Аппроксимативные свойства сумм Фурье и их средних типа Валле-Пуссена по многочленам Чебышева, ортогональным на дискретных сетках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Шихшинатова, Муминат Магомедрасуловна

• Шихшинатова, Муминат Магомедрасуловна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шихшинатова, Муминат Магомедрасуловна

Введение

Глава I. Оценка функции Лебега дискретных сумм Фурье-Чебышева.

§1.1. Постановка задачи.

§ 1.2. Некоторые факты из теории многочленов Чебышева.

§ 1.3. Вспомогательные результаты.

§ 1.4. Оценка функции Лебега.

Глава II.0 равномерной ограниченности средних Валле-Пуссена для сумм Фурье-Чебышева.

§2.1. Постановка задачи.

§ 2.2. Вспомогательные утверждения.

§ 2.3. Оценки норм операторов Валле-Пуссена.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимативные свойства сумм Фурье и их средних типа Валле-Пуссена по многочленам Чебышева, ортогональным на дискретных сетках»

Актуальность темы. Работа посвящена приближению непрерывных функций суммами Фурье и их средними типа Валле-Пуссена по многочленам Чебышева, ортогональным на дискретных сетках.Теория ортогональных многочленов в последнее время получила интенсивное развитие и нашла многочисленные приложения. В частности, в теоретических и прикладных исследованиях применяются разложения в ряды по ортогональным многочленам. При этом приходится решать следующую промежуточную задачу: для заданной функции / = /(¿) из того или иного класса и выбранной ортонормированной системы {<рп = <рп(Ь)} требуется оценить отклонение частичной суммы £"„(/) = 5'п(/, £) ряда Фурье функции / по системе {<рп} от самой функции /. Эта последняя задача, в свою очередь, приводит к вопросу об оценке функции Лебега для соответствующей системы ор-тонормированных многочленов. На практике в качестве базисов часто применяются классические многочлены, ортогональные на дискретных сетках; именно идея применения разложений по многочленам, ортогональным на сетках для обработки дискретной информации привела П.Л.Чебышева к созданию общей теории ортогональных многочленов. Однако до недавнего времени вопросы, связанные с аппроксимативными свойствами сумм Фурье по многочленам Чебышева, ортогональным на сетках и, особенно, их средних типа Валле-Пуссена оставались малоисследованными. Это, в первую очередь, было связано с отсутствием исследований по изучению асимптотических свойств самих многочленов Чебышева, ортогональных на дискретных сетках. Целенаправленное изучение асимптотических свойств указанных многочленов было начато в работах Шарапудинова И.И., в которых в отдельных случаях получены окончательные результаты и, как следствие, в этих частных случаях решена задача о поведении функции Лебега соответствующих сумм Фурье-Чебышева и их средних типа Валле-Пуссена.

Дель работы

1. Оценить функцию Лебега дискретных сумм Фурье-Чебышева. 2. Исследовать вопрос об ограниченности норм операторов Балле- Пуссена для сумм Фурье-Чебышева.

Научная новизна. Исследованы аппроксимативные свойства сумм Фурье по многочленам Чебышева, образующим ортонормированную систему на конечной равномерной сетке. Получены оценки функции Лебега указанных сумм, которые в определенном смысле носят неулуч-шаемый характер (по порядку). С некоторыми ограничениями доказано, что нормы операторов Валле-Пуссена для сумм Фурье-Чебышева равномерно ограничены в пространстве С[-1,1]

Апробирование работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались: -на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (ДГПУ); -на 12-ой Саратовской математической школе (2002 г.); -на 13-ой Саратовской математической школе (2004 г.); -на конференции профессорско-преподавательского состава ДГПУ

Краткое содержание диссертации. Нам понадобятся некоторые определения и факты, связанные с многочленами Чебышева Л/-) образующими ортогональную систему на сетке Пдг = {0,1,.,./V — 1} с весом

2003 г.) х(аг) = ¿¿(ж, а,/?, ТУ) = р Г(-/У — а: + а)Г(ж + /? + !) Г(]У - х)Г(я + 1) то есть

