Волновое сопротивление горизонтального цилиндра при равномерном поступательном движении в двухслойной жидкости со свободной поверхностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат технических наук Клименко, Андрей Валерьевич

• Клименко, Андрей Валерьевич
• кандидат технических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат технических наук Клименко, Андрей Валерьевич

Введение

1. Общая постановка задачи Неймана-Кельвина.

2. Обзор литературы.

3. Цели работы и краткая формулировка результатов.

Глава 1. Движение тела, пресекающего поверхность раздела жидкостей

1. Постановка задачи.

2. Асимптотики потенциалов скоростей вблизи точек пересечения тела и поверхности раздела.

3. Асимптотическое представление потенциалов скоростей на бесконечности

4. Дополнительные условия, обеспечивающие единственность решения

5. Метод интегральных уравнений и разрешимость задачи.

6. Волновое сопротивление.

7. Примеры неединственности.

8. Схема вычисления линий тока для примеров неединственности

Глава 2. О движении тела в двуслойной жидкости конечной глубины

1. Постановка задачи.

2. Функция Грина.

3. Асимптотическое представление потенциалов скоростей на бесконечности

4. Волновое сопротивление.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Волновое сопротивление горизонтального цилиндра при равномерном поступательном движении в двухслойной жидкости со свободной поверхностью»

1 Общая постановка задачи Неймана—Кельвина

Задача о движении судна в стратифицированной жидкости является одной из важных задач корабельной гидродинамики, поскольку она связана с так называемым явлением мертвой воды. Это явление выражается в наличии дополнительного сопротивления движению судна из-за появления на границе раздела жидкостей различной плотности внутренних волн.

Данная работа посвящена строгому математическому исследованию одного из частных случаев этой задачи — двумерной линеаризованной задачи о движении тела в жидкости, называемой обычно задачей Неймана-Кельвина.

В своей самой общей постановке задача о движении тел в жидкости чрезвычайно сложна. За последние 50 лет быд достигнут определенный прогресс в математическом исследовании нелинейных задач, описывающих волны на воде (см., например, [26]). Но все точные результаты относятся к случаю волн на воде в отсутствие плавающих тел. Что же касается нелинейных задач о волнах в жидкости в присутствии тел, то в настоящее время все результаты остаются на том же уровне, что и 50 лет назад.

Для получения моделей, допускающих достаточно глубокое математическое исследование, должны быть использованы значительные упрощающие предположения. Обычная процедура упрощения состоит в линеаризации задачи в предположении, что движение тела относительно положения равновесия в глубокой воде настолько мало, что образующиеся при этом волны имеют малую амплитуду и малую длину. Существует три характерных геометрических параметра: типичное значение высоты волны Я, типичная длина волны L и глубина воды D. Из них получается три характеристических соотношения: Я/L, L/D и H/D. Относительная важность этих соотношений различна в различных ситуациях. В работе [46] были приведены некоторые эвристические соображения, исходя из которых линеаризация может быть обоснована, если обычно называется числом Урселла.

С другой стороны, результаты линейной теории находятся в хорошем соответствии с экспериментами и наблюдениями. В 40-50-х годах 20 века Урселлом с соавторами было установлено хорошее соответствие между предсказаниями линейной теории и наблюдениями в случае групповых скоростей (см. [32]) и частот волн (см. [59]). Также был выполнен ряд экспериментов, в которых было получено хорошее соответствие между измерениями и предсказаниями, сделанными на основе линейной теории для амплитуд волн (см.

Кроме того, линеаризованные задачи позволяют получить приближения нелинейных задач. Для задачи Коши-Пуассона в случае слоя постоянной глубины в работе [26] было доказано, что нелинейная задача разрешима при достаточно малых значениях параметра линеаризации, и при стремлении этого параметра к нулю решение нелинейной задачи сходится к решению линеаризованной по норме в соответствующем пространстве.

