Излучение одного и двух фотонов в процессах рассеяния релятивистских заряженных частиц на изолированных атомах и ионах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Соловьев, Игорь Анатольевич

• Соловьев, Игорь Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соловьев, Игорь Анатольевич

Введение

1 Релятивистское описание процесса однофотонного тормозного излучения

1.1 Амплитуда и сечение процесса.

1.1.1 Формализм релятивистского метода искаженных парциальных волн.

1.1.2 Поляризационное тормозное излучение в рамках релятивистского борновского приближения

1.1.3 Асимптотическое поведение сечения поляризационного тормозного излучения в ультрарелятивистском случае

1.2 Амплитуда и сечение процесса однофотонного тормозного излучения в нерелятивистском дипольном случае.

1.3 Расчет сечений поляризационного тормозного излучения при релятивистском столкновении тяжелой налетающей частицы с многоэлектронной мишенью.

1.3.1 Метод вычисления поляризуемостей.

1.3.2 Результаты расчетов.

2 Процесс двухфотонного тормозного излучения при потенциальном рассеянии релятивистской заряженной частицы

2.1 Амплитуда и сечение процесса.

2.2 Использование метода Штернхаймера для расчета сечений процесса двухфотонного тормозного излучения.

2.2.1 Общий формализм. Уравнение Штернхаймера.

2.2.2 Разделение угловых и радиальных частей.

2.2.3 Система радиальных уравнений и метод решения

2.2.4 Мультипольные разложения для парциальных амплитуд

3 Особенности релятивистских однофотонных свободно-свободный матричных элементов. Дельта-приближение

3.1 Общие выражения для сингулярных частей однофотонных свободно-свободный матричных элементов.

3.2 Применение дельта-приближения для вычисления сечений процесса двухфотонного тормозного излучения.

3.3 Анализ предельных случаев

4 Приближенный расчет сечений процесса двухфотонного тормозного излучения

4.1 Замкнутые выражения для амплитуды и сечения процесса в приближении Фарри-Зоммерфельда-Мауэ

4.2 Нерелятивистский предел.

4.3 Результаты расчетов и сравнение с экспериментом.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Излучение одного и двух фотонов в процессах рассеяния релятивистских заряженных частиц на изолированных атомах и ионах»

Диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию процессов однофотонного и двухфотонного тормозного излучения, возникающего при рассеянии бесструктурных релятивистских заряженных частиц на изолированных атомах и ионах (в большом интервале значений зарядового числа в широком диапазоне энергий столкновений (вплоть до ультрарелятивистских) и частот испускаемых фотонов.

Процесс тормозного излучения (ТИ), при котором заряженная частица, двигаясь во внешнем поле, теряет часть своей энергии на излучение, именуемое тормозным, является наиболее известным процессом излучения сплошного спектра. Оно было открыто Рентгеном в 1895 году и с тех пор интенсивно исследовалось как теоретически, так и экспериментально. К настоящему времени опубликовано большое число фундаментальных работ, посвященных изучению ТИ, в которых оно описывается в рамках различных подходов, начиная от классической электродинамики (см., например, [1]) и заканчивая квантовой нерелятивистской и релятивистской механикой [2, 3]. История исследования ТИ и механизмов его формирования может быть прослежена по работам [4]-[6] и источникам, цитируемым в них.

Большой интерес к изучению ТИ объясняется тем, что оно является одним из основных источников электромагнитного излучения сплошного спектра. Исследование ТИ важно как с научной, так и с практической точки зрения, поскольку оно может быть использовано для получения информации о взаимодействии сталкивающихся частиц, их строении и внутренних свойствах, определения радиационных потерь, диагностики плазмы и т.д. Поэтому выяснение относительной роли различных механизмов образования ТИ и разработка эффективных методов определения его основных количественных характеристик (спектральной интенсивности и углового распределения) является важной и актуальной задачей.

В диссертационной работе рассматриваются процессы однофотонного ТИ при столкновении релятивистской заряженной частицы с многоэлектронной атомной мишенью и двухфотонного ТИ при потенциальном рассеянии релятивистской заряженной частицы во внешнем поле, создаваемом мишенью.

В случае однофотонного ТИ учитываются два основных механизма формирования излучения. Первый из них описывает излучение налетающей заряженной частицы, тормозящейся в статическом поле, создаваемом частицей-мишенью. Этот механизм формирования ТИ, первое квантово-механическое описание которого было дано в конце 20х - начале 30х годов в работах Зом-мерфельда, Бете и Гайтлера, Заутера (см., например, [5]), на протяжении продолжительного времени считался единственно важным, и представление о ТИ, как о процессе испускания фотона налетающей частицей в статическом поле мишени, прочно вошло в учебники и монографии [2, 3]. Поэтому в дальнейшем излучение, формируемое по этому механизму, мы будем называть обычным тормозным излучением (ОТИ). В середине 70-х годов было установлено [7]-[13], что если частица-мишень обладает внутренней структурой, то под действием электрического поля налетающей частицы частица-мишень поляризуется, т.е. у нее появляется электрический момент. При движении налетающей частицы величина и направление этого момента изменяются во времени, что приводит к возникновению электромагнитного излучения. Излучение, формируемое по этому механизму, называют поляризационным тормозным излучением (ПТИ) [5]. Полная амплитуда однофотонного ТИ является суммой амплитуд обычного и поляризационного ТИ.

Важность и фундаментальный характер процесса ОТИ был установлен достаточно давно (см., например, [14]). С тех пор он интенсивно изучался как теоретически, так и экспериментально в широком диапазоне энергий налетающих частиц и частот испускаемых фотонов при столкновениях с различными атомными мишенями. Обзор результатов, полученных в этой области, представлен в целом ряде работ, включая [4], [15]-[18] и работы, цитируемые в них. Результаты расчетов спектральных и спектрально-угловых распределений ОТИ затабулированы [19] в широкой области энергий столкновений для различных мишеней (от гелия до урана).

Спектр теоретических подходов, использовавшихся для описания ОТИ, варьируется от борновского приближения (как нерелятивистского, так и релятивистского, без учета и с учетом эффекта экранировки — см., например, [2]) до более сложных. Наиболее адекватным из них является подход, основанный на использовании релятивистского формализма метода искаженных парциальных волн для описания движения налетающей частицы и муль-типольного разложения оператора электромагнитного взаимодействия [20]-[22]. Несмотря на сложности технического характера, такой подход позволяет получать наиболее точные результаты при расчете характеристик ОТИ в широкой области энергий столкновений (от сотен эВ до десятков МэВ в случае рассеяния электрона или позитрона) для любых атомных мишеней [23].

