Развитие оптики гауссовых пучков: новые семейства структурно устойчивых решений параболического уравнения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Абрамочкин, Евгений Григорьевич

• Абрамочкин, Евгений Григорьевич
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Абрамочкин, Евгений Григорьевич

Введение.

Глава I. Интегральные преобразования структурно устойчивых решений параболического уравнения.

§ 1. Специальные функции и параболическое уравнение.

§ 2 Астигматическое преобразование, связывающее функции Эрмита-Гаусса и функции Лагерра-Гаусса.

§ 3. Инвариантность к астигматизму и преобразование Лоренца.

Глава II. Функции Эрмита-Лагерра-Гаусса и их свойства.

§ 1. Определение и иростейшие свойства функций

Эрмита-Лагерра-Гаусса.

§ 2. Конечные суммы, функции Вигнера и вращения в R3.

§ 3. Интегральные преобразования функций

Эрмита-Лагерра-Гаусса.

Глава III. Спиральные пучки света — новый класс структурно устойчивых решений параболического уравнения.

§ 1. Постановка задачи о световых полях, вращающихся ири распространении.

§ 2. Целые аналитические функции, порядок роста и структурный вид вращающихся световых полей.

§3. Основные уравнения и параметры решений.

§ 4. Спиральные пучки и их квантово-механические аналоги

Глава IV. Спиральные пучки с заданным распределением интенсивности.

§ 1. Сииральные пучки в форме плоских кривых.

§ 2. Замкнутые плоские кривые и условие квантования.

Свойства спиральных пучков.

§3. Кодировочные функции и производные пучки.

§4. Энергия, угловой момент и другие интегральные инварианты.

§ 5. Задача фокусировки лазерного излучения в окружность и другие замкнутые кривые.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие оптики гауссовых пучков: новые семейства структурно устойчивых решений параболического уравнения»

Актуальность темы

Параболическое уравнение в теории распространения волн и в оптике было впервые получепо М.А. Леонтовичем и В.А. Фоком в 1946 г. Оно широко используется в лазерной оптике и теории резонаторов, поскольку является хорошим приближением для описания дифракции воли, в частности, для свеювых пучков, генерируемых лазерами, а также для собственных мод открытых резонаторов и линзовых волноводов.

Важным семейством световых полей, эволюция которых описывается параболическим уравнением, является семейство гауссовых пучков. Распределение интенсивности таких пучков имеет автомодельный характер, т.е. сохраняет свою структуру при распространении с точностью до масштаба в любом сечении.

Традиционные гауссовы пучки характерны тем, что распределение их амплитуды жестко задано и описывается определенными функциями, а именно, функциями Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса Оба семейства функций получаются при решении параболического уравнения в рамках декартовой и полярной систем координат соответственно и обладают различной симметрией. Характерно, что многие математические результаты, связанные с классическими ортогональными полиномами Эрмита и Лагерра, применяются в теории гауссовых пучков для описания свойств лазерных пучков и собственных мод открытых резонаторов.

С другой стороны, с развитием теоретической и экспериментальной базы оптики лазеров существенно расширились требования не только к количественным, но и к качественным, пространственным характеристикам оптического излучения. Возникла потребность в формировании световых пучков с определенными распределениями интенсивности и фазы в пространстве. Это относится, например, к задачам фокусировки излучения в некоторую область или линию, а также задаче внутрирезонаторного формирования пучков с заданной структурой выходного излучения. Такие задачи представляют интерес для лазерных технологий, обработки изображений и развития методов оптической манипуляции микрообъектами. При эюм вопрос о физической реализуемости поля с заданной интенсивностью является одним из первостепенных, что делает актуальным поиск новых закономерностей формирования и преобразования световых полей, а также поиск новых типов структурно устойчивых решений параболического уравнения.

Цель работы

Цель диссертационной работы состоит в развитии оптики гауссовых пучков и поиске новых структурно устойчивых решений параболического уравнения, а также различных интегральных инвариантов для всею семейства в целом. В соответствии с поставленной целыо решались следующие задачи:

1. Обобщение известных ранее структурно устойчивых решений параболического уравнения, исследование свойств и различных преобразований полученного обобщенного семейства решений (в первую очередь, интегральных преобразований, используемых в оптике), поиск взаимосвязей между отдельными представителями эюго семейства.

2. Поиск и исследование вращающихся структурно устойчивых решений параболического уравнения, названных спиральными пучками. Исследование возможностей построения спиральных пучков с интенсивностью заранее заданного вида и их применения в практических задачах фокусировки лазерного излучения, в частности, для создания фазовых оптических элементов, фокусирующих излучение в плоскую кривую.

