Аффинные системы функций и фреймы в банаховом пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Терехин, Павел Александрович

• Терехин, Павел Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Терехин, Павел Александрович

Введение 2

1 Фреймы в банаховом пространстве 28

1.1 Предварительные сведения.28

1.2 Фреймы в задаче о представлении функций рядами.34

1.3 Бесселевы системы и двойственность

Бари в банаховом пространстве.44

1.4 Проекционные характеристики фреймов.64

1.5 Линейные алгоритмы разложения по фрейму .80

1.6 Абсолютные системы представления и наилучшее приближение.86

2 Аффинный синтез в пространстве Ь2{Ш.а) 96

2.1 Основные определения.96

2.2 Гипотеза Буи - Лаугесена.102

2.3 Локализация условия Добеши по модулю Ь'Ъй.111

3 Аффинный синтез в пространстве Ьр(Шс1) 116

3.1 Фреймы в задаче аффинного синтеза.116

3.2 Дискретные матричные аналоги средних Соболева.119

3.3 Аффинные фреймы.128

4 Аффинный синтез в пространстве Ь[О,1] 136

4.1 Постановка задачи.136

4.2 Линейный алгоритм аффинного синтеза.140

4.3 Пример аффинной системы класса С°°.159

5 Аффинные базисы в пространствах Ьр и классах £р абсолютно сходящихся рядов Фурье - Хаара 163

5.1 Обозначения и вспомогательные утверждения.163

5.2 Теоремы о равносходимости.176

5.3 Базисность аффинных систем.183

6 Аффинный синтез над кольцом целых р-адических чисел 194

6.1 Определение аффинной системы над кольцом Ър.194

6.2 Аффинные фреймы в пространствах Ьр{Ж,р).203

6.3 Аффинные фреймы в пространстве С(Ър).208

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аффинные системы функций и фреймы в банаховом пространстве»

Вопросы представления функций рядами составляют одну из центральных областей математического анализа. Общая задача о представлении может быть сформулирована следующим образом.

Пусть дана система функций указан класс функций Р, при этом, как правило С и выбран определенный тип сходимости

Т последовательностей функций из класса Р.

Тогда для любой функции / £ ^ требуется найти такую числовую последовательность что справедливо представление ряд в правой части которого Т-сходится: / = Т — Нт^оо хкфк-Несомненный интерес представляет уже тот важный частный случай, при котором класс функций Р является банаховым пространством и Т-сходимость суть сходимость по норме пространства -Р.

Каждое конкретное положительное решение задачи о представлении оказывается полезным хотя бы тем, что позволяет распространить некоторое свойство 5(/) на все функции класса Г, проверив его только для функций системы если, конечно, это свойство наследуется Тпредельной функцией.

Вопросы представления функций рядами естественным образом возникают в задачах вычислительной математики, дифференциальных уравненений и многих прикладных задачах: в теории сигналов, в задачах хранения, передачи и обработки информации и так далее. оо

Истоки задачи о представлении функций рядами находятся в теории ортогональных рядов, в первую очередь - в теории тригонометрических рядов, центральном разделе теории функций. Исторические сведения и многие результаты этой теории собраны в классических монографиях Бари [1] и Зигмунда [2]. Теории ортогональных рядов посвящены книги Качмажа и Штейнгауза [3], Алексича [4], Олевского [5], Кашина и Саакяна [6].

Во второй половине XX века развитие спектральной теории несамосопряженных операторов привело к естественной задаче обобщения результатов теории ортогональных рядов на более общие системы функций. Все большее распространение стали получать более широкие по сравнению с классом ортогональных систем классы систем элементов гильбертова пространства: базисы Бари, базисы Рисса, гильбертовы и бесселевы системы, системы Рисса - Фишера.

В 1952 году Даффином и Шеффером [7], в связи с изучением негармонических рядов Фурье (т. е. рядов экспонент с непериодическим спектром), было введено понятие фрейма. Прошло несколько десятилетий, прежде чем в конце XX века фреймы стали весьма популярны во многом благодаря возникшей теории всплесков и актуальным задачам передачи изображений, теории кодирования и сжатия информации. Задолго до своего недавнего бурного развития и, даже несколько ранее работы Даф-фина, Шеффера, теория фреймов фактически во многом была развита в работах Бари [8], [9], Наймарка [10], Козлова [11]. Некоторые результаты этих работ были впоследствии переоткрыты другими авторами.

В последние десятилетия теория фреймов нашла свое отражение в монографической литературе. Фреймы упоминаются в книге Янга [12]. Подробное изложение общих сведений о фреймах имеется в монографии Добеши [13] (имеется русский перевод [14]). Семь лет тому назад опубликована монография Кристенсена [15], полностью посвященная теории фреймов и содержащая, кроме исчерпывающего изложения теоретического материала, исторические сведения, некоторые указания на практические приложения, а также подробную библиографию. Пять лет назад опубликована книга Новикова, Протасова, Скопиной [16], где фреймы обсуждаются в контексте теории всплесков.

Фреймы тесно связаны не только с системами экспонент, но и с другими системами функций, в первую очередь с всплесками. Напомним, что всплеском называют функцию -ф 6 1/2 (М^), для которой семейство

- к), зех, ке ъй, является ортонормированным базисом пространства Ь2(К.1/).

Теория всплесков возникла в 80-е годы XX века. В настоящее время имеется обширная библиография по данному вопросу. Отметим здесь книги Мейера [17] ([18] - английский перевод), Добеши [13], Чуй [19] ([20] -русский перевод), Хернандеса и Вейса [21], Войтащика [22], Петухова [23], главу 7 нового издания книги Кашина и Саакяна [24] и уже упомянутую книгу Новикова, Протасова и Скопиной [16].

Известно, что как сами всплески, так и порождающие функции кратно-масштабного анализа удовлетворяют определенным весьма жестким условиям. Вопрос об аппроксимативных свойствах инвариантных относительно сдвига подпространств

Уу{ф) = 3 € в пространстве при самых общих условиях на порождающую функцию ф был изучен в фундаментальной работе де Бура, ДеВора и Рона [25]. Близкий вопрос о представляющих свойствах всплескоподобных систем {ф^,к} при минимальных условиях на порождающую функцию ф рассмотрен в работе Филиппова и Освальда [26]. Дальнейшее развитие этот вопрос получил в работах Альдруби, Сана, Танга [27], Чуй, Сана [28], Буи, Лаугесена [29] - [32], Лаугесена [33], [34], Бруна [35]. Именно, объектом исследования в этих работах стали так называемые аффинные системы функций, тесно связанные с представлениями аффинной группы евклидова пространства

Пусть - последовательность невырожденных вещественных

1 х в, матриц, удовлетворяющая условию и пусть Ь - некоторая невырожденная вещественная (I х (1 матрица.

Для функции ф(х), х 6 натурального числа целочисленного вектора к положим

Семейство функций {Фэ,к}]еп,ке.ъ<1 называется аффинной системой, порожденной функцией ф.