Удобным способом получения аппроксимационных моделей является процедура возмущения. Характеризующие задачу величины, такие как скорость, возвышение свободной поверхности представляются в виде рядов по степеням некоторого, присущего физической задаче малого параметра. В так называемой задаче Неймана- Кельвина, модификациям которой посвящена настоящая работа таким параметром является амплитуда поверхност

Последний параметр

35] и [61]). ных волн, а сама задача возникает как первое, линейное приближение в так называемой теории волн малой амплитуды (см. например Часть 1 § 2.1 в

Классическая плоская задача Неймана-Кельвина описывает движение горизонтального цилиндрического тела с постоянной скоростью U в направлении, нормальном к его оси, под свободной поверхностью жидкости. Жидкость предполагается идеальной, несжимаемой, тяжелой, а движение жидкости — безвихревым и установившимся. Поэтому течение жидкости может быть описано терминах функции и - потенциала скоростей так, что V — Vu = (их,иу). Потенциал и удовлетворяет в заполненной жидкостью области уравнению Лапласа, которое физически выражает закон сохранения массы.

В настоящей работе рассматривается случай стратифицированной жидкости. А именно, предполагается, что жидкость состоит из двух слоев различной плотности pi и Р'2. В этом случае движение описывается с помощью потенциалов скоростей и^ и 'и^2\ заданных в верхнем и нижнем слое соответственно.

Покажем, как возникают условия на свободной поверхности, используемые в данной задаче. Для этого удобно воспользоваться так называемым потенциалом невозмущенного потока <р(х,у) = и^\х,у) — Ux. Запишем кинематическое условие равенства нулю нормальной к свободной поверхности компоненты скорости Vn = (Vcp, n) = 0 при у = г)(х). Отсюда, воспользовавшись выражением п — (1 + г]'2{х))~112{—г]'(х), 1), нетрудно получить следующее тождество

57]). VxU^ -Ui]:

0.1.1) которое должно выполняться на свободной поверхности жидкости.

Далее, выпишем интеграл Бернулли в следующем виде:

V2/2 + дг] = 0 при у = 1](х).

0.1.2)

В последнем выражении использовано предположение о равенстве нулю давления на свободной поверхности жидкости.

Дальнейшее рассмотрение будет проходить в рамках линеаризованной задачи, которая получится, если предположить, что все скорости и возвышения свободной поверхности малы. Точнее, пусть и^ — еи^ + +. и г} = ei7i +£2г]2 +. Подставим эти выражения в (0.1.1) и (0.1.2) и удержим члены порядка е. Также перенесем условия на невозмущенную свободную поверхность. Опуская индекс у величин и^ и щ, получим и a) U2 m п

Г] = -их, и<м + = 0

9 9

С помощью этой же процедуры получаются следующие условия на поверхности раздела сред: иу ) = иу ^ и

Pi

1) , 9 (1)1 Г (2) , 9 (2)

Uxx jj2 Uy ~ Р2 Uxx ' jj2 У и2

Эти условия являются по сути кинематическим (равенство нормальных составляющих скорости) и динамическим (равенство давлений) соответственно.

Условие ди^ /дп = Ucos(n,x) носит название условия непротекания и означает, что вектор скорости и направлен по касательной к поверхности тела. Интересной особенностью задачи Неймана-Кельвина является совместное использование линеаризованного условия на осредненной свободной поверхности и нелинеаризованного условия на смоченной поверхности тела.

Кроме того, в случае, когда нижний слой имеет конечную глубину, на дне ставится условие непротекания и& = 0. у

Условие

Vw| —> 0 при х —у -foo выражает физически очевидное условие отсутствия возмущений далеко впереди движущегося тела.

Однако, в случае тела, пересекающего поверхность раздела между слоями, задача Неймана-Кельвина не определяет единственное решение, и должны быть поставлены некоторые дополнительные условия. Как и в случае тела, пересекающего свободную поверхность однородной жилкости, известно несколько версий дополнительных условий. Требование ограниченности вектора скорости в точках пересечения тела с поверхностью раздела жидкостей приводит (см. [60, 21]) к так называемому "least singular" решению. В настоящей работе показано, что такая постановка приводит к неединственности в том смысле, что соответствующая однородная задача может иметь нетривиальные решения с конечной энергией. В настоящей работе предлагаются дополнительные условия, в которых предписывается количество движения, которое тело сообщает частицам жидкости в точках пересечения с поверхностью раздела сред. Доказывается, что соответствующая однородная задача, дополненная такими условиями, может иметь только тривиальное решение с конечной энергией.