Методы исследования

В работе используются методы теории уравнений в частных производных, методы функционального анализа, относящиеся к преобразованию Фурье, методы, применяемые при исследовании ортогональных полиномов (в частности, метод производящих функций), асимптоги-ческие методы и методы комплексного анализа, используемые при исследовании целых аналитических функций (принцип Фрагмена-Лин-делёфа).

Научная новизна

Найден ряд новых соотношений (интегральных и алгебраических) между функциями Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса. Установлено существование нового класса структурно устойчивых решений параболического уравнения, объединяющего функции Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса в единое семейство. Показана замкнутость полученного класса решений относительно определенных интегральных преобразований типа Фурье. В частности, оптическая система с астигматизмом общего вида позволяет преобразовывать структурно устойчивые световые поля в пределах одного и того же семейства. Получены некоторые результаты, характеризующие множество структурно устойчивых решений параболического уравнения в целом. Например,

1. Не существует структурно устойчивых решений, убывающих на бесконечности быстрее, чем гауссова функция.

2. Все невращающиеся структурно устойчивые решоиия нредсгави-мы в виде произведения гауссовой функции на полином специального вида.

3. Если структурно устойчивое решение обладает вращением, то угловая скорость вращения при распространении является монотонно убывающей к нулю функцией. В частности, не существует световых полей с конечной энергией и постоянной скоростью вращения.

Найдено неизвестное ранее семейство вращающихся структурно устойчивых решений параболического уравнения (спиральные пучки света). Показана возможность синтеза спиральных пучков с распределением интенсивности в форме заранее заданной плоской линии.

Практическая значимость

Полученные новые связи между ортогональными полиномами Эр-мита, Лагерра и Якоби, могут быть использованы при решении различных математических и физических задач. Найденные закономерности шпегральных преобразований структурно устойчивых решений параболического уравнения уже применяются при разработке методов и систем формирования лазерных пучков с заданными характеристиками (в частности, при синтезе оптических элементов, фокусирующих излучение в заданную область, для задач лазерной технологии, манипуляций микрочастицами). Ряд практических результатов работы защищен авторскими свидетельствами: «Устройство для фокусировки излучения в кольцо» (№ 1730606 от 22 мая 1990 г.), «Способ формирования волновых полей» (№ 2046382 от 20 октября 1995 г.).

Личный вклад автора

Диссертация является обобщением работ по структурно устойчивым решениям параболического уравнения, выполненных автором в период с 1985 по 2006 гг. В диссертации представлены только те результаты, в получение которых автор внес определяющий вклад. Во всех работах, кроме опубликованных до 1993 года, ему принадлежит математическая постановка задач и основной вклад в их решение. Автором также выполнены все компьютерные эксперименты. Большая часть задач имеет непосредственное отношение к оптике лазерных пучков. Исходная физическая постановка задач, физическая интерпретация полученных результатов, а также проведение всех оптических экспериментов выполнены совместно с соавторами.

Публикации

Полученные научные результаты отражены в 24 публикациях и 2 авторских свидетельствах.

Апробация работы

Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались на XVII (Куйбышев, 1985), XVIII (Черноголовка, 1987) Всесоюзных школах но голографии и когерентной оптике, XXIII (Долгопрудный, 1994) и XXIV (Долгопрудный, 1996) Российских школах по голографии и когерентной оптике, на Всесоюзном совещании «Компьютерная оптика» (Тольятти, 1990), на Международной конференции по лазерам CLEO'96 (Гамбург, 1996), на 1-й (Ялта, 1997) и 2-й (Алушта, 2000) международных конференциях по сингулярной оптике, на Международном математическом конгрессе ЮМ'98 (Берлин, 1998), на 10-й международной конференции «Оптика лазеров» (Санкт-Петербург, 2000), на международном семинаре по сингулярной оптике (Киев, 2003), на семинаре «Дни дифракции» (Санкт-Петербург, 2004), на конференции по опто-электронике и лазерам CAOL'2005 (Ялта, 2005), на 8-й конференции по лазерам и оптоволоконным сетям LFNM'2006 (Харьков, 2006), на семинарах профессора А.В. Гончарского (ВМиК МГУ, 1995, 1996), семинаре отделения квантовой радиофизики (ФИАН, 2001), Общемосковском семинаре по теоретической физике академика B.JI. Гинзбурга (2001), семинаре Института спектроскопии (2001), на семинаре оптического отдела им. Г.С. Ландсберга (ФИАН, 1988) и на семинарах Самарского филиала ФИАН.

