Вопросы поточечной сходимости и сходимости в среднем сумм Фурье и их линейных средних по некоторым ортогональным системам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Магомед-Касумов, Магомедрасул Грозбекович

• Магомед-Касумов, Магомедрасул Грозбекович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Магомед-Касумов, Магомедрасул Грозбекович

Содержание

Введение

Глава 1. Приближение функций из весовых пространств Лебега и Соболева с переменным показателем суммами Фурье

по системе Хаара

1.1. Предварительные сведения

1.1.1. Система Хаара

1.1.2. Пространство Лебега с переменным показателем

1.1.3. Весовое пространство Лебега с переменным показателем

1.1.4. Класс весовых функций

л

1.1.5. Класс весовых функций

1.2. Базисность системы Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем

1.2.1. Введение

1.2.2. Основной результат

1.3. Приближение функций суммами Фурье - Хаара в весовых пространствах Лебега и Соболева с переменным показателем

1.3.1. Введение

1.3.2. Предварительные сведения

1.3.3. Приближение функций из весовых классов Соболева

с переменным показателем суммами Фурье - Хаара

1.3.4. Приближение функций из весовых пространств Лебега с переменным показателем суммами Фурье - Хаара

1.4. Сходимость прямоугольных сумм Фурье - Хаара в пространствах Лебега с переменным показателем

1.4.1. Постановка задачи

1.4.2. Вспомогательные утверждения

1.4.3. Основной результат

Глава 2. Некоторые вопросы поточечной сходимости

2.1. Особенности поведения частичных сумм Фурье - Хаара в двоично-иррациональных точках разрыва

2.1.1. Введение

2.1.2. Вспомогательные утверждения

2.1.3. Основной результат

2.2. Аппроксимативные свойства средних Валле-Пуссена тригонометрических рядов на классах кусочно гладких функций

2.2.1. Основные понятия

2.2.2. Вспомогательные утверждения

2.2.3. Основной результат

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вопросы поточечной сходимости и сходимости в среднем сумм Фурье и их линейных средних по некоторым ортогональным системам»

Введение

В данной диссертации можно выделить два направления. Первое направление посвящено исследованию аппроксимативных свойств рядов Фурье по системе Хаара в весовых и безвесовых пространствах Лебега с переменным показателем (глава 1). Второе направление включает в себя исследование особенностей поточечной сходимости сумм Фурье - Хаара для разрывных функций, а также содержит некоторые вопросы, связанные с локальными аппроксимативными свойствами средних Валле-Пуссена по тригонометрической системе для кусочно гладких функций (глава 2).

Актуальность и краткое содержание диссертационного исследования. Рассмотрим первое направление (глава 1). В последние годы стремительными темпами растет число работ, так или иначе связанных с пространствами Лебега с переменным показателем (см. [1-4] и приведенные там списки литературы). Данные пространства естественным образом возникают в многомерном вариационном исчислении [5-7], в теории дифференциальных и интегральных уравнений [1], в теории и приложениях по обработке сигналов и в ряде других областей. Поэтому изучение и развитие теории этих пространств не только представляет теоретический интерес, но и имеет практическую значимость.

Первое систематическое исследование топологии этих пространств было дано в работе [8]. В частности, в ней было показано, что если 1 < р(Е) < р(Е) < оо *, то топология пространства 1/(х\Е) нормируема и одну из эк-

*3десь и далее символами р(Л1), р(М) будем обозначать essinf р(х) и ess.sup/)(x) соответственно

х€М хеМ

Бивалентных норм можно определить, полагая для / € LP¿X\E)

f(x) р{х)

PÍ.)(E) = inf{a>0: J

p(-) =

E

a

¡i{dx) < 1}.

В настоящее время имеется большое количество других работ, в которых детально рассмотрены эти пространства и их свойства (см., например, [14,9]). Более подробную историческую справку по становлению теории этих пространств можно найти в упомянутых работах.

В последнее время активно развивается теория приближений в пространствах Лебега с переменным показателем (см. [1-4] и приведенные там списки литературы). Наиболее важные результаты, полученные в этих работах, связаны с так называемым условием Дини - Липшица

1

\р(х)-р(у) |

1п

< С, (1)

I® - УI

которое впервые в контексте пространств Лебега с переменным показателем появилось в работе [10]. Среди основополагающих результатов, полученных в этом направлении, можно отметить следующие: базисность системы Хаара [10], ограниченность максимальной функции Харди - Литтл-вуда [11-14], базисность тригонометрической системы [15], базисность системы нормированных полиномов Лежандра [16] и др. В связи с тематикой диссертации особый интерес для нас представляют результаты, которые связаны с системой Хаара. Остановимся более подробно на некоторых из них.

В статье [10] было показано, что система Хаара является базисом в jj>(x) _ ipW^E^ е = [о, 1], тогда и только тогда, когда переменный показатель р(х), 1 < р{Е) < р{Е) < оо, удовлетворяет условию Дини - Липшица. Эта статья появилась в 1986 г. Однако до последнего времени вопрос о скорости сходимости сумм Фурье - Хаара в метрике пространства LP^ оставался открытым. Этот пробел был устранен совсем недавно в работе [17], в которой доказано, что если переменный показатель р{х) удовлетворяет

условию (1), то для сумм Фурье - Хаара /) имеет место аналог первой теоремы Джексона вида \\/~Яп{Л\\Р{-) < с(р)П(/, где 5)р(.) - модуль непрерывности в определенный с помощью функций Стеклова. В той же работе исследована задача об оценке отклонения сумм Фурье -Хаара от функций /(#) 6 гДе ) ~ пространство Соболева с пере-

менным показателем р(х), и доказано, что ||/ — фп(/)||р(.) < ^гН/'ИрС-)-

Целью главы 1 данной работы является перенос некоторых упомянутых выше результатов, полученных для системы Хаара, на многомерные и весовые пространства Лебега.