2 Обзор литературы

Движение тел в стратифицированной жидкости связано с так называемым явлением мертвой воды. Это явление впервые было описано В. Экманом в работе [36] около ста лет назад.

Математическое исследование краевых задач, описывающих установившиеся волновые движения двуслойной жидкости в присутствии тел началось в конце 50-х - начале 60-х годов 20 века (см. работы С.С. Войта [2], Я.И. Войткунского [3], Л.Н. Сретенского [27], П.Н. Успенского [29]), когда уже были получены значительные результаты по волнам в однородной жидкости. В дальнейшем отдельные частные результаты в этом направлении были получены отечественными и зарубежными авторами (см. обзор В.А. Городцова и Э.В. Теодоровича [13]).

Большая часть работ, посвященных исследованию задачи Неймана-Кельвина для двуслойной жидкости связана с численным анализом гидродинамических сил, в частности волнового сопротивления (см. работы С.Д. Богатырева и В.В. Васильевой [1], И.В. Стуровой [28] и [58], Г.С. By [63], Г. Зил-мана и Т. Милоха [64]), волнового сопротивления и подъемной силы (см. работы С.И. Горлова [8], [9], [10], [11] и [12] и работу Д.Н. Горелова и С.И. Горлова [7]). Задача о вычислении силы, действующей на тело в форме кругового цилиндра, находящееся в нижнем слое двуслойной жидкости, вследствие дифракции внутренних волн рассмотрена в работах Т.Н. Хабахпаше-вой [30] и Т.И. Хабахпашевой и И.В. Стуровой [38].

Вопрос о разрешимости затронут лишь в статьях B.C. Войцени [4] и [Б], в которых этот вопрос исследован для тела, находящегося над и под границей раздела сред соответственно и получена функция Грина задачи. Однако способ доказательства разрешимости, примененный в этих работах, накладывает существенные ограничения на характеристики контура, функции Грина не регуляризованы, а для функции Грина с источником в верхнем слое пропущен существенный линейный член. Кроме того, вовсе не рассмотрен вопрос о единственности решения.

Достаточно общая теория установившихся поверхностных и внутренних волн в присутствии погруженных тел построена в работах О.В. Мотыгина и Н.Г. Кузнецова [54] и О.В. Мотыгина [23] для случая, когда нижний слой жидкости имеет бесконечную глубину и тело целиком содержится в одном из слоев. В этих работах получена функция Грина задачи для всех возможных случаев расположения источника и точки наблюдения, доказана разрешимость задачи для всех возможных комбинаций режимов движения и расположения тела, а также получена явная формула для вычисления волнового сопротивления.

Помимо задачи Неймана-Кельвина в ряде работ рассматривается также задача о взаимодействии волн с телом, находящимся в двуслойной жидкости (см., например, работу К.М. Линтона и М. МакАйвер [48]).

3 Цели работы и краткая формулировка результатов

Основные цели работы: исследовать, при каких условиях однозначно разрешима плоская задача Неймана-Кельвина для тела, пересекающего поверхность раздела сред в двуслойной жидкости бесконечной глубины и при каких условиях возможно существование примеров неединственности; в случае тела, целиком содержащегося в одном из слоев двуслойной жидкости конечной глубины получить функцию Грина задачи и асимптотическое представления потенциалов скоростей на бесконечности, а также вывести формулу, выражающую волновое сопротивление через амплитуды волн в дальнем поле.

В Главе 1 исследуется задача Неймана-Кельвина, которая описывает установившееся движение тела, пересекающего поверхность раздела сред в двуслойной жидкости в случае, когда нижний слой имеет бесконечную глубину.

В первом параграфе описывается линейная краевая задача и вводятся основные обозначения.

Во втором параграфе методом разделения переменных получены асимптотики решения вблизи точек пересечения контуров с поверхностью раздела.

В третьем параграфе с использованием формулы Грина и асимптотик на бесконечности функции Грина задачи, найденных в работах [23] и [54], получены асимптотики решения на бесконечности.

