Возбуждение и обдирка высокозарядных ионов в релятивистских столкновениях с атомами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, доктор физико-математических наук Войткив, Александр Богданович

• Войткив, Александр Богданович
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Войткив, Александр Богданович

Оглавление

1 Введение

1.1 Цели работы

1.2 Научная новизна работы

1.3 Научная и практическая ценность работы

1.4 Структура и объем диссертации

2 Рассмотрение в первом порядке теории возмущений

2.1 Плосковолновое борновское приближение

2.1.1 Упругая атомная мода

2.1.2 Неупругая атомная мода

2.1.3 Столкновения с большой передачей импульса. Модель свободных столкновений

2.2 Описание в представлении параметра удара (полуклассический подход)

3 Методы вне рамок первого порядка теории возмущений

3.1 Второй порядок теории возмущений

3.2 Подход на основе метода искаженных волн

3.2.1 Модель симметричного эйконала

3.2.2 Модель симметричного эйконала: 'электростатический' подход

3.2.3 Пример применения модели: Угловое распределение электронов, испущенных атомом

3.3 Метод сильной связи каналов

3.4 Приближение внезапных возмущений

3.4.1 Вклад от упругой атомной моды

3.4.2 Полный вклад от атома

3.5 Приближение Глаубера

3.6 Потеря электрона ионами. Сравнение с экспериментом

3.6.1 Полное сечение потери

3.6.2 Распределение ионов отдачи мишени по продольной компоненте импульса

4 Описание релятивистских столкновений в первом порядке теории возмущений

4.1 Предварительные замечания

4.2 Упрощенное рассмотрение в представлении параметра удара

4.3 Плосковолновое борновское приближение

4.3.1 Связь форм-факторов

4.4 Рассмотрение в представлении параметра удара

4.4.1 Эквивалентность полуклассического и квантового рассмотрений

4.5 Релятивистские особенности и нерелятивистский предел

4.6 Рассмотрение на основе квантовой электродинамики

4.7 Калибровочная инвариантность и уравнение непрерывности

4.8 Расчеты в кулоновской калибровке

4.8.1 "Продольный"и "поперечный"вклады в сечение потери

электрона

4.9 Упрощение атомного тока перехода:

приближение 'нерелятивистского атома'

4.9.1 Эффективный заряд атома

4.10 Преобразование матричных элементов переходов как эффективно эквивалентное изменению калибровки

4.10.1 Расчеты с использованием приближенных состояний для

электрона иона

4.11 Переходы электрона в водородоподобном ионе как кулоновская

задача трех тел

4.11.1 Релятивистское, нерелятивистское и полу-релятивистское

описания электрона иона

4.12 Релятивисткие ион-атомные столкновения и нерелятивистские форм-факторы

4.13 Рождение электрон-позитронной пары в столкновениях между ядром и нейтральным атомом

4.14 Двухцентровые диэлектронные переходы

4.14.1 Взаимная "ионизация"иона и атома

4.14.2 Радиационное поле и резонансные двуцентровые диэлек-

тронные переходы

5 Методы, выходящие за рамки первого порядка теории возмущений

5.1 Столкновения с легкими атомами. Предварительные замечания

5.2 Модель симметричного эйконала для атомного тока перехода

5.2.1 Нерелятивистский предел

5.2.2 Соотношение с первым порядком теории возмущений

5.2.3 Ионы более чем с одним электроном

5.2.4 Учет межъядерного взаимодействия

5.2.5 Столкновения с двухэлектронными атомами

5.2.6 Некоторые примеры применения

5.3 Столкновения с тяжелыми атомами. Предварительные замечания

5.4 Ультрарелятивистские столкновения с тяжелыми атомами

5.4.1 Потенциалы светового конуса

5.4.2 Классический электрон в поле частицы, двигающейся со скоростью света

5.4.3 Квантовый электрон в поле частицы, двигающейся со скоростью света

5.4.4 Применение метода светового конуса к ион-атомным столкновениям

5.4.5 Унитарность метода светового конуса

5.4.6 Ультрарелятивистские столкновения: комбинация метода светового конуса и первого порядка теории возмущений

5.4.7 Метод светового конуса для нерелятивистского электрона

5.4.8 Приближение симметричного эйконала

5.5 Столкновения при сравнительно низких энергиях. Трехтельные кулоновские модели на основе методов искаженных волн

5.5.1 Симметричное эйкональное приближение

5.5.2 Приближение КДВ-ЭИС (Continuum-Distorted-Wave-Eikonal-Initial-State Approximation)

5.5.3 Соотношение с первым порядком теории возмущений

5.5.4 Сравнение релятивисткого и полу-релятивистского описаний электрона

5.5.5 Влияние эффектов высшего порядка по ион-атомному взаимодействию в сравнении с эффектом экранировки

5.5.6 Сравнение результатов, получаемых в моделях искаженных волн и непертурбативных подходах

5.6 Предел высоких энергий для моделей искаженных волн

6 Зависимость вероятностей возбуждения и обдирки иона от прицельного параметра

6.1 Предварительные замечания

6.2 Амплитуды переходов

6.2.1 Упругая мода мишени

6.2.2 Неупругая мода мишени

6.3 Возбуждение В182+(1з) при столкновениях с атомами меди и гелия

6.3.1 Экранировка атомного ядра атомными электронами в ультрарелятивистских столкновениях с умеренно тяжелыми атомами

6.3.2 Эффекты экранировки и анти-экранировки в ультрарелятивистских столкновениях с легчайшими атомами. 'Разделение' упругой и неупругой атомных мод по прицельному параметру

6.3.3 Сравнительный анализ возбуждения релятивистских высокозарядных ионов в столкновениях при низких и высоких значениях у

6.4 Эффекты высших порядков в вероятности потери электрона в столкновениях при 7 —» оо

7 Расчет сечений и сравнение с экспериментом

7.1 Обдирка высокозарядных ионов в столкновениях при низких 7

7.2 Возбуждение и обдирка, сопровождаемая возбуждением, в столкновениях при низких 7

7.2.1 Возбуждение

7.2.2 Обдирка, сопровождающаяся возбуждением остаточного иона

7.3 Потери электрона в столкновениях при умеренно высоких 7

7.4 Столкновения при высоких 7. Сечения потери и захвата электрона

7.4.1 Сечения потери электрона

7.4.2 Захват электрона посредством рождения пары

7.5 Зарядовые состояния ионов свинца, проходящих с энергией 33 ТэВ через твердотельные мишени. Эффекты многократных столкновений

