Вопросы квантовой динамики частицы в структурах с обычной и фрактальной геометрией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Чуприков, Николай Леонидович

• Чуприков, Николай Леонидович
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Чуприков, Николай Леонидович

Введение

1 Модифицированный метод матрицы переноса

1.1 Введение.

1.2 Постановка задачи.

1.3 Матрица переноса для прямоугольного потенциального барьера и 5 -потенциала.

1.4 Матрица переноса для систем потенциальных барьеров.

1.5 Физический смысл и основные свойства параметров матрицы переноса

1.6 Условия полной прозрачности потенциальных барьеров. Фазовые точки поворота и интерпретация условия прозрачности для фаз.

1.7 Условия резонанса для двухбарьерных систем общего вида.

1.8 Условия появления широких резонансов для систем специального вида

1.9 Связь волновой функции с элементами матрицы переноса.

1.10 Уравнения для элементов матрицы переноса.

1.11 Связь матрицы переноса с решениями уравнения Риккати.

2 Построение асимптотических разложений волновой функции с учетом дифференциальных следствий уравнения Риккати

2.1 Введение

2.2 Уравнение Риккати для элемента р(х) матрицы переноса.

2.3 Асимптотические разложения волновой функции, регулярные в точках поворота конечного порядка.

2.4 Связь параметра разложения с постоянной Планка в точке поворота

2.5 Примеры разложений с учетом одного и двух дифференциальных следствий в случае линейного потенциала.

3 Квантовая динамика частицы в периодических структурах

3.1 Введение

3.2 Рассеяние частицы на одномерной системе N одинаковых потенциальных барьеров.

3.2.1 "Сшитое" общее решение уравнения Шредингера для периодических структур.

3.2.2 Общие соотношения для параметров рассеяния ограниченных периодических структур

3.2.3 Области прозрачности и непрозрачности.

3.2.4 Отражение от полубесконечпой периодической структуры

3.2.5 Связь со спектральной задачей для бесконечной периодической структуры

3.3 Стационарные состояния электрона в периодических структурах во внешнем постоянном однородном электрическом поле.

3.3.1 Постановка задачи.

3.3.2 Функциональное уравнение для волновых функций, удовлетворяющих условию симметрии задачи.

3.3.3 Решение функционального уравнения.

3.3.4 О существовании решений, удовлетворяющих условию симметрии задачи.

3.3.5 Бесконечные периодические структуры.

3.4 Стационарные состояния частицы с переменной массой в периодической структуре во внешнем постоянном однородном электрическом поле

3.4.1 Постановка задачи.

3.4.2 Ванье-штарковский спектр.

3.4.3 Волновые функции и антипересечение уровней.

3.5 Общая характеристика моделей.

4 Рассеяние частицы на идеальных фрактальных потенциалах, заданных на канторовом множестве

4.1 Введение

4.2 Рассеяние частицы на самоподобном фрактальном потенциале (СФП), заданном на канторовом множестве.

4.2.1 Постановка задачи.

4.2.2 Рекуррентные соотношения для СФП соседних уровней.

4.2.3 Скейлинговые свойства матрицы переноса СФП

4.2.4 Функциональное уравнение для матрицы переноса СФП.

4.2.5 Обратные рекуррентные соотношения для параметров рассеяния СФП.

4.2.6 Решение функционального уравнения для матрицы переноса СФП

4.2.7 Обсуждение результатов численных расчетов.

4.2.8 Связь предлагаемого подхода с методом ренормгруппы.

4.3 Рассеяние частицы на СФП, заданном на обобщенном канторовом множестве

4.3.1 Постановка задачи.

4.3.2 Рекуррентные соотношения для параметров рассеяния СФП

4.3.3 Функциональные уравнения для параметров рассеяния СФП

4.3.4 Результаты численных расчетов для первых двух типов СФП

4.3.5 Связь решений функциональных уравнений с характеристиками СФП.

4.3.6 Матрица переноса СФП третьего типа.

4.4 Рассеяние частицы на фрактальном потенциале в форме канторовой лестницы (KJ1).

4.4.1 Постановка задачи.

4.4.2 Рекуррентные соотношения для матрицы переноса KJ

4.4.3 Условие симметрии и функциональное уравнение для матрицы переноса KJ1.

4.4.4 Матрица переноса КЛ с фрактальной размерностью, равной единице.

5 Волновые функции и времена рассеяния для подпроцессов одномерного законченного рассеяния

5.1 Введение.

5.2 Постановка проблемы для одномерного законченного рассеяния

5.3 Волновые функции для подпроцессов прохождения и отражения

5.3.1 Амплитуды падающих волн для подпроцессов.

5.3.2 Волновые функции для прохождения и отражения в случае симметричных потенциальных барьеров.

5.4 Характеристические времена рассеяния для подпроцессов.

5.4.1 Постановка задачи.

5.4.2 Локальное и асимптотическое групповые времена рассеяния

5.4.3 Стартовые точки и асимптотические групповые времена рассеяния для подпроцессов в случае прямоугольного потенциального барьера.

5.4.4 Время пребывания для подпроцессов.

5.4.5 Ларморово время рассеяния для подпроцессов

5.4.6 Загадка эффекта Хартмана

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вопросы квантовой динамики частицы в структурах с обычной и фрактальной геометрией»

Как и в любой теории, в квантовой механике существует ряд моделей, которые служат в ней в качестве иллюстрации возможностей ее математического аппарата, и которые, как принято считать, получили в ней исчерпывающее объяснение. В частности, в квантовой теории рассеяния такой моделью является задача о рассеянии частицы на одномерном прямоугольном потенциальном барьере.

В последние десятилетия, когда стали реальностью искусственные квантово-размерные структуры, выращенные из однородных слоев разных материалов, значение этой модели трудно переоценить, поскольку анализ поперечного электронного транспорта в таких структурах сводится, в конечном счете, к исследованию квантовой динамики частицы в одномерных системах (см., например, [1, 2]). Кроме того, благодаря оптико-механической аналогии, такого же рода задача возникает и в исследованиях распространения света в слоистых средах [3, 4, 5].

Накопленный за это время опыт показал, что для некоторых структур, представляющих интерес как с прикладной, так и с научной точек зрения, даже в одномерном случае исследование квантовой динамики частицы может представлять серьезную математическую проблему. Сюда относится, например, задача о стационарных состояниях электрона в бесконечных периодических структурах во внешнем постоянном однородном электрическом поле (так называемая ванье-штарковская проблема [6, 7]) и задача о рассеянии электрона на идеальных фрактальных потенциалах (см., например, [8, 9]), заданных на канторовом множестве. Решение первой из них важно для развития теории кристаллических твердых тел, а второй - для изучения предельных свойств предфракталов и явления масштабной инвариантности, которая возникает не только в теории фракталов, но и в теории критических явлений и в квантовой теории поля.

Следует еще раз подчеркнуть, что трудности, которые возникают при решении этих двух задач носят чисто математический характер. Так, в первом случае возникает проблема решения уравнения Шредиигера с сингулярным потенциалом. Во втором случае главной проблемой является необходимость точного учета геометрии канторова множества, на котором заданы фрактальные потенциалы.

Но, как оказалось, описание квантовой динамики частицы в одномерных структурах сопряжено не только с математическими трудностями. В частности, это было обнаружено в ходе исследования временных аспектов одномерного законченного рассеяния, при решении так называемой проблемы времени туннелирования [10]. Первоначально эта проблема была поставлена как чисто практическая, ибо нужно было научиться оценивать быстродействие приборов, в которых полупроводниковые ге-тероструктуры и сверхрешетки используются в качестве элементной базы. Однако, как оказалось, проблема определения времени туннелирования в рамках квантовой механики носит принципиальный характер; все существующие определения времени туннелирования приводят к аномально коротким и даже отрицательным по величине временам туннелирования.

