Вопросы прогнозируемости в изотропных моделях с самоорганизованной критичностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Шаповал, Александр Борисович

• Шаповал, Александр Борисович
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шаповал, Александр Борисович

Введение

1 Скейлинговые свойства крупных событий в модели БТВ

1.1 Направления развития моделей с СОК.

1.1.1 Модель блоков и пружин.

1.1.2 Самоподобная фрактальная модель.

1.1.3 Модель разрыва пучка волокон.

1.1.4 Иерархические модели разрушения.

1.1.5 Иерархическая модель кластеризации.

1.2 Модель БТВ.

1.2.1 Определение эволюции.

1.2.2 Степенной закон повторяемости событий.

1.2.3 Нормировка крупных событий.

1.2.4 Результаты главы

2 Модели со случайным перераспределением песчинок

2.1 Определение моделей.

2.1.1 Модель Манна.

2.1.2 Семейства моделей БР.

2.2 Распределение высот.

2.2.1 Плотность с четырьмя пиками и модель Чанга

2.2.2 Ступенчатые плотности и модель БТВ

2.2.3 Принципиальная роль стохастики.

2.3 Целочисленные модели с дробным пересыпанием.

2.4 Графики повторяемости для моделей с малыми критическими высотами

2.4.1 Случайное блуждание как особая точка семейства

2.4.2 Модель БТВ как другая особая точка семейства

2.5 Результаты главы.

3 Прогноз в моделях: затишье вместо активизации

3.1 Алгоритмы прогноза и их эффективность.

3.2 Определение предвестников.

3.3 Реализация алгоритма прогноза.

3.4 Численные результаты прогноза.

3.4.1 Эффективность для различных целевых событий

3.4.2 Причины эффективности предвестников

3.4.3 Диаграмма ошибок.

3.5 Высота кучи и кластеризация песчинок.

3.5.1 Закон повторяемости событий

3.5.2 Предвестники.

3.5.3 Эффективность прогноза.

3.6 Результаты главы

4 Диссипативная детерминированная модель с активизаци-онным сценарием сильных событий

4.1 Модель

4.2 Закон повторяемости событий

4.3 Предвестник сильных событий.

4.4 Количественные результаты прогноза.

4.4.1 Качественные свойства семейства моделей

4.4.2 Неоднородность прогноза во времени

4.4.3 Адаптация алгоритма М8.

4.5 Результаты главы

5 Предсказуемость последовательности целевых событий

5.1 Оценка предсказуемости при редком повторении событий

5.1.1 Задача оптимизации.

5.1.2 Оптимальная стратегия.

5.2 Оценка предсказуемости при заданном коэффициенте вариации

5.2.1 Мотивировка.

5.2.2 Основная теорема

5.3 Свойства функции риска.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вопросы прогнозируемости в изотропных моделях с самоорганизованной критичностью»

Общая характеристика работы

Актуальность. Парадигма самоорганизованной критичности — эволюции системы к критическому состоянию без настройки каких-либо параметров — привлекла к себе повышенное внимание сразу же после разработки [42] Баком, Тангом и Визенфельдом первой модели (модели БТВ) с самоорганизованной критичностью (СОК) С одной стороны, из-за своей простоты, с другой, из-за фундаментальности, принципы самоорганизованной критичности (СОК) оказались востребованы в таких разнообразных областях знания, как геофизика, физика плазмы, биология, макроэкономика [10, 19, 37]. Существование достаточно полных геофизических данных позволяет оценить применимость теории СОК к описанию процесса формирования землетрясений [144].

Для прогноза землетрясений изучают и анализируют предшествующие им явления (предвестники) [11, 21, 23, 27, 96]. Наиболее исследованный и часто встречающийся предвестник — повышение сейсмической активности в разные интервалы времени, предшествующие сильным землетрясениям [26, 52, 53, 54, 89, 123]. Некоторым землетрясениям предшествует сейсмическое затишье [24, 159, 161] или сочетание активизации и затишья в разных пространственно-временных областях [30, 83]. На основе найденных предвестников построены алгоритмы среднесрочного прогноза, эффективно предсказывающие сильные землетрясения в реальном времени

27, 17, 93, 94, 139]. Десятилетия мониторинга в различных регионах мира позволили оценить как эффективность некоторых из алгоритмов прогноза, так и их статистическую значимость [6, 13, 96].

Несмотря на заметные успехи в прогнозировании землетрясений, ряд исследователей считают используемые предвестники недостаточно «физич-ными», а текущие результаты прогноза ненадёжными [75, 92]. Дискуссия о возможности прогноза землетрясений опубликована в журнале Nature (1999)1. Она опирается на представление о сейсмическом процессе как о самоорганизованной критической системе блоков различной величины с самоподобной структурой. Блоки взаимодействуют друг с другом и находятся в постоянном медленном движении, во время которого система накапливает напряжение. Землетрясения сопровождаются освобождением накопленного напряжения, происходящим почти мгновенно по сравнению со временем накопления [6, 22]. Энергия, выделенная при освобождении напряжения, не имеет преимущественных значений. В соответствии с законом Гутенберга-Рихтера [78] вероятностное распределение выделенной при землетрясениях энергии убывает степенным образом. Степенные распределения и автомодельные свойства сейсмичности типичны для систем, находящихся в критическом состоянии [18]. Поэтому полагают, что процесс подготовки землетрясений порождается типичной системой с СОК.

Отсутствие выделенных масштабов, вообще говоря, свидетельствует о непредсказуемости системы [40]. Поэтому, опираясь на закон Гутенберга-Рихтера, ряд исследователей заключают, что прогноз землетрясений не возможен [75]. Гипотеза о непрогнозируемости систем с СОК подтверждается сравнительным анализом предсказуемости различных моделей сейсмичности, проведённым в [127], где, в частности, установлено, что события в модели БТВ практически не предсказуемы с помощью ряда алгоритмов прогноза землетрясений, адаптированных к модельной динамике. Таким

1http://www. nature.com/nature/debates/earthquake/equakeframeset. html образом, следует либо считать недостаточно обоснованными результаты прогноза землетрясений, либо поставить под сомнение самоорганизацию сейсмических процессов, либо уточнить гипотезу о непредсказуемости типичных систем с самоорганизованной критичностью.

Представление о модели БТВ как о типичной модели с СОК не согласуется с результатами [45, 107]. Поэтому естественно уточнить модель БТВ, построив достаточно широкий класс моделей, которые, с одной стороны, реализуют феномен самоорганизованной критичности, а, с другой стороны, воспроизводят наблюдаемые характеристики сейсмического процесса, в частности, прогнозируемость крупных событий.

К настоящему времени аналитически установлен ряд свойств модели БТВ. Динамика модельной системы определена с помощью эволюционного оператора, действующего в подходящем топологическом пространстве [66]. Доказано существование стационарной точки этого оператора, интерпретируемой как критическое состояние [67]. Сформулировано алгебраическое и комбинаторное описание конфигураций, т. е. точек фазового пространства, возникающих в критическом состоянии с положительной вероятностью [69]. Установлено, что корреляционные функции на этих конфигурациях являются степенными [131]. В некоторых случаях удаётся найти показатели степени [70, 86]. Классификация моделей проводится в терминах показателей степенных законов. Однако вид распределения событий по размерам теоретически не установлен.

Численный анализ свидетельствует о степенном распределении событий по размерам в значительном диапазоне [59]. Описание «хвоста» этого распределения, универсальное относительно объема модельной системы, до сих пор неизвестно.

Вопрос о прогнозируемости систем с СОК теоретически сложен и исследуется эмпирически. Алгоритмы прогноза землетрясений, основанные на повышении сейсмической активности перед сильными землетрясениями, фиксируют в модели БТВ определённое затишье (анти-активизацию), предшествующее крупным событиям. Влияние факта слабой прогнозиру-емости модели БТВ на исследователей оказалось столь большим, что он автоматически распространялся на её модификации без соответствующей проверки. Поэтому остаётся не ясным, затишье перед крупными событиями и их слабая предсказуемость — это свойства целого класса самоорганизованных критических систем, или характеристики конкретной модели, устраняемые малым изменением её правил.

Цель диссертационной работы — показать, что в рамках типичных систем с самоорганизованной критичностью существует модель сейсмического процесса, крупные события которой эффективно прогнозируемы с помощью адаптированных предвестников сильных землетрясений. Для достижения цели решаются следующие задачи.

1. Классифицировать модификации модели БТВ, получаемые из модели БТВ малым изменением правил, и найти нормировку крупных событий модели БТВ, универсальную относительно объёма модельной системы.

2. Построить алгоритм прогноза, эффективно предсказывающий крупные события в модели БТВ, основываясь на предшествующем им затишье.

3. Модифицировать модель БТВ, с целью добиться эффективного прогноза крупных событий, основанного на аномальном увеличении активности событий средних масштабов. Показать существование временной неоднородности прогноза в моделях.

4. Оценить прогнозируемость последовательности предсказываемых событий по распределению времени между ними.

Направления исследования. Вопросы прогнозируемости в моделях с самоорганизованной критичностью принадлежат междисциплинарной области, включающей в себя ряд направлений математики, физики, информатики и экономики. Междисциплинарный характер исследования отражается в диссертации, где анализируются фрактальные и мультифракталь-ные объекты, изучаются свойства модельных систем в термодинамическом пределе, используются методы теории распознавания образов.

В работе исследованы теоретические аспекты прогнозируемости в моделях с самоорганизованной критичностью, отражающих основные свойства сейсмического процесса. К теоретическим аспектам относятся

• вопросы прогнозируемости конкретных систем,

• оптимизация параметров алгоритмов прогноза.

