Асимптотический анализ движения жидкости, вызванного возмущениями на ее границах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Трепачев, Виктор Владимирович

• Трепачев, Виктор Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Трепачев, Виктор Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ВОЛНЫ, ВЫЗВАННЫЕ МГНОВЕННЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ ДНА.

1.1. Асимптотический анализ волнового движения вязкой жидкости постоянной глубины при исчезающей вязкости.

1.2. Асимптотическое исследование волн на поверхности идеальной жидкости, вызванных мгновенным возмущением дна.

1.3. Асимптотика возвышения поверхности идеальной жидкости, распространяющегося со скоростью Ocjt — h,

1.4. Асимптотическое вычисление первой поправки на вязкость.

1.5. Асимптотическое вычисление второй поправки на вязкость.

1.6. Анализ влияния вязкости на форму свободной поверхности жидкости.

Глава 2. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ДВУХСЛОЙНОЙ ИДЕАЛЬНОЙ

КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННОЙ ЖИДКОСТИ.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Условия отсутствия волнового движения двухслойной жидкости.

2.2.1. Условия отсутствия волн на границе раздела в приближении "твердой крышки".

2.2.2. Условия отсутствия волн для однослойной жидкости.

2.2.3. Анализ характерных значений параметра £ для двухслойной жидкости.

2.2.4. Условия отсутствия волн в области £> 81.

2.2.5. Условия отсутствия волн в области £,^6 <£,

2.2.6. Условия отсутствия волн в случаеj3 = ft С Jf- 1) ••••

2.3. Условия отсутствия волн на границе раздела газа и жидкости.

2.4. Анализ неустойчивости Кельвина-Гельмгольца.

Глава 3. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ, ВЫЗВАННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИМИ КОЛЕБАНИЯМИ

ЖЕСТКОЙ ПЛАСТИНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ИДЕАЛЬНОЙ ТЯЖЕЛОЙ

КАПИЛЛЯРНОЙ ЖИДКОСТИ.

3.1. Постановка задачи о колебании плоской пластины конечной длины.

3.2. Решение задачи статики в случае плоского штампа.

3.3. Волны на поверхности жидкости бесконечной глубины, вызванные колебаниями пластины конечной длины.

3.4. Длинные волны, вызванные колебаниями пластины.

3.5. Волны на поверхности жидкости конечной глубины.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотический анализ движения жидкости, вызванного возмущениями на ее границах»

Основы теории волновых движений жидкости и газа восходят к трудам Ньютона, который возвел механику в ранг точных наук. Прочный фундамент теории волн заложен работами Эйлера, Д.Бернулли, Лагранжа, Лапласа, Навье, Пуассона, Коши, Остроградского, Герст-нера. Во второй половине XIX и начале XX века, благодаря усилиям таких ученых, как Эйри, Стоке, Кельвин, Рэлей, Ламб, Кортвег, де Фриз, Сен-Венан, Буссинеск, Леви-Чевита, А.Пуанкаре, Ляпунов, гидромеханика волновых процессов выделилась как самостоятельная ветвь науки, имеющая свои проблемы и методы исследований, в частности, асимптотические. Современные теории и практические приложения существенным образом опираются на результаты, полученные А.И.Некрасовым, Н.Е.КЬчиным, П.Я.КЬчиной, Л.Н.Сретенским, М.В. Келдышем, М.А.Лаврентьевым, Л.И.Седовым, А.А.Дородницыным, Н.Н. Боголюбовым, А.М.Обуховым, М.Г.КреЙном, Н.Н.Моисеевым и многими другими.

Достижения, библиография теории поверхностных и внутренних волн в жидкости наиболее полно освещены в обзорах Л.Н.Сретенского [75] , С.С.Войта С19] , Н.Н.Моисеева [54] и монографиях Л.Н. Сретенского [72],[74] , Л.В.Черкесова [92],[93] , А.С.Монина, В.М. Каменковича, В.Г.Корта [ 56] , Г.Ламба [48] , Дж.Дж.Стокера [ 77], Д.Лайтхилла [49] , Дк.Тернера [ 80] . Ряд важных проблем волнового движения исследованы в динамической теории упругости [ 21} , задачах о колебаниях сосудов, содержащих жидкость [94], теории атмосферных волн [26], [28], задачах дифракции [18], [71], теории волн в слоистых средах [12], теории волн цунами [9], [23], [24].

Запросы практики, связанные с интенсивным строительством гидротехнических сооружений, освоением богатств Мирового океана, безопасностью мореплавания, выдвигают высокие требования к точности математического исследования, глубине анализа физики явлений. В связи с этим резко возрастает прикладное значение асимптотических методов, позволяющих эффективно вскрывать сложные зависимости. Исследования влияния вязкости, стратификации плотности, капиллярности, сжимаемости на волновые процессы в жидкости наиболее актуальны в настоящее время.