В отличие от хорошо изученного процесса обычного ТИ, процесс ПТИ более сложен, поскольку при его описании необходимо учитывать динамический отклик атома-мишени на действие двух полей, создаваемых налетающей частицей и испущенным фотоном. В результате задача приобретает существенно многочастичный характер (за исключением случая столкновения с атомом водорода или водородоподобным ионом, когда возможно использование более простых методов [12, 13], [24]—[26]).

При рассмотрении внутренней динамической структуры мишени следует учитывать, что процесс однофотонного ТИ может сопровождаться возбуждением или ионизацией мишени в конечном состоянии. Далее в диссертации процесс ТИ без возбуждения мишени в конечном состоянии называется упругим ТИ, с возбуждением или ионизацией — неупругим ТИ. Существует довольно широкая область частот фотонов, в которой упругий канал ТИ доминирует над неупругим каналом при рассеянии как тяжелых [27]—[33], так и легких [34] частиц на многоэлектронном атоме. Причина этого заключается в том [28, 35], что в процессе упругого ТИ атомные электроны излучают когерентно (подобно тому как это происходит при рэлеевском рассеянии света), в отличие от неупругого ТИ, при котором вклады в полный спектр излучения отдельных электронов мишени некогерентны (аналогично случаю комбинационного рассеяния света) и поэтому должны суммироваться не в амплитуде, а в сечении процесса. В результате сечение неупругого ТИ оказывается параметрически мало в случае многоэлектронных мишеней. Для мишеней с небольшим числом электронов вклад обоих каналов процесса приблизительно одинаков [28]. Заметим, что это справедливо и в случае, когда налетающая частица обладает внутренней структурой (атом-атомные, ион-атомные, ион-ионные столкновения). В рамках диссертационной работы рассматривается только упругое однофотонное ТИ.

Обзор используемых теоретических подходов и полученных экспериментальных данных по ПТИ можно найти в [5, 6], [36]—[38] и в работах, цитируемых в них. Здесь мы лишь кратко перечислим методы, использовавшиеся до сих пор для описания ПТИ, возникающего при столкновениях заряженных частиц с многоэлектроннымм атомами. Все они могут быть разделены на две части: (i) методы, применяемые для анализа процесса рассеяния, и (ii) приближения, используемые для описания динамического атомного отклика.

Для описания процесса рассеяния как легких (позитрон, электрон), так и тяжелых(протон, ион, атом) налетающих частиц на многоэлектронных атомах широко используются два основных приближения: борновское приближение (релятивистский и нерелятивистский варианты) и приближение, основанное на использовании нерелятивистского формализма метода искаженных парциальных волн [39]—[44]. При этом борновское приближение обеспечивает хорошие результаты в случае рассеяния тяжелых частиц. Динамический отклик мишени на совместное действие полей налетающей частицы и излученного фотона в большинстве работ (за исключением трех, указанных ниже) описывается в рамках нерелятивистского дипольного приближения, применимого в случае мишеней с малым зарядовым числом Z и излучения фотонов с длиной волны, существенно превышающей размеры мишени. Для более высоких значений Z, когда движение атомных электронов приобретает существенно релятивистский характер, а также в случае kR&t 1 (где к — импульс излученного фотона, Rat — радиус мишени) это приближение является неадекватным.

Вне рамок дипольного приближения ПТИ рассматривалось при столкновении тяжелой частицы с нерелятивистским многоэлектронным атомом [45]-[47] с использованием различных приближений, основанных на нерелятивистском формализме теории многих тел [5], [36]—[38], а также в случае столкновения с атомом водорода, когда возможно непосредственное применение аналитических методов [12, 13], [24]—[26]. Кроме того для описания атомного отклика при рассмотрении процесса ПТИ, использовалось нерелятивистское приближение деэкранированного атома [34]. В недавних работах [48, 49] ПТИ, возникающее при столкновении быстрого электрона (позитрона) с многоэлектронным атомом, рассматривался в приближении локальной электронной плотности и статистической модели Томаса-Ферми.

Теория ПТИ, формирующегося при столкновениях релятивистских частиц, существенно менее разработана. Общие выражения для амплитуды и сечения процесса ПТИ в рамках релятивистского борновского приближения для случая излучения мягких фотонов (для которых выполняется условие ди-польности излучения кЛ^ь -С 1) были получены в работе [50]. Там же было предсказано, что в релятивистском случае относительный вклад поляризационного механизма ТИ в полный спектр ТИ превышает соответствующий вклад в нерелятивистском случае, логарифмически возрастая с ростом энергии налетающей частицы. Эта особенность возникает вследствие запаздывания взаимодействия налетающей частицы с атомом. В недавней работе [51] был впервые представлен полностью релятивистский формализм, описывающий процесс формирования ТИ при упругом столкновении заряженной частицы с многоэлектронной мишенью, состояния которой могут быть описаны в рамках релятивистского одночастичного приближения самосогласованного поля. При этом учитывались оба основных механизма формирования ТИ — обычный и поляризационный, а также их интерференция.

В диссертационной работе исследуется ТИ, возникающее в результате проявления обоих указанных механизмов при столкновении релятивистских заряженных частиц с атомами или ионами (в том числе и тяжелыми). Представленный в первой главе диссертации общий формализм позволяет получить мультипольные и парциальные разложения для амплитуды и сечения процесса однофотонного ТИ, учитывающие эффекты запаздывания излучения и излучение фотонов высокой мультипольности, и произвести численные расчеты спектральных и угловых характеристик излучения. При этом особое внимание уделяется изучению ПТИ электронов внутренних оболочек мишени. Целесообразность такого исследования определяется двумя важными обстоятельствами. Во-первых, электроны внутренних оболочек вносят основной вклад в формирование полного спектра ПТИ в очень широкой области частот фотонов [5], которая в настоящее время интенсивно исследуется экспериментально. Во-вторых, особенности, привносимые электронами внутренних оболочек в полный спектр ТИ, могут быть описаны в рамках относительно простых приближений (водородоподобное приближение) без необходимости учета многоэлектронных корреляций.

На основе предложенного в [51] общего формализма были выполнены расчеты характеристик ПТИ, формирующегося при рассеянии тяжелой релятивистской налетающей частицы (протона) на различных атомных мишенях [52, 53]. Произведено сравнение полученных результатов с имеющимися экспериментальными данными [30, 54] и результатами нерелятивистских расчетов [42, 43]. Проведенное исследование позволило установить ряд общих особенностей сечений однофотонного ТИ в релятивистском случае. В частности, было показано [52, 53], что учет релятивистских и мультиполь-ных эффектов приводит к существенной асимметрии угловых распределений излученных фотонов по сравнению с нерелятивистским дипольным случаем, а также к заметному изменению спектральных характеристик излучения.

