кинетической теории было предложено в [76,80] для термически равновесных газов. Поправка Эйкена для локально равновесных ионизованных смесей газов подробно обсуждается в [66]. Для колебательно неравновесных потоков коэффициент теплопроводности был получен сначала для модели гармонического осциллятора [23, 106], а позднее для ангармонического осциллятора [30,32,90]. В работе [90] предложено обобщение фактора Эйкена для случая составного колебательного распределения Тринора-Гордиеца [16]. Большинство упомянутых модификаций поправки Эйкена относятся только к молекулам с возбужденными вращательными и колебательными степенями свободы, а электронным возбуждением пренебрегают. К исключениям относится работа Гиршфельдера [80], где он показал, что метастабильные состояния не могут быть описаны на основе формулы Эйкена, так как обладают аномально большим диаметром столкновений. Однако, систематических оце-

нок вклада электронных состояний в коэффициенты переноса не было в литературе до начала 2000х, когда вновь возник интерес к электронному возбуждению. Было показано, что для высокотемпературных потоков электронное возбуждение играет большую роль в переносе тепла [59,60,66,82,83,88,108]. Алгоритм для вычисления коэффициентов переноса в газах с электронным возбуждением разработан в [59,66], но время расчетов оказывается очень большим, особенно если учитываются все необходимые возбужденные уровни. Поэтому аналог простой формулы Эйкена для газов с электронным возбуждением был бы очень полезен для упрощения и ускорения расчетов.

Важной особенностью газов с внутренними степенями свободы является наличие в них объемной вязкости и, в случае протекания в газе медленных процессов, релаксационного давления. Объемная вязкость в газах без электронного возбуждения широко обсуждалась в литературе [12,21,37,39,46,74]. Интересные особенности объемной вязкости в случае электронного возбуждения атомов обнаружены в [17,18,81]. Однако релаксационное давление до настоящего времени остается практически неизученным. Некоторые частные случаи были рассмотрены в [12,25,58]; в этих работах электронное возбуждение не учитывалось. В настоящей работе впервые проведен расчет релаксационного давления в газах с электронными степенями свободы в широком диапазоне условий.

Данные о коэффициентах переноса в различных условиях необходимы для определения тепловой нагрузки и сопротивления летательных аппаратов, а также для других прикладных задач физической газодинамики. В сильнонеравновесных условиях перенос тепла и массы определяется многими факторами. Особенности диффузии и теплопередачи в высокотемпературных реагирующих смесях можно объяснить на основе анализа сильнонеравновесных колебательных распределений в ударно-нагретых газах при различных начальных условиях. Поуровневая колебательно-химическая кинетика в таких потоках широко изучена [29,49,85], но это не относится к явлениям переноса. В настоящей работе мы проанализируем потоки диффузии, а также вклад теплопроводности, массовой диффузии, термодиффузии и диффузии за счет колебательной энергии в полный поток тепла в смесях Л^/Л7" и О2/О.

Помимо метода Энскога-Чепмена для исследования неравновесных течений применяются и другие методы: метод моментов Трэда [78] и его обо-

щения для газов с внутренними степенями свободы и ионизацией [20,21]; решение модельных уравнений [25,55]; численные решения уравнения Больц-мана [50,51,68]; методы прямого численного моделирования [2,57,77].

В настоящей диссертации исследуются процессы переноса методом Энскога-Чепмена в молекулярных газах с колебательными, вращательными и электронными степенями свободы и в атомарных газах с электронным возбуждением. Учитываются все виды обменов внутренней энергией, обменные реакции и реакции диссоциации. Ионизация в данной работе не учитывается; предполагается учесть ионизацию в дальнейших исследованиях.

2. Общая характеристика и структура работы

Актуальность темы диссертации связана с необходимостью определения сопротивления и тепловой нагрузки на поверхности летательных аппаратов в сверх- и гиперзвуковых потоках, а также при входе спускаемых аппаратов в атмосферы планет. Изучение процессов переноса в высокотемпературных газах требуется для создания эффективной тепловой защиты космических аппаратов; описания процессов в ударных трубах, в рабочей части гиперзвуковых аэродинамических установок; использования в плазменно-химических технологиях. Поскольку при высоких скоростях и температурах экспериментальное определение транспортных свойств газа реализовать практически не удается, встает вопрос о корректном теоретическом моделировании диссипативных процессов в неравновесных условиях. Применение для этой цели хорошо апробированного аппарата кинетической теории представляется наиболее оптимальным. Кинетическая теория позволяет построить замкнутое описание течения и найти коэффициенты переноса при различных отклонениях от равновесия. Построение точных замкнутых моделей неравновесных высокотемпературных течений газов с внутренними степенями свободы является одной из главных задач данной работы.

Алгоритмы расчета коэффициентов переноса, построенные методами кинетической теории, являются наиболее корректными. Однако их применение на практике часто затруднено из-за серьезных вычислительных затрат, необходимых для решения линейных транспортных систем. В связи с этим возникает необходимость разработки упрощенных моделей, имеющих хорошую точность и пригодных для инженерных приложений. Именно та-

кой моделью является известная поправка Эйкена для расчета коэффициента теплопроводности газов с внутренними степенями свободы. Предложенная в 1913 году, она до сих пор широко используется для расчета коэффициента теплопроводности при низких температурах. Обобщение модели Эйкена на случай высокотемпературного газа с электронным возбуждением и проверка достоверности построенного обобщения является актуальной задачей теории процессов переноса и имеет большую практическую значимость.