Таким образом, несмотря на давнюю историю, при описании квантовой динамики частицы в одномерных системах возникает ряд проблем, решение которых остается актуальным и в настоящее время, причем как с практической, так и с научной точек зрения.

В данной диссертации представлены результаты оригинальных исследований автора, которые проводились с 1990 года по настоящее время и были направлены па решение перечисленных выше вопросов. Помимо введения и заключения диссертация содержит пять глав. В первой и второй главах представлены два новых метода решения уравнения Шредингера. В третьей и четвертой - точные решения ваиье-штарковской проблемы и задачи о рассеянии частицы на идеальных фрактальных потенциалах; обе находились в центре внимания физиков-теоретиков длительное время. И, наконец, в пятой главе представлена новая модель одномерного законченного рассеяния, а также решение на ее основе проблемы времени туннелирования. Кратко остановимся па каждой из этих глав.

В первой главе представлен новый вариант метода матрицы переноса (см.

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]), основной математической конструкцией которого является унимодулярная матрица переноса, представленная как функция трех "тривиальных" параметров - энергии частицы и координат левой и правой границ барьера - и трех "нетривиальных" параметров - вещественных параметров рассеяния, коэффициента прохождения и двух фаз. Для расчета параметров рассеяния получены рекуррентные соотношения, которые позволяют исследовать любые многобарьерные структуры, которые сформированы из гладких потенциальных барьеров, заданных в ограниченных пространственных интервалах, и ¿-потенциалов. Кроме того, на основе рекуррентного соотношения для коэффициента прохождения получены условия прозрачности одномерных структур, которые дают простой способ определения значений параметров полупроводниковых гетероструктур, при которых они прозрачны для электронов с заданной энергией. Это важно для целенаправленного создания гетероструктур с необходимыми свойствами. Следут также подчеркнуть, что именно этот вариант метода матрицы переноса лег в основу математических моделей, представленных в главах 3-5.

Во второй главе представлен новый способ [21, 22, 23] построения асимптотических разложений для решений одномерного уравнения Шредингера (ОУШ) с любым гладким потенциалом, заданном в ограниченном пространственном интервале. Основная идея подхода - использовать для этой цели дифференциальные следствия уравнения Риккати. Если использовано достаточное количество дифференциальных следствий, то получаемые таким способом разложения не имеют особенности в классических точках поворота конечного порядка. Асимптотические разложения, получаемые в данном подходе, справедливы во всей области барьера и в этом случае нет необходимости выводить формулы связи (формулы, связывающие решения в подба-рьерных и надбарьерных областях). Другая важная черта подхода состоит в том, что в нем можно ограничиться лишь главным членом разложения, а точность аппроксимации можно улучшать привлекая новые дифференциальные следствия уравнения Риккати.

Следует заметить, что наш подход [21, 22] был развит независимо от метода [24], где была предложена такая же идея. Кроме того, что оба подхода опубликованы почти одновременно, они существенно отличаются друг от друга. Так, в методе

24] разложения проводятся, как и в методе Вентцеля-Крамерса-Бриллюэпа (ВКБ)

25], по степеням /I, где К - постоянная Планка. В нашем подходе решения уравнения Риккати находятся в виде разложения по степеням некоторой комплексной функции е(х,Н), которая зависит от вида потенциала и которая мала по норме вместе с Я; х - пространственная переменная. Нахождение этой функции сводится к решению алгебраического уравнения (п + 2)-го порядка, где п - число используемых дифференциальных следствий уравнения Риккати.

В третьей главе представлено решение задач о движении электрона в локально периодических и бесконечных периодических структурах, без внешнего поля [26] и при наличии внешнего постоянного однородного электрического поля [27, 28, 29). Длительное время, начиная с работ Ванье [6] и Зака [7], шли жаркие дискуссии о характере энергетического спектра электрона в задаче для бесконечных периодических структур во внешнем электрическом поле (проблема Ванье-Штарка). Трудность ее решения связана с тем, что включение внешнего поля делает потенциал сшпулярпым и портит трансляционную симметрию, которая имеется для бесконечных структур без внешнего поля. Ванье и его последователи, используя однозонное приближение, доказывали, что в этой задаче спектр электрона должен быть дискретным, и позднее это было с хорошей точностью подтверждено в экспериментах, проведенных на сверхрешетках. Напротив, Зак и его последователи доказывали, что электронный спектр в данной задаче должен быть непрерывным, и это подтверждали строгие математические результаты, полученные для достаточно гладких потенциалов. Для потенциалов общего вида, без дополнительных условий па гладкость потенциала, характер спектра в данной задаче не был установлен ни в одном из известных подходов. Кроме того, не были получены решения уравнения, удовлетворяющие условию симметрии задачи, которая, хотя и отлична от трансляционной, но все-таки имеется в задаче с внешним полем.

В разделах 3.3 и 3.4 представлены, соответственно, модели [27] и [28], которые разработаны нами для описания одноэлектронных состояний в периодических структурах во внешнем постоянном однородном электрическом поле. Первая из них базируется на ОУШ - в случае решеток она дает точное решение ванье-штарковскоп проблемы для любого потенциала, ограниченного в пределах одного периода решетки; в частности, в ней определен энергетический спектр электрона и решения ОУШ, удовлетворяющие условию симметрии задачи. Кроме того, эта модель качественно дает энергетический спектр и в ванье-штарковской проблеме для сверхрешеток. Однако для определения точного вида электронных состояний в сверхрешетках эта модель слишком грубая, поскольку кристаллический потенциал в каждом слое сверхрешетки аппроксимируется в ней константой. Во многих работах для этой цели используется уравнение для огибающей волновой функции. В связи с этим, метод, разработанный для анализа электронного спектра в ванье-штарковской проблеме на основе обычного ОУШ, был реализован также и на основе ОУШ для частицы с переменной массой, которое совпадает по форме с уравнением для огибающей волновой функции, полученном в рамках метода эффективной массы. При этом предполагалось, чю ограничения, которые накладывает метод эффективной массы на уравнение для огибающей волновой функции, не распространяются на ОУШ. В частности, в этой модели масса электрона, в отличие от метода эффективной массы, не зависит от энергии частицы. Разработка такой модели оправдана тем, что в работах по ванье-штарковской проблеме для сверхрешеток, которые проводились в рамках метода эффективной массы, зависимость эффективной массы частицы от энергии не учитывалась, ибо, в противном случае, решение задачи становится чрезвычайно сложным.

В четвертой главе представлено решение задачи о рассеянии частицы на самоподобном фрактальном потенциале (СФП) [31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39] - сингулярном потенциале, отличном от нуля в точках канторова множества. Кроме того, здесь представлены результаты, полученные в [40] для потенциала в форме "канто-ровой лестницы". Обе задачи интересны тем, что позволяют, в рамках сравнительно простых моделей, детально исследовать свойство масштабной инвариантности, которая появляется не только в теории фракталов, но и в квантовой теории поля и в теории критических явлений. При этом важно подчеркнуть, что, в отличие от всех известных подходов, которые были разработаны, например, для исследования параметров рассеяния СФП, предлагаемые модели являются точными. Кроме того, они базируются на обычном ОУШ, а не на модельных уравнениях Шредингера, которые возникают в исследованиях квантовой динамики частицы в случайных фрактальных средах. В предлагаемых моделях фрактальная размерность появляется в ходе решения задачи, а не как входной параметр.