Необходимо отметить, что подобные расчеты особенно важны с точки зрения точного сравнения с недавно полученными экспериментальными данными по ТИ при столкновениях электронов с энергиями 10-100 кэВ с различными твердотельными, тонкопленочными и газовыми мишенями: А1, Си, N1, Ag, Хе [55]—[57]. Для учета вклада поляризационного механизма ТИ в полный спектр излучения в указанном диапазоне энергий необходимо релятивистское описание процесса ПТИ. Кроме того существенный интерес представляют расчеты, связанные с релятивистскими столкновениями с участием тяжелых ионов, ввиду предпринимавшихся в последнее время попыток экспериментального исследования [58].

Наряду с изучением процесса однофотонного ТИ, представленным в первой главе диссертации, вторая часть диссертационной работы, включающая 2-4 главы, посвящена рассмотрению процесса двухфотонного (или двойного) ТИ при потенциальном рассеянии релятивистских частиц.

Ввиду существенных технических трудностей процесс двухфотонного ТИ значительно менее исследован как теоретически, так и экспериментально по сравнению с однофотонным ТИ. Фактически до недавнего времени не существовало надежных экспериментальных данных по сечениям двойного ТИ, а попытки численного исследования ограничивались использованием борнов-ского приближения для описания процесса [59, 60]. Однако в период с середины 80-х до середины 90-х годов был проведен целый ряд экспериментов по изучению двухфотонного ТИ [61]—[66]. В это же время было предпринято несколько попыток расчета характеристик двухфотонного ТИ, на основе нерелятивистской теории как без учета (см., например, [67] и работы, цитируемые в ней), так и с учетом [68, 69] эффекта запаздывания излучения. При этом было установлено [68, 69], что роль эффектов, связанных с запаздыванием излучения, в случае двухфотонного ТИ намного существеннее, чем в случае однофотонного ТИ. Поэтому, для получения надежных теоретических результатов при рассмотрении двойного ТИ необходимо не только выйти за рамки дипольного приближения, но и учесть влияние релятивистских эффектов. Исследование процесса двухфотонного ТИ представляют существенный интерес ввиду сохраняющихся различий между экспериментальными данными [61]—[66] и результатами теоретических расчетов.

Метод, развитый во второй главе диссертации для точного вычисления амплитуды двухфотонного ТИ, основан на использовании общего подхода, впервые предложенного еще в конце 20-х годов в работах Б. Подольского (история развития метода отражена в [70]), но более известного как метод Штернхаймера [71]. Идея метода Штернхаймера заключается в сведении суммирования по полному спектру промежуточных состояний в амплитуде процесса к задаче вычисления матричного элемента оператора электромагнитного взаимодействия между волновой функцией конечного состояния налетающей частицы и некоторой вспомогательной функцией, являющейся решением неоднородного уравнения Дирака. Преимущество данного подхода заключается в принципиальном сокращении необходимых вычислительных затрат по сравнению с прямым расчетом сечений и амплитуд двухфотонно-го ТИ с использованием релятивистского метода искаженных парциальных волн. В рамках развитого в диссертационной работе общего формализма получены парциальные и мультипольные разложения для амплитуды и сечения процесса двухфотонного ТИ, выражающиеся через решения неоднородного уравнения Дирака, и учитывающие как релятивистские эффекты, так и эффекты, связанные с излучением фотонов высокой мультипольности.

Необходимо отметить, что в релятивистском случае точный расчет амплитуд и сечений процессов, сопровождающихся излучением двух и более фотонов, является достаточно сложной задачей. К настоящему времени определенный прогресс был достигнут лишь в случае рассмотрения переходов из состояния дискретного в состояние непрерывного спектра (см., работу [72] и ссылки, приведенные в ней), соответствующих комптоновскому рассеянию высокоэнергетичных фотонов на электронах внутренних оболочек тяжелых атомов. Предложенный во второй главе диссертационной работы метод является первой попыткой решения задачи о двухфотонном ТИ в рамках полностью релятивистского подхода и может быть использован для точного расчета спектральных и угловых характеристик излучения в широкой области энергий столкновений и частот испускаемых фотонов.

Наряду с этим важное место в диссертации занимает исследование особенностей релятивистских однофотонных матричных элементов, соответствующих переходам между состояниями непрерывного спектра (так называемые свободно-свободные переходы). Учет аналитической структуры их сингулярных членов особенно важен при рассмотрении составных матричных элементов, включающих переходы между промежуточными виртуальными состояниями в сплошном спектре. Составные матричные элементы такого типа возникают при использовании теории возмущений для описания широкого класса многофотонных процессов в непрерывном спектре (например, многофотонная ионизация, двухфотонное ТИ, комптоновское рассеяние). В нерелятивистском случае эта задача рассматривалась ранее как для дипольного режима излучения [73]—[80], так и вне рамок дипольного приближения [81].

В релятивистском случае формализм, описывающий многофотонные переходы и соответствующие им составные матричные элементы, намного более сложен, чем его нерелятивистский аналог (см., например, [72], [82]—[84]). В указанных работах рассмотрена теория двухфотонных переходов между двумя состояниями дискретного спектра (связанно-связанные переходы), а также между состоянием дискретного спектра и состоянием непрерывного спектра (связанно-свободные переходы). Релятивистское рассмотрение двухфотонных свободно-свободных переходов вне рамок борновского приближения [59, 60] до сих пор не производилось. По сравнению с нерелятивистским случаем сложно ожидать заметного прогресса в этой области при использовании стандартных подходов для точного описания процесса, поскольку подобное исследование даже в случае рассеяния в кулоновском поле ограничивается как сложностью аналитической структуры релятивистской кулоновской функции Грина [85, 86], так и отсутствием замкнутых выражений для релятивистских волновых функций состояний рассеяния (обсуждение затронутых вопросов можно найти в работах [83, 87]).

В рамках третьей главы диссертационной работы развит метод расчета сечений двухфотонного ТИ, основанный на использовании, так называемого, дельта-приближения [78, 81], идея которого основана на предположении, что поведение составных свободно-свободный матричных элементов в значительной степени определяется вкладами сингулярных частей однофотон-ных свободно-свободный матричных элементов, входящих в рассматриваемый составной матричный элемент. Представленный формализм являются обобщением работы [81] на случай рассеяния релятивистских частиц. В рамках нерелятивистской теории было показано [67, 68, 81], что в широкой области энергий налетающей частицы и частот излучаемых фотонов результаты, получаемые в рамках дельта-приближения, хорошо воспроизводят результаты точных расчетов как для дипольного [67], [88]—[91], так и для недиполь-ного [68, 69] случаев. Поэтому предложенный метод может быть использован для проведения эффективных и в то же время достаточно надежных релятивистских расчетов спектральных и угловых распределений излучения в процессе двухфотонного ТИ в широкой области частот фотонов и энергий столкновений.