В §1.4 исследуются условия, при которых двумерная система Хаара Хпт(я,у) = Хп{х)Хт{у), где Хп(х) - функции Хаара определяемые обычным образом (см. (1.1)), образует базис в £^([0,1]2). Для этого вводятся модуль непрерывности и условие Дини - Липшица для случая функций двух переменных.

Модуль непрерывности для функции р{х, у), заданной на множестве Е, определяется следующим образом:

и>(р,Е,6) = шр{\р(А) -р(В)\ : А, В € Е,р(А,В) < 6}.

Говорят, что функция р(х, у) удовлетворяет условию Дини - Липшица порядка а > 0, если

ш(р, Е, 5)(\п^У <с (0 < < 1),

где с = с{Е,р,а),а > 0.

Основной результат §1.4 представлен в следующем утверждении.

Теорема 1. Для того чтобы для любой функции / е = 1]2),

1 < р([0> I]2) — I]2) < прямоугольные частичные суммы

N М

Я ими, Х1 у) = СптХпт(х, У), Спт =

71 = 1 Ш=1

[[/('х,у)хпт(х,у)(1х(1у

сходились в пространстве и&я) к функции f(x,y) при N,M —> оо (N х М), необходимо и достаточно, чтобы показатель р(х, у) удовлетворял условию Дини - Липшица порядка а > 1.

Перейдем теперь к описанию весового случая. Условимся прежде о некоторых обозначениях. Символом Т(Е) обозначим множество измеримых на множестве Е функций р(х), удовлетворяющих условию 1 < р{Е) < р(Е) < оо. Множество тех р(х) из V(E), которые удовлетворяют допол-

__/s

нительному ограничению 1 < р(Е), будем обозначать с помощью V(E). Через Vlog(E) обозначим множество р(х) € V(E), удовлетворяющих условию Дини - Липшица (1). Если речь идет о множестве Е = [0,1], то мы будем опускать скобки с обозначением множества.

Для достижения обозначенной выше цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Перенести на весовые пространства ряд свойств и утверждений, полученных для безвесовых пространств Лебега с переменным показателем. Это сделано в §1.1.3.

2. При построении рядов Фурье - Хаара для функции f(x) £ Lfj=

L&\{ 0,1]) приходится вычислять коэффициенты ck = f f{x)xk(x)dx.

о

Для того чтобы эти коэффициенты были конечны, необходимо и достаточно, чтобы f(x) была суммируемой. В связи с этим появляется требование о вхождении L^jj ^ С L1, и возникает задача исследования условий на вес w(x), при которых упомянутое вхождение будет выполнено.

Замечание. Далее для нормированных пространств X и Y будут использоваться термины вхождение и вложение. Говоря вхождение, мы будем подразумевать включение X С Y как операцию над множествами. Под вложением мы понимаем вхождение X С Y, при кото-

ром для любого х £ X выполняется неравенство ||#||у < где с

не зависит от х.

В §1.1.4 получены достаточные условия вложения (а, следовательно, и вхождения) Ь1^ в Приведем тут основной результат. Пусть Т-С(Е,р) - множество весовых функций, удовлетворяющих условиям (Е1 = {х:р{х) = 1},Е2 = Е\Е1):

(Н1) т(х) > Сх(т) >0, а; £ £х(п.в.), (Н2) <оо.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если и>(х) £ %(Е,р), р(х) £ Т>(Е) то имеет место вхождение Ь$х)(Е)

С Ь (Е), причем

\\/иЕ)<с(р^)\\/\\р{.^(Е).

Данная теорема дает достаточные условия вложения. Однако мы можем утверждать, что эти условия близки к необходимым. Эта уверенность проистекает, во-первых, из леммы 1.1 (см. §1.1.4), в которой показано, что условие (Н1) является необходимым для вложения, и во-вторых, из следующей теоремы, доказанной в §1.1.4.

Теорема 3. Пусть Е - произвольное множество с конечной мерой Лебега и заданными на нём показателем р(х) £ Р(Е) и весом т{х). Для того чтобы имело место вхождение

Ь^\Е) с Ь\Е),

необходимо, чтобы и;

^а(х) е для любой

измеримой функции

а(х), которая при некотором г > 0 почти всюду на Е удовлетворяет условию

- ( ! 1 +е<а(х) < 1. р(х) - 1

Замечание. Если в приведенном выше условии взять е — О, то из него будет следовать условие (Н2).