В пятой главе представлено решение [41, 42, 43] проблемы времени тунне-лирования. Как известно, в существующих подходах, основанных на стандартной модели одномерного законченного рассеяния (ОЗР), время туннелирования может быть аномально коротким (парадокс Хартмана) и даже отрицательным по величине, что является физически неприемлемым результатом. С нашей точки зрения (см. [44, 45, 46, 47, 48]), трудность определения времени туннелирования в рамках стандартной модели ОЗР связана с тем, что волновой пакет, описывающий состояние электрона в данной задаче в начальный момент времени, распадается после рассеяния на прошедший и отраженный волновые пакеты, локализованные в разных пространственных областях. Как следствие, измерение физических наблюдаемых, характеризующих частицу после рассеяния, предполагает наличие двух детекторов, а вся совокупность (идентичных) измерений естественным образом разбивается на две части - на экспериментальные данные для прошедших частиц и данные для отраженных частиц.

Согласно теории вероятностей, экспериментальные данные, которые получены в разных (неидентичных) сериях измерений, не могут описываться одним и тем же (колмогоровским) вероятностным пространством (см., например, [49, 50]). Отсюда следует, что данные измерений, полученные с помощью двух разных детекторов (хотя и в рамках одного и того же экспериментального исследования ОЗР) не могут описываться общим вероятностным пространством. Поэтому в данной задаче (средние) характеристические времена рассеяния должны вводиться для прошедших и отраженных частиц отдельно, а сам одночастичный процесс одномерного законченного рассеяния должен рассматриваться как объединение двух одночастичных подпроцессов - прохождения и отражения.

Проблема заключается в том, что хронометрирование движения электрона в барьерной области для каждого подпроцесса возможно лишь в том случае, если эволюция каждого из них в этой области известна. Однако стандартная модель ОЗР не предполагает индивидуальное описание подпроцессов на всех этапах рассеяния. Таким образом, решение проблемы времени туннелирования в рамках этой модели невозможно в принципе. Действительно, определение характеристических времен рассеяния, как средних значений для всего процесса, противоречит теории вероятностей, и игнорирование этого факта как раз и приводит в стандартной модели ОЗР к парадоксу Хартмана. С другой стороны, определение времени туннелирования, как характеристики подпроцесса прохождения, в стандартной модели, как уже было сказано, не может быть реализовано из-за отсутствия необходимой информации об эволюции данного подпроцесса в области барьера.

В то же время, как показано в [41, 42, 43] на примере симметричных потенциальных барьеров, уравнение Шредингера позволяет получить необходимую информацию о подпроцессах. Как оказывается, для заданного потенциала и заданного начального условия волновая функция, описывающая ОЗР, может быть единственным образом представлена в виде суммы двух функций, описывающих подпроцессы прохождения и отражения на всех этапах рассеяния. Таким образом, в пятой главе, помимо решения проблемы времени туннелирования, представлена также и новая модель ОЗР.

В диссертационной работе были поставлены следующие задачи

1. Совершенствование метода матрицы переноса, которое предполагает вывод численно устойчивых рекуррентных соотношений для параметров рассеяния и вывод на их основе условий прозрачности для одномерных систем общего вида.

2. Обобщение метода ВКБ с целью построения всюду регулярных асимптотических разложений для решений одномерного уравнения Шредингера с любым гладким потенциалом, заданным в ограниченном пространственном интервале, при наличии классических точек поворота.

3. Развитие нового подхода к решению ванье-штарковской проблемы на базе уравнений Шредингера для частиц с постоянной и переменной массой, пригодного для потенциалов, ограниченных в пределах одной ячейки периодической структуры и в общем случае не являющихся гладкими.

4. Определение параметров рассеяния самоподобного фрактального потенциала и потенциала в форме канторовой лестницы с учетом геометрии каиторова множества, на котором заданы оба потенциала.

5. Развитие кваитовомеханической модели одномерного законченного рассеяния, как объединения подпроцессов прохождения и отражения, предусматривающей описание подпроцессов на всех этапах рассеяния и определение времени рассеяния для каждого подпроцесса.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Чуприков, Николай Леонидович

Основные результаты и выводы

1. Разработай новый вариант метода матрицы переноса, рекуррентные соотношения которого не только численно устойчивы, но и приводят к двум условиям прозрачности для ограниченных двухбарьерных систем общего вида. Введено понятие "фазовых точек поворота" и на этой основе дана наглядная физическая интерпретация условию прозрачности для фаз. Получены условия появления "широких резонансов" в системах, состоящих из трех и четырех одинаковых прямоугольных потенциальных барьеров.

2. Показано, что введение в формализм ВКБ-разложений достаточного количества дифференциальных следствий уравнения Риккати позволяет получать всюду регулярные асимптотические разложения для любого гладкого потенциала с классическими точками поворота, заданного в ограниченном пространственном интервале. При этом достаточно ограничиться лишь главным членом разложения, увеличивая точность приближения за счет включения в формализм новых дифференциальных следствии.

3. Применительно к ванье-штарковской проблеме для кристаллических решеток и сверхрешеток, разработан формализм для нахождения решений уравнения Шре-дингера, удовлетворяющих условию симметрии в соседних ячейках периодической структуры. Показано, что их существование тесно связано с характером энергетического спектра в данной задаче. Для бесконечных периодических структур с любым (не обязательно гладким) потенциалом, ограниченным по величине в пределах одной ячейки, электронный спектр непрерывный и существуют два комплексных независимых решения, удовлетворяющие условию симметрии. Оба решения растут неограниченно в классически недоступной области, и, следовательно, (вещественная) волновая функция, описывающая состояния электрона в бесконечной структуре не удовлетворяет этому условию.

4. Аналогичный подход к решению ванье-штарковской проблемы разработан на основе уравнения Шредингера для частицы с переменной массой. Это уравнение совпадает по форме с уравнением для огибающей волновой функции, которое широко использовалось в работах по ванье-штарковской проблеме для сверхрешеток, но не связано с ограничениями меюда эффективной массы. В частности, в данном подходе масса частицы не зависит от ее энергии. Показано, что если масса частицы является периодической кусочно-постоянной функцией пространственной переменной, то спектр энергии частицы дискретный, а решения уравнения, удовлетворяющие условию симметрии, не существуют. Данный подход может быть использован для решения любых физических задач, где возникает такого же вида уравнение и где его применение обосновано; например, для решения задачи о распространении упругих волн в массивном стержне с периодически меняющимся поперечным сечением, расположенным вертикально в поле силы тяжести. Что касается непосредственно сверхрешеток, то здесь важно заметить следующее. В этом случае (эффективная) масса частицы зависит от энергии. В то же время при любой напряженности внешнего электрического поля решение вопроса об энергетическом спектре и исследовании симметрии данной задачи требует знания эффективной массы частицы на всей шкале энергии, включая запрещенные зоны, где понятие эффективной массы теряет смысл. Поэтому решение обоих вопросов для сверхрешеток, в рамках метода эффективной массы, невозможно в принципе. Это приближение может быть использовано лишь для анализа состояний электрона в ограниченных сверх-регаетках в тех случаях, когда энергия электрона в процессе движения под действием внешнего электрического поля практически не меняется.

5. Показано, что при решении задачи о рассеянии частицы на идеальных фрактальных потенциалах, заданных на канторовом множестве, точный учет геометрии канторова множества приводит к функциональному уравнению для матрицы переноса. Борцовское приближение в принципе не годится для решения задачи рассеяния на таких потенциалах. В случае самоподобного фрактального потенциала получено три решения для матриц переноса. Соответствующее уравнение для канторовой лестницы исследовано лишь в пределе, когда фрактальная размерность канторова множества стремится к единице. Показано, что в этом случае канторова лестница рассеивает как обычная потенциальная ступенька, а самоподобный фрактальный потенциал (согласно двум решениям из трех) -как ¿-потенциал.

