Восстановление динамики ленточного электронного потока в скрещенных полях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.04, кандидат физико-математических наук Платонов, Андрей Анатольевич

• Платонов, Андрей Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Платонов, Андрей Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ИХ РЕКОНСТРУКЦИЯ

ПО ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ.

1.1 Динамические системы и их классификация.

1.2 Фазовые портреты динамических систем.

1.3 Устойчивость (линейное приближение).

1.4 Аттракторы динамических систем. Детерминированный хаос.

1.5 Динамические системы и временные ряды.

1.6 Статистические методы обработки временных рядов.

1.7 Реконструкция аттракторов по временным рядам. Теорема Такенса.

1.8 Предсказание временных рядов. Построение модели по входным данным

1.9 Алгоритм глобальной реконструкции динамических систем.

1.10 Электронный поток в скрещенных полях. ЛБВ М-типа.

Выводы.

2. ВЫБОР ОБЪЕКТОВ И МЕТОДОВ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОГНОЗА ДИНАМИКИ ЭЛЕКТРОННОГО ПОТОКА.

2.1 Постановка задачи моделирования электронного потока методом нелинейного прогноза.

2.2 Систематизация задач по объему априорной информации. Прямые и обратные задачи.

2.3 Основные этапы прогноза.

2.4 Анализ входных данных и выбор метода первичной обработки данных.

2.5 Определение параметров для реконструкции фазового портрета системы.

2.6 Выбор метода прогноза.

2.7 Выбор вида нелинейных уравнений, описывающих систему.

Выводы.

3. ПРОГНОЗ ВЕЛИЧИНЫ ТОКА ЧЕРЕЗ СЕЧЕНИЕ ПУЧКА МЕТОДОМ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ.

ЗЛ Описание входного временного ряда.

3.2 Фильтрация шума и определение параметров фильтра.

3.3 Определение динамических параметров для реконструкции фазового портрета.

3.4 Реконструкция уравнений системы.

3.5 Проверка адекватности реконструкции динамической системы.

3.6 Определение длины обучающей выборки.

3.7 Проверка модели вне выборки. Прогноз.

3.8 Проверка устойчивости модели при изменении параметров прибора.

3.9 Длина прогноза итерационной модели.

3.10 Скорость работы итерационной модели.

Выводы.

4. ПРОГНОЗ ВЕЛИЧИНЫ ТОКА ЧЕРЕЗ СЕЧЕНИЕ ПУЧКА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА.

4.1 Выбор базисной функции для реализации прямого метода прогноза.

4.2 Проверка адекватности модели.

4.3 Определение длины обучающей выборки.

4.4 Длина прогноза прямого метода.

4.5 Скорость работы прямого метода.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Восстановление динамики ленточного электронного потока в скрещенных полях»

Одной из актуальных задач физической электроники является изучение процессов, протекающих при взаимодействии электронных потоков с электромагнитными волнами, имеющими сложный спектральный состав. При этом интерес представляет не только усиление или генерация сигнала с дискретным набором спектра частот, но и поиски путей создания условий, при которых может осуществляться генерация стохастических сигналов.

Учитывая, что натурный эксперимент не в состоянии сразу дать ответ на поставленные задачи ввиду сложности явлений в пространстве взаимодействия, приходится прибегать к машинному эксперименту, то есть моделированию этих явлений, что позволяет решить ряд важных практических задач, таких как создание новых или совершенствование имеющихся устройств. Кроме того, моделирование делает возможным исследование процессов, недоступных для непосредственного изучения в реальных приборах, таких как динамика электронного потока внутри пространства взаимодействия, поскольку в электронном приборе именно электронный поток является основным рабочим инструментом и его группировка в высокочастотном поле (с учетом дисперсионных характеристик замедляющей системы) определяет протекающие явления.

В ряде последних работ рассматривались многочастотные процессы в приборах со скрещенными полями. Это обусловлено, прежде всего, тем, что приборы М-типа широко используются благодаря хорошим техническим характеристикам (высокий электронный КПД, высокий уровень мощности при малых габаритах), что делает их исследование важным с практической точки зрения. Кроме того, теория таких приборов в определенной мере развита, и результаты достаточно хорошо коррелируют с экспериментальными данными. Однако дальнейшее изучение ограничивается тем, что при современных мощностях ЭВМ невозможно в течение практически приемлемых промежутков времени исследовать долговременные закономерности динамики потока Поэтому необходима разработка такой методики анализа, которая бы позволила на базе ограниченного количества результатов предсказать, что получится при взаимодействии потока с электромагнитной волной в дальнейшем.