Применение точных и приближенных моделей расчета коэффициентов переноса для исследования особенностей тепломассопереноса за сильными ударными волнами является важной фундаментальной задачей, поскольку дает возможность понять, как влияют физико-химические процессы и неравновесные распределения молекул по внутренней энергии на диффузию и тепловые потоки в ударно-нагретом газе. Анализ вклада различных диссипатив-ных процессов в перенос энергии позволит предсказывать тепловые потоки и в других неравновесных ситуациях, если известны основные механизмы релаксации.

Цель работы:

1. Изучение процессов переноса в неравновесной смеси газов с учетом внутренних степеней свободы и химических реакций в однотемператур-ном и поуровневом приближениях.

2. Исследование коэффициентов переноса на основе точного кинетического подхода. Модификация формулы Эйкена для коэффициента теплопроводности в газах с учетом электронного возбуждения атомов и молекул.

3. Оценка влияния размера электронно возбужденных атомов на интегралы столкновений и процессы переноса. Установление пределов применимости приближенных моделей расчета коэффициентов теплопроводности при учете электронного возбуждения.

4. Изучение переноса массы и энергии в неравновесных течениях за сильными ударными волнами. Сравнение результатов, полученных при поуровневом и однотемпературном описании течений воздуха за ударными волнами. Оценка влияния неравновесности, химических реакций и

условий в набегающем потоке на потоки диффузии и поток тепла за фронтом ударной волны.

Достоверность результатов обеспечена

- применением строгих подходов кинетической теории газов, детально разработанной в литературных источниках;

- хорошим согласованием результатов расчета коэффициентов переноса с экспериментальными данными, доступными для ограниченного диапазона условий;

- использованием современных проверенных аппроксимаций интегралов столкновений, применимость которых обоснована в широком диапазоне температур.

Научная новизна работы:

- учтено электронное возбуждение атомов и молекул в однотемператур-ном приближении, что впервые позволило обобщить формулу Эйкена на случай высокотемпературного неравновесного газа;

- проведены систематические расчеты коэффициентов теплопроводности компонентов воздуха N2, О2, N0, Л', О в широком диапазоне температур (200-20000 К), па основании анализа вклада возбужденных состояний атомов в интегралы столкновений установлены пределы применимости приближенных моделей расчета коэффициентов переноса в газе с электронным возбуждением;

- впервые исследовано релаксационное давление в неравновесной смеси с реакцией диссоциации и электронным возбуждением; оценен вклад релаксационного давления в нормальные напряжения; изучено влияние состава смеси и температуры на диагональные члены тензора напряжений в вязком газе в неравновесных условиях;

- сравнение тепловых потоков, рассчитанных с применением однотемпе-ратурного и поуровневого подходов, позволило выявить характерные особенности процесса диффузии колебательной энергии и его вклад в перенос тепла за фронтом ударной волны;

- проведен систематический анализ вклада процессов теплопроводности, массовой диффузии, термодиффузии и диффузии колебательной энергии в перенос тепла и массы в ударно-нагретых смесях Л^/А" и О2/О при различных начальных условиях; объяснены причины различного качественного поведения тепловых потоков в азоте и кислороде; обнаружен эффект компенсации тепловых потоков за счет различных дис-сипативных процессов;

- впервые исследованы процессы переноса за ударной волной, распространяющейся в колебательно-возбужденном газе.

Научная и практическая ценность диссертации состоит в следующем

- разработаны алгоритмы расчета поуровневых и однотемпературных коэффициентов переноса;

- оценка диаметров возбужденных атомов позволила установить пределы применимости моделей процессов переноса при учете электронного возбуждения;

- уточненная формула Эйкена для газов с электронным возбуждением может быть рекомендована для проведения инженерных расчетов коэффициента теплопроводности при высоких температурах;

- полученные данные для потоков тепла за фронтом ударной волны могут быть использованы для проектирования эффективной тепловой защиты обшивки сверх- и гиперзвуковых летательных аппаратов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Обобщенная формула Эйкена для расчета коэффициентов теплопроводности молекул с возбужденными вращательными, колебательными и электронными степенями свободы и атомов с электронным возбуждением; оценка пределов применимости обобщенной поправки Эйкена на основании анализа диаметров возбужденных частиц.

2. Результаты расчета коэффициентов теплопроводности газов N2, О2, N0 , Аг, О с электронным возбуждением в диапазоне температур 200— 20000 К.

3. Результаты анализа вклада различных диссипативных процессов в тепловой поток за фронтом ударной волны в смесях Л^/А/", О2/О ; эффект компенсации потоков за счет теплопроводности, массовой диффузии и диффузии колебательной энергии ведет к существенному уменынению-полного теплового потока; термодиффузия не вносит заметного вклада в перенос тепла.

4. Сравнение потоков тепла в ударно-нагретых смесях , О2/О в од-нотемпературном и поуровневом приближениях выявило важную роль неравновесной колебательной кинетики в переносе тепла за ударными волнами.

5. Результаты исследования влияния неравновесного набегающего потока на процессы диффузии и теплопереноса за ударной волной. Начальное колебательное возбуждение может приводить к качественному изменению полного теплового потока. Различие в скорости физико-химических процессов в азоте и кислороде определяет величину и направление теплового потока.