Первый фундаментальный асимптотический анализ динамики волн на поверхности вязкой жидкости бесконечной глубины дан Л.Н.Сретенским [73]. Л.В.Черкесов изучил влияние вязкости в ряде сложных задач океанологии, разлагая подынтегральные функции в ряд по степеням малой вязкости [92]. В работе [55] Н.Н.Моисеев предложил свой метод пограничного слоя, который получил широкое применение в задачах о колебаниях жидкости [5], [9б]. Э.Н.Потетюнко, Л.С.Срубщик [64] развили метод пограничного слоя Н.Н.Моисеева с использованием техники М.И.Вишика и Л.А.Люстерника [17] в задачах волнового движения вязкой жидкости бесконечной и конечной глубины.

Многообразие зон качественно разного асимптотического поведения свободной поверхности жидкости при произвольной вязкости вскрыто Э.Н.Потетюнко, Л.С.Срубщиком, Л.Б.Царюком в работе [67]. Метод полного асимптотического анализа неустановившихся движений вязкой жидкости бесконечной глубины при малых и больших временах построен Э.Н.Потетюнко t63]. Дальнейшее развитие этого метода и работы [64] отражено в публикациях [32], [35],[62], [бб], 1ю], [65] и автора [81], I8з1, [84], [87]. Обоснование линейного приближения двумерных периодических волн в вязкой однородной жидкости изучено в [68]. Однозначная разрешимость задачи Коши для вязкой жидкости исследована в монографии [47]. Теория потенциалов, удобных для анализа нестационарного движения вязкой жидкости,

- б рассмотрена в работе [8], Задача устойчивости пограничного слоя на вогнутой поверхности рассмотрена в 158]. Влияние малой вязкости, непрерывной стратификации на внутренние волны, вызванные периодическими давлениями, исследовано в монографии Л.В.Черкесова [93] и цубликации [34]. Общие подходы к построению асимптотик сливающихся стационарных точек [24], [99] применены к теории плоских волн, вызванных мгновенным возмущением дна, в работах автора [83], 187].

Главная причина возникновения внутренних волн - вертикальная стратификация плотности жидкости, но не единственная. Такой подход развит Л.Н.Сретенским в теории явления "мертвой воды". Позднее, Л.Н.Сретенский, С.С.Войт, Я.И.Секерж-Зенькович, Л.В. Черкесов использовали модель двухслойной идеальной жидкости для анализа других явлений, связанных с внутренними волнами. Нелинейная теория волн разрабатывалась В.А.Треногиным, А.М.Тер-Кри-коровым, Дж.Стокером. Движение тел в жидкости вблизи границы раздела сред исследовано М.А.Басиным, В.П.Шадриным [б], А.Н.Пан-ченковым [61]. Механизмы гашения волн тонкими пленками рассмотрены в[30] , ^ 50 3» [97], в дальнейшем этот анализ продолжен в публикациях [13], [32], [62] и автором [ 85]Д86 ]. Сравнение линейной теории внутренних волн с экспериментом обсуждалось в [II], [36], [78], [80], наличие поверхностного натяжения на границе раздела вод разной плотности найдено в работе [95]. Установившиеся течения с тангенциальным разрывом скорости реализуются не всегда, исследования Н.Е.Кочина [431 в этом направлении развивались в [14], [41], [45], [57], [70] и автором [86]. В указанных задачах многие прикладные результаты найдены также асимптотическими методами.

Анализ волнового движения, вызванного гармоническими колебаниями тел, весьма важен при проектировании плавучих платформ и других сооружений. Классические результаты в этой области получены Н.Е.Кочиным [42], Л,Н.Сретенским 174], М.Д.Хаскиндом [91]. М.Д.Хаскинд, решая задачу о поверхностных колебаниях пластины [91], использовал метод Л.И.Седова [69], доказал однозначную разрешимость задачи, построил асимптотику давления, вызванного пластиной на поверхности идеальной жидкости. И.И.Ворович, В.И. Юдович построили асимптотическую схему в задаче удара круглого диска о поверхность жидкости, исследовали влияние дна t22]. Дифракция волн на доке рассматривалась в [16]. Работа 137] посвящена анализу волнового движения двухслойной жидкости, покрытой полубесконечной жесткой пластиной. Нестационарные колебания штампа на поверхности нетяжелой идеальной жидкости изучены в [25]. Вопросы однозначной разрешимости задачи малых колебаний тяжелой идеальной жидкости, вызванных погруженными телами, исследованы в работе [52]. В указанных задачах поверхностное натяжение не учитывалось. Движение штампа по поверхности тонкого мембранного покрытия, лежащего на упругом и жидком основании, рассматривалось в статьях [I], [2]и[з]. В[з] показано, что задача корректно разрешима в классе обобщенных функций. В работе автора [82] изучено влияние поверхностного натяжения, определены условия применимости схемы Л.Н.Сретенского [74], найден главный член асимптотики давления, вызванного пластиной на поверхности глубокой жидкости.