В параграфе 4 вводятся дополнительные условия, означающие, что в точках пересечения с поверхностью раздела сред тело сообщает частицам жидкости одинаковое количество движения в верхнем и нижнем слое. С использованием тождества, предложенного в [62], доказывается, что однородная задача Неймана-Кельвина, дополненная такими условиями может иметь только тривиальное решение с конечной энергией.

С использованием метода теории потенциала в параграфе 5 задача сводится к интегро-алгебраической системе и доказывается разрешимость этой системы. При доказательстве используется аналитическая зависимость интегрального оператора системы от двух параметров задачи. При этом в отличие от работ [23] и [54] вместо параметра е — Pil Р\ — 1 рассматривается параметр а — P\/{fi2 ~ Pi)- Доказывается, что аналитическая зависимость интегрального оператора может быть продолжена в область отрицательных значений а. При этом значение а — 0, при котором обратимость оператора известна, оказывается внутри области аналитичности. Отсюда на основании результатов работы [19] делается вывод об обратимости интегрального оператора при всех значениях параметров задачи за исключением (быть может) некоторых аналитических множеств.

Параграф 6 посвящен вычислению сопротивления. Полученная формула содержит как волновые слагаемые, соответсвующие вкладу поверхностных и внутренних волн, так и слагаемые, аналогичные так называемому брыз-говому сопртивлению в случае чатично погруженного тела. Волновые слагаемые выражают сопротивление через амплитуды волн на бесконечности далеко позади тела.

В параграфе 7 построены для наименее сингулярной постановки построены примеры неединственности (так называемые ловушечные моды задачи), то есть нетривиальные потенциалы, удовлетворяющие однородному условию Неймана на смоченной поверхности тел, имеющие ограниченное поле скоростей и конечный интеграл энергии по области, занятой жидкостью. Для построения примеров неединственности использована так называемая обратная схема, предложенная в работе [51]. В данной схеме вместо поиска решения для заданной геометрии разыскивается конфигурация тел, для которой некоторый заданный потенциал доставляет решение однородной задачи. В настоящей работе используется потенциал, вызванный системой горизонтальных диполей, расположенных на поверхности раздела сред.

Использованная при построении примеров неединственности численная схема описана в параграфе 8.

Результаты этой главы опубликованы в работах [39], [40] и [53].

В Главе 2 исследуется задача Неймана-Кельвина в случае когда нижний слой имеет конечную глубину и тело целиком содержится в одном из слоев.

В параграфе 1 приведена постановка задачи и введены основные обозначения.

В параграфе 2 с использованием схемы, предложенной в работе [23], построена функция Грина для всех возможных случаев расположения источника и точки, в которой вычисляется ее значение. Эти результаты уточняют результаты B.C. Войцени, приведенные в работах [4] и [5].

В параграфе 3 получены асимптотики функций Грина на бесконечности. Предложены безразмерные параметры, с помощью которых удобно исследовать режимы движения тела, проведен анализ режимов движения в зависимости от этих параметров. Кроме того, с помощью найденных асимптотик функции Грина получены асимптотические представления потенциалов скоростей на бесконечности. Эти результаты могут быть использованы для сведения задачи к интегральным уравнениям, численных исследований и изучения вопроса о разрешимости задачи.

В параграфе 4 получена формула для вычисления волнового сопротивления. Формула выражает сопротивление движению тела через амплитуды волн на бесконечности и обобщает известную формулу Н.Е. Кочина и М.Д. Хаскинда на случай двуслойной жидкости конечной глубины.

Результаты этой главы опубликованы в работе [16].

Работа также содержит три приложения. В приложении А приводится функция Грина для двуслойной жидкости бесконечной глубины и описываются некоторые ее свойства. В приложениях В и С доказывается однозначная разрешимость задачи Неймана-Кельвина для слоя конечной глубины с возвышением на дне в случае закритического и докритического режимов движения соответственно. Эта задача используется в качестве вспомогательной в главе 1.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Клименко, Андрей Валерьевич

Заключение

В работе в линейном приближении теории волн малой амплитуды исследована плоская задача, описывающая движение тела в двуслойной жидкости со свободной поверхностью.

