Волноводные модели когерентных структур в ламинарном и турбулентном пограничных слоях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Жаров, Владимир Алексеевич

• Жаров, Владимир Алексеевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Жаров, Владимир Алексеевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Экспериментальные данные и состояние теории

1.1 Эксперимент - история и современное состояние

1.1.1. Общие замечания

1.1.2. Структура осредненного течения

1.1.3. Пульсации, внутренняя область

1.1.4. Пульсации, внешняя область

1.1.5. Тройное разложение

1.1.6. Выводы

1.2. Состояние теоретических подходов

1.3. Выбор направления исследования

1.4. Развитый турбулентный пограничный слой

Глава 2. Спектральные характеристики профиля Блазиуса

2.1. Введение

2.2. Дисперсионное соотношение для волн Толлмина-Шлихтинга -

машинная аналитика

2.2.1. Постановка задачи

2.2.2. Решение уравнения Блазиуса

2.2.3. Решение уравнения Рэлея

2.3. Малые волновые числа, аналитические оценки

2.3.1. Введение

2.3.2. Постановка задачи

2.3.3. Алгоритм решения и результаты аналитических оценок

для модельного профиля продольной скорости

2.4. Численные результаты. Спектральные характеристики на профиле Блазиуса

в основном диапазоне волновых чисел

2.4.1. Постановка задачи

2.4.2. Уравнение Сквайра

2.4.3. Уравнение Орра-Зоммерфельда

2.4.4. Резонансные характеристики

2.4.5. Выводы

2.5. Численные результаты. Дисперсионные соотношения на профиле Блазиуса

в области малых волновых чисел

2.5.1. Введение

2.5.2. Постановка задачи

2.5.3. Выделение особенности. Метод эталонного уравнения

2.5.4. Сравнение двух вариантов метода эталонного уравнения

2.5.5. Решение на интервале (0, Ь) с асимптотическим граничным

условием

2.5.6. Выводы

2.6. Выводы

Глава 3. Динамика возмущений конечных спектральных размеров в ламинарном пограничном слое

3.1. Введение

3.2

3.3. Динамика элементов волновых пакетов

3.3.1. Введение

3.3.2. Волновой пакет возле точки к = 0

3.3.3. Волновой пакет возле точки к ^ 0

3.3.4. Применение теории возмущений для создания укороченных уравнений динамики волнового пакета

3.4. Составной волновой пакет

3.4.1. Введение

3.4.2. Решение в виде совокупности резонансов

3.4.3. Асимптотическое по 0 решение

3.5. Линейная и нелинейная динамика волнового пакета

3.5.1. Введение

3.5.2. Уравнение для гармоник и уравнение для огибающей

волнового пакета

3.5.3. Узкие волновые пакеты

3.5.4. Некоторые частные случаи динамики волнового пакета

3.6. Гауссово приближение в динамике сложного волнового пакета

3.6.1 Матричные элементы

3.6.2. Уравнения для огибающей волнового пакета в гауссовом приближении

3.6.3. Уравнения для амплитуд, векторов резонансного триплета и ширины волновых пакетов

3.6.4. Результаты вычислений

3.6.5. Выводы

3.7. Диффузия низкочастотной составляющей спектра возмущений в пространстве волновых чисел

Глава 4. Переходная область

4.1. Введение

4.2. Формулировка вероятностной модели перехода

4.3. Определение коэффициента сопротивления пластины при наличии перехода

4.4. Выводы

Глава 5. Развитый турбулентный пограничный слой. Волноводная модель

когерентной и стохастической составляющих развитого турбулентного

пограничного слоя

5.1. Введение

5.2. Определяющие экспериментальные данные

5.2.1. Ламинарный пограничный слой

5.2.2. Турбулентный пограничный слой

5.3. Теоретический аппарат

5.3.1. Аналитические свойства решений задачи на собственные

значения Орра - Зоммерфельда и Сквайра

5.3.2. Волны дискретного спектра

5.3.3. Волны непрерывного спектра

5.3.4. Теорема о полноте

5.3.5. Резонансы

5.4. Исходные уравнения для возмущений потока

5.4.1. Уравнение для пульсаций в одномодовом приближении, функции у ив

5.4.2. Уравнения для амплитуд пульсаций в одномодовом приближении

5.4.3. Разделение пульсационных величин на когерентную и некогерентную

части

5.4.4. Моменты случайной составляющей в однородном случае

5.4.5. Тензор напряжений

5.4.6. Модельное представление когерентной структуры

5.4.7. Континуальный аналог уравнений для амплитуд волн в состоянии множественного 3-х волнового резонанса

5.4.8. Корреляционная функция стохастического компонента

при наличии когерентной структуры

5.4.9. Физическая интерпретация полученных результатов

5.5. Вывод уравнений для когерентной и стохастической составляющих пульсаций

в масштабе ^ методом многих масштабов

5.5.1. Анализ уравнений метода многих масштабов для когерентной структуры

5.5.2. Модельный вариант когерентной структуры

5.5.3. «Энергетический» инвариант когерентной структуры

и его свойства

5.5.4. Вывод уравнений для корреляционной функции

стохастической составляющей пульсаций в масштабе ^

5.6. Численные результаты

5.6.1. Метод вычислений спектральных характеристик

5.6.2. Профиль продольной скорости развитого турбулентного пограничного

слоя

5.6.3. Собственные функции дискретного спектра (моды)

5.6.4. Биортогональность

5.6.5. Дисперсионные зависимости мод (Яе ( с (к) ) и 1т( с (к) ) ота , =104)

5.6.6. Закон подобия

5.6.7. 3-х волновой резонанс

5.6.8. Область, q2 /q1 > 0, ^ /q1 > 0 когерентной структуры в пространстве

волновых чисел волнового вектора к = (а(Д), Д)

5.6.9. Поведение амплитуд 3-волнового резонанса от времени

5.6.10. Средние по ^ и ^ квадраты скоростей пульсаций

5.6.11. Выводы

6. Заключение

7. Список литературы

8. Список условных обозначений

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Моим родителям, Алексею Николаевичу и Антонине Ивановне Жаровым, посвящается

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Волноводные модели когерентных структур в ламинарном и турбулентном пограничных слоях»

ВВЕДЕНИЕ.

Работа посвящена построению физической теории развитого турбулентного пограничного слоя. Для этого проанализированы экспериментальные данные, полученные за длительный период исследований в этой области, которые привели к появлению не столько количественных, сколько новых качественных результатов, относящихся к динамике развитого турбулентного пограничного слоя. Подробное обсуждение этих результатов приведено в монографии [Белоцерковский, Хлопков, Жаров, Горелов, Хлопков, 2009]. Ранее эти вопросы поднимались в обзорах [Струминский, Филиппов, 1969; Репик, Соседко, 1974; Власов, Гиневский, 1986].

Монография [Белоцерковский, Хлопков, Жаров, Горелов, Хлопков, 2009] посвящена одному из актуальнейших экспериментальных направлений исследования турбулентности - когерентным структурам в турбулентном пограничном слое на плоской пластине. Начало такого рода исследованиям было положено в работе Клайна, Рейнольдса, Шрауба и Рунштадлера [Kline, Reynolds, Schraub, Runstadler, 1967]. Это направление, скорее качественного, чем количественного, исследования турбулентности длительное время развивалось в ряде стран, а также отечественными исследователями (см. вступительную речь М.Д. Миллионщикова на Всесоюзном семинаре по проблемам турбулентных течений в сборнике [Миллионщиков, 1974], но историю отечественных исследований в этой области следует, по-видимому, начать с работ Г.И. Петрова [Петров, 1937, 1938], и к настоящему времени получено много интересных результатов, интенсивно обсуждаемых специалистами.

Чтобы отчетливо выявить историческую тенденцию, трудности, спорные места, в монографию включены результаты работ крупных зарубежных представителей этого направления, подводящие итоги определенных этапов указанных исследований. Собраны результаты длительных экспериментальных

5

исследований по выделению и определению свойств когерентных (динамических) структур, полученных энтузиастами этого направления в течение приблизительно 40 лет (с 1940 по 1980 гг.).

Эти исследования проводились зачастую на ощупь, когда еще отсутствовали основные понятия, определения, установившаяся методика. Тем не менее, результаты, приведенные в обзоре [Cantwell, 1981], убедительно доказывают существование когерентного динамического компонента в турбулентных течениях, отличного от когерентных структур, образующихся вследствие ряда кинематических эффектов в стохастических полях. Обзор многочисленных эффектов такого рода приведен в работе [Кляцкин, Гурарий, 1999]. Альтернативный вариант интерпретации экспериментальных результатов в пограничном слое приведен в работе [Chernyshenko, Baig, 2005], в которой построена модель стриков на основе кинематического представления их образования в случайном поле развитого турбулентного пограничного слоя. В работе [Hussain, 1983] уже присутствует определение когерентной структуры, которое позволяет свести воедино многочисленные частные формулировки, используемые другими исследователями, описаны требования к процедурам детектирования и выделения таких структур. Кроме того, в этой работе сопоставлены конкурирующие представления, выявлены сомнительные места в общепринятых рассуждениях и высказаны критические замечания.