7.5.1 Фракция водородоподобных ионов

7.5.2 Эффективное сечение потери

7.6 Дифференциальные сечения потери электрона в столкновениях

при больших 7

7.6.1 Энергетический спектр электронов, испускаемых ультрарелятивистскими ионами в условиях однократного ион-атомного столкновения

7.6.2 Спектр электронов, испускаемых при прохождении ионов свинца с энергией 33 Тэв через фольгу. Роль возбужденных состояний ионов

7.7 Еще раз о "продольном"и "поперечном"вкладах в полное сечение потери

7.8 Сечения потери электрона при асимптотически высоких 7. Эффект насыщения

7.9 Возбуждение и развал пиония в релятивистских столкновениях

с атомами

7.10 Эффекты высших порядков в столкновениях при асимптотически высоких 7

8 Заключение

8.1 Основные результаты

8.2 Защищаемые научные результаты и положения

9 Приложение I: Некоторый справочный материал

9.1 Элементы специальной теории относительности

9.1.1 Преобразование Лорентца

9.1.2 Четырех-мерное пространство и четыре-векторы

9.1.3 Релятивистское сложение скоростей

9.1.4 Преобразование энергии-импульса

9.1.5 Преобразование сечений

9.2 Электромагнитное поле

9.2.1 Уравнения Максвелла и сохранение электрического заряда

9.2.2 Потенциалы электромагнитного поля и калибровочные преобразования

9.2.3 Уравнения Максвелла для потенциалов

9.3 Уравнение Дирака

9.3.1 Гамильтонова форма

9.3.2 Калибровочная инвариантность уравнения Дирака

9.3.3 Ковариантная форма

9.3.4 Классификация состояний в сферическом потенциале

10 Приложение II

10.1 Приближении "нерелятивистсткого"атома для упругой атомной

моды

10.2 Уравнение Шредингра-Паули и релятивистские столкновения

10.2.1 Волновое уравнение для нерелятивистского электрона и член

10.2.2 Амплитуда 'первого порядка' и несохраняющийся электронный ток

10.2.3 Корректная форма амплитуды первого порядка

10.2.4 Несколько замечаний о выводе уравнения Шредингера из уравнения Клейна-Гордона, данного в некоторых учебниках

10.3 О существовании области 'перекрытия'

References

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Возбуждение и обдирка высокозарядных ионов в релятивистских столкновениях с атомами»

Введение

Актуальность проблемы

В течение последних трех десятилетий столкновения между однократно и многократно заряженными ионами Х2+ ^ ~ 1 - 10) и атомами, происходящие при энергиях ~ 0.5 -10 МэВ/нуклон, когда скорость относительного движения уже значительно превышает характерные орбитальные скорости внешних атомных электронов, были предметом интенсивных экспериментальных и теоретических исследований. Изучение различных элементарных физических процессов, возникающих при таких столкновениях, представляют большой интерес не только для фундаментальной атомной физики, но и имеет разнообразные приложения в других областях, таких как оптика, физика плазмы, астрофизика и радиационная физика.

Гораздо более высокие энергии 0.1 - 200 ГэВ/нуклон) и зарядовые состояния ионов [2 ~ 30 - 90) стали доступны для экспериментальных исследований по ион-атомным столкновениям с приходом ускорителей тяжелых релятивистских ионов. Это, наряду с интересной физикой и многообразием происходящих в таких столкновениях элементарных процессов, вызвало большое внимание со стороны теоретиков, работающих в области атомной физики.

В столкновениях между голым ионом (ядром) и атомом возможны три базовых элементарных процесса. (¡) Атом может быть возбужден или ионизован. (И) Один или более атомных электронов могут быть подхвачены полем налетающего ядра, сформировав связанное или низколежащее континумное состояние получившегося нового иона. Этот процесс может происходить с испусканием или без испускания фотона и носит название соответственно радиационного или нерадиационного захвата. В элементарном процессе столкновения может

произойти также и комбинация (1) и (11). Кроме того, в релятивистских столкновениях становится возможным (111) рождение электрон-позитронных пар с сечениями, которые при ультрарелятивистских энергиях достигают весьма существенных значений.

Высокозарядные атомные частицы, производимые на ускорителях тяжелых релятивистских ионов, зачастую являются не голыми ядрами, а несут один или более сильно связанных электронов. В столкновениях между такими частично ободранными ионами и атомами эти электроны могут переходить в возбужденные связанные состояния иона или вообще его покидать (процесс потери электрона ионом, также называемый обдиркой иона). Для наблюдателя, находящегося в системе покоя иона, эти процессы будут выглядеть как возбуждение или 'ионизация' покоящегося иона ударом налетающего нейтрального атома. В дополнение к ядру нейтральный атом содержит электроны, один лишь факт присутствия которых во время столкновения может различным образом влиять на движение электронов иона. Более того, поскольку ион, будучи заряженной системой, может воздействовать на поведение электронов атома, искажая их движение еще во время его подлета, то влияние электронов атома на электроны иона зависит, вообще говоря, и от параметров иона. В результате физика возбуждения и 'ионизация' иона ударом нейтрального атома будет в общем случае сильно отличаться от имеющей место в столкновениях, в который нейтральный атом возбуждается или ионизуется за счет взаимодействия с пролетающим голым ядром. Таким образом, в столкновениях между частично ободранными ионами и нейтральными атомами становятся возможными качественно новые элементарные процессы - возбуждение иона и потеря им электрона(ов) 1.

В последнее время по физике быстрых ион-атомных столкновений был опубликован ряд монографий: [1]- [5]. Две из них, [3] и [4], практически полностью посвящены области релятивистских атомных столкновений. Кроме того, некоторые аспекты таких столкновений рассматривались также в более ранней книге [6].

В отличие от всех этих вышеупомянутых книг, в которых рассматривались процессы ионизации и перезарядки атомов в столкновениях с голыми ядрами, настоящая диссертация, следуя нашей недавней монографии [7], фокусируется на теории процессов возбуждения и потери электронов ионами в столкновениях с нейтральными атомами. В таких столкновениях участвуют электроны и ядра обеих атомных частиц. Основное внимание уделяется описанию столкновений при релятивистских энергиях и с участием высокозарядных ионов.

1Процесс потери ионом электронов будем также называть обдиркой иона

В случае ион-атомных столкновений при нерелятивистских энергиях (с участием лишь легких ионов), возбуждение ионов и потеря ими электронов рассмаривались в монографиях [1] и [2]. Однако теоретическое описание этих процессов в них было, как правило, ограничено использованием простейшей модели - первого порядка теории возмущений по ион-атомному взаимодействию. Поэтому в настоящую диссертацию включено обсуждение ряда теоретические методов, развитых автором в последние годы, которые предназначены для описания нерелятивистских столкновений между атомными частицами, приводящими к изменению их внутреннего состояния, в условиях, когда первый порядок теории возмущений не применим.