При анализе прогнозируемости конкретных систем был рассмотрен широкий класс изотропных моделей с самоорганизованной критичностью, одним из представителей которого является модель БТВ. Прогнозируемость обосновывается построением численных алгоритмов прогноза, эффективность которых оценивается в терминах ошибок первого и второго рода. Для проверки типичности моделей исследуются распределения модельных событий по размерам и распределения напряжения по пространственному объёму системы.

Методы исследования. В работе использованы эмпирические и теоретические методы исследования, типичные для сложных систем с большим числом степеней свободы. Модельная динамика реализована с помощью компьютерного моделирования. Достоверность результатов подтверждается стандартными статистическими тестами.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Построена математическая модель с самоорганизованной критичностью, близкая к модели Бака-Танга-Визенфельда, в которой существует эффективный прогноз крупных событий, основанный на увеличении активности событий средних масштабов.

2. Показано, что прогнозируемость построенной модельной системы неоднородна по времени.

3. Классифицированы основанные на механизме БТВ изотропные модели с самоорганизованной критичностью без диссипации распространения напряжения. Разработан численный алгоритм, прогнозирующий крупные события в моделях с достаточно высокой эффективностью.

4. Найдена универсальная нормировка крупных событий в модели БТВ.

5. Подтверждена универсальность методологии прогноза землетрясений. Оценена неслучайность последовательности крахов на фондовых рынках.

Научная новизна и практическая значимость. Впервые показано, что в модель БТВ и её простейшие модификации обладают эффективной предсказуемостью, основанной на затишье;

• при введении нелинейной диссипации распространения напряжения в модель БТВ имеет место активизационный сценарий крупных модельных событий, позволяющий их прогнозировать с высокой эффективностью.

Эффективность прогноза крупных событий в модели БТВ и её модификациях, полученная в диссертационной работе, принципиально выше, чем в исследовании [127]. Этот результат достигнут по следующим причинам.

1. Известные к настоящему времени результаты прогноза в модели БТВ получены при сравнительном анализе предсказуемости различных моделей с помощью конкретного предвестника. В диссертационной работе при построении алгоритма используется прогноза близкий предвестник, но настроенный непосредственно для модели БТВ, что позволяет получить более эффективный прогноз.

2. В диссертации разработан новый, более эффективный алгоритм прогноза крупных событий в модели БТВ, основанный на пространственной кластеризации напряжений.

3. Показано, что (в определённом смысле) малые изменения правил модели БТВ существенно улучшают предсказуемость крупных событий в получающихся моделях.

4. Наконец, введение в модель БТВ нелинейной диссипации при распространении напряжений изменяет прогнозируемость качественно: адаптированные алгоритмы прогноза землетрясений фиксируют увеличение событий средних размеров перед крупными событиями, а не уменьшение, как в модели БТВ.

Для существования эффективного прогноза оказывается существенным, что изучаемые модели осуществляют колебания вокруг критической точки. Установлено, что вариация предсказуемости чувствительна к суммарному напряжению, накопленному системой. Таким образом, диссертационное исследование свидетельствует, что эффективный прогноз землетрясений в реальном времени не противоречит самоорганизованной критичности сейсмического процесса. Однако качество прогноза землетрясений может ухудшаться без адаптивной коррекции алгоритмов, поскольку модели с СОК допускают перестройку квази-стационарных режимов.

В диссертации оценена предсказуемость последовательности финансовых крахов. Предшествующие работы [147] стремились предсказать наступление крахов, обосновывая эффективность своих методов сравнением с результатом случайного прогноза. В настоящей работе предсказуемость впервые рассматривается как свойство исследуемых финансовых рядов. Анализ последовательности крахов (игнорирующий остальные данные временного ряда) даёт грубую оценку предсказуемости временных рядов и устанавливает границу эффективности, которую должен превзойти любой алгоритм прогноза, претендующий на практическое внедрение.

Проведённое исследование также вносит вклад в теорию СОК. Используемая к настоящему моменту классификация изотропных моделей с самоорганизованной критичностью (при недиссипативной передаче напряжения) грубо разделяет системы на два класса: (1) модель БТВ и (2) остальные модели. В диссертационной работе указаны семейства моделей, принадлежащие к классу БТВ, а второй класс разбит на два подкласса. Новая классификация связана с правилами эволюции модельной системы.

Апробация работы. Научно-исследовательская работа по теме диссертации включена в план исследований Международного института теории землетрясений и математической геофизики РАН (МНТП РАН). Работа проведена при поддержке РФФИ (гранты 05-05-64384-а, 08-05-00215-а, 11-01-00887-а, 11-06-00278-а) и в рамках Программы № 13 Президиума РАН «Изменения окружающей среды и климата: природные катастрофы». Материалы исследования докладывались и получили положительные отзывы на международных научных форумах: 23d International Conference on Mathematical Geophysics «Extreme Earth Events» (La Citadelle Villefranche Sur Mer, France 2000), European Geophysical Union General Assembly (Wien, Austria, 2007), международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (памяти И. Г. Петровского, Москва, МГУ, 2007), конференции «Extreme events: causes and consequences» (Paris, Fiance, 2008), 16ой и 18ой Международных конференциях «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2009 и 2011).

Автор неоднократно докладывал результаты работы на научно-исследовательском семинаре МИТП РАН, на семинарах «Аттракторы нелинейных динамических систем» механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, «Будущее прикладной математики» ИПМ им. Келдыша РАН, «Вычислительная математика, математическая физика, управление» института вычислительной математики РАН.

Публикации. Содержание диссертации отражено в двадцати работах, опубликованых в открытой печати. Все результаты, полученные автором за время совместной работы с М. Г. Шнирманом, включены в диссертацию с согласия и одобрения соавтора.

Благодарности. Автор глубоко признателен М. Г. Шнирману за обсуждения полученных результатов и всестороннюю поддержку на различных этапах подготовки диссертации. Автор благодарен М. И. Вишику за постоянное внимание к работе.

Сейсмичность, модели самоорганизованной критичности, прогноз

Как происходят землетрясения? Этот вопрос, с давних пор интересовавший людей, остаётся актуальным и сегодня. Крупные землетрясения происходят в различных регионах Земли. Они сопровождаются значительными разрушениями и человеческими жертвами. Так, недавнее землетрясение на Суматре (26.12.2004, магнитуда М = 9.2), крупнейшее за последние сорок лет, привело к сотням тысячам погибших.

Поток землетрясений как проявление сложной системы. Механизм формирования землетрясений до сих полностью не изучен, а наблюдаемые закономерности описывают вероятностные распределения сейсмических характеристик. Ситуация принципиально отличается от классической механики, законы которой позволяют найти по заданным начальным условиям координаты и скорости материальных точек в произвольный будущий момент времени. Вероятностные закономерности и определённые трудности использования начальных условий типичны для так называемых сложных систем. Тем существеннее, что сейсмологи умеют прогнозировать место и время индивидуальных крупных землетрясений. Речь идёт об указании пространственно-временной зоны, в которой ожидается землетрясение, магнитуда которого принадлежит заданному диапазону магнитуд. Несмотря на то, что некоторые землетрясения предсказать не удаётся, существующие алгоритмы прогноза оказываются эффективными [100, 25, 101].

Теоретический подход. Принципиальная проблема, с которой сталкиваются геофизики,— отсутствие достаточно представительных рядов данных, что затрудняет общее понимание сейсмического процесса. Опираясь на отдельные детали, которые представляются существенными, исследователи строят теоретические модели, чтобы получить как можно более полное описание сейсмичности. Совпадение теоретических выводов наблюдаемым закономерностям свидетельствует об адекватности модели.

Накопление и освобождение напряжения. В основе процесса формирования землетрясений лежит медленное движение тектонических плит с характерной скоростью — несколько сантиметров в год. Движению противодействует сила трения, возникающая из=за постоянного контакта движущихся поверхностей. Поэтому движение увеличивает напряжение в плитах. Когда напряжение оказывается слишком большим, происходит землетрясение. Оно сопровождается значительным выделением энергии, разрушением контактных поверхностей и быстрым перемещением плит вдоль разломов (до нескольких десятков сантиметров).

Закон повторяемости. Самоподобие сейсмического процесса характеризуется законом Гутенберга-Рихтера [78]. Этот закон, установленный эмпирически, утверждает, что логарифм количества землетрясений линейно зависит от магнитуды. Наклон b линейной зависимости является важнейшей характеристикой сейсмического процесса в исследуемом регионе. Значение Ь зависит от региона. В среднем по миру оно близко к —1 [119].

Имеет смысл аппроксимировать логарифм количества землетрясений линейной функцией магнитуды на малых временных промежутках. Полученные таким образом колебания наклона линейной аппроксимации используются при построении предвестников сильных землетрясений [16,143].

Закон Омори. За основными толчками обычно следуют землетрясения меньших магнитуд (происходящие в том же регионе). Их называют аф-тершоками. Некоторые землетрясения сопровождаются длинной последовательностью афтершоков. Эмпирически установлено, что количество аф-тершоков убывает как степенная функция времени. Первые исследования показали, что показатель степени равен единице (закон Омори, [125]). В настоящее время считается выполненным модифицированный закон Омори, предложенный Утцу [151], с неуниверсальным показателем степени (его типичные значения лежат на интервале [0.7,1.5]).

Модели землетрясений. Существуют различные подходы к моделированию сейсмичности. Обширный обзор моделей даёт совокупность книг [23, 24, 121, 133, 144, 150]. Работы Барриджа-Кнопова [55] и Карлсон-Лангера [58] положили начало интенсивному развитию моделей «блоков и пружин». В них одномерная система блоков, сцеплённых пружинами, движется с медленной постоянной скоростью, преодолевая силу трения. Модельная система демонстрирует закон Гутенберга-Рихтера и активиза-ционный сценарий крупных событий (т. е. увеличение количества событий средних масштабов перед полномасштабными событиями).