Результаты работы [Blackwelder, 1987] подводят итог в решении проблем, которые были поставлены ранее при исследовании структур в турбулентном пограничном слое. В частности, приведены аргументы, позволяющие как будто бы окончательно решить вопрос о масштабировании частоты «берстинга», который решен на данном этапе, в противовес утверждению Кантуэлла в пользу вязких масштабов [Luchik, Tiederman, 1987]. Необходимо отметить и то, что терминология в этой области не всегда оказывается достаточно установившейся. Это видно на примере терминов «шпилькообразный вихрь» и «подковообразный вихрь». В работах [Wygnanski, Sokolov, Friedman, 1976; Cantwell, Coles, Dimotakis,

1978] под «подковообразным вихрем» подразумевают некое крупное образование,

6

характерное для развитых турбулентных пятен. Причем в работах [Gad-El-Hak, Blackwelder, Riley, 1981] показано, что этот вихрь является «капризом» и не играет в динамике пятна существенной роли. В работах [Tadashi Utami, Tetsuo Ueno, 1987; Acarlar, Smith, 1987] «шпилькообразный» и «подковообразный» вихри - практически одно и то же. Употребляется также понятие «Л-вихря», который, возможно, является «шпилькообразным вихрем» на некоторой стадии своего развития. В одних работах [Walker, Herzog, 1987] появление «стриков» (поперечной структуры течения вблизи стенки) связано с наличием периодической системы продольных вихрей, в других утверждается [Kim J., Moin P.] что «стрики» - это следы «шпилькообразных вихрей».

Кроме того, за истекший период обнаружено большое разнообразие структур в сдвиговых течениях и в пограничном слое, в частности, вот некоторые из них: пятна, «подковы», «шпильки», «блины» (pancake), «серфинговые доски» (surfboard), «типичные вихри», вихревые кольца, грибовидные вихри, вихри типа наконечника стрелы (arrowhead) [Falco, 1977]. Позже были обнаружены в пограничном слое так называемые воронкообразные (funnel) вихри [Kaftory, Hetsroni, Banerjee, 1995]. Исследователи убеждены, что все это разнообразие вихрей можно получить из «шпилькообразных вихрей» при различных числах Рейнольдса [Jang, Beney, Cheni, 1984].

Согласно представленным в монографии [Белоцерковский, Хлопков, Жаров, Горелов, Хлопков, 2009] результатам трех работ ведущих ученых в области исследования структур [Cantwell, 1981; Hussain, 1983; Blackwelder, 1987], наиболее важной проблемой в изучении турбулентного пограничного слоя является проблема квазипериодических выбросов жидкости из пристенной области течения - «берстинга» (механизмы «берстинга», его связь с крупномасштабными структурами и т. д.). Поэтому последняя часть монографии посвящена рассмотрению искусственно созданных гидродинамических образований, моделирующих то или иное событие, связанное с «берстингом». Для исследователей на современном этапе характерно, что они стремятся ввести дополнительные, по сравнению с плоским течением, элементы, например

градиенты продольного давления, шероховатость, рифление, многозвенные полимеры в жидкостях, гетерогенность потока [Вараксин, 2003] и т.д., для того, чтобы выявить связь «берстинга» с внешними структурами, более отчетливо понять механизмы его протекания, т. е. исследования становятся междисциплинарными. В такой постановке задача сводится к поиску таких условий проведения эксперимента, при которых можно было бы проще всего понять изучаемое явление.

Рассматривая область развитого турбулентного течения в пограничном слое, нельзя забывать об областях, предшествующих ей при обтекании, а именно ламинарной и переходной. В связи с этим возникает целый ряд проблем, таких как восприимчивость, развитие возмущений в ламинарной области, сценарии перехода, зависящие от условий вблизи передней кромки пластины и т.д., которые успешно решаются рядом отечественных исследователей. После работы [Emmons, 1951; Dhawan, Narasimha, 1957] следует отметить работу [Поляков, 1979, в которой рассмотрены спектры возмущений в потоке вблизи передней кромки пластины и обнаружены на начальной стадии развития волнового пакета два максимума по частотам, т. е. на начальной стадии формируются два волновых пакета. Кроме того, в этой работе выявлено интенсивное нарастание колебаний в сплошном спектре.

Интересны также работы [Довгаль, Козлов, Левченко, 1980; Grek, Kozlov, Ramazanov, 1985], в которых рассмотрено проникновение в пограничный слой возмущений, индуцируемых довольно далеко от поверхности пластины выше по течению от передней кромки. При этом возмущение в области платины распространялось со скоростью 0,8 U», возбуждая вниз по течению волны Толлмина-Шлихтинга. Эти экспериментальные наблюдения получили продолжение в работах Новосибирской школы исследователей. Прекрасное изложение этих результатов можно найти в недавно изданных монографиях [Бойко, Грек, Довгаль, Козлов, 1999; Бойко, Грек, Довгаль, Козлов, 2006]. Там же рассмотрен переход течения в пограничном слое при турбулентном набегающем

потоке, при этом показано, что переход в пограничном слое начинается, минуя

стадию возбуждения волн Толлмина-Шлихтинга. Интересные результаты по взаимодействию внешней турбулентности с возмущениями в пограничном слое на нелинейной стадии развития в допереходной области получены в работе [Kendall, 1985].

Сравнительно давно развиваются волновые представления о явлениях, происходящих в допереходной области. Этот подход успешно развивается рядом исследователей Новосибирской школы. Результатом этих исследований явились работы, в которых предложена резонансная модель перехода. Эта модель заключается в том, что в допереходной области последовательно возбуждаются три типа резонанса: гармонический, параметрический и трехволновой [Kachanov, 1985, 1994; Зельман, 1974; Zelman, Maslennikova, 1993], которые, благодаря взаимному действию, распространяются в пространстве волновых чисел и тем самым вовлекают другие масштабы в динамику, связанную с развитием возмущений. Отметим, что распространение трехволнового резонанса в пространстве волновых чисел рассмотрено также в работе [Жаров, 1986].

Допереходная область интересна также тем, что в ней в ламинарном режиме можно моделировать некоторые процессы, протекающие в области развитой турбулентности. Например, в работах [Blackwelder, 1983; Williams, 1985] рассмотрены вопросы подобия между распадом волн Толлмина-Шлихтинга в области перехода и "берстингом" в развитом турбулентном течении в пограничном слое.

Ряд результатов, представленных в монографии, получен сравнительно давно и может показаться устаревшим. Это касается, прежде всего, представлений, связанных с «берстингом» и структур, появляющихся в процессе его протекания. Заметим здесь, что существенных изменений в этих представлениях к настоящему времени не произошло. Более того, оказалось, что эти представления продолжают получать подтверждение или уточняться в работах последнего времени [Zhou, Adrian, Balachandar, Kendall., 1999; Khujadze, Nguen Van Yen, Schneider, Oberlack, Farge, 2011]. На рисунке 1 [Khujadze et al., 2011] представлены поля компонентов юх и ®z завихренности ( ш = rot[v] ),

9

восстановленные из разложения полей по ортогональным вейвлетам. Результат показывает, что полное поле соответствующего компонента практически совпадает с полем, восстановленным по ~1% использованных коэффициентов вейвлетов (99% полной энстрофии), в то время как оставшаяся часть коэффициентов представляет бесструктурный компонент малой амплитуды. В связи с этим интерес представляет ряд работ [Chernyshenko, Baig, 2005; Waleffe, 1998, 2001, 2003; Wedin H., Kerswell R. R. 2004; Kerswell R.R., Tutty O.R., Drazin P.G., 2004; Hof, van Doorne, Westerweel, et al. 2004; Plasting, Kerswell, 2005; Kerswell, 2005; Willis, Kerswell, 2007; Kerswell, Tutty, 2007; Pringle, Kerswell, 2007], в которых когерентная часть турбулентного потока интерпретируется как нелинейные волны. Причем в ламинарной части допереходной области эти волны являются точными решениями уравнений гидродинамики.

Рис. 1

Отметим также большой интерес теоретиков к этим вопросам, который был первоначально инициирован, по-видимому, такими явлениями, как солитоны, что, как известно, привело к появлению новых направлений в математической физике, связанных с обнаружением полностью интегрируемых нелинейных гамильтоновых систем. В настоящее время этими исследователями делаются попытки включить в рассмотрение явления, не описываемые гамильтоновыми уравнениями [Маханьков, Рыбаков, Санюк, 1994], которые по своему физическому содержанию близки к понятиям когерентных динамических структур, обнаруженных в турбулентных течениях вязкой жидкости. Интерпретация турбулентности с точки зрения нелинейных волн приводит к необходимости использования современных достижений теории динамических систем (см., например, [Кегв№е11, ТиНу, Бга7т, 2004]). Есть и другие аспекты структуризации турбулентного пограничного слоя, связанного с применением асимптотических методов для его описания: [81е№аг1воп, 1969; Нейланд, 1969; МеББЙег, 1970; Сычев, Сычев Вик. В., 1987; Вигдорович, 1993; Михайлов, 2005].