6. Разработана новая модель одномерного законченного рассеяния, согласно которой этот квантовый процесс является объединением двух когерентно протекающих подпроцессов - прохождения и отражения. Показано, что линейный формализм квантовой механики позволяет однозначно восстановить всю эволюцию подпроцессов по конечным состояниям подансамблей прошедших и отраженных частиц. Показано, что в случае туннелирования частицы через широкий прямоугольный потенциальный барьер время туннелирования, определенное в рамках данной модели, растет экспоненциально с ростом ширины барьера, а не выходит на насыщение, как это следует из существующей модели одномерного законченного рассеяния.

Положения и результаты, выносимые на защиту

1. Новый вариант метода матрицы переноса, рекуррентные соотношения которого позволяют вычислять параметры рассеяния для любых одномерных многобарьерных систем, состоящих из конечного числа ¿-потенциалов и гладких потенциалов, заданных на ограниченных интервалах. Условия прозрачности двухба-рьерных систем общего вида и их интерпретация на основе введенной в работе концепции "фазовых точек поворота". Результаты исследования условий прозрачности и полученные на их основе условия появления "широких резо-нансов"для систем, состоящих из трех и четырех одинаковых прямоугольных потенциальных барьеров.

2. Метод построения всюду регулярных асимптотических разложений для решений уравнения Шредингера с любым гладким потенциалом с классическими точками поворота, заданным в ограниченном интервале.

3. Метод и результаты исследования параметров рассеяния квантовой частицы на одномерной структуре, состоящей из N одинаковых ячеек, с любым в пределах одной ячейки ограниченным гладким потенциалом или ¿-потенциалом.

4. Метод нахождения решений уравнения Шредингера, удовлетворяющих условию симметрии, в задаче о квантовой динамике электрона в кристаллических решетках и сверхрешетках во внешнем постоянном однородном электрическом поле (ванье-штарковская проблема). Установлен характер электронного спектра для любых потенциалов, ограниченных по величине в пределах одной ячейки периодической структуры, без дополнительных условий на их гладкость.

5. Результаты аналогичного исследования ванье-штарковской проблемы на основе уравнения Шредингера для частицы с переменной массой при условии, что масса частицы является (периодической) кусочно-постоянной функцией пространственной переменной.

6. Новый подход к изучению параметров рассеяния частицы на идеальных фрактальных потенциалах - самоподобном фрактальном потенциале и потенциале в форме канторовой лестницы, - в котором точно учитывается геометрия кан-торова множества. Ф}'нкциональные уравнения для матрицы переноса и параметров рассеяния обоих потенциалов. Три типа решений для матрицы переноса и параметров рассеяния самоподобного фрактального потенциала. Предельные свойства обоих потенциалов, когда фрактальная размерность канторова множества равна единице.

7. Новая квантовомеханическая модель одномерного законченного рассеяния, как объединения подпроцессов прохождения и отражения, разработанная для симметричных потенциальных барьеров на основе уравнения Шредингера и предусматривающая описание эволюции подпроцессов на всех этапах рассеяния.

8. Определения характеристических времен одномерного законченного рассеяния для подпроцессов прохождения и отражения на основе новой модели. Объяснение парадокса Хартмана.

Работа выполнялась в Сибирском физико-техническом институте, Томском государственном университете и Томском государственном педагогическом университете.

В заключение считаю своим долгом выразить огромную благодарность профессору Караваеву Г. Ф. за постоянное внимание к моей научной работе и плодотворные дискуссии. Выражаю свою признательность профессору Шаповалову А. В. за то, что он обратил мое внимание на квантовую задачу о рассеянии частицы на идеальных фрактальных потенциалах. Благодарю своих коллег по работе в Сибирском физико-техническом институте, В.М. Зеличеико, В.Г. Тютерева, В.Н. Чернышева, С.Н. Гриняева и С.И. Борисенко за полезные дискуссии. И, наконец, выражаю слова моей особой благодарности профессору Бухбиндеру И. Л. за поддержку моей научной деятельности и помощь при подготовке к защите диссертации.

Заключение

В диссертационной работе получили развитие старые и разработаны новые методы исследования квантовой динамики частицы в одномерных детерминированных структурах с обычной и фрактальной геометрией. Здесь также представлена альтернативная модель одномерного законченного рассеяния, полностью основанная на линейном формализме квантовой механики. В отличие от стандартной модели этого процесса, новая модель представляет одномерное законченное рассеяние не как единый квантовый процесс, а как объединение двух когерентно протекающих, взаимосвязанных подпроцессов прохождения и отражения, и дает описание этих подпроцессов на всех этапах рассеяния. В случае узких в ^-пространстве волновых пакетов эти (случайные) подпроцессы не совместимы в том смысле, что частица может участвовать только в одном из этих подпроцессов. На основе этой модели предложено решение проблемы времени туннелирования и дано объяснение парадокса Хартмана.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Чуприков, Николай Леонидович, 2010 год

1. Туннельные явления в твердых телах / Под ред. Э. Бурштейна, С. Лундквиста.- М.: Мир, 1973. 421 с.

2. Esaki L. A bird's-eye view on the evolution of semiconductor superlattices and quantum wells//IEEE J. Quantum Electron. 1986. - V.22. - P.1611-1624.

3. Борн M., Вольф Э. Основы оптики. М.:Наука, 1973. - 719 с.

4. Швардбург А. Б. Туннелирование электромагнитных волн парадоксы и пер-спективы//УФН. - 2007. - Т. 177. - Вып.1. - С. 43-58.

5. Jost Bradley М. One-dimensional photonic bandgap structures and the analogy between optical and quantum mechanical tunnelling//Eur. J. Phys. 1997. - Vol. 18. - P.108-112.

6. Wannier G. H. Wave Functions and Effective Hamiltonian for Bloch Electrons in ail Electric Field//Phys. Rev. 1960. - V.117. - P.432-439.

7. Zak J. Stark Ladder in Solids?//Phys. Rev. Lett. 1968. - V.20. - P.1477-1481.

8. Носков M. Д., Шаповалов А. В. Прохождение квантовой частицы через одномерный фрактальный потенциал//Изв. вузов. Физика. 1993. - Т.36. - С.120-127.

9. Нигматуллин Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация//ТМФ.- 1992. Т.90. - С.354-368.

10. Hauge Е. Н. and St0vneng J. A. Tunneling times: a critical review//Rev. of Mod. Phys. 1989. - Vol. 61. - P.917-936.

11. Чуприков Н. Л. Матрица переноса и рассеяние частиц на одномерных потенциальных барьерах произвольной формы. М., 1991. - Деп. в ВИНИТИ N 492-В91.

12. Чуприков Н. Л. Матрица переноса одномерного уравнения Шрединге-ра//Материалы семинара "Нелинейные высокочастотные явления в полупроводниках и полупроводниковых структурах и проблемы их применения в электронике СВЧ". Навои, 1991. - с. 22.

13. Чуприков Н.Л. Матрица переноса одномерного уравнения Шредингера//ФТП.- 1992. Т. 26. - Вып.12. - С.2040-2047.

14. Чуприков Н. Л. Метод матрицы переноса и туннелирование электрона в одномерных квантовых структурах (методическая разработка)//УОП, ТГУ, Томск, 1997. 36 с.

15. Караваев Г. Ф., Чуприков Н.Л. Туннелирование в многобарьерных квантовых стрз'ктурах в условиях полной прозрачности//Изв. вузов, Физика. 1993. - Т. 27. - Вып.З. - С.51-56.