В первой главе рассмотрен случай, когда нижний слой имеет бесконечную глубину и тело пересекает поверхность раздела сред. Получены асимптотические представления потенциалов скоростей вблизи точек пересечения тела с поверхностью раздела сред и на бесконечности позади тела. Построена математическая модель для вычисления гидродинамических характеристик тела, основанная на физических принципах, а не на эвристических соображениях. А именно, задача дополнена условиями, выражающими равенство горизонтальных составляющих количества движения, которое тело сообщает жидкости в верхнем и нижнем слое в точках пересечения с поверхностью раздела. В данной постановке задача сведена к системе интегральных уравнений, которая может быть решена численно. Установлено, что система имеет единственное решение при всех значениях параметров задачи за исключением (быть может) некоторых аналитических множеств. Для другой постановки, в которой задаются значения коэффициентов при сингулярных членах в асимптотиках потенциалов вблизи точек пересечения тела с поверхностью раздела, построены потенциалы (так называемые ловушечные моды), которые приводят к неединственности в задаче о волнообразовании, что является еще одним подтверждением естественности построенной в работе модели.

Вторая глава посвящена случаю, когда оба слоя имеют конечную глубину и тело полностью содержится в одном из слоев. Для функции Грина задачи получены выражения, корректирующие пробелы в результатах других авторов. Получены асимптотические представления потенциалов скоростей на бесконечности позади тела. Проведено исследование режимов движения тела в зависимости от введенных в работе безразмерных параметров. Выведена формула, выражающая волновое сопротивление через амплитуды волн на бесконечности. Проведено численное исследование волнового сопротивления при различных соотношениях параметров задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Клименко, Андрей Валерьевич, 2002 год

1. Богатырев С.Д., Васильева В.В. Явление "мертвой воды" и его влияние на сопротивление судна. В сб.: Совершенствование ходовых, мореходных и маневренных качеств судов. НТО, вып. 462. Л.: Судостроение, 1989

2. Войт С.С. Волны на свободной поверхности и поверхности раздела, возникающие от периодически действующего источника внутри жидкости. // Труды Мор. гидрофиз. ин-та, 1959, Т. 18, С. 60-67.

3. Войткунский Я.И. Обтекание гидродинамических особенностей, расположенных над поверхностью раздела жидкостей различной плотности. // Инж. журн. АН СССР, 1963, Т. 3, № 2, С. 262-270.

4. Войценя B.C. О поступательном движении тела над поверхностью раздела двух жидкостей. // Изв. вузов. Математика, 1963, № 2, С. 262-270.

5. Войценя B.C. Плоская задача о поступательном движении тела под поверхностью раздела двух жидкостей. // Труды Новочерк. политехи, института, 1959, Т. 104, С. 95-111.

6. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука 1989.

7. Горелов, Д.Н., Горлов, С.И. Линейная задача о движении профиля под границей раздела двух тяжелых жидкостей. // Прикладная механика и техническая физика, 1996, т. 37, № 5, С. 43-47.

8. Горлов, С.И. Решение линейных задач о равномерном движении ви-хреисточника в многослойной жидкости. // Механика жидкости и газа, № 3, 1995, С. 127-132.

9. Горлов, С.И. Движение профиля над границей раздела двух тяжелых жидкостей. // Прикладная механика и техническая физика, 1996, т. 37, № 5, С. 48-51.

10. Горлов, С.И. Влияние внутренних линейных волн на гидродинамические характеристики вихреисточника. // Механика жидкости и газа, № 5, 1996, С. 146-152.

11. Горлов, С.И. Линейная задача о движении вихреисточника вблизи границы раздела двух сред. // Прикладная механика и техническая физика, 1997, т. 38, № 2, С. 68-72.

12. Горлов, С.И. Влияние поверхностных и внутренних волн на гидродинамические характеристики контура в линейном приближении. // Механика жидкости и газа, № 3, 1998, С. 121-127.

13. Городцов В.А., Теодорович Э.В. К теории волнового сопротивления (поверхностные и внутренние волны). // Сб. Н.Е.Кочин и развитие механики. М.: Наука, 1984.

14. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

15. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

16. Костюков А.А. Взаимодействие тел, движущихся в жидкости. JL: Судостроение, 1972.