1) хбПлг где

3 (АГ + п + а + Р)[п] Г(п + а + 1)Г(п + (3 + п'м (ТУ - 1)Н п!Г(п + а + (3 + 1)(2п + а + /? + 1) * и

Эти многочлены представляют собой дискретный аналог классических многочленов Якоби Р^{х) в том смысле, что формула Родрига для этих многочленов ТУ) определяется следующим образом: пусть N-натуральное число, а, (3-произвольные комплексные числа,

П <р(х-к) = {*{ к=о ^ А» р(х)<р(х — 1) . . . ip(x — 71 + 1), при п ^ 1 при п = О, r(N - X + а)Г(а: + 0 + 1) Пх> ~ T(N - Ж)Г(® + 1) р(х) = х{х — N — а) , Ап-конечная разность n-ого порядка, тогда формула ¿^уД" |e(«) nV(« - . (з) определяет при каждом п многочлен степени не выше п. Пользуясь обозначениями

2[о] = lf z[n] = ф - 1). n + i)f (4) формулу (3) можно представить в следующем виде:

N) = -^уД" [q(x){x -N- a)WxW} , (5) где кп = l/(n!(JV- l)N).

Обозначим через (0 ^ п ^ N — 1) многочлены, образующие ортонормированную систему на Плг = {0,1,., N — 1} с весом fi(x), то есть

Введем в рассмотрение суммы Фурье

М = (*,/) = ¿ hr^ (*. N) (6) k=0 порядка n функции / = f(x) по системе {т^'13{x, , где

7) jen коэффициенты Фурье для /. Из (б) и (7) получим Е юш ¿tf'ovN)t^(X,N) = jen к—о Еш)Е{»г1Я"1з?'ож'(».'0. (8) jefi fc=o

При помощи линейной замены переменной получим систему многочленов

•£(*) ^(^(l + z)-^), ортонормированных на системе точек Xj = — 1+^-j, j = 0,1,., N—1, то есть

N—1 Р{Хз)Тп1Ы(ХЗ)ТШ%(ХЗ) = <Wn, j=0 где

Пусть / £ C[iti], где С[хд]-пространство непрерывных функций /(а;), заданных на [—1,1], для которых норма определена следующим образом ||/|j = max |/(ar)|, Pn{f) = Р„(/,ж)-алгеброический l^x^l полином наилучшего приближения к функции / € C[i,i], En(f) = |[/ — Pn(f,x)||, тогда, если п ^ N — 1, то имеем:

1/М - *)| < En(f) [1+ 0*)] • (9) где

О*) = !>(*;)

3=0

-функция Лебега для дискретных сумм Фурье-Чебышева х) по системе {т^Шк^о

Отсюда возникает задача об оценке функции Лебега £>n',N(x) ПРИ х Е [—1,1]. Поведение функции Лебега для различных ортогональных систем исследовалась в работах многих авторов.В частности, задача об оценке функции Лебега L^(x) сумм ряда Фурье по ортогональным многочленам Якоби являлась предметом исследования целого ряда авторов.

Известно [14], что функция L^(x) на интервале (-1,1) имеет порядок роста 0(1пп) при п -> оо, то есть (х) х. Inn (—1 < х ^ 1), причем равномерно относительно — 1 + e^x^l — е для произвольного б > 0. В работе Г.И.Натансона и С.А. Агаханова [3] получен следующий результат: при a,ß > — \ равномерно относительно ж 6 [—1,1] справедливо соотношение

L^(x) ~ 1п[п(1 - хУ^(1 + х)'™ + 1] + + |PnYi WO,

Г 0, а = \ где е(а) = < . Поведение функции Лебега для дискрет

Н» ных сумм Фурье-Чебышева S^'jy (/, х) по системе в случае, когда а = ß = 0 ,0 ^ п ^ a\fN, а > 0 , JV — 2,3,. было исследовано в работе [29] .

В первой главе данной работы мы исследовали поведение функции £ti',n(x) при a,ß > — \ , п = 0(N1/3). Нам удалось получить в определенном смысле неулучшаемую по порядку оценку сверху для функции п к=0

10) х) при и,N —У оо, п = OiN1'*).