Тема исследования связана с участием автора в выполнении заданий 0.74.01.04.03.Н2 и 0.74.01.04.03.НЗ ГКНТ СМ СССР в рамках межведомственного проекта "Волна". Цель исследования -провести асимптотический анализ плоских движений жидкости бесконечно малой амплитуды, вызванных влиянием сил разной физической природы и возмущениями, которые заданы на ее границах, изучить качественно различные виды движения и соответствующие им условия.

Работа состоит из трех глав. В первой главе исследуется влияние исчезающей вязкости на неустановившиеся волны, вызванные мгновенным возмущением дна. Во второй главе изучены условия отсутствия установившихся волн в бесконечности на поверхности и на границе раздела двухслойной тяжелой капиллярной жидкости, условия, при которых движение жидкости не является неустойчивым по Кельвину-Гельмгольцу. В третьей главе рассмотрены колебания плоской пластины на поверхности тяжелой капиллярной жидкости.

В исследовании неустановившихся волн на поверхности однослойной несжимаемой жидкости исчезающей вязкости новизна результатов заключается в способе асимптотического анализа задачи и следующих результатах: построении многочленных асимптотик, оценок остатков асимптотических разложений, равномерных асимптотик для вязких поправок, выделении асимптотических слагаемых, имеющих физический смысл изменения среднего уровня жидкости в волновой зоне, анализе влияния исчезающей вязкости на головную волну и передний фронт волн, вызванных мгновенным возмущением дна.

В исследовании установившегося движения двухслойной тяжелой капиллярной жидкости новизна состоит в построении новых условий отсутствия волн в бесконечности, новых условий, которые не вызывают неустойчивости по Кельвину-Гельмгольцу, способе построения этих условий для многопараметрических зависимостей.

В анализе волн, вызванных колебаниями плоской пластины на поверхности тяжелой идеальной капиллярной жидкости, новизна состоит в способе анализа давления на поверхность жидкости, построении решения в замкнутом виде в длинноволновом приближении, оценке невязки формы поверхности жидкости под пластиной при распространении длинноволновой асимптотики на случай жидкости конечной глубины^ построении удобных асимптотических оценок силового воздействия на поверхность глубокой жидкости.

В I.I методом пограничного слоя Люстерника-Вишика построено асимптотическое разложение решения задачи о неустановившихся волнах на поверхности слоя вязкой несжимаемой тяжелой жидкости, вызванных мгновенным возмущением участка дна. Асимптотическое решение представлено первыми тремя членами разложения по малому параметру

Здесь ") - кинематический коэффициент вязкости, ^ - ускорение свободного падения, /г - глубина. Показано, что наличие в разложении члена порядка £ обусловлено касательными напряжениями, которые возникают в результате выполнения условий прилипания на дне.

В 1.2 построены двухчленные асимптотические представления для вида поверхности идеальной жидкости в волновой зоне, области переднего фронта волны. Найдены оценки указанных представлений, асимптотика в переходной зоне между передним фронтом волны и волновой зоной. Волновое движение жидкости вызвано мгновенным сконцентрированным возмущением или возмущением участка дна конечной длины. Выделение зон качественно различного поведения формы свободной поверхности жидкости проведено по скорости распространения поверхностных волн.

Из полученных асимптотических формул следует, что каждое возмущение, распространяющееся с фиксированной скоростью по свободной поверхности жидкости - убывающая функция времени; в волновой зоне характер убывания по времени степенной; в области переднего фронта волны характер убывания по времени равен произведению степенного и экспоненциального законов убывания. В переходной зоне происходит смена качественно различных форм поверхности жидкости: волновой и плавно убывающей деформации уровня жидкости; достигается наибольшее значение возвышения поверхности жидкости [49], [87].

В 1.3 построены первые четыре члена асимптотического разложения возвышения свободной поверхности идеальной жидкости, вызванного мгновенным точечным возмущениемдна и распространяющегося со скоростью длинных волн X я \jftti .

В 1.4 получены асимптотические представления первой поправки на вязкость в области волновой зоны, переднего фронта волны, переходной между ними. В волновой зоне выделены асимптотические слагаемые, которые имеют физический смысл изменения среднего уровня жидкости. Изменение среднего уровня жидкости убывает обратно пропорционально корню квадратному из времени; чем выше скорость распространения поверхностного возмущения в волновой зоне, тем больше модуль функции изменения уровня жидкости. Асимптотический вклад изменений уровня жидкости имеет более высокий порядок малости, чем главный член асимптотического разложения, образован двумя дополнительными стационарными точками. Общее количество стационарных точек четыре, точка их слияния соответствует возьопцению, имеющее скорость x'jt s \j.