Стоит также сразу уточнить следущее. В ион-атомных столкновениях могут, разумеется, происходить и ядерные реакции. Однако в сравнении с атомными процессами эти реакции обычно характеризуются гораздо меньшими сечениями, практически не влияют на атомные процессы и в данной диссертации, где ядра сталкивающихся атомных частиц считаются просто точечными зарядами, не рассматриваются.

1.1 Цели работы

Настоящая диссертационная работа посвящена теоретическому изучению процессов возбуждения и обдирки ионов, происходящих при столкновениях с атомами при больших энергиях. Для описания столкновения атомных частиц, приводящих к изменению их внутренней структуры, в работе предложены теоретические методы, которые "покрывают"очень широкую область энергий столкновения, простирающуюся от ~ 1 МэВ/нуклон до (в принципе неограниченно высоких) ультрарелятивистких значений.

Главной целью работы являлось создание теоретических методов, которые позволяют описывать столкновения ионов с атомами, приводящие к изменению их внутренней (электронной) структуры, для релятивистской области параметров задачи. Эта область характеризуется как релятивистскими энергиями столкновения, так и в общем случае близкими к скорости света скоростями электронов во внутренних состояниях сталкивающихся частиц.

Кроме того, в работе представлен также ряд подходов, разработанных для описания быстрых нерелятивистских ион-атомных столкновений в области параметров задачи, где первый порядок теории возмущений не работает.

Основной упор в диссертации делается на описании электронных переходов в ионе, т.е. на возбуждении и обдирке иона, в то время как детальное

описание переходов, совершаемых в столкновении электронами атома, проводится лишь для случая таких наиболее легких и простых атомов, как водород и гелий.

В рамках приложения разработанных методов в диссертации также представлен большой набор конкретных численных результатов для вероятностей и сечений возбуждения и обдирки и проведено сравнение со значительным объемом экспериментальных данных, накопленных в этой области исследования за последние годы.

Краткое содержание диссертации

Диссертация (не считая глав Введение и Заключение, а также Приложения) состоит из двух существенно неодинаковых по размеру частей.

В части I, состоящей из глав 2 и 3, подробно обсуждается ряд теоретических методов, развитых для описания нерелятивистских ион-атомных столкновений. Глава 2, в которой рассматриваются простейшие методы описания таких столкновений, основанные на использовании первого порядка теории возмущений по ион-атомному взаимодействию, является по существу вводной. Глава 3 посвящена теоретическим методам, выходящим за рамки первого порядка теории возмущений. Эти методы основываются на использовании второго порядка теории возмущений, моделей искаженных волн, приближения внезапных возмущений и приближения Глаубера.

В части II рассматривается описание возбуждения и потери электрона ионами в релятивистских столкновениях. В этой части представлены основная тема и главные результаты диссертации.

Часть II начинается с главы 4. В ней дано детальное рассмотрение релятивистских столкновений между налетающим ионом и атомной мишенью, каждый из которых исходно имеет электроны участвующие, активно или пассивно, в процессе столкновения. В этой главе взаимодействие между ионом и атомом описывается в рамках первого порядка теории возмущений, т.е. в предположении, что оно происходит через обмен лишь одним виртуальным фотоном между ионом и атомом. Среди ряда вопросов в главе 4 обсуждаются квантовая и полуклассическая версии развиваемой теории и показывается их эквивалентность при расчете сечений, обсуждается нерелятивистский предел этой теории, затрагиваются вопросы касающиеся выбора подходящей калибровки и калибровочной (не)зависимости получаемых результатов, обсуждаются возможные упрощения полного выражения для релятивистской амплитуды и т.д..

В главе 5 излагаются ряд теоретических методов, которые позволяют рассматривать возбуждение и потерю электронов релятивистскими ионами вне рамок первого порядка теории возмущений. В сравнении с последней эти методы в случае, когда взаимодействие между ионом и атомом является достаточно сильным, позволяют лучше описать ион-атомное взаимодействие. Поэтому они могут применяться для рассмотрения столкновений, в которых генерируемые сталкивающимися частицами поля становятся слишком сильными для того, чтобы использование первого порядка теории возмущений могло привести к удовлетворительному результату. В этой главе обсуждается модель симметричного эйконала, разработанная для детального изучения столкновений между релятивистским высокозарядным ионом и легким атомом, в которой в четыре-токе атомного перехода учитываются искажения исходного и конечного состояний атома, вызванные взаимодействием с полем релятивистского высокозарядного иона. В ней рассматриваются и различные вопросы, относящиеся к применению метода т.н. светового конуса, в котором поле, создаваемое ультрарелятивистской частицей, аппроксимируется его предельным значениям, получаемым считая скорость столкновения равной скорости света, и в котором можно получить точное решение ряда задач. Кроме того в этой главе обсуждаются трехтельные модели ион-атомных столкновений, основывающиеся на методах искаженных волн и сведении процессов возбуждение и потери электрона ионами в столкновении с многоэлектронными атомами к задаче трех тел (в том числе и к кулоновской задаче трех тел).

Главы 6 и 7 содержат в основном приложения теоретических методов, рассматриваемых в предыдущих главах части II, к конкретным столкновитель-ным процессам. В главе 6 обсуждаются зависимости вероятностей возбуждения и потери электрона ионами от величины прицельного параметра релятивистских ион-атомных столкновений. Сечения процессов рассматриваются в главе 7, где результаты расчетов сравниваются с имеющимися экспериментальными данными.

Глава 7 также включает секции, в которых рассматриваются связанно-свободное рождение электрон-позитронных пар, происходящее в столкновениях между голым ядром и нейтральным атомом, и возбуждение и развал пиония в релятивистских столкновениях с атомами. Эти процессы имеют много общего с возбуждением и потерей электронов ионами и могут рассматриваться используя сходные методы. К примеру, в картине дираковского моря связанно-свободное рождение пары очень близко соотносится с процессом потери электрона. С другой стороны, хотя сильное взаимодействие является совершенно

необходимым для понимания физики пионов 7Г+ и 7Г~, составляющих пионий, взаимодействие между последним и атомом, ответственное за его возбуждение и развал, происходит практически лишь за счет электромагнитного поля и в этом смысле пионий-атомные столкновения представляют всего лишь несколько экзотический случай релятивистских атомных столкновений.