16. Чуприков Н. Л. Временные характеристики одночастичного рассеяния в одномерных системах//ФТП. 1993. - Т. 27. - Вып.5. - С.799-807.

17. Чуприков Н. Л. Уравнения для элементов матрицы переноса одномерного уравнения Шредингера//Изв. вузов, Физика. 1993. - Т. 27. - Вып.6. - С.48-51.

18. Караваев Г. Ф., Чуприков Н. Л. Особые случаи резонансного туннелирования в многобарьерных квантовых структурах//Изв. вузов, Физика. 1993. - Вып.8.- С.49-53.

19. Karavaev G. F., Chuprikov N. L. Special cases of resonant tunneling in N-fold barriar quantum structures//Abstracts, Second International Conf. on Nanometer scale Science and Technology. Moscow, 1993. - P.62-63.

20. Чуприков H. Л. Времена рассеяния частицы на одномерных потенциальных барьерах//ФТП. Т. 31. - 1997. - С.427-431.

21. Chuprikov N. L. The even asymptotic solution of the lD-Schrodinger equation with non-degenarate turning points//Proc. of International Simposium "Physics and Engenering of Milliiniter and Submillimiter Waves". Kharkov, 1994. - P.243-246.

22. Chuprikov N. L. The even asymptotic solution of the lD-Schrodinger equation with N-fold genarate turning points//Proc. of International Simposium "Physics and Engenering of Millimiter and Submillimiter Waves". Kharkov, 1994. - P.240-242.

23. Чуприков H. Л. Равномерная асимптотика решения одномерного уравнения Шредингера с точками поворота. -М., 1994. Деп. в ВИНИТИ, N В94.

24. Maltsev N. Е. New family of asymptotic solutions of Helmholtz equation//J. Math. Phys. 1994. - V.35. - P.1387-1398.

25. Фреман H., Фреман П. У. ВКБ-ириближение. М.:Мир, 1967. - 168 с.

26. Чуприков Н. Л. Туннелирование в одномерной системе N одинаковых потенциальных барьеров//ФТП. 1996. - Т.ЗО. - Вып.З. - С.443-450.

27. Chuprikov N. L. Stationary states of an electron in periodic structures in a constant uniform electrical field//J. Phys.: Condens. Matter. 1998. - V.10. - P.6707-6716.

28. Chuprikov N. L. The role of the spatial dependence of the electron effective mass in forming the Wannier-Stark spectrum//J. Phys.: Condens. Matter. 1999. - V.ll. -P.1069-1079.

29. Чуприков Ii. Л. Движение электрона в периодических структурах в постоянном однородном электрическом иоле//1У Международная конференция по физике полупроводников: Тез. докл., Новосибирск, 1999. С.353.

30. Griffiths David J. and Steinke Carl A. Waves in locally periodic media//American Journal of Physics. 2001. - V.69. - P.137-154.

31. Chuprikov N. L. The transfer matrices of the self-similar fractal potential on the Cantor set//J. Phys. A: Math. Gen. 2000,- V.33. - P.4293-4308.

32. Chuprikov N. L. Corrigendum: "The transfer matrices of the self-similar fractal potential on the Cantor set"//J. Phys. A: Math. Theor. 2008. - V.41. - P.379801.

33. Chuprikov N. L. and Zhabin D. N. The electron tunneling through a self-similar fractal potential on the generalized Cantor set//J. Phys. A: Math. Gen. 2000. -V.33. - P.4309-4316.

34. Чуприков Н. Л., Жабин Д. Н. Электронный транспорт через одномерную фрактальную структуру//Изв. вузов, Физика. 2000. - Т.43. - Вып.12. - С.51-56.

35. Чуприков Н. Л., Жабин Д. Н. Фазовые времена туннелирования электрона через самоподобный фрактальный потенциал//Изв. вузов, Физика. 2000. -Т.43. - Вып.12. - С.57-61.

36. Chuprikov N. L. and Spiridonova О. V. A new type of solution of the Schrodinger equation on a self-similar fractal potential//J. Phys. A: Math. Gen. 2006. - V.39.- P.L559-L562.

37. Chuprikov N. L. and Spiridonova О. V. Corrigendum: "A new type of solution of the Schrodinger equation on a self-similar fractal potential "//J. Phys. A: Math. Theor.- 2008. V.41. - P.409801.

38. Жабин Д. Н., Чуприков II. Л. Матрица переноса фрактального потенциала в форме канторовой лестницы//Изв. вузов, Физика. 2003. - Т.46. - Вып.9. -С.64-70.

39. Chuprikov N. L. Wave functions and tunneling times for one-dimensional transmission and reflection//arXiv:quant-ph/0311090, 2003.

40. Чуприков H. Л. Новый взгляд на квантовый процесс туннелирования: волновые функции для прохождения и отражения//Изв. вузов, Физика. 2006. - Т.49. -Вып.2. - С.3-9.

41. Чуприков Н. Л. Новый взгляд па квантовый процесс туннелирования: характерные времена для прохождения и отражения//Изв. вузов, Физика. 2006. -Т.49. - Вып.З. - С.72-81.

42. Chuprikov N. L. Quantum mechanics as a inacrorealistic theory//arXiv:0705.3578, 2007.

43. Чуприков H. Л. Теорема Воробьева, макроскопический реализм и теория тун-нелирования//Международная конференция по математической физике и ее приложениям, Самара, 2008. - С.208-209.

44. Чуприков Н. Л. О новой математической модели туннелирования//Вестник СамГУ Естественнонаучная серия - 2008. - Вып.8/1. - Т.67. - С.625-633.

45. Хренников А. Ю. Эксперимент ЭПР-Бома и неравенство Белла: квантовая физика и теория вероятностей//ТМФ 2008. - Т. 157. - Вып.1. - С. 99-115.

46. Славнов Д. А. Квантовые измерения и колмогоровская теория вероятно-сти//ТМФ. 2003. - Т.136. - Вып.З. - С. 436-443.

47. Merzbacher Е. Quantum mechanics. John Wiley к. Sons, INC. New York, 1970.

48. Ко D. Y., Inkson J. C. Matrix method for tunneling in heterostructures: Resonant tunneling in multilayer systems//Phys. Rev. B. 1988. - V.38. - P.9945-9951.

49. Ricco В., Azbel M. Ya. Physics of resonant tunneling. The one-dimensional double-barrier case//Phys. Rev. B. 1984. - V.29. - P.1970-1981.

50. Ricco B. and Azbel M. Ya. Tunneling through a multiwell one-dimensional structure//Phys. Rev. B. 1984. - V.29. - P.4356-4363.

51. Peng J., Chen H., Zhou S. A theoretical study of resonant tunnelling in the double-barrier structure//J. Phys.: Condens. Matter. 1989. - V.l. - P.5451-5461.

52. Игнатович В. К. Новый метод решения одномерного уравнения Шрединге-ра//ТМФ. 1991. - Т.88. - С.477-480.

53. Rakityansky S. A. Modified transfer matrix for nanostructures with arbitrary potential profile//Phys. Rev. B. 2004. - V.70. - P.205323(l-16).

54. Sanchez-Soto L. L., Carinena J. F., Barriuso A. G. and Monzon J. J. Vektor-like representation of one-dimensional scattering//Eur. J. Phys. 2005. - V.26. - P.469-480.

55. Бабиков В. В. Метод фазовых функций в квантовой механике. М.:Наука, 1986. - 256 с.

56. Тагер А. С. Размерные квантовые эффекты в субмикронных полупроводниковых структурах и перспективы их применения в СВЧ//Электронная техника. СВЧ. Сер. Электроника СВЧ. 1987. - Т.9. - С.21-34.