Положения, выносимые на защиту

1. Существует семейство структурно устойчивых решений параболического уравнения (или семейство световых полей, структурно устойчивых при распространении и фокусировке), зависящее от двух целочисленных индексов и одного комплексного параметра. Для каждого фиксированного ненулевого значения данного комплексного параметра получаемое подмножество функций образует ортогональный базис в пространстве Существуют такие значения данного параметра, что получаемое подмножество функций совпадает с известными семействами функций Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса. Эти значения комплексного параметра по модулю равны единице.

2. Полученное параметрическое семейство структурно устойчивых решений параболического уравнения инвариантно к двумерному преобразованию Фурье с дополнительной весовой функцией в виде экспоненты с произвольным квадратичным показателем (не нарушающим сходимости двойного интеграла): в результате преобразования происходит трансформация одних функций в другие, но само параметрическое семейство остается неизменным. В частности, преобразование Фурье с чисто фазовыми квадратичными экспонентами осуществляет перевод одних функций параметрического семейства в другие таким образом, что модуль комплексного параметра остается неизменным. Как следствие, пучки Эрмита-Гаусса можно преобразовать в пучки Лагерра-Гаусса.

3. Для обобщенных пучков Эрмита-Лагерра-Гаусса , комплексный параметр которых по модулю равен единице, фактор М2 остается постоянным, а орбитальный угловой момент при изменении аргумента параметра пучка является монотонной функцией, причем для пучков Эрмита-Гаусса эюг момент равен нулю, а для пучков Лагерра-Гаусса максимален.

4. Уравнение для нахождения структурно устойчивых вращающихся при распространении световых полей (названных спиральными пучками) является обобщением уравнения, служащего для описания волновых функций стационарных состояний заряженной частицы в однородном магнитном поле.

5. Для любой гладкой плоской кривой существуют спиральные пучки, профиль интенсивности которых подобен форме кривой (строгая формулировка основана на асимптотических свойствах спиральных пучков). Для замкнутых кривых без самопересечений интенсивность спирального пучка принимает форму кривой только при определенных дискретных значениях площади области, ограниченной данной кривой. Для случая кривых с самопересечениями к условию, налагаемому на площадь всей области, необходимо добавить дополнительные условия для каждой замкнутой петли, на которые разбивают кривую точки самопересечения.

6. Для каждой замкнутой плоской кривой существует семейство спиральных пучков, зависящее от двух целочисленных параметров. Первый параметр связан с площадью, ограниченной данной плоской кривой, второй параметр характеризует величину фазового набега при распространении спирального пучка в зоне Френеля. Астигматическое преобразование любого из полученных спиральных пучков сводится к произведению двух функций, каждая из которых является функцией одной переменной и зависит только от одного из вышеупомянутых целочисленных параметров. Первая функция является обычной одномерной вещественной функцией Эрмита-Гаусса; вторая функция зависит от вида исходной замкнутой плоской кривой (ко-дировочная функция) и, в общем случае, комплекснозначна. Если в качестве кривой выбрать окружность, то семейство спиральных пучков становится полным семейством пучков Лагерра-Гаусса, а каждая кодировочная функция — одномерной функцией Эрмита-Гаусса.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Абрамочкин, Евгений Григорьевич

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

1 Теоретически найдено интегральное преобразование, связывающее семейства структурно устойчивых решений параболического уравнения с разными типами симметрии — мод Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса. Найдены новые алгебраические соотношения между ортогональными полиномами Эрмита, Лагерра и Якоби Установлен вид функций, инвариантных к астигматическим воздействиям специального вида

2. Теоретически найдено новое семейство структурно устойчивых решений параболического уравнения, названных функциями Эрмита-Лагерра-Гаусса, которое зависит от двух целочисленных индексов и одного комплексного параметра. Данное семейство обобщает известные ранее семейства функций Эрмита-Гаусса и функций Лагерра-Гаусса . Для каждого фиксированного ненулевого значения данного комплексного параметра семейство функций Эрмита-Лагерра-Гаусса образует ортогональный базис в пространстве L2(E2) и инвариантно к преобразованию Фурье с дополнительной экспонентой с показателем произвольного квадратичного вида.

3 Найдены новые структурно устойчивые решения параболического уравнения (спиральные пучки света), которые сохраняют структуру своей интенсивности при эволюции в пространстве с точностью до масштаба и вращения.

4. Доказано, что не существует автомодельных решений параболического уравнения убывающих на бесконечности быстрее гауссовой функции. Получено аналитическое представление всех автомодельных решений в классе целых функций второго порядка роста.