Апробация результатов. Результаты, представленные в диссертации, докладывались на следующих Всероссийских и международных конференциях:

1. Международная конференция по механике "Шестые Поляховские чтения "(Санкт-Петербург, 2012);

2. XXIII Всероссийский семинар с международным участием по струйным, отрывным и нестационарным течениям (Томск, 2012);

3. 28 Международный симпозиум по динамике разреженного газа (Испания, 2012);

4. 5-я Европейская конференция по астронавтике и космическим наукам (Германия, 2013);

5. IX Международная конференция по Неравновесным процессам в соплах и струях, №Ш'2014 (Алушта, 2014);

6. 29 Международный симпозиум по динамике разреженного газа (Китай, 2014);

7. 8-я Всероссийская школа-семинар "Аэротермодинамика и физическая механика классических и квантовых систем"(Москва, 2014);

8. Международная конференция по механике "Седьмые Поляховские чтения"(Санкт-Петербург, 2015).

Результаты также докладывались на научных семинарах кафедры гидроаэромеханики Санкт-Петербургского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах (1*]-|15*| (см. Приложение), из них семь (|1*|-|7*)) в журналах, входящих в перечень рецензируемых научных журналов, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы из 107 наименований. Общий объем диссертации составляет 110 страниц, включая 31(51) рисунок и 8 таблиц.

Глава 1

АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТОВ ПЕРЕНОСА В РАЗЛИЧНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ

1.1. Кинетические уравнения для функции

распределения

Пусть (г, и, £) — одночастичная функция распределения молекул смеси по химическим сортам с, уровням электронной п, колебательной % и вращательной у энергии в пространстве скоростей и, координат г и времени £. Функция /СПу (г, и. определяется как плотность математического ожидания числа частиц сортов с.плв элементе фазового пространства (г. г + (1 г), (и, и + (1и) в момент времени I. На основании функций распределения вводятся макроскопические характеристики течения.

Заселенность колебательного уровня г электронного терма п молекул сорта с в расчете на единицу объема выражается соотношением:

Если рассмотривается только основное электронное состояние (п — 1), то удобно определить пСг — заселенность г -ого колебательного уровня молекулы сорта с.

Числовая плотность молекул сорта с в расчете на единицу объема выражается формулой:

(1.1)

з

(1.2)

числовая плотность смеси газов

(1.3)

сп г2

с

Массовая плотность частиц сорта с задается формулой

(1.4)

(тс — масса частиц сорта с), массовая плотность смеси

р{Г, *) = Х^ тс ! ¡спгз (г, и, *) ¿ис = Рс- С1'5)

сп1] с

Макроскопическая скорость газа V (г, Ь) представляется в виде

ру (г, *) = X) тс ( ис/сгги (г, и, £) с1ис. (1.6)

cnij

Полная средняя энергия частиц смеси в расчете на единицу массы и выражается соотношением

и (г. €) = Е1г + Его1 + ЕтЬг + Ее1 + Е}, (1.7)

где Е^-, ЕГ01. ЕУЦ)Г) Ее^ Е^ — поступательная, вращательная, колебательная, электронная энергия и энергия образования частиц смеси в расчете на единицу массы,

_^ Г

рЕ1г = X/ / ~(г' и' 0 ^ (1-8)

стз

рЕго1 = ]Г г™ I /стз (г, и. () (1.9)

cnij

рЕуЦуг = X] £Т ! ¡сплз (г, и, *) д.ис. (1.10)

спу

рЕе1 = X] У 1сшз (Г, и, *) ¿11с. (1.11)

стз

рЕ} = ^£с / ¡спЦ (г, и; /) С?ис. (1.12)

спА]

здесь с = п — 0..Ьс, г = 0.-Ь^, ] = О..ЬСП1, Ь — число химиче-

ских компонентов смеси, Ьс — число электронных уровней частицы сорта с, Ьт — число возбужденных колебательных уровней частицы сорта с на п электронном уровне, ЬСП1 — число возбужденных вращательных уровней частицы сорта с на п электронном и г колебательном уровне, е™1, , е^ — соответственно вращательная, колебательная и электронная энергия, отсчитываемая от нулевых значений, £с — энергия образования частицы сорта с. Заметим, что если учитывается только один электронный терм, то Ьсп = Ьс.

Полная удельная энергия определяется через функцию распределения в виде:

ри (г. г) = £ I {^ф- + е?*- + е? + есп + ес) /сто, (г, и, *) с1ис. (1.13)

сп1]

Скорость диффузии Ус частиц сорта с определяется выражением

псУс (г, 0 = / Сс/спу (г, и, £) (¿ис, (1.14)

тз

сс = ис — V - собственная скорость частицы. Скорость диффузии У,^ частиц сорта с на колебательном уровне г п-ого электронного терма определяется выражением

ПстУспг (г. О = ^ / Сс/спу (Г' и' 0 ^ (1Л5)

.7

Введем обозначение / = (пл.^) для набора квантовых чисел молекулы; для атомов I = п. В дальнейшем, если не оговаривается в тексте, вместо набора индексов п. г^ будем использовать /; сумма по / обозначает сумму по всем внутренним состояниям. Тогда £} — внутренняя энергия молекулы сорта с, находящейся на п электронном, г колебательном и ] вращательном уровнях.

