Граничные значения весовых пространств Соболева тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Тюленев, Александр Иванович

• Тюленев, Александр Иванович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Тюленев, Александр Иванович

Оглавление

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Весовые функции

1.2 Весовые пространства Соболева на областях

1.3 Весовые пространства Бесова на областях

2 Пространства Бесова переменной гладкости

2.1 Вспомогательные утверждения

2.2 Атомарное разложение функций из пространства BlPrq>r(M",{tk¡m})

2.3 Теоремы вложения для пространств Bj, (Rn, {ífc,m})

2.4 Следы пространств Blvq T{R", {¿¿,т}) на плоскостях

3 Следы весовых пространств Соболева на плоскостях

3.1 Вложение пространства Wp(Mn,7) в пространство

^.гО^Ь.*.})

3.2 Теорема продолжения для пространства B¿ (Rd, {7*;,™})

3.3 Теоремы о следах для пространств H^R"^)^ £ Л'1ос(К"~1)

3.4 Один результат отрицательного характера

4 Следы весовых пространств Соболева на границах некоторых нелипшицевых областей

4.1 Вспомогательные результаты

4.2 Теоремы о следах. Случай 1

4.3 Теоремы о следах. Случай 2

4.4 Приложения к вырождающимся эллиптическим уравнениям

5 Дифференцируемость функций

5.1 Некоторые определения

5.2 Основные теоремы

5.3 Примеры

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Граничные значения весовых пространств Соболева»

Введение

Актуальность темы

Диссертация посвящена изучению следов весовых функциональных пространств Соболева на границах как регулярных, так и нерегулярных областей, некоторым задачам теории пространств функций переменной гладкости, изучению дифференциальных свойств функций из весовых пространств Соболева вблизи границы области. Эти три задачи тесно связаны между собой.

Начнем с краткого обзора литературы относящейся к первой задаче, изучаемой в диссертации.

Задача о следах функциональных пространств типа пространств Соболева и Бесова имеет большую историю. Основополагающей здесь является работа Э. Гальярдо 1957 года [40], где было дано точное описание следов функций из невесовых пространств И^1 (П) при 1 < р < оо на границе дС1 липшицевой области П. Отметим, что работе Э. Гальярдо предшествовала статья [30], в которой аналогичная задача решалась для пространств Ж^С) на области С с гладкой границей.

О. В. Бесовым в 1961 году [1] было дано точное описание следов пространств 1Ур(Мп) при ! € N. р е (1,оо), п > 3 на плоскости размерности (I < га — 1 и пространсв Б® (Кп) при б' > 0 , р, ц 6 [1, оо], п > 2 на плоскости размерности й < п.

Для весовых пространств Соболева характеризация следов была установлена С. В. Успенским в работе [21], в которой было показано, что при р 6 (1,оо) следом пространства Соболева И^Ж", |:г„|п), а < 1р — 1 на

¿_1±а

гиперплоскости является пространство Бесова Вр,р р (М"_1). Таким образом, было обнаружено, что вес влияет на гладкость граничной функции.

В дальнейшем результаты указанных выше работ неоднократно обобщались. Обобщение происходило в нескольких направлениях.

Первое направление связано с обобщением результата С. В. Успенского на случай более общих весовых функций. Укажем работы Г. Н. Яковлева ([28]), Г. А. Калябина ([14]), Б. В. Тандита ([22]), которые внесли существенный вклад в развитие этой тематики. Отметим, что в указанных работах вес априори предполагался зависящим от координат векторов, лежащих в ортогональном дополнении к плоскости, на которой рассматривался след. Оказалось, что если вес, зависящий от координаты хп, имеет нестепенной

характер поведения вблизи нуля, то след уже невозможно охарактеризовать в терминах классических пространств Бесова. Характеризацин следа была получена в терминах пространств Бесова обобщенной гладкости. Пространства обобщенной гладкости типа пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля активно изучались в работах М. J1. Гольдмана, Г. А. Калябина, Н. G. Leopold и других.

В случае, когда вес зависит от всех пространственных координат, задача о характеризацин следов весовых функциональных пространств Соболева ([29]), Бесова и Лизоркина - Трибеля ([42]) рассматривалась лишь для модельных весовых функций типа |х|а при определенных ограничениях на параметр а. Общий случай до сих пор оставался не исследованным.

Второе направление связано с обобщением классических результатов О. В. Бесова и Э. Гальярдо на случай нелиншицевых областей. Не имея возможности перечислить всех математиков, внесших вклад в развитие этого направления, отметим лишь работы М. Ю. Васильчика, С. К. Водопьянова, В. М. Гольдштейна, В. Г. Мазьи, Ю. В. Нетрусова, С. В. Поборчего, М. И. Пупышева, П. Шварцмана, A. Jonsson, Н. Wallin. В этих работах было обнаружено, что геометрия области, на которой рассматривается то или иное функциональное пространство, существенно влияет на вид нормы в пространстве следов. Следует также отметить статью [53], в которой изучались следы весовых функциональных пространств на фрактале в случае веса, являющегося степенью расстояния до этого фрактала. Отметим, что во всех известных на данный момент работах не изучалась задача о точном описании следа весового пространства Соболева, заданного на нелипшицевой области, на границе этой области в случае общего веса (зависящего от всех координат).