Нельзя обойти вниманием попытки численного решения ряда проблем турбулентного движения жидкости. В связи с этим отметим направление, представленное в монографии [Ве^БегкоУБкп, 2003]. Основная идеология в этом оригинальном многоплановом подходе (прямого численного моделирования) к изучению структурной турбулентности заключается в создании адекватных исследуемому явлению «рациональных» численных моделей, предложенных О.М. Белоцерковским в Кармановской лекции в 1976 г. Эти модели при изучении организованных структур основаны на рассмотрении «дискретных уравнений» Эйлера для сжимаемого газа и диссипативных разностных схем (с аппроксимацией против потока), не использующих специальные явные подсеточные аппроксимации и полуэмпирические модели турбулентности. Стохастические явления при этом исследуются на кинетическом уровне методами Монте-Карло. Предлагаемый подход основан на двух гипотезах: «о независимости больших организованных структур и мелкомасштабной

турбулентности» и «о слабом влиянии молекулярной вязкости (и характера диссипативного механизма) на свойства больших организованных структур».

Рис. 2

Таким образом, проблема структурности вошла в повседневную практику, и исследуется многими учеными экспериментально и численными методами. В настоящее время представления о наличии в турбулентном потоке когерентных составляющих используются уже при решении практических задач [МапкЬаё1, 1994].

На рисунке 2 [^Ъ, Мот, 2009] представлено поле второго инварианта тензора скоростей деформаций, дающее представление о вихревой структуре развитого турбулентного пограничного слоя вблизи стенки.

Современное экспериментальное представление о когерентной структуре турбулентного пограничного слоя представлено в работе [ВогоёиНп, КасИапоу, КовсИекауеу, 2011]. В этой работе изложены результаты прецизионных экспериментов, позволивших экспериментально с большой достоверностью наблюдать шпилькообразные вихри. При этом разработана методика, с помощью которой можно воссоздавать одно и то же вихревое поле развитого пограничного слоя любое заданное число раз, что подтверждает наличие динамической когерентной структуры.

Цель работы: построение моделей динамики пульсаций в ламинарном и турбулентном течении жидкости в пограничных слоях на пластине с нулевым продольным градиентом давления на основе уравнений Навье-Стокса. Для достижения этой цели поставлены и решены следующие задачи:

1) с помощью известных численных и аналитических методов исследованы спектральные задачи для уравнения Орра-Зоммерфельда и Сквайра в широкой области волновых чисел, в том числе, в области малых волновых чисел;

2) на основе полученных свойств собственных функций построена слабонелинейная модель динамики возмущений конечных спектральных размеров в ламинарном пограничном слое Блазиуса. Получены аналитические и численные результаты развития возмущений вниз по потоку. На этом примере отработаны методы построения подобных моделей с заданным профилем продольной скорости;

3) сформулирована простая статистическая модель течения в переходной области, основанная на экспериментальных данных о рождении, развитии и взаимодействии пятен Эммонса;

4) проведен анализ экспериментальных результатов многочисленных работ зарубежных и отечественных авторов, относящихся к развитому турбулентному пограничному слою, и сформулированы качественные следствия, принципы, которым должна удовлетворять динамика развитого турбулентного пограничного слоя;

5) по аналогии с ламинарным пограничным слоем, с учетом следствий, полученных в экспериментальных исследованиях, построена слабонелинейная волноводная модель динамики пульсаций в развитом турбулентном пограничном слое, содержащая когерентную структуру и стохастическую часть пульсаций.

6) В качестве методов исследования рассмотренных задач использованы хорошо зарекомендовавшие себя методы разложения поля течения по

13

полным системам собственных функций, теория функций комплексного переменного, теорию интегрального преобразования Фурье, асимптотические методы (метод многих масштабов). Для проведения сложных аналитико-численных расчетов использовалась машинная аналитика. Анализ экспериментальных результатов проводился методом сравнения нескольких аналогичных результатов, реализованных на разных экспериментальных установках, расположенных в разных местах, полученных в разное время разными авторами. Для анализа теоретических методов построения моделей турбулентных течений проведен обзор теоретических работ за примерно 50-ти летний период развития этой области знания.

Содержание работы по главам.

Введение. Дана история эволюции понятия «когерентная структура» в прецизионных экспериментальных исследованиях турбулентного пограничного слоя, проведенных в работах иностранных специалистов, за длительный период времени.

Глава 1. Приведены наиболее существенные с точки зрения конструирования теории экспериментальные данные и обрисовано состояние теоретических методов, используемых для описания подобных явлений. В качестве результата этого обзора приведено одно из возможных направлений, достаточно эффективное, описания динамики когерентной структуры в развитом турбулентном пограничном слое, как в допереходной части пограничного слоя, так и в развитом турбулентном пограничном слое.

Глава 2. Аналитически и численно изучены спектральные характеристики волн Толлмина-Шлихтинга на профиле Блазиуса уравнений Орра-Зоммерфельда и Скавйра для вертикальных компонент скорости и завихренности возмущений, как в области малых, так и больших волновых чисел и числа Рейнольдса задачи. В результате этого анализа были сформулированы дисперсионные зависимости волн Толлмина-Шлихтинга, позволяющие аналитически оперировать ими, что

позволило получить уравнения для амплитуд волн Толлмина-Шлихтинга составного волнового пакета, как в линейном, так и в нелинейном прближении. Глава 3. Для апробации выбранных методов исследования развитого турбулентного пограничного слоя рассмотрена динамика возмущений конечных спектральных размеров в ламинарном пограничном слое на плоской пластине под нулевым углом атаки с нулевым продольным градиентом давления. Развит математический аппарат, позволяющий получать уравнения огибающей волновых пакетов. Показано, что динамика возмущений конечных спектральных размеров в ламинарном пограничном слое подчиняется системе интегродифференциальных уравнений для возмущений вертикального компонента скорости элементов волнового пакета в пограничном слое. Приведены примеры аналитического и численного поведения простого и составного волнового пакета в режиме слабой нелинейности. Для обобщения результатов предложено гауссово приближение описания динамики волновых пакетов такого вида, которое основано на гамильтоновой динамике центров волновых пакетов, из которых состоит сложный волновой пакет и резонансной диффузии области определения волнового пакета конечной спектральной ширины. Последнее обстоятельство позволяет дать некоторое объяснение явлению спектрального уширения области определения волновых пакетов в пространстве волновых чисел.

Глава 4. В качестве примера течения, которое не поддается теоретическому описанию, рассмотрена переходная область пограничного слоя. На основе приемов статистического моделирования физических процессов предложен полуэмпирический нестационарный метод описания динамики пятен Эммонса, учитывающий возможность их перекрытия и определения перемежаемости по относительной площади, занимаемой пятнами. В результате этого подхода получены характеристики течения в переходной области пограничного слоя: среднее поле течения, коэффициент трения и форм-параметр. Глава 5. Развитый турбулентный пограничный слой. Дан обзор предшествующих моделей когерентных структур в развитом турбулентном пограничном слое. Сформулированы качественные следствия экспериментального исследования

15

когерентных структур, которые можно принять за исходные принципы построения математической модели когерентных структур. Предложена волноводная модель когерентных структур. Собраны элементы математического аппарата волноводной теории, которые положены затем в основу построения модели развитого турбулентного пограничного слоя.

В рамках принятых предположений из уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости получено уравнение для амплитуд волн Толлмина-Шлихтинга в одномодовом приближении, содержащее малый параметр. Это уравнение решено с помощью метода многих масштабов. В результате получена система обыкновенных дифференциальных уравнений для когерентной структуры, описывающая множественный трехволновой резонанс и интегродифференциальное уравнение для стохастической компоненты турбулентного пограничного слоя. Дано определение компонентов тензора напряжений в этом приближении. Дана физическая интерпретация «энергетического» инварианта когерентной структуры и корреляционной функции стохастического компонента пульсаций турбулентного пограничного слоя.

С помощью численного анализа известного аналитического выражения для продольного компонента поля скорости развитого турбулентного пограничного слоя [Мшкег, 1979] получены спектральные характеристики волн Толлмина-Шлихтинга на профиле средней продольной скорости и численно показано, что предположения, заложенные в построение решения уравнения для амплитуд пульсаций вертикальной скорости, оправданы, так как в пространстве волновых чисел существует область, внутри которой эти свойства выполняются. Кроме того проверен закон подобия в некотором значимом диапазоне чисел Рейнольдса и получена зависимость компонентов тензора напряжения по нормальной к стенке координате.

6. Заключение. В заключении сформулированы основные результаты

исследования, подчеркнуты предположения, на основе которых эти результаты

были получены, отмечены трудности, возникшие на пути исследования полученных уравнений и намечены пути их преодоления.

7. Список условных обозначений.

8. Список литературы. Приложения.

В Приложении 1 Приведен вывод интегралов (преобразование Фурье от спектральных амплитуд волн Толлмина-Шлихтинга) необходимых для получения уравнений для огибающей волнового пакета.

В Приложении 2 Описана численная методика определения спектральных характеристик волн Толлмина-Шлихтинга и Сквайра. Приведено сравнение с известными численными результатами.

В Приложении 3 приведены коэффициенты аппроксимации фазовой скорости вблизи начала координат пространства волновых векторов.