Для рассматриваемых примеров возмущения дна в области переднего фронта нет изменений среднего уровня жидкости, зависящих только степенным образом от времени. Влияние вязкости от первой поправки заключается в уменьшении амплитуды поверхностных возмущений в области переднего фронта, возвышения свободой поверхности, распространяющейся со скоростью С"С jt - •

В 1.5 построены асимптотические представления второй поправки на вязкость в области переднего фронта волны, волновой зоны и переходной между ними. Проведен анализ слияния стационарных точек в точке с устранимой особенностью. Выделено в волновой зоне асимптотическое слагаемое, соответствующее изменению среднего уровня жидкости. Влияние второй поправки заключается в уменьшении эффекта действия первой поправки на вязкость в области переднего фронта и волны, распространяющейся со скоростью

В 1.6 обсуждается влияние вязкости на поверхностные неустановившиеся волны. Выделены во времени две фазы влияния вязкости на головную волну и значение наибольшего возвышения свободной поверхности жидкости. В первой фазе вязкость увеличивает величину наибольшего отклонения свободной поверхности - рис.8. Во второй фазе вязкость уменьшает величину наибольшего отклонения свободной поверхности жидкости - рис.9.

В 2.1 дан анализ постановки задачи об установившемся движении двухслойной идеальной несжимаемой тяжелой жидкости с учетом капиллярных сил на свободной поверхности и на границе раздела жидкостей, а также диссипации Рэлея [74] в верхнем и нижнем слое.

Движение вызвано нормальными давлениями (сс) ,/7=1, 2, действующими на границах раздела. Верхний и нижний слой имеют постоянные, но разные плотности, глубины, скорости потоков. Рассмотрены два вида условий отсутствия волн в бесконечности, показано: а) При наличии диссипации Рэлея волн в бесконечности нет. б) В случае недиесипирующей двухслойной жидкости амплитуда волны, имеющей длину Л , равна нулю только в том случае, если Фурье образы нормальных давлений обращаются в ноль на указанной длине волны. Что соответствует результатам [6], [21], [72], [74],

В 2.2 определены условия отсутствия установившихся волн в бесконечности на свободной поверхности и на границе раздела двухслойной недиесипирующей жидкости. В отличие от первых двух условий а) и б), здесь отсутствие волн в бесконечности вызвано влиям. нием капиллярных сил. Полученное решение зависит от шести безразмерных переменных имеющих смысл чисел Фруда, Вебера; относительных глубин, плотно остальные его параметры отмечены индексом / . В указанном шестимерном пространстве выделены условия отсутствия волн в бесконечности, соответствующие В > О , J5Z >0 ; JB^O > J& > О \ О , = О . Асимптотически найдены границы областей отсутствия волн в бесконечности, удобные для практических расчетов. Показано, что существуют такие сочетания параметров, при которых увеличение поверхностного натяжения никогда не приводит в область условий отсутствия волн в бесконечности, а также к приближению "твердой крышки".

Раздел 2.2 завершен примером, важным для океанологии,

Указанные параметры позволяют выделить"баротропное уравнение" в виде сомножителя из дисперсионного соотношения двухслойной жидкости. В результате аналитически найдены: условия отсутствия волн в бесконечности, а также характерные области параметров, вызывающих: одну, две, три, четыре волны - рис.14.

В 2.3 исследовано влияние сжимаемости идеального тяжелого газа на условия отсутствия установившихся волн на границе раздела бесконечно глубоких слоев газа и несжимаемой жидкости. Показано, что увеличение сжимаемости газа сужает область условий отсутствия установившихся волн в бесконечности.

В 2.4 изучено совместное влияние тангенциального разрыва скорости потоков и свободной поверхности жидкости на неустойчистей и скольжения слоев. Верхний слой имеет размерную глубину & , вость движения двухслойной жидкости по Кельвину-Гельмгольцу. Здесь, согласно классическому определению линейной теории [48], [43], [80], параметры считаются неустойчивыми в том случае, если они вызывают неограниченный рост во времени возмущений, заданных первоначально в виде бегущих волн бесконечно малой амплитуды.

Результаты сформулированы в виде восьми признаков. Построены необходимые и достаточные условия неустойчивости по Кельвину-Гельмгольцу, определены условия, при которых реализуются течения, рассмотренные в разделе 2.2. В частности, доказано, что значения параметров условий отсутствия волн, соответствующих J5n > О , f > / » не вызывают неустойчивость по Кельвину-Гельмгольцу. Это позволяет в указанной области параметров избежать сложных расчетов, связанных с наложением условий устойчивости и отсутствия волн в бесконечности.

Из проведенного анализа следует: поверхностное натяжение на границе раздела, при наличии свободной поверхности и запаса плавучести у > / , имеет определяющее значение для стабилизации границы раздела, что качественно соответствует выводам, полученным в приближении "твердой крышки" [43], [48].

В 3.1 рассмотрена постановка задачи о плоских волнах, вызванных гармоническими колебаниями жесткой пластины конечной длины на поверхности идеальной тяжелой капиллярной жидкости конечной глубины. Закон колебания пластины имеет вид teat

X9t)=-yoe , | £ = const.