3. Для исследования вопросов приближения функций из ^ суммами

л

Фурье - Хаара потребовалось также ввести класс весов Ар^{(5), состоящий из функций ги(х), удовлетворяющих условиям

{Al) sup yiy J w{x)dx < c{p,w), sesP(6) Hi

s

( If \{ I [ - 1 \e(5M

(A2) sup I— / Ца;)бЫ[— / w{x) ï^dx) < c{p,w),

S€&\dP(e)x\b\ J y J '

S s

где & - система множеств, а подсистема <5, состоящая из мно-

жеств S, для которых p{S) = 1: 3>(6) = {S е 6 : p{S) = 1}. В дальнейшем мы будем рассматривать Ар^{&) для следующих двух систем множеств:

1) ЯЗ^ - множество всех двоичных интервалов (1.2) из пачек с номерами j > V

2) Djy - множество спаренных двоичных интервалов (1.2) из пачек с номерами j > и

¡Э„ = Щ U Д}+1 : j > = 1,... & - 1}.

4. Выше мы говорили о том, что построение рядов Фурье - Хаара для

произвольной функции / € Lw*^ возможно, если w{x) <Е 'Hip) = "Н([0,1 ],р). В таком случае естественным является вопрос о сходимости этих рядов к соответствующей функции, т.е. вопрос о базисности системы Хаара в L$x\ В §1.2 найдены условия на вес, при которых система Хаара образует базис в L^x\

Теорема 4. Пусть р(х) € Р1°9, и>(х) £ Т-1{р). Тогда система Хаара будет базисом пространства если ъи(х) £ У

V

5. В предыдущем пункте были рассмотрены условия, обеспечивающие базисность системы Хаара в Возникает вполне закономерный

вопрос о том, с какой скоростью ряды по указанной системе сходятся к самой функции. В случае постоянного р задача о скорости приближения функций /(х) € № суммами Фурье-Хаара была решена Ульяновым [18, с. 384].

Теорема (Ульянов). Если /(х) е 1^(0,1) с некоторым р € [1, оо), то

II/ - Яп(Л\\Р < 24сир(/, -) при п > 1,

71

гдеир(/,5) = вир (У\1(х + К) - !{х)\Ых) о</к<Л о '

Как уже отмечалось выше, в работе И.И. Шарапудинова [17] этот результат был обобщен на переменный показатель. Напомним, что для этого потребовалось ввести модуль непрерывности (1.45), основанный на усредненном сдвиге.

Теорема (Шарапуцинов). Пусть р(х) е V109, /(х) € ЕР^. Тогда справедлива оценка

/ ь

В главе 1 в терминах модуля непрерывности

0, (5 = 0,

вир ||/ - ¿/¿(ЛИК-),«» 5 >

0<Н<5

(2)

основанного на функции Стеклова 5/^/), получена аналогичная оценка для функций /(х) £ Ь^ (см. §1.3.4).

Теорема 5. Пусть р{х) е Vlog, w{x) € Я(р) П [(J

L и

v(-)

f G Lw ' имеет место оценка

. Тогда для

II/ - Qn{f)\\p{.),w < c(p,w)n{f, -)р(.),„,.

ТЪ

Доказательство этой теоремы состоит из двух шагов.

На первом шаге оценивается скорость сходимости сумм Фурье - Ха-ара для функций из так называемых классов Соболева Классом Соболева W^ W(M) с переменным показателем р(х) и весом w(x) называется множество г — 1 раз непрерывно дифференцируемых на [0,1] функций f(x), для которых f^r~l\x) абсолютно непрерывна, а /<г>(:г) G и \\f^\\p(.),w < М. Положим = Um>oW^}JM),

= ® §1-3.3 доказана следующая теорема.

Теорема 6. Пусть р(х) е Vl°9, w(x) е Щр) П [UAkoP5")

U

лива следующая оценка для / € Wp^iW

Справед-

II/ - Яп(Л\\р(.),ги < /%(•),

/ С

На втором шаге вводится оператор:

и и х+И

©,(/)(*) = Ц 8н(Л(х)М = 0 < " ^

и/2 и/2 х

Отметим, что данный оператор использовался при доказательстве приведенной выше теоремы Шарапудинова из статьи [17, §5] (см. также [19, с. 291]). В данной работе нам понадобилось исследовать некоторые свойства этого оператора в весовом случае. Приведем некоторые из них (см. §1.3.4):

а) Для любого /(х) € Ь2^х\ ги €И(р) выполняется неравенство

II (@ЛЛ)\а. < «<р) о<и<1.

b) е„(/) € Идля / е ¿5*',«; € Н(р),0 < V < 1.

c) Пусть / Е Е %(р),0 < ь> < 1. Тогда справедливо неравенство

Доказательство теоремы 5 основано на использовании свойств а) - с) и теоремы 6.

Отметим, что все основные результаты главы 1 получены для р(х) > 1. Другими словами, мы не налагаем на показатель искусственного ограничения р > 1, часто встречающегося в иностранной литературе.

Перейдем теперь к рассмотрению второго направления (глава 2). Вопросы поточечной сходимости сумм Фурье - Хаара

рассматривались многими авторами (см., например, [20], [18] и цитированную там литературу). В частности, сначала Фабер [21], а затем Ульянов [18, с. 368] показали, что для функций ограниченной вариации суммы Фурье -Хаара (3) обладают следующими свойствами:

1°. Суммы (3) сходятся во всех точках непрерывности функции /(¿).

2°. Суммы (3) сходятся во всех двоично-рациональных точках.

3°. Суммы (3) существенно расходятся в каждой двоично-иррациональной точке разрыва функции /(£).