Вторая задача, исследуемая в диссертации касается изучения некоторых новых модификаций пространств Бесова переменной гладкости, введенных автором.

Пространства Бесова и Лизоркина-Трибеля переменной гладкости и их обобщения являются предметом интенсивного изучения в последнее двадцатилетие. Укажем лишь работы О. В. Бесова [2], [3], [4], Н. Keinpka [44], [45],[4G] (см. также многочисленные ссылки в этих работах). В большей части известных к настоящему времени работ эти пространства изучались прежде всего с позиции теории распределений. Были доказаны теоремы о различных эквивалентных нормировках этих пространств, теоремы вложения, теоремы об атомарном н вейвлет разложении функций из этих пространств. При некоторых ограничениях на неременную гладкость была получена характеризация пространств функций переменной гладкости через разности. Также при некоторых ограничениях на переменную гладкость были получены теоремы о следах пространств Бесова переменной гладкости на гиперплоскости [51].

Пространства функций неременной гладкости оказываются естественным образом связанными с весовыми пространствами Соболева. В случае веса из класса Макенхаунта, зависящего от всех пространственных координат,

след весового пространства Соболева удается охарактеризовать в терминах некоторых новых модификаций пространств Бесова переменной гладкости, элементами которых являются локально интегрируемые функции.

Известные до настоящего времени пространства функций переменной гладкости оказываются неподходящими для описания следов функций из весовых пространств Соболева (с общим весом). Таким образом, потребовалась модификация существующих пространств неременной гладкости.

Наконец третьей темой, изученной в диссертации, является проблема Ьч дифференцируемое™ функций из весовых пространств Соболева И^П, 7) в граничных точках области О.

Впервые аналогичная задача рассматривалась в одномерном случае для пространств Соболева, элементами которого являются банаховозначные функции, в работе [54]. В многомерном случае проблема дифференцируемое™ в Ьч функций из пространства Соболева рассматривалась в главе 8 монографии [50] для области П = К71-1 х (0, оо) и весов, являющихся степенью расстояния до гиперплоскости. В диссертации получено обобщение некоторых из этих результатов на случай нестепенных весов.

Цель работы. Цель диссертации состоит в нахождении необходимых и достаточных условий не след функции из пространства Соболева с весом, удовлетворяющим условию Макенхаунта, в изучении пространств функций неременной гладкости, являющихся следами весовых пространств Соболева, и приложение полученных результатов к вырождающимся эллиптическим уравнениям.

Методы работы. В работе применяются методы теории функций (интегральные представления через производные и разности), теории весовых функциональных пространств (теорема об ограниченности максимального оператора в весовом пространстве Лебега, неравенства Харди и др.), теории аппроксимации (приближения В - сплайнами).

Научная новизна. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и получены автором. В диссертации получены следующие основные результаты:

• Получена характеризация следов функций из пространства Соболева с весом из класса Макенхаунта, зависящим от всех пространственных координат, на плоскостях. Обнаружено, что следами этих пространств являются новые пространства типа пространств Бесова переменной гладкости.

• Методами сплайн - аппроксимации построена теория некоторых новых пространств типа пространств Бесова переменной гладкости. Доказана теорема об атомарном разложении функций из этих пространств, получены теоремы вложения, теоремы компактности и теоремы о следах на плоскостях для этих пространств неременной гладкости.

• Получена характеризация следов весовых пространств Соболева с весом из класса Макенхаунта на границах некоторых нелиишицевых областей. Дано приложение этих результатов к решению вариационным методом некоторых вырождающихся эллиптических уравнений.

• Доказана теорема о равномерной дифференцируемое™ функций из весового пространства Соболева на части границы области тина куба, в случае когда вес является функцией расстояния до этой части границы.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к теории весовых функциональных пространств и пространств функций переменной гладкости и могут применяться для изучения различных краевых задач для уравнений эллиптического типа с вырождающимися на границе области коэффициентами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах и конференциях:

• На семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики отдела теории функций МИАН под руководством чл.-корр. РАН О. В. Бесова. (2012, 2013, 2014 годы).

• На всероссийской 53 - ей научной конференции МФТИ (Долгопрудный, МФТИ(ГУ), ноябрь 2010).

• На международной конференции FSDONA-2011, посвященной 75-летию со дня рождения профессора X. Трибеля (Tabarz, Germany, September 2011).

• На международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвященной 90-летию со дня рождения чл.-корр. РАН JL Д. Кудрявцева (Москва, РУДН, март 2013).

• На международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространств. Теория приближений", посвященной 105-летию со дня рождения академика С. JT. Соболева (Новосибирск, институт математики им. С. JI. Соболева СО РАН, август 2013).

Структура работы. Работа состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 статей в журналах, входящих в список ВАК. Эти статьи включены в общий список литературы, который приведен в конце диссертации.

Краткое содержание работы.

В первой главе формулируются основные определения и свойства весов, локально удовлетворяющих условию Макенхаупта, приводятся некоторые известные свойства весовых пространств Соболева.