Здесь LJ - чаетота колебаний, 2d - длина пластины, -амплитуда колебаний. Считается, что форма поверхности жидкости непрерывна в окрестности краев пластины. Методом, изложенным в статье [3 ], показано, что давление на поверхность жидкости, вызванное пластиной, имеет вид

Здесь S - дельта-функция Дирака; Р (х) - амплитуда распределенного давления, удовлетворяющая интегральному уравнению второго рода с Фредгольмовым ядром и непрерывным свободным членом; Р - амплитуда сил, приложенных к поверхности жидкости в точках смены граничных условий. В постановке учитывается диссипация Рэлея.

В 3.2 построено в замкнутом виде решение задачи статики о вдавливании плоского штампа конечной длины в поверхность тяжелой капиллярной жидкости. Давление, вызванное штампом, состоит из гидростатического и сил, приложенных в точках смены граничных условий.

В 3.3 исследуются волны на поверхности жидкости бесконечной глубины, вызванные колебаниями плоской пластины конечной длины. Решение задачи зависит от двух безразмерных переменных

Во= где ju - коэффициент диссипации Рэлея, Во - число Бонда. Построена асимптотика полной силы, действующей на поверхность жидкости, в случае $ = const > о

2а где £ - отношение длины пластины к длине волны является функцией безразмерных Во Главный член асимптотики полной силы представляет собой Архимедову силу. При O^ty^y-Z главный вклад в асимптотику полной силы вносят Архимедова сила и силы на краях пластины. При ty 6 главный вклад в асимптотику полной силы определяется гидростатическим и динамическим давлениями. Для указанной здесь области параметров Во , ^а определена асимптотика Р - амплитуды сил, приложенных в точках смены граничных условий. Расчет методом трапеций Р (ос) показал, что амплитуда распределенной нагрузки - рис.25 - незначительно отличается от гидростатического закона Р (х)= f $ 2а для значений £ 0.16, Во% 8000. Построена, асимптотическая формула амплитуды волны, вызванной колебаниями пластины.

В 3.4 построено в замкнутом виде решение задачи о колебании плоской пластины конечной длины на поверхности тяжелой капиллярной жидкости малой глубины (приближение теории длинных волн). Здесь использовано условие непрерывности формы поверхности жидкости.

В 3.5 исследуются волны на поверхности тяжелой капиллярной жидкости конечной глубины, вызванные колебаниями нормального давления. Нормальное давление представляет собой давление на поверхность жидкости, которое найдено в 3.4 с помощью теории длинных волн. Построена оценка порядка невязки формы поверхности жидкости в области действия нагрузки \х\ £ CL . Найдена асимптотика амплитуды волны при малых значениях числа Бонда.

По теме диссертации оцубликованы работы [4], [7], [81-87]. Статьи 1,7], [87] и тезисы [4] опубликованы в соавторстве. В [4] соавторы исследовали решение задачи с помощью асимптотических методов [20] , автор изучил предельный переход в область низких частот и отдельно построил решение в замкнутом виде для длинноволнового приближения. В статье [87] соавтору принадлежит схема анализа волновой зоны й обсуждение результатов, автор построил асимптотические разложения и их оценки в области переднего фронта волны, волновой зоне и переходной между ними, получил основные выводы. В статье [7] изложен другой способ (метод возмущений) анализа волн на поверхности вязкой жидкости. По теме диссертации опубликованы также работы [101]-1103]. Тезисы [101] опубликованы в соавторстве. Соавторам принадлежат асимптотические схемы при других граничных условиях (полубесконечная пластина). Публикации [81] ,[85] отмечены дипломом первой степени НТО судостроительной промышленности имени академика А.Н.Крылова за участие в конкурсе 1980 г. по судовой акустике и радионавигации, руководитель конкурсной работы И.И.Ворович.

Основные результаты диссертации докладывались в г.Майкопе (1978 г.), в Морском гидрофизическом институте АН УССР (1979 -1982 г.) на семинарах соисполнителей Межведомственного проекта "Волна" под руководством Л.В.Черкесова; в г.Киеве на конференциях Молодых ученых Института гидромеханики АН УССР (1978-1980 г.), на республиканском семинаре теоретической и прикладной гидромеханики (1982 г.) под руководством И.Т.Селезова; в г.Москве на семинаре Института проблем механики АН СССР под руководством В.М.Александрова (1982 г.); на семинаре кафедры теории упругости Ростовского госуниверситета под руководством И.И.Воровича.

Автор благодарит И.И.Воровича, В.М.Александрова, Л.В.Черкесова, Л.Ф.Козлова, И.Т.Селезова, С.М.Белоносова, Л.С.Срубщика, В.И.Юдовича за обсуждение результатов и внимание к работе.