В данной работе более подробно рассмотрено свойство 3°, когда двоично-иррациональная точка разрыва является рациональной. В этом случае удаётся точно определить структуру последовательности частичных сумм Фурье - Хаара в данной точке.

<г>

1

к=1

(3)

о

Целью §2.1 главы 2 является более детальное исследование поведения сумм Фурье - Хаара для функций ограниченной вариации в окрестностях рациональных двоично-иррациональных точек разрыва.

Из определения функций Хаара 1.1 непосредственно выводится равенство

■ \<ЭАхо), 2к < N <2к -{- г'о,

Яы(х о) = <

2к + 10<И <2к+\ где хо € (0,1) - двоично-иррациональная точка, а ¿о = ¿о{к) - номер того двоичного интервала (1.2) из /г-той пачки, который содержит точку х^. Поэтому для изучения поведения частичных сумм Фурье - Хаара ЯиЦ^) в точке ¿о достаточно ограничиться рассмотрением сумм с номерами N = 2к.

Как известно, частичные суммы Я2к{1->х) постоянны на двоичных интервалах Агк [22, с. 71]. Обозначим через дь значение Я2^{/,х) на Аг£: Чк = Я2><(1,х),х

В §2.1.3 доказана следующая теорема.

Теорема 7. Если хо - рациональная двоично-иррациональная точка, двоичное разложение

со

X—т I) '

х0 = о, &1&2 • • • ьпьп+1... = ф> Ьу е {о, 1},

•7=1

которой имеет период длины п, то числовая последовательность дх- = Я2к{1,х), х £ Аг£ для любой функции ограниченной вариации / со скачком в точке хо будет представлять собой объединение п сходящихся последовательностей:

Яы+р -> Я*о + 0)-ур (/(а-0 + 0) - ¡(хо - 0)), I оо, 0 < р < п, где ур = (0, Ьр+1Ьр+2 .. .)г.

В главе 2 рассмотрены также локальные аппроксимативные свойства сумм Валле-Пуссена по тригонометрической системе (см. §2.2).

Пусть f{x) - суммируемая 27г-периодическая функция. Для каждой такой функции можно определить частичную сумму Фурье порядка п:

п

5П(/, х) = ^ + ^^ a*; cos кх + Ък sin кх, 2 к=i

2 2тг ^ 2тг

где ак — — f f(t) cos ktdt, bk = — Г /(í) sin ktdt.

Ti" о ^ о

Суммы Валле-Пуссена представляют собой усеченные средние арифметические частичных сумм Фурье:

.. т—1 771

к=0

Аппроксимативные свойства сумм Валле-Пуссена в равномерной метрике для некоторых классов непрерывных и гладких функций рассматривались в работах [23-28]. В интегральной метрике исследования подобного рода можно найти, например, в статьях [29,30]. Однако вопросы локальных аппроксимативных свойств сумм Валле-Пуссена на классах кусочно гладких функций до последнего времени оставались малоизученными.

Целью §2.2 главы 2 является исследование скорости приближения кусочно гладких функций суммами Валле-Пуссена.

В данной работе рассмотрены пространства кусочно гладких функций, которые вводятся следующим образом. Через Wp([a,b]) обозначим пространства Соболева, состоящие из г — 1 раз непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] функций fix), для которых f^r~l\x) абсолютно непрерывна на [а, 6], a f(r\x) € Z^([a,6]). Пусть теперь дано конечное разбиение отрезка [0,2тг]

А = {0 = 0О < 9i < ■ ■ ■ < 9Я = 2тг}.

Тогда через обозначим пространство 27г-периодических функций,

которые на каждом отрезке [0¿,0¿+i] можно превратить в функцию из Wp{[0i,6i+1]) путём переопределения её на концах.

Величина уклонения функций /(х) из от классических сумм

Валле-Пуссена У£(/) была рассмотрена в [31].

Теорема 8. Для функций /(х) € И7^ справедлива следующая оценка остатка при приближении суммами Валле-Пуссена (п > 1):

ш - х)\ < Ш■ * 6 +^ - 4

2 4 ' г=1

где Mf = шахЩ/Цоо, Ц/'Ц«,, ЦЩ^ ИЛЬ}, е > 0 - любое число.

В настоящей работе этот результат переносится на более широкое множество Кроме того, оценка дается для общих сумм Валле-Пуссена V™ при произвольных тип.

Теорема 9. Для функций ¡(х) из класса справедлива следующая оценка остатка при приближении суммами Валле-Пуссена (п > О, т > 1):

1/М - О/,*) | < ^(Д + * € 1>-. + - е]

2 4 ¿=1

где = тах{||/||оо, Ц/'Цоо» Ц/'ЦооЬ а £ - любое положительное число.

Доказательство этой теоремы дано в §2.2.3. Оно опирается на ряд вспомогательных утверждений, которые вместе с доказательствами приведены в §2.2.2.

В теории приближений часто рассматривается задача оценки величины верхней грани по некоторому классу уклонения функции от приближающего полинома. Используя теорему 9, можно получить подобную оценку для классов состоящих из функций /(&•) £ И7^, удовлетворяющих

условиям И/^Иоо <м,г = 0,1,2.