В качестве исходного прибора выбрана лампа бегущей волны М - типа (ЛБВМ). Этот выбор обусловлен несколькими причинами, основной из которых является то, что ЛБВ является распределенной автоколебательной системой с длительным взаимодействием электромагнитной волны и электронного пучка. Такие системы обладают бесконечной размерностью фазового пространства. Следовательно, знать весь бесконечномерный вектор их состояния невозможно. Систему необходимо рассматривать как «черный ящик», а для получения модели - использовать математический аппарат нелинейной динамики.

Хотя в качестве объекта исследований выступает физический прибор, источником исходных данных для исследования является компьютерная модель движения электронного потока, которая основана на решении системы уравнений его движения и уравнений возбуждения. При этом наиболее сложная часть модели - определение сил пространственного заряда, действующих на частицы, реализована классическим методом частица-частица. Такой выбор обусловлен, в первую очередь, тем, что модель дает возможность анализировать не только выходные параметры, но и «внутренние» характеристики электронно-волнового взаимодействия, что недоступно в реальном эксперименте. Примером такой характеристики являются значения силы тока через некоторое внутреннее сечение прибора. В реальном приборе получение этих значений невозможно реализовать практически, поскольку внесение электрода внутрь пространства взаимодействия повлечет изменение электрического поля внутри прибора, что отразится на достоверности полученных результатов.

В этой связи целью исследования является создание метода моделирования величин, описывающих динамику ленточного электронного потока в скрещенном электрическом и магнитном полях, по экспериментальным данным. Он позволяет, используя величины, рассчитанные с применением какой-либо классической модели в течение небольшого промежутка времени, получить на их основе некоторую модельную систему уравнений, на основе которой сделать долговременный прогноз. За счет этого существенно ускоряется расчет наиболее существенных величин. Кроме этого, появляется возможность исследовать некоторые важные свойства сигнала (наличие и тип шума, изменение скорости убывания гармоник в зависимости от частоты и другие).

Основные задачи, решенные в рамках исследования:

- изучены основные методы анализа и реконструкции динамических систем, проведено исследование их применимости для реализации нелинейного прогноза;

- проведено сравнение различных методов, исследование их применимости к реконструкции величин, описывающих динамику электронного потока

- показана необходимость фильтрации шума для осуществления реконструкции, разработан метод разделения шумовой и динамической компонент;

- разработан итерационный метод нелинейного прогноза на основе глобальной реконструкции динамической системы;

- проведены исследования адекватности и устойчивости данного метода;

- разработан прямой метод нелинейного прогноза на основе функции Вей-ерштрасса.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработан метод моделирования по экспериментальным данным, позволяющий существенно сократить время расчета плотности тока через сечение электронного потока, движущегося в скрещенных полях;

- показано, что шумовая компонента сигнала является аддитивной, хорошо описывается гауссовым шумом и не оказывает принципиального влияния на динамику системы;

- разработан метод разделения шумовой и динамической составляющей, основанный на применении преобразования Фурье;

- показано, что значение тока через сечение прибора зависит только от предшествующих значений в небольшом интервале;

- впервые получена размерность фазового пространства системы, равная

4;

- показано, что зависимость значения тока от времени с достаточной точностью описывается известной функцией Вейерштрасса;

- показано, что скорость спадания гармоник основной частоты зависит от величины основной частоты, введен параметр для ее описания;

- показано и подтверждено численным экспериментом, что шум, наблюдаемый при движении электронного потока, не является динамическим (неотъемлемым от принципиальной динамики системы), а представляет собой аддитивный компонент.

Практическая ценность заключается в том, что

- предложенный метод позволяет сократить затраты на моделирование электронных потоков.

Внедрение результатов работы. Результаты работы использованы в госбюджетных научно-исследовательских работах «Математическое моделирование многочастотных взаимодействий в скрещенных полях» (№ гос. регистрации 01990010964), «Исследование возможности создания многочастотных сверхвысокочастотных усилителей и генераторов М - типа» (тема № 54-53/429-04, № гос. регистрации 01200500653 ), выполненных в Волгоградском государственном техническом университете в 1999 - 2003 г. фундаментальных и поисковых работ Министерства образования РФ , и выполняемых настоящее время на кафедре физики по планам Агентства по образованию РФ.