Классическим примером аффинных систем являются всплескоподоб-ные семейства функций вида {2°'1/"2гЬ(2^ х — к)} с положительным спектром ] > 0, соответствующие случаю скалярных матриц щ = и единичной матрицы Ъ = е. Заметим, что условие положительности спектра является существенным, но далеко не единственным отличием общей аффинной системы от системы всплесков, где порождающая функция заведомо обязана удовлетворять целому ряду специальных дополнительных условий (см., например, книгу Новикова, Протасова, Скопиной [16]).

Аффинные системы естественным образом возникают в различных областях теории функций и функционального анализа: в теории всплесков, в теории фреймов, в вопросах гармонического анализа при дискретизации сверток и в некоторых других вопросах.

Пусть ^(М^) - некоторое функциональное пространство.

Под задачей аффинного синтеза в пространстве мы будем понимать задачу о представлении произвольной функции / Е ^(М^) посредством ряда по элементам аффинной системы {^¿/с^ем^ег^ сходящегося по норме пространства Р{Ка).

Нт а 1 = О,

1-ЬГУ^

Фо,к(х) = — Ьк).

Принципиально, что задача аффинного синтеза ставится для достаточно общей порождающей функции ф. В частности, не предполагается, что порождающая функция удовлетворяет весьма ограничительным условиям кратно-масштабного анализа.

В настоящей работе задача аффинного синтеза решается на основе предложенного нами понятия фрейма в банаховом пространстве, основанного на обобщении подхода Бари [8], [9] и отличного от известных понятий атомарного разложения и банахова фрейма по Грошенигу [36], (безусловного) фрейма Шаудера по Хану и Ларсону [37], терминологии (frame for Banach space, framing, framing model) Касаззы, Хана и Jlapco-на [38] и других определений фрейма в ситуации банахова пространства, см. Джайн, Кушик, Вашишт [39] и Касазза, Кристенсен, Стоева [40].

Прежде, чем дать соответствующее определение, напомним определение фрейма Даффина - Шеффера [7].

Пусть Н - гильбертово пространство и {</?n}£Li С Н \ {0} - система ненулевых элементов пространства Н. Система называется фреймом, если существуют положительные постоянные А, В > 0 такие, что для любого вектора h Е Н выполняются неравенства

71—1

Одним из основных свойств фреймов является следующая теорема о представлении: для любого вектора Н 6 Н существует числовая последовательность {сп}^! £ ¿2 такая, что

71—1

Последнее представление, вообще говоря, не единственно, но всегда существует двойственный фрейм {(рп}^^, для которого оо

0.1) оо оо

71=1

Теперь перейдем к изложению различных подходов к определению понятия фрейма для случая банаховых пространств. Впервые с достаточной степенью общности вопрос о распространении понятия фрейма Даффина - Шеффера на банаховы пространства был рассмотрен в работе Грошенига [36], датированной 1991 годом. Воспроизведем здесь принадлежащие Грошенигу определения понятий атомарного разложения (atomic decomposition) и банахова фрейма (Banach frame).

Пусть F - банахово пространство. Кроме того, пусть задано некоторое банахово пространство X, состоящее из числовых последовательностей х = {жп}^, относительно которого предполагается, что каждый координатный функционал 1п(х) = хп, п = 1,2,., является непрерывным линейным функционалом на X.

Атомарным разложением банахова пространства F относительно пространства последовательностей X называется упорядоченная пара i) систем {<pn}~ х С F \ {0} и С F* \ {0} ненулевых элементов пространства F и сопряженного к нему пространства F*, соответственно, для которых выполняются следующие условия:

1) для всех / € F числовая последовательность {(/, принадлежит пространству X,

2) существуют положительные постоянные А, В > 0 такие, что для всех / £ F выполняются неравенства

Л||Л|р<Л{(/,Й,)}||х<В||/Ц'„ (0.2)

3) для любого вектора / 6 F справедливо представление оо 71=1

Понятно, что в том случае, когда F = F* = Н - гильбертово пространство и X = 12 неравенства (0.2) из определения атомарного разложения превращаются (с точностью до извлечения квадратного корня из постоянных А и В) в неравенства (0.1) из определения фрейма Даффина

- Шеффера, записанные для системы {(рп}™=1. В этом смысле понятие атомарного разложения является обобщением понятия фрейма.

Заметим, что в общем случае банахова пространства Р неравенства (0.2) не обеспечивают справедливость теоремы о представлении так, как это имеет место для фреймов Даффина - Шеффера. Поэтому выполнение представления (0.3) приходится постулировать дополнительно посредством условия 3).

Следующее определение понятия банахова фрейма обобщает понятие атомарного разложения.

Банаховым фреймом для банахова пространства Р1 относительно пространства последовательностей X называется упорядоченная пара гДе 1 \ {0} - система ненулевых элементов сопряженного пространства Р* и : X —> Р - ограниченный линейный оператор, для которых выполняются следующие условия:

1) для всех / е^ числовая последовательность {(/, принадлежит пространству X,

2) существуют положительные постоянные А, В > 0 такие, что для всех / Е Р выполняются неравенства (0.2),

3) для любого вектора / Е Р справедливо равенство / — £{(/, <Рп)}

Очевидно, что последнее равенство обобщает представление (0.3) из определения атомарного разложения. С другой стороны, в работе Касаз-зы, Хана и Ларсона [38] показано, что содержание понятий атомарного разложения и банахова фрейма одинаково, если система канонических ортов образует базис пространства коэффициентов X. А именно, если ({^п}^!, 5) - банахов фрейм, то ({5£п}^1> - соответствующее атомарное разложение.

Возвращаясь к вопросу о распространении понятия фрейма на случай системы элементов банахова пространства, обратим внимание на возникающую неоднозначность в прочтении двойственности (к, <рп): с одной стороны, можно говорить о выборке значений последовательности непрерывных линейных функционалов на векторе /г, с другой стороны, можно говорить о коэффициентах Фурье непрерывного линейного функционала /г по системе векторов

Первый подход реализуется посредством неравенств (0.2) из определения атомарного разложения. Реализуем здесь второй подход посредством следующих определений.

Пусть X - банахово пространство, состоящее из числовых последовательностей х — Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что пространство последовательностей X удовлетворяет следующему основному требованию: система канонических ортов образует базис в X.

Напомним, что г-ый канонический орт имеет вид £{ = где

- символ Кронекера.

Пространство последовательностей X, удовлетворяющее основному требованию, будем называть модельным пространством, а базис будем называть естественным базисом модельного пространства X.

Каждый непрерывный линейный функционал I на модельном пространстве X однозначно определяется своими значениями {/(б:п)}^=1 на элементах естественного базиса. Поэтому сопряженное пространство X* к модельному пространству X можно отождествить с изометрически изоморфным ему некоторым банаховым пространством У, состоящем из числовых последовательностей у = причем

- общий вид непрерывного линейного функционала на пространстве X.

Пусть Р - некоторое банахово пространство и О — Р* - сопряженное пространство к пространству .Р. Пусть, далее, С Р\{0} - система ненулевых элементов пространства Р. Дадим теперь основное

Определение 0.1. Скажем, что система является фреймом в банаховом пространстве Р относительно модельного пространства оо

71=1

Х} если существуют положительные постоянные А, В > 0 такие, что для любого непрерывного линейного функционала д 6 (7 последовательность его коэффициентов Фурье {(<?, удовлетворяет неравенствам

Обсудим данное определение в контексте понятий фрейма Даффина - Шеффера и атомарного разложения по Грошенигу.