В четвертой главе диссертации развитый подход был применен к случаю рассеяния релятивистской заряженной частицы в кулоновском поле мишени. В качестве волновых функций состояний рассеяния использовались волновые функции Фарри-Зоммерфельда-Мауэ [2, 3]. Адекватность подобного описания для энергий столкновений и частот фотонов, соответствующих имеющимся экспериментальным данным [61]—[66], обусловлена тем, что эффекты экранирования ядра электронами мишени не играют существенной роли, в отличие от эффектов, связанных с запаздыванием излучения [68, 69, 81]. Как показано в главе 4, роль релятивистских эффектов для рассматриваемого диапазона энергий оказывается весьма заметной, что приводит к необходимости их учета наряду с учетом запаздывания излучения.

До настоящего времени подробного исследования процесса двухфотонно-го ТИ с учетом как релятивистских эффектов, так и эффектов, связанных с мультипольным характером излучения, проведено не было, поэтому цель диссертационной работы представляется весьма актуальной.

В работе используется релятивистская система единиц (7г = с = 1), за исключением главы 4, в которой используется система СГС.

Диссертационная работа состоит из четырех глав, введения и заключения.

Первая глава диссертации посвящена исследованию процесса однофотон-ного ТИ. В ней представлен релятивистский подход к решению задачи об однофотонном ТИ при столкновении заряженной частицы с многоэлектронной мишенью, обобщающий результаты целого ряда более простых приближений, использовавшихся ранее. В первом параграфе главы в рамках релятивистского формализма метода искаженных парциальных волн получены мультипольные разложения для амплитуды и сечения процесса однофотон-ного ТИ, учитывающие вклады обычного и поляризационного механизмов, а также их интерференцию. Подробно рассмотрен случай рассеяния тяжелой релятивистской заряженной частицы, движение которой описывается в рамках релятивистского борновского приближения. Исследовано поведение сечения ПТИ в ультрарелятивистском случае. Второй параграф главы посвящен получению нерелятивистского дипольного предела для амплитуды и сечения процесса однофотонного ТИ. В третьем параграфе представлены результаты расчетов сечений ПТИ для случая столкновения тяжелой релятивистской с различными атомными мишенями.

Вторая глава диссертации посвящена изучению процесса двухфотонного

ТИ при потенциальном рассеянии релятивистской заряженной частицы. Первый параграф главы носит вводный характер. В нем рассмотрены основные особенности двухфотонного ТИ, приведены общие выражения для амплитуды и сечения процесса. Во втором параграфе представлен релятивистский формализм для точного описания двухфотонного ТИ, основанный на использовании метода Штернхаймера. В рамках предложенного подхода впервые получены мультипольные и парциальные разложения для амплитуды процесса, выражающиеся через решения неоднородного уравнения Дирака.

В третьей главе исследуется структура релятивистских однофотонных матричных элементов, соответствующих переходам между состояниями непрерывного спектра. В рамках первого параграфа главы получены общие выражения для сингулярных частей однофотонных свободно-свободный матричных элементов, представлена классификация выявленных особенностей, сформулировано релятивистское обобщение дельта-приближения. Во втором параграфе на примере вычисления амплитуды процесса двухфотонного ТИ рассмотрено применение релятивистского формализма дельта-приближения. Третий параграф посвящен анализу полученного приближенного выражения для амплитуды в ряде предельных случаев, включая предел мягких фотонов, борновский предел и нерелятивистский предел.

В четвертой главе предложен метод приближенного расчета сечений двухфотонного ТИ, основанный на учете аналитической структуры особенностей релятивистских однофотонных матричных элементов в рамках дельта-приближения и использовании релятивистских волновых функций Фарри-Зоммерфельда-Мауэ для состояний рассеяния в кулоновском поле. Рассмотрены релятивистский и нерелятивистский случаи. Представлено сравнение результатов, полученных в рамках предложенного подхода, с имеющимися экспериментальными данными и результатами независимых расчетов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработана полностью релятивистская теория однофотонного ТИ, учитывающая поляризационный механизм формирования излучения. Предложен эффективный метод расчета спектральных и спектрально-угловых характеристик однофотонного ТИ для различных режимов столкновений (от нерелятивистских до ультрарелятивистских) с участием как легких (нерелятивистских), так и тяжелых (релятивистских) атомов и ионов.

2. Построена замкнутая теория двухфотонного ТИ, формирующегося при потенциальном рассеянии релятивистских заряженных частиц, основанная на использовании обобщенного формализма метода Штернхаймера.

3. Получены явные выражения для сингулярных частей однофотонных матричных элементов, соответствующих радиационным переходам между состояниями непрерывного спектра, с учетом релятивистских эффектов и эффектов, связанных с запаздыванием излучения.

4. Развит эффективный метод приближенного вычисления сечений двухфотонного ТИ, основанный на точном учете диагональных сингулярностей в релятивистских однофотонных матричных элементах, в рамках которого произведены численные расчеты характеристик двухфотонного ТИ.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- 21 и 22-ой международных конференциях по физике фотонных, электронных и атомных столкновений (International Conference on Photonic,

Electronic and Atomic Collisions, ICPEAC) (Sendai, Japan, 1999; Santa Fe, USA, 2001);

- 31-й международной конференции Европейской группы по атомной спектроскопии (European Group on Atomic Spectroscopy Conference, EGAS) (Marseille, France, 1999);

- 4-ом Азиатском международном семинаре по атомной и молекулярной физике (Asian International Seminar on Atomic and Molecular Physics, AISAMP) (Taipei, Taiwan, 2000);

- 16-ой международной конференции по использованию ускорителей в исследованиях и промышленности (International Conference on the Application of Accelerators in Research and Industry, CAARI) (Denton, Texas, 2000);

- 7-ой Европейской конференции по атомной и молекулярной физике (European Conference on Atomic and Molecular Physics, EC AMP) (Berlin, Germany, 2001);

- 13-ой международной конференции по физике вакуумного ультрафиолетового излучения (International Conference on Vacuum Ultraviolet Radiation Physics, VUV) (Trieste, Italy, 2001).