Автор приносит глубокую благодарность доценту кафедры теории упругости Ростовского госуниверситета Э.Н.Потетюнко, который оказал большую помощь в работе над диссертацией.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Трепачев, Виктор Владимирович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В главе I исследовано влияние исчезающей вязкости на плоские волны, головную волну и передний фронт волн, вызванных мгновенным воз1яущением участка дна. Методом пограничного слоя с использованием техники М.И.Вишика и Л.А.Люстерника построены первые три члена асимптотического разложения формы поверхности жидкости. Главный член асимптотического разложения представляет собой форму поверхности идеальной жидкости, остальные два - поправки на вязкость. Построены асимптотические формулы возвышения поверхности идеальной жидкости и поправок на вязкость, как функций параметров ос и t при Z!" — оо в волновой зоне, области переднего фронта волны и переходной между ними. В переходной зоне расположена головная волна и наибольшее возвышение свободной поверхности жидкости [49], [87]. Переходная зона изучена с помощью равномерных асимптотик, имеющих более широкую область использования, чем бесконечно малая окрестность волны, распространяющейся со скоростью длинных волн. Для исследования первой поправки на вязкость использована новая асимптотическая схема, основанная на анализе четырех стационарных точек фазовой функции двухкратного интеграла. В волновой зоне определены асимптотические слагаемые, представляющие собой малое изменение среднего уровня жидкости, обусловленное влиянием касательных напряжений на дне. В случае отсутствия дисперсии изменения уровня жидкости такого вида названы волновыми следами, порожденными основной волной [92]. Выделено во времени две стадии влияния исчезающей вязкости на головную волну. В первой стадии исчезающая вязкость увеличивает наибольшее возвышение свободной поверхности, а второй стадии (соответствующей большим временам, чем первая стадия) исчезающая вязкость уменьшает величину наибольшего возвышения. Волновая зона, передний фронт волн (так называемые "предвестники волн" [92] ), возвышение поверхности, распространяющееся со скоростью длинных волн x'/t' — » исследованы с помощью многочленных асимптотик, оценок их остатков и ограничений на исходные параметры, что позволяет более строго определить область применения асимптотических результатов.

В главе два изучены три типа условий отсутствия установившихся волн в бесконечности, соответствующих случаям: коэффициент поверхностного натяжения отличен от нуля только на свободной поверхности, коэффициент поверхностного натяжения отличен от нуля только на границе раздела жидкостей, коэффициенты поверхностного натяжения отличны от нуля на свободной поверхности и границе раздела жидкостей. В частном случае построены условия в замкнутом виде, при которых возникает заданное число волн (от 0 до 4). Исследовано влияние сжимаемости тяжелого газа на условие отсутствия волн в бесконечности на границе раздела газ - несжимаемая жидкость. Наличие тангенциального разрыва скорости потоков потребовало дополнительного исследования на устойчивость относительно возмущений типа бегущей волны. В этой части исследования найден простой алгоритм расчета нейтральной кривой, построены оценки, позволяющие избежать сложных расчетов, связанных с наложением условий отсутствия волн в бесконечности и условий, не вызывающих неустойчивости по Кельвину-Гельмгольцу. В условиях отсутствия волн в бесконечности изучены параметры,при которых возможен предельный переход к приближению "твердой крышки". В условиях, не вызывающих неустойчивости по Кельвину-Гельмгольцу, определена область параметров, где наличие свободной поверхности приводит к снижению устойчивости потока двухслойной жидкости по сравнению с приближением "твердой крышки" [43] . Влияние поверхностного натяжения на неустановившиеся волны в двухслойной жидкости со свободной поверхностью исследовалось в [131Д93] без учета тангенциального разрыва скорости потоков.

В главе три исследовано безвихревое движение тяжелой капиллярной жидкости, вызванное колебаниями плоской жесткой пластины на ее поверхности. При решении использовано условие непрерывности формы поверхности жидкости [3] , что позволяет использовать результаты при анализе колебания пластины на поверхности плавающего мембранного покрытия. Для статической задачи и длинноволнового приближения построены решения в замкцутом виде, что представляет интерес для практических приложений. Решение статической задачи может быть выведено из полученных результатов с помощью предельного перехода и совпадает с результатами, найденными другим способом в [3] и публикации автора [82] . В случае жидкости бесконечной глубины построены удобные асимптотики силовых характеристик, которые подтверждены численным анализом интегрального уравнения. Оценка невязки формы поверхности жидкости конечной глубины позволяет оценить область применимости длинноволнового приближения, изучать волновые процессы на мелководье.

Результаты первой главы нашли использование в теоретических исследованиях, а второй и третьей глав диссертации - в постановочной части лабораторных экспериментов НЙИМ и ПМ РТУ, выполненных согласно указанным во введении заданиям ГКНТ СМ СССР. Достоверность диссертационной работы определена: сопоставлением с известными результатами с помощью предельных переходов; сопоставлением оценок, полученных в диссертации различными способами (например, см. рис.15); построением решений в замкнутом виде.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Трепачев, Виктор Владимирович, 1984 год

1. Александров В.М., Арутюнян Н.Х. Взаимодействие движущегося упругого штампа с упругой полуплоскостью через накладку или тонкий слой идеальной жидкости. - Прикладная математика и механика, 1978, т.42, № 3, с.475-485.