Во второй главе в качестве аппарата приближения непрерывных функций рассматриваются средние типа Валле-Пуссена vZ;lN(f,x) = -i-j [s°'£(/,*) + • • • + (/,*)] (li) для сумм Фурье S%'ß(f,x) по многочленам r£ß(x). Равенство (11) можно переписать в следующем виде

N—1 . n+m

V&U,*) = Е ftoM'A^+i Ё (12) j=О к=п где ^ oakfN(x,y) = ¿т^(х)тД?(г/). /=0

Так как из (5) и (7) следует, что V„£(Pn(f),x) = Pn(f,x)1 то нетрудно показать

М - vz£(f,x)\ ^ ЕМ) + K£(Pn(f) -/,*)| • (13)

С другой'стороны, из (12) находим

1 N—1 п+ттг

- /,*)| < En(f)-~7 Е p(*i) Е • тп -+- 1 ' . I j=0 к=п

Сопоставляя (12), (13) и (14) получим

W - v^i(f,x)I < £;„(/) [1 + 1Ю*)11] • (14)

Таким образом задача об оценке отклонения средних типа Валле-Пуссена для сумм Фурье Sfr'x (/, ж) функции / по системе {r£ß О от самой функции / G C[-i,i] > в случае когда х G [—1,1]. сводится к задаче об оценке величины . Эта задача для случая а = ß — О рассматривалась в работе [29].

Во второй главе нами показано, что при определенных условиях на параметры, задающие весовую функцию, средние Валле-Пуссена для сумм Фурье равномерно ограничены на [—1,1] как семейство линейных операторов действующих в пространстве С[1д]. Для общих линейных методов суммирования аналогичные вопросы были исследованы в работе [12], из которой следует ограниченность средних Валле-Пуссена для сумм Фурье-Якоби при — | ^ (3 ^ а < Ограниченность норм операторов Валле-Пуссена для сумм Фурье-Якоби при — 1 < а,(3 ^ 0 исследована в работе [30].

Результаты работы. В первой главе получены оценки сверху функции Лебега £>п'х(х) указанных сумм, которые в определенном смысле носят неулучшаемый характер. В §1.3 этой главы получены некоторые вспомогательные результаты.

Для весовой функции р(х) = ¡1 (^§-^(1 + хдоказана

Лемма 1.3.1. Пусть а, ¡3 > —1 —произвольные действительные числа и — 1 ^ х ^ 1. Тогда справедливо неравенство

1 ( 2 \а / 9 р(х)^с(а,0)—— 1-®+—— 1 + х +

N-1 \ N — 1 \ N — 1

Также доказано неравенство

ТУ - 2)^2"°-^ Г(п + 2)Г(п + а+ (3 + 2) с(а,/?,а)п,

ТУ + п + а + (3)Н(2п + а + /3 + 2) Г(п + а + 1)Г(п + (3 + 1) где а,/? > — 1 — действительные числа, п ^ а > 0.

Лемма 1.3.3. [1] Пусть неотрицательная функция Р(х) определена и непрерывна на отрезке [а,Ь], Н = (Ь — а)/га. Тогда:

1) если -Р(я) монотонно возрастает на [а, 6], то

1 Г ^ -у Т(х)с1х + ^(6);

А:=0

2) если F(x) монотонно убывает на [а, Ь], то ™ 6

1 Г

Y^F{a + kh) ^ - / F{x)dx + F(a). fc=o h{

В §1.4 получена оценка функции Лебега указанных сумм, которые в определенном смысле носят неулучшаемый по порядку характер. Основным результатом первой главы является следующая

Теорема 1.4.1. Пусть a,(3 > — i a > 0, п ^ aN2 , х = cosy?, е(а) = 0, если a = 1/2, е(а) = 1/2, если а ф 1/2,с = с(а,/?,а). Тогда справедлива следующая оценка функции Лебега сумм

Фурье- Чебышева. сЦИ^Ц ЦИ^И pn(V,e) +1) +1]+

СП2 где

J?ll2, a+\ X 1 \ ^ ' 2

1 \а+§ n УЛ*) = max № +1) M VT^i + ГТТ x

1 \/»+i jfe + i

В случае, когда n ^ a TV 5 из теоремы выводится

Следствие 1.4.1. Пусть а,(3 > — — 1 < ® < 1, 0 <п< а//з. Тогда найдется постоянная с = с(а, /3, а), для которой $(*) < с(в,Д'о) [(¿п(п^И + 1) + 1)+п4 (|3^(«)| + |75?11А,(«)|)] .