Олами, Федер и Кристенсен рассмотрели двумерную модификацию модели Барриджа-Кнопова, реализованную в виде клеточного автомата, и показали, что показатель степени в модельном степенном законе повторяемости событий не универсален, а зависит от диссипации [124]. При определённой диссипации показатель принимает значения, наблюдаемые в реальности.

Исследования [65, 80] концентрируются на фрактальной геометрии разломов и имитируют движение броуновских профилей. Такой подход также приводит к неуниверсальности показателя степенного закона. Он зависит от фрактальности, которая в реальности может быть связанной с возрастом системы разломов. Моделирование восстановления профилей после разрушения, вызванного модельным землетрясением, позволяет ставить задачи о кластеризации землетрясений во времени и в пространстве.

Нельзя не упомянуть о модели освобождения напряжений [152] и иерархических моделях [49, 50], оказывающих влияние на современные исследования [87, 105, 155].

Предложенные модели землетрясений реализуют наблюдаемые характеристики сейсмического процесса: закон повторяемости Гутенберга-Рихтера, модифицированный закон Омори, кластеризацию землетрясений во времени и в пространстве и существование устойчивых паттернов, позволяющих предсказывать крупные землетрясения с достаточной эффективностью. Видимо, наиболее адекватное описание сейсмического процесса осуществляется в рамках самоорганизованных критических систем.

Модель «куча песка». Понятие самоорганизованной критичности, лежащее в основе представления об эволюции тектонических плит, введено в 1987 году Баком, Тангом и Визенфельдом [42]. Они построили модель «куча песка» (sand-pile, или просто модель песка), далее БТВ (по первым буквам фамилий), достигающую критическое состояние без настройки каких-либо модельных параметров. Динамика модели характеризуется медленным случайным накоплением песчинок, их быстрым детерминистским пересыпанием и диссипацией на границе. Спустя некоторое время после начала эволюции добавление песчинок и диссипация на границе уравновешивают друг друга, и система оказывается в критическом состоянии.

Грубой иллюстрацией модели является образование кучи песка на квадратном столе при случайном падении песчинок. Образование больших куч приводит к пересыпанию песка. Диссипация происходит, когда песчинки падают со стола.

Интерпретация в сейсмических терминах. Согласно [41], модель песка можно рассматривать как модель образования землетрясений. Естественно, что песчинки в модели играют символическую роль. В геофизических приложениях вместо песчинок используют такие понятия как энергия или напряжение. Интерпретируя модель в геофизических терминах, говорят, что происходит медленное накопление напряжения при движении тектонических плит и быстрый сброс напряжения во время землетрясений [129].

Стационарное состояние модели. Некоторые важные свойства модели песка установлены математически строго. Дхар [66] описал пространство мер, связанное с эволюцией модельной динамики и доказал существование инвариантной меры, которое интепретируется как стационарное состояние системы.

Развивая методы [66], многочисленные исследователи (например, [67, 70]) описали термодинамический предел в модели песка и её обобщениях. Систематическое изложение результатов и современное состояние теории может быть найдено в [69, 86].

Модификации модели БТВ. За прошедшие годы появилось большое количество модификаций модели песка, которые обозначаются SP (от английского sand-pile, «куча песка»). По-видимому, наиболее близки к первоисточнику модели Чанга [162] и Манна [114]. В исходной модели БТВ песчинки одна за одной падают на квадратную решётку. Если число песчинок в какой-нибудь клетке оказывается равным пороговому значению Н = 4, то она становится неустойчивой и передаёт свои песчинки четырём ближайшим «соседям» (клеткам имеющим с ней общую сторону). При пересыпании возможно достижение порогового значения в другой клетке. Тогда пересыпание продолжается до тех пор, пока число песчинок в каждой клетке решётки не окажется меньше порога. Событием (говорят, ещё лавина или землетрясение) называется процесс пересыпания, описанный выше, а размером события - количество пересыпаний.

В модели Чанга песчинки предполагаются бесконечно делимыми. Разрешается добавлять в клетку произвольное вещественное число песчинок, например, полпесчинки, или одну сотую часть. Здесь пороговое значение равно единице, а не четырём, и на решётку песок падает не по одной песчинке, а по некоторому малому (значительно меньше единицы) количеству песчинок. Превышение порога в произвольной клетке приводит к передаче всего песка, содержащегося в ней, четырём ближайшим «соседям» поровну. В результате получается непрерывный аналог исходной модели песка.

В модели Манна пороговое значение равно двум, большое детерминистские правила пересыпания заменены стохастическими. Выбор клетки для каждой передаваемой песчинки происходит случайным образом.

Показатели степенных законов. Критическое состояние в моделях SP характеризуется степенными законами повторяемости событий. Отсюда значительный интерес к показателям степеней, возникающих в степенных законах повторяемости. Эти показатели удалось найти с большой точностью численными методами [79] для модели БТВ. Опрелённые трудности возникли при определении показателя Ьвтш в законе Гутенбегра-Рихтера. Непосредственная апроксимация и более изощрённые методы [61, 71, 108] оценивают Ьвтуу £ (1-20,1.33). В более поздних работах [63, 137, 149] установлено, что количество событий как функция от их размера убывает степенным образом только на интервале, не затрагивающем крупные события. На полном интервале размеров закон повторяемости крупных событий описывается не одним показателем степени, а с помощью непрерывного семейства показателей [149].

События в моделях Чанга и Манна также удовлетворяют степенным законам. Некоторые показатели степени совпадают с соответствующими показателями модели БТВ. Однако модели Чанга и Манна реализуют свой закон повторяемости событий. Во-первых, этот закон остаётся степенным даже для крупных событий [61, 114, 128]. Некоторое отклонение от степенной функции за счёт недостатка самых крупных событий объясняется эффектом конечного размера решётки [61]. Во вторых, величина Ьм ~ 1-27 показателя степенной функции в моделях Манна и Чанга, видимо, отличается (хотя и незначительно) от соответствующей величины для модели БТВ. Естественно, в последнем случае показатель вычислен только на том интервале размеров, где он существует, игнорируя крупные события [71].

Показатель степени в законе повторяемости событий определяет классификацию БР. Оказалось [45], что незначительные изменения правил пересыпания в модели Манна сохраняют показатель Ъ ~ Ьм (как и показатели других степенных закономерностей). В статье [45] высказано предположение, что БР с симметричным в среднем пересыпанием лежат в том же классе, что и модель Манна (см. также [68]). Построенная в [91] модель БР, в которой пересыпание детерминировано, локально несимметрично, но изотропно в среднем, подтверждает это предположение.

Переход между моделями Манна и Чанга. В работах [106, 107] исследовано однопараметрическое семейство моделей БР с правилами пересыпаниями, идентичными модели Манна. Пороговое значение Н, при котором происходит пересыпание, является параметром. Установлено, что корреляция количества песчинок, содержащихся в соседних клетках, положительна для малых Н, включая случай Н = 2 т. е. модель Манна. А для Н —>• оо корреляция становится отрицательной, что соответствует модели Чанга. Несмотря на различные пространственные корреляционные свойства, все модели семейства обладают показателем Ь в законе повторяемости, близким к значению Ъм■ Некоторое отклонение от Ьм наблюдается при промежуточных между двумя и бесконечностью значениях Н (порядка сотен). Таким образован, построен гладкий переход от 8Р Манна к БР Чанга внутри одного класса моделей.

Прогноз в моделях 8Р. Так как модель БТВ, согласно [41], может использоваться для моделирования процесса формирования землетрясений, то естественно выяснить её прогнозные свойства. В работе [127] проведён сравнительный анализ предсказуемости в известных моделях с самоорганизованной критичностью с помощью предвестников крупных землетрясений алгоритма М8, по-видимому, наиболее апробированного к настоящему времени [93, 100]. Установлено, что среди них модель БТВ обладает самой слабой (и очень слабой) прогнозируемостью. Найденная предсказуемость в модели БТВ достигается за счёт предвестника, характеризующего затишье, предшествующее крупным событиям. Однако, в реальности чаще реализуется противоположный сценарий: увеличение активности обычно свидетельствует о процессе подготовки сильного землетрясения.

Реализуемость свойств сейсмических процессов в рамках моделей БР. Авторы модели БТВ сформулировали концепцию самоорганизованной критичности. Однако буквальная аналогия динамики их модели сейсмическому процессу едва ли существует. Модельные показатели степенных законов универсальны (тогда как в реальности зависят от региона), малая активность, как предвестник крупных событий, имеет вид, инвертированный к реальности (затишье вместо активизации).

Возникает вопрос, можно ли в рамках моделей БР имитировать процесс подготовки сильных землетрясений. Авторы большинства цитированных выше моделей (блоковых, иерархических и др.) использовали парадигму самоорганизованной критичности, но отказались от принципов построения моделей БР. В диссертационной работе, напротив, показано, что в рамках моделей БР модельная динамика имеет общие черты с динамикой сейсмичности.

Структура и результаты диссертации. Первая глава диссертации состоит из двух частей. В первой части представлен обзор моделей сейсмичности с СОК. Во второй части подробно описана модель БТВ, различными способами оценены показатели степенных законов, исследованы крупные события модели БТВ, размер которых лежит вне диапазона степенного распределения. В первой главе проанализирована мультифрактальная зависимость распределения этих событий от длины Ь решётки, что дало возможность впервые предъявить универсальную по Ь нормировку распределения крупных событий.