Перечень новых результатов:

Научная новизна работы состоит в следующем: Решено несколько крупных задач нелинейной теории устойчивости и турбулентного движения жидкости в пограничном слое на плоской пластине в отсутствие продольного градиента давления. При этом показано:

1) выделен малый параметр задачи, определяемый отношением толщины потери импульса пограничного слоя, к характерной длине изменения амплитуды волн по наименьшему инкременту (декременту);

2) показано, что в ламинарном пограничном слое для динамики сложных по спектральному составу волновых пакетов существенна область малых волновых чисел, возмущения в которой подчиняются нелинейному интегродифференциальному уравнению;

3) данная постановка задачи о развитии возмущений позволяет указать один из механизмов появления сплошного спектра в спектрах пульсаций, обусловленный множественным трехволновым резонансом;

4) сформулирована простая статистическая модель течения в переходной области, основанная на экспериментальных данных о рождении, развитии и взаимодействии пятен Эммонса, которая учитывает перекрытие турбулентных пятен;

5) на основе качественного анализа обширного экспериментального материала, относящегося к исследованию поля турбулентных пульсаций в пограничном слое на пластине, с помощью метода многих масштабов, существенно использующего наличие малого параметра, сформулированы упрощенные уравнения для когерентной структуры и стохастической части пульсаций поля скорости развитого турбулентного пограничного слоя;

6) показано, что уравнения когерентной структуры и стохастического компонента связаны параметром, определяемым из совместного решения этих уравнений, который мультипликативно входит в определение компонентов тензора напряжения и является критерием существования когерентной структуры;

Практическая полезность результатов:

1. Проясняется процесс образования когерентных структур и их динамики в ламинарном пограничном слое, показывает сильное влияние длинноволновой части волнового пакета на компоненты когерентной структуры, что может быть, в принципе, использовано в целях управления этими структурами.

2. Явное выделение когерентной и стохастической частей турбулентного пограничного слоя и определение законов динамики пульсаций в турбулентном пограничном слое, взаимосвязь когерентной и стохастической частей пульсаций существенны для определения способа управления характеристиками турбулентного пограничного слоя.

3. Математическая структура решения исходной задачи может быть полезна для построения инженерных моделей турбулентности в пограничном слое.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Жаров, Владимир Алексеевич, 2016 год

7. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Аджемян, Л. Ц. Квантово-полевая ренормализационная группа в теории развитой турбулентности / Л. Ц. Аджемян, Н. В. Антонов, А. Н. Васильев // Успехи физических наук. - 1996. - Т. 166, № 2. - С. 1257-1284.

Акатнов, Н. И. Двухмасштабная полуэмпирическая теория турбулентных пограничных слоев и струй / Н. И. Акатнов // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1982. - № 6. - С. 17-25.

Алексин, В.А. Моделирование турбулентного теплообмена в нестационарных пограничных слоях. / В.А. Алексин // Четвертая российская национальная конференция по теплообмену г. Москва 23-27 октября 2006 года (РНКТ-4). Труды 4-й РНКТ, 2006. - Т.2. - С. 37-40.

Аристов, В. В. Решение уравнения Больцмана при малых числах Кнудсена / В. В. Аристов // Журнал вычислительной математики и математической физики. -2004. - Т. 44, № 6. - С.1127-1140.

Башкин В.А. Численное моделирование динамики вязкого совершенного газа /

B. А. Башкин, И. В. Егоров. - М.: Физматлит, 2012. - 372 с.

Бейкер, Дж. Аппроксимации Паде / Дж. Бейкер, Г. Грейвс-Моррис: Мир, 1986. -502 с.

Белоцерковский, О. М. Моделирование турбулентного перехода в пограничном слое методом Монте-Карло / О.М. Белоцерковский, В.А. Жаров, Т. Тун, Ю.И. Хлопков // Журнал Вычислительной математики и математической. физики. -2009. - Т. 49, № 5. - С. 923-928.

Белоцерковский, О.М. Прямое статистическое моделирование некоторых задач турбулентности / О.М. Белоцерковский, С.А. Иванов, В.Е. Яницкий // Журнал Вычислительной математики и математической. физики. - 1998. - Т. 38, № 3. -

C. 489-503.

Белоцерковский, О.М. Организованные структуры в турбулентных течениях. Анализ экспериментальных работ по турбулентному пограничному слою. /

О. М. Белоцерковский, Ю. И. Хлопков, В. А. Жаров [и др.]. - М. : МФТИ. - 2009. - 302 с.

Бибик, Ю. В. О динамике солитонов двухмерных нелинейных эволюционных уравнений гидродинамического типа / Ю.В. Бибик, В.И. Жук // Матем. моделирование. - 2000 - Т. 12, № 9. - С. 109-126.

Боголепов, В.В. Модель турбулентного пограничного слоя с явным выделением когерентной генерационной структуры / В.В. Боголепов, В. А. Жаров, И. И. Липатов, Ю. И. Хлопков // Прикладная механика и техническая физика. - 2002. -Т. 43, № 4. - С.65-74.

Боголюбов, Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике / Н. Н. Боголюбов. - М.-Л. : ОГИЗ, Гостехиздат. - 1946. - 119с. Бойко, А. В. Возникновение турбулентности в пристенных течениях / А. В. Бойко, Г. Р. Грек, А. В. Довгаль, В. В. Козлов. - Новосибирск : Наука. - 1999. - 328 с. Бойко, А. В. Физические механизмы перехода к турбулентности в открытых течениях / А. В. Бойко, Г. Р. Грек, А. В. Довгаль, В. В. Козлов. - М.-Ижевск : РХД. - 2006. - 304 с.

Бом, Д. Общая теория коллективных переменных / Д. Бом. - М. : Мир. - 1964. -152 с.

Бородулин, В. И. Каскад гармонических и параметрических резонансов в режиме перехода пограничного слоя / Бородулин В. И., Качанов Ю. С. // Моделирование в механике. Новосибирск. - 1989. - Т. 3, № 1. - С. 38-45.

Бородулин В. И. Роль механизма локальной вторичной неустойчивости в разрушении пограничного слоя / В. И. Бородулин, Ю. С. Качанов // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. - 1988. - № 5. - С. 65-77.

Бэтчов, Р. Вопросы гидродинамической устойчивости / Р. Бэтчов, В. Криминале. -М. : Мир. - 1971. - 352с.

Вараксин, А.Ю. Турбулентные течения газа с твердыми частицами / А. Ю. Вараксин - М. : Физматлит. - 2003. - 186с.

Ватажин, А. Б. Электродинамические турбулентные течения / Ватажин А. Б. // Тр. МИАН СССР. - 1989. - Т.186. - С. 168-176.

Вигдорович И. И. Асимптотическое исследование при больших числах

Рейнольдса турбулентного пограничного слоя на плоской пластине / И. И.

Вигдорович // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 1993а. № 4. - С. 106-117.

Вигдорович, И. И. Универсальный закон дефекта скорости для турбулентного пограничного слоя на пластине со вдувом и отсосом / И. И. Вигдорович // Доклады РАН. - 1993б. - Т. 331, № 4. - С. 443-448.

Вигдорович, И. И. Законы подобия для распределения скорости и компонент тензора Рейнольдса в пристеночной области турбулентного пограничного слоя со вдувом и отсосом / И. И. Вигдорович // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. -2002. - № 5. - С. 78-89.

Вильхельмссон, Х. Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме / Х. Вильхельмссон, Я. Вейланд. - М. : Энергоиздат. - 1981. - 224 с. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров - М. : Наука. - 1967.- 436 с.

Власов, Е. В. Когерентные структуры в турбулентных струях и следах. Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. Т. 20. / Е. В. Власов, А. С. Гиневский. - М. : ВИНИТИ АН СССР, 1986. - Т. 20. - С. 1-84. Володин, А. Г. Трехволновое резонансное взаимодействие возмущений в пограничном слое / А. Г. Володин, М. Б. Зельман // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1984. № 4. - С. 78-84.

Гапонов, С. А. Развитие возмущений в сжимаемых потоках / С. А. Гапонов, А. А. Маслов. - Новосибирск : Наука, 1980. - 150с .

Гапонов, С. А. Гидродинамическая неустойчивость и турбулентность /

С. А. Гапонов, В. В. Козлов, А. Ф. Курбацкий, А. А. Маслов // Теплофизика и

аэромеханика. - 1997. - Т. 4, № 2. - С. 225-246.

Гапонов, С. А. О методе двухмасштабного разложения и параболизованных уравнениях устойчивости пограничных слоев / Гапонов С. А. // Теплофизика и аэромеханика. - 1999. - Т. 6, № 1. - С. 37-42.

Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. - М.: Наука, 1977. - 640 с.

Гледзер, Ф. Т. Системы гидродинамического типа и их применение /

Ф. Т. Гледзер, Г. В. Должанский, А. М. Обухов. - М. : Наука, 1981. - 366 с.

254

Гольдштик, Л. М. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность /

Гольдштик Л. М., Штерн В. Н. - Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние., 1977. - 367 с.