Кроме того, результаты диссертации были представлены и обсуждались на научных семинарах сектора теории твердого тела Физико-технического института им. А.Ф. Иоффе РАН (Санкт-Петербург), Санкт-Петербургского государственного технического университета, а также на научных семинарах факультета естественных наук Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых представлен в конце диссертации.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Соловьев, Игорь Анатольевич

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Korol A.V. and Solovjev I.A. Singular parts of the relativistic free-free nondipole matrix elements// Book of Abstracts XXI International Conference on the Physics of Electronic and Atomic Collisions, Sendai, Japan, 1999, p. 177

2. Korol A.V. and Solovjev I.A. General formulae for the singular parts of the relativistic free-free one-photon matrix elements// Book of Abstracts 31st European Group on Atomic Spectroscopy Conference, Marseille, France, 1999, p.328-329

3. Fedorova T.A., Korol A.V., and Solovjev I. A. Method of approximate treatment of the relativistic compound free-free matrix element// Scientific Program and Book of Abstracts The Fourth Asian International Seminar on Atomic and Molecular Physics, Taipei, Taiwan, 2000, p. 144-145

4. Fedorova T.A., Korol A.V., and Solovjev I.A. Two-photon bremsstrahlung: the exact relativistic treatment based on the modified Sternheimer approach// Scientific Program and Book of Abstracts The Fourth Asian International Seminar on Atomic and Molecular Physics, Taipei, Taiwan, 2000, p.146-147

5. Korol A.V., Lyalin A.G., Obolensky O.I., Solovjev I.A., Solov'yov A.V. Polarization Bremsstrahlung of Atoms and Ions// Abstracts 16th International Conference on the Application of Accelerators in Research and Industry, Denton, USA, 2000, p.EKl

6. Fedorova T.A., Korol A.V., and Solovjev I.A. Method of approximate treatment of the relativistic compound free-free matrix elements// Abstracts 16th International Conference on the Application of Accelerators in Research and Industry, Denton, USA, 2000, p.PA6

7. Fedorova T.A., Korol A.V., and Solovjev I.A. Two-photon bremsstrahlung: the exact relativistic treatment based on the modified Sternheimer approach// Abstracts 16th International Conference on the Application of Accelerators in Research and Industry, Denton, USA, 2000, p.PA15

8. Fedorova T.A., Korol A.V. and Solovjev I.A. Method of approximate treatment of the relativistic compound free-free matrix elements// J.Phys.B: At.Mol.Opt.

Phys. - 2000 - v.33 - p.5007-5024

9. Korol A.V., Obolensky O.I., Solovyov A.V., Solovjev I.A. Polarizational bremsstrahlung in relativistic collisions with heavy ions// Abstracts The 7th European Conference on Atomic and Molecular Physics, Berlin, Germany, 2001, p. A2.12

10. Solovjev I.A., Fedorova T.A., and Korol A.V. Approximate treatment of the relativistic two-photon bremsstrahlung process// Abstracts The 7th European Conference on Atomic and Molecular Physics, Berlin, Germany, 2001, p. A5.36

11. Korol A.V., Solovjev I.A., Obolensky O.I., and Solov'yov A.V. Full relativistic treatment of polarizational bremsstrahlung// Book of Abstracts XXII International Conference on Photonic, Electronic, and Atomic Collisions, Santa Fe, USA, 2001, p. M0105

12. Korol A.V., Fedorova T.A., Solovjev I.A. Relativistic calculation of the two-photon bremsstrahlung process// Program and abstracts The 13th International Conference on Vacuum Ultraviolet Radiation Physics, Trieste, Italy, 2001, p. Th021

13. Korol A.V., Obolensky O.I., Solov'yov A.V., Solovjev I.A. Relativistic calculation of polarizational bremsstrahlung spectra// Program and abstracts The 13th International Conference on Vacuum Ultraviolet Radiation Physics, Trieste, Italy, 2001, p. Th022

14. Korol A.V., Lyalin A.G., Obolenskii O.I., Solov'yov A.V., and Solovjev I.A. Polarizational bremsstrahlung of atoms and ions// in Application of Accelerators in Research and Industry (CAARI-2000)/ Ed. Duggan J.L. and Morgan I.L./ AIP Conference Proceedings, 2001 - v.576 - p.64-67

15. Korol A.V., Obolensky O.I., Solov'yov A.V. and Solovjev I.A. The full relativistic description of the bremsstrahlung process in a charged particle-atom collision// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. - 2001 - v.34 - p. 1589-1617

16. Korol A.V., Solovjev I.A., Obolensky O.I., and Solov'yov A.V. Relativistic calculation of polarizational bremsstrahlung spectra// Surface Review and Letters - 2002 - v.9 - p.

17. Fedorova T.A., Korol A.V. and Solovjev I.A. Relativistic calculation of the two-photon bremsstrahlung process// Surface Review and Letters - 2002 - v.9 P

18. Король A.B., Лялин А.Г., Оболенский О.И., Соловьев A.B., Соловьев И.А. Релятивистское описание поляризационного механизма процесса упругого тормозного излучения// ЖЭТФ - 2002 - т.121 - с.

В заключение считаю своей приятной обязанностью выразить благодарность своим научным руководителям, Андрею Владимировичу Королю и Андрею Владимировичу Соловьеву за выбор интересной темы диссертации и многочисленные обсуждения рассмотренных в ней вопросов. Я глубоко благодарен Т.А. Федоровой и О.И. Оболенскому, в совместной работе с которыми были получены многие из представленных выше результатов. Мне приятно выразить свою признательность А.Г. Лялину и Р.Г. Полозкову за постоянный интерес к работе и поддержку.

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты, полученные в рамках диссертационной работы:

1. Разработан общий формализм для расчета сечений процесса однофотон-ного ТИ, учитывающий вклады обычного и поляризационного механизмов, а также их интерференцию, применимый в широком диапазоне скоростей столкновений и частот фотонов при рассеянии релятивистских заряженных частиц на атомах и ионах в большом интервале ¿Г.

2. Проведены расчеты спектральных и угловых распределений однофотон-ного ТИ, возникающего при рассеянии тяжелой релятивистской заряженной частицы (протона) на водородоподобных ионах А1+12, Ag +46, Аи +78 для различных режимов столкновений. Исследован ряд общих особенностей поведения сечений однофотонного ТИ в релятивистском случае. Сделан вывод о том, что учет релятивистских и мультипольных эффектов приводит к существенной асимметрии угловых распределений излученных фотонов по сравнению с нерелятивистским дипольным случаем, а также к заметному изменению спектральных характеристик излучения.

3. Проанализированы особенности, возникающие в спектре ПТИ и выражающиеся в логарифмическом росте сечения процесса ПТИ с увеличением энергии налетающей частицы. Предложен приближенный метод расчета сечений ПТИ в ультрарелятивистском случае, основанный на учете указанных особенностей.

4. Разработана теория двухфотонного ТИ при потенциальном рассеянии релятивистской заряженной частицы во внешнем поле. Предложен полностью релятивистский подход, основанный на использовании формализма метода Штернхаймера, для точного расчета сечений двухфотонного ТИ. Получены мультипольные и парциальные разложения для амплитуды и сечения процесса, выражающиеся через функции, являющиеся решениями неоднородного уравнения Дирака.