Достоверность результатов исследования обусловлена использованием классических методов и процедур нелинейной динамики, достаточным количеством результатов, коррелирующих с результатами других авторов, а также сравнением результатов работы метода с данными, полученными известными классическими моделями.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Метод моделирования величины тока через сечение электронного потока, основанный на процедуре нелинейного итерационного прогноза с использованием глобальной реконструкции.

2. Алгоритм разделения шумовой и динамической составляющей величины тока.

3. Метод моделирования величины тока, основанный на процедуре прямого прогноза с использованием функции Вейерштрасса.

Апробация результатов. Основные положения диссертационной работы и ее отдельные результаты докладывались и обсуждались на 10 - ой междисциплинарной научной конференции "Нелинейный мир" (Нижний Новгород, 2005 г.), на XIII научной школе «Нелинейные волны-2006» (Нижний Новгород 2006г, на X и XI Региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (Волгоград, 2005 и 2006 г.), на научных конференциях и семинарах ВолгГТУ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии.

Заключение диссертации по теме «Физическая электроника», Платонов, Андрей Анатольевич

Выводы

На основании полученных в этой главе результатов можно сделать следующие выводы.

Получен долговременный прогноз значений величины тока через сечение пучка для разных значений частоты модуляции, проведено сравнение предсказанных значений с модельными. Показано, что форма и спектр прогнозируемого сигнала с достаточной точностью повторяют эти параметры для модельного сигнала.

Зависимость значения тока от времени с достаточной точностью описывается известной функцией Вейерштрасса. Как следствие, данный процесс обладает свойством самоподобия.

Скорость работы предлагаемого метода в 10-11 раз выше скорости классического метода расчета уравнений движения при расчете сил пространственного заряда методом «частица-частица». При его использовании нет накопления ошибки, что позволяет делать прогноз на большое число шагов вперед (5700) при малой длине выборки (500-700 шагов), т.е длина прогноза в 11 раз превышает длину исходной выборки. Простота модели (3 параметра уравнения) дает возможность аналитического исследования полученной зависимости. Скорость спадания гармоник основной частоты зависит от величины основной частоты, введен параметр для ее описания а.При увеличении основной частоты с 3.5 до 5.7 ГГц (« в 1.6 раза) \а\ возрастает с 1/5 до 1/3 соответственно (« в 1.67 раза).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате исследований получены следующие основные научные результаты:

1. Разработан метод моделирования величины тока через сечение электронного потока, движущегося в скрещенных полях, путем реконструкции полиномиальных дискретных отображений, позволяющий производить анализ поведения электронного потока в расширенной области и при проведении полной реконструкции обеспечивающий ускорение в 2.5-2.75 раза по сравнению с классическим методом, в котором для расчета пространственного заряда используется алгоритм частица-частица.

2. Показано, что шумовая компонента сигнала является аддитивной, и хорошо описывается гауссовым шумом.

3.Для получения пригодного для реконструкции фазового портрета разработан алгоритм фильтрации шума, позволяющий разделить шумовую и динамическую компоненты сигнала, и определен оптимальный порог фильтрации шума, равный -20 Дб.

4. Определена оптимальная временная задержка, используемая для восстановления фазовых портретов в двумерном пространстве, равная 7=33*10-12 с.

5. Определена размерность фазового пространства динамической системы, описывающей движение потока, равная 4, таким образом показана возможность глобальной реконструкции системы.

6. Разработан метод моделирования значений тока через сечение ЛБВ М-типа с использованием в качестве базиса функции Вейерштрасса, обеспечивающий ускорение в 10-11 раз по сравнению с классическим методом расчета.

7. Показано, что скорость спадания гармоник основной частоты зависит от величины основной частоты, введен параметр для ее описания а .При увеличении основной частоты с 3.5 до 5.7 ГГц ( в 1.6 раза) а возрастает с 1/5 до 1/3 соответственно (в 1.67 раза).

8. Показано, что уровень шума при заданных параметрах прибора заметно не меняется при увеличении частоты, и составляет величину порядка -20 Дб для всех исследованных частот.