5. Найден класс спиральных пучков, профиль интенсивности которых подобен форме априорно заданной произвольной плоской линии. Разработаны основы теории таких пучков. Обнаружено, что пучки с интенсивностью в форме замкнутой кривой подчиняются своебразным законам квантования (одному или нескольким) в зависимости от числа точек самопересечения замкнутой кривой: площадь области, ограниченной каждым витком соответствующей кривой, может принимать только дискретный набор значений.

6. На основе полученных закономерностей преобразования функций Лагерра-Гаусса в функции Эрмита-Гаусса разработан метод формирования спиральных пучков посредством одномерных ко-дировочных функций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Абрамочкин, Евгений Григорьевич, 2006 год

1. М.А. Леонтович. // Известия АН СССР (серия физическая), 1944, т. 8, № 1, с. 16-22.

2. М.А. Леонтович, В.А. Фок. Исследования по распространению радиоволн // ЖЭТФ, 1946, т. 16, № 7, с. 557-573.

3. X. Цикон, Р. Фрезе, В. Кирш, Б. Саймон. Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. М.: Мир, 1990. 408 с.

4. Физическая энциклопедия (Т. 3. С. 528). М.: Изд-во «Большая Российская энциклопедия», 1992. 672 с.

5. М.Б.Виноградова, О.В.Руденко, А.П.Сухоруков. Теория волн. М.: Наука, 1979. 384 с.

6. Д. Маркузе. Оптические волноводы. М.: Мир, 1974. 576 с.

7. А.П.Хапалюк. Открытые оптические резонаторы и пространственная структура лазерного излучения / Дисс. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. Минск: Белорусский университет, 1987. 379 с.

8. С.P. Boyer, E.G. Kalnins, W. Miller. Lie theory and separation of variables. 7. The harmonic oscillator in elliptic coordinates and Ince polynomials // Journal of Math. Physics. 1975. V. 16. N 3. P. 512-517

9. E.G. Kalnins, W. Miller, G.S. Pogosyan. Exact and quasi-exact solvability of two-dimensional supermtegrable quantum systems. I. Euclidean space // arXiv:math-ph/0412035. V. 1. N 11.

10. А. Ярив. Квантовая электроника. М.: Советское радио, 1980. 488 с.

11. J. Durnin. Exact solutions for nondiffractmg beams. I. The scalar theory // J. Opt. Soc. Am. A, 1987, N 4, P. G51-654.

12. A. Wuensche. Generalized Gaussian beam solutons of paraxial optics and their connection to a hidden symmetry // J. Opt. Soc. Am. A, 1989, vol. 6, N 9, pp. 1320-1329

13. E. Abramochkin, V. Volostnikov. Beam transformations and non-transformed beams // Optics Communications, 1991, vol.83, N1,2, pp.123-135.

14. Е.Г. Абрамочкин. Функции Эрмита-Лагерра-Гаусса // Вестник Самарского гос. университета. 2001. № 4. С. 19-41.http://www.ssu.samara.ru/~vestnik/est/2001web4/math/200140003.pdf

15. E. Abramochkin, V. Volostnikov. Generalized Gaussian beams // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. 2004. V. 6. N 5. P. S157-S161.http://www.iop.Org/EJ/article/1464-4258/6/5/001/joa45001.pdf

16. M.J. Bastiaans, T. Alieva. Bi-orthonormal sets of Gaussian-type modes 11 Journal of Optics A: Math. Gen. 2005. V. 38. N 46. P. 99319939.

17. M.J. Bastiaans, T. Alieva. Generating function for Hermite-Gaussian modes propagating through first-order optical systems // Journal of Optics A: Math. Gen. 2005. V. 38. N 6. P. L73-L78.

18. M.J. Bastiaans, T. Alieva. Mode mapping in paraxial lossless optics // Optics Letters. 2005. V. 30. N 12. P. 1461-1463.

19. M.J. Bastiaans, T. Alieva. Propagation law for the generating function of Hermite-Gaussian type modes in first-order optical systems // Optics Express. 2005. V. 13. N 4. P. 1107-1112.

20. M.J. Bastiaans, Т. Alieva. Wigner distribution moments measured as intensity moments in separable first-order optical systems // EURASIP J. Appl. Signal Process. 2005. N 10. P. 1535-1540.

21. M.J. Bastiaans, T. Alieva. First-order optical system with unimodular eigenvalues //J. Opt. Soc. Am. A., Opt. Image Sci. Vis. 2006.

22. M.J. Bastiaans, T. Alieva. Synthesis of an arbitrary ABCD-system with fixed lens positions // Optics Letters. 2006. P. 1-3.