Диссертация также содержит Приложение, состоящее из двух глав. В главе 9, включенной в диссертацию лишь для удобства чтения, представлены некоторые справочные сведения по специальной теории относительности и уравнениям Максвелла и Дирака, которые формируют базис теории релятивистских атомных столкновений. В главе 10 помимо двух секций, в которых рассматриваются довольно технические вещи, содержится также детальное решение одного вопроса, бывшего в течение долгого времени предметом непонимания в сообществе теоретиков, занимающихмя атомными столкновениями. Он касается правильной формы для волнового уравнения, описывающего поведение электрона, который исходно движется в поле одного из ядер со скоростью гораздо меньшей скорости света и подвергается в столкновении воздействию поля, генерируемого другим ядром, движущимся относительно первого с (ультра) релятивистской энергией.

В Заключении приводятся основные результаты диссертации.

Основное содержание диссертации отражено в 33 журнальных статьях и монографии Relativistic Collisions of Structured Atomic Particles [7]. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на международных конференциях по физике фотонных, электронных и атомных столкновений (ICPEAC 2001 (Santa-Fe, USA), ICPEAC 2003 (Stokholm, Sweden), ICPEAC 2005 (Rosario, Argentina), ICPEAC 2007 (Freiburg, Germany)), а также на международных конференциях по физике ион-атомных столкновений (2003, Stokholm, Sweden), (2004, Debrecen, Hungary), (2005, Rio de Janeiro, Brazil), (2007, Agios-Nicolaus, Creta, Greece), (2009, Norfolk, USA) и ряде других.

1.2 Научная новизна работы

В данной работе впервые:

1. Развит подход для детального описания быстрых нерелятивистских столкновений между многозарядным ионом и легким атомом, основанный на

методе искаженных волн.

2. Предложены методы для описания возбуждения и обдирки иона в быстрых нерелятивистских столкновениях с атомами, основанные на использовании приближения внезапных возмущений и приближения Глаубера.

Установлена простая связь между приближением внезапных возмущений и методом сильной связи каналов.

3. В рамках первого порядка теории возмущений построена детальная релятивистская теория, описывающая различные аспекты возбуждения и обдирки ионов в релятивистских столкновениях с атомами. Проанализированы ее различные предельные случаи и возможные упрощения.

Развита версия вышеупомянутой теории в представлении параметра удара. Показано, что результаты для сечений, получаемые в этих теориях, совпадают. В рамках этой версии предложен также упрошенный подход к описанию возбуждения и потери электронов ионами в релятивистских ион-атомных столкновениях.

Теория одновременных электронных переходов в сталкивающихся ионе и атоме, вызываемых т.н. двуцентровым диэлектронным взаимодействием, обобщена на область релятивистских энергий столкновения.

4. Развит метод, позволяющий детальное описания релятивистских столкновений между высокозарядным ионом и легким атомом, который основан на учете искажающего влияния сильного поля иона на исходное и конечное состояния атома в рамках модели симметричного эйконала.

5. Предложен подход к расчету сечений возбуждения и обдирки ионов в столкновениях с тяжелыми атомами при энергиях ~ 1 ГэВ/нуклон, основывающийся на трактовке поля атома как внешнего и использовании модели симметричного эйконала для приближенного учета искажения исходного и конечного состояний иона полем атома.

6. Проанализировано поведении классического и квантового электронов в электромагнитном поле, создаваемым частицей, движущейся со скоростью света.

Развит метод описания возбуждения и потери электрона ионом в ультрарелятивистских столкновениях с многоэлектронным атомом, основывающийся на трактовке поля атома как внешнего и рассмотрении задачи о возбуждения и потери электрона ионом под действием этого внешнего поля используя комби-

нацию метода потенциалов светового конуса и первого порядка теории возмущений, использующихся для описаний столкновений соответственно с малыми и большими прицельными параметрами.

В методе потенциалов светового конуса выведена амплитуда перехода для нерелятивистского электрона, связанного в поле ядра иона (атома) и подвергающегося в столкновении воздействию поля частицы, движущейся со по отношению к ядру со скоростью приближающейся к световой.

7. Для задачи возбуждения и ионизации (потери электрона) в релятивистских ион-атомных столкновениях проведено (в рамках первого порядка теории возмущения) детальное сравнение результатов получаемых при использовании релятивистсткого, полурелятивистских и нерелятивистсткого описаний электрона. Обсуждены результаты, получающиеся при использовании разных калибровок электромагнитного поля (в то время как состояния электрона описываются приближенно) и указано на преимущество одних калибровок перед другими.

Представлены подробный анализ и решение проблемы с нефизическим вкладом в амплитуду перехода электрона от пропорциональной квадрату векторного потенциала части оператора взаимодействия между электроном и электромагнитным полем налетающей частицы, с которой столкнулись ряд авторов, использовавших уравнение Шредингера (Шредингера-Паули) для описания релятивистских столкновений.

8. Показано, как при сравнительно невысоких энергиях столкновения и очень больших энергиях связи электронов в ионе многочастичная задача о возбуждении и обдирке высокозарядного иона в столкновениях с многоэлектронным атомом может быть сведена к задаче трех тел. Для такого случая предложены трехчастичные кулоновские модели для расчета возбуждения и обдирки высокозарядных ионов в столкновениях с тяжелыми атомами, основанные на приближенном учете влияния поля атомного ядра на исходное и конечное состояния электрона иона и использующие полностью релятивистское описание электрона в этих состояниях.

9. Показано, что в ультрарелятивистском пределе результаты моделей для возбуждения и ионизации (потери), построенных методом искаженных волн, переходят не в результаты первого порядка теории возмущений (как это ранее неверно утверждалось в литературе), а в результаты, получаемые при использовании метода потенциалов светового конуса.

10. Выяснены причины значительного расхождения между теоретическими и экспериментальными результатами для полного сечения потери электрона ионами РЬ81+(1э) падающими с энергией 160 ГэВ/нуклон на различные твердотельные мищени. Объяснены основные причины возникновения неожиданно узких энергетических распределений ультрарелятивистских электронов, испускаемых при прохождении сквозь тонкие пленки ионов свинца, имеющих энергию 160 ГэВ/нуклон.

1.3 Научная и практическая ценность работы

Несмотря на большое количество экспериментальных данных, полученных для сечений возбуждения и потери электрона ионами в релятивистских столкновениях с атомами, до появления результатов, изложенных в настоящей работе, не были разработаны регулярные теоретические методы исследования таких процессов. Данная работа заложила теоретические основы для исследований в этой области.