Тензор напряжений Р имеет вид

Р (г, £) = ^ / тссссс/с1 (г. и. ¿) с1ис. (1.16)

с/ ''

где сссс — тензор второго ранга, составленный из произведений компонент собственной скорости с . Поток полной энергии q выражается соотношением

ч (г- ')= Е / +£Тг++<+(г>и> о ^ (1Л7)

При отсутствии массовых сил система обобщенных кинетических уравнений для функции распределения может быть записана в форме уравнения Ванг Чанг-Уленбека [115]:

^ + ис • У/с7 = Зс1, (1.18)

•7С/ — интегральный опера.тор, представляющий собой сумму интегральных операторов различных процессов:

3с1 = ./5 + ^ + у™*, (1.19)

3%, 3™*, 3^асЬ — соответственно операторы столкновений, описывающие упругие столкновения, при которых изменяется только поступательная энергия и неупругие столкновения, приводящие к изменению внутренней энергии, химическим реакциям:

^ -ЕЕ / (1с1'1<1К'44- - ^к) (1.20)

й кг К'-1 \ '

= з^ц = в^з'^з'р'1 — статистический вес, характеризующий вырождение состояния молекулы с внутренней энергией £СТ , = 2^' + 1, = 1 для двухатомной молекулы, значения приведены в таблицах 1.1, 1.2; —

дифференциальное сечение столкновения частиц сортов с и с/, в результате которого меняются внутренние состояния этих частиц, с?20 — телесный угол, в котором оказываются скорости частиц после столкновения, д — модуль относительной скорости сталкивающихся частиц |ис —. Оператор 3^ является частным случаем оператора 3™ь при Г = /, К' = К. Оператор химических реакций имеет вид:

Згеа* = + (1 21)

/I ^^ ^^ ^ \ ^ \

1(П'1(ГК' I ¿, ( --- - /с1/йк х

х 9°cd%K'd2Vdud., (1.22)

Jc2r3 = Е Е / ( fdKfc'fr

d К J \

х sfCT^jduddUc/du/'du'd. (1.23)

acdiKK — дифференциальное сечение столкновений с бимолекулярными химическими реакциями, o^fd — формальное сечение столкновения, приводящего к реакции диссоциации, штрихом обозначаются параметры продуктов реакций.

Предположим, что в системе происходят быстрые и медленные процессы с харакерными временами тгар и т5/. Запишем в безразмерном виде систему обобщенных кинетических уравнений для реагирующей смеси газов, введя характерные времена т7 рассматриваемых процессов, при условии тгар << tsi ^'6(0 — характерное время изменения макроскопических

параметров газа) [38]:

^ + ис. = 1 Гс? + У-, (1.24)

£ = тгар/т81 ~ тгар/0 << 1 — малый параметр, — соответственно

интегральные операторы быстрых и медленных процессов. Приближенное решение уравнений (1.24) строится в виде обобщенного ряда Энскога-Чепмена по параметру е [5]:

/с7 (г, иЛ) = 52 £ГГс1 (и, РА. ^А, V2PA; • • •) • (1-25)

г

Пространственная и временная зависимость коэффициентов этого ряда определяется макропараметрами газа р\ (г, £) и их градиентами всех порядков. Представление функции распределения в виде (1.25) накладывает ограничения на значения градиентов параметров р\ . Здесь макропараметры р\ (г, выбираются в соответствии с аддитивными инвариантами наиболее частых столкновений [39). Аддитивные инварианты — величины, удовлетворяющие микроскопическим законам сохранения при столкновении частиц. Эти инварианты являются независимыми собственными функциями линеаризованного оператора столкновений, соответствующими нулевому собственному значению. Система аддитивных инвариантов включает микроскопические признаки, сохраняющиеся при любом столкновении: масса ф^ = тс, импульс

/ (2,3,4) , (5) о /о , с

У-'с! = тсисх.тсису.тсисг , энергия фус1' = тсщ/2 + и дополнительные инварианты наиболее частых столкновений ф^ . Макропараметры р\ вводятся через аддитивные инварианты по следующим формулам:

Рх (г, *) = / ^/с/ (г, и, I) б.ис. Л = 1..5, (1.26)

с/ ^

(г, г) = [ (Г, и, *) Уис, /л = 1..М, (1.27)

с1 '

рх (А = 1..5) представляют собой плотность газа, макроскопическую скорость и полную энергию, {¡1 = 1..М) являются дополнительными макропараметрами. Система уравнений для макропараметров получается из уравнений (1.24) после умножения на аддитивные инварианты, интегрирования по скоростям и суммирования по с. пЛи содержит не только уравнения

сохранения, но и уравнения релаксации:

дрх

+ Е / ■ У/с/йис = 0, А = 1. 5,

*

— + Е / ^ • = £ / = 1-м-

^ С/ -

Условия нормировки метода Энскога-Чепмена:

Е / «'¿"с = РА- Л =

с1

Е / = 0, Г>1, А = 1..5,

с/ ''

Е /= А, М = 1..М.

с/ "

,7» НО

Е / = 0, г > 1, /X = 1..м.

1.28)

1.29)

1.30)

1.31)

1.32)

1.33)

с/

Функция распределения нормируется относительно макропараметров, соответствующих аддитивным инвариантам наиболее частых столкновений. Функция распределения нулевого приближения дает полные макропараметры, а следующие приближения не вносят вклада в определяющие макропараметры.

1.1.1. Внутренняя энергия и удельная теплоемкость

Известно, что молекулы и атомы обладают внутренней структурой [24, 26]. Внутренняя энергия молекулы сорта с, находящейся на п электронном, г колебательном и ^ вращательном уровнях £ст моделируется следующим образом:

4 = + + (1-34)

Отметим, что энергия образования ес не включена в формулу (1.34) и в дальнейшем будет для удобства выписываться отдельно.

Простейшая модель жесткого ротатора, предполагающая независимость колебательной и вращательной энергии, приписывает молекуле еле-

дующие вращательные уровни:

.СП Э{3 +

¿ = 0,1.., (1.35)

здесь /г — постоянная Планка, 1сп — момент инерции молекулы химического сорта с на электронном уровне п относительно оси вращения.