17. Кочин Н.Е. О волновом сопротивлении и подъемной силе погруженных в жидкость тел. // Тр. конф. по теории волнового сопротивления, М. ЦАГИ, 1937, с. 65-134 (см. Собр. соч. Т. 2, М.:Л.: АН СССР, 1949, С. 105-182).

18. Крейн С.Г., Трофимов В.П. О голоморфных оператор-функциях нескольких комплексных переменных. // Функц. анализ и его прил., 1969, Т. 3, № 4. С. 85-86.

19. Кузнецов Н.Г. О волновом сопротивлении цилиндра, частично погруженного в жидкость. // Гидродинамика больших скоростей, Чебоксары: Издательство ЧГУ, 1990, С. 53-60.

20. Кузнецов Н.Г., Мазья В.Г. Об однозначной разрешимости плоской задачи Неймана-Кельвина. // Мат. сборник, 1988, Т. 135, № 4, С. 440462.

21. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

22. Мотыгин О.В. Волнообразование и волновое сопротивление при движении плоских тел в однородной и двуслойной жидкости. Дисс. на соискание уч. ст. к. ф.-м. н., СПбГУ, 1996.

23. Мотыгин О.В. Примеры неединственности для линейной задачи потенциального обтекания полупогруженных тел. // Прикладная Математика и Механика, 1997 Т. 61. Вып. 6. С. 983-990.

24. Мотыгин О.В. Локализованные моды колебаний жидкости при косом набегании волн на частично погруженные тела. // Прикладная Математика и Механика, 1999 Т. 63. Вып. 2. С. 267-275.

25. Овсянников Л.В. и др. Нелинейные задачи в теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985.

26. Сретенский Л.Н. О волновом сопротивлении корабля при наличии внутренних волн. // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1959, № 1, С. 56-63.

27. Стурова И.В. Влияние внутренних волн на гидродинамические характеристики погруженного тела. // Изв. Акад. наук, Физика атмосферы и океана, 1993 Т. 29, № 6, С. 732 -738.

28. Успенский П.Н. О волновом сопротивлении корабля при наличии внутренних волн (в условиях конечной глубины). // Труды Мор. ги-дрофиз. ин-та, 1959, Т. 18, С. 68-85.

29. Хабахпашева Т.И. Дифракция внутренних волн на цилиндре в двуслойной жидкости. // Изв. Акад. наук, Физика атмосферы и океана 1993 Т. 29, № 4, С. 559-564.

30. Abramowitz, М., Stegun, I.A., Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, 1964.

31. Barber, N.F., Ursell, F., The generation and propagation of ocean waves and swell. I. Wave periods and velocities. Phil. Trans. Roy. Soc. bond. Л240 (1948) 527-560

32. Colton, D., Kress, R., Intergral Equation Methods in Scattering Theory. New York et a!.: Wiley-Intersci. Publ., 1983.

33. Dean, R.G., Ursell, F., Yu, Y.S., Forced small-amplitude water waves: comparison of theory and experiment. J. Fluid Mech. 7 (1959) 33-52.

34. Ekman V.W., On dead water. In: Scientific Results of the Norwegian North Polar Expedition 5. Christiania, 1904, pp. 1-152.

35. Evans, D.V., Kuznetsov, N., Trapped modes. Gravity Waves in Water of Finite Depth. Southampton: Сотр. Mech. Publ., 1997.

36. Khabakhpasheva, T.I., Sturova , I.V. Diffraction of internal waves by a submerged circular cylinder at forward speed in a two-layer fluid. J. Eng. Math. 34 (1998) 249-275.

37. Klimenko, A.V., The two-dimensional Neumann-Kelvin problem for an interface-piercing body in a two-layer fluid. Proc. of int. conf. "Day on Diffraction799", SPb, 1999, pp. 103-112.

38. Klimenko, A.Y., The integral equation method for the Neumann-Kelvin problem for an interface-intersecting body in a two-layer fluid. Proc. of int. conf. "Day on Diffraction 2000", SPb, 2000, pp. 70-80.

39. Kondrat'ev, V.A., Boundary value problems for elliptic equations in regions with conical or angular points. Trans. Moscow Math. Soc. 16 (1967) 227-313.