5. Исследована структура особенностей релятивистских однофотонных матричных элементов, соответствующих переходам между состояниями непрерывного спектра. Предложено релятивистское обобщение дельта-приближения, основанного на точном учете аналитической структуры сингулярных членов в однофотонных свободно-свободный матричных элементах. Рассмотрено применение предложенного подхода для описания процесса двухфотонного ТИ.

6. Разработан эффективный метод приближенного расчета сечений двухфотонного ТИ, основанный на точном учете диагональных сингулярностей в релятивистских однофотонных матричных элементах в рамках дельта-приближения и использовании релятивистских волновых функций Фарри-Зоммерфельда-Мауэ для состояний рассеяния в кулоновском поле. Представлено сравнение результатов, полученных предлагаемым методом, с имеющимися экспериментальными данными и результатами независимых расчетов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Соловьев, Игорь Анатольевич, 2002 год

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля - М.: Наука, 1973. - 460 с.

2. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика М.: Наука, 1989. - 728 с.

3. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика М.: Наука, 1969. - 624 с.

4. Pratt R.H. and Feng I.J. Atomic Inner-Shell Physics/ Ed. Craseman B. -New York: Plenum, 1985.

5. Амусья М.Я., Буймистров B.M., Зон Б.А., Цытович В.Н. и др. Поляризационное тормозное излучение частиц и атомов М.: Наука, 1987. -334 с.

6. Korol A.V. and Solov'yov A.V. Polarizational bremsstrahlung of electrons in collisions with atoms and clusters// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 1997 -y.30 - p.1105-1150

7. Амусья М.Я., Балтенков A.C., Пайзиев A.A. Тормозное излучение электронов на атомах с учетом поляризуемости// Письма в ЖЭТФ 1976 -т.24 - с.336-339

8. Pindzola M.S. and Kelly H.P. Free-free radiative absorption coefficient for the negative argon ion// Phys. Rev. A 1976 - v. 14 - p.204-210

9. Wendin G. and Nuroh K. Bremsstrahlung Resonances and Appearance-Potential Spectroscopy near the 3d Thresholds in Metallic Ba, La, and Ce// Phys. Rev. Lett. 1977 - v.39 - p.48-51

10. Зон Б.А. О тормозном эффекте при столкновении электронов с атомами// ЖЭТФ 1977 - т.73 - с.128-133

11. Зон Б.А. Поглощение оптического излучения слабоионизованными газами// ЖЭТФ 1979 - т.77 - с.44-51

12. Буймистров В.М., Трахтенберг Л.И. Сечение тормозного излучения при рассеянии электрона на атоме водорода// ЖЭТФ 1975 - т.69 - с. 108-114

13. Буймистров В.М., Трахтенберг Л.И. О роли атомных электронов в тормозном излучении// ЖЭТФ 1977 - т.73 - с.850-853

14. Pratt R.H. Comm.At.Mol.Phys. 1981 - v.10 - p.121

15. Nakel W. The elementary process of bremsstrahlung// Phys.Rep. 1994 -v.243 - p.317

16. Pratt R.H. Fundamental Processes in Energetic Atomic Collisions/ Ed. Lutz H.O., Briggs J.S. and Kleinpoppen H. New York: Plenum, 1984.

17. Pratt R.H., Shaffer C.D., Avdonina N.B., Tong X.M., and Florescu V. Nucl.Instr.Meth. В 1995 - v.99 - p.156

18. Avdonina N.B. and Pratt R.H. Bremsstrahlung spectra from atoms and ions at low relativistic energies// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 1999 - v.32 -p.4261-4276

19. Seltzer S.M. and Berger M.J. Bremsstrahlung energy spectra// At. Data Nucl. Data Tables 1986 - v.35 - p.346-385

20. Tseng H.K. Relativistic calculation of an elementary process of electron bremsstrahlung from atoms// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 1997 - v.30 -P.L317-L321

21. Tseng H.K. and Pratt R.H. Exact screened calculations of atomic-field bremsstrahlung// Phys. Rev. A 1971 - v.3 - p.100-115

22. Tseng H.K., Pratt R.H., and Lee C.M. Electron bremsstrahlung angular distributions in the 1-500 keV energy range// Phys. Rev. A 1979 - v.19- p. 187-195

23. Shaffer C.D. and Pratt R.H. Comparison of relativistic partial-wave calculations of triply differential electron-atom bremsstrahlung with simpler theories// Phys. Rev. A 1997 - v.56 - p.3653-3658

24. Dubois A. and Maquet A. Bremsstrahlung radiation emitted in fast-electron-H-atom collisions// Phys. Rev. A 1989 - v.40 - p.4288-4297

25. Duboius A., Maquet A. and Jetzke S. Electron-H-atom collisions in the presence of a laser field: One-photon free-free transitions// Phys. Rev. A- 1986 v.34 - p.1888-1895

26. Король А.В., Оболенский О.И., Соловьев А.В. Особенности процесса тормозного излучения при столкновениях с атомом водорода в возбужденном состоянии// ЖТФ 1999 - т.69 - с.7-13

27. Амусья М.Я., Кучиев М.Ю., Соловьев А.В. Тормозное излучение в атом-атомных столкновениях// Письма в ЖТФ 1984 - т.Ю - с.1025-1029

28. Амусья М.Я., Кучиев М.Ю., Соловьев А.В. Полный спектр излучения в столкновении тяжелой заряженной частицы с атомом// Письма в ЖТФ- 1985 т.11 - с. 1401-1404

29. Амусья М.Я., Кучиев М.Ю., Соловьев А.В. Тормозное излучение в атом-атомных столкновениях// ЖЭТФ 1985 - т.89 - с. 1512-1521

30. Ishii К. and Morita S. Continuum x rays produced by light-ion—atom collisions// Phys. Rev. A 1984 - v.30 - p.2278-2286

31. Ishii K. and Morita S. Atomic bremsstrahlung produced by heavy-ion bombardments// Phys. Rev. A 1985 - v.31 - p.1168-1170

32. Ishii K. Nucl.Instr.Meth. В 1995 - v.99 - p.165

33. Pacher M.C. and Miraglia J.E. Scaling laws and polarization of atomic and nuclear bremsstrahlung// Phys. Rev. A 1990 - v.41 - p.2574-2579

34. Астапенко B.A., Буймистров B.M., Кротов Ю.А., Михайлов JI.К., Трах-тенберг Л.И. Динамическое тормозное излучение релятивистской заряженной частицы на атоме// ЖЭТФ 1985 - т.88 - с. 1560-1569