Символом <3™ обозначим куб в М" с ребрами параллельными координатным осям, символом г(С2п) — длину ребра этого куба. Пусть /" := (—1,1)п, Вп — единичный шар в М" с центром в начале координат. Весом назовем произвольную измеримую, почти всюду конечную функцию 7 : К" —)■ (0, +оо). Для измеримого множества £ С Е" положим 7(Е) := \ЫЫЕ)\\.

Определение 1. Пусть р 6 [1, оо) .Будем говорить, что вес 7 € ЛрОС(Ип) в том и только том случае, если

8ир ||7|Ы0Я)||(117^М<У)11)Р < СО-<3">г(оп)<1 1<Э"1Р

При р £ [1,оо] символом ЬГ(М.п, 7) обозначим множество всех классов эквивалентных измеримых функций / с конечной нормой ||7/^р(Кп)||. Для <р € ¿^(Е"), г > 1, I £ N. Л 6 Г, I > 0 положим Дг(й)</?(х) :=

¿(-1)'"^(х + гЛ), Л^М*) := / \А1(Ь')ф)\г(иЛ ' при х- 6 К".

г=0 \ £/" /

Определим также усредненную как по шагу так и по пространственной переменной разность функции (р на кубе <5™

(

I I Д'(Л')^)Г^) •

'ЛЯ .. - -

В первой главе при р, <7 € (1, оо), г £ [1,р], в > 0 вводится три различный весовых пространства Бесова: В®д(К",7), ВрЧГ(Е.п, 7) и /^лг(Мп, 7) как множество классов эквивалентных, локально интегрируемых на К" функций с нормами

11^(^,7)11 := (/

Щ

цд'(ВДМип.7)11

|А|»

1^15^(^,7)11 := (I

" Ё. +

Основным результатом этой главы является

Теорема 1. Пусть я > 0, 1 < р, д < оо, 1 < г < р. Пусть вес 7Р е Л'20С(МП). Тогда при гьг2 £ [1,г]

г ^

1) В* (К", 7) = Вр(]Г2(М.п, 7) и соответствующие иормы эквивалентны,

2) ^(Г.^с^^Г,7)-

В первой главе также строится пример, показывающий, что вложение пункта 2 теоремы 1 вообще говоря является строним.

Отметим, что утверждение, аналогичное утверждению пункта 1) теоремы 1 было доказано ранее в [43] другими методами при условии 7'' & Ле(М"), р € (0, оо), д 6 (0, оо].

Во второй главе вводятся новые модификации пространств типа пространств Бесова переменной гладкости ££ (М", {£&}) и изучаются различные свойства этих пространств. Перейдем к более точным формулировкам.

Определение 2. Пусть с*з > 0, 0:1,0:2 € М, 0ъ<т2 £ [1,+°о], а = (ах, 0:2)5 а = (о~ьсгг). Символом Х"3а обозначим множество кратных последовательностей положительных чисел {¿ь,7Г1} = для

которых выполнены следующие условия:

1) существуют числа с\, с2 > 0 такие, что

/

Т —

тег-

(1)

\ "2

£

<72_

тб2п

V о"- со?

< С22ь-*)аа, при 0 < к < З,т е

(2)

/

(с очевидными модификациями (1) или (2) в случаях о\ = оо или сг2 = оо) 2) для всегс к £

О < ¿¿,га < 2аз1к!т, при т, т. £ |ш, — < 1, г = 1,.., п, (3)

Положим := <§«т := при к £ т =

г=1

(ть .., т„) €

Определение 3. Пусть параметры аз, а = (0:1,0:2), с = (^1,^2) имеют тот же смысл, что и в определении 2. При р £ (1,оо) символом обозначим множество весовых последовательностей таких, что ^ : -»■ (0, +оо), tfc € Ь1™{Шп) при к £ N0 и € г^е

ьк,т = \\ьк\ьр(ди\\ при к е N0,171 е 2". (4)

При этом кратную последовательность, определяемую по формуле (4), будем в дальнейшем называть кратной последовательностью р -ассоциированной с весовой последовательностью {¿¿}.

Пусть I 6 М, р, 9 е (1,оо), г € [1,р], € Символом

Вр (К", {¿й}) обозначим множество классов эквивалентных, локально интегрируемых на М" функций <р с нормой

Ь=1

(5)

Пространства близкие пространствам (Кп, изучались во многих работах. Основные отличия введенных нами пространств £?р9)Г(Кп, {¿ь}) от имеющихся ранее аналогов состоят в следующем:

• Норма в пространстве В1р_9>Г(К", {1к}) определяется посредством разностей, усредненных как по шагу так и по пространственной переменной.

• Благодаря использованию в определении нормы двукратно усредненных разностей, становится возможным естественным образом ослабить ограничения на весовую последовательность {£*}, задающую неременную гладкость.

Эти два отличия позволяют существенным образом расширить область применения пространств функций переменной гладкости. В частности с помощью пространств В1 (ИИп, {£&}) удается охарактеризовать след пространства Соболева с весом, локально удовлетворяющим условию Макенхаупта.