Во второй главе изучены модели БР со случайным пересыпанием. Введено новое однопараметрическое семейство моделей песка. Параметром является количество V пересыпанных песчинок, которое незначительно отличается от порога Н. Содержательная новизна заключается в правилах пересыпаниях. Неустойчивая клетка передаёт четырём ближайшим соседям фиксированное количество песчинок, причём происходит это, по-возмож-ности, поровну. Разработано обобщение на случай дробного количества раздаваемых песчинок. Построенное непрерывное (по параметру ь>) семейство осуществляет при и Е [1,4] переход от моделей класса Манна к случайному блужданию [29] и к модели БТВ. Случайное блуждание {у = 1) и модель БТВ (р = 4) оказываются особыми точками семейства. Несмотря на непрерывную зависимость эволюционного оператора от параметра, переход оказывается негладким. Таким образом, в диссертации установлено, что диапазон показателей степенного закона не реализуем в рамках широкого класса изотропных ЭР.

Далее, исследованы модели, у которых значение порога Н несоизмеримо больше, чем количество 5 добавляемых в систему песчинок, как в модели Чанга [162]. Установлено, что на динамику моделей существенно влияет дисперсия случайного пересыпания. Показано, что при относительно малой дисперсии (она мала, например, при применении правил модели Манна) возможны два исхода. Если неустойчивая клетка (в которой количество песчинок превышает порог Н) отдаёт все свои песчинки, то свойства моделей с Н 5 и модели Чанга оказываются близкими. Если неустойчивая клетка передаёт фиксированное количество песчинок, равное Н, то БР демонстрирует свойства модели БТВ.

В главе 3 исследованы прогнозные свойства моделей ЭР. Вопреки сложившемуся мнению [127, 129], показана принципиальная возможность прогнозировать крупные события с высокой эффективностью. Предвестниками крупных событий являются увеличение песка в решётке и его кластеризация по пространству.

Продолжая исследование [127], в третьей главе адаптированы предвестники реальных землетрясений для прогнозирования крупных событий в простой модификации модели Манна. Установлено, что предвестники обладают определённой эффективностью, причём эффективность увеличивается при возрастании размера прогнозируемых событий.

В главе 4 построена БР, в которой крупным событиям предшествует увеличение активности. Принципиальная новизна модели — введение диссипации распространения напряжения. Алгоритм прогноза, основанный на аномальном увеличении количества событий средних масштабов, предсказывает крупные события с высокой эффективностью. Установлена неоднородность эффективности прогноза во времени.

В главе 5 решается задача прогноза целевых событий по распределению времени между ними. Для выборки последовательных сильных землетрясений, которые характеризуются сейсмическими брешами (seismic gaps), доказана оценка сверху эффективности прогноза по заданному коэффициенту вариации выборки. Далее исследована последовательность крахов финансовых индексов, как пример каталога, для которого, в отличие от каталога землетрясений, достаточно высока вероятность наступления нового целевого события непосредственно после предыдущего. В этом случае предсказуемость целевых событий оценивается численно.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Шаповал, Александр Борисович

Выводы

1. В диссертации впервые установлена предсказуемость крупнейших событий в модели БТВ и её простейших модификациях. Предсказано около 80% целевых событий, тогда как доля времени тревоги составляет приблизительно 25%. Этот результат свидетельствует о существовании эффективного прогноза в моделях с самоорганизованной критичностью и, следовательно, подтверждает, что представление о сейсмическом процессе как о динамической самоорганизованной системе не противоречит предсказуемости сильных землетрясений.

2. В модели БТВ прогнозируемы лишь крупнейшие события. Им предшествует аномально малое количество событий средних масштабов. Такое затишье перед крупнейшими событиями объясняется слабым влиянием событий средних масштабов на диссипацию системы.

3. Впервые построена модель с самоорганизованной критичностью, основанная на механизме БТВ, демонстрирующая активизационный сценарий крупных событий. Активизационный сценарий достигнут за счёт добавления к механизму БТВ точечного нагружения и нелинейной диссипации распространения напряжения. К модельной динамике адаптированы предвестники сильных землетрясений. Алгоритмы прогноза, основанные на адаптированных предвестниках, предсказывают свыше 80% крупных событий, объявляя тревогу в течение трети исследуемого времени.

4. Установлено, что модельная предсказуемость улучшается с увеличением (а) диссипации, (Ь) магнитуды целевых событий. Пункт (Ь) соответствует сейсмичности, где землетрясения магнитуды 8 и выше прогнозируются определённо лучше землетрясений с магнитудой М ^ 7.5. Что касается пункта (а), то хотя влияние диссипации на сейсмичность несомненно, оценить это влияние количественно представляется проблематичным.

5. Стационарность модельной системы имеет место на достаточно длинных временных интервалах, соответствующих десятилетиям эволюции сейсмических процессов. Анализ модельной динамики даёт основание ожидать, что эффективность прогноза землетрясений чувствительна к локальной нестационарности сейсмического процесса и неоднородна по времени.

6. Показано, что все изученные системы прогнозируемы благодаря колебаниям вокруг критической точки. В модели БТВ и её простейших модификациях, не обладающих событийной диссипацией, система временами становится перегруженной, поднимается в закритическое состояние и становится предсказуемой. Построенная модель с диссипацией распространения напряжения также предсказуема в закритическом состоянии (хотя механизм прогноза в ней принципиально иной). Однако наибольшая эффективность достигается в подкритическом состоянии, где крупным событиям необходим подготовительный процесс, проявляющийся в аномальном увеличении событий средних масштабов.

7. Продемонстрирована универсальность методологии прогноза крупных землетрясений на примере последовательности крупных падений наиболее значимых финансовых индексов.

8. Классифицированы изотропные решётчатые модели с самоорганизованной критичностью без диссипации распространения напряжения при стремлении к бесконечности количества устойчивых состояний отдельных клеток решётки. Классификация проведена в терминах одномерного стационарного распределения состояний отдельных клеток (при интерпретации речь идёт о напряжении на разломах). Установлено, что при исчезающей стохастике распространения напряжения существуют два типичных вида моделей. Если неустойчивая клетка теряет фиксированное количество песчинок, то динамика модели имеет черты модели БТВ. Если неустойчивая клетка отдаёт все свои песчинки, то модель принадлежит классу Манна. Отдельный класс составляют модели с неисчезающей стохастикой распространения напряжения.

9. Построено семейство моделей, непрерывно зависящее от параметра и осуществляющее переход от моделей класса Манна к модели БТВ и к случайному блужданию на квадратной решётке с поглощающей границей. Показано, что как случайное блуждание, так и модель БТВ являются особыми точками семейства. Таким образом, модель БТВ выделяется из формально близких к ней моделей класса Манна. Указана универсальная нормировка крупных событий модели БТВ.

Заключение

В диссертации решена проблема прогнозируемости в моделях с самоорганизованной критичностью (СОК). Установлено, что типичные самоорганизованные критические системы предсказуемы. В одних системах эффективный прогноз крупных событий достигается за счёт затишья, им предшествующего. В других имеет место аномальное увеличение событий средних масштабов перед полномасшатбным событием, обеспечивающее прогнози-руемость полномасштабных событий (т. е. событий, распространяющихся по всему пространственному объёму системы).

Полученный результат принципиально изменяет представления о прогнозируемости систем с СОК. После исследований [37, 127] возникла популярная гипотеза о непредсказуемости типичных систем с СОК. Полагая сейсмический процесс динамической системой с СОК, из этой гипотезы в работах [75, 76] сделан вывод о невозможности прогноза землетрясений, несмотря на существование алгоритмов прогноза, эффективно предсказывающие землетрясения в реальном времени [96]. Диссертационная работа показывает отсутствие противоречий между существованием эффективного прогноза землетрясений и представлением о сейсмическом процессе как о системе с СОК.

В первой главе исследована модель БТВ [41, 42] (первый пример модели с СОК), которая называется моделью песка (sand-pile, SP). Правила эволюции модели могут быть интерпретированы в терминах сейсмических процессов, а наблюдаемая динамика имеет общие черты с реальностью. В модели БТВ на квадратную решётку со стороной в Ь клеток падают песчинки. Одна песчинка за один момент времени. Клетка, в которую падает песчинка, выбирается наугад (с равной вероятностью). Через Кц обозначается количество песчинок в клетке (г, э) (другими словами, Нц — это высота кучи в клетке (г^)). Если после падения песчинки клетка содержит Н = 4 песчинки, то она становится неустойчивой и пересыпает свои четыре песчинки соседним клеткам: каждая соседняя клетка получает по одной песчинке. Пересыпание может привести к появлению новых неустойчивых клеток (содержащих не меньше, чем четыре песчинки). Они также пересыпают четыре песчинки, и т. д., пока все клетки решётки не окажутся устойчивыми. Граничное условие предполагается открытым, т. е. пересыпание на границе диссипативно. Пересыпание происходит мгновенно. По окончании пересыпания очередная песчинка падает на решётку. Событием называется процесс последовательных пересыпаний. Его размер — количество неустойчивых клеток в течение пересыпания, подсчитанное с учётом кратности. Магнитуда — это десятичный логарифм размера.

При любых начальных значениях высот Кц модельная система спустя некоторое время приходит в критическое состояние. Критическое состояние модели БТВ описывается, в частности, степенным распределением событий по размерам, которое имеет место для размеров, не превосходящих некоторого 5*. События, имеющие размер, больший, чем я*, называют крупными.

Объект исследования первой главы — крупные события модели БТВ. Через -Рс(з, £) обозначена дополнительная функция распределения крупных событий. По доле 8 крупных событий определён квантиль в как решение уравнения

Рс(з,Ь) = 6 167 при фиксированном Ь. В первой главе установлено, что в является степенной функцией длины решётки при фиксированном з(6,Ь)ъУ5Ьа\ (6.1) где > 0 не зависит от Ь а щ е [2, ОДлпахЬ Наибольший достижимый показатель а^тах «2.7.