Описываемые в ней теоретические методы позволили провести исследование процессов возбуждения и обдирки ионов, объяснить ряд новых физических эффектов, характерных для этих процессов.

Проведенные расчеты для сечений возбуждения и потери, позволили дать правильную интерпретацию экспериментальных данных, полученных экспериментальными группами на ускорителях тяжелых ионов в Беркли (Калифорния, США), Дармштадте (Германия) и ЦЕРНе.

Результаты по сечениям возбуждения и обдирки ионов, полученные в данной работе, используются для постановки будущих экспериментов на ускорителях тяжелых ионов в Дармштадте (Германия) и Ланчжоу (Китай).

Существенной частью работы является создание пакетов компьютерных программ для расчета вероятностей и сечений рассматриваемых процессов. Указанные пакеты программ позволили не только реализовать развитые в работе методы расчета, но и объяснить ряд новых физических эффектов, обнаруженных экспериментально.

Значительная часть научных результатов данной работы использовалась в качестве материала для монографии и обзоров.

Основные положения, выносимые на защиту

Автор защищает свой вклад в развитие теории возбуждения и обдирки ионов столкновениях с атомами. В результате работы автора решен ряд проблем физики атомных столкновений, имеющих теоретическое и прикладное значение.

На защиту выносятся следущие результаты:

1. Теоретические методы для описания возбуждения и обдирки иона в быстрых нерелятивистских столкновениях с атомами, предназначенные для области параметров задачи, где борновское приближение неприменимо, и базирующиеся (1) на приближении искаженных волн, (11) на приближении внезапных возмущений и (ш) на приближении Глаубера.

2. Детальную теорию возбуждения и обдирки ионов в релятивистских столкновениях с атомами, построенную в рамках первого порядка теории возмущений по ион-атомному взаимодействию, а также версию этой теории в представлении параметра удара.

3. Детальную теорию возбуждения и обдирки высокозарядных ионов в релятивистских столкновениях с легкими атомами, в которой учитываются искажения исходного и конечного состояний атома полем иона, что позволяет применять эту теорию в случае, когда 2]/ь ~ 1 (2/ - заряд ядра иона, v -скорость столкновения) и, соответственно, борновский ряд теории возмущений является плохо сходящимся.

4. Подход к расчету сечений возбуждения и обдирки ионов в ультрарелятивистских столкновениях с тяжелыми атомами, основанный на трактовке поля атома как внешнего и комбинации метода потенциалов светового конуса и первого порядка теории возмущений, использующихся для описаний столкновений соответственно с малыми и большими прицельными параметрами. Метод расчета сечений возбуждения и обдирки ионов в столкновениях с тяжелыми атомами при энергиях ~ 1 ГэВ/нуклон, основывающийся на трактовке поля атома как внешнего и использовании модели симметричного эйконала для учета искажения исходного и конечного состояний иона полем атома.

5. Трехчастичные кулоновские модели для расчета возбуждения и обдирки высокозарядных ионов в столкновениях с тяжелыми атомами, которые основаны на возможности пренебречь (при определенных условиях) присутствием атомных электронов и учете влияния поля атомного ядра на исходное и ко-

нечное состояния электрона иона, и использующие полностью релятивистское описание электрона в этих состояниях.

6. Доказательство того, что в пределе асимптотически высоких энергий столкновения методы расчета сечений, основанные на моделях искаженных волн, приводят к точному результату, который в общем случае не совпадает с результатами первого порядка теории возмущений.

7. Набор оригинальных компьютерных программ, разработанных для реализации упомянутых выше методов в численных расчетах вероятностей и сечений процессов возбуждения и обдирки.

Апробация работы

Основные результаты, составившие базис диссертации, отражены в 28 журнальных статьях, 1 монографии и докладах на следующих конференциях:

Международной Конференции по физике фотонных, электронных и атомных столкновений в Санта-Фе (США, 2001),

Международной Конференции по физике фотонных, электронных и атомных столкновений в Стокгольме (Швеция, 2003),

Международной Конференции по физике фотонных, электронных и атомных столкновений в Росарио (Аргентина, 2005),

Международной Конференции по физике фотонных, электронных и атомных столкновений во Фрайбурге (Германия, 2007),

Международной Конференции по физике ион-атомных столкновений на борту теплохода Стокгольм-Хельсинки-Стокгольм (2003),

Международной Конференции по Дебрецене (Венгрия, 2004),

Международной Конференции по Рио-де-Жанейро (Бразилия, 2005),

Международной Конференции по Агиос-Николаус (Крит, Греция, 2007),

Международной Конференции по Норфолке (США, 2009), а также ряде других.

физике ион-атомных столкновений в физике ион-атомных столкновений в физике ион-атомных столкновений в физике ион-атомных столкновений в

1.4 Структура и объем диссертации

Диссертация состоит десяти глав, включая Введение, шесть рабочих глав, Приложение, содержащее две главы, и Заключение. Общий объем диссертации 321 стр., включая 57 рисунков и 2 таблицы. Список литературы содержит 233 наименования.

При работе над результатами, представленными в диссертации, использовались такие общие разделы физики, как классическая электродинамика, нерелятивистская и релятивистская квантовая механика (включая квантовую теории рассеяния) и квантовая электродинамика.

Существует ряд очень хороших монографий, в которых прекрасно излагаются вышеупомянутые разделы физики. Основываясь на нашем собственном опыте особенно рекомендуем [8]- [18]. Кроме того, такие вопросы как соотношение между теоретико-полевым подходом квантовой теории поля и менее общими методами, используемыми в теории атомных столкновений, уравнение Дирака и его решения в случае движущегося в кулоновском поле электрона могут быть также найдены в [3] и [4].

Последнее замечание в этой вводной главе касается системы единиц. В данной диссертации (если специально не оговаривется иное) используется т.н. атомная система единиц, в которой Н — те = е — 1, Н обозначает постоянную Планка, те - массу покоя электрона и е абсолютное значение электронного заряда. В этой системе единиц характерная скорость электрона в основном состоянии водородоподобного иона с зарядом ядра Z равна просто а скорость света в вакууме приближенно равняется 137.

Заключение диссертации по теме «Оптика», Войткив, Александр Богданович

8.1 Основные результаты

Сформулируем основные результаты диссертации.

1. Базирующийся на методе искаженных волн способ детального описания быстрых нерелятивистских столкновений между многозарядным ионом и легким атомом.