Для дальнейшего нам понадобится понятие В- сплайна. Такие сплайны рассматривались впервые в работе Карри и Шенберга [36]. Символом Л^-1 обозначим £?-сплайн степени / — 1с узлами в точках = г,г 6 {0,1,..,/}. Точнее

АГ'-Чг) := [0,1,.., /](£ — 0+"1!

где мы использовали стандартное обозначение разделенной разности. Для к Е т £ положим

¿=1 /

Будем говорить, что функция (р 6 раскладывается в ряд из

сплайнов N1 т, сходящихся к уз в Ь1°с(Шп), если

V? = в Ь1Г(Шп), где

к-О

у1к(х) = I] Рк,тКт(х) при X € К", А: € М0.

тег"

Пусть е (1,оо), а, € М, а3 > 0, сгг е [1,оо], {^)ТО} € Положим

1

Л'

+ ЧЖшГ) 1 , (6)

У*;=0 \rn6Z™ / )

где нижняя грань в (6) взята по всем сходящимся к функции <р в Ь1гос(М.п)

оо

рядам из сплайнов X) Е к=0 теХ"

Одним из основных результатов второй главы является Теорема 2. Пусть I е М, р, д € (1, оо), 1 < г < р, т = 2, £ при

с*! > —£ > с*2, С1 = гт', С2 = р. Тогда

1) Каждая функция <р € Врчг(М.п, может быть разложена в ряд из сплайнов сходящийся к (р в

и справедливо неравенство

I + 1, Кт}) < {1к})\\,

в котором константа С > 0 не зависит от функции 1р.

2) Если для некоторой кратной последовательности {/?&,то} имеем

£ ЕО^м |

¿=0 \тб2п /

то ряд ^ 1С Рк,т^1к т сходится в /у^ос(Кп) к некоторой функции

к=ОтвЖ"

<р 6 £?р (К", и справедливо неравенство

Мв1р^(жп, {^})|| < сщр, I +1,

е котором константа С > 0 не зависит отп функции <р.

С помощью теоремы 2 в параграфе 3 главы 2 доказываются различные теоремы вложения и теоремы компактности для пространств В1р 1Г(КП, {Д-})-В параграфе 4 доказывается теорема о следе пространства Врд г(Жп, {¿а.}) на плоскости, частным случаем которой является теорема о следе пространства В1 г(М.п, 7) с весом 7Р 6 А1^с(Жп). Отметим, что в такой общности задача о следе ранее не рассматривалась. В работе [51] рассматривалась задача о следах для пространств Бесова переменной гладкости и переменной интегрируемости, норма в которых определяется с помощью преобразования

Фурье. Эта задача была решена при существенно более сильных чем в нашей теореме ограничениях на переменную гладкость

Третья глава является центральной в диссертации.

В первом и втором параграфе мы даем точное описание следов функций из весовых пространств Соболева на плоскости размерности 1 < (1 < п. При р б (1,оо) след удается охарактеризовать при достаточно слабых ограничениях на вес.

При р £ (1,оо) символом И^ (М", -у) обозначим множество классов эквивалентных функций /, имеющих локально интегрируемые на М" обобщенные по Соболеву производные до порядка I 6 N включительно с конечной нормой

||/|И^(]Г,7)||

Н<г

Точку пространства К" рассмотрим как пару (х, у) = (жх,.., а^, х\,.., хп Основное утверждение первых двух параграфов главы 3 состоит в следующем.

Теорема 3. Пусть р £ (1, оо), г € [1,р], 1 < й < п, 7Р € Л'Е0С(КП), I >

г

Тогда

Тг|у=0И^(1Г\7) =5^(^,(7.}), где

1к(х) = 2ыр+ы £ *<£„>) /[ У) йхЛУ пРи к".

(7)

В третьем параграфе рассматривается задача о следе для пространства Соболева И^М™^) на гиперплоскости. Аналогичная задача в случае 7=1, как отмечалось выше, была решена Э. Гальярдо. В работе [11] рассматривалось обобщение этого результата на случай веса,зависящего лишь от координаты хп. Случай р = 1 существенно отличается от случая р £ (1,оо) тем, что даже в невесовом случае не существует линейного оператора продолжения из пространства следов в пространство И^1 (К.", -у) (это показано в [52]). Мы рассматриваем задачу характеризации следа пространства IV/(М", 7) в случае, когда вес 7 £ Лг10С(Мп-1) (вес зависит от переменных ..,а;п_1) и доказываем следующую теорему.

Теорема 4. Пусть вес 7 £ Л^Е"-1). Тогда

Тг к=о ^(М-,7) = МЕ"-\7).

Четвертая глава посвящена описанию следов функций из весовых пространств Соболева на границах некоторых нелипшицевых областей. При этом мы существенно используем методы, развитые в главе 3.