9. Показана устойчивость полученных моделей при изменении частоты модуляции и скорости влета электронов.

Как видно из вышесказанного, методы прогноза динамики электронного потока представляют собой перспективное направление в анализе и исследовании его поведения. Для реализации долговременного прогноза целесообразно решать задачу реконструкции динамических систем по экспериментальным данным. При практически полном отсутствии априорных данных о форме сигнала («черный ящик»), она является одной из наиболее сложных и полезных с точки зрения получения дополнительной информации о свойствах сигнала. Достаточно интересным с практической точки зрения представляется проведение в будущем комплекса исследований для различных режимов работы приборов М-типа, в том числе в многочастотном режиме. Более крупной задачей, едва ли реализуемой на данном этапе развития методов реконструкции, является получение уравнений, содержащих в качестве параметров все или основные технические характеристики прибора.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Платонов, Андрей Анатольевич, 2007 год

1. Шеин А.Г. Особенности многочастотного взаимодействия электронного потока с прямой электромагнитной волной в приборах М-типа/А.Г. Шеин, А.Н. Мутовкин// Электромагнитные волны и электронные системы. Междунар. науч. журнал.-2004.-Т.9. №2.-С.4-10

2. Шеин А.Г. Спектральные характеристики ленточного электронного потока в скрещенных полях/А.Г. Шеин, Р.А. Евдокимов// Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники.-2002.-№8.-С. 4-8

3. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний.- М.: Наука, 1972

4. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах.- М.: Наука, 1990

5. Каток А.Б., Введение в современную теорию динамических систем/ Каток

6. A.Б., Хасселблат Б. М.: Факториал, 1999

7. Анищенко B.C. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах/Анищенко В.С.,Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. и др.; Под ред.

8. B.C.Анищенко.-М.;Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003

9. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991

10. Странные аттракторы. Сборник статей / Ред: Колмогоров А. Н., Новиков1. C. П. и др.-М.: Мир. 1981

11. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск: РХД, 2001

12. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988

13. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990

14. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000

15. Takens F. Detecting Strange Attractors in Turbulence // Lecture Notes in Mathematics.-l 980 v. 898.-p. 366

16. H.Kaplan J.L., Yorke J.A., Lect. Notes Math.730, 204, 1971

17. Ruelle D., Takens F. Commun. Math. Phys. 20, 167, 1971

18. Малинецкий Г.Г. Современные проблемы нелинейной динамики/ Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. М.: УРСС, 2002

19. Gershenfeld N., Weigend A. Time Series Prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past. Proceedings of a NATO Advanced Research Workshop on Comparative Time Series Analysis. Addison-Wesley, 1993

20. Boccara N. Modeling Complex Systems. New York, Springer-Verlag, 2004

21. Компьютеры и нелинейные явления: Информатика и современное естествознание/Авт. предисл. Самарский А.А. М.: Наука, 1988

22. Chatfield. С. The Analysis of Time Series: An Introduction, Fifth Edition. London: Chapman and Hall, 1996

23. Богнер P. Введение в цифровую фильтрацию/ Богнер Р., Константинидис А. М.: Мир, 1976.

24. Packard N.H., Crutchfield J.P., Farmer J.D., Shaw R.S., Phys Rev. Lett. 45, 712, 1980

25. Stark J., Broomhead D.S., Davies M.E., Huke J. Takens Embedding Theorems for forced and Stochastic Systems, in Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. Proc. Of 2nd Congress of Nonlinear Analysis, Vol. 30 (Elsevier, Amsterdam 1997) p. 5303

26. Parker T.S., Chua L.O. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. Springer-Verlag, 1989

27. Yamamoto Y. Detection of Chaos and Fractals from Experimental Time Series Электронный ресурс. 2005.- URL: http://www.p.u-tokyo.ac.jp/~yamamoto/papers/nstech.pdf

28. Хакен Г. Информация и самоорганизация: Макроскопический подход к сложным системам. М.: Мир, 1991

29. Small M. Optimal time delay embedding for nonlinear time series modeling Электронный pecypc.-2006.- URL: http://arxiv.org/abs/nlin/0312011

30. Enns R.H., McGuire G.C. Nonlinear Physics with Mathematica for Scientists and Engineers. Boston, Birkhauser, 2001

31. Abarbanel H.D.I., Brown R., Sidorowich J.J., Tsimring L.S. The Analysis of Observed Chaotic Data in Physical Systems //Rev. Mod. Phys. 65 (1993). p 1331-1391