ч

Следствие. Пусть е > О, V = У [0г-х+е, в{—е]. Имеет место неравенство:

г—\

М / 4д 1

где

< + 144)—

"Ч 00 / 7Г Чбш § / т(п 4-1)

ОЙ',*) = виршах\/(х) -

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Найдены необходимые и достаточные условия базисности двумерной системы Хаара {Хп,т{х,у)} в пространстве Лебега О, I]2) с переменным показателем р(х, у).

2. Рассмотрены вопросы базисности системы Хаара в весовых пространствах Лебега Найдены достаточные условия на показатель р(х) и вес w(x), при которых система Хаара образует базис в Lfu \

3. Исследована скорость приближения функций из пространств Лебега Ilw^ и Соболева Wp^iW суммами Фурье - Хаара в терминах модуля непрерывности (2).

4. Рассмотрены условия вложенности Lfj2^ с L1. Получены достаточные условия на вес, при выполнении которых указанное вложение выполнено. Было также показано, что эти условия близки к необходимым.

5. Изучено поведение частичных сумм Фурье - Хаара для функций ограниченной вариации в окрестностях рациональных двоично-иррациональных точек разрыва.

6. Исследованы локальные аппроксимативные свойства сумм Валле-Пуссена V™(/, х) на классах кусочно гладких функций f{x). Получена оценка скорости стремления величины |V£{f,x) — f{x) | к нулю для таких функций.

Научная новизна. Все результаты, приведенные в диссертации, новые и получены автором.

Научная и практическая значимость. Результаты, полученные в настоящей диссертации, на наш взгляд, представляют интерес для научного сообщества, поскольку вносят определенный вклад в развитие бурно развивающейся теории приближений в пространствах Лебега с переменным

показателем, а также в развитие теории тригонометрических рядов Фурье. Стоит отметить к тому же, что результаты данной работы могут найти прямое применение в практических вопросах, таких, как обработка, сжатие и хранение цифровых сигналов (изображений, звука, видео).

Степень достоверности. Основные результаты вместе со строгими математическими доказательствами опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах. Полученные результаты не противоречат результатам других авторов по данной тематике.

Апробация работы. Результаты данной диссертационной работы докладывались на конференциях:

• Международная научная конференция «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование» (Волгодонск, 4-8 июля

2011 г.),

• VI Региональная научно-практическая конференция «Информационные технологии: математические аспекты» (Дагинформ-2011) (Махачкала, 26 ноября 2011 г.),

• 16-я Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения (г. Саратов, 27 января - 3 февраля 2012 года, статус - международная),

• 8-я Региональная школа-конференция молодых ученых «Владикавказская молодежная математическая школа» (г. Владикавказ, 16-21 июля

2012 года),

• Международная научная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 14-20 июля 2013 г.),

• 17-я Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения (г. Саратов, 27 января - 3 февраля 2014 года, статус - международная),

а также на научных семинарах Отдела математики и информатики Дагестанского научного центра РАН.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 12 печатных изданиях [31-42], 6 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [31-36], 6 — в тезисах и материалах конференций [37-42].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 109 страниц. Список литературы содержит 53 наименования.

Глава 1

Приближение функций из весовых пространств Лебега и Соболева с переменным показателем суммами Фурье по системе Хаара

1.1 Предварительные сведения 1.1.1 Система Хаара

Как известно [22], функции Хаара {Хп{х)}™=\ определяются на отрезке [0,1] следующим образом:

где п = 2к + г, к = 0,1,..., г = 1,..., 2к, а Ап - это двоичный интервал вида

Ап — замыкание интервала Дп, а Д+, Ап — соответственно правая и левая половины интервала Дп.

О, х <£ Дп, = 1, Хп(х) = 2к/'2, х е Д+,

-2к/\ х е Д~,

71 '

(1.1)

(1.2)

Значения в точках разрыва и на концах выбираются так, чтобы выполнялись равенства

Хп(х) = + 0) + х(х -0)),хе (0,1);

Хп(0)=Хп(+0),Хп(1) = Хп(1-0).

Интервалы Ап и функции Хаара Хп(%) с номерами п = 2к 4- г, г — 1,..., 2к называют соответственно интервалами и функциями к-й пачки.

Отметим некоторые свойства двоичных интервалов (доказательство см. в [22]):

1) двоичные интервалы из одной пачки либо не пересекаются, либо совпадают:

Д[ П Дд. = 0, г ф 3, г, 3 = 1,2,..., 2*, к = 1,2,...

2) произвольные двоичные интервалы Ап и Д^ либо не пересекаются, либо один из них содержит другой:

(Ап пАт = 0)=> {Ап С Ат V Ат С Дп)

Через Л„1, Л„2, • • •, будем обозначать интервалы постоянства системы функций Х\{х)т- ■ ■> Хп{х) [43, с. 17]. Если п = 2^ + г, то

«¿т, 1 < 5 < 2г,

|Ап,|=<!2 " " (1.3)

2г + 1 < 5 < п.

Частичные суммы Фурье Яп{1,х) для функции /(х) определяются, как обычно, следующим образом:

71

<2пС/» = С1-4)

к=1

где

1

Ск = I д*)х*№<й

Для частичных сумм Фурье-Хаара справедлива формула [43, с. 21]:

Qn(f,x) = —Ц- [ f(t)dt, х G \ns. (1.5)

Hns| J

A ns

Напомним некоторые определения.

Определение 1.1. Система функций {(рп{х)У^=1 С L2{E) называется ор-тонормированной, если

II, п = т, О, пфт.