35. Амусья М.Я., Король А.В., Соловьев А.В. Когерентность излучения электронов мишени в атомных столкновениях// Письма в ЖТФ 1986 - т. 12 - с.705-710

36. Amusia M.Ya. Phys. Rep. 1988 - v. 142 - p.269

37. Amusia M.Ya., Pratt R.H. Comm.At.Mol.Phys. 1992 - v.28 - p.247

38. Pacher M.C., Miraglia J.E. Exact one-photon intermiclear bremsstrahlung in ion-atom collisions// Phys. Rev. A 1989 - v.39 - p.2905-2907

39. Amusia M.Ya., Chernysheva L.V., Korol A.Y. Bremsstrahlung spectrum on Xe for 600 eV electrons// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 1990 - v.23 - p.2899-2907

40. Amusia M.Ya., Korol A.V. Angular distribution and polarization of bremsstrahlung radiation formed by intermediate energy particle-atom scattering// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 1992 - v.25 - p.2383-2392

41. Korol A.V., Lyalin A.G., Solov'yov A.V. New method for the polarizational bremsstrahlung calculation// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 1995 - v.28 -p.4947-4962

42. Король A.B., Лялин А.Г., Оболенский О.И., Соловьев А.В. Исследование роли поляризационного механизма излучения атомов в широком диапазоне частот фотонов// ЖЭТФ 1998 - т. 114 - с.458-473

43. Король А.В., Лялин А.Г., Соловьев А.В. Сечение тормозного излучения электронов на атомах с учетом поляризационного механизма в широком спектральном диапазоне// Оптика и спектроскопия 1999 - т.86 - с.552-558

44. Korol A.V., Lyalin A.G., Pratt R.H., Solov'yov A.V. Program and Abstracts The 12th International Conference on Vacuum Ultraviolet Radiation Physics, San Francisco, USA, 1998 , p. Wei 16

45. Gonzalez A.D., Pacher M.C., Miraglia J.E. Retardation effects in atomic bremsstrahlung// Phys. Rev. A 1988 - v.37 - p.4974-4977

46. Solov'yov A.V. Abstracts 5th EPS Conference on Atomic and Molecular Physics, Edinburgh, UK, 1995, p.711

47. Gerchikov L.G., Korol A.V., Sheinerman S.A. and Solov'yov A.V. Abstracts 17th International Conference on X-Ray and Inner-Shell Processes, Hamburg, Germany, 1996, p.167

48. Астапенко B.A., Буреева Л.А., Лисица B.C. Классическая и квантовая теории поляризационного тормозного излучения в модели локальной электронной плотности// ЖЭТФ 2000 - т. 117 - с.496-508

49. Астапенко В.А., Буреева JI.A., Лисица B.C. Поляризационное тормозное излучение быстрой заряженной частицы на Томас-Фермиевском атоме// ЖЭТФ 2000 - т.117 - с.906-911

50. Амусья М.Я., Король A.B., Кучиев М.Ю., Соловьев A.B. Тормозное излучение релятивистских частиц с учетом динамической поляризуемости атома-мишени// ЖЭТФ 1985 - т.88 - с.383-389

51. Korol A.V., Obolensky O.I., Solovyov A.V. and Solovjev I.A. The full relativistic description of the bremsstrahlung process in a charged particle-atom collision// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 2001 - v.34 - p.1589-1617

52. Korol A.V., Obolensky A.V., Solovyov A.V., Solovjev I.A. Relativistic calculation of polarizational bremsstrahlung spectra// Surface Review and Letters 2002 - v.9 - p.

53. Король A.B., Лялин А.Г., Оболенский О.И., Соловьев A.B., Соловьев И.А. Релятивистское описание поляризационного механизма процесса упругого тормозного излучения// ЖЭТФ 2002 - т. 121 - с.

54. Ozawa К., Chang J.H., Yamamoto Y., Morita S. et al Atomic bremsstrahlung produced by light-ion—atom collisions below 1 MeV/amu// Phys. Rev. A -1986 v.33 - p.3018-3022

55. Ambrose V., Quarles C.A., Ambrose R. Nucl.Instr.Meth. В 1997 - v. 124 -p.457

56. Portillo S., Quarles C.A., McDaniel F.D., Duggan J.L. et al Abstracts 21st International conference on the physics of electronic and atomic collisions, Sendai, Japan, 1999, p. 574

57. C.A. Quarles, S. Portillo in Application of Accelerators in Research and Industry/ Ed. Duggan J.L. and Morgan I.L./ AIP Conference Proceedings, 1999 p. 174

58. Ludziejewski T. et al Electron bremsstrahlung in collisions of 223 MeV/u He-like uranium ions with gaseous targets// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 1998 - y.31 - p.2601-2609

59. Смирнов А.И. Ядерная физика 1977 - т.25 - с.ЮЗО

60. Ghilencea D., Toader О. and Diaconu С. Numerical evaluation of Coulomb Born approximation for double bremsstrahlung// Romanian Reports in Physics 1995 - v.47 - p.185-196

61. Hippler R. Two-photon bremsstrahlung of free atoms// Phys. Rev. Lett. -1991 v.66 - p.2197-2199

62. Hippler R. and Schneider H. Nucl.Instr.Meth. 1994 - v.87 - p.268

63. Kahler D.L., Liu J., and Quarles C.A. Coincident emission of a characteristic and a continuum x ray in electron-atom collisions// Phys. Rev. A 1992 -v.45 - p.R7663-R7666

64. Liu J. and Quarles C.A. Cross section for coincident two-photon emission at ±90° in electron-atom collisions// Phys. Rev. A 1993 - v.47 - p.R3479-R3482

65. Liu J., Kahler D.L., and Quarles C.A. Two-photon coincident emission from thick targets for 70-keV incident electrons// Phys. Rev. A 1993 - v.47 -p.2819-2826

66. Quarles C.A. and Liu J. Nucl.Instr.Meth. В 1993 - v.79 - p. 142

67. Korol A.V. Calculation of the parameters of the 'ordinary' two-photon bremsstrahlung for a 8.82 keV// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 1994 - v.27- p.155-174

68. Korol A.V. Non-relativistic non-dipole two-photon bremsstrahlung in a Coulomb field// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 1997 - v.30 - p.413-438

69. Dondera M. and Florescu V. Nonrelativistic two-photon electron bremsstrahlung in a Coulomb field, including retardation// Phys. Rev. A- 1998 v.58 - p.2016-2022

70. Yakhontov V.L. and Jungmann K. Light-shift calculations in the ns-states of hydrogenic systems// Z. Phys. D 1996 - v.38 - p.141

71. Sternheimer R.M. Electronic Polarizabilities of Ions from the Hartree-Fock Wave Functions// Phys. Rev. 1954 - v.96 - p.951-968