Условимся точку х пространства К" записывать в виде (х',хп). Пусть — область в Мп_1. Пусть функции у'ь^г (фиксированные на протяжении всего параграфа) удовлетворяют условию Липшица с константой Ь > 0. Пусть (р(х') := <р2(х') ~ <Р 1(х') > 0 при х' £ <3, </>(х') = 0 при х' £ Е" \ (7. Далее мы предполагаем, что функция <р ограничена. При г = 1,2 рассмотрим биективные отображения Ф, : К™ —> К", определяемые по формулам Фг(х) :— (х',х„ - <рг(х')) при х £ Мп. Пусть р £ (1, оо), 7Р £ Л^С(М"). При ,¿ = 1,2 положим

£ ^-^^уирике^х'еЖ"-1,

тег—1

С%ту ■■= о ф,"1 {я'С х - Ц1—)) ПРИ N0, т £ г-1

В этой главе дается определение пространства Бесова переменной гладкости, заданного на произвольной области С. Это определение является очевидной модификацией соответствующего определения из главы 2.

Определение 5. Пусть £ > 0. Разбиением Уитни области С, построенным по функции называется множество максимальных

—п—1 —м—1

замкнутых двоичных кубов {С^ } := (^¡Е;)}^ таких, что для

любого ^ £ N

Ф') > ИРИ х' е «Г-

Константа 3 далее предполагается фиксированной.

Мы доказываем, что при фиксированном Е > 0 существует параметр А := Х(п,Ь,Е) (который также фиксируется в дальнейшем) такой, что С? =

оо

и (1 + А)<5"_1(у?, Н), при этом кратность пересечения кубов конечна и

и J

5=1

не зависит от ].

Рассмотрим область заключенную между графиками функций Положим

П := {(х',хп) : ^(х') < хп < <р2{х'),х' £ := МП\П.

Положим также при ] £ N

р; := {(х',хп)|х' £ (1 + Х)Яп-\хп £ Ых'), №(*'))}•

В параграфе 2 мы доказываем следующую теорему. Теорема 5. Пусть р £ (1,оо), 7Р £ ЛрС(М"). Пусть функция / £ ^(^,7). Тогда существует след ^ 9 и для некоторой постоянной

М\ > 0 справедливо неравенство

N*(g) ■= E

/ \p

7P(pn)

J

P"lp

j=l I

I Ых')-д1{х')\с1х' \(1+A у

+

2 oo

i=l j=1

Обратно, если N(g) < oo для некоторой функции g : 9Г2 —» R,

mo существует функция f E Wp (П, -у) такая, что tr \oaf =: д и для некоторой постоянной М2 > 0 справедливо неравенство

11/1^(^7)11 <M2N(g). (9)

В третьем параграфе аналогичный результат устанавливается для пространства И/7)(еП, 7) в предположении, что область G (на которой положительна функция ф) ограничена и имеет липшицеву границу. При этом норма в пространстве следов отличается от нормы в пространстве следов, фигурирующей в теореме 5.

Отметим, что для невесовых пространств Соболева результаты, аналогичные результатам параграфов 2 и 3 были известны ранее (см. [16]). Кроме того, модифицированные методы работы [16] используются в наших рассуждениях.

В четвертом параграфе результаты, полученные в параграфах 2 и 3 используются для решения вариационным методом некоторых граничных задач для вырождающихся эллиптических уравнений.

В пятой главе мы изучаем локальное поведение функций из весовых пространств Соболева Wlv{i1,7) в метрике Lp вблизи границы области. Пространства 7) отличаются от пространств W^Q, 7) видом нормы.

Точнее

-.= Е ipvim^II + Е н^/м^и-

м <1 н=(

Определение 6. Пусть р Е [1, 00], т Е N, О, — липшицева область в R". Буделг говорить, что функция / Е Ll°c(Q) равномерно т раз дифференцируема на множестве Е С сЮ, если при некотором Sq > О существует ф>ункция е : (0,$о) —> (0,+оо) такая, что 1) s(t) —> 0 при t —> +0 и 2) для любой точки х Е Е существует полином P^lf] такой что

sup ||/ - Plx[f}\Lp(5Bn(x)f]m < ex(S)<Г+? при 5 € (OA).

Положим ПЗ {х Е Вп : Xi > 0, г = 1 ,..,d}, Е С Bn~d - компакт. Точку пространства R" обозначим символом х :— (х,х), х € Rd, х Е R"-''. Мы предполагаем, что вес 7 является функцией расстояния до плоскости размерности п — d (1 < d < п), то есть 7(3;) = 7(1^1)-

Определение 7. Пусть р Е [1,оо]. Будем говорить, что вес 7 является р- допустимым, если

при некотором 5 > 0.

Основная теорема, установленная в данной главе состоит в следующем. Теорема 6. Пусть р £ [1,оо], вес 7 является р - допустимым. Тогда каждая функция / € ^(113,7) является равномерно I — 1 раз дифференцируемой на Е.

Глава 1

Предварительные сведения

Эта глава содержит определения и вспомогательные утверждения, которые будут в дальнейшем неоднократно использоваться. Наряду с классическими результатами она содержит некоторые новые утверждения.

На протяжении всей работы мы будем придерживаться следующего соглашения. Мы будем использовать символы С и М для обозначения вообще говоря различных "несущественных" констант, фигурирующих в различных оценках. Иногда мы будем специально подчеркивать (если это важно для понимания оценки), от каких параметров зависит та или иная константа.