Определение 1.2. Система элементов банахова пространства X называется полной в X, если замыкание линейной оболочки этой системы совпадает со всем пространством X.

Определение 1.3. Система элементов {хп} банахова пространства X называется базисом в X, если для любого элемента х G X существует единственный ряд

оо

х^^2апхп, ап = ап(х) G R1, п — 1,2,...,

п= 1

сходящийся к х по норме пространства X.

Используя свойства двоичных интервалов, легко показать, что система Хаара является ортонормированной. Полнота же данной системы в пространствах If, 1 < р < оо вытекает из приведенного ниже утверждения 1.1 [22, с. 71]. Для его формулировки нам понадобится пространство функций Dлг, представляющее собой TV-мерное линейное пространство кусочно постоянных функций, заданных на [0,1], следующего вида:

г % — 1 Z

:= | f(x) = а = const, х G (——, —), г = 1, 2,..., N;

/ф = l<i<N, ДО) = сь/(1) = cN}.

/

Утверждение 1.1. При N = 2к линейная оболочка функций {Xn{%)}n=i совпадает cDn.

Более того, справедливо следующее утверждение [22, с. 75].

Утверждение 1.2. Система Хаара {Xn(x)}%Li образует базис в пространстве ¿/([О,1]), 1 < р < оо. При этом

||/ - Qn(f)||р < c(p)wp(~, /), n = 1,2,...,

ТЬ

где c(p) = 41/P(i + 2*>)1/p

1.1.2 Пространство Лебега с переменным показателем

Пусть Е - измеримое множество. Измеримые и конечные почти всюду на множестве Е неотрицательные функции р(х) будем называть показательными функциями или просто показателями на Е.

Определение 1.4. Пространством Лебега L1'^ (Е) с переменным показателем р{х) называется множество измеримых функций f(x), определённых на Е и удовлетворяющих условию

J \f(x)\p[x)»(dx) < со.

Е

В последние годы эти пространства вызывают все усиливающийся интерес у специалистов из самых различных областей [1-3]. Систематическое исследование топологии указанных пространств впервые было дано в работе Шарапудинова И.И. [8]. В частности, в ней было показано, что если

1 <р(Е) < р(Е) < ос*, (1.6)

'Здесь и далее символами р{М), р{М) будем обозначать essinfp(x) и ess supр{х) соответственно

хем

то топология пространства нормируема и одну из эквивалентных

норм можно определить, полагая для / е

тр{х)

\\f\\p{.) = \\f\\PÍ.)(E) = mí{a>0: J

Другими словами, ||/||р(.) - это такое число, что

а

dx < 1}.

(1.7)

/

Е

№ 11/11,0

р(х)

¡i(dx) = 1.

(1.8)

Далее символом V(E) будем обозначать показательных функций р(х), удовлетворяющих условию (1.6). Нам также понадобится обозначение для тех р{х) из V(E), которые удовлетворяют дополнительному ограничению 1 < р(Е). Соответствующее множество будем обозначать с помощью V(E).

Приведем здесь некоторые свойства пространств Лебега с переменным показателем, которые будут неоднократно применяться в дальнейшем.

Утверждение 1.З.. Если р{х) > 1, х £ М (не исключая и случай, когда р(М) = 1), то справедливо неравенство типа Гёлъдера для пространств Лебега с переменным показателем (см. [1, нер-во (8)]):

J \f{x)\\g(x)\p{dx) < с(р, М) • ||/|U.)(M) • \\g\\p>(.){M), м

гдеяг) + ш = 1' - т + да-

Если р(х) - измеримая существенно ограниченная функция, такая, что р{Е) > 1, то сопряжённый показатель р'(х), определяемый формулой

будет обладать теми же свойствами. Оказывается, что в этом случае пространство Z/W является сопряжённым к пространству D^ [2, §1.4]. Поэтому, в частности, при этих условиях рефлексивно, и справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1.4. Пусть р(х) G V{E). Тогда в LP^ можно ввести норму, эквивалентную (1.7) [2, §1.5]:

\\f\\*p(.)(E) = sup [ f(x)g(x)fi(dx).

Следующее утверждение показывает связь между пространствами LP^ и Lq(x\ когда переменные показатели связаны неравенством р(х) < q(x).

Утверждение 1.5 (см. [2, §1.6]). Пусть на множестве Е заданы функции р(х) и q(x), удовлетворяющие условиям

1 < р(х) < q(x) < q(E) < оо.

Тогда для любого элемента

имеет место неравенство 11/1 \м{Е)<с{рлЕ)\\!\\м(Е\

где

, ™ f 1 \ q(x)

с(Р,q, + —

Для постоянного показателя р норма пространства LP обладает свойством монотонности как по аргументу, так и по области:

1) |/(ж)| < \g(x)\,x ЕЕ=> \\f\\p(E) < \\д\\р(Е).

2) Ас В => \\f\\p(A) < \\f\\P(B).

Эти свойства справедливы и для переменного показателя. Действительно, используя (1.8), получим

/М р{х) ч ^ /* 9(х) р{х)

p(dx) < / .. |. ! ¡i{dx) = 1,

1Ы1Р(.) З НЛо

Е Е

откуда в соответствии с определением (1.7) и следует, что ||/||р(.) < Совершенно аналогично доказывается и свойство 2) для переменного показателя. Таким образом, верны следующие утверждения.