Горелов, С. Л. Когерентные структуры в турбулентном пограничном слое / С. Л.

Горелов, В. А. Жаров, Ю. И. Хлопков - M. : МФТИ, 2002. - 267 с.

Горелов, С.Л. Руководство по машинной аналитике. Учебное пособие / С. Л.

Горелов, В. А. Жаров, Ю. И. Хлопков. - М. : МФТИ., 2000. - 118 с.

Горелов, С. Л. Решение уравнения Релея с использованием методов машинной

аналитики / С Л. Горелов, В. А. Жаров, Ю. И. Хлопков // Журнал вычислительной

математики и математической физики. - 1998. - Т. 38, № 4. - С. 669-673.

Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С.

Градштейн, И. М. Рыжик. - М.: Физ.-мат. лит., 1962. - 1100 с.

Гусев, В. Н. Сток в вязком теплопроводном газе / В. Н. Гусев, А. В. Жбакова //

Ученые записки ЦАГИ. - 1974. - Т. 5. № 6. - С. 23-29.

Гузаева, К. В. Пространственные собственные колебания пограничного слоя с трехярусной структурой поля скоростей / К. В. Гузаева, В. И. Жук // Журнал вычислительной матемематики и математической физики. - 2010 - Т. 50, № 12. -С. 2208-2222.

Джозеф, Д. Устойчивость движений жидкости / Джозеф Д. - М. : Мир, 1981. -636с.

Довгаль, А. В. Экспериментальные исследования реакции пограничного слоя на внешние периодические возмущения / А. В. Довгаль, В. В. Козлов, В. Я. Левченко // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1980. - № 4. - С 155-159. Додонов, И. Г. Локализованные когерентные структуры в пограничном слое / И. Г. Додонов, В. А. Жаров, Ю. И. Хлопков // Прикладная механика и техническая физика. - 2000. - Т. 41, № 6. - С 60-68.

Дразин, Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости / Дразин Ф. -М. : Физматлит, 2005. - 288с.

Дэвенпорт, Дж. Компьютерная алгебра. Системы и алгоритмы алгебраических вычислений / Дж. Дэвенпорт, И. Сирэ, Э. Турнье. - М.: Мир, 1991. - 352а

Ермаков, С. М. Статистическое моделирование / С. М. Ермаков, Г. А. Михайлов. -М. : Наука, 1982. - 296 с.

Жаров, В. А. Асимптотическое описание слабонелинейных волновых пакетов в среде со слабой дисперсией, типичной для ламинарных пограничных слоев на пластине, обтекаемой несжимаемой жидкостью / В. А. Жаров // Тр. ЦАГИ. -1993а. - Вып. 2523. - С. 3-16.

Жаров, В. А. Волноводная модель когерентной и стохастической составляющих развитого турбулентного пограничного слоя / В. А. Жаров // Труды ЦАГИ. -2014а. - вып. 2731. - С. 3-48.

Жаров, В. А. Вариант описания слабонелинейной динамики волнового пакета в пограничном слое на пластине в несжимаемой жидкости / В. А. Жаров // Труды ЦАГИ. - 1993б. - вып. 2523. - С. 17-28.

Жаров, В. А. Волноводная модель когерентных структур в развитом турбулентном пограничном слое. Видеосеминар по аэромеханике, ЦАГИ - ИТПМ СО РАН - СПбГПУ - НИИМ МГУ, 7 мая 2013 г / В. А. Жаров. - 2013. Жаров, В. А. Динамика локализованных возмущений в ламинарном пограничном слое. Видеосеминар по аэромеханике ЦАГИ - ИТПМ СО РАН - СПбГПУ -НИИМ МГУ, 9 апреля 2009 г. / В. А. Жаров. - 2009.

Жаров, В. А. Длинноволновая асимптотика собственных решений уравнения Релея на выпуклом профиле погранслойного типа, фазовая скорость которых близка к скорости набегающего потока / В. А. Жаров // Препринт №74. М. : ЦАГИ. - 1993б. - С.17-32.

Жаров, В. А. Использование дискретного преобразования Фурье для изучения динамики волновых пакетов / В. А. Жаров // Прикладная механика и техническая физика. - 2004. - Т. 45, № 6. - С. 31-37.

Жаров, В. А. Модельное представление когерентной структуры в развитом турбулентном пограничном слое / В. А. Жаров // Ученые записки ЦАГИ. - 2014б, Т. ХЬУ, № 5. - С.33-46.

Жаров, В. А. Некоторые спектральные характеристики профиля Блазиуса (уравнения Сквайра и Орра-Зоммерфельда) / В. А. Жаров // Отчет ЦАГИ, НИО-8. - 1997. - № 9903.

Жаров, В. А. Низкочастотный спектр пульсаций в пограничном слое в рамках одномодовой модели динамики возмущений / В. А.Жаров // Отчет ЦАГИ, НИО-8. -2000. - №10305.

Жаров, В. А. О волновой теории развитого турбулентного пограничного слоя / В. А. Жаров // Ученые записки ЦАГИ. - 1986. - Т. XVII, № 5. - C. 28-38. Жаров, В. А. Слабонелинейная динамика волновых пакетов в пограничном слое в гауссовом приближении / В. А. Жаров // Ученые записки ЦАГИ. - 2011. - Т. XLII, № 6. - С.60-72.

Жаров, В. А. Слабонелинейные модели динамики возмущений в ламинарном и турбулентном пограничных слоях. Доклад на конференциях: XIII Int. Conference on the Methods of Aerophysical Research (ICMAR), Новосибирск. - 2007, February 5-10, Proc. Part IV, P. 225; West-East High Speed Flow Field Conference (WEHSFF) Москва. - 2007, November 19-22, Workbook, P. 65.

Жаров, В. А. Спектральная задача для уравнения, описывающего вертикальную компоненту завихренности локализованного возмущения в пограничном слое в области малых волновых чисел / В. А. Жаров // Отчет ЦАГИ НИО-8. - 2001. -№ 10409.

Жаров, В. А. Структура пульсаций потока газа в развитом турбулентном пограничном слое. Теоретический анализ / Жаров В. А. // Вестник МГОУ. Сер. «Физика - Математика». - 2014, № 2. - С. 95-99.

Жаров, В. А. Феноменологический анализ взаимодействия внешнего турбулентного потока с турбулентным пограничным слоем на пластине / В.А. Жаров // Препринт № 74. М. : ЦАГИ. - 1993a. - С. 1-16.

Жаров, В. А. Одномерная нелинейная индуцированная динамика акустических волн в конечной пространственной области. / Жаров В. А., Ровенская О. И. Механика жидкости и газа. - 2007. - № 2. - С. 39-45.

Жигулев, В. Н. Некоторые проблемы неравновесной статистической механики и их связь с вопросами статистической теории турбулентности / В. Н. Жигулев // Труды ЦАГИ. - 1969. - вып. 1135, 45 с. (См. также ТМФ. - 1971. - Т. 7, № 1. -С.106-120 и ТМФ. - 1971. - Т. 7, №2. - С. 271-285.)

Жигулев, В. Н. Нелинейная теория развития возмущений / В. Н. Жигулев. -Аэродинамика и физическая кинетика: Сб. ст. Новосибирск: Наука, 1977. - С. 713.

Жигулев, В. Н. Жигулев В. Н., Сидоренко Н. В., Тумин А. М. О генерации волн неустойчивости в пограничном слое внешней турбулентностью / В. Н. Жигулев, Н. В. Сидоренко, А. М. Тумин // Прикладная механика и техническая физика. -1980. - Т. 21, № 6. - С. 43-49.

Жигулев, В.Н., Современное состояние проблемы устойчивости ламинарных течений // В сб. «Механика турбулентных потоков».- М. : Наука, 1980. - С. 109. Жигулев, В. Н. Возникновение турбулентности / В. Н. Жигулев, А. М. Тумин. -Новосибирск : Наука, 1987. - 281с.

Жук, В. И. О локально-невязких возмущениях в пограничном слое с самоиндуцированным дадвлением / В. И. Жук, О. С. Рыжов // ДАН СССР. - 1982, Т. 263, № 1. - С. 56-59.

Жук. В.И., Рыжов О.С. Об асимптотике решений уравнения Орра-Зоммерфельда, задающих неустойчивые колебания при больших числах Рейнольдса / В. И. Жук, О. С. Рыжов // ДАН СССР. - 1983. - № 6. - С. 1328-1332.

Жук, В. И. Об Асимптотике решений уравнений Орра-Зоммерфельда в областях, примыкающих к двум ветвям нейтральной кривой / В. И. Жук // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1984. - № 4. - С. 3-11.

Завольский, Н. А. Тепловое возбуждение волн в пограничном слое / Н. А. Завольский, В. П. Реутов // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1983. -№ 5. - С. 53-57.

Занин, Б. Ю. Переход к турбулентности на крыле в полете и в аэродинамической трубе при одинаковых числах Рейнольдса / Б. Ю. Занин // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. - 1988. - № 18, вып. 5. - С. 51-53.