Более сложная модель, учитывающая зависимость вращательной энергии от колебательной, выглядит следующим образом:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мехоношина, Мария Андреевна, 2015 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алексеев Б. В. Математическая кинетика реагирующих газов. М.: Наука, 1982.

2. Берд. Г. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1981.

3. Валландер C.B., Егорова И.А., Рыдалевская М.А. Статистическое распределение Больцмана как решение кинетических уравнений для газовых смесей // Аэродинамика разреженных газов, T.II, С. 14-30, 1965

4. Валландер C.B., Егорова И.А., Рыдалевская М.А. Распространение метода Энскога-Чепмена на смеси газов с внутренними степенями свободы и химическими реакциями // Аэродинамика разреженных газов, T.II, С. 122-163, 1965

5. Валландер C.B., Нагнибеда Е.А., Рыдалевская М.А. Некоторые вопросы кинетической теории химически реагирующей смеси газов. «ТТ.: ЛГУ, 1977.

6. Вальдман Л. Явления переноса в газах при среднем давлении // Термодинамика газов. М.: Машиностроение, 1970

7. Галкин B.C., Коган М.Н., Макашев Н.К. Обобщенный метод Энскога-Чепмена //Уч. записки ЦАГИ, Т. 5, № 5, С. 66-76, 1974.

8. Галкин B.C., Коган М.Н., Макашев Н.К. Обобщенный метод Энскога-Чепмена // Уч. записки ЦАГИ, Т. 6, № 1, С. 15-26, 1975.

9. Галкин B.C., Макашев Н.К. Модификация первого приближения метода Чепмена-Энскога для смеси газов // Изв. РАН. МЖГ, № 4, С. 178185, 1992.

10. Галкин B.C., Русаков C.B. Исследование применимости макроскопических моделей структуры ударной волны в бинарной смеси инертных газов // Изв. РАН. МЖГ, № 4, С. 131-143, 2003.

11. Галкин B.C., Русаков C.B. Барнеттова модель структуры ударной волны в молекулярном газе // Прикладная математика и механика, Т. 69, С. 419-426, 2005.

12. Галкин B.C., Русаков C.B. К теории объемной вязкости и релаксационного давления // Прикладная математика и механика, Т. 69, С. 10511064, 2005.

13. Галкин B.C., Жаров В.А.Свойства переноса газов в приближении Бар-нетта // Прикладная математика и механика, Т. 65, С. 467-475, 2001.

14. Герцберг Г. Спектры и строение двухатомных молекул. М.: ИЛ, 1949.

15. Герцберг Г. Колебательные и вращательные спектры многоатомных молекул. М.: ИЛ, 1949.

16. Гордиец Б.Ф., Осипов А.И., Шелепин Л.А. Кинетические процессы в газах и молекулярные лазеры. М.: Наука. 1980. 512 с.

17. Истомин В. А., Кустова Е.В. Коэффициенты переноса атомарного азота и кислорода с учетом электронного возбуждения // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика, Механика, Астрономия, Вып. 1, С. 77-86, 2010.

18. Истомин В.А. Процессы переноса в высокотемпературных течениях смеси газов с учетом электронного возбуждения // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Санкт-Петербург. 2012.

19. Жданов В.М., Скачков П.П. Уравнения переноса в химически реагирующих неоднородных газах. Учет внутренних степеней свободы. // Известия АН СССР, МЖГ, № 4, С. 125-132, 1974.

20. Жданов В.М. Явления переноса в многокомпонентной плазме. М.: Энергоиздат, 1982.

21. Жданов В.М., Алиевский М.Я. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах. М.: Наука, 1989.

22. Жданов В.М., Тирский Г. А. Феноменологическое и кинетическое описание диффузии и переноса тепла в многокомпонентных газовых смесях и плазме. // Прикладная математика и механика, Т. 71, С. 794-815, 2007.

23. Жигулев В.Н. Об уравнениях физической аэродинамики // Инж. журнал, Т. 3, С. 137-139, 1963.

24. Кларк Д.. Макчесни М. Динамика реальных газов. М.: Мир, 1967. 566 с.

25. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967.

26. Кондратьев В.Н. Структура атомов и молекул. М.: Гос. изд-во физ.-мат лит-ры, 1959. 524 с.

27. Краткий справочник физико-химических величин под редакцией К.П. Мищенко и A.A. Равделя, Л.: Химия, 1974. 200 с.

28. Кузнецов В.М., Кузнецов М.М., Нагнибеда Е.А., Рыдалевская М.А. Некоторые вопросы кинетической теории реагирующих газов и ее приближение в релаксационной аэродинамике // Молек. газодинамика. 1982. С. 137-155.

29. Кунова О.В., Нагнибеда Е.А. Поуровневое описание колебательной и химической релаксации в воздухе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: математика, механика, астрономия, 2013. № 3. С. 103-113.

30. Кустова Е.В. О влиянии колебательной и вращательной неравновесности на теплопроводность молекулярного газа // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика, Механика, Астрономия, Вып. 4, С. 60-65, 1993.

31. Кустова Е.В., Мехоношина М.А. Релаксационное давление в смеси N2/N с учетом неравновесной реакции диссоциации // ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ 1: МАТЕМАТИКА, МЕХАНИКА, АСТРОНОМИЯ, 2012. № 1. С. 86-95

32. Кустова Е.В., Нагнибеда Е.А. Колебательная кинетика и процессы переноса в сильно неравновесном газе // Ивестия РАН, МЖГ, № 5, С. 150160, 1997.

33. Кустова Е.В., Нагнибеда Е.А. Неравновесная кинетика и процессы переноса в потоках реагирующих газов: Теория и приложения // Гидроаэромеханика / Под ред. В.Г. Дулова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 1999. С. 147-176.