Утверждение 1.6. Пусть д(х) € Ьр('х\Е). Если \/(х)\ < \д(х)\,х € Е, то

\\Л\Р(-)(Е) < \\д\\р{.)(Е).

Утверждение 1.7. Пусть /(ж) £ 1/^х\В). Тогда для любого измеримого подмножества А С В верно следующее неравенство

\\fUM) < \\Л\Р{.)(В).

Среди множества показателей р(х), удовлетворяющих условиям (1.6), важную роль играют те показатели, для которых выполняется так называемое условие Дини - Липшица *

1

\р(х)-р{у)\

1п

< С. (1.9)

\х-у\

Соответствующий класс показателей будем обозначать символом Т)1°9{Е). Если Е = [0,1], то будем просто писать V109.

1.1.3 Весовое пространство Лебега с переменным показателем

Пусть и)(х) - неотрицательная почти всюду (п.в.) положительная суммируемая функция (вес), определённая на множестве Е с мерой Лебега ц.

Определение 1.5. Весовым пространством Лебега с переменным показателем ьйх){Е) называется множество измеримых на Е функций /(х), удовлетворяющих условию

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Магомед-Касумов, Магомедрасул Грозбекович, 2015 год

Литература

1. Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents / L. Diening, P. Har-julehto, P. Hasto et al. Springer, 2011. Vol. 2017 of Lecture Notes in Mathematics. 509 p.

2. Шарапудинов И.И. Некоторые вопросы теории приближений в пространствах Лебега с переменным показателем / под ред. А.Г. Кусраев. Итоги науки. Юг России. Математическая монография № 5. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2012. 270 с.

3. Cruz-Uribe D., Fiorenza A. Variable Lebesgue Spaces: Foundations and Harmonic Analysis. Springer, 2013. 312 p.

4. Variable Lebesgue Spaces and Hyperbolic Systems / D. Cruz-Uribe, A. Fiorenza, M. Ruzhansky et al.; Ed. by S. Tikhonov. Birkhauser, 2014. 173 p.

5. Zhang Q., Qiu Z., Liu X. Existence of multiple solutions for weighted p(r)-Laplacian equation Dirichlet problems // Nonlinear Anal. 2009. Vol. 70, no. 10. P. 3721-3729.

6. Zhang X., Liu X. The local boundedness and Harnack inequality of p(x)-Laplace equation // J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 332. P. 209-218.

7. Жиков B.B. О плотности гладких функций в пространстве Соболе-ва-Орлича // Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 35. Т. 310 из Зап. научи, сем. ПОМИ. СПб.: ПОМИ, 2004. С. 67-81.

8. Шарапудинов И.И. О топологии пространства 0,1]) // Матем. заметки. 1979. Т. 26, № 4. С. 613-632.

9. Fan X., Zhao D. On the Spaces and Wm^x\Q) // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2001. Vol. 263, no. 2. P. 424-446.

10. Шарапудинов И.И. О базисности системы Хаара в пространстве 1^([0,1]) и принципе локализации в среднем // Матем. сб. 1986. Т. 130(172), № 2(6). С. 275-283.

11. Diening L. Maximal function on Musielak-Orlicz spaces and generalized Lebesgue spaces // Bull. Sci. math. 2005. Vol. 129. P. 657-700.

12. Maximal functions in variable exponent spaces: limiting cases of the exponent / L. Diening, P. Harjulehto, P. Hasto et al. // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 2009. Vol. 34. P. 503-522.

13. Nekvinda A. Hardy-Littlewood maximal operator on (R) I I Math. In-equal. Appl. 2004. Vol. 7, no. 2. P. 255-265.

14. Cruz-Uribe D., Fiorenza A., Neugebauer C. J. The maximal function on variable LP spaces // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 2003. Vol. 28. P. 223238.

15. Шарапудинов И.И. Некоторые вопросы теории приближений в пространствах // Anal. Math. 2007. Т. 33, № 2. С. 135-153.

16. Шарапудинов И.И. О базисности системы полиномов Лежандра в пространстве Лебега LP^X\—1,1) с переменным показателем р(х) // Матем. сб. 2009. Т. 200, № 1. С. 137-160.

17. Шарапудинов И.И. Приближение функций из пространств Лебега и Соболева с переменным показателем суммами Фурье-Хаара // Математический сборник. 2014. Т. 205, № 2. С. 145-160.

18. Ульянов П.Л. О рядах по системе Хаара // Математический сборник. 1964. Т. 63, №3. С. 356-391.

19. Guven A., Israfilov D. Trigonometric approximation in generalized lebesgue spaces LPW H J. Math. Inequ. 2010. Vol. 4. P. 285-299.

20. Голубов Б.И. Ряды по системе Хаара // Итоги науки. Сер. Математика. Мат. анал. 1970. М: ВИНИТИ, 1971. С. 109-146.

21. Faber G. Uber die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar // Deutsche Math.-Verl. 1910. Vol. 19. P. 104-112.

22. Кашин Б.С., Саакян A.A. Ортогональные ряды. 2-е, доп. изд. М.: Изд-во АФЦ, 1999. 560 с.

23. Никольский С.М. О некоторых методах приближения тригонометрическими суммами // Изв. Ак. наук СССР, серия математическая. 1940. Т. 4. С. 509-520.