2. Методы, предложенные для описания нерелятивистских столкновений между ионом и атомом, которые основаны на использовании приближения внезапных возмущений и приближения Глаубера.

3. Детальная релятивистская теория, в рамках первого порядка теории возмущений, различных аспектов возбуждения и потери электронов ионами в релятивистских столкновениях с атомами. Версия этой теории в представлении параметра удара и, в рамках последней, упрощенный подход к описанию возбуждения и потери электронов ионами в релятивистских ион-атомных столкновениях.

4. Метод детального описания динамики релятивистских столкновений между высокозарядным ионом и легким атомом (оба из которых имеют "активные "электроны), основанный на учете искажающего влияния поля иона на на исходное и конечное состояния атома в рамках модели симметричного эйконала.

5. Метод расчета сечений возбуждения и обдирки ионов в столкновениях с тяжелыми атомами при энергиях ~ 1 ГэВ/нуклон, основывающийся на трактовке поля атома как внешнего и использовании модели симметричного эйконала для приближенного учета искажения исходного и конечного состояний иона полем атома.

6. Способ описания возбуждения и потери электрона ионом в ультрарелятивистских столкновениях с многоэлектронным атомом, основанный на трактовке поля атома как внешнего и использующий комбинацию метода потенциалов светового конуса и первого порядка теории возмущений, применяющихся для рассмотрения столкновений, соответственно, с малыми и большими прицельными параметрами.

Выведенную методом светового конуса амплитуду перехода для нерелятивистского электрона, связанного в поле ядра иона (атома) и подвергающегося в столкновении воздействию поля частицы, движущейся со по отношению к ядру со скоростью приближающейся к световой.

Результаты, полученные для задачи о поведении классического и квантового электронов в электромагнитном поле, генерируемым частицей движущейся со скоростью света.

7. Подробный анализ различных калибровок электромагнитного поля для использования при описании возбуждения и ионизации (обдирки) в релятивистских столкновениях.

Результаты сравнения, проведенного в рамках первого порядка теории возмущений, релятивистсткого, полурелятивистских и нерелятивистсткого описаний электрона для задачи возбуждения и ионизации (обдирки) в релятивистских столкновениях.

Решение проблемы с нефизическим вкладом в амплитуду перехода электрона от пропорциональной квадрату векторного потенциала части оператора взаимодействия между электроном и электромагнитным полем налетающей частицы, с которой столкнулись при использовании уравнения Шредингера (Шредингера-Паули) для описания релятивистских столкновений.

8. Трехчастичные кулоновские модели, основанные на приближенном учете влияния поля атомного ядра на исходное и конечное состояния электрона иона и и использующие полностью релятивистское описание электрона в этих состояниях.

9. Доказательство положения, имеющего принципиальный характер, о том, что в пределе асимптотически высоких энергий столкновения результаты моделей для возбуждения и ионизации (обдирки), основанных на методе искаженных волн, совпадают не с результатами первого порядка теории возмущений, а переходят в результаты, получаемые методом потенциалов светового конуса, т.е. в точные.

10. Выяснены причины значительного расхождения между теоретическими и экспериментальными результатами для полного сечения потери электрона ионами РЬ81+(1э) падающими с энергией 160 ГэВ/нуклон на различные твердотельные мищени. Объяснены основные причины возникновения при этом неожиданно узких энергетических распределений ультрарелятивистских электронов.

8.2 Защищаемые научные результаты и положения

Автор защищает:

1. Теоретические методы для описания возбуждения и обдирки иона в быстрых нерелятивистских столкновениях с атомами, предназначенные для области параметров задачи, где борновское приближение неприменимо, и базирующиеся (¡) на приближении искаженных волн, (и) на приближении внезапных возмущений и (111) на приближении Глаубера.

2. Детальную теорию возбуждения и обдирки ионов в релятивистских столкновениях с атомами, построенную в рамках первого порядка теории возмущений по ион-атомному взаимодействию, а также версию этой теории в представлении параметра удара.

3. Детальную теорию возбуждения и обдирки высокозарядных ионов в релятивистских столкновениях с легкими атомами, в которой учитываются искажения исходного и конечного состояний атома полем иона, что позволяет применять эту теорию в случае, когда ~ 1 (.2/ - заряд ядра иона, v -скорость столкновения) и, соответственно, борновский ряд теории возмущений является плохо сходящимся.

4. Подход к расчету сечений возбуждения и обдирки ионов в ультрарелятивистских столкновениях с тяжелыми атомами, основанный на трактовке поля атома как внешнего и комбинации метода потенциалов светового конуса и первого порядка теории возмущений, использующихся для описаний столкновений соответственно с малыми и большими прицельными параметрами. Метод расчета сечений возбуждения и обдирки ионов в столкновениях с тяжелыми атомами при энергиях ~ 1 ГэВ/нуклон, основывающийся на трактовке поля атома как внешнего и использовании модели симметричного эйконала для учета искажения исходного и конечного состояний иона полем атома.

5. Трехчастичные кулоновские модели для расчета возбуждения и обдирки высокозарядных ионов в столкновениях с тяжелыми атомами, которые основаны на возможности пренебречь (при определенных условиях) присутствием атомных электронов и учете влияния поля атомного ядра на исходное и конечное состояния электрона иона, и использующие полностью релятивистское описание электрона в этих состояниях.

6. Доказательство того, что в пределе асимптотически высоких энергий столкновения методы расчета сечений, основанные на моделях искаженных волн, приводят к точному результату, который в общем случае не совпадает с результатами первого порядка теории возмущений.

7. Набор оригинальных компьютерных программ, разработанных для реализации упомянутых выше методов в численных расчетах вероятностей и сечений процессов возбуждения и обдирки.

В заключение автор хотел бы, прежде всего, выразить глубокую благодарность Беннасеру Наджари за постоянное сотрудничество и большой вклад в разработку компьютерных программ, сделавших возможным приложение разработанных в диссертации методов к большому числу конкретных физических ситуаций.

Автор выражает искреннюю признательность Н.Грюну и А.Суржикову за сотрудничество, а В.Шайду и В.Шевелько - за обсуждение и интерес к работе.

Автор также благодарен всем другим своим коллегам, экспериментаторам и теоретикам, общение с которыми способствовало работе над тематикой, представленной в данной диссертации.