258

Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем / Г. М. Заславский // М. : Наука. - 1984. - 270 а

Захаров, В. Е. Слабая турбулентность в средах с распадным спектром / В. Е. Захаров // Прикладная механика и техническая физика. - 1965. - № 4. - С. 35-39. Захаров, В. Е. Солитоны и колапсы: два сценария эволюции нелинейных волновых систем / В. Е. Захаров, Е. А. Кузнецов // УФН. - 2012. - Т. 182, № 6. -С. 569-592.

Захаров, В. Е. О статистическом описании нелинейных волновых полей / В. Е. Захаров, В. С. Львов // Изв. Вузов. Радиофизика. - 1975. - Т. XVIII, № 10. -С. 1470-1487.

Захаров, В. Е. Слабая турбулентность в капиллярных волнах / В. Е. Захаров, Н. Н. Филоненко // Прикладная механика и техническая физика. - 1967. - № 5. - С. 6267.

Зеленый, Л. М. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики / Л. М. Зеленый, А. В. Милованов // УФН. - 2004. - Т.174, №8. -С.809-859.

Зельман, М. Б. О нелинейном развитии возмущений в плоско-параллельных потоках / М. Б. Зельман // Изв. СО АН СССР. Сер. Техн. Наук.-1974. - Т. 3, Вып. 13. - С. 16-21.

Зельман, М. Б. Об эффектах резонансных взаимодействий волновых возмущений в пограничном слое / М. Б. Зельман, И. И. Масленникова // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1984, № 4. - С. 23-30.

Зубарев, Д. Н. Статистическая механика неравновесных процессов. Т.2. / Д. Н. Зубарев, В. Г. Морозов, Г. Рёпке. - М.: Физматлит, 2002. - 296 с. Зубцов, А. В. К нелинейной теории гидродинамической устойчивости / А. В. Зубцов, В. И. Пономарев // Ученые записки ЦАГИ. - 1976. - Т. VII, № 1. - С. 1823.

Кадер, В. А. Законы подобия в пристенных турбулентных течениях. Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа; Т. 15 / В. А. Кадер, А. М. Яглом. - М. : ВИНИТИ. - 1980. - С. 81-155.

Кадомцев, Б. Б. . Коллективные явления в плазме / Б. Б. Кадомцев. - М.: Наука, 1988. -304 с.

Кадомцев, Б. Б. Турбулентность плазмы. В кн.: Вопросы теории плазмы, вып. 4 / Б. Б. Кадомцев. - М. : Атомиздат. - 1964. - С. 188-339.

Кадомцев, Б. Б. Слаботурбулентная плазма в магнитном поле / Б. Б. Кадомцев,

В. И. Петвиашвили // ЖЕТФ. - 1962. - Т. 43, вып.6 (12). - С. 2234-2244.

Кампе де Ферье Ж. Функции математической физики / Ж. Кампе де Ферье, Р.

Кемпбелл, Г. Петьо, Т. Фогель. - М.: Физматлит, 1963. - 102 с.

Качанов, Ю. С. Резонансно-волновая природа перехода к турбулентности в

пограничном слое / Ю. С. Качанов // Моделирование в механике. Новосибирск. -

1987. - Т. 1. - № 2. - С. 75-98.

Качанов, Ю. С. Возникновение турбулентности в пограничном слое / Ю. С. Качанов, В. В. Козлов, В. Я. Левченко // Новосибирск: Наука, 1982. - 151с. Келдыш, М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов / М. В. Келдыш // УМН. - 1971. -Т. XXVI, вып. 4 (160) (1951 г). - С. 15-41.

Кляцкин, В. И. Когерентные явления в стохастических динамических системах / В. И. Кляцкин, Д. Гурарий // УФН, 1999. - Т. 169. - N. 2. - С. 171-207. Ковалев В. Ф. Ренормгрупповые симметрии для решения нелиенейных краевых задач / В. Ф. Ковалев, Д. В. Ширков // УФН. - 2008. - Т. 178, № 8. - С. 849-865. Козлов, В. В. Образование трехмерных структур при переходе в пограничном слое / В. В. Козлов, В. Я. Левченко, В. С. Сарик (США) // ИТПМ СО АН СССР. Препринт № 10-83, - Новосибирск, - 1983. - 34 с.

Козырев, О. Р., Ю. А. Степанянц. Метод интегральных соотношений в линейной теории гидродинамической устойчивости. / О. Р. Козырев, Ю. А. Степанянц. - В сб. «Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа». Т. 25. М. : ВИНИТИ, 1991. С. 3-89.

Колмогоров, А. Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкостио при очень больших числах Рейнольдса / А. Н. Колмогоров // ДАН

СССР - 1941. - Т. 30. - С. 9-13. (См. также: Колмогоров А.Н. Избранные труды. Кн. 1: Математика и механика. М. : Наука. - 1988. - С. 281-287) Крайко, А. Н. Газовая динамика. Избранное. Т. 2. / А. Н. Крайко, А. Б. Ватажин, А. Н. Секундов. - М.: Физматлит. - 2005. - 752 с.

Крол, Р. Основы физики плазмы / Р. Крол, А. Трайвелпис. - М. : Мир. - 1975. -525 с.

Кузнецов, В. Р. Турбулентность и горение / Кузнецов В. Р., Сабельников В. А. -М. : Наука. - 1986. - 288 с.

Ландау, Л. Д. О гидродинамических флуктуациях / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -ЖЭТФ. - 1957. - Т. 32. - С. 618-619.

Линь Дзя-Дзяо. Теория гидродинамической устойчивости / Линь Дзя-Дзяо. - М. : Изд-во иностр. лит. - 1958. - 194 с.

Лихачев, О. А. Спектр малых возмущений течения в пограничном слое на плоской пластине / О. А. Лихачев // Прикладная механика и техническфя физика. - 1975. - № 4. - С. 112-115.

Лущик, В. Г., Трехпараметрическая модель турбулентности: расчет теплообмена /

A. А. Павельев, А Е. Якубенко // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 1986. -№ 2. - С. 40-52.

Маделунг, Э. Математический аппарат физики / Э. Маделунг - М. : Физматлит, 1961. - 618 с.

Маслов, В. П. Асимптотическая теория волновых взаимодействий в слабонелинейных средах / В. П. Маслов. - Труды Всесоюзной конференции «Нелинейные явления». - М. : Наука, 1991. - 214 с.

Маслов, В. П. Детерминистическая и индетерминистическая теория когерентных структур в турбулентности / В. П. Маслов. - М. : Препринт МИАН СССР, № 1. -1986а.

Маслов, В. П. Когерентные структуры, резонансы и асимптотическая неединственность для уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса /

B. П. Маслов // УМН. - 1986б. - Т. 41, вып.5 (252). - С. 19-35.

Маслов, В. П. Взаимодействие трех волн с учетом эффектов удвоения частоты /

B. П. Маслов, А. Г. Омельянов // Изв. Вузов. Серия физическая. - 1986. - № 3. -

C. 3-24.

Маслов, В. П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений / В. П. Маслов. - М. : Наука. - 1987. - 408 с.

Маханьков, В. Г. Локализованные нетопологические структуры: построение решений и проблемы устойчивости / В. Г. Маханьков, Ю. П. Рыбаков, В. И. Санюк. // УФН. - 1994. - Т. 164, № 2. - С. 121-148.

Миллионщиков, М. Д. Турбулентные течения в пограничных слоя и трубах / М. Д. Миллионщиков. - М. : Наука. - 1969. - 52 с.

Миллионщиков, М. Д. Турбулентные течения в проистеночном слое и в трубах / М. Д. Миллионщиков // Атомная энергия. - 1970а. - Т. 28, вып. 3. - С. 207-220. Миллионщиков, М. Д. Основные закономерности турбулентного течения в пристеночных слоях / М. Д. Миллионщиков // Атомная энергия. - 1970б. - Т. 28, вып. 4. - С. 317-320.

Миллионщиков, М. Д. О турбулентном тепло- и массообмене. / М. Д. Миллионщиков // Атомная энергия. - 1970в. - Т. 29, вып. 6. - С. 411-416. Миллионщиков, М. Д. Некоторые проблемы турбулентности и турбулентного массообмена. В кн. "Турбулентные течения"/ М. Д. Миллионщиков. - М. : Наук, 1974. - 226 с.

Михайлов, В. В. Об асимптотиках нейтральных кривых линейной задачи устойчивости ламинарного пограничного слоя / В. В. Михайлов // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1981. - № 5. - С. 39-46.

Михайлов, В. В. Универсальный закон дефекта скорости для турбулентного пограничного слоя / В. В. Михайлов // Изв. РАН, Механика жидкости и газа. -2005. - № 2. - С. 89-101.

Монин, Ф. С. Статистическая гидромеханика. Ч.1 / Монин Ф. С., Яглом А. М. -М. : Наука. - 1965. - 640 с. (второе изд. Т.1., 1994)

Монин, Ф. С. Статистическая гидромеханика. Ч. 2 / Ф. С. Монин, А. М. Яглом -

М. : Наука, - 1967. - 720 с. (второе изд. Т.2., 1996)

262

Нейланд, В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке / В. Я. Нейланд, // Изв. АН СССР. Механика жидкости игаза. - 1969. -№ 4. - С. 53-57.