57. Захарьев Б. Н., Чабанов В. М., Минеев М. А. Послушная квантовая меха-ника. Новый статус теории в подходе обратной задачи. 2002. Москва. Ин-ститут компьютерных исследований. - 300 с.

58. Luttinger J. М. and Kohn W. Motion of Electrons and Holes in Perturbed Periodic Fields//Phys. Rev. 1955. - V.97. - P.869-883.

59. Bastard G. Superlattice band structure in the envelope-function approximation//Phys. Rev. B. 1981. - V.24. - P.5693-5697.

60. Bastard G. Theoretical investigations of superlattice band structure in the envelope-function approximation//Phys. Rev. B. 1982. - V.25. - P.7584-7597.

61. Cruz у Cruz S. and Rosas-Ortiz O. Position-dependent mass oscillators and coherent states//J. Phys. A: Math. Theor. 2009. - V.42. - P.185205(l-21).

62. Колмогоров A. H., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.:Наука, 1976. - 544 с.

63. Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М.:Наука, 1971. - 544 с.

64. Бом Д. Квантовая теория. М.:Наука, 1965. - 727 с.

65. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.:Наука, 1974. - 752 с.

66. Leo James and Toombs G. A. Resonant tunneling through a symmetric triple-barrier structure//Phys. Rev. B. 1991. - V.43. - P.9944-9946.

67. Федорюк M. В. II. Асимптотические методы в анализе./В сб. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. 1986. - Т.13. - С.93-210.

68. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.:Мир, 1984. - 534 с.

69. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Наука, 1983. - 352 с.

70. Славянов С., Лай В. Специальные функции: единая теория, основанная на анализе особенностей. Санкт-Петербург, Невский Диалект, 2002. - 312 с.

71. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.:Изд-во МГУ, 1982. - 554 с.

72. Hyouguchi T., Adachi S., and Ueda M. Divergence-Free WKB Method//Phys. Rev. Lett. 2002. - V.88. - P.170404(l-4).

73. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников). -М.:Наука, 1973. 832 с.

74. Санкин В. И. Ванье-штарковская локализация в естественной сверхрешетке политипов карбида кремния//ФТП. 2002. - Т.36. - С.769-793.

75. Nenciu G. Dynamics of band electrons in electric and magnetic fields: rigorous justification of the effective Hamiltonians//Rev. Mod. Phys. 1991. - V.63. - P.91-127.

76. Cvetic M. and Pieman L. Scattering states for a finite chain in one dimension//J. Phys. A: Math. Gen. 1981. - V.14. - P.379-382.

77. Гаспарян В. M. Коэффициент прохождения электрона через случайный одномерный потенциал//ФТТ. 1989. - Т.31. - С.162-171.

78. Liu Xue-Wen and Stamp A. P. Resonant tunneling and resonance splitting: The inherent properties of superlattices//Phys. Rev. B. 1994. - V.50. - P.1588-1594.

79. Кособукин В. А. Пропускание и отражение света полупроводниковыми сверхрешетками в области экситонных резонансов//ФТТ. 1992. - Т.34. - С.3107-3118.

80. Wu H., Sprung D. W. L. and Martoreli J. Periodic quantum wires and their quasi-one-dimensional nature//J. Phys. D: Appl. Phys. 1993. - V.26. - P.798-803.

81. Bloch F. Quantum mechanics of electrons in crystals//Z. Phys. 1928. - V.52. -P.555-559.

82. Zener C. A theory of the electrical breakdown of solid dielectrics//Proc. of Royal Society of London. 1934. - V.145. - P.523.

83. Avron J. E., Zak J., Grossman A., Guntlier L. Instability of the continuous spectrum: The N-band Stark ladder//J. Math. Phys. 1977. - V.18. - P.918-921.

84. Krieger J. B. and Iafrate G. J. Time evolution of Bloch electrons in a homogeneous electric field//Pliys. Rev. B. 198G. - V.33. - P.5494-5500.

85. Rotvig Jon, Jauho Antti-Pekka and Smith H. Theory of coherent time-dependent transport in one-dimensional multiband semiconductor superlattices//Phys. Rev. B. 1996.- V.54. -P.17691-17700.

86. Ao P. Absence of localization in energy space of a Bloch electron driven by a constant electric force//Phys. Rev. B. 1990. - V.41. - P.3998-4001.

87. Avron J. E., Exner P. and Last Y. Periodic Schrodinger operators with large gaps and Wannier-Stark ladders//Phys. Rev. Lett. 1994. - V.72. - P.896-899.

88. Mendez E. E., Agullo-Rueda F., and Hong J. M. Stark Localization in GaAs-GaAlAs Superlattices under an Electric Field//Phys. Rev. Lett. 1988. - V.60. - P.2426-2429.

89. Voisin P., Bleuse J., Bouche C., Gaillard S., Alibert C. and Regreny A. Observation of the Wannier-Stark Quantization in a Semiconductor Superlattice//Phys. Rev. Lett. 1988. - V.61. - P.1639-1642.

90. Lee M., Solin S. A., and Hines D. A. Electro-localization mechanism in GaAs/Ga07Al0,3As superlattices//Phys. Rev. B. 1993. - V.48. - P.11921-11930.

91. Титчмарш Э. Ч. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка Ч. 1. М.:Издательство иностранной литературы, 1960. - 276 с.

92. Hart С. F. Exact к — q solution for a Bloch electron in a constant electric field//Phys. Rev. B. 1988. - V.38. - P.2158-2161.

93. Whittaker D M., Skolnik M. S., Smith G. W., and Whitehouse C. R. Wannier-Stark localization of X and Г states in GaAs — AlAs short-period superlattices//Phys. Rev. B. 1990. - V.42. - P.3591-3598.

94. Bouchard A. M. and Marshall L. Bloch oscillations and other dynamical phenomena of electrons in semiconductor superlattices//Phys. Rev. B. 1995. - V.52. - P.5105-5123.

95. Gluïck M., Kolovsky A. R., Korsch H. J., and Zimmer F. Wannier-Stark resonances in semiconductor superlattices//Phys. Rev. B. 2002. - V.65. - P.115302(l-9).

96. Rosam B. and Leo K., Gluïck M., Keck F., Korsch H. J., Zimmer F., Koïhler K. Lifetime of Wannier-Stark states in semiconductor superlattices under strong Zener tunneling to above-barrier bands//Phys. Rev. B. 2003. - V.68. - P.125301(l-7).

97. Ciancio E., Iotti R. C., and Rossi F. Gauge-invariant formulation of high-field transport in semiconductors//Phys. Rev. B. 2004. - V.69. - P.165319(l-10).

98. Marek Kuczma, Functional equations in a single variable. Warszawa, 1968.

99. Hone Daniel W. and Zhao X.-G. Time-periodic behavior of multiband superlattices in static electric fields//Phys. Rev. B. 1996. - V.53. - P.4834-4837.

100. Rotvig J., Jauho Antti-Pekka, and Smith H. Bloch Oscillations, Zener Tunneling, and Wannier-Stark Ladders in the Time Doinain//Phys. Rev. Lett. 1995. - V.74.- P.1831-1834.

101. Mandelbrot В. B. The Fractal Geometry of Nature. Freeman, San Francisko, 1982.

102. Wilson K. G. and Kogui J. The renormalization group and e-expansion//Physics Reports. 1974. - V.12. - P.75-199.

103. Spiridonov V. Phys. Exactly solvable potentials and quantum algebras//Rev. Lett.- 1992. V.69. - P.398-401.

104. Barclay D. T., Dutt R., Gangopadhyaya A., Khare A., Pagnamenta A. and Sukhatme U. New exactly solvable Hamiltonians: Shape invariance and self-similarity//Phys. Rev. A. 1993. - V.48. - P.2786-2797.