Вообще говоря, существуют события, размер которых имеет больший порядок по Ь. Например, крупнейшее событие модели происходит при добавлении песчинки в конфигурацию, состоящую из всех «троек» (к^ = 3 Уг^). Его размер й = Ь3/6 + 0(1/2). Однако при численном эксперименте значения а§ > а^щах, недостижимы (вероятность соответствующих сверхкрупных событий быстро убывает по Ь).

Пользуясь формулой (6.1), найдена универсальная нормировка (относительно линейного размера решётки Ь) распределения крупных событий по размерам на интервалах, экспоненциально растущей длины.

Результаты главы 1 развивают положения статей [57, 61] о простом скей-линге основной части распределения и исследования [64, 149] о мульти-фрактальности «хвоста» этого распределения.

Во второй главе классифицированы изотропные решётчатые модели с СОК. Появление простейших модификаций модели БТВ связано с изменениями порога неустойчивости Н высот /г^ и способа пересыпания песчинок неустойчивыми клетками. Следуя [114], детерминированное распространение событий заменено на стохастическое. Типичный пример возникающей модели описан Манной [114]. В среднем распространение событий сохраняется изотропным, а среднеквадратичное отклонение а стохастического распространения является параметром моделей.

В диссертации установлено, что

• если стохастика распространения событий исчезает (сг/Н —>• 0 при Н —у оо), и неустойчивая клетка передаёт все свои песчинки, то модель принадлежит тому же классу, что и модель Манна;

• если стохастика распространения событий исчезает, и неустойчивая клетка передаёт фиксированное количество песчинок, то модель принадлежит тому же классу, что и модель БТВ;

• существует отдельный класс моделей с неисчезающей стохастикой распространения событий.

Анализ изотропных решётчатых моделей с СОК, проведённый в диссертации, дополняет исследования [45, 47, 61, 91, 107] о сходстве и различиях этих моделей. В главе 2 впервые показано, что свойства модели БТВ являются типичными для целого класса моделей. Также впервые выделены правила распространения событий, определяющие качественные свойства моделей.

Особый интерес представляет переход между классами моделей. Во второй главе построено однопараметрическое семейство моделей, правила распространения событий в которых гладко зависят от параметра, осуществляющее переход от моделей класса Манна к модели БТВ. Показано, что несмотря на формальную принадлежность модели БТВ к построенному семейству, ее критическое состояние принципиально отличается от критического состояния остальных моделей семейства. Поэтому модель БТВ нельзя называть типичной моделью с СОК и распространять её свойства на близкие модели без соответствующей проверки.

В главе 3 обсуждается принципиальный вопрос о прогнозируемости моделей с самоорганизованной критичностью. Исходная точка исследования — результат об очень слабой прогнозируемости модели БТВ [127] и достаточно эффективный прогноз сильных землетрясений в реальном времени [6, 25, 96, 101]. В третьей главе построен эффективный алгоритм прогноза крупных событий в модели БТВ и её простейших модификаций из класса Манна. Этот результат свидетельствует, что представление о самоорганизации сейсмических процессов не противоречит предсказуемости землетрясений.

Для прогноза модельных событий адаптированы предвестники: количество событий средних масштабов, отклонения этого количества от линейного тренда, концентрация событий, — используемые в алгоритмах прогноза землетрясений [93, 94], достаточно эффективно предсказывающих сильные землетрясения в реальном времени. Адаптируя эти предвестники к динамике моделей класса Манны и модели БТВ, в третьей главе показано, что

• крупные события этих моделей обладают определённой предсказуемостью;

• эффективность прогноза повышается с увеличением размера прогнозируемых событий;

• предсказуемость полномасштабных событий (занимающих весь пространственный объём) основана на уменьшении количества событий средних масштабов; в эффективность прогноза крупных событий в моделях класса Манны значительно выше, чем в модели БТВ.

Далее в третьей главе улучшена прогнозируемость в изотропных решётчатых моделях с СОК путём построения предвестников, опирающихся на свойства модельной динамики. Эти предвестники количественно описывают нагружение системы песчинками и кластеризацию нагружения. Представляет интерес разработка их сейсмических аналогов.

Анализ, проведённый в главе 3, показывает, что крупным событиям в исследуемых изотропных ЭР предшествует определённое затишье. Видимо, часть времени система проводит в критической точке, где является непредсказуемой. Баланс песчинок поддерживается за счёт событий средних масштабов, которые, обладая слабой диссипацией, уравновешивают медленное накопление песчинок. Существуют такие промежутки времени, на которых событий средних масштабов происходит аномально мало. Тогда диссипация уменьшается и система становится перегруженной — оказывается в закритическом состоянии. Чем больше «лишних» песчинок накопила система, тем крупнее событие следует ожидать. Значит, предсказуемость крупнейших событий, основанная на затишье, является следствием слабой диссипативности событий средних масштабов. Получается, что диссипация влияет на события, но обратная связь незначительна.

В четвёртой главе в модель Б ТВ введена событийная диссипация (другими словами, диссипация при распространении напряжения). Это означает, что распространение события по решётке происходит диссипатив-но (в отличие от исходной модели, где диссипация происходит только на границе решётки). Нелинейность механизма диссипации приводит как к степенному диапазону распределения размеров, так и к активизационному сценарию крупных событий.

Новая модель имеет следующие отличия от модели БТВ.

11) Новые песчинки добавляются исключительно в центр решётки. ((12) Пересыпания песка диссипативны как на границе решётки, так и внутри неё. Они определяются формулой где c(i,j) — произвольная клетка решётки, имеющая с (i,j) общую сторону, Dij — количество диссипировавших песчинок.

Диссипация D^ в клетке (i,j) нелинейно зависит от того, сколько раз в течение текущего события была перегружена клетка (i,j). Именно нелинейность диссипации отличает построенную модель от моделей, разработанных и исследованных в [109, 111, 156] и приводит к нетривиальным результатам, связанными с предсказуемостью модели. hc(i,j) —> K(i,j) + 1 Vc(i, j)

6.2) (6.3)

В четвёртой главе адаптированные предвестники сильных землетрясений, перечисленные выше, используются для прогноза крупных событий в построенной диссипативной модели. Показано, что эти предвестники фиксируют повышение количества событий средних масштабов перед полномасштабными событиями, что позволяет прогнозировать полномасштабные события с определённой эффективностью. Разработанный алгоритм прогноза предсказывает приблизительно пять прогнозируемых событий из каждых шести, тогда как тревога продолжается около трети исследуемого интервала времени.

В отличие от модели БТВ, динамика построенной модели характеризуется колебаниями вокруг критической точки. В диссертации указаны три типичных режима:

1) уход вниз от критической точки;

2) незначительный недостаток песчинок — подкритическое состояние системы;

3) превышение критического уровня песка — закритическое состояние

Если система находится в закритическом состоянии, то даже малые возмущения конфигурации порождают крупное событие. Долгий подготовительный процесс не является необходимым. Крупное событие может произойти в «любой момент». Поэтому предсказуемость в закритическом состоянии, оказывается хуже средней предсказуемости.

Режим ухода вниз от критической точки характеризуется тем, что увеличение активности в части решётки не порождает крупное событие, поскольку остальные части решётки недостаточно нагружены, и обеспечивает ложную тревогу. Крупное событие случится позднее (и, возможно, останется непредсказанным), когда в результате падения новых песчинок очередное событие распространится в перегруженную часть решётки. Разработанный алгоритм прогноза практически не эффективен в этих условиях, что согласуется с тем, что обсуждаемые предвестники предназначены для прогноза систем, находящихся вблизи критической точки.

Наконец, подкритическое состояние характеризуется самой эффективной предсказуемостью. Именно при подходе снизу к критической точке процесс подготовки событий, состоящий в увеличении количества событий средних масштабов, наиболее заметен.

В пятой главе указаны наименьшие достижимые потери ё при фиксированном отношении ам среднеквадратичного отклонения к среднему распределения F. Показано, что если некоторый регион мира характеризуется значением коэффициента вариации распределения времени между крупными землетрясениями, то стратегии S, использующие только распределение времени между предсказываемыми землетрясениями не эффективны, а к алгоритмам, сравнимыми с 5 в других регионах, следует подходить с известной осторожностью.

Разработанные методы, оценивающие эффективность алгоритмов прогноза, применимы к достаточно протяжённым временным рядам, различной природы. В пятой главе проводится анализ предсказуемости наиболее значимых фондовых индексов: американские DJIA, NASDAQ, S&P500, европейские САС40, DAX, FTSE. азиатские HSI, STI и российский RTSI.

Построен алгоритм А, объявляющий тревогу продолжительностью Т, непосредственно после целевого события. Целевыми событиями являются крупные дневные падения фондового индекса. Алгоритм предсказывает в среднем каждые пять целевых событий из шести, тогда как тревога продолжается около трети времени мониторинга.

Построение прогнозных стратегий и их оценка в терминах ошибок прогноза дополняет эконометрический анализ влияния макроэкономических показателей на финансовые кризисы. Политические и экономические факторы, влияние которых на наступление кризисов признано статистически значимым, видимо, могут быть использованы при построении прогнозных стратегий, т. е. правил объявления тревог. Если эти стратегии претендуют на практическое использование, то их эффективность должна быть выше, чем у алгоритма А.