23. M.A. Bandres, J.C. Gutierrez-Vega. Ince-Gaussian beams // Optics Letters. 2004. V. 29. N 2. P. 144-146.

24. M.A. Bandres, J.C. Gutierrez-Vega. Ince-Gaussian modes of the paraxial wave equation and stable resonators //J. Opt. Soc. Am. A. 2004. V. 21. N 5. P. 873-880.

25. M.A. Bandres. Ince-Gaussian modes of the paraxial wave equation and stable resonators // Optics Letters. 2004. V. 29. N 15. P. 17241726.

26. U.T. Schwarz, M.A. Bandres, J.C. Gutierrez-Vega. Observation of Ince-Gaussian modes in stable resonators // Optics Letters. 2004. V. 29. N 16. P. 1870-1872.

27. M.A. Bandres, J.C. Gutierrez-Vega. Ince-Gaussian series representation of the two-dimensional fractional Fourier transform // Optics Letters. 2005. V. 30. N 5. P. 540-542.

28. M.A. Bandres, J.C. Gutierrez-Vega. Vector Helrnholtz-Gauss and vector Laplace-Gauss beams // Optics Letters. 2005. V. 30. N 16. P. 2155-2157.

29. J.C. Gutierrez-Vega, M.A. Bandres. Ince-Gaussian modes in quadratic-index medium //J. Opt. Soc. Am. A. 2005. V. 22. N 2. P. 306-309.

30. E.G. Abrarnochkin, V.G. Volostnikov. Gaussian beams: new aspects and applications // Proc. 8 Intern. Conf. on Laser ans Fiber-Optical Networks Modeling LFNM'2006 (Kharkov, 29.06-1.07.2006). P. 267274.

31. Е.Г. Абрамочкин. О некоторых соотношениях между полиномами Эрмита и Лагерра // Деп. в ВИНИТИ. 20.02.91, № 1107-В91. 12 с.

32. Е.Г. Абрамочкин. Исследование обратных задач и автомодельных решений уравнения Шредингера: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Самара: Изд-во СамГПУ, 1996. 100 с.

33. В.Г. Волостников. Методы анализа и синтеза когерентных световых полей: исследование фазовой проблемы и развитие оптики гауссовых пучков: Дис. д-ра физ.-мат. наук. Саратов: Изд-во Саратов, гос. ун-та, 1997. 193 с.

34. Р. Беллман. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. 352 с.

35. В.П.Суетин. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976. 328 с.

36. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. 800 с.

37. А.П. Прудников, Ю.А. Врычков, О.И. Маричев Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 752 с.

38. Ю.А.Ананьев. Оптические резонаторы и проблема расходимости лазерного излучения. М.: Наука, 1979. 328 с.

39. Ю.А.Ананьев. Оптические резонаторы и лазерные пучки. М.: Наука, 1989. 264 с.

40. А.Джеррард, Дж.М.Верч. Введение в матричную оптику. М.: Мир, 1978. 344 с.

41. С.Хелгасон. Преобразование Радона. М.: Мир, 1983. 150 с.

42. Д.А.Варшалович, А.Н.Москалев, В.К.Херсонский. Квантовая теория углового момента. М.: Наука, 1975. 534 с.

43. В.Ф.Журавлев, Д.М. Климов. Прикладные методы в теории колебаний. М., Наука, 1988. 326 с.

44. A.M. Гончаренко. Гауссовы пучки света. Минск, Наука и техника,1977. 144 с.

45. Е. Титчмарш. Теория функций. М.: Наука, 1980. 464 с.

46. А.И. Маркушевич. Краткий курс теории аналитических функций. М., Наука, 1978. 528 с.

47. Е. Abramochkin, V. Volostnikov. Spiral-type beams // Optics Communications, 1993, vol. 102, N 3-4, pp. 336-350.

48. Б.Я.Левин. Распределение нулей целых функций. М., Гостехиз-дат, 1956. 632 с.

49. А.О. Гельфонд. Решение уравнений в целых числах. М., Наука,1978. 63 с.

50. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. М.: Наука, 1968. 832 с

51. А.С.Давыдов. Квантовая механика. М.: Физматгиз, 1963. 748 с.

52. Д.И. Блохинцев. Основы квантовой механики. М.: Высшая школа, 1968. 620 с.

53. G. Indebetouw. Optical vortices and their propagation // J. Modern Optics 1993. V. 40. P. 73-87.

54. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Квантовая механика. М.: Наука, 1989. 704 с.

55. Б.А.Дубровин, С.П.Новиков. // ЖЭТФ. 1980. Т. 79, С. 1006.

56. В.А. Гейлер. Двумерный оператор Шредингера с однородным магнитным полем и его возмущения периодическими потенциалами нулевого радиуса // Алгебра и анализ. 1991. Т. 3. Вып. 3. С. 248.