1.1 Весовые функции

На протяжении всей работы 1 < р < оо. Символы р' и р- взаимосопряженные показатели Гельдера, то есть ^ + р- = 1 (при этом, если один из этих показателей равен единице, то другой считается равным бесконечности). Будем называть весовой функцией (весом) измеримую функцию 7 : М" —> (О, +оо). Пусть Е СК" — измеримое множество. Символом ЬР(Е) обозначим множество всех классов эквивалентности (состоящих из почти всюду равных функций) с нормой

7 символом ЬР(Е, 7) обозначим множество всех классов эквивалентности (состоящих из почти всюду равных функций) с нормой \\д\Ьр(Е,"/)\\ :=

Символом Су1 в дальнейшем будем обозначать открытый куб в пространстве К" с ребрами, параллельными координатным осям, то есть

:= П(а»,Ьг) (—оо < аг- < Ь» < оо). Через г(СЦп) обозначим длину

J |/(х)|р ¿хI , если 1 < р < оо,

ЫЬр(Щ-

п

ребра куба Qn, а через \Qn\ — его лебегову п - мерную меру. При 5 > О символом SQn обозначим куб, центром которого является центр куба Qn, а длина ребра r{5Qn) := 5{r{Qn)). Два замкнутых куба Q1 и Q2 назовем неперекрывающимися, если Q"О= 0. Для т = (mi,..,mn) Е Ъп, к 6 Z

п

пусть Qkm := nffi. — двоичный открытый куб с длиной ребра 2~к.

i=1 п

Положим Г := fj (—1,1).

i=l

При х Е Rn, Eel" положим х + Е := {у Е R" : у = х + z, z Е Е}. В работе [55] В. С. Рычковым был введен класс весов ЛрОС(М"), обобщающий известный весовой класс Макенхаупта (при 1 < р < оо).

Определение 1.1.1. ([55]) Пусть р е (1,оо), а > 0. Будем говорить, что вес 7 £ A^QR"), если

1 1 ' f

ClZ,a-= sup —- А7(х)dx -—1-1¥{x)dx

Q»:r(Q")<a \Q \ J \Q I J

Qn

< +oo.

Определение 1.1.2. Пусть а > 0. Будем говорить, что вес 7 € Лг1ос(Кп), если существует не зависящая от куба С}71 константа > 0 такая, что для

всех кубов с длиной ребра г(<5") < а

J 'у(х) (1х < С^°1а7(а;) для почти всех точех х € С"

Символом С^да обозначим наименьшую из констант А, для которых справедливо вышеприведенное неравенство.

Замечание 1.1.1. ([55]) При р Е [1,+оо) определение класса АрОС(М") не зависит от выбора параметра а. При различных а > 0 константы С1°ра оцениваются одна через другую.

Замечание 1.1.2. Пусть е = (ех, ...,£„), 7е(х) := ^(ехХх, ...,£пхп). Тогда, если 7 Е ЛрС(И"), то 7, € Л|,0С(М"). При этом константа зависит лишь от р, п, е, С™.

Для измеримого множества Е С К" и веса 7 € ¿'/""(М71) положим 7(Е) :=

/ у(х) йх. р

Определение 1.1.3. Будем говорить, что вес 7 е Л^С(МП), если для любого числа е > 0 существует число 5 € (0,1) такое, что

131 7(0")

для любого куба С}п,\С2Г1\ < 1 и любого измеримого Е с <2™. Замечание 1.1.3. Как доказано в [55]

л£с(мп)= и 4ос(М"). (1.1.2)

1<р<сс

Из (1.1.2) можно вывести (аналогично тому, как это сделано в [57]( гл.5) для весов из класса Л^М")), что для любого веса 7 6 Л^,С(ЕП) существует число 5(7) € (0,1) такое, что для любого куба С2п,\<Эп\ < 1 и любого измеримого множества .Р С <2™ справедливо неравенство

а.«)

7(3") " 413"

в котором константа С > 0 не зависит ни от куба <5™ ни от множества

Замечание 1.1.4. Если в определениях (1.1.1)-(1.1.3) не требовать ограничений на длину ребра куба <3П, мы получим определение весовых классов ЛР(Е") ([57](гл. 5)), при этом соответствующую константу будем обозначать символом С1Т. Таким образом, ЛР(Е") С ЛрОС(Е") при 1 < р < оо.

Пример 1.1.1. Простыми примерами весов из класса ЛР(Е") являются функции 7(х) = |х|а при — п < а < п{р — 1).

Пример 1.1.2. Простыми примерами весов из класса

Лр0С(Еп) являются функции 7(ге) = е0'1' при с > 0. При этом 7 £ Л^0С(Е") \ ЛР(Е").

Лемма 1.1.1. ([55]) Пусть р £ (1,оо), 7 6 Л^ос(Е"). Для любого куба О1 с г(Сдп) = 1 найдется вес 7 Е ЛР(ЕП) такой, что "¡{х) = 7(х) для почти всех х Е <3П и

Сър < сС7°рд

С константой с, зависящей лишь от пир.

Замечание 1.1.5. Из леммы 1.1.1 следует, что локальное поведение весов из класса Лр0С(Еп) при р £ (1,оо) совпадает с локальным поведением весов из класса Макенхаупта ЛР(ЕП). Однако поведение весов из этих классов на бесконечности, как показывают примеры 1.1.1, 1.1.2, существенно различно.