Во второй главе рассматриваются средние типа Валле-Пуссена для сумм Фурье х) по многочленам Чебышева , образующим

Г , 2з ортонормированную систему на равномерной сетке < х^ = — 1 + —->

N — 1) j0

В начале главы устанавливается, вспомогательный результат, представляющий собой аналог формулы Кристоффеля-Дарбу для сумм вида

V" (]У-1)М к + 1 та+1,0, ута,(3+1( у

2^(М + к + а + 0+1)\Я 2 Хк>" {У)1к>» а именно, доказана

Лемма 2.2.1. Пусть а,Р > — 1, тогда у-х) V44(АГ - 1)МН1 ЛОГ0'^1!^ АО

К —и {и + 1){У + а + р + 2)(АГ - I/ - 1)(дг - 1)М а + ^ + + + а +

И - 1)Ю 1)(2Л? + а + /? + 2) + а + [ (2А + а + £ + 1)(2Л + а + Р + 3) а + Р){у-х)

2 к(к + а + р + 2){2к + а + Р + 2) (2* + а + Р + 1)(2* + а + Р + 3) х

N - 1)W (2k + a + {3 + l){N + k + a + Z?)^"1!

К —-U x

Основным результатом этой главы является доказанная в §2.3

Теорема 2.3.1. Пусть — 1 < а, ¡3 ^ 0, a,b, d —положительные числа а ^ 6), 1 ^ n ^ dN$. Тогда средние Валле-Пуссена = rn ^ равномерно относительно а ^ — ^ о ограничены как линейные операп торы, действующие в пространстве С[— 1,1].

Выводятся следствия

Следствие 2.3.1. Пусть — 1 < ^ 0, а, 6, d — положительные числа, 1 ^ n ^ d-^N, En(f) — наилучшее приближение функции f <Е С[-1,1], тогда

Следствие 2.3.2. Пусть 1 ^ n ^ d\/~N, с = c(d), где с? > 0, тогда

1 ^ i/(n,AT) ^ с.

Здесь v{n,N) = sup JjP*).^ > где верхняя грань берется по всем ал

Qnjiо llVnllJV гебраическим многочленам Qn степени n ^ N — I, не равным нулю тождественно.

Следствие 2.3.3. Пусть / 6 С[—1,1], Еп(/) —наименьшее уклонение функции / от алгебраических многочленов степени п, Рп — произвольный многочлен степени п. Тогда, если п ^ , то найдется такая постоянная с(с1), что - Рп|| < (1 + с)Еп(/) + с||/ - Рп||„, где 11/11 = тах \/(х)\, а ||/||лг = тах хз + ^ = {0,1,.,^-!}.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шихшинатова, Муминат Магомедрасуловна, 2004 год

1. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.

2. Агаханов С.А., Натансон Г.И. Функция Лебега сумм Фурье-Якоби // Вестник Ленинградского ун-та. В. 1, 1968, с. 11-13.

3. Ахмед Н.,Рао К.Г. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Связь. 1987

4. Вагабов И.А. О приближении функций средними Валле-Пуссена // Межвузовский научно-тематический сборник. Махачкала. Вып. 3, 1997, с. 73-77.

5. Бадков В.М. Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье-Якоби // Сиб. Мат. Ж. Т. 9 Вып. 6, 1968, с. 1263-1283.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. ТТ. 1, 2. М.: Наука, 1973, 1974.

7. Бернштейн С.Н. О многочленах, ортогональных на конечном отрезке Полн. собр. соч. Т.2. М.: Изд. АН СССР, 1954.

8. Гелъфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.

9. Gronwall. Uber die Laplacisehe Reine. Math. Ann., 74, 1913. C. 213270.

10. Кашин B.C., Саакян A.A. Ортогональные ряды. M.: Наука, 1984.