57. M.V. Berry, J.F. Nye. Dislocations in wave trains // Proc. Royal Soc (London). 1974. V. A336. P. 165-190.

58. Н.Б. Баранова, Б.Я. Зельдович. Дислокации поверхностей волнового фронта и нули амплитуды // ЖЭТФ. 1981. Т. 80. С. 17891797.

59. Н.Б. Баранова , Б.Я. Зельдович. Исследование плотности дислокаций волнового фронта световых полей со спекл-структурой // ЖЭТФ. 1982. Т. 83. С. 1702-1710.

60. В.Ю.Баженов, М.С.Соскин, М.В.Васнецов. Письма в ЖЭТФ 52 429 (1990)

61. Bazhenov V Yu, Soskin М S, Vasnetsov M V J. Mod Optics 39 985 (1992) V.Yu. Bazhenov, M.S. Soskin, M V. Vasnetsov. Screw dislocations in light wavefronts //J. Mod. Optics. 1992. V. 39. P. 985990.

62. M.S. Soskin, V.N. Gorshkov, M.V. Vasnetsov, J.T.Malos, N.R.Heck-enberg. Topological charge and angular momentum of light beams carrying optical vortices // Phys. Review A. 1997. V. 56. N 5. P. 40644075.

63. A.V. Ilyenkov, A.I. Khiznyak, L.V. Kreminskaya, M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov, in Holography and Correlation Optics, Proc. of SPIE Vol. 2647 (Ed. О V Angelsky) (Bellinghain, USA: SPIE, 1995) p. 43

64. A.V. Ilyenkov, A.I. Khiznyak, L.V. Kreminskaya, M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov, in Technical Digest of 15th Inter. Conf. of Coherent and Nonlinear Optics, vol. 1 (St. Petersburg, 1995) p. 439

65. M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov, I.V. Basistiy, in Technical Digest of 15th Inter. Conf. of Coherent and Nonlinear Optics, Vol. 2 (St. Petersburg, 1995)

66. I. Freund. Optical vortex trajectories // Optics Communications, 2000. V. 181. N 1-3. P. 19-33.

67. I. Dana, I. Freund. Vortex-lattice wave fields // Optics Communications, 1997. V. 136. P. 93-113.

68. N.R.Heckenberg, R.McDuff, C.P.Smith, H.Rubinztein-Dunlop, M.J. Wegener. Laser beams with phase singularities // Optics and Quantum Electronics. 1992. V. 24. P. S951-S962.

69. Y.Y. Schechner, R. Piestun, J. Shamir. Wave propagation with rotating intensity distributions // Physical Review E. 1996. V 54. P. R50-R53.

70. N.R.Heckenberg, R.McDuff, C.P.Smith, A.G.White. Generation of optical phase singularities by computer holograms // Optics Letters, 1992. V. 17. P. 221-223.

71. H. He, M.E.J. Friese, N.R. Heckenberg, H. Rubinztein-Dunlop. Direct observation of transfer of angular momentum to absorptive particles from a laser beam with a phase singularity // Physical Review Letters, 1995. V. 75. N 5. P. 826-829.

72. M. Vaupel, K. Staliunas, C.O. Weiss. Hydrodynamic phenomena m laser physics: Modes with flow and vortices behind an obstacle m an optical channel 11 Physical Review A. 1996. V. 54. N 1. P. 880-892.

73. N.R.Heckenberg, M.Vaupel, J.T.Malos, C.O.Weiss. Optical-vortex pair creation and annihilation and helical astigmatism of a nonplanar ring resonator 11 Physical Review A. 1996. V. 54. N 3. P. 2369-2378.

74. D. Rozas, C.T. Law, G.A. Swartzlander Jr. Propagation dynamics of optical vortices // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. N 11. P. 30543065.

75. L. Torner, D.V. Petrov. Splitting of light beams with spiral phase dislocations into sohtons in bulk quadratic nonlinear media j j J Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. N 8. P. 2017-2023.

76. Inter. Conf. on Singular Optics, Proc. SPIE. V. 3487 (Editor M.S. Soskin). Bellingham, USA: SPIE, 1998.

77. Inter. Conf on Singular Optics, Proc. SPIE. V. 4403 (Editors M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov). Bellingham, USA: SPIE, 2001.

78. E. Abramochkin, V. Volostnikov. Relationship between 2D intensity and phase in a Fresnel diffraction zone // Optics Communications,1989. V. 74. N 3-4. P. 144-148.