32. Smith L.A. Identification and Prediction of Low-dimensional Dynamics // Physica D. 58 (1992). P.50-76

33. Павлов A.H. Реконструкция динамических систем по сигналам малой длительности/ Павлов А.Н., Янсон Н.Б., Капитаниак Т., Анищенко B.C. // Письма в ЖТФ, т.25, вып. 11, 1999

34. Лопухин В.М. Возбуждение электромагнитных колебаний и волн электронными потоками. М.: Гостехиздат, 1953

35. Неймарк Ю.И. Стохастические и хаотические колебания/ Неймарк Ю.И., Ланда П.С. М.: Наука. 1987

36. Николис Г. Самоорганизация в неравновесных системах/Николис Г., Пригожин И. -М.: Мир, 1979.

37. Николис Г. Познание сложного/Николис Г., Пригожин И. -М.: Мир, 1980.

38. Хокни Р. Численное моделирование методом частиц/Хокни Р., Иствуд Дж-М.: Мир, 1987

39. Евдокимов Р.А. Спектральный состав электронного потока в скрещенных полях. Дисс. канд. физ.-мат. наук: Волгоград, 2004.

40. Байбурин В.Б. Многопериодная численная модель магнетронного генератора на основе метода крупных частиц / Байбурин В.Б., Терентьев А.А., Пластун С.В // Радиотехника и Электроника.-1996.- Т.41, № 2.-С.236-240.

41. Рошаль А.С. О статистическом моделировании стационарных режимов плоского магнетрона/Рошаль А.С., Романов П.В.// Изв. Вузов-Радиоэлектроника.- 1970.- Т. 13, № 9.- С. 1092-1098.

42. Chan Н., Chen С., Davidson R. Computer simulation of relativistic multiresonator cylindrical Magnetrons // Appl. Phys.Lett.-1990.- V.57, № 12.-P.l 271-1273.

43. Васильев C.B. Эффективная модель для расчета характеристик магнетрона// Радиотехника. Харьков: "Вища школа", 1985.- № 75.-С.79-84.

44. Романов П.В. О расчете методом Монте-Карло электронного потока в скрещенных полях/ Романов П.В., Рошаль А.С., Галимуллин В.Н. // Изв. Вузов- Радиофизика.-1970.- Т. 13, № 7.-С. 1096-1105;

45. Yu S., Kooyers G., Buneman О. Computer simulation of distributed-emission crossed-field devices// Tubes hyperfrequences.- 1965, Paris.- P.308-310

46. Dombrowski G. Simulation of Magnetrons and Crossed-Field Amplifiers// IEEE Trans on ED-35.- 1988.- № 11.- P.2060-2067.

47. Безручко Б.П. Математическое моделирование и хаотические временные ряды / Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005.

48. Стратонович P.JI. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике.- М.: Советское радио, 1961

49. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968

50. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1996. Т. 166, № 11. С. 1145-1170.

51. Безручко Б.П. Модель диссипативного осциллятора в виде одномерного отображения с тремя параметрами/ Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. // Письма в ЖТФ. 1994. Т. 20, вып. 11. С. 78-82.

52. R. С. Singleton, "A method for computing the fast Fourier transform with auxiliary memory and limited high-speed storage," IEEE Trans. Audio Electroacoust., vol. AU-15, pp. 91--98, June 1967

53. Дженкинс Г. Спектральный анализ и его приложения/ Дженкинс Г., Ватте Д. -М.: Мир, 1978.

54. Рабинер JI.P. Теория и применение цифровой обработки сигна-лов/ Рабинер Л.Р., Гоулд Б.- М.: Мир, 1978.

55. Gibson J.F., Farmer J.D., Casdagli М., Eubank S. An analytic approach to practical state space reconstruction // Physica D. 1992. V. 57. P. 1-30.

56. Fraser A.M., Swinney H.L. Independent coordinates for strange attractors from mutual information // Phys. Rev. A. 1986. V. 33. P. 1131-1140.

57. Liebert W., Schuster H.G. Proper choice the of time delay for the analysis of chaotic time series // Phys. Lett. A. 1989. V. 142. P. 107-111.