72. Bergstrom P.M. Jr., Suric T., Pisk K., and Pratt R.H. Compton scattering of photons from bound electrons: Full relativistic independent-particle-approximation calculations// Phys. Rev. A 1993 - v.48 - p.1134-1162

73. Madajczyk J.L. and Trippenbach M. Singular part of the hydrogen dipole matrix element// J.Phys.A: Math.Gen. 1989 - v.13 - p.2369-2374

74. Pan L. The Coulomb-Volkov continuum// J. Mod. Opt. 1989 - v.36 - p.877

75. Veniard V. and Piraux B. Continuum-continuum dipole transitions in femtosecond-laser-pulse excitation of atomic hydrogen// Phys. Rev. A -1990- v.41 p.4019-4034

76. Korol A.V. Singularities in the free-free dipole matrix element// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 1993 - v.26 - p.4769-4775

77. Korol A.V. General formula for the singular part of the free-free dipole matrix element// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 1994 - v.27 - p.L103-L107

78. Korol A.V. Methods of the approximate treatment of the two-photon bremsstrahlung in point Coulomb field// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 1995- y.28 p.3873-3887

79. Mercouris Т., Komninos Y., Dionissopoulou S., and Nicolaides C.A. Effects on observables of the singularity in the multiphoton free-free dipole matrix elements// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 1996 - v.29 - p.L13-L19

80. Манаков Н.Л., Мармо С.И., Файнштейн А.Г. ЖЭТФ 1995 - т. 108 -с. 1569

81. Korol A.V. Method of approximate treatment of the non-relativistic non-dipole two-photon bremsstrahlung in a central field// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 1996 - v.29 - p.3257-3276

82. Florescu V. and Gavrila M. Elastic scattering of photons by K-shell electrons at high energies// Phys. Rev. A 1976 - v. 14 - p.211-235

83. Manakov N.L., Ovsyannikov V.D., and Rappoport L.P. Phys.Rep. 1986 -v.141 - p.319

84. Manakov N.L., Maquet A., Marmo S.I., and Szymanovski C. Generalized Sturmian expansions of Coulomb Green's functions and two-photon Gordon formula// Phys. Lett. 1998 - У.237А - p.234

85. Горшков В.Г. О релятивистских кулоновских функциях// ЖЭТФ 1964- т.47 с. 1984-1988

86. Запрягаев С.А., Манаков H.JL, Пальчиков В.Г. Теория многозарядных ионов с одним и двумя электронами М.: Энергоатомиздат, 1985. - 144 с.

87. Maquet A., Véniard V., and Marian Т.A. The Coulomb Green's function and multiphoton calculations// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 1998 - v.31 -p.3743-3764

88. Florescu V. and Djamo V. Phys. Lett. 1986 - V.119A - p.73

89. Veniard V., Gavrila M., and Maquet A. Two-photon bremsstrahlung// Phys. Rev. A 1987 - v.35 - p.448-451

90. Gavrila M., Maquet A., and Veniard V. Stimulated two-photon free-free transitions in a Coulomb potential: Formalism// Phys. Rev. A 1990 - v.42 - p.236-247

91. Dondera M. and Florescu V. Results from the nonrelativistic dipoleapproximation theory of two-photon electron bremsstrahlung in the Coulomb field// Phys. Rev. A 1993 - v.48 - p.4267-4271

92. Varshalovich D.A., Moskalev A.N., and Khersonskii V.K. Quantum Theory of Angular Momentum New-York: World Scientific, 1988.

93. Lindgren I. and Morrison J. Atomic Many-Body Theory Berlin: Springer, 1986.

94. Chernysheva L.V. and Yakhontov V.L. Two-program package to calculate the ground and excited state wave functions in the Hartree-Fock-Dirac approximation// Comp.Phys.Comm. 1999 - v.119 - p.232-255

95. Ryzhik I.M., Gradshteyn I.S. Tables of Integrals, Series and Products// New-York: Academic Press, 1965.

96. Sohval A.R., Delvaille J.P., Kalata K., and Schnopper H.W. Knock-on bremsstrahlung in heavy-ion collisions with thick targets// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 1975 - v.8 - p.L426-L428

97. Solov'yov A.V. Polarizational bremsstrahlung in collisions of slow atomic particles// Zh.Phys.D: At.Mol.Clust. 1992 - v.24 - p.5-13

98. Радциг A.A., Смирнов Б.М. Справочник по атомной и молекулярной физике М.: Атомиздат, 1980.

99. Amusia M.Ya., and Korol A.V. Recent developments of polarizational bremsstrahlung// Nucl.Instr.Meth. B 1993 - v.79 - p.146-149

100. Kracke G., Alber G., and Briggs J.S. Two-photon bremsstrahlung in electron collisions with noble gas atoms// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 1993 - v.26 - p.L561-L566

101. Kracke G., Briggs J.S., Dubois A., Maquet A., and V6niard V. Two-photon free-free transitions in laser-assisted electron-hydrogen scattering// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 1994 - v.27 - p.3241-3256

102. Ehlotzky F., Jarori A., and Kamisriki J.Z. Electron-atom collisions in a laser field// Phys. Rep. 1998 - v.297 - p.63-153

103. Fedorova T.A., Korol A.V. and Solovjev I.A. Method of approximate treatment of the relativistic compound free-free matrix elements// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 2000 - v.33 - p.5007-5024

104. Rosenberg L. Infrared radiation by a Dirac electron: First-order corrections to the cross section sum rule// Phys. Rev. A 1994 - v.49 - p.4770-4777

105. Korol A.V. Calculation of the two-photon Bremsstrahlung spectra for a 70 keV electrons on Al, Fe, Cu, Y, Ag and Au atoms// Nucl.Instr.Meth. B -1995 v.99 - p.160-162

106. Gribakin G.F., Ivanov V.K., Korol A.V., and Kuchiev M.Yu. Three-photon detachment of electrons from the fluorine negative ion// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 1999 - v.32 - p.5463-5478

107. Gribakin G.F., Ivanov V.K., Korol A.V., and Kuchiev M.Yu. Two-photon detachment of electrons from halogen negative ions// J.Phys.B: At.Mol.Opt.Phys. 2000 - v.33 - p.821-828

108. Rosenberg L. Relativistic multiphoton bremsstrahlung// Phys. Rev. A -1991 v.44 p.2949-2954

109. Fedorova T.A., Korol A.V. and Soiovjev I.A. Relativistic calculation of the two-photon bremsstrahlung process// Surface Review and Letters 2002 -v.9 - p.

110. Nordsieck A. Reduction of an Integral in the Theory of Bremsstrahlung// Phys. Rev. 1954 - v.93 - p.785-787