11. Касумов Н.М. Дискретный аналог полиномов Лежандра // Известия АН Аз. ССР. Сер. физ.- техн. и матем. наук, Вып. 2, 1980, с. 9-25.

12. Кальней С.Г. Об аналоге теоремы С.М. Никольского для рядов Яко-би // Укр. матем. Ж. Т. 41, № 4, 1991, с. 503-513.

13. Натансон Г. И. Двусторонняя оценка функции Лебега интерполяционного процесса Лагранжа с узлами Якоби // Изв. вузов, математика. № 11, 19672, с. 67-74.

14. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.:Физматгиз, 1962.- 500 с.

15. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1979.

16. Rau H. Uber die Lebesguesehen Konstanten der Reihentwicklungen nach jacobisehen Polynomen. Journ. fur Math., 161, 1929. 237-254.

17. Чебышев П.Л. Об интерполировании (1864). Полн. собр. соч. Т.2. М.: Изд. АН СССР. 1947. С. 357-374.

18. Чебышев П.Л. Об интерполировании величин равноотстоящих (1875). Полн. собр. соч. Т.З. М.: Изд. АН СССР. 1948. С. 66-87.

19. Шарапудинов И.И. Приближение функций суммами Фурье по ортогональным многочленам Чебышева дискретного переменного // М.: Деп. ВИНТИ . Вып. 3137-80. 1980, с. 1-44.

20. Шарапудинов И.И. Функция Лебега частных сумм Фурье по полиномам Хана // Функциональный анализ, теория функций и их приложения. Махачкала. Изд. Даг.гос. ун-та 1982, с. 132-144.

21. Шарапудинов И.И. Некоторые свойства многочленов, ортогональных на конечной системе точек // Изв. вузов. Математика. Вып. 5. 1983, с. 85-88.

22. Шарапудинов И.И. Весовые оценки многочленов Хана // Теория функций и приближений. Тр. Саратовской зимней школы (24 января-5 февраля 1982.

23. Шарапудинов И. И. Асимптотические свойства и весовые оценки многочленов Хана // Изв. вузов. Математика. Вып. 5. 1985, с. 7880.

24. Шарапудинов И. И. Асимптотические свойства ортогональных многочленов Хана дискретной переменной // Матем. сборник. Т. 180. Вып. 9, 1989, с. 1259-1277.

25. Шарапудинов И. И. Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье // Дискретная математика. Т. 2. Вып. 2, 1990, с. 33-44.

26. Шарапудинов И. И. К асимптотическому поведению ортогональных многочленов Чебышева дискретной переменной // Матем. заметки. Т. 48. Вып. 6, 1990, с. 150-152.

27. Шарапудинов И. И. Некоторые вопросы теории ортогональных систем Докторская диссертация. М.: МИАН им. В.А. Стеклова. 1991.

28. Шарапудинов И. И. Асимптотические свойства и весовые оценки многочленов Чебышева-Хана // Матем.сборник. Т.182.Вып.3.с.408 420. 1991.

29. Шарапудинов И. И. Многочлены ортогональные на сетках. Теория и приложения. Махачкала.1997.

30. Шарапудинов И.И., Вагабов И. А. О сходимости средних Валле-Пуссена для сумм Фурье-Якоби // Матем. заметки. Т. 60. №4, 1996, с. 569-586.

31. Шарапудинов И.И. О топологии пространства 1.) // Матем. заметки. Т. 26. № 4, 1979, с. 613-632.

32. Шихшинатова М.М. Оценка функции Лебега для дискретных сумм Фурье-Чебышева // Вестник Дагестанского научного центра РАН. №12, 2002, с. 17-24.

33. Шихшинатова М.М. Оценка функции Лебега дискретных сумм Фурье-Чебышева // Тез. докл. 11-ой Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". Саратов: изд-во СГУ, 2002, с. 230-231.

34. Шихшинатова М.М. Об ограниченности средних Валле-Пуссена для сумм Фурье-Чебышева // Тез. докл. 12-ой Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". Саратов: изд-во СГУ, 2004, с. 207-208.