58. Eckmann J.P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors // Rev. Mod. Phys. 1985. V. 57. P. 617-656.

59. Judd K., Mees A.I. Embedding as a modeling problem // Physica D. 1998. V. 120. P. 273-286.

60. Кравцов Ю.А. Случайность, детерминированность, предсказуемость // Успехи физических наук. 1989. Т. 158, № 1. С. 93-115.

61. Broomhead D.S., King G.P. Extracting qualitative dynamics from experimental data // Physica D. 1986. V. 20. P. 217-236.

62. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors // Physica D. 1983. V. 9. P. 189-208.

63. Ланда П.С. Сравнение методов конструирования фазового пространства и определения размерности аттрактора по экспериментальным данным/ Ланда П.С., Розенблюм М.Г. // ЖТФ. 1989. Т. 59, № 11. С. 1-8.

64. Kennel M.B., Brown R., Abarbanel H.D.I. Determining embedding dimension for phase-space reconstruction using a geometrical construction // Phys.Rev. A. 1992. V. 45. P. 3403-3411

65. Анищенко B.C. Об одном методе восстановления неоднородных аттракторов / Анищенко B.C., Янсон Н.Б., Павлов А.Н. // Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22, вып. 7. С. 1-6.

66. Булдакова Т.И. Метод нейросетевой реконструкции систем / Булдакова Т.Н., Суятинов С.И. // Информ. технологии. — 2002. — № 7. — С. 37-40

67. М. Casdagli, Nonlinear prediction of chaotic time series, Physica D 35, 335 , 1989

68. Farmer J.D., Sidorowich J.J. Predicting chaotic time series // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 845-848.

69. Judd K., Small M. Towards long-term prediction // Physica D. 2000. V. 136. P. 31-44.

70. Small M., Judd K., Mees A. Modelling continuous processes from data // Phys. Rev. E. 2002. V. 65. 046704.

71. Bezruchko B.P., Smirnov D.A. Constructing nonautonomous differential equations from a time series // Phys. Rev. E. 2001. V. 63. 016207.

72. Fractan 4.4 Электронный ресурс.-2005.- URL: http://impb.psn.ru/~sychyov/soft.shtml

73. Holger R., Kantz H., Schreiber T. Practical implementation of nonlinear time series methods: The TISEAN package // CHAOS 1999. 9. p. 413

74. Афраймович B.C. Устойчивость,структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации/ Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д.- Горький: ИПФ АН СССР, 1989. 254 с.

75. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. -М.: Мир. 1974.

76. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент (введение в нелинейную динамику). -М.: Эдиториал УРСС, 2000.

77. Dikanev Т., Smirnov D., Ponomarenko V., Bezruchko B. Three subproblems of global model reconstruction from time series and their peculiarities // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2003. Т. 11, № 3. С. 165-178.

78. Бокс Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Части 1 и 2/ Бокс Дж., Дженкинс Г. М.: Мир, 1974.

79. Вартофский М. Модели. Репрезентация и научное понимание.- М.: Прогресс, 1988.

80. Дмитриев А.С. Стохастические колебания в радиофизике и электронике/ Дмитриев А.С., Кислов В.Я. М.: Наука, 1989.

81. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979.

82. Бутковский О .Я. Анализ погрешности восстановления параметров нелинейного отображения по зашумленным хаотическим временным рядам/ Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Логунов М.Ю. // Изв. вузов. Радиофизика. 2002. Т. 45, № 1. С. 55-66.

83. Заславский Г.М. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса/ Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. М.: Наука, 1988

84. Брур Х.В. Структуры в динамике. Конечномерные детерминированные системы/Брур Х.В., Дюмортье Ф., Ван Стрин С. И др.- М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003

85. Зельдович Я.Б. Фрактали, подобие, промежуточная асимптотика/ Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. // Успехи физических наук. 1985. Т. 146, вып. 3. С. 493-505.

86. Рюэль Д. Случайность и хаос. Ижевск: РХД, 2001

87. Chamizo, F. and Cordoba, A. "Differentiability and Dimension of Some Fractal Fourier Series." Adv. Math. 142, 335-354, 1999.

88. Girgensohn, R. "Functional Equations and Nowhere Differentiable Functions." Aeq. Math. 46, 243-256, 1993

89. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002

90. Falconer К. The Geometry of Fractal Sets, Oxford, 1984