79. В.Г. Волос гников. Фазовая проблема в оптике // Препринт ФИ-АН N 93. М.: ФИАН, 1990. 60 с.

80. V.G. Volostnikov. Phase problem in optics // J. Sov. Laser Research.1990. V. 11. N 6. P. 601-626.

81. П.Лелон, Л.Груман. Целые функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1989. 348 с.

82. М.В.Федорюк. Асимптотика: интегралы и ряды. М.: Наука, 1987. 544 с.

83. Ю.Л. Рабинович. О целых функциях, представимых в виде интегралов Лапласа //В сб.: Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного (под. ред. А.И. Маркушевича). М.: Физматгиз, 1960. С. 186-194.

84. Е. Abramochkin, N. Losevsky, V. Volostnikov. Generation of spiral-type laser beams // Optics Communications. 1997. V. 141. N 1-2. P. 59-64.

85. E. Abramochkin, V. Volostnikov. Spiral-type beams: optical and quantum aspects // Optics Communications, 1996. V. 125. N 4-6. P. 302-323.

86. Е.Г. Абрамочкин, В.Г. Волостников. Спиральные пучки свега — новый объект когерентной оптики // Известия Самарского научного центра РАН. 1999. № 2. С. 247-254.

87. Е. Abramochkin, V. Volostnikov. Light beams with phase singularities: some aspects of analysis and synthesis // Proceedings of SPIE, 2001, V. 4403, P. 44-49.

88. V. Volostnikov, E. Abramochkin. Spiral laser beams — а пеги object of coherent optics // Proceedings of SPIE, 2001, V. 4353, P. 237-241.

89. Е.Г. Абрамочкин, В.Г. Волостников. Вращающиеся световые поля и сингулярная оптика // Вестник Самарского гос. университета. 2002. Спец. выпуск. С. 71-114.http://www.ssu.samara.ru/"vestnik/est/2002web5/phys/200250201.pdf

90. Е.Г. Абрамочкин, В.Г. Волостников. Спиральные пучки света // Успехи физических наук. 2004. Т. 174. № 12. С. 1274-1300.http://www.ufn.ru/ufn04/ufn0412/Russian/r0412a.pdf

91. Д.Б. Фукс. Лента Мёбиуса. Вариации на старую тему // Квант. 1979. № 1. С. 2-9.

92. A.M. Переломов. Обобщенные когерентные состояния и их применения. М.: Наука, 1987. 270 с.

93. Е.Т. Уиттекер, Дж.Н.Ватсон. Курс современного анализа. Т. 2. М.: Наука, 1963. 516 с.

94. Е.Г. Абрамочкин, В.Г. Волостников, В.В.Котляр, А.Н.Малов. Решение фазовой проблемы в оптике в приближении Френеля // Крат, сообщ. по физике, 1986, № 7, С. 16-18.

95. Е.Г.Абрамочкин, В.Г.Волостников, В.В.Котляр, А.Н.Малов. Восстановление фазы двумерного светового ноля. Дифференциальный подход // Крат, сообщ. по физике, 1987, № 3, С. 7-9.

96. Е. Abramochkin, V. Volostnikov. Two-dimensional phase problem: differential approach // Optics Communications. 1989. V. 74. N 3-4. P. 139-143.

97. Е.Г. Абрамочкин, В.Г. Волостников. Фазовая проблема в оптике и синтез оптических полей // В сб. «Компьютерная оптика» (Самара: изд-во Самарского аэрокосмического университета), вып. 10-11. 1992. С. 95-100.

98. R.W. Gerchberg, W.O. Saxton. A practical algorithm for the determination of phase from image and diffraction plane pictures // Optik. 1972. V. 75. N 2. P. 237-246.

99. В.Г. Волостников, М.Ю. Локтев. Новый метод восстановления одномерных полей // Оптика и спектроскопия. 1999. Т. 86. № 1. С. 80-84.

100. А.В. Гончарский, В.В. Попов, В.В. Степанов. Введение в компьютерную оптику. М.: Изд-во МГУ, 1991. 310 с.

101. M.R.Taghizadeh, P.Blair, B.Layet, I.M.Barton, A.J.Waddie, N. Ross. Design and fabrication of diffractive optical elements // Microelectronic Engineering. 1997. V. 37. P. 219-242.

102. F. Wyrowski, O. Bryngdahl. Digital holography as part of diffractive optics // Reports Prog. Phys. 1991. P. 1481-1571.

103. M.A. Воронцов, A.H. Матвеев, В.П. Сивоконь. К расчету фоку-саторов лазерного излучения в дифракционном приближении // В сб. «Компьютерная оптика» (Самара: изд-во Самарского аэрокосмического университета), вып. 1. 1987. С. 74-78.