2. Александров В.М., Коваленко Е.В. Движение штампа по упругой полуплоскости с тонким усиливающим покрытием. В кн.:Механи-ка сплошной среды. Ростов н/Д, Изд-во РГУ, 1981, с.13-27.

3. Александров В.М., Коваленко Е.В. Движение штампа по поверхности тонкого покрытия, лежащего на гидравлическом основании. Прикладная математика и механика, 1981, т.45, № 4, с.734-744.

4. Андреева Г.И., Потетюнко Э.Н., Трепачев В.В. Волны, вызванные вибратором. В кн.: Тезисы докладов Всесоюзной научной конференции по смешанным задачам механики деформируемого тела: 4.1. Ростов н/Д, 1977, с.7.

5. Гидромеханика невесомости/ В.Г.Бабский, Н.Д.Копачевский, А.Д.Мышкис и др. М.: Наука, 1976. - 504 с.

6. Басин М.А., Шадрин В.П. Гидро-аэродинамика крыла вблизи границы раздела сред. Л.: Судостроение, 1980. - 304 с.

7. Батищев В.А., Трепачев В.В. 0 применении метода многих масштабов в задаче о волнах на поверхности жидкости. Журнал прикладной механики и технической физики, 1982, № 3, с.42-44.

8. Белоносов С.М., Капшивый А.А., Черноус К.А. Об одной нестационарной задаче осесимметричного течения вязкой несжимаемой жидкости. Доклады АН УССР. Сер.А, 1976, № 2, с.131-134.

9. Берштейн В.А. Цунами и рельеф океанического дна. Новосибирск: Наука, 1974. - 140 с.

10. Болотинский Е.М., Потетюнко Э.Н., Срубщик Л.С. Пример волнового движения жидкости, вызванного касательным напряжением.- В кн.: Математический анализ и его приложения. Ростов н/Д , Изд-во РТУ, 1971, т.З, с.53-58.

11. Букреев В.И. Волны на границе раздела двух жидкостей разной плотности, генерируемые движением кругового цилиндра и симметричного крыла. Журнал прикладной механики и технической физики, 1980, № I, с.55-59.

12. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. 2-е изд.доп. и переработ. - М.: Наука, 1973. - 343 с.

13. Букатов А.Е., Мордашев В.И., Черкесов Л.В. Неустановившиеся капиллярно-гравитационные волны в двухслойной жидкости. В кн.: Поверхностные и внутренние волны. Севастополь, изд-во МГИ АН УССР, 1979, с.140-152.

14. Буйвол В.Н. Колебания и устойчивость деформируемых систем в жидкости. Киев: Наукова Думка, 1975. - 190 с.

15. Вазов В. Асимптотические разложения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. - 462 с.

16. Витюк В.Ф. Дифракция поверхностных волн на доке конечной ширины. Прикладная математика и механика, 1970, т.34, № I,с.32-40.

17. Вишик М.И., Лгостерник Л.А. Регулярное выровдение и пограничный слой для дифференциальных уравнений с малым параметром. -Успехи математических наук, 1957, т.12, № 5, с.3-122.

18. Войт С.С., Себекин В.И. Дифракция неустановившихся поверхностных и внутренних волн. Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1964, т.5, № 2, с.180-187.

19. Войт С.С. Длинные волны и приливы. В кн.: Итоги науки и техники. Океанология. М., 1975, т.З, с.70-90.

20. Ворович И.И. и др. Неклассические смешанные задачи теории упругости/ И.И.Ворович, В.М.Александров, В.А.Бабешко. М.: Наука, 1974. - 455 с.

21. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979.- 319 с.

22. Ворович И.И., Юдович В.И. Удар круглого диска о жидкость конечной глубины. Прикладная математика и механика, 1957, т.21, № 4, с.525-532.

23. Газарян Ю.Л. О поверхностных волнах в океане, возбуждаемых подводными землетрясениями. Акустический журнал, 1955, т.1, № 3, с.203-217.

24. Гарипов P.M. Об асимптотике волн в жидкости конечной глубины, вызванных произвольным начальным возвышением свободной поверхности. Доклады АН СССР, 1962, т.147, № б, с.1306-1309.

25. Гершунов Е.М. Колебания плоской системы штамп жидкость.- Прикладная механика, 1977, т.13, № 6, с.79-85.

26. Госсард Э.Э., Хук У.X.Волны в атмосфере. М.: Мир, 1978.- 277 с.

27. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 5-е изд. - М.: Наука, 1971. - 1108 с.

28. Дикий Л.А. Теория колебания земной атмосферы. Л.: Гид-рометиоиздат, 1969. - 196 с.

29. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. - 466 с.

30. Интегральные уравнения/ П.П.Забрейко, А.И.Кошелев, М.А. Красносельский и др. М.: Наука, 1968. - 448 с.