40. Kuznetsov, N., Maz'ya, V., Vainberg, В., Linear Water Waves. A Mathematical Approach. Cambrdge: Cambridge University Press (2002) 512 pp.

41. Kuznetsov, N.G., Motygin, O.V., On the resistanceless statement of the two-dimensional Neumann-Kelvin problem for a surface-piercing tandem. IMA J. Appl. Math. 62 (1999) 81-99.

42. Lahalle, D. Calcul des efforts sur un profil portant d'hydroptere par cou-plage elements finis-representation integrale, ENSTA Rapport de Recherche 187 (1984).

43. Lamb, H., Hydrodynamics. Cambridge: Cambridge University Press (1932) 738 pp.

44. Le Mehaute, В., An Introduction to Hydrodynamics and Water Waves. New York et al: Springer-Verlag, 1976.

45. Lenoir, M., Methodes de couplage en hydrodynamique navale et application a la resistance de vagues bidimensionnelle. ENSTA Rapport de1. Recherche 164 (1982).

46. Linton, C.M., Mclver, M., The interaction of waves with horizontal cylinders in two-layer fluids. J. Fluid Mech. (1995), 304, pp. 213-229.

47. Maz'ya, V.G., On the steady problem of small oscillations of a fluid in the presence of a submerged body. Proc. Sobolev's Semin. No. 2, (1977) 57-79. Novosibirsk: Inst, of Math., Sibirian Branch, Acad. Sci. USSR. (In Russian).

48. Maz'ya, V.G., Boundary integral equations. Encyclopaedia of Math. Sciences. 27, Analysis IV. Berlin et al.: Springer-Verlag, 1991, pp. 127-222.

49. Motygin О., 1999 Uniqueness and solvability in the linearized two-dimensional problem of a body in a finite depth subcritical stream. J. of Appl. Math., Vol. 10, pp. 141 155.

50. Motygin, O.V., Klimenko, A.V., On non-uniqueness in the 2D linear problem of a two-layer flow about interface-piercing bodies. Proc. of int. conf. "Day on Diffraction'99", SPb, 1999, pp. 137-145.

51. Motygin O., &; Kuznetsov N., 1997 The wave resistance of a two-dimensional body moving forward in a two-layer fluid, J. of Eng. Math., Vol. 32, pp. 53-72.

52. Motygin O.V., Kuznetsov N.G. On the non-uniqueness in the 2D Neumann-Kelvin problem for a tandem of surface-piercing bodies Proc. of 12th, Workshop on Water Waves and Floating Bodies, Marseille, France. 1997. pp. 189-193.

53. Nazarov, S.A., Plamenevsky, B.A., Elliptic Problems in Domains with Piecewise Smooth Boundaries. Berlin: W. De Gruyter, 1994.

54. Stocker, J.J., Water waves. London: Interscience publishers, 1957.

55. Sturova, I.V., Planar problem of hydrodinamic shaking of a submerged bodof the presence of a motion in a two-layer fluid. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 35 (1994) 670-679.

56. Ursell, F., Edge waves on a sloping beach. Proc. Roy. Soc. bond. Л214 (1952) 79-97.

57. Ursell, F., 1981, Mathematical notes on the two-dimensional Kelvin-Neumann problem, Proc. 13th Symp. Naval Hydrodyn., Tokyo: Shipbuilding Res. Assoc. pp. 245-251.

58. Ursell, F., Yu, Y.S., Surface waves generated by an oscilating circular cylinder on shallow water: theory and experiment. J. Fluid Mech. 9 (1960) 529-551.

59. Vainberg, B.R., Maz'ja, V.G., On the problem of the steady state oscillations of a fluid layer of variable depth. Trans. Moscow Math. Soc. 28 (1973) 56-73.

60. Wu, G.X., The wave resistance and lift on a circular cylinder in stratified fluid. J. of Hydrodynamics, Ser. B, 4(1990), 52-58.

61. Zilman, G., Miloh, Т., Hydrodynamics of a Body Moving over a Mud Layer — Part I: Wave Resistance. J of Ship Research Vol. 39 № 3, Sept. 1995, pp. 194-201