Глава 9

Заключение

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Войткив, Александр Богданович, 2010 год

Литература

[10 [11 [12

N. Stolterfoht, R.D. DuBois and R.D.Rivarola, Electron Emission in Heavy Ion-Atom Collisions (Springer 1997)

J.H. McGuire Electron Correlation Dynamics in Atomic Collisions (Cambridge University Press, 1997)

J.Eichler and W.Meyerhof, Relativistic Atomic Collisions, (Academic Press, San Diego, 1995)

D.S.F. Crothers, Relativistic Heavy-Particle Collision Theory (Kluwer Academic/Plenum Publishers, London, 2000)

J.Eichler, Lectures on Ion-Atom Collisions (Elsevier, Amsterdam, 2005)

B.H. Bransden and M.R.C. McDowell Charge Exchange and the Theory of IonAtom Collisions (Clarendon Press, Oxford, 1992)

A.Voitkiv and J.Ullrich, Relativistic Collisions of Structured Atomic Particles (Springer-Verlag, Berlin, 2008)

J.D. Jackson, Classical Electrodynamics (John Wiley and Sons, 1975)

L.D.Landau and E.M.Lifshitz, Classical Field Theory, (Pergamon Press, Oxford, 1971)

L.D.Landau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Pergamon Press, Oxford, 1977)

H.A.Bethe and E.E.Salpeter, Quantum Mechanics of One- and Two-Electron Atoms (Academic Press, New York, 1957)

J.J.Sakurai Advanced Quantum Mechanics (Addison-Wesley, Reading, Mass., 1967)

1

2

3

4

7

[13] M.E.Rose, Relativistic Electron Theory (Wiley, New York, 1961)

[14] J.D. Bjorken and S.D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics (McGraw-Hill, 1964)

[15] M.L.Goldberger and K.M.Watson, Collision Theory (Wiley, New York, 1964)

[16] B.H.Bransden, Atomic Collision Theory, W.A.Benjamin, Inc., New York (1970)

[17] M.R.C. McDowell and J.P. Coleman, Introduction to the Theory of Ion-Atom Collisions (North-Holland Publishing Company, Amsterdam - London, 1970)

[18] C.J.Joachain, Quantum Collision Theory (North-Holland Publishing Company, Amsterdam - Oxford, 1975)

[19] D.R.Bates and G.Griffing, Proc.Phys.Soc.London Sect. A 66 961 (1953)

[20] D.R.Bates and G.Griffing, Proc.Phys.Soc.London Sect. A 67 663 (1954)

[21] D.R.Bates and G.Griffing, Proc.Phys.Soc.London Sect. A 68 90 (1955)

[22] J.H. McGuire, Adv. At. Mol., and Opt. Phys. 29 217 (1991)

[23] E.C. Montenegro, W.E. Meyerhof and J.H. McGuire, Adv.At.Mol. and Opt. Phys. 34 249 (1994)

[24] N.Bohr, Kgl. Danske Videnskab Selskab, Mat.-fys. Medd. 18 No. 8 (1948)

[25] E.C. Montenegro and T.J.M. Zouros, Phys.Rev. A 50 3186 (1994)

[26] E.C. Montenegro and W.E. Meyerhof, Phys.Rev. A46 5506 (1992)

[27] D.H.Jakubassa-Amundsen, J.Phys. B 23 3335 (1990)

[28] D.H.Jakubassa-Amundsen, Z. fur Phys. D 22 701 (1992)

[29] D.H.Jakubassa-Amundsen, J.Phys. B 26 2853 (1993)

[30] H.M.Hartley and H.R.Walters, J.Phys. B 20 3811 (1987)

[31] I.M.Cheshire, Proc.Phys.Soc. 84 89 (1964)

[32] Dz.Belkic, J.Phys. B 11 3529 (1978)

[33] Dz.Belkic, R.Gayet and A.Salin, Phys.Rep. 56 279 (1979)

[34] D.S.F. Crothers and McCann, J.Phys. B 16 3229 (1983)

[35] J.M. Maidagan and R.D.Rivarola, J.Phys. B 17, 2477 (1984)

[36] G.R.Deco, PD.Fainstein and R.D.Rivarola, J.Phys. B 19 213 (1986)

[37] PD.Fainstein and R.D.Rivarola, J.Phys. B 20 1285 (1987)

[38] P.D.Fainstein, V.H.Ponce and R.D.Rivarola, J.Phys. B 24 3091 (1991)

[39] D.P.Dewangan and J.Eichler, Phys.Rep. 247 59 (1994)

[40] Dz. Belkic, Journal of Comp.Meth. in Sc. and Eng., Vol. 1 1 (2001)

[41] A.B.Voitkiv and B.Najjari, J.Phys. B 38 3587 (2005)

[42] A.B. Voitkiv, Phys. Rev. A 72 062705 (2005)

[43] M.M. S ant'Anna, W.S. Melo, A.C.F. Santos, G.M. Sigaud, and E.C. Montenegro, Nucl. Instr. Methods B 99 46 (1995)

[44] P.L. Grande, G. Schiwietz, G. M. Sigaud, and E. C. Montenegro, Phys. Rev. A 54 2983 (1996)

[45] T.Kirchner, M.Horbatch and H.J.Lüdde, J.Phys. B 37 2379 (2004)

[46] T.Kirchner, Nucl.Instr.Meth. B 233 151 (2005)

[47] T.Kirchner, A.C.F.Luna, H.Luna, M.M.Santanna, W.S.Melo, G.M.Sigaud, E.C.Montenegro, Phys.Rev. A 72 012707 (2005)

[48] A.B. Voitkiv, N. Grün and W. Scheid, J.Phys. B 33 3431 (2000)

[49] W. Magnus, Commun.Pure Appl. Math., 7 649 (1954)

[50] A.M.Dykhne and G.L.Yudin, Usp. Fiz. Nauk 125, 377 (1978).

[51] A.Messiah, Quantum Mechanics, Volume II (Wiley, New York, 1962)

[52] E. Merzbacher, Quantum Mechanics, 2nd edition, p.486 (Wiley, New York, 1970)

[53] A.B. Voitkiv, G.M. Sigaud, and E.C.Montenegro, Phys.Rev. A 59 2794 (1999)

[54] R.J.Glauber, in Lectures in Theoretical Physics ed. by W.E.Brittin et al. (Unterscience, New York, 1959), Vol. 1

E.Gerjuoy and B.K.Thomas, (1974) Rep.Progr.Phys. 37, 1345.