Рассмотрим локальную версию оператора максимальной функции Харди-Литлвуда. Для / Е Ь\°С(Е") и а > 1 положим

М<а[/}(х):= зпр [ \/(х)\йх.

Я"Э(х),г(д»)<а \Ч \ J

Я"

Следующий фундаментальный результат обобщает классический результат Макенхаупта [57](гл.5).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тюленев, Александр Иванович, 2014 год

Литература

[1] О. В. Бесов, "Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения". Тр. МИАН СССР, 60, Изд-во АН СССР, М., 1961, 42-81.

[2] О. В. Бесов, Вложения пространств дифференцируемых функций переменной гладкости, Исследования по теории дифференцируемых функций многих переменных и ее приложениям. Часть 17, Сборник статей, Тр. МИАН, 214, Наука, М., 1997, 25-58.

[3] О. В. Бесов, Эквивалентные нормировки пространств функций переменной гладкости, Тр. МИАН, 243, Наука, М., 2003, 87-95.

[4] О.В. Бесов Интерполяция, вложение и продолжение пространств функций переменной гладкости. Исследования по теории функций и дифференциальным уравнениям, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Сергея Михайловича Никольского, Тр. МИАН, 248, Наука, М., 2005, 52-63.

[5] О.В. Бесов, О пространствах функций нулевой гладкости, Мат. Сб., 203:8(2012), 1077-1090.

[6] О.В. Бесов, К теореме вложения Соболева для предельного показателя, Труды МИАН 284(2014), 81-96.

[7] О.В. Бесов, В.П. Ильин, С.М. Никольский Интегральные представления функций и теоремы вложения. — 2-е издание, переработанное и дополненное. // Москва, Наука. Физматлит, 1996.

[8] де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. Радио и связь, М., 1985.

[9] Ю. А. Брудный, "Пространства, определяемые с помощью локальных приближений", Тр. ММО, 24, Издательство Московского университета, М., 1971, 69-132.

[10] М. Ю. Васильчик, И. М. Пуиышев, "Интегральное представление и граничное поведение функций, определенных в области с пиком", Матем. тр., 13:1 (2010), 23-62.

[11] А. С. Гинзбург, О следах функций из весовых классов, Изв. вузов. Матем., 1984, N 4, ст. 61-64.

[12] В. В. Жиков, О весовых соболевских пространствах. Матем. сб., 189, №8, 27-58(1998).

[13] И. П. Иродова, Диадические пространства Бесова, Алгебра и анализ, 12:2 (2000), 40-80.

[14] Г. А. Калябин, "Задача о следах для весовых анизотропных пространств лиувиллевского типа", Изв. АН СССР. Сер. матем., 41:5 (1977), 11381160.

[15] Калябин Г.А., Письменная С.И. Описание следов функций, производные которых ограничены с некоторыми весами, Математические заметки, 35, №3, (1984), 357-368.

[16] В. Г. Мазья, Ю. В. Нетрусов, С. В. Поборчий, "Граничные значения функций из пространств Соболева в некоторых нелиншицевых областях", Алгебра и анализ, 11:1 (1999), 141-170.

[17] Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2-е изд., перераб. и доп., Наука, М., 1977, 455 с.

[18] С. М. Никольский, П. И. Лизоркин, Н. В. Мирошин, "Весовые функциональные пространства и их приложения: к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений", Изв. вузов. Матем., 1988, № 8, 4-30.

[19] С. Л. Соболев Некоторые применения функционального анализа в математической физике. 3-е издание, М.: Наука, 1988. - 333 с.

[20] И. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, 1973.

[21] С. В. Успенский, "О теоремах вложения для весовых классов", Сборник статей. Посвящается академику Михаилу Алексеевичу Лаврентьеву к его шестидесятилетию, Тр. МИАН СССР, 60, Изд-во АН СССР, М., 1961, 282-303.

[22] Б. В. Тандит О граничных свойствах функций из пространства И^, Исследования по теории диффренцируемых функций многих переменных и ее приложениям. Часть 8, Сборник работ, Тр. МИАН СССР, 156, 1980, с 223-232.

[23] А. И. Тюленев, Характеризация следов весовых пространств Соболева Труды МФТИ. - .2011. - Т.З, №1. - С.141 - 145.

[24] А.И. Тюленев Задача о следах для пространств Соболева с весами типа Макенхаупта, Математические Заметки, 84, № 5, стр. 720-732.

[25] А. И. Тюленев, "Точки дифференцируемое™ функций из весовых пространств Соболева", Теория функций и уравнения математической физики, Сборник статей. К 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Льва Дмитриевича Кудрявцева, Тр. МИАН, 283, МАИК, М., 2013, 257-266.

[26] А.И. Тюленев Описание следов функций из пространства Соболева с весом из класса Макенхаупта. Труды МИАН. 284,(2014), 288-303.

[27] А.И. Тюленев Граничные значения функций из пространства Соболева с весом из класса Макенхаупта на некоторых нелипшицевых областях, ДАН. 456(2014), N4, 288-303.