Начнем с того замечания, что если Р = С = Н - гильбертово пространство и X = У = ¿2, то рамочные неравенства (0.4) принимают вид что совпадает с неравенствами (0.1) с точностью до возведения в квадрат и замены постоянных. Таким образом, фреймы Даффина - Шеффера -это в точности фреймы в гильбертовом пространстве Н относительно модельного пространства ¿2 в смысле принятого нами определения 0.1. Поэтому введенное понятие фрейма в банаховом пространстве является обобщением понятия фрейма Даффина - Шеффера.

Сравнивая неравенства (0.2) и (0.4), отметим, что первые представляют собой, в определенном смысле, сэмплинг-теорему и безусловно полезны в вопросах характеризации принадлежности функций конкретным функциональным пространствам в терминах дискретных выборок значений функционалов, а вторые, как сейчас будет показано, имеют непосредственное отношение к задаче о представлении функций рядами.

Теорема 0.1 (о представлении). Пусть - фрейм в банаховом пространстве Р относительно модельного пространства X.

Тогда для любого вектора / 6 ^ найдется числовая последовательность со = {жтг}^ € X такая, что справедливо представление

0.4) оо

71=1

Утверждение теоремы 0.1 показывает, что всякий фрейм {(^,¡1^ в банаховом пространстве Р относительно модельного пространства X является системой представления. Таким образом, рамочные неравенства (0.4) из определения 0.1 автоматически обеспечивают справедливость теоремы о представлении для фреймов в банаховом пространстве так же, как это имеет место для фреймов Даффина - Шеффера (0.1), в отличии от неравенств (0.2) из определения атомарного разложения, где, как уже отмечалось, выполнение соответствующего представления приходится постулировать дополнительно посредством условия 3).

В главе 1 настоящей работы изучается введенное определение 0.1 фрейма в банаховом пространстве относительно модельного пространства числовых последовательностей.

В пункте 1.1 даются некоторые предварительные сведения.

В пункте 1.2 обсуждается связь понятия фрейма в смысле определения 0.1 с упомянутыми выше известными понятиями и указывается универсальная роль данного понятия фрейма в задаче о представлении.

В пункте 1.3 продолжен анализ рамочных неравенств (0.4) из определения 0.1, в том смысле, что каждое верхнее и нижнее неравенство рассматривается отдельно. Получены аналоги результатов Бари [8], [9] о двойственности гильбертовых и бесселевых систем (в терминологии Бари). Установлен ряд проекционных результатов, в частности, получен аналог теоремы Шура о продолжимых системах функций (теорема 1.7) в ситуации абстрактных банаховых пространств. Для абстрактных гильбертовых пространств аналог теоремы Шура получен Новиковым [41].

В пункте 1.4 рассмотрен вопрос: при выполнении каких условий фрейм в банаховом пространстве Р относительно модельного пространства X является непрерывной линейной проекцией базиса {г/^}^ объемлющего банахова пространства Р' I) Р, пространство коэффициентов которого совпадает с исходным модельным пространством: Х(ф) — X?

Такие фреймы названы проекционными. Точнее,

Определение 0.2. Проекционным фреймом назовем такой фрейм банахова пространства Р относительно модельного пространства X, для которого существуют объемлющее банахово пространство Р' Э Р, включающее в себя исходное пространство Р в качестве дополняемого замкнутого подпространства, базис {фп}™=1 пространства Рг, пространство коэффициентов которого совпадает с модельным пространством фрейма: Х(ф) = X, и непрерывный линейный проектор Р : Р' Р из пространства Р' на пространство Р такие, что

Критерий проекционного фрейма получен в пункте 1.4 в следующих терминах.

Определение 0.3. Пусть - фрейм в банаховом пространстве

F относительно модельного пространства X. Обозначим

- пространство коэффициентов нуль-рядов фрейма

Теорема 0.2. Пусть - фрейм в банаховом пространстве Р относительно модельного пространства X.

Тогда {ц?п}™=1 - проекционный фрейм в том и только том случае, когда пространство коэффициентов нуль-рядов N является дополняемым подпространством модельного пространства X.

Если X = /2 - гильбертово пространство, то всякое его подпространство дополняемо и, следовательно, любой фрейм относительно модельного пространства 12 будет проекцией базиса объемлющего гильбертова (так как, по построению, Р' = X) пространства. Поскольку пространством коэффициентов этого базиса является ¿2? то это - базис Рисса. Это означает, что теорема 0.2 является обобщенным аналогом известного проекционного результата Касаззы, Хана, Ларсона [38] и Кашина,

1рп = Рфп, 71=1,2, .

Куликовой [42], который в свою очередь обобщает хорошо известную в теории функций и функциональном анализе теорему Наймарка [10].

В банаховом пространстве не каждое подпространство дополняемо, поэтому имеются препятствия к свойству проекционности фрейма. Основное препятствие возникает уже в геометрии банахова пространства Р, содержащего фрейм, который является проекцией базиса объемлющего пространства. Именно, такое пространство Р1 будет дополняемым подпространством банахова пространства с базисом, что равносильно тому, что пространство Р1 обладает ограниченным аппроксимационным свойством (Пелчинскпй [43] и Джонсон, Розенталь, Циппин [44]). Существуют и другие препятствия геометрического характера, указанные в теореме 1.16 и ее следствии 1.19.

Построен конкретный пример фрейма, который не является проекционным.

Далее, в пункте 1.4 рассматривается вопрос: при выполнении каких условий система представления в банаховом пространстве является непрерывной линейной проекцией базиса объем-лют^его банахова пространства?

- без дополнительных условий на пространство коэффициентов этого базиса.

Теорема 0.3. Пусть С Р1 \ {0} - система представления в банаховом пространстве Р1.

Тогда для существования базиса {фп}^=1 объемлющего банахова пространства Р" Э Р1; включающего в себя пространство Р1 в качестве дополняемого замкнутого подпространства, такого, что рп = Р'фп, п = 1,2,., для некоторого непрерывного линейного проектора Р : Р1' —> Р1 из пространства Р" на пространство Р, необходимо и достаточно, чтобы пространство коэффициентов нуль-рядов М{}р) было дополняемым подпространством пространства коэффициентов Х(<р) этой системы.

Наконец, теоремы 1.17 и 1.18 пункта 1.4 дают, соответственно, внутреннюю характеристику фреймов Хана - Ларсона [37] и обобщение одного проекционного результат Чайа [45], [46].

Отмечается, что все проекционные результаты пункта 1.4 получены на основе единой операторной конструкции.

В пункте 1.5 изучаются линейные алгоритмы разложения по фрейму.

Пусть {(/?n}i£Li - фрейм в банаховом пространстве F относительно модельного пространства X.