R.Abrines and I.C.Percival, Proc.Phys.Soc. 88 861, 873 (1966)

R.E.Olson, in Atomic, Molecular Sz Optical Physics Handbook, edited by G.W.F.Drake, p. 664 (AIP Press,Woodbury, New York, 1996)

C.O.Reinhold and J.Burgdörfer, J.Phys. B 26 3101 (1993)

S.Hofstetter, N.Grün and W.Scheid, Z. für Physik D 37 1 (1996)

C.J.Wood, R.E.Olson, W.Schmidt, R.Moshammer and J.Ullrich, Phys.Rev. A 56 3746 (1997)

[61 [62 [63 [64

J.Fiol, R.E.Olson, A.C.F.Santos, G.M.Sigaud and E.C.Montenegro, J.Phys. B 34 L503 (2001)

R.Dörner, V.Mergel, O.Jagutzki, L.Spielberger, J.Ullrich, R.Moshammer and H.Schmidt-Böcking, Phys. Rep. 330 95 (2000)

J.Ullrich, R.Moshammer, A.Dorn, R.Dörner, L.Schmidt and H.Schmidt-Böcking, Rep. Prog. Phys. 66 1463 (2003)

W.Wu, K.L.Wong, R.Ali, C.Y.Chen, C.L.Cocke, V.Frohne, J.P.Giese, M.Raphaelian, B.Walch, R.Dörner, V.Mergel, H.Schmidt-Bocköking and W.E.Meyerhof, Phys.Rev.Lett. 72 3170 (1994)

W.Wu, K.L.Wong, E.C.Montenegro, R.Ali, C.Y.Chen, C.L.Cocke, R.Dörner, V.Frohne, J.P.Giese, V.Mergel, W.E.Meyerhof, M.Raphaelian, H.Schmidt-Bocköking and B.Walch, Phys.Rev. A 55 2771 (1997)

H.Kollmus, R.Moshammer, R.E.Olson, S.Hagmann, M.Schulz, J.Ullrich, Phys.Rev.Lett. 88 103202 (2002)

K.G. Dedrick, Rev. Mod. Phys. 34 429 (1962)

V.B.Berestetskii, E.M.Lifshitz and L.P.Pitaevskii, Quantum Electrodynamics (Pergamon Press, Oxford, 1982)

[69] W.Greiner, Relativistic Quantum Mechanics (third edition, Springer-Verlag, Heidelberg, 2000)

[70] C.A. Bertulani and G. Baur, Physics Reports, 163, 299 (1988)

[71] R. Anholt and H. Gould, Adv. At. and Mol. Phys. 22 315 (1986)

[72] J. Eichler, Phys. Rep. 193 165 (1990)

[73] A.B.Voitkiv, Phys. Rep. 392 191 (2004)

[74] A.B.Voitkiv, Int. Journ. Mod. Phys. B 20 No 1 1-23 (2006)

[75] R. Anholt, Phys.Rev. A 31 3579 (1985)

[76] R.Anholt, W.E.Meyerhof, H.Gould, Ch.Munder, J.Alonso, P.Thienberger, and H.E.Wegner Phys.Rev. A 32 3302 (1985)

[77] D.M. Davidovic, B.L. Moiseiwitsch, P.H.Norrington, J.Phys. Bll 847 (1978)

[78] R. Anholt, Phys.Rev. A 19 1004 (1979)

[79] R. Anholt and U. Becker, Phys.Rev. A 36 4628 (1987)

[80] H.F. Krause, C.R. Vane, S. Datz, P. Grafström, H. Knudsen, S. Scheidenberger, and R.H. Schuch, Phys. Rev. Lett. 80, 1190 (1998)

[81] A.H. S0rensen, Phys.Rev. A 58 2895 (1998)

[82] A. Belkacem and A.H. S0rensen, Rad.Phys.Chem. A 75 656 (2006)

[83] C.F.V.Weizsäcker, Z. Physik 58 1934

[84] E.J.Williams, Phys.Rev. 45 729 (1934)

[85] A.B. Voitkiv, N. Grün and W. Scheid, Phys. Lett. A 260 240 (1999)

[86] A.B. Voitkiv, N. Grün and W. Scheid, Phys.Rev. A 61 052704 (2000)

[87] A.B.Boütkhb, HTpioH h B.IHaftfl, )K9TO T.118, No4(10), 764 (2000)

[88] A.B. Voitkiv, M. Gail and N. Grün, J.Phys. B 33 1299 (2000)

[89] C.Itzykson and J.-B.Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill (1980)

[90] F.Mandl and G.Shaw, Quantum Field Theory (Wiley, London, 1984)

[91] Th. Stöhlker, D.C.Ionescu, P.Rymuza, F.Bosch, H.Geissel, C.Kozhuharov, T.Ludziejwski, P.H.Mokier, C.Scheidenberger, Z.Stachura, A.Warczak, R.W.Dunford, Phys. Lett. A 238 43 (1998)

[92] Th.Stöhlker, D.C.Ionescu, P.Rymuza, F.Bosch, H.Geissel, C.Kozhuharov, T.Ludziejwski, P.H.Mokler, C.Scheidenberger, Z.Stachura, A.Warczak, R.W.Dunford, Phys. Rev. A 57 845 (1998)

[93] T. Ludziejewsky, T.Stöhlker, C.D.Ionesku, P.Rymuza, H.Beyer, F.Bosch, C.Kozhuharov, A.Krämer, D.Liesen, P.H.Mokler, Z.Stachura, P.Swiat, A.Warczak, R.W.Dunford, Phys. Rev. A 61 052706 (2000)

[94] D. Ionesku and Th. Stölker, Phys. Rev. A 67 022705 (2002)

[95] U. Fano, Phys. Rev. 102, 385 (1956)

[96] H. Bethe and E. Fermi, Z. Physik 77 296 (1932)

[97] G. Moliere, Naturforsch. 2A 133 (1947)

[98] F. Sal vat, J.D. Martinez, R. Mayol, and J. Parellada, Phys.Rev.A 36 467 (1987)

[99] P.A. Amundsen and K.Aashamar, J.Phys. B 14 4047 (1981)

[100] B. Najjari, A.B. Voitkiv and J. Ullrich, J.Phys. B 35 533 (2002)

[101] C.G.Darwin, Proc.Roy.Soc. A118 654 (1928)

[102] W.H.Furry, Phys.Rev. A 46 391 (1934)

[103] A.Sommerfeld and A.W.Maue, Ann. Physik 22 629 (1935)

[104] M. Abramowitz and I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions (Dover Publications, Inc., New York, 1965)

[105] I.S.Gradshteyn and I.M.Ryzhik Table of Integrals, Series, and Products, the fifth edition (Academic Press, Inc., New York, 1994)

[106] H.A.Bethe and L.Maximon, Phys. Rev. 93 768 (1954)

[107] A.B.Voitkiv, J.Phys. B 40 2885 (2007)