31. Задорожный А.И., Хартиев С.М., Черкесов Л.В. О влиянии вязкости на вынужденные волны в непрерывно стратифицированном океане. В кн.: Поверхностные и внутренние волны. Севастополь, Изд-во МГИ АН СССР, 1978, с.178-191.

32. Золотарев А.А. Развитие корабельных волн в вязкой жидкости. В кн.: Поверхностные и внутренние волны. Севастополь, Изд-во МГИ АН СССР, 1978, с.84-93.

33. Каменкович В.М. Основы динамики океана. Л.: Гидрометео-издат, 1973. - 239 с.

34. Кладько С.Р. Волны в неоднородной жидкости от периодических давлений в присутствии тонкой пластины. Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1976, № 5, с.91-96.

35. К методу перевала. Летняя школа по проблемам элементарных частиц, август 1967 г. Методы вычислений/ В.А.Колкунов, В.Н. Мейман, Е.С.Николаевский и др.: Ч.З. Тарту, 1969, с.85-101.

36. Копсон Э.Т. Асимптотические разложения. М.: Мир, 1966.- 155 с.

37. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973. - 831 с.

38. Коротаев Г.К., Пантелеев Н.А. Гидродинамическая неустойчивость внутренних волн в океане при нестационарном сдвиге.

39. Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1977, т.13, № 10, с.1050.

40. Кочин Н.Е. Теория волн, вынуждаемых колебаниями тел под свободной поверхностью тяжелой несжимаемой жидкости. Собр.соч., т.2. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1949, с.277-3047.

41. Кочин Н.Е. и др. Теоретическая гидромеханика / Н.Е.Ко-чин, И.А.Кибель, Н.В.Розе. 4-е изд., т.1. - М.: Физматгиз, 1963. - 445 с.

42. Крейн С.Г. 0 колебаниях вязкой жидкости в сосуде. Доклады АН СССР, 1964, т.159, № 2, с.262-265.

43. Куликовский А.Г., Шикина И.С. О развитии возмущений на границе двух жидкостей. Известия АН СССР. Механика жидкости и газа, 1977, № 5, с.46-49.

44. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. 4-е изд. - М.: Наука, 1973. - 736 с.

45. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой жидкости. М.: Физматгиз, 1961. - 203 с.

46. Ламб Г. Гидродинамика. М.-Л.: ОГИЗ - Гостехиздат, 1947. - 948 с.

47. Лайтхилл Д. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981. - 598 с.

48. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959. - 699 с.

49. Луковский И.А. Нелинейные колебания жидкости в сосудах сложной формы. Киев: Наукова Думка, 1975. - 135 с.

50. Мазья В.Г. К стационарной задаче о малых колебаниях жидкости в присутствии погруженного тела. В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск, 1977, с.57-59.

51. Митра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. -М.: Мир, 1974. 327 с.

52. Моисеев Н.Н. Некоторые вопросы гидродинамики поверхностных волн. В кн.: Механика за 50 лет: т.2. - М.: Наука, 1970, с.55-78.

53. Моисеев Н.Н. 0 краевых задачах для линеаризованных уравнений Навье-Стокса в случае, когда вязкость мала. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1961, т.1, № 3, с.548-550.

54. Монин А.С. и др. Изменчивость Мирового океана / А.С.Мо-нин, В.М.Каменкович, В.Г.Корт. Л.: Гидрометеоиздат, 1974. -261 с.

55. Нестеров С.В., Секерж-Зенькович С.Я. 0 Кельвиновской неустойчивости в цилиндрическом слое жидкости. В кн.: Цунами и внутренние волны. Севастополь, изд-во МГИ АН УССР, 1976, с.156-163.

56. Никишова О.Д. Расчет формы профилей возмущений в задаче об устойчивости пограничного слоя на вогнутой поверхности. -Гидромеханика, 1980, вып.41, с.108-113.

57. Островский A.M. Решение уравнений и систем уравнений. -М.: ИЛ, 1963. 220 с.

58. Павленко Г.Е. Избранные труды. Киев: Наукова Думка, 1978. - 222 с.

59. Панченков А.Н. Теория потенциала ускорений. Новосибирск: Наука, 1975. - 222 с.

60. Погорелова Т.М. Влияние поверхностной пленки на собственные колебания свободной границы жидкости. В кн.: Теоретические и экспериментальные исследования поверхностных и внутренних волн. Севастополь, изд-во МГИ АН УССР, 1980, с.175-181.

61. Потетюнко Э.Н. Асимптотический анализ волновых движений вязкой жидкости при малых и больших временах. Доклады АН СССР, 1973, т.210, № 5, с.I040-1042.

62. Потетюнко Э.Н., Срубщик Л.С. Асимптотический анализ волновых движений вязкой жидкости со свободной границей. Прикладная математика и механика, 1970, т.34, вып.5, с.891-910.

63. Потетюнко Э.Н. Асимптотический анализ переднего фронта волны, вызванной начальным возмущением свободной поверхности вязкой жидкости постоянной глубины. В кн.: Математический анализ