Скажем, что имеет место линейный алгоритм разложения по фрейму если существует система {tpn\n=i с G непрерывных линейных функционалов на пространстве F такая, что для любого вектора / G F числовая последовательность {(/, принадлежит пространству X и справедливо представление

Для фреймов Даффина - Шеффера в гильбертовом пространстве всегда имеет место линейный алгоритм.

Теорема 0.4. Пусть - фрейм в банаховом пространстве ^ относительно модельного пространства X.

Тогда для существования линейного алгоритма разложения по фрейму необходимо и достаточно, чтобы этот фрейм являлся проекционным.

В пункте 1.6 рассмотрены абсолютные системы представления из подпространств и получены критерий и признак абсолютной системы представления в терминах величин наилучшего приближения элементами данных подпространств. Результат иллюстрируется на одном простом примере.

В последующих главах 2-6 даются конструкции аффинных фреймов в пространствах Лебега, тем самым указываются конкретные решения задачи аффинного синтеза. оо п= 1

В главе 2 рассматриваются аффинные системы

Фм = | det а^2ф(аух - Ък), з Е N. к Е в пространстве ¿^С®^)-Обозначим

0= [ (Ь

JR^i

- преобразование Фурье функции / € Ь2(Ша) и

- периодизацию функции / относительно решетки ЪЪй.

Будем говорить, что для функции ф выполняется условие Добеши, если существует постоянная В > 0 такая, что для почти всех ( 6 М имеет место неравенство

0.5)

Условие Добеши (0.5) означает, что Рь>{\ф\2) Е

Следующий классический результат о полноте аффинной системы {Фз,к}в пространстве Ь^М.^ принадлежит Добеши [13]: если функция ф Е Ь^Ш1) удовлетворяет условию Добеши и функция \ф(£)\ непрерывна в начале координат, причем |'0(0)1 ф 07 то аффинная система полна в пространстве Ь^Ж.*1).

В недавних работах Буи, Лаугесена [31], [32], получен, в частности, следующий результат: если функция ф Е Х^®^) удовлетворяет условию Рь(\ф\) Е Ь2{ЪС) и имеет отличный от нуля интеграл /ша ф{х) (1х ф 0; то

1) аффинная систелш {Фj,k}jEn,kezd полна в пространстве Ь2(В^),

2) для любой функции / Е Ь2(Ша) найдется числовое семейство {сз,к}такое, что справедливо представление у (у ы2У/2<

Здесь утверждение 2) означает, что имеет место аффинный синтез в пространстве Ь2(Ш.с1) по системе {фj,k}jeN,kezd•

Сравним утверждение 1), точнее те условия, при которых оно имеет место, с классическим результатом Добеши.

Скажем, что для функции ф выполняется условие Буи - Лаугесена, если

Лемма 2.2 пункта 2.1 и следующий за ней пример показывают, что условие Добеши (0.5) существенно слабее условия Буи - Лаугесена (0.6).

Далее, заметим, что условие Буи - Лаугесена гарантирует принадлежность ф G LiÇRd). Наконец, поскольку ф G Li(Kd) и fRd ф(х) dx ф 0, то функция непрерывна и \ф{0)\ ф 0.

Таким образом, утверждение 1) результата Буи, Лаугесена является следствием результата Добеши.

Возникает естественный вопрос: имеет ли место аффинный синтез в пространстве L2(Md) в предположениях результата Добеши?

В работе Буи, Лаугесена [32] была высказана гипотеза, что утверждение 2) останется в силе в предположениях результата Добеши. В пункте 2.2 мы доказываем справедливость гипотезы Буи - Лаугесена, причем в усиленном варианте.

Теорема 0.5. Пусть функция ф G L2(Ra) удовлетворяет условию Добеши и существуют постоянная е > 0 и окрестность Q начала координат такие, что для почти всех £ G О выполняется неравенство

Тогда для любой функции / Е ¿^(К01) найдется числовое семейство {cj,k}jeNkezd такое, что справедливо представление

0.6) > е

2у/2 лег- / оо.

Нам стало известно, что более слабое утверждение недавно получено Буи, Кайблингером и Лаугесеном [47].

Сформулированная теорема показывает, что аффинная система {'Фз,к}зеп,кеъ<1 образует фрейм в пространстве относительно модельного пространства ^(¿г)- Справедливы рамочные неравенства

А\\Дь2т < зир^ 1(/,^)|2)1/2 < В\\ДЬ2т.

Наконец, заметим, что условия теоремы 0.5 немного слабее условий гипотезы Буи - Лаугесена. Действительно, мы не требуем непрерывности функции в начале координат. Если же функция непрерывна в начале координат и 1^(0)1 ^ 0, то в силу сохранения знака функции в окрестности точки непрерывности, > £ в некоторой окресности Г2 начала координат. Поэтому из условий гипотезы Буи - Лаугесена следуют условия теоремы 0.5.

В пункте 2.3 мы устанавливаем еще более сильный результат, основанный на локализации условия Добеши по модулю Ъ'Ъа.

Скажем, что для функции ф Е Ь2 (К.^) выполняется локализованное условие Добеши, если существуют положительная постоянная С > 0 и окрестность П начала координат такие, что для почти всех £ £ О имеет место неравенство т-ъщ2 <с\Ш2- (о.г)

Неравенство (0.7) представляет собой локализованное по модулю Ь'Ъй (поскольку учитываются значения функции ф(£) лишь в окрестностях О — Ь'к, к Е точек решетки

Ь'Ъй) условие Добеши Рь>(\ф\2) 6 £«> (№<*). Последнее условие вместе с условием отделимости, т. е. > £ > 0 для почти всех ( 6 П, гарантируют выполнение локализованного условия Добеши. Поэтому, при выполнении условий теоремы 0.5 локализованное условие Добеши выполняется. Однако, в общем случае (без условия отделимости) неравенство (0.7) и условие Добеши (0.5) независимы.

Теорема 0.6. Пусть функция ф £ Ь2(Ш.а) удовлетворяет локализованному условию Добеши и для почти всех £ €Е П из некоторой окрестности О начала координат выполняется соотношение

Ф(0 Ф 0.

Тогда для любой функции f € 1/2(Мй) найдется числовое семейство такое, что справедливо представление ряд в правой части которого абсолютно сходится по индексу ] оо.

Обозначим X пространство всех числовых семейств с = для которых конечна норма его 11^—-<к&А причем при каждом ; 6 N ряд оо,

Ь2(Ш<1) суммируется (неупорядоченно сходится) по норме пространства Ь2{ или, что равносильно, безусловно сходится.

Теорема 0.6 показывает, что аффинная система {Ф],k}jeN,k<=zd образует фрейм в пространстве Ь2 (М6*) относительно модельного пространства X.

В главе 3 рассматриваются аффинные фреймы в пространстве ЬР(Ж*), 1 <р < оо.

Задача аффинного синтеза в пространстве (Мй) получила решение в работах Филиппова, Освальда [26] и Вруна [35]. В [26] показано, что необходимым и достаточным условием положительного решения задачи аффинного синтеза при р = 1 является условие отличия от нуля интеграла от порождающей функции ф: ф{х) йх Ф 0.