34. Кустова Е.В., Нагнибеда Е.А. Моделирование распределения молекл и процессов в газах из ангармонических осцилляторов // Аэродинамика / Под ред. Р.Н. Мирошина. СПб.: НИИ химии С.-Петерб. ун-та. 1997. С. 81-96.

35. Кустова Е.В., Нагнибеда Е.А. О влиянии модели неравновесной кинетики на газодинамику и перенос тепла за сильными ударными волнами // Аэродинамика / Под ред. Р.Н. Мирошина. СПб.: НИИ химии С.-Петерб. ун-та. 2004. С. 47-58.

36. Кустова Е.В., Нагнибеда Е.А. Определение скоростей диссоциации, рекомбинации и переходов колебательной энергии в приближении поуров-невой кинетики // Аэродинамика / Под ред. Р.Н. Мирошина. СПб.: НИИ химии С.-Петерб. ун-та. 2000. С. 57-81.

37. Мандельштам Л.И., Леонтович М.А. К теории поглощения звука в жидкостях. // Жури. эксп. и техн. физ., Т. 7. №3. С.438-449. 1937.

38. Нагнибеда Е.А. О модификации метода Энскога-Чепмена для смеси реагирующих газов с учетом быстрых и медленных процессов // Вестник Ленинградского университета. Серия 1: Математика, Механика, Астрономия. Вып. 7. С. 109-114. 1973

39. Нагнибеда Е.А., Кустова Е.В. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2003, 270 с.

40. Нагнибеда Е.А., Рыдалевская М.А. Вывод уравнений для макропараметров в случае смеси диссоциирующих газов // Аэродинамика разреженных газов. Л.: ЛГУ, Т. IX, С. 29-42. 1977

41. Нагнибеда Е.А., Новиков К.А. О релаксации неравновесных колебательных распределений в диссоциирующем двухатомном газе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика, Механика, Астрономия. 2007. № 4. С. 30-37.

42. Неравновесная колебательная кинетика / Под ред. М. Капителли. М.: Мир, 1989. 392 с.

43. Рыдалевская М.А. Формальное кинетическое описание смеси газов с диссоциацией и рекомбинацией // Аэродинамика разреженных газов. Л.: ЛГУ, Т. IX, С. 5-20. 1977

44. Ступоченко Е.В., Лосев С.А., Осипов А.И. Релаксационные процессы в ударных волнах. М.: Наука, 1965. 484 с.

45. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: ИЛ, 1960. 510 с.

46. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.:Мир, 1976. 554 с.

47. Физико-химические процессы в газовой динамике / под редакцией Черного Г.Г. и Лосева С.А. / М.: Изд-во МГУ 1995. Т. 1., 2002. Т. 2.

48. Хьюбер К.П., Герцберг Г. Константы двухатомных молекул: В 2-х частях. М.: Мир, 1984. Ч. 1. 408 с. Ч. 2. 368 с.

49. Adamovich I., Macheret S., Rich J., Treanor C. Vibrational relaxation and dissociation behind shock waves // AIAA Journal. 1995. Vol. 33, № 6. P. 1064-1075.

50. Aristov V. V., Frolova A. A., Zabelok S. A., Kolobov V. I., Arslanbekov R. R. Acceleration of Deterministic Boltzmann Solver with Graphics Processing Units // AIP Conference Proceedings, V. 1333, P. 867-872, 2011.

51. Aristov V.V., Zabelok S.A. A deterministic method for solving the Boltzmann equation with parallel computations // Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., V. 42, № 3, P. 425-437. 2002.

52. Armenise I., Capitelh M., Celiberto R. et al. The effect of N — N2 collisions on the non-equilibrium vibrational distributions of nitrogen under reentry conditions // Chem. Phys. Lett. 1994. Vol.Z 227. № 1. P. 157-163.

53. Armenise I., Capitelli M., Gorse C., Cacciatore M., Rutigliano M. Non-equilibrium vibrational kinetics of a O2/O mixture hitting a catalytic surface //J. Spacecraft and Rockets. 2000. Vol. 37, № 3. P. 318-323.

54. Armenise I., Capitelh M., Gorse C. Nonequilibrium vibrational kinetics in the boundary layer of re-entering bodies //J. Thermophys. Heat Transfer. 1996. Vol. 10. № 3. P. 397-405.

55. Bhatnagar P.L., Gross E.P., and Krook M. Phys. Rev. 94, 511, 1954.

56. Boltzmann L. Weitere Studien über das Wärmegloichgewicht unter Gasmolekülen. // Sitzungs Berichte Kaiserl. Akad. der Wissenschaften, V.66, № 2, P. 275-370, 1872.

57. Bondar, Ye.A.; Gimelshem, S.F.; Ivanov, M.S. DSMC Modeling of Vibration-Vibration Energy Transfer Between Diatomic Molecules // AIP Conference Proceedings, V. 1084, № 1, P. 825-830, 2008.

58. Brun R.,Zappoli В. Model equations for a vibrationally relaxing gas. // Phys. Fluids 20(9), P. 1441-1448. 1977.

59. Bruno В., Capitelli M., Catalfamo C., Laricchiuta A. Effect, of electronic states on transport in magnetized hydrogen plasmas // Phys. Plasmas. Vol. 14, P. 072308. 2007.

60. Bruno D., Capitelli M., Catalfamo C., Celiberto R., Colonna G., Diomede P., Giordano D., Gorse C., Laricchiuta A., bongo S., Pagano D., Pirani F. Transport Properties of High-Temperature Mars-Atmosphere Components. ESA, STR-256, 2008.