24. Теляковский С.А. Приближение дифференцируемых функций суммами Балле Пуссена // Доклады Ак. наук СССР. 1958. Т. 121. С. 426^29.

25. Ефимов A.B. О приближении периодических функций суммами Валле-Пуссена // Изв. Ак. наук СССР, серия математическая. 1959. Т. 23. С. 737-770.

26. Ефимов A.B. О приближении периодических функций суммами Валле-Пуссена. II // Изв. Ак. наук СССР, серия математическая. 1960. Т. 24. С. 431-468.

27. Захаров A.A. Об оценке уклонения непрерывных периодических функций от сумм Валле Пуссена // Матем. заметки. 1968. Т. 3, № 1. С. 77-84.

28. Овсий Е.Ю., Сердюк A.C. Приближение непрерывных периодических функций суммами Балле Пуссена // Zb. Pr. Inst. Mat. NAN Ukr. 2011. Т. 8, № 1. С. 151-161. URL: http://arxiv.org/pdf/1211.5424vl.pdf.

29. Байбородов С.П. Приближение функций суммами Балле Пуссена // Ма-тем. заметки. 1980. Т. 27, № 1. С. 33-48.

30. Шарапудинов И.И. Аппроксимативные свойства средних Валле-Пуссена на классах типа Соболева с переменным показателем // Вестник Дагестанского научного центра РАН. 2012. Т. 45. С. 5-13.

31. Магомед-Касумов М.Г. Аппроксимативные свойства классических средних Валле-Пуссена для кусочно гладких функций // Вестник Дагестанского научного центра РАН. 2014. Т. 54. С. 5-12.

32. Магомед-Касумов М.Г. Особенности поведения частичных сумм Фурье-Хаара в двоично-иррациональных точках разрыва // Сибирский математический журнал. 2013. Т. 54, № 6. С. 1331-1336.

33. Magomed-Kasumov М. Peculiarities of the partial Fourier-Haar sum behavior at dyadic irrational discontinuity points // Siberian Mathematical Journal. 2013. Vol. 54, no. 6. P. 1060-1064.

34. Магомед-Касумов М.Г. Сходимость прямоугольных сумм Фурье-Хаара в пространствах Лебега с переменным показателем ц>М // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, № 1(2). С. 76-81.

35. Магомед-Касумов М.Г. Базисность системы Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем // Владикавказский математический журнал. 2014. Т. 16, № 3. С. 38-46.

36. Магомед-Касумов М.Г. Приближение функций суммами Хаара в весовых пространствах Лебега и Соболева с переменным показателем // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, № 3. С. 295-304.

37. Магомед-Касумов М.Г. Явление Гиббса для частичных сумм Фурье-Хаара // Математический форум. Т . 5. Исследования по математическому анализу и дифференциальным уравнениям. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011. С. 139-144.

38. Магомед-Касумов М.Г. Явление Гиббса для частичных сумм Фурье-Хаара // Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование: тезисы докладов международной научной конференции (Волгодонск, 4-8 июля 2011 г.). Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011. С. 183.

39. Магомед-Касумов М.Г. Сходимость прямоугольных сумм Фурье-Хаара в пространствах Лебега II Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 16-й Сарат. Зимней школы. Саратов: ООО «Издательство «Научная книга», 2012. С. 112.

40. Магомед-Касумов М.Г. Базисность системы Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов международной научной конференции (Владикавказ, 14-20 июля 2013 г.). Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2013. С. 68-69.

41. Магомед-Касумов М.Г. Приближение функций суммами Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 17-й Сарат. Зимней школы. Саратов: ООО «Издательство «Научная книга», 2014. С. 173-176.

42. Магомед-Касумов М.Г. Приближение кусочно гладких функций суммами Валле-Пуссена // Тезисы докладов Международной научной конференции "Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование"(пос. Дивноморское, 7-13 сентября 2014 года). Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2014. С. 52-53.

43. Соболь И.М. Многомерные квадратные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969. 288 с.

44. Diening L., Hasto P. Muckenhoupt weights in variable exponent spaces. 2008. Preprint.

45. Cruz-Uribe D., Diening L., Hasto P. The maximal operator on weighted variable Lebesgue spaces // Fract. Calc. Appl. Anal. 2011. Vol. 14, no. 3. P. 361-374.

46. Izuki M. Wavelets and modular inequalities in variable LP spaces I I Georgian Math. J. 2008. Vol. 15, no. 2. P. 281-293.

47. Izuki M. Wavelets and modular inequalities in variable LP spaces. 2007. Preprint.

48. Шарапудинов И.И. О равномерной ограниченности в Lf (р = р{х)) некоторых семейств операторов свертки // Матем. заметки. 1996. Т. 59, № 2. С. 291-302.

49. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967. 416 с.

50. Шах-Эмиров Т.Н. О равномерной ограниченности семейства операторов Стеклова в весовых пространствах Лебега с переменным показателем // Вестник Дагестанского научного центра РАН. 2014. Т. 54. С. 12-17.

51. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полна Г. Неравенства. М.: Наука, 1948. 456 с.

52. Зигмунд А. Тригонометрические ряды / под ред. Н.К. Бари. Москва: Издательство «Мир», 1965. Т. 1. 615 с.

53. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. Т. 2. 810 с.