105. Доценко В. С. Критические явления в спиновых системах с беспоряд-ком//УФН. 1995. - Т.165. - Вып.5. - С.481-528.

106. Доценко В. С. Физика спин-стекольного состояния//УФН. 1993. - Т.163. -Вып.6. - С.1-37.

107. Lapidus М. L. Fractal drum, inverse spectral problems for elliptic operators and a partial resolution of the Weyl-Berry conjecture//Transcations of the American Mathematical Society. 1991. - V.325. - Iss.2. - P.465-529.

108. Lapidus M. L. and Pomerance C. The Riemann zeta-function and the one-dimensional Weyl-Berry conjecture for fractal drums//Proc. London Math. Soc.- 1993. V.66. - P.41-69.

109. Lapidus M. L. and Maier H. The Rieman hypothesis and inverse spectral problems for fractal strings//J. London Math. Soc. 1995. - V.15. - P.15-34.

110. Lapidus M. L. Fractals and vibrations: can you hear the shape of a fractal drum?//Fractals. 1995. - V.3. - P.725-736.

111. Schwalm W. A. and Schwalm M. K. Explicit orbits for renormalization maps for Green functions on fractal lattices//Phys. Rev. B. 1993. - V.47. - P.7847-7858.

112. Konotop V. V. and Bulgakov S. A. Two-scale method in the theory of scattering by fractal structures: One-dimensional regular problems//Phys. Rev. A. 1992. - V.45.- P.5994-6007.

113. Konotop V. V., Zhang F. and Luis V. Wave interaction with a fractal layer//Phys. Rev. E. 1993. - V.48. - P.4044-4048.

114. Bulgakov S. A. and Konotop V. V. Peculiarities of wave scattering by fat fractals//Phys. Rev. A. 1992. - V.46. - P.8024-8027.

115. Guerin Chales-Antoine and Holschneider M. Scattering on fractal measures//J. Phys. A: Math. Gen. 1996. - V.29. - P.7651-7667.

116. Liu J., Zhu S., Li Z., Zhao В., Chen G. Tunneling in the one-dimensional Cantor fractal multi-quantum wells//Physica B: Condensed Matter. 1996. - V.228. - Iss.3-4. . P.404-408.

117. Monsoriu J. A., Villatotr F. R., Marin M. .T., Urchuegia J. F. and de Cordoba R F. A transfer matrix method for the analysis of fractal quantum potentials//Eur. J. Phys. 2005. - V.26. -P.603-G10.

118. Berry M. V. Diffractals//J. Phys. A: Math. Gen. 1979. - V.12. - P.781-797.

119. Jarrendahl K., Dulea M., Birch J., Sundgren J.-E. X-ray diffraction from amorphous Ge/Si Cantor superlattices//Phys. Rev. B. 1994. - V.51. - P.7621-7631.

120. Hamburger-Lidar D. A. Elastic scattering by deterministic and random fractals: Self-affinity of the diffraction spectrum//Phys. Rev. E. 1996. - V.54. - P.354-370.

121. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. T.l М.:Мир, 1965. - 616 с.

122. Milan Maksimovic and Zoran Jaksic. Emittance and absorptance tailoring by negative refractive index metamaterialbased Cantor multilayers//J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2006. - V.8. - Р.355Ц362.

123. Jarrendahl K., Dulea M., Birch J. and Sundgren J.-E. X-ray diffraction from amorphous Ge/Si Cantor superlattices//Phys. Rev. B. 1994. - V.51. - P.7621-7631.

124. Hamburger-Lidar D. A. Elastic scattering by deterministic and random fractals: Self-affinity of the diffraction spectrum//Phys. Rev. E. 1996. - V.54. - P.354-370.

125. Laskin N. Fractional quantum mechanics//Phys. Rev. E. 2000. - V.62. - P.3135-3145.

126. Laskin N. Fractional Schrodinger equation//Phys. Rev. E. 2002. - V.66. -P.056108(l-7).

127. Козырев С. В. Методы и приложения ультраметрического и р-адического анализа: от теории всплесков до биофизики//Сб. Современные проблемы математики. Москва: Математический институт им. В. А. Стеклова РАН. - 2008. -Вып. 12. - С.1-168.

128. Honda K. and Otobe Y. Rigorous solution for electromagnetic waves propagating through pre-Cantor sets//J. Phys. A: Math. Gen. 2006. - V.39. - P.L315-322.

129. Jaggard A. D. and Jaggard D. L. Cantor diffractals and lacunarity//IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium. 1998. - V.2. - P.862-865.

130. Aubert H. and Jaggard D. L. Fractal superlattices and their wavelet analyzes//Opt. Commun. 1998. - V.149. - P.2071,1212.

131. Gatzouras D. Lacunarity of self-similar and stochastically self-similar sets//Trans. Amer. Math. Soc. 2000. - V.352. - P.1953-1983.

132. Alain C. and Cloitre M. Characterising the lacunarity of random and deterministic fractal sets//Phys. Rev. A. 1991. - V.44. - P.3552-3558.

133. Gefen Y., Meir Y., Mandelbrot B. B., and Aharony Y. Phase transitions on fractals. III. Infinitely ramified lattices//J. Phys. A: Math. Gen. 1984. - V.17. - P.1277-1289.

134. Lin B. and Yang Z. R. A suggested lacunarity expression for Sierpinski carpets//J. Phys. A: Math. Gen. 1986. - V.19. - P.L49-L52.

135. Landauer R. and Martin Th. Barrier interaction time in tunneling//Rev. Mod. Phys.- 1994. V.66. - P.217-228.

136. Olkhovsky V. S. and Recami E. Recent developments in the time analysis of tunneling processes//Physics Reports. 1992. - V.214. - P.339-356.

137. Steinberg A. M. How Much Time Does a Tunneling Particle Spend in the Barrier Region?//Phys. Rev. Lett. 1995. - V.74. - P.2405-2409.

138. Muga J. G., Leavens C. R. Arrival time in quantum mechanics//Physics Reports. -2000. V.338. - P.353-438.

139. Carvalho C. A. A., Nussenzveig H. M. Time delay//Physics Reports. 2002. - V.364.- P.83-174.

140. Wigner E. P. Lower Limit for the Energy Derivative of the Scattering Phase Shift//Phys. Rev. 1955. - V.98. - P. 145-147.

141. Hartman T. E. Tunneling of a Wave Packet//J. Appl. Phys. 1962. - V.33. - P.3427-3433.

142. Hauge E. H., Falck J. P. and Fjeldly T. A. Transmission and reflection times for scattering of wave packets off tunneling barriers//Phys. Rev. B. 1987. - V.36. -P.4203-4214.

143. N. Teranishi, A. M. Kriman and D. K. Ferry, Superlatt. and Microstrs., 3, p. 509 (1987)

144. Krekora P., Su Q. and Grobe R. Effects of relativity on the time-resolved tunneling of electron wave packets//Phys. Rev. A. 2001. - V.63. - P.032107(l-8).

145. Smith F. T. Lifetime Matrix in Collision Theory//Phys. Rev. 1960. - V.118. -P.349-356.1152. Jaworski W. and Wardlaw D. M. Time delay in tunneling: Transmission and reflection time delays//Phys. Rev. A. 1988. - V.37. - P.2843-2854.

146. Jaworski W. and Wardlaw D. M. Time delay in tunneling: Sojourn-time approach versus mean-position approach//Phys. Rev. A. 1988. - V.38. - P.5404-5407.