В [35] этот результат уточнен в следующем смысле: доказано, что синтезирующий оператор £ : X —> ^(К1*), определяемый равенством сюръективен для пространства X всех числовых семейств {с^}^^^, удовлетворяющих условию

Е^^а,!-1/2 1с7 а:| < оо.

В случае произвольного р € (1, оо) в работе Филиппова, Освальда [26] показано, что если функция ф е Ь\ П Ьр{Жй) по-прежнему имеет отличный от нуля интеграл и удовлетворяет дополнительному условию ф{х)\ < С\х\-*-е, \х\ оо, где £ > 0, то всякая функция / £ Ьр^Ш?) представима в виде суммы безусловно сходящегося ряда

Метод работы [26] не позволял получить информацию о коэффициентах представляющего ряда. Кроме того, условие на рост функции ф слишком ограничительно и не зависит от показателя р. В связи с этим в работе Филиппова, Освальда [26] была высказана гипотеза о справедливости соответствующей теоремы представления при ослаблении дополнительного условия на порождающую функцию:

Рь(\Ф\) = \<1еЬЪ\ V \ф(х - 6*01 е ц1°с.

1ш

Справедливость этой гипотезы была доказана автором в 1999 году. В работе Буи, Лаугесена [31] были постоены аппроксимирующие функцию / € ЬР(М?) агрегаты вида

При этом система {ф^} является аффинной системой, порожденной функцией ф* 6 Ьд(Жс1), 1/р + 1/д — 1, удовлетворяющей условию Рь(\ф*\) 6 Ь^Ш'). Однако конструкция работы [31] не предоставляла ряда по аффинной системе. В последствии, в работе Буи, Лаугесена [32], в предположениях гипотезы Филиппова - Освальда [26], была получена конструкция, указывающая искомый представляющий ряд по аффинной системе. В [32] отмечалось, что соответствующая теорема получена ранее автором.

В этой главе мы устанавливаем дальнейшее обобщение условия Рь{\Ф\) £ Р1рС- А именно, таким более общим условием является р-бесселевость системы сдвигов {ф(х — Ък)}^^

Пусть А = {А} - некоторое счетное индексное множество.

Семейство элементов {ф\}\е& банахова пространства Р называется бесселевой систелюй в пространстве Р относительно модельного пространства 1Р(А), короче, р-бесселевой системой, если существует положительная постоянная М > 0 такая, что для любого неперрывного линейного функционала д € С? семейство его коэффициентов Фурье {(д,Ф\)}\еА удовлетворяет неравенству

На основании следствия 1.1 теоремы 1.4 главы 1 семейство {тД\}лел является р-бесселевой системой в том и только том случае, когда существует положительная постоянная М > 0 такая, что для любого числотакие, что вого семейства {сд} € ¿Р(Л) выполняется неравенство

В частности, система сдвигов {ф(х — Ьк)}к^ является р-бесселевой системой в пространстве если существует постоянная М > О такая, что для любого числового семейства {ск} 6 выполняется неравенство

IIЕ^^-мо

Теорема 0.7. Пусть ф Е Ьх Г) 1<р<оо, идЕ Ьч(№.а), 1/р +

1/д = 1. Длл ] е N и I: 6 обозначим д,Фьк) = / 9{х)ф3-гк{х) йх = / (7(3?) | - Мг) сЬ

- коэффициенты Фурье функции д по элементам аффинной системы {Фj,k}j(EF!, кеъа ■

Пусть, далее, система сдвигов {ф(х — Ьк)}кеявляетсяр-бесселевой системой в пространстве Ьр(М.а).

Тогда имеет место предельное соотношение

1/9 ф{х) с1х

ИрИь, (несформулированная теорема устанавливается на основе изученых в пункте 3.2 условий ограниченности и сходимости дискретных матричных аналогов средних Соболева, т. е. результата дискретизации свертки д* фа д(х + у)\&еЬа\ф(ау)с1у в узлах х = а~гЬк, к Е решетки а~1ЪЪа, а - матричный параметр, что дает коэффициенты Фурье функции д Е 1/д(Жа): 1/р + 1 /д = 1, по аффинной системе {ф^^з^кек*'д * фа^а-Чк) = | det а^2(д, ф^), j ЕП, кЕ Ъа.

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает

Теорема 0.8. В предположениях теоремы 0.7 и при выполнении условия ifj{x)dx^ О

JRd справедливы рамочные неравенства

1/9

1Ык(и-) < sup^ldeta//2-1/« \{9^,k)\q) < В|Ы|

Lq с рамочными константами

А= |det&r1/9 ф{х) dx

В = M, где M > 0 - постоянная из условия р-бесселевосгпи системы сдвигов {ф{х — bk)}kezd порождающей функции ф.

Пусть теперь X - банахово пространство всех числовых семейств {cj,k}jeN,kezd■> Для которых конечна норма

Мх = Х;ёК 1**»//^ < ОО.

Пространство X является весовым пространством типа 1\{1Р) и ему изометрически изоморфно посредством диагонального оператора {сз,к} {I а^1/2-1/'9^^}- Поэтому сопряженным к пространству X будет банахово пространство У, являющееся весовым пространством типа ¿оо(^) и состоящее из всех числовых семейств {с^}^^^, для которых конечна норма

1/7

4y = supj6N | det atf'2-1'* QT^ \cjik\q) oo.

Кроме того, система канонических ортов образует базис пространства X. Таким образом, X может быть выбрано как модельное пространство.

Теорема 0.8 показывает, что аффинная система {фj,k}jeN,kez<l образует фрейм в пространстве Ьр(Ша) относительно модельного пространства X. Следовательно, имеет место аффинный синтез.

Теорема 0.9. Пусть функция ф € Ь\ П ЬР(ШЛ), 1 < р < со, имеет отличный от нуля интеграл ф{х) ¿х ф 0.

Пусть, далее, система сдвигов {ф(х — Ьк)}кеЪа является р-бесселевой системой в пространстве Ьр(Ж.а).

Тогда для любой функции / 6 найдется числовое семейство сз,к\зеп,кеъ такое, что оо

0.8) и справедливо представление

0.9)

При этом представление (0.9) имеет место в следующем слшсле: 1) суммируемость: семейство функций {^,кФз,к)зеп,к& суммируется (неупорядоченно сходится) к функции / по норме пространства Ьр(Ша), т.е. для любого е > 0 найдется такой конечный набор индексов /о = {(.7, к)}, что для любого конеччюго набора индексов I э /о выполняется неравенство и,к)ет

2) абсолютная сходимость по индексу 3: оо;

3) безусловная сходимость: при любой нумерации а £ N семейства индексов {(.;', к) кеж, полученный ряд сходится к функции / в пространстве Ьр(Ша).

N х Ъй

Из последней теоремы следует

Теорема 0.10. Пусть функция ф Е Ь\ П Ьр(Ша), 1 < р < оо, имеет отличный от нуля интеграл ф{х) йх ф О и удовлетворяет дополнительному условию Рь(\Ф\) Е Ь1°°.

Тогда для любой функции / Е ЬР(Ж(справедливо представление (0.9), для коэффициентов {cjík}jeN,kezd которого выполняется неравенство (0.8).