Нейланд, В. Я. О критической амплитуде бегущей волны давления, вызывающей сход вихревой пелены в пограничный слой / В. Я. Нейланд // Ученые записки ЦАГИ. - 2010. - Т. ХЫ, № 6. - С. 3-7.

Нейланд, В. Я. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа / В. Я. Нейланд, В. В. Боголепов, Г. Н. Дудин, И. И. Липатов. - М. : Физматлит. -2003. - 456 с.

Никитин, Н. В. Статистические характеристики пристенной турбулентности / Н. В. Никитин // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 1996, № 3, С. 32-43. Никитин, Н. В., Чернышенко С. И. О природе организованных структур в турбулентных пристенных течения / Н. В. Никитин, С. И. Чернышенко // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 1997, № 1, С. 24-30.

Никитин, Н. В. О возникновении турбулентных центров в пристенных течениях / Н. В. Никитин // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 1997, № 2, С. 47-58. Николаев, В. С. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом разложения в степенные ряды на быстродействующих вычислительных машинах / В. С. Николаев // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1965. - Т. 5, № 4. - С. 608-614.

Обухов, А. М. О распределении энергии в спектре турбулентного потока / А. М. Обухов // ДАН СССР. - 1941. - Т. 32(1). С. 22-24.

Обухов, А. М. О распределении энергии в спектре турбулентного потока / А. М.

Обухов // Изв. АН СССР, сер. геофиз. - 1941. - Т. 5(4-5). -С. 453-466.

Обухов, А. М. О моделях преобразования энергии в турбулентном потоке / А. М.

Обухов. В сб. «Турбулентные течения». М. : Наука. 1974. - 226 с.

Обухов, А. М. Турбулентность и динамика атмосферы / А. М. Обухов. -

Ленинград : Гидрометеоиздат. - 1988. - 413 с.

Пайерлс, Р. Е. Квантовая теория твердых тел / Р. Е. Пайерлс. - М. : ИЛ. - 1956. -368с.

Петров, Г. И. Об устойчивости вихревых слоев / Г. И.Петров. - М.: Тр. ЦАГИ, 1937. - вып. 304. - 24.

Петров, Г. И. О распространении колебаний в вязкой жидкости и возникновение турбулентности / Г. И.Петров. - М.: Тр. ЦАГИ, 1938. - вып. 345. - 28 с. Поляков, Н. Ф. Ламинарный пограничный слой в условиях "естественного" перехода к турбулентному течению / Н. Ф. Поляков. - В кн.: Развитие возмущений в пограничном слое (сборник научных трудов). СО АН СССР ИТПМ, Новосибирс, 1979. - С. 23-76.

Рамис, Ж.-П. Расходящиеся ряды и асимптотические теории / Ж.-П. Рамис. -Москва-Ижевск: Институт компьютернгых исследований, 2002. - 80 с. Репик, Е. У. Исследование прерывистой структуры течения в пристенной области турбулентного пограничного слоя. Турбулентные течения / Е. У. Репик, Ю. П. Соседко. - М. : Наука, 1974. - 226 с.

Репик, Е. У. Исследование пространственно-временной картины течения в пристенной области турбулентного пограничного слоя. / Е. У. Репик, Ю. П. Соседко. - В сб. "Аэромеханика". М. : Наука, 1976. - С. 170-180. Репик, Е. У. Турбулентный пограничный слой. Методика и результаты экспериментальных исследований / Е. У. Репик, Ю. П. Соседко. - М. : Физматлит, 2007. - 312 с.

Реутов, В. П. Нелинейный критический слой и формирование продольных вихрей при взаимодействии волн в сдвиговых течениях / В. П. Реутов // Прикладная механика и техническая физика. - 1987. - № 5. - С. 107-115. Реутов, В. П. Реутов В. П., Рыбушкина Г. В. О возбуждении пакетов волн сплошного спектра в пограничном слое внешней турбулентностью. / В. П. Реутов, Г. В. Рыбушкина. - Препр. Институт прикладной физики РАН: Нижний Новгород, 1992. - 26 с.

Реутов В. П. Асимптотическая модель формирования трехмерных структур в пограничном слое / В. П. Реутов. - Препр. Институт прикладной физики РАН: Нижний Новгород, 1994. - 21 с.

Реутов, В. П. Асимптотическая модель генерации трехмерных структур в пограничном слое / В. П. Реутов // Прикладная механика и техническая физика. -1995. - Т. 36, № 2. - С. 56-67.

Рубан, А. И. О генерации волн Толлмина-Шлихтинга звуком / А. И. Рубан // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1984. - № 5. - С. 44-52. Рыжов, О. С. Об образовании упорядоченных вихревых структур из неустойчивых колебаний в пограничном слое / О. С. Рыжов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1990. - Т. 30, № 12. -С. 1804-1814.

Рыжов, О. С., Асимптотическая теория волнового пакета в пограничном слое на пластинке / О. С. Рыжов, И. В. Савенков // Прикладная математика и механика. -1987. - Т. 51, Вып. 5. - С. 820-828.

Садовский, В. С. Синицина Н. П., Таганов Г. И. Численное исследование математической модели пристенного течения в турбулентном пограничном слое / В. С. Садовский, Н. П. Синицина, Г. И. Таганов. - В кн.: Пристенные турбулентные течения. Труды XVIII Сиб. Теплофиз. Семинара. Ч.1. Новосибирск. : Изд. СО АН СССР. - 1975. С. 94-116. Соболь, И. М. Метод Монте-Карло. / И. М. Соболь. - М.: Наука, 1968. - 64 с. Струминский, В. В. К нелинейной теории развития аэродинамических возмущений / В. В. Струминский // ДАН СССР. - 1963. - Т. 153, № 3. - С. 547550.

Струминский, В. В. О возможности применения динамических методов для описания турбулентных течений. В кн.: Турбулентные течения (труды Всесоюзного семинара по проблемам турбулентных течений. Москва, 17-21 апреля 1972 г.) / В. В. Струминский. - М. : Наука, 1974. - С. 19-33. Струминский, В. В. Система ультрамикроскопа с оптической компенсацией движения наблюдаемых тел для исследования структуры потоков жидкости и газа / В. В. Струминский, В. М. Филиппов. - М. : ЦАГИ. - 1969. - 17 с. (Тр. ЦАГИ, Вып. 1129).

Сычев, В. В. Асимптотическая теория отрывных течений / В. В. Сычев, А. И. Рубан, Вик. В. Сычев, Г. Л. Королев. - М. : Наука, 1987. - 256 с. Сычев. В. В. О структуре турбулентного пограничного слоя / В. В. Сычев, Вик. В. Сычев // Прикладная математики и механика. - 1987. - Т. 51, вып.4. - С. 593-599. Теодорович, Э. В. Применение методов теории поля и ренормгруппы для описания развитой турбулентности / Э. В. Теодорович // Успехи механики. - 1990.

- Т. 13, Вып. 1. - С. 81-121.

Теодорович, Э. В. Применение метода ренормализационной группы для описания турублентности (обзор) / Э. В. Теодорович // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. - 1993. - Т. 29, № 2. - С. 149-163.

Терентьев, Е. Д. О формировании волнового пакета в пограничном слое на плоской пластине. / Е. Д. Терентьев // Прикладная математики и механика. - 1987.

- Т. 51, вып. 5. - С. 814 - 819.

Тун Тун. Определение поля средней скорости в переходной области пограничного слоя на пластине в несжимаемой жидкости / Тун Тун. //. В электронном журнале «Труды МАИ», вып. № 39. - 2010. (16 августа 2010)

Федорюк, М. В. Уравнения с быстроосциллирующими решениями. Т. 34. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Итоги науки и техники / М. В. Федорюк. - М. : ВИНИТИ, 1988. - С. 5-56. Филлипс, О. Взаимодействие волн - эволюция и идеи. Современная гидродинамика. Успехи и проблемы. / О. Филлипс. - М. : Мир, 1984. - С. 297314.

Формалев, В. Ф. Численные методы / В. Ф. Формалев, Д. Л. Ревизников. - М. : Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с.

Фрик, П. Г. Турбулентность: модели и подходы. Курс Лекций. Часть 1 / П. Г. Фрик. - Перм. Гос. техн. Ун-т. Пермь. - 1998. - 108 с.

Фрик, П. Г. Турбулентность: модели и подходы. Курс Лекций. Часть 2. / П. Г. Фрик Перм. Гос. техн. Ун-т. Пермь. - 1999. - 136 с.

Фрик, П. Г. Турбулентность: модели и подходы. Москва / П. Г.Фрик. - Ижевск:

Институт Компьютерных исследований. - 2003. - 292 с.

266

Фриш, У. Турбулентность. Наследие А.Н. Колмогорова / У. Фриш. - М. : ФАЗИС.

- 1998. - XIV+346 с.

Хлопков, Ю. И. Лекции по теоретическим методам исследования турбулентности / Ю. И. Хлопков, В. А. Жаров, С. Л. Горелов. - М. : МФТИ. - 2006. - 178с. Хлопков, Ю. И. Ренормгрупповые методы описания турбулентных движений несжимаемой жидкости / Ю. И. Хлопков, В. А. Жаров, С. Л. Горелов. - М.: МФТИ. - 2006. - 492 с.