Обосновано, что последовательность крахов наиболее значимых фондовых индексов обладает предсказуемостью. Можно ожидать, что с вероятностью, превышающей 0.5, за крупным дневным падением последует следующее в течение малого промежутка времени. По прогнозным свойствам, оценённым с помощью ошибок пит, фондовые индексы объединяются в группы. В пятой главе показано, что наиболее значимые американские и европейские индексы имеют похожую предсказуемость, тогда как предсказуемость азиатских индексов принципиально иная.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шаповал, Александр Борисович, 2011 год

1. Блантер Е.М., Шнирман М.Г. О мультифрактальном подходе к вопросу кластеризации эпицентров // Вычислительная сейсмология. 1992. Вып. 25. С. 46-62.

2. Гельфанд И.М., Губерман Ш.А., Кейлис-Борок В.И., Кнопофф JL, Пресс Ф., Рацман Е., Ротвайн И.М., Садовский A.M. Условия возникновения сильных землетрясений в Калифорнии и некоторых других регионах // Вычислительная сейсмология. 1976. Вып. 9. 3-90.

3. Добровольский И.П. Теория подготовки тектонического землетрясения. М.: ИФЗ РАН. 1991. 217 с.

4. Журков С.Н. Кинематическая концентрация прочности // Вестник АН СССР. 1968. Т. 3. С. 46-57.

5. Кейлис-Борок В.П., Кособоков В.Г., Мажкенов С.А. О подобии в пространственном распределении сейсмичности // Вычислительная сейсмология. 1989. Вып. 22. С. 28-40.

6. Кособоков В.Г. Прогноз землетрясений: основы, реализация, перспективы // Вычислительная сейсмология. 2005. Вып. 36. С. 1-175.

7. Кособоков В.Г., Мажкенов С.А. Интенсивность потоков землетрясений в очаговогй области // Доклады Академии наук Республики Казахстан. 1992. № 1. С. 53-57.

8. Кузнецов И.В., Родкин М.В., Серебряков Д.В., Урядов О.Б. Иерархический подход к динамике преступности // Новое синергетике. Новая реальность, новые проблемы, новое поколение. Сборник статей

9. Под редакцией Г.Г. Малинецкого. Часть 1. М.: Радиотехника. 2006. 120 с.

10. Мажкенов С.А. Сейсмическое затишье как долгосрочный предвестник сильных землетрясений в северном Тянь-Шане. // Известия Ан КазССР. Серия геологическая. 1990. № 3. С. 41-50.

11. Малинецкий Г.Г., Курдюмов С.П. Нелинейная динамика и проблемы прогноза // Вестник РАН. 2001. Т. 31, №3. с. 210-232.

12. Моги К. Предсказание землетрясений. М.: Мир. 1988. 382 с.

13. Молчан Г.М. Оптимальные стратегии в прогнозе землетрясений. Современные методы интерпретации сейсмологических данных / / Вычислительная сейсмология. 1991. Вып. 24. С. 3-18.

14. Молчан Г.М., Ротвайн И.М. Статистический анализ долгосрочных предвестников сильных землетрясений // Вычислительная сейсмология. 1979. Вып. 16. С. 52-66.

15. Мячкин В.И. Процессы подготовки землетрясений. М. Наука. 1978. 231 с.

16. Наркунская Г.С., Шнирман М.Г. Иерархическая модель дефектооб-разования и сейсмичность // Вычислительная сейсмология. 1989. Вып. 22. С. 56-62.

17. Наркунская Г.С., Шнирман М.Г. Об одном алгоритме прогноза землетрясений. // Вычислительная сейсмология. 1990. Вып. 23. С. 27-37.

18. Новикова О.В., Ротвайн И.М. Опыт заблаговременного прогноза землетрясений с помощью алгоритма КН // Доклады РАН. 1996. Т. 48. С. 548-551.

19. Писаренко В.Ф., Родкин М.В. Распределения с тяжелыми хвостами: приложения к анализу катастроф. М.: ГЕОС. 2007. 242 с.

20. Подлазов A.B., Осокин А.Р. Самоорганизованная критичность эруптивных процессов в солнечной плазме. // Математическое моделирование. 2002. Т .14. С. 118-126.

21. Рундквист Д.В., Гатинский Ю.Г., Буш В.А., Кособоков В.Г. Территория России в современной структуре Евразии: геодинамика и сейсмичность. // Вычислительная сейсмология. 2001. Вып. 32. С. 266-277.

22. Садовский М.А. (редактор). Долгосрочный прогноз землетрясений: Методические рекомендации. М.: ИФЗ АН СССР, 1986. 127 с.

23. Садовский М.А., Писаренко В.Ф. Сейсмический процесс в блоковой среде. М.: Наука. 1991. 96 с.

24. Сидорин А.Я. Предвестники землетрясений. М.: Наука. 1992. 191 с.

25. Соболев Г.А. Основы прогноза землетрясений. М.: Наука. 1993. 313с.

26. Соболев Г.А., Пономарев A.B. Физика землетрясений и предвестники. М.: Наука. 2003. 270 с.

27. Соболев Г.А., Тюпкин Ю.С. Аномалии в режиме слабой сейсмичности перед сильными землетрясениями Камчатки // Вулканология и сейсмология. 1996. № 4. С. 64-74.

28. Соболев Г.А., Тюпкин Ю.С. Стадии подготовки, сейсмические предвестники и прогноз землетрясений Камчатки // Вулканология и сейсмология. 1998. № 6. 17-26.

29. Смирнов В.Б. Повторяемость землетрясений и параметры сейсмического режима // Вулканология и сейсмология. 1995. № 3. с. 59-70.

30. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1, 2. М.: Мир, 1984.

31. Шаповал А.Б., Шнирман М.Г. Сценарий сильных событий в модели накопления песка // Вычислительная сейсмология 2002. Вып. 33. С. 267-277.

32. Шаповал А.Б., Шнирман М.Г. О тотальности крупнейших событий в модели накопления песка // Вычислительная сейсмология 2004. Вып. 35. С. 258-267.

33. Шаповал А.Б., Шнирман М.Г. Эффективность прогноза в модели образования лавин в зависимости от размера предсказываемых событий // Физика Земли. 2008. № 6. Р 61-67.

34. Al-Anaswah N. and Wilfling В. Identification of Speculative Bubbles Using State-Space Models with Markov-Switching // Social Science Research Network, http://ssrn.com/abstract=1341730. 2009.

35. Allegre C. J., Le Моиё1 J.L., and Provost A. Scaling rules in rock fracture and possible implications for earthquake prediction // Nature. 1982. V. 297. 47-49.

36. Andersen J.V., Sornette D. and Leung K.T. Tri-critical behavior in rupture induced by disorder // Physical Review Letters. 1997. V. 78. P. 2140-2143.

37. Bak P. How nature works: the science of self-organized riticality. Springer-Verlag New York, Inc. 1996. 205 pp.

38. Bak P., Chen K., and Tang C. A forest-fire model and some thoughts on turbulence // Physical Review A. 1992. V. 147. P. 297-300.

39. Bak P., Chen K., Scheinkmen J., and Woodford M. Aggregate Fluctuation from Independent Sectoral Shocks: Self-Organized Criticality in a Model of Production and Inventory Dynamics // Rich. Economiche. 1993. V. 47. P. 3-30.

40. Bak P., Paczuski M. Complexity, contingency, and criticality // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. 1995. V. 92. P. 6689-6696.

41. Bak P., Tang C., Earthquake as a self-organized critical phenomenon //J. Geophysical Research. 1989. V. 94. P. 15635-15637.

42. Bak P., Tang C., and Wiesenfeld K. Self-Organized Criticality: An Explanation of 1// Noise // Physical Review Letters 1987. V. 59. P. 381-384.

43. Barabasi A.L. and Stanley H.E. Fractal consepts in surface growth. 1995. Cambridge University Press, Cambridge. 388 pp.

44. Barriere B. and Turcotte D.L. Seismicity and self-organized criticality // Physical Review E. 1994. V. 49. P. 1151-1160.

45. Ben-Hur A., Biham 0. Universality in sandpile models // Physical Review E. 1996. V. 53. P. R1317-R1320.

46. Bershadskii A. and Sreenivasan K.R. Multiscale Self-Organized Criticality and Powerful X-ray Flares // European Physical J. B. 2003. V. 35. P. 513-515.

47. Biham O., Milshtein E., Malcai O. Evidence for universality within the classes of deterministic and stochastic sandpile model // Physical Review E. 2001. V. 63. P. 061309-061316.

48. Blanchard Ph., Cessac B., Kruger T. What can one learn about Self-Organized Criticality from Dynamical Systems Theory? // cond-mat/9912081 vl. 1999.

49. Blanter E.M., Shnirman M.G., Le Mouel J.-L. Temporal variation of predictability in a hierarchical model of dynamical self-organized criticality // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 1999. V. 111. P. 317-327.

50. Blanter E.M., Shnirman M.G., Le Mouel J.-L., and Allegre C.J. Scaling laws in blocks dynamics and dynamic self-organized criticality // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 1997. V. 99. P. 295-307.

51. Bodin P., Brown S., Matheson D. Laboratory Observations of Fault-normal Vibrations During Stick Slip // J. Geophysical Research 1998. V. 103. P. 29931-29944.

52. Bowman J.R. A seismic precursor to a sequence of Ms. 6.3-6.7 mid-plate earthquakes in Australia // Pure and Applied Geophysics. 1997. V. 149. P. 61-78.

53. Bowman D.D., Ouilon G., Sammis C.G., Sornette A., and Sornette D. An observational test of the critical earthquake concept // J. Geophysical Research 1998. V. 103. 24359-24372.

54. Bufe C.G., Nishenko S.P., and Varnes D.J. Seismicity trends and potential for large earthquakes in the Alaska-Aleutian region / / Pure and Applied Geophysics. 1994. V. 142. P. 83-99.