Сформулированная теорема показывает справедливость гипотезы Филиппова - Освальда [26] для общих аффинных систем.

В главах 4 и 5 рассматриваются аффинные системы на единичном отрезке.

Пусть функция ф{х), х Е К, имеет носитель эирр ф С [0,1] на единичном отрезке. Для натурального числа п Е N по стандартному представлению п — 2к + j, где к, у - целые числа, удовлетворяющие неравенствам /с > 0 и 0 < < 2А; — 1, положим фп{х) = фк^х)^2к'2ф{2кх-з).

Система функций {Фп}^-г называется аффинной системой, порожденной функцией ф или системой сжатий и сдвигов функции ф.

Здесь, в отличии от предыдущих глав, мы используем обозначение фк,л где индекс к отвечает за сжатие и - за сдвиг, как это принято для системы Хаара.

Задача аффинного синтеза, т. е. задача о представлении функций рядами по элементам аффинной системы исследовалась разными авторами в различных вариантах ее постановки. Классическими примерами аффинных систем служат система Хаара [48] и система Фабера - Шау-дера [49], [50]. В последнее время интерес к изучению представляющих свойств аффинных систем на отрезке продиктован, в первую очередь, теорией периодических всплесков (см. Кашин, Саакян [6] и Новиков, Протасов, Скопина [16]), а также некоторыми вопросами гармонического анализа (дискретизация сверток) и функционального анализа (банаховы фреймы, операторные алгебры).

В главе 4 изучается аффинный синтез в пространстве L = L[0,1]. Доказано, что не существует линейных алгоритмов аффинного синтеза в пространстве Лебега L по аффинной системе относительного модельного пространства хотя соответствующая задача аффинного синтеза имеет положительное решение при самых общих условиях. В то же время, при дополнительных условиях на порождающую функцию аффинной системы, явно указан линейный алгоритм аффинного синтеза в пространстве Лебега, в котором модельным пространством является пространство коэффициентов аффинной системы (теорема 4.1). Этот линейный алгоритм является аналогом ортогонального разложения в ряд Фурье - Хаара. Наконец, построен пример аффинной системы, состоящей из функций класса С°°.

В главе 5 найдены условия базисности аффинных систем в классе £р абсолютно сходящихся (по пачкам) рядов Фурье - Хаара.

В лемме 5.2 дается явный вид биортогонально сопряженной системы.

Установлены теоремы 5.1 и 5.2 о равносходимости соответствующего биортогонального разложения и ортогонального ряда Фурье - Хаара, на основе которых даны условия базисности аффинных систем (теоремы 5.3 и 5.4).

Также обсуждаются условия базисности нестационарных аффинных систем (теорема 5.8).

В последней главе 6 решается задача аффинного синтеза над кольцом целых р-адических чисел Zp.

В пункте 6.1 дано определение аффинной системы на множестве Ър и установлены некоторые вспомогательные утверждения.

В пунктах 6.2 и 6.3 построены аффинные фреймы в пространствах Lp(^Up)i 1 < р < оо, и C(ZP), соответственно.

В заключении поясним формальное строение диссертационной работы. Она состоит из введения, шести глав, разбитых на пункты, и списка литературы. Нумерация определений, теорем, лемм и следствий двойная, независящая от разбиения глав на пункты, которое произведено лишь для тематического разделения текста каждой главы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Терехин, Павел Александрович, 2010 год

1. Н. К. Бари, Тригонометрические ряды, Физматгиз, Москва, 1961.

2. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, тт. 1, 2, Мир, Москва, 1965.

3. С. Качмаж, Г. Штейнгауз, Теория ортогональных рядов, Физматгиз, Москва, 1958.

4. Г. Алексич, Проблемы сходимости ортогональных рядов, ИЛ, Москва, 1963.

5. А. М. Olevskii, Fourier series with respect to general orthogonal systems, Springer, Berlin, 1975.

6. Б. С. Кашин, А. А. Саакян, Ортогональные ряды, Наука, Москва, 1984.

7. R. J. Duffin, А. С. Schaeffer, "A class of nonharmonic Fourier series", Trans. Amer. Math. Soc., 72(1952), 341-366.

8. H. К. Бари, "О базисах в гильбертовом пространстве", ДАН СССР, 54(1946), 383-386.

9. Н. К. Бари, "Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве", Учен. Зап. МГУ. Математика, 4:148 (1951), 69-107.

10. М. А. Наймарк, "Спекральные функции симметрического оператора", Изв. АН СССР. Сер. матем., 4:3 (1940), 277-318.

11. В. Я. Козлов, "О локальной характеристике полной ортогональной нормированной системы функций", Матем. сб., 23:3 (1948), 441474.

12. R. М. Young, An introduction to nonharmonic Fourier series, Academic Press, New York, 1980.

13. I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, SIAM Press, Philadelphia, 1992.

14. И. Добеши, Десять лекций no вейвлетам, Регулярная и хаотическая динамика, Ижевск, 2001.

15. О. Christensen, An introduction to frames and Riesz bases, Birkhauser, Boston, 2003.

16. И. Я. Новиков, В. Ю. Протасов, М. А. Скопина, Теория всплесков, Физматлит, Москва, 2005.

17. Y. Meyer, Ondelettes et operateurs, Hermann, Paris, 1990.

18. Y. Meyer, Wavelets and operators, Cambridge University Press, Cambridge, 1992.

19. С. K. Chui, An introduction to wavelets, Academic Press, New York, 1992.

20. К. Чуй, Введение в вэйвлеты, Мир, Москва, 2001.

21. Е. Hernandez, G. Weiss, A first course on wavelets, CRC Press, Boca Raton, Florida, 1996.

22. P. Wojtaszczyk, A mathematical introduction to wavelets, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

23. А. П. Петухов, Введение в теорию базисов всплесков, Изд-во СПбГТУ, Санкт-Петербург, 1999.

24. Б. С. Кашин, А. А. Саакян, Ортогональные ряды, АФЦ, Москва, 1999.

25. С. de Boor, R. DeVore, A. Ron., "Approximation from shift-invariant subspaces of L2(M.d)", Trans. Amer. Math. Soc., 341(1994), 787-806.

26. У. I. Filippov, P. Oswald, "Representation in If by series of translates and dilates of one function", J. Approx. Theory, 82:1 (1995), 15-29.

27. A. Aldroubi, Q. Sun, W.-S. Tang, "p-frames and shift invariant subspaces of J. Fourier Anal. Appl., 7 (2001), 1-21.

28. С. K. Chui, Q. Sun, "Affine frame decompositions and shift-invariant, spaces", Appl. Comput. Harmon. Anal, 20 (2006), 74-107.

29. H.-Q. Bui, R. S. Laugesen, Spanning and sampling in Li(R) and www.math.uiuc. edu/~lauge sen/public at ions .html, 2004.

30. H.-Q. Bui, R. S. Laugesen, Spanning and sampling in Lebesgue and Sobolev spaces, www.math.uiuc.edu/laugesen/publications.html, 2004.