104. А.В.Гончарский, В.А.Данилов, В.В.Попов и др. Решение обратной задачи фокусировки лазерного излучения в произвольную кривую // Доклады АН СССР. 1983. Т. 273. № 3. С. 605-608.

105. А.В. Гончарский, И.Н. Сисакян, В.В. Степанов. О разрешимости некоторых обратных задач фокусировки лазерного излучения // Доклады АН СССР. 1984. Т. 279. № 1. С. 68-71.

106. L.Allen, M.W.Beijersbergen, R.J.С.Spreeuw, J.P.Woerdman. Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser modes // Physical Review A. 1992. V. 45. N 11. P. 8185-8189.

107. M.S. Soskin, V.N. Gorshkov, M.V. Vasnetsov, J.Malos, N.R. Heckenberg. Topological charge and angular momentum of light beams carrying optical vortices // Physical Review A, 1997, V. 56, P. 4064-4075.

108. В.И. Арнольд. Математические методы классической механики М.: Наука, 1979. 432 с.

109. Л.де Бройль. Соотношения неопределенностей Гейзенберга и вероятностная интерпретация волновой механики. М.: Мир, 1986.

110. Е. Abramochkin, V. Volostnikov. Structurally stable singular wavefields // Proceedings of SPIE, 1998, V. 3487, P. 20-28.

111. Н.М.Афанасьева. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук, 1996, Т. 166, N 11, С. 1145-1170.

112. И.М.Дрёмин, О.В.Иванов, В.А.Нечитайло. Вэйвлегпы и их использование // Успехи физических наук, 2001, Т. 171, N 5, С. 465501.

113. ИЗ. М. Loktev, N.Losevsky, V. Volostnikov. Beam synthesis with predetermined intensity // Proceedings of SPIE, 1998, V. 3487, P. 123-129.

114. M. Loktev, V. Volostnikov. Singular wavefields and phase retrieval problem 11 Proceedings of SPIE, 1998, V. 3487, P. 141-147.

115. М.А. Голуб, H.JI. Казанский, И.Н.Сисакян, В.А.Сойфер, С.И.Харитонов. Дифракционный расчет оптического элемента, фокусирующего в кольцо // Автометрия, 1987. N 6. С. 8-15.

116. J.В. Murphy. Phace space conservation and selection rules for astigmatic mode converters // Optics Communications, 1999, vol.165, N1, P. 11-18.

117. R. Simon, N. Mukunda. Optical phase space, Wigner representation, and invariant quality parametrs // J. Opt. Soc. Am. A. 2000. V. 17. N 12. P. 2440-2463.

118. R. Simon, G.S. Agarwal. Wigner representation of Laguerre-Gaussian beams // Optics Letters. 2000. V. 25. N 18. P. 1313-1315.

119. J.Visser, G.Nienhuis. Orbital angular momentum of general astigmatic modes // Physical Review A. 2004. V. 70. N 013809. P. 112.

120. G.F. Calvo, A. Picon, E. Bagan. A quantum theory twist to photon angular momentum // arXiv:quant-ph/0509040. V. 1. N 6.

121. M.R. Dennis. Rows of optical vortices from elliptically perturbing a high-order beam // arXiv:physics/0602066. V. 1. N 9.

122. S. Lopez-Aguayo, A.S. Desyatnikov, Y.S. Kivshar. Azimuthons in nonlocal nonlinear media // Optics Express. 2006. V. 14. N 17. P. 7903-7908.

123. E.G. Abramochkin, E.V. Razueva, V.G. Volostnikov. Application of spiral laser beams for beam shaping problem // Proc. LFNM'2006 (Kharkov, 29.06-1.07.2006). P. 275-278.

124. E.G. Abramochkin, E.V. Razueva, V.G. Volostnikov. Fourier invariant singular wavefields and beam shaping problem // Proc. LFNM'2006 (Kharkov, 29.06-1.07.2006). P. 370-373.

125. E.G. Abramochkin, S.P.Kotova, N.N. Losevsky, V.G. Volostnikov, V.V. Yakutkin. Transformation of laser diode radiation to complexstructure modes in build-up beam rotator interferometer // Proc. of SPIE. 2005. V. 5851. P. 408-414.

126. E.G. Abramochkin, S.P.Kotova, A.V. Korobtsov, N.N. Losevsky, A.M. Mayorova, M.A. Rakhmatulin, V.G. Volostnikov. Microobject manipulations using laser beams with nonzero orbital angular momentum // Laser Physics. 2006. V. 16, N5, P. 842-848.