61. Bzowski J., Kestin J., Mason E.A. and Uribe F.J. Equilibrium and transport properties of gas mixtures at low density: Eleven polyatomic gases and five noble gases // J. Phys. Chem. Ref. Data, 19(5): 1179-1232, 1990.

62. Capitelli M., Armenise I., Gorse C. State-to-state approach in the kinetics of air components under re-entry conditions // J. Thermophys. Heat Transfer. 1997. Vol. 11. № 4. P. 570-578.

63. Capitelli M., Gorse C., bongo S. and Giordano D. Collision integrals of high-temperature air species //J. Thermophys. Heat Transfer, 14(2):259-268, 2000.

64. Capitelli M., Ferreira C., Gordiets В., Osipov A. Plasma kinetics in atmospheric gases. Springer-Verlag, Berlin. 2000.

65. Capitelli M., Colonna G., Giordano D., Kustova E., Nagnibeda E., Tuttafesta M., Brun D. The influence of state-to-state kinetics on transport properties in a nozzle flow // Мат. моделирование. 1999. Т. 11. № 3. С. 4559.

66. Capitelli М., Bruno D. and Laricchiuta A. Fundamental Aspects of Plasma Chemical Physics: Transport // volume 74 of Springer Series on Atomic, Optical, and Plasma Physics. Springer Verlag, Berlin, 2013.

67. Capitelli M.. Colonna G.. Giordano D.. Marraffa L., Casavola A., Minelli P., Pagano D., Pietanza L.D. and Taccogna F. Tables of internal partition functions and thermodynamic properties of high-temperature Mars-atmosphere species from 50K to 50000K. // Esa str-246, ESA Publications Division, ESTEC, Noordwijk, The Netherlands, October 2005.

68. Chen R., Agarwal R., Cheremisin F., Bondar Y. A comparative study of Navier-Stokes, Burnett, DSMC, and Boltzmann solutions for hypersonic flow past 2-D bodies // Collection of Technical Papers - 45th AIAA Aerospace Sciences Meeting, V. 4 , P. 2370-2385, 2007.

69. Chapman S. On the kinitic theory of gas; Part II, A composite monoatomic gas. diffusion, viscosity ans thermal conduction /7 Phil. Trans. Roy. Soc. London, V. 217. P. 118-192. 1917.

70. Chernyi G., Losev S., Macheret S. and Potapkin B. Physical and Chemical Processes in Gas Dynamics, V. 1,2. American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2004.

71. Chikhaoui A., Budon J.P., Kustova E.V. and Nagnibeda E.A. Transport properties in reacting mixture of polyatomic gases // Physica A, V. 247. № 1-4, P. 526-552. 1997.

72. Chikhaoui A., Kustova E.V., Nagnibeda E.A. and Alexandrova T.Yu. Modelling of dissociation-recombination in nozzless using strongly non-equilibrium vibrational distributions // Chem. Phys. V. 263. P. 111-126. 2001.

73. Enskog B. Kinetische Theorie der Vorgänge in massig verdünnten Gasen. Diss., Uppsala, 1917.

74. Em A. and Giovangigli V. Multicomponent Transport Algorithms // Lect. Notes Phys., Series monographs, M24. Springer-Verlag, 1994.

75. Eucken E. Ueber das Wärmeleitvermögen, die Spezifische Wärme und die innere Reibung der Gase. // Physik. Zeitschr, V. 14, P. 324-332, 1913.

76. Galkin V.S. and Rusakov S. V. Accuracy of the modified Eucken correction to the thermal conductivity of molecular gases // Fluid Dynamics, V. 40(4), P. 660-664, 2005.

77. Gimelshein S., Wysong I., Bondar Ye. and Ivanov M. Accuracy analysis of DSMC chemistry models applied to a normal shock wave // AIP Conference Proceedings, V. 1501, P. 637-644, 2012.

78. Grad H. On the kinetic theory of rarefied gases // Comm. Pure Appl. Math.. V. 2, P. 331-407, 1949.

79. Hirschfelder J.O., Curtiss C.F. and Bird R.B. The Molecular Theory of Gases and Liquids // J.Wiley and Sons, New York, 1954.

80. Hirschfelder J.O. Heat conductivity in polyatomic or electrically excited gases //J. Chem. Phys., V. 26, P. 282, 1957.

81. Istomin V.A., Kustova E.V., Mekhonoshma M.A. Eucken correction in high-temperature gases with electronic excitation // Journal of Chemical Physics, V. 140, № 18, P. 184311, 2014.

82. Istomin V.A., Kustova E.V. and Puzyreva L.A. Transport properties of electronically excited N2/N and O2/O mixtures // AIP Conference Proceedings, V. 1333, P. 667-672, 2011.

83. Istomin V.A. and Kustova E.V. Tiansport properties of fivc-component, nitrogen and oxygen ionized mixtures with electronic excitation // AIP Conference Proceedings, V. 1501, P. 168-174, 2012.

84. Kunova O.V., Kustova E.V., Mekhonoshina M.A., Nagnibeda E.A. The influence of state-to-state kinetics on diffusion and heat transfer behind shock waves // AIP Conference Proceedings. V. 1628, P. 1202-1209. 2014.

85. Kunova 0., Nagnibeda E. State-to-state description of reacting air flows behind shock waves // Chem. Phys. V. 441, P. 66-76. 2014.