31. H.-Q. Bui, R. S. Laugesen, "Affine systems that span Lebesgue spaces", J. Fourier Anal. Appl., 11 (2005), 533-556.

32. H.-Q. Bui, R. S. Laugesen, Affine synthesis and coefficient norms for Lebesgue, Hardy and Sobolev spaces, www.math.uiuc. edu/laugesen/publications .html, 2007.

33. R. S. Laugesen, "Completeness of orthonormal wavelet sj^stems for arbitrary real dilations", Appl. Comput. Harmon. Anal., 11 (2001), 455-473.

34. R. S. Laugesen, "On affine frames with transcendental dilations", Proc. Amer. Math. Soc., 135 (2007), 211-216.

35. J. Bruna, "On translation and affine systems spanning L1", J. Fourier Anal. Appl., 12 (2006), 71-82.

36. K. Grochenig, "Describing functions: atomic decompositions versus frames", Monatsh. Math., 112 (1991), 1-41.

37. D. Han, D. R. Larson, "Frames, bases and group representations", Memoirs Amer. Math. Soc., 147 (2000), no. 697, 1-91.

38. P. G. Casazza, D. Han, D. R. Larson, "Frames for Banach spaces", Contemp. Math., 247(1999), 149-182.

39. P. K. Jain, S. K. Kaushik, L. K. Vashisht, "Banach frames for conjugate Banach spaces", Zeit. Anal. Anwendungen, 23:4 (2004), 713-720.

40. P. Casazza, O. Christensen, D. T. Stoeva, "Frame expansions in separable Banach spaces", J. Math. Anal. Appl, 307 (2005), 710-723.

41. С. Я. Новиков, "Бесселевы последовательности как проекции ортогональных систем", Мат&м. заметки, 81:6 (2007), 893-903.

42. Б. С. Кашин, Т. Ю. Куликова, "Замечание об описании фреймов общего вида", Матем. заметки, 72:6 (2002), 941-945.

43. A. Pelczynski, "Any separable Banach space with the bounded approximation property is a complemented subspace of a Banach space with a basis", Studia Math., 40 (1971), 239-242.

44. W. B. Johnson, H. P. Rosenthal, M. Zippin, "On bases, finite dimensional decompositions and weaker structure in Banach spaces", Israel J. Math., 9 (1971), 77-92.

45. W. Czaja, Remark on Naimark's duality, arXiv:math.FA/0410348.

46. W. Czaja, "Remark on Naimark's duality", Proc. Amer. Math. Soc., 136:3 (2008), 867-871.

47. H.-Q. Bui, N. Kaiblinger, R. S. Laugesen, A note on constructing affine systems for L2, www.math.uiuc.edu/laugesen/publications.html, 2008.

48. A. Haar, "Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme", Math. Ann., 69:3 (1910), 331-371.

49. G. Faber, "Uber die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar", Jahresber. Deutsch. Math.-Ver., 19 (1910), 104-112.

50. J. Schauder, "Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen", Math. Zeit., 26:1 (1927), 47-65.

51. H. И. Ахиезер, И. M. Глазмап, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, Наука, Москва, 1966.

52. А. С. Холево, Введение в квантовую теорию информации, МЦНМО, Москва, 2002.

53. И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамо-сопряоюенных операторов в гильбертовом пространстве, Наука, Москва, 1965.

54. Н. G. Feichtinger, К. Gröchenig, "Banach spaces related to integrable group representations and their atomic decompositions, I", J. Funct. Anal, 86 (1989), 305-340.

55. H. G. Feichtinger, K. Gröchenig, "Banach spaces related to integrable group representations and their atomic decompositions, II", Monatsh. Math., 108 (1989), 129-148.

56. O. Christensen, "Atomic decomposition via projective group representations", Rocky Mountain J. of Math., 26:4 (1996), 1289-1312.

57. O. Christensen, С. Heil, "Perturbations of Banach frames and atomic decompositions", Math. Nachr., 185 (1997), 33-47.

58. J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach spaces I: Sequence spaces, Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1977.

59. M. M. Дэй, Нормированные линейные пространства, ИЛ, Москва, 1961.

60. А. Пич, Операторные идеалы, Мир, Москва, 1982.

61. I. Schur, "Uber endliche Gruppen und Hermitische Formen", Math. Zeit., 1 (1918), 183-207.

62. Rademaclier H., "Einige Satze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen", Math. Ann., 87:1-2 (1922), 112-138.

63. E. M. Никишин, "О сходимости некоторых функциональных рядов", Изв. АН СССР, Сер. матем., 31:1 (1967), 15-26.

64. А. М. Олевский, "О продолжении последовательности функций до полной ортонормировапной системы", Матем. заметки, 6 (1969), 737-747.

65. P. G. Casazza, О. Christensen, S. Li, А. Linder, "On Riesz Fischer sequences and lower frame bounds", Zeitschrifi fur Analysis und ihre Anwendungen, 21:2 (2002), 305-314.

66. С. Г. Крейн (ред.) Функциональный анализ, Серия "Справочная математическая библиотека", Наука, Москва, 1972.

67. A. Pelczynski, "Projections in certain Banach spaces", Studia Math., 19 (1960), 209-228.

68. J. Lindenstrauss, "On complemented subspaces of m", Israel J. Math., 5 (1967), 153-156.

69. W. T. Gowers, B. Maurey, "Banach spaces with small spaces of operators", Math. Ann., 307 (1997), 543-568.

70. Н. М. Wark, "The direct sum of Lp (1 < p < oo) is primary", J. London Math. Soc., 75:2 (2007), 176-186.

71. E. M. Galego, "On solutions to the Scliroeder Bernstein problem for Banach spaces", Arch. Math. (Basel), 79:4 (2002), 299-307.

72. P. G. Casazza, "The Schroeder Bernstein property for Banach space", Contemp. Math., 85 (1989), 61-78.

73. W. Orlicz, "Uber unbedingte Konvergenz in Funktionenraumen", Studia Math., 4 (1933), 41-47.

74. G. Weiss, E. Wilson, "The mathematical theory of wavelets", Twentieth Century Harmonic Analysis A Celebration, J.S. Byrnes (ed.), Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2001, 329-366.

75. С. Л. Соболев, Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций, Наука, Москва, 1989.

76. И. Стейн, Г. Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, Мир, Москва, 1974.

77. П. JI. Ульянов, "О рядах по системе Хаара", Матем. сб., 63:3 (1964), 356-391.

78. N. Wiener, "Tauberian theorems", Ann. of Math. (2), 33:1, 1932, 1-100.

79. J. Schauder, "Eine Eigenshaft des Haarschen Orthogonalsystems", Math. Z., 28:1 (1928), 317Ц320.

80. В. И. Голубов, "Ряды по системе Хаара", Итоги науки и техники. Матем. анализ, ВИНИТИ, М., 1971, 109-146.81. 3. А. Чантурия, "О базисах пространства непрерывных функций", Матем. сборник, 88:4 (1972), 589-608.

81. Т. Н. Сабурова, "О базисах в С0,1] типа Фабера- Шаудера", Теория функций и приближений, Тр. 3-й Сарат. зимней школы (Саратов, 1986) Ч. 3, Саратов, 1988, 44-46.