55. Burridge R., Knopoff L. Model and theoretical seismicity // Bull. Seis. Soc. Am. 1967. V. 57. P. 341-371.

56. Mc Cann W.R., Nishenko S.P., Sykes L.R., Krause J. Seismic gaps and plate tectonics: seismic potential for major boundaries // Pure and Applied Geophysics. 1979. V. 117. P. 1082-1147.

57. Carlson J.M., Chayes J.T., Grannan E.R., Swindle G.H. Self-organized criticality and singular diffusion // Physical Review Letters. 1990. V. 65, P. 2547-2550.

58. Carlson J.M., Langer J.S. Properties of earthquakes generated by fault dynamics // Physical Review Letters. 1989. V. 62. P. 2632-2635.

59. Carlson J.M., Swindle G.H. Self-organized criticality: sandpiles, singularities, and scaling // Proc. Natl. Sci. USA. 1995. V. 92. V. 67126719.

60. Chen K., Bak P., Obukhov S.P. Self-organized criticality in a crack-propogation model of earthquakes // Physical Review A. 1991. V. 43. P. 625-630.

61. Chessa A., Stanley E.H., Vespignani A., and Zapperi S. Universality in Sandpiles // Physical Review E. 1999. V. 59. P. R12-R15.

62. Christensen K. and Olami Z. Vatiation of the Gutenberg-Richter b values and nontrivial temporal correlation in a spring-block model for earthquakes //J. Geophysical Research 1992. V. 97. P. 8729-8735.

63. De Menech M. and Stella A.L. From waves to avalanches: Two different mechanisms of sandpile dynamics // Physical Review E. V. 62. 2000. P. R4528-R4531.

64. De Menech M., Stella A.L. and Tebaldi C. Rare Events and Breakdown of Simple Scaling in the Abelian Sandpile // Physical Review E. 1998. V. 58. P. R2677-R2680.

65. De Rubeis, Hallgass V.R., Loreto V., Paladin G., Pietronero L., and Tosi P. Self-affine Asperity Model for Earthquakes // Physical Review Letters. 1996. V. 76. P. 2599-2602.

66. Dhar D. Self-organized critical state of sandpile automaton models // Physical Review Letters. 1990. V. 64. P. 1613-1616.

67. Dhar D. The Abelian Sandpile and Related Models // Physica A. 1999. V. 263. P. 4-25.

68. Dhar D. Some results and a conjecture for Manna's stochastic sandpile model // Physica A. 1999. V. 270. P. 69-81.

69. Dhar D. Theoretical Studies of Self-Organized Criticality // Physica A. 2006. V. 369. P. 29-70.

70. Dinaburg E., Maes C., Pirogov S., Redig F., Rybko A. The Potts model built on sand //J. Stat. Phys. 2004. V. 117. P. 179-198.

71. Dorn P.L., Hughes D.S., and Christensen K. On the avalanche size distribution in the BTW model (preprint) // www.cmth.ph.ic.ac.uk/-people/k.christensen/papers/preprints/preprintbtw.pdf 2000.

72. Drossel B. and Schwabl F. Self-organized critical forest-fire model // Physical Review Letters. 1992. V. 69. P. 1629-1632.

73. Eftaxias K., Contoyiannis Y., Balasis G., Karamanos K., Kopanas J., Antonopulos G., Koulouras G., and Nomicos C. Evidence of fractional

74. Brownian-motion-type asperity model for earthquake generation in candidate pre-seismic electromagnetic emissions // Nat. Hazards Earth Syst. Sci. 2008. V. 8. P. 657-669.

75. Gabrielov A., Newman W.I., Turcotte D.L. Exactly soluble hierarchical clustering model: Inverse cascades, self-similarity, and scaling // Physical Review E. 1999. V. 60. P. 5293-5300.

76. Geller R.J. Earthquake prediction: A critical review // Geophysical Journal International. 1997. V. 131. P. 425-450.

77. Geller R.J., Jackson D.D., Kagan Y.Y., and Mulargia F. Earthquakes cannot be predicted // Science. 1997. V. 275. P. 1616-1617.

78. Geilikman M.B., Golubeva T.V., and Pisarenko V.F. Multifractal patterns of seismicity // Earth planet. Sci. Lett. 1999. 1-2. P. 127-132.

79. Gutenberg G. and Richter C.F. Magnitude and energy of earthquakes // Ann. Geophys. 1956. V. 9. P. 1-15.

80. Grassberger P. and Manna S.S. Some more sandpiles // J. Phys. (France). 1990. V. 51. P. 1077-1098.

81. Hallgass R., Loreto V., Mazzella O., Paladin G., and Pietronero L. Earthquakes statistics and fractal faults // Physical Review E. 1997. V. 56. P. 1346-1356.

82. Halsey T.C., Jensen M.H., Kadanoff L. Fractal measures and their singularities: The cnaracterization of strange sets // Physical Review A. 1986. V 33. P. 1141-1151.

83. Hemmer P.C. and Hansen A. The distribution of simultaneous fiber failures in fiber bundles // Journal of Applied Mechanics. 1992. V. 59. P. 909-914.

84. Huang Q., Sobolev G.A., and Nagao T. Characteristics of the seismic quiescence and activation patterns before the M = 7.2 Kobe earthquake, January 17, 1995 // Tectonophysics. 2001. V. 337. P. 99-116.

85. Ito K. Towards a new view of earthquake phenomena // Pure and Applied Geophysics. 1992. V. 138. 531-548.

86. Ivashkevich E.V., Priezzhev V.B. Introduction to the sandpile model // Physica A. 1998. V. 254. P. 97-116.

87. Jarai A. A. On the thermodynamics limit for a one-dimensional sandpile process // Markov Processes and Related Fields. 2005. V. 11. P. 313336.

88. Jaume S.C. Changes in earthquake size-frequency distributions underlying accelerating seismic moment/energy release // AGU Monograph Geocomplexity and the Physics of Earthquakes / ed. by J.B. Rundle, D.L. Turcotte, and W. Klein. 2000. P. 199-210.

89. Johansen A., Ledoit O., Sornette D. Crashes as Critical Points // Int. J. of Theoretical and Applied Finance. 2000. V. 3. P. 219-255.

90. Jones L.M. Foreshocks (1966-1980) in the San Andreas system, California // Bulletin of the Seismological Society of America. 1984. V. 74. 1361-1380.

91. Kaizoji T., Kaizoji M. Power law for the calm-time interval of price changes // Physica A. 2004. V. 336 P. 563-570.

92. Karmakar R., Manna S.S., and Stella A.L. Precise Toppling Balance, Quenched Disorder, and Universality for Sandpiles // Physical Review Letters. 2005. V. 94. P. 088002-088005.

93. Kagan Y.Y. and Jackson D.D. Comment on 'Testing earthquake prediction methods: The West Pacific short-term forecast of earthquakes with magnitude MwHRV > = 5.8' by V. G. Kossobokov // Tectonophysics. 2006. V. 413. P. 33-38.

94. Keilis-Borok V.I., and Kossobokov V.G. Preliminary activation of seismic flow: Algorithm M8 // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 1990. V. 61. P. 73-83.

95. Keilis-Borok.V.I and Rotwain I.M. Diagnosis of time of increased probability of strong earthquakes in different regions of the world: algorithm CN // Physics of the Earth and Planetary Interiors 1990. V. 61. P. 5772.

96. Keilis-Borok V.I. Intermediate-term earthquake prediction // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1996. V. 93. P. 3748-3755.

97. Keilis-Borok V.I. Fundamentals of Earthquake Prediction: Four Paradigms / / Nonlinear Dynamics of the Lithosphere and Earthquake Prediction. / V.I. Keilis-Borok and A.A. Soloviev (eds.). Springer-Verlag, Heidelberg. 2003. P. 1-36.

98. King G. The accommodation of large strains in the upper lithosphere of the earth and other solids by self-similar fault systems: The geometrical origin of b-value // Pure and Applied Geophysics. 1983. V. 121. P. 761815.

99. Kloster M., Hansen A. and Hemmer P.C. Burst avalanches in solvable models of fibrous materials // Physical Review E. 1997. V. 56. P. 26152625.

100. Kossobokov V.G., Keilis-Borok V.I., and Smith W.W. Localization of intermediate-term earthquake prediction // J. Geophysical Research. 1990. V. 95. P. 19763-19773.

101. Kossobokov V., Shebalin P. Earthquake Prediction // Nonlinear Dynamics of the Lithosphere and Earthquake Prediction / Keilis-Borok V.I. and Soloviev A.A. (eds.). Springer-Verlag. 2003. P. 141-208.

102. Mantegna R.N. and Stanley H.E. An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance. 1999. Cambridge University Press, Cambridge. 148 pp.

103. Laurson L., Alava M.J., and Zapperi S. Power Spectra of Self-Organized Critical Sandpiles //J. Statistical Mechanics 2005. V. 11. P. L001-L007.

104. Lee J.W., Lee K.E., Rikvold P.A. Waiting-Time distribution for Korean Stock-Market Index KOSPI // Journal of the Korean Physical Society. 2006. V. 48. P. S123-S126.

105. Lu C. and Vere-Jones D. Application of linked stress release model to historical earthquake data: Comparison between two kinds of tectonic seismicity // Pure and Applied Geophysics. 2000. V. 157. P. 23512364.

106. Lübeck S. Moment analysis of the probability distribution of different sandpile models // Physical Review E. 2000. V. 61. P. 204-209.

107. Lübeck S. Crossover phenomenon in self-organized critical sandpile models // Physical Review E. 2000. V. 62. P. 6149-6154.