86. Kustova E.V. On the simplified state-to-state transport coefficients // Chem. Phys. V. 270. № 1. P. 177-195. 2001.

87. Kustova E.V., Makarkin D.V, Mekhonoshina M.A. Normal Mean Stress in Non-Equilibrium Viscous N2/N Flows with Dissociation and Electronic Excitation // AIP Conference Proceedings, 2012. V. 1501, P. 1086-1093.

88. Kustova E. V. and Puzyreva L. Transport coefficients in nonequilibrium gas-mixture flows with electronic excitation // Phys. Rev. E, V. 80. № 4. P. 046407 2009.

89. Kustova E.V., Nagnibeda E.A., Alexandrova T.Yu., et al. On the non-equilibrium kinetics and heat transfer in nozzle flows // Chem. phys. 2002. Vol. 276. № 2. P. 139-154.

90. Kustova E.V., Nagnibeda E.A. Strong nonequlibiium effects on specific heats and thermal conductivity of diatomic gas // Chem. Phys., V. 208. № 3. P. 313-329. 1996

91. Kustova E.V., Nagnibeda E.A. The effect of level nonequilibrium kinetics on transport properties of dissociating gas flow behind a shock wave // Proc. of the 21st International Symposium on Shock Waves / Ed. A.F.P. Houwing. 1997. Brisbane, Australia: University of Queensland. Paper 4231.

92. Kustova E.V., Nagnibeda E.A. Transport properties of a reacting gas mixture with strong vibrational and chemical nonequilibrium // Chem. Phys., V. 233. P. 57-75. 1998

93. Lordet F., Meolans J., Chauvm A., Brun R. Nonequilibrium vibration-dissociation phenomena behind a propagating shock wave: vibrational population calculation // Shock Waves. 1995. Vol. 4. P. 299-312.

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

Marrone P.V., Treanor C.E. Chemical relaxation with preferential dissociation from excited vibrational levels // Phys. Fluids. 1963. Vol. 6. № 9. P. 1215-1221.

Mason E.A. and Monchick L. Heat conductivity of polyatomic and polar gases. // J. Chem. Phys. 36:P. 1622-1632, 1962.

Mason E.A. and Monchick L. Transport properties of polar gas mixtures. //J. Chem. Phys. 36:2746, 1962.

Maxwell J. C. On the dynamical theory of gases //' Phil. Trans. Roy. Soc. London. V. 157. P. 49-88. 1867.

McCourt F.R.W.. Beenakker J.J.M.. Köhler W.E. and Küster I. Nonequilibrium Phenomena in Polyatomic Gases, volume I, II // Clarendon Press, Oxford, 1990.

Millikan R.C., White B.R. Systematics of vibrational relaxation // J. Chem. Phys. 1963. Vol. 39. P. 3209.

Monchick L., Pereira A.N.G., Mason E.A. Heat conductivity of polyatomic and polar gases and gas mixtures //J. Chem. Phys. V. 42. P. 3241-3256. 1965.

Nompelis I., Candler G.V. and Holden M.S. Effect of vibrational nonequilibrium on hypersonic double-cone experiments // AIAA Journal 41. P. 2162-2169. 2003.

Park C. Nonequilibrium hypersonic aerothermodynamics. New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore: J. Wiley and Sons. 1990. 359 p.

Van den Oord R.J. and Korving J. The thermal conductivity of polyatomic molecules //J. Chem. Phys., 89:4333, 1988.

Park C. Thermochemical relaxation in Shock Tunnels //J. Thermophys. Heat Transfer. 2006. Vol. 20, № 4. P. 689-698.

Parker J. G. Rotational and Vibrational relaxation in diatomic gases // Phys. Fluids. V. 2. P. 449-461. 1959.

Pascal S. and Brun R. Transport properties of nonequilibrium gas mixtures // Phys. Review E, 47:3251, 1993.

Schwartz R.; Slawsky Z. and Herzfeld K. Calculation of vibrational relaxation times in gases // J. Chem. Phys. V. 20. P. 1591-1599. 1952.

108. Singh K., Singh G. and Sharma R. Role of electronic excitation on thermodynamic and transport properties of argon and argon-hydrogen plasmas // Phys. Plasmas, 17(7):072309, 2010.

109. Slater J.C. Atomic Shielding Constants // Phys. Rev. V. 36 № 1. P. 57-64. 1930.

110. Taxman N. Classical theory of transport phenomena in dilute polyatomic gases // Phys. Review, 110:1235, 1958.

111. Uribe F.J.; Kestin J. and Mason E.A. Thermal conductivity of nine polyatomic gases at low density //J. Phys. Chem. Ref. Data, V. 19. № 5. P. 1123-1136, 1990.

112. URL http://webbook.nist.gov/chemistry/form-ser.html

113. Waldmann L. Die Boltzmann-Gleichung fur Gase mit Rotierenden Molekulen // Z. Naturforsch, V. 12a, P. 660, 1957.

114. Waldmann L.. Triibenbacher E. Formale kinetische theorie von gasgemischen aus anregbaren molekulen // Z. Naturforsch, V. 17a, P.364, 1962.

115. Wang Chang C.S. and Uhlenbeck G.E. Transport phenomena in polyatomic gases // CM-681, University of Michigan Research Report, 1951.

116. Wang Chang C.S., Uhlenbeck G.E. and de Boer J. The heat conductivity and viscosity of polyatomic gases // In J. de Boer and G.E. Uhlenbeck editors, Studies Statistical Mechanics, V. 2. North-Holland, Amsterdam, 1964.

117. Wright J., Bose D., Palmer G.E., Levin E. Recommended collision integrals for transport property computations, part 1: air species // AIAA Journal, V.43, № 12, P. 2558-2564, 2005.