82. A. Cohen, I. Daubechies, P. Vial, "Wavelets on the interval and fast wavelets transform", Appl. Comput. Harmonic Anal, 1 (1993), 54-81.

83. A. Cohen, I. Daubechies, B. Jawerth, P. Vial, "Multiresolution analysis, wavelets and fast algorithms on an interval", C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. 1, 316 (1993), 417-421.

84. L. Andersen, N. Hall, B. Jawerth, G. Peters, "Wavelets on closed subset of the real line", Topics in the Theory and Applications of Wavelets, Academic Press, Boston, 1994.

85. С. K. Chui, J. Wang, "A general framework of compact supported splines and wavelets", J. Approx. Theory, 71 (1992), 263-304.

86. А. П. Петухов, "Периодические всплески", Матем. сборник, 188:10 (1997), 1481-1506.

87. М. Skopina, "Multiresolution analysis of periodic functions", East J. Approx., 3:2 (1997), 203-224.

88. Б. Секефальви-Надь, Ч. Фояш, Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве, Мир, Москва, 1970.

89. J. Cuntz, "Simple C*-algebras generated by isometries", Comm. Math. Phys., 57 (1977), 173-185^

90. B. Eckmann, "Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von Hurwits Radon uber die Komposition quadratischer Formen", Comm. Math. Helv., 15 (1942/43), 358-366.

91. Дж. Шварц, Дифференциальная геометрия и топология, Мир, Москва, 1970.

92. А. А. Кириллов, Элементы теории представлений, Наука, Москва, 1978.

93. D. Lambert, A. Ronveaux, "Toward new solutions of the général Hurwitz problem", J. Phys. A., 25 (1993), 945-948.

94. J. Becerra, A. Rodriguez, "Absolute-valued algebras with involution, and infinite-dimensional Terekhin's trigonométrie algebras", J. Algebra, 293:2 (2005), 448-456.

95. Б. И. Голубов, A. В. Ефимов, В. A. Скворцов, Ряды и преобразования Уолша, Наука, Москва, 1987.

96. К. Гофман, Банаховы пространства аналитических функций, ИЛ, Москва, 1963.

97. В. И. Филиппов, "О сильных возмущениях системы Хаара в пространстве Li(0,1)" // Мате.м. заметки, 66:4 (1999), 596-602.

98. А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани, Теоремы и задачи функционального анализа, Наука, Москва, 1979.100. 3. И. Боревич, И. Р. Шафаревич, Теория чисел, Наука, Москва, 1985.

99. Д. Н. Ленской, Функции в неархимедовски нормированных полях, Изд-во Сарат. ун-та, Саратов, 1962.

100. А. Д. Гвишиани, С. М. Агоян, А. В. Трусов, Элементы неархимедова анализа, Изд-во МГУ, Москва, 1979.

101. И. Р. Шафаревич, Основные понятия алгебры, Ижевская республиканская типография, Ижевск, 1999.

102. В. С. Владимиров, И. В. Волович, Е. И. Зеленов, р-адический анализ и математическая физика, Наука, Москва, 1994.

103. П. А. Терехин, "Неравенства для компонентов суммируемых функций и их представления по элементам системы сжатий и сдвигов", Изв. вузов. Матем., 43:8 (1999), 74-81.

104. П. А. Терехин, "Сжатия и сдвиги функции с ненулевым интегралом", Математика. Механика. Математическая кибернетика, Сборник научн. трудов, Изд-во Сарат. згн-та, Саратов, 1999, 67-68.

105. П. А. Терехин, "Нормированные билинейные отображения евклидовых пространств", Мательатика. Механика. Математическая кибернетика, Сборник научн. трудов, Изд-во Сарат. ун-та, Саратов, 1999, 68-69.

106. П. А. Терехин, "О мультипликативной структуре централизатора мультисдвига в гильбертовом пространстве", Математика. Механика, Сборник научн. трудов, Изд-во Сарат. ун-та, Саратов, 2000, 119-122.

107. П. А. Терехин, "Неравенства Бернштейна для аналитических векторов экспоненциального типа", Математика. Механика, Сборник научн. трудов, Изд-во Сарат. ун-та, Саратов, 2001, 127-130.

108. П. А. Терехин, "Базисы Рисса, порожденные сжатиями и сдвигами функции на отрезке", Матем. заметки, 72:4 (2002), 547-560.

109. П. А. Терехин, "О коэффициентах Фурье по системе р-адических всплесков", Математика. Механика, Сборник научн. трудов, Изд-во Сарат. ун-та, Саратов, 2003, 110-113.

110. П. А. Терехин, "Фреймы в банаховом пространстве и их приложения к построению всплесков", Иссл. по алгебре, теории чисел, функц. анализу и смежным вопросам, Сборник научн. трудов, Изд-во Сарат. ун-та, Саратов, 2003, 65-81.

111. П. А. Терехин, "Еще одно доказательство теоремы Наймарка и фреймы в банаховом пространстве", Математика. Механика,Сборник научн. трудов, Изд-во Сарат. ун-та, Саратов, 2004, 137140.

112. П. А. Терехин, "К вопросу о возмущениях системы Хаара", Машем, заметки, 75:3 (2004), 466-470.

113. П. А. Терехин, "Системы представления и проекции базисов", Ма-тем. заметки, 75:6 (2004), 944-947.

114. П. А. Терехин, "Мультисдвиг в гильбертовом пространстве", Функц. анализ и его прил., 39:1 (2005), 69-81.

115. П. А. Терехин, "Представление посредством инвариантных относительно сдвига подпространств в L2(Md)", Математика. Механика, Сборник научн. трудов, Изд-во Сарат. ун-та, Саратов, 2005, 120124.

116. П. А. Терехин, "Абсолютные системы представления и наилучшее приближение", Иссл. по алгебре, теории чисел, функц. анализу и смежным вопросам, Сборник научн. трудов, Изд-во Сарат. ун-та, Саратов, 2005, 120-127.

117. П. А. Терехин, "Всплески над кольцом целых р-адических чисел", Математика. Механика, Сборник научн. трудов, Изд-во Сарат. ун-та, Саратов, 2006, 133-136.

118. П. А. Терехин, "Условия базисности систем сжатий и сдвигов функций в пространстве Lp0,1]", Изв. Саратовского ун-та. Сер. ма-тем., мех., информ., 7:1 (2007), 39-44.

119. П. А. Терехин, "О компонентах суммируемых функций по элементам семейств функций-всплесков", Изв. вузов. Матем., 52:2 (2008), 53-59.

120. П. А. Терехин, "О сходимости биортогональных рядов по системе сжатий и сдвигов функции в пространстве Ьр0,1]", Матем. заметки, 83:5 (2008), 722-740.

121. П. А. Терехин, "Проекционные характеристики бесселевых систем", Изв. Саратовского ун-та. Сер. матем., мех., информ., 9:1 (2009), 44-51.

122. П. А. Терехин, "Аффинный синтез в пространстве Ь2(Ш.аУ\ Изв. РАН. Сер. матем., 73:1 (2009), 177-186.

123. П. А. Терехин, "Банаховы фреймы в задаче аффинного синтеза", Матем. сборник, 200:9 (2009), 127-146.