108. Lübeck S. and Usadel K.D. Numerical determination of the avalanche exponents of the Bak-Tang-Wiesenfeld model // Physical Review E. 1997. V. 55. P. 4095-4099.

109. Lübeck S., Rajewsky N., and Wolf D.E. A deterministic sandpile automaton revisited // European Physical J. B. 2000. V. 13. P. 715-721.

110. Malamud B.D., Morein G., and Turcotte D.L. Forest fires: an example of self-organized critical behavior // Science. 1998. V. 281. P. 18401842.

111. Malcai O., Shilo Sh., and Biham O. Dissipative sandpile models with universal exponents // Physical Review E. 2006. V. 73. P. 056125056129.

112. Malevergne Y., Sornette D. Multivariate Weibull Distributions for Asset Returns // Finance Letters. 2005. V. 2. R 16-32.

113. Manna S.S. Large-scale simulation of avalanche cluster distribution in sand pile model //J. of Statistical Physics. 1990. V. 59. R 509-521.

114. Manna S.S. Two-state model of self-organized criticality // J. of Physics A. 1991. V. 24. R L363-L369.

115. March T.K., Chapman S.C., Dendy R.O., Merrifield J.A. Off-Axis Electron Cyclotron Heating and the Sandpile Paradigm for Transport in Tokamak Plasmas // Physics of Plasmas. 2004. V. 11. P. 659-665.

116. Molchan G.M. Earthquake prediction as a decision-making problem // Pure and Applied Geophysics. 1997. V. 149. P. 233-247.

117. Molchan G.M. Earthquake Prediction Strategies: A Theoretical Analysis // Nonlinear Dynamics of the Lithosphere and Earthquake Prediction / Keilis-Borok V.I. and Soloviev A.A. (eds.). Springer-Verlag. 2003. P. 209-238.

118. Molchan G.M., and Dmitrieva O.E. Aftershocks identification: methods and new approaches // Geophysical Journal International. 1992. V. 190. P. 501-516.

119. Molchan G., Romashkova L. Earthquake prediction analysis based on empirical seismic rate: the M8 algorithm // Geophysical Journal International. 2010. V. 183. P. 1525-1537.

120. Narteau C, Shebalin P., Holschneider M., Le Mouel J.-L., and Allegre C. Direct simulations of the stress redistribution in the scaling organization of fracture tectonics (SOFT) model // Geophysical Journal International. 2000. V. 141. P.115-135.

121. Newman W., Gabrielov A., and Turcotte D.L., ed. Nonlinear Dynamics and Predictability of Geophysical Phenomena. AGU, Washington, D. C., Int. Union of Geodesy and Geophys. 1994. 108 pp.

122. Nishenko S.P. Circum-Pacific Seismic Potential 1989-1999 // USGS, Open File Report. 1989. 126 pp.

123. Ogata Y., Utsu T. Katsura K. Statistical discrimination of foreshocks from other earthquake clusters // Geophysical Journal International 1996. V. 127. P. 17-30.

124. Olami Z., Feder H., Christensen K. Self-organized criticality in a continuous, nonconservative cellular automaton modeling earthqaukes // Physical Review Letters. 1992. V. 68. P. 1244-1247.

125. Omori F. On the aftershocks of earthquakes // J. of the College of Science. 1894. V. 7. P. 111-200.

126. Parisi G. Complex Systems: a Physicist's Viewpoint // cond-mat/0205297. 2002.

127. Pepke S.L. and Carlson J.M. Predictability of Self-Organizing Systems // Physical Review E. 1994. V. 50. P. 236-242.

128. Pietronero L., Vespignani A., and Zapperi S. Renormalization scheme for self-organized criticality in sand-pile models // Physical Review Letters. 1994. V. 72. P. 1690-1693.

129. Pradhan S. Physics models of earthquake // Science and Culture. 2007. V. 3. P. 4-7.

130. Pradhan S., Hansen A, and Hemmer P.C. Crossover Behavior in Burst Avalanches: Signature of Imminent Failure // Physical Review Letters. V. 95. P 125501-125505.

131. Priezzhev V.B. Structure of Two Dimensional Sandpile. I. Height Probabilities //J. Stat. Phys. 1994. V. 74. 955-979.

132. Raberto M., Scalas E., Mainardi F. Waiting-times and returns in high-frequency financial data: an empirical study // Physica A. 2002. V. 314 P. 749-755.

133. Rundle J.B., Turcotte D.L., and Klein W., ed. Geocomplexity and the Physics of Earthquakes. AGU, Washington, D. C. 2000. 296 pp.

134. Sadovsky M.A., Golubeva T.V., Pisarenko V.F., and Shnirman M.G. Characteristic dimensions of rock and heirarchical properties of seis-micity // Izv. Acad. Nauk SSSR, Phys. Solid Earth. 1984. V. 20. P. 87-96.

135. Shapoval A.B. Prediction problem for target events based on the interevent waiting time // Physica A. 2010. V. 389. P. 5145-5154.

136. Shapoval A.B., Shnirman M.G. Strong events in the sand-pile model // Int. J. Mod. Phys. C. 2004. V. 15. P. 279-288.

137. Shapoval A.B., Shnirman M.G. Scaling Properties of Strong Avalanches in Sand-Pile // Int. J. Mod. Phys. C. 2005. V. 16. P. 341-348.

138. Shapoval A.B., Shnirman M.G. Crossover Phenomenon and Universality: from Random Walk to Deterministic Sand-Piles // Int. J. Mod. Phys. C. 2005. V. 16. P. 1893-1907.

139. Shebalin P. Increased correlation range of seismicity before large events manifested by earthquake chains // Tectonophysics. 2006. V. 424. P. 335-349.

140. Shnirman M.G. and Blanter E.M. Self-organized criticality in a mixed hierarchical system // Physical Review Letters. 1998. V. 81. P. 54455448.

141. Shnirman M.G. and Blanter E.M. Scale invariance and invariant scaling in a mixed hierarchical system // Physical Review E. 1999. V. 60. P. 5111-5120.

142. Shnirman M.G. and Blanter E.M. Hierarchical models of seismicity // Nonlinear Dynamics of the Lithosphere and Earthquake Prediction / Keilis-Borok V.I. and Soloviev A. A. (eds.). Springer-Verlag, Heidelberg. 2003. P. 37-70.

143. Smith W. The b-value as an earthquake precursor // Nature. 1981. V. 289. P. 136-139.

144. Sornette D. Critical Phenomena in Natural Sciences: Chaos, Fractals, S elf-organization, and Disorder. Concept and Tools. Springer, Berlin 2000.

145. Sornette D. Predictability of catastrophic events: material rupture, earthquakes, turbulence, financial crashes and human birth // Proceeding of the National Academy of Sciences USA. 2002. V. 99. P. 25222529.

146. Sornette D., Knopoff L. The paradox of the expected time until the next earthquake // Bull. Seismol. Soc. Am. 1997. V. 87. P. 789-798.

147. Sornette D. and Zhou W.-X. Predictability of large future changes in major financial indices // International Journal of Forecasting. 2006. V. 22. P. 153-168.

148. Stanley H.E., Amaral L.A.N., Buldyrev S.V., Gopikrishnan P., Plerou V., and Salinger M.A., Self-Organized Complexity in Economics and Finance // Proceedings of the National Academy of Sciences USA. V. 99. 2002. P. 2561-2565.

149. Tebaldi C., De Menech M., and Stella A.L. Multifractal scaling in the Bak-Tang-Wiesenfeld sandpile and edge events // Physical Review Letters. V. 83. P. 3952-3955.

150. Turcotte D.L. Fractals and Chaos in Geology and Geophysics, 2nd edn. Cambridge Univer. Press, Cambridge 1997. 412 pp.

151. Utsu T. A statistical study on the occurence of aftershocks // Geophys. Mag. 1961. V. 30. P. 521-605.

152. Vere-Jones D. Earthquake prediction: a statistician's view // J. Phys. Earth. 1978. V. 26. P. 129-146.

153. Vere-Jones D. Forecasting earthquakes and earthquake risk // International J. of Forecasting. 1995. V. 11. P. 503-538.

154. Vorobieva I.A., Panza G.F. Prediction of the occurrence of Related Strong Earthquakes in Italy // Pure and Applied Geophysics. V. 141. 1993. P. 25-41.

155. Weatherley D., Jaume S.C., and Mora P. Evolution of stress deficit and and changing rates of seismicity in cellular automaton models of earthquake faults // Pure and Applied Geophysics. 2000. V. 157. P. 2183-2207.

156. Wiesenfeld K., Theiler J., and McNamara B. Analytical and numerical studies on deterministic sandpiles // Physical Review Letters. 1990. V. 65. P. 949-952.

157. Working Group on California Earthquake Probabilities. Probabilities of Large Earthquakes Occurring in California on the San Andreas Fault // U.S. Geol. Surv. Open File Report, 88-398. 1998. 66 pp.

158. Wyss M. (editor). Evaluation of proposed earthquake precursors. AGU, Washington, D. C. 1991. 94 pp.

159. Wyss M., Shimazaki K, and Urabe T. Quantitative mapping of a precursory quiescence to the Izu-Oshima 1990 (M6.5) earthquake, Japan // Geophysical Journal International. 1996. V. 127. P. 735-743.

160. Wyss M. Cannot Earthquakes Be Predicted? // Science. 1997. V. 278. P. 487-490.

161. Wyss M., Martyrosian A. H. Seismic quiescence before the M7, 1988, Spitak earthquake, Armenia // Geophysical Journal International. 1998. V. 134. 329-340.

162. Zhang Y.-C. Scaling theory of self-organized criticality // Physical Review Letters. 1989. V. 63. P. 470-473.