147. Buttiker M. Larmor precession and the traversal time for tunneling//Phys. Rev. B.- 1983. V.27. - P.6178-6188.

148. Leavens C. R. and Aers G. C. Dwell time and phase times for transmission and reflection//Phys. Rev. B. 1989. - V.39. - P.1202-1206.

149. Nussenzveig H. M. Average dwell time and tunneling//Phys. Rev. A. 2000. - V.62.- P.042107(l-5).

150. Goto M., Iwamoto H., Aquino V. M., Aguilera-Navarro V. C. and Kobe D. H. ' Relationship between dwell, transmission and reflection tunnelling times//J. Phys.

151. A: Math. Gen. 2004. - V.37. - P.3599-3606.

152. Muga J. G., Brouard S. and Sala R. Transmission and reflection tunneling times//Phys. Lett. A. 1992. - V.167. - P.24-28.

153. Buttiker M. Traversal, reflection and dwell time for quantum tunneling//Electroni properties of multilayers and low-dimensional semiconductors structures/Ed. by J. M. Chamberlain et all, Plenum Press, New-York, 1990. P.297-315.

154. Базь А. И. Время жизни промежуточных состояний//Ядерная физика. 1966. - Т.4. - Вып.2. - С.252-260.

155. Базь А. И. Квантовомеханический расчет времени соударепии//Ядерная физика. 1967. - Т.5. - Вып.1. - С.229-235.

156. Leavens С. R. and Aers G. С. Larmor-clock transmission times for resonant double barriers//Phys. Rev. B. 1989. - V.40. - P.5387-5400.

157. Li Z.-J., Liang J. Q. and Kobe D. H. Larmor precession and barrier tunneling time of a neutral spinning particle//Phys. Rev. A. 2001. - V.64. - P.042112(1-8).

158. Li Z. J. Q., Nie Y. H., Liang J. J. and Liang J. Q. Larmor precession and dwell time of a relativistic particle scattered by a rectangular quantum well//J. Phys. A: Math. Gen. 2003. - V.36. - P.6563-6570.

159. Aharonov Y. and Bohm D. Time in the Quantum Theory and the Uncertainty Relation for Time and Energy//Phys. Rev. 1961. - V.122. - P.1649-1658.

160. Brouard S., Sala R. and Muga J. G. Systematic approach to define and classify quantum transmission and reflection times//Phys. Rev. A. 1994. - V.49. - P.4312-4325.

161. Hahne G. E. Time as an observable in nonrelativistic quantum mechanics//J. Phys. A: Math. Gen. 2003. - V.36. - P.7149-7172.

162. Noh J. W., Fougeres A. and Mandel L. Measurement of the quantum phase by photon counting//Phys. Rev. Lett. 1991. - V.67. - P.1426-1429.

163. Hegerfeldt G. C., Seidel D. and Muga J. G. Quantum arrival times and operator normalization//Phys. Rev. A. 2003. - V.68. - P.022111(l-7).

164. McKinnon W. R. and Leavens C. R. Distributions of delay times and transmission times in Bohm's causal interpretation of quantum mechanics//Phys. Rev. A. 1995.- V.51. P.2748-2757.

165. Leavens C. R. Time of arrival in quantum and Bohmian mechanics//Phys. Rev. A.- 1998. V.58. - P.840-847.

166. Grubl G. and Rheinberger K. Time of arrival from Bohmian flow//J. Phys. A: Math. Gen. 2002. - V.35. - P.2907-2924.

167. Kreidl S., Grubl G. and Embacher H. G. Bohmian arrival time without trajectories//.]. Phys. A: Math. Gen. 2003. - V.36. - P.8851-8865.

168. Kreidl S. Bohmian transmission and reflection dwell times without trajectory sampling//J. Phys. A: Math. Gen. 2005. - V.38. - P.5293-5303.

169. Sokolovski D. and Baskin L. M. Traversal time in quantum scattering//Phys. Rev. A. 1987. - 36. - P.4604-4611.

170. Yamada N. Speakable and Unspeakable in the Tunneling Time Problem//Phys. Rev. Lett. 2000. - V.83. - P.3350-3353.

171. Carcia-Calderon G., Villavicencio J. and Yamada N. Equivalence between the realtime Feynman histories and the quantum-shutter approaches for the Ypassage timeY in tunneling//Phys. Rev. A. 2003. - V.67. - P.052106(l-6).

172. Yamada N. Unified Derivation of Tunneling Times from Decoherence Functional//Phys. Rev. Lett. 2004. - V.93. - P.170401(l-4).

173. Krekora P., Su Q. and Grobe R. Critique of the Wigner tunneling speed and a proposed alternative//Phys. Rev. A. 2001. - V.64. - P.022105(l-8).

174. Garcia-Calderon G. and Villavicencio J. Time dependence of the probability density in the transient regime for tunneling//Phys. Rev. A. 2001. - V.64. - P.012107(l-6).

175. Garcia-Calderon G., Villavicencio J., Delgado F. and Muga J. G. Time scale of forerunners in quantum tunneling//Phys. Rev. A. 2002. - V.66. - P.042119(l-6).

176. F. Delgado, J. G. Muga, A. Ruschhaupt, G. Garcia-Calderon, and J. Villavicencio, J. Phys. A, 68, p. 032101 (2003)

177. Buttiker M. and Landaucr R. Traversal Time for Tunneling//Phys. Rev. Lett. -1982. V.49. - P. 1739-1742.

178. Nimtz G. On superluminal tunneling//Progress in Quantum Electronics. 2003. -V.27. - P.417-450.

179. Muga J. G., Egusquiza I. L., Damborenea J. A., Delgado F. Bounds and enhancements for negative scattering time delays//Phys. Rev. A. 2002. - V.66.- P.042115(l-8).

180. Winful H. G. Delay Time and the Hartman Effect in Quantum Tunneling//Phys. Rev. Lett. 2003. - V.91. - P.260401(l-4).

181. Winful H. G. Tunneling time, the Hartman effect, and superluminality: A proposed resolution of an old paradox//Physics Reports. 2006. - V.436. - P. 1-69.

182. Olkhovsky V. S., Petrillo V. and Zaichenko A. K. Decrease of the tunneling time and violation of the Hartman effect for large barriers//Phys. Rev. A. 2004. - V.70.- P.034103(l-4).

183. Sokolovski D., Msezane A. Z., Shaginyan V. R. "Superluminal" tunneling as a weak measurement effect//Phys. Rev. A. 2005. - V.71. - P.064103(l-4).

184. Ranfagni A., Fabeni P., Pazzi G. P., Ricci A. M., Trinci R., Mignani R., Ruggeri R. and Cardone F. The question of the superluminal speed of information//Phys. Lett. A. 2006. - V.352. - P.473-477.

185. Poirier L., Thompson Robert I. and Hache A. Impossibility of negative group velocities in a periodic layer structure with or without loss//Optics Communications. 2005. - V.250. - Iss.4-6. - P.258-265.

186. Тейлор Дж. Теория рассеяния: квантовая теория нерелятивистских столкновений. М.:Мир, 1975. - 565 с.

187. Багров В. Г., Белов В. В., Задорожный В. Н., Трифонов А. Ю. Методы математической физики. Томск, 2002. - 672 с.

188. Wigner Е. On the Quantum Correction For Thermodynamic Equilibrium//Phys. Rev. 1932. - V. 40. - P.749-759.

189. Mancini S-, Man'ko V. I., Tombesi P. Symplectic tomography as classical approach to quantum systems//Physics Letters A 1996. V.213. - Iss.1-2 - P.l-6.j