[28] Г. Н. Яковлев О следах функций, производные которых суммируемы с некоторым весом, Теоремы вложения и их приложения, Наука, М. 1970, 225.

[29] H.Abels, М. Krbec and К. Schumacher On the trace space of a Sobolev space with a radial weight , J. Funct. Spaces Appl. 6, No. 3, 259-276 ,2008

[30] N. Aronszajn, Boundary values of functions with finite Dirichlet integral. Conference on partial differential equations. Studies in eigenvalue problems, 1955. N 14 Univ of Kansas.

- [31] J. Bjorn, ^-Differentials for weighted spaces, Michigan Math.J. 47(2000), 151-161.

[32] V. I. Burenkov. "Sobolev Spaces on Domains" // Teubner-Texte zur Math-einatik Band 137.

[33] de Boor and G. F. Fix, Spline approximation by quasi-interpolants, J. Ap-prox. Theory 8 (1973), 19-45.

[34] A.P. Calderon and A. Zygmund, Local properties of solutions of elliptic partial differential equations, Studia Math. 20(1961), 171-225

[35] S. K. Chua, Extension theorems on weighted Sobolev Spaces, Indiana Math. J. 41(4), pp. 1027-1076,1992.

[36] H. B. Curry and I. J. Schoenberg, On Polya frequency functions. J. Analyse Math. 17 (1966), 71-107.

[37] R.A. DeVore, V.A. Popov, Interpolation of Besov spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 305 (1) (1988) 397-414.

[38] Fabes E., Kenig C., Serapioni R.: The local regularity of solutions of degenerate elliptic equations. Comm. Partial Differential Equations 7 1 (1982), 77-116.

A. Frohlich The Stokes operator in weighted Lq-spaces. I. Weighted estimates for the Stokes resolvent problem in a half space. J. Math. Fluid Mech. 5 (2003), no. 2, 166-199.

E. Gagliardo "Caratterizzazione delle trace sulla frontiera relative ad alcune classi di funzioni in n variabili" // rend. sein. mat. univ. Padova 27(1957), 284-305.

P. Hajlasz and P. Koskela, Sobolev met Poincare // Memoirs AMS, V. 145, N 688. P. 1-101.

D. Haroskee, H.-J. Schmeisser On trace spaces of function spaces with a radial weight:atomic approach. Complex Var. Elliptic Equ. 55 (2010), no. 8-10, 875-896.

L.I. Hedberg and Y. Netrusov, An axiomatic approach to function spaces, spectral synthesis, and Luzin approximation, Mem. Ainer. Math. Soc. 188(882) (2007), 97 pp.

H. Kempka, Generalized 2-inicroIocal Besov spaces, Jena, 2008.

H. Kempka Atomic, molecular and qavelet decomposition of 2-microlocal Besov and Triebel-Lizorki spaces, Funct. Approx. 43, 2010, p.171-208.

Kempka, H., Vybiral, J.: Spaces of variable smoothness and integrability: characterizations by local means and ball means of differences. J. Fourier Anal. Appl. 18 (2012), no. 4, 852-891.

T. Kuhn, H.-G. Leopold, W. Sickel and L. Skrzypczak, Entropy numbers of embeddings of weighted Besov spaces, 2, Proc. Edinb. Math. Soc. 49 (2006), 331-359.

Y. Liang, D. Yang, W. Yuan, Y. Sawano, and T. Ullrich, A new framework for generalized Besov-type and Triebel-Lizorkin-type spaces, Diss. Math. (Rozprawy Mat.) 489, 114(2013).

I. Mitsuo, Y. Sawano, Atomic decomposition for weighted Besov and Triebel-Lizorkin spaces. Math. Nachr. 285 (2012), no. 1, 103-126.

Y. Mizuta, Potential theory in Euclidean spaces. GAKUTO International Series. Mathematical Sciences and Applications, 6. Gakkotosho Co., Ltd., Tokyo, 1996. viii+341 pp.

Moura S.D., Neves J.S., Schneider C. On trace spaces of 2-microlocal Besov spaces with variable integrability. Math. Nachr. 286 (2013), № 11-12, 12401254.

J. Peetre, A countrexample connected with Gagliardo's trace theorem, Comment Math., tomus specialis 2 (1979), 277-282.

[53] I. Piotrowska, Weighted function spaces and traces on fractals, PhD thesis, Friedrich-Schiller-Universit,zi,t Jena, Germany, 2006.

[54] E. T. Poulsen Boundary values in function spaces. - Math. Scand., 1962, 10, №1, p. 45-52.

[55] V.S. Rychkov, Littlewood-Paley theory and function spaces with Al°c -weights, Math. Nachr., 224(2001),145-180.

[56] P. Schvartsman On the boundary values of Sobolev Wlp-functions. Adv. Math. 225 (2010), no. 4, 2162-2221.

[57] E.M. Stein, Harmonic Analysis: Real-Variable methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals,Princeton Univ. Press, Princeton,NJ,1993.

[58] Ullrich, T., Rauhut, H.: Generalized coorbit space theory and inhomogeneous function spaces of Besov-Lizorkin-Triebel type. J. Funct. Anal. 260(11), 32993362 (2011).