Чириков, Б. В. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастичности. Новосибирск. - 1969. Препринт ИЯФ. № 267.

Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг - М.: Наука, 1974. - 711 с.

Шрира, В. И. О приповерхностных волнах верхнего квазиоднородного слоя

океана / В. И. Шрира // ДАН СССР, 1989, Т. 308, № 3, С. 732-736.

Acarlar, M. S. A study of hairpin vortices in a boundary layer. Part 1. Hairpin vortices

generated by a hemisphere protuberance. Part 2. Hairpin vortices generated by fluid

injection / M. S. Acarlar , C. R. Smith // J. Fluid Mech. - 1987. - V. 175. - P. 1-41,

43-83.

Amini, J. Experimental study of an "incipient spot" in translational boundary layer / J. Amini, G. Lespinard // Phys. Fluids. - 1982. - V. 25, N 10. - P. 1743-1750. Aristov, V. V. Description of turbulence on the basis of kinetic equation / V. V. Aristov, O. V. Ilyin. - 13th Europian Turbulence Conference. Warsaw, 12-15 September 2011. Book of abstract.

Barenblat,t G. I. A note on the intermediate region in turbulent boundary layers / G. I. Barenblatt, A. J. Chorin, V. M. Prostokishin // Phys. Fluids. - 2000. - V. 12, N. 9.

- P. 2159-2161.

Batchelor, G. K. The theory of homogeneous turbulence / G. K. Batchelor. -Cambridge University Press, 1953. - 197 p.

Belotserkovskii, O. M. Turbulence and Instabilities / O. M. Belotserkovski. - M. : MZpress, 2003. - 460 p.

Benney, D. J. A New Mechanism For Linear and Nonlinear Hydrodynamic Instability / D. J. Benney, H. L. Gustavsson // Studies in Applied Mathematics. - 1981 - V. 64. -P. 185-209.

Benney D. J. A new class of nonlinear waves in parallel flows / D. J. Benney, R. F. Bergeron // Stud. Appl. Math. - 1969. - V. 48. N 3. - P. 181-204. Blackwelder, R. F. Analogies between transitional and turbulent boundary layers / R. F. Blackwelder // Phys. Fluids. - 1983. - V. 26, No. 10. - P. 2807-2815. Blackwelder, R. F. Coherent structures associated with turbulent transport / R. F. Blackwelder // Proc. 2nd Int. Symp. On Transport Phenomena in Turbulent Flows. Tokyo. - 1987. - P. 1 - 20.

Blackwelder, R. F. Streamwise vortices associated with the bursting phenomenon / R. F. Blackwelder , H. Eckelmann // J. Fluid Mech. - 1979. - V. 94. - P. 577-594. Blackwelder, R. F. Time scales and correlation in a turbulent boundary layer / R. F. Blackwelder, L. S. G. Kovasznay // Phys. Fluids. - 1972. - V. 15. - P. 1545-1554. Borodulin, V. I. Experimental detection of deterministic turbulence / V. I. Borodulin, Y. S. Kachanov, A. P. Roschektayev // Journal of Turbulence. - 2011. - V. 12, N. 2. -P. 1-34.

Boussinesq, J. Theorie de l'ecoulment / J.Boussinesq // Mem. Press. Acad. Sci. - 1877.

- V. 23. - P. 16.

Branko Kosovic. Subgrid-scale modeling for the large-eddy simulation of high-Reynolds-number boundary layers / Branko Kosovic // J. Fluid Mech. - 1997. - V. 336.

- P. 151-182.

Brown, G. L. Large structure in a turbulent boundary layer / G. L. Brown,

A. S. W. Thomas // Phys. Fluids. - 1977. - V. 20, N. 10. - P. S243-S252.

Cantwell, B. J. Organized motion in turbulent flow / B. J. Cantwell // Ann. Rev. Fluid Mech. - 1981. - V. 13. - P. 457-515.

Cantwell, B. J. Structure and entrainment in the plane of symmetry of a turbulent spot /

B. J. Cantwell , D. Coles , P. E. Dimotakis // J. Fluid Mech. - 1978. - V. 87. - P. 641672.

Chandrasekhar, S. On Heisenberg's elementary theory of turbulence / S. Chandrasekhar

// Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. - 1949. - V. 200. - P. 20-33.

Chanem, R. Ingradients for a general purpose stochastic finite element formulation /

R. Chanem // Computer Meth. Appl. Mech. Eng. - 1999. - V. 168, - P. 19-34.

Chernyshenko, S. I. The mechanism of streak formation in near-wall turbulence / S. I.

Chernyshenko, M. F. Baig // J. Fluid Mech. - 2005. - V. 544. - P. 99-131.

Chong, T. P. On the Three-Dimensional Structure of Turbulent Spots / T.P. Chong,

S. Zhong // J. Turbomachinery. - 2005. - V.127. - P. 545-551.

Corrsin, S. Investigation of flow in axially symmetric heated jet of air / S. Corrsin. -

Report NACA, 1943. - N. 3123.

Corrsin, S. The free boundaries of turbulent flows / Corrsin S., Kistler A. - Tech. Note NACA. - 1955. - N. 3133. (Also NACA Tech. Rep. N. 1244.)

Cowley S. J. "Laminar boundary-layer theory: A 20th century paradox?" / S. J. Cowley. - 20th Int. Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Chicago, Illinois, August 27 -September 2, 2000) Abstract Book for ICTAM 2000. - P. 389-412. (In Proceedings of ICTAM 2000, eds. H. Aref and J.W. Phillips, 389-411, Kluwer (2011)) Craik, A. D. D. Non-linear resonant instability in boundary layers / A. D. D. Craik // J. Fluid Mech. - 1971. - V. 50. - P. 393-413.

Davidson, R. C. Methods in nonlinear plasma theory / R. C. Davidson. - N.Y.; L.: Acad. Press, 1972. - 356 p. (Pure and applied physics; V. 37.)

Delarue, B. J. B. Calculation of subsonic and supersonic turbulent reacting mixing layer using probability density functions methods / B. J. Delarue, S. Pope // Phys. Fluids. -1998. - V.10, N. 2. - P. 487-498.

Dhawan, S. Dhawan S., Narasimha R. Some properties of boundary layer flow during the transition from laminar to turbulent motion / S. Dhawan, R. Narasimha // J.Fluid Mech. - 1957. - V.3, N. 4. - P. 418-436.

Emmons, H. W. The Laminar-Turbulent Transition in a Boundary Layer. Part I. / H. W. Emmons //J. Aeronaut. Sci. - 1951. - V. 18(7). - P. 490-498.

Falco, R. E. Coherent motions in outer region of turbulent boundary layer / R. E.Falco // Phys. Fluids. - 1977. - V. 20, N. 10. - P. 5124-5132.

269

Favre, A. J. Space-time double correlation and spectra in a turbulent boundary layer / A. J. Favre , J. J. Gaviglio , R. Dumas // J. Fluid Mech. - 1957. - V. 2. - P. 313-341. Fiedler, H. E. Coherent Structure. Advances in turbulence / Fiedler H. E. - Proc. Of First European Conference. Ed. G. Comte-Belot, J. Mathien. Lion, France, 1986. - P. 320-336.

Gad-El-Hak, M. On the growth of turbulent regions in laminar boundary layers / M. Gad-El-Hak , R. F. Blackwelder , J. J. Riley // J. Fluid Mech. - 1981. - V. 110. -P. 73-95.

Gaster, M. An experimental investigation of the formation and development of wave packet in a laminar boundary layer / M. Gaster, I. Grant // Proc. R. Soc. London. -1975. - V. A347. - P. 253-269.

Goldstein, M. E. Goldstein M. E. The role of nonlinear critical layers in boundary-layer transition / M. E. Goldstein // Phil. Trans. Roy. Soc. London, - 1995. - V. 352. -P. 425-442.

Goldstein, M. E. Scattering of acoustic-waves into Tollmien-Schlichting waves by small streamwise variations in surface geometry / M. E. Goldstein // J. Fluid Mech. - 1985. -V. 154. - P. 425-442.

Goldstein, M. E., A note on generation of Tollmien-Schlichting waves by sudden surface-curvature change / M. E.Goldstein, L. S. Hultgren // J. Fluid Mech. - 1987. -V. 181, - P. 519-525.

Goldstein, M. E. Fully coupled resonant-triad interaction in an addverse-presure-gradient boundary layer / M. E. Goldstein, S. S. Lee // J. Fluid Mech. - 1992. - V. 245,

- P. 523-551.

Gorelov, S. L. The kinetic approaches to the turbulence description / S. L.Gorelov, V. A. Zharov, Yu. I. - Khlopkov. «Rarefied Gas Dynamics. Proceedings of the 20th International Symposium 19-23, August, 1996, Beijing, China». Peking University Press, Beijing, China, 1997. - P. 192-199.

Grant, H. L. The large eddies of turbulent motion / H. L. Grant // J. Fluid Mech. - 1957.

- V. 4. - P. 149-190.

Grass, A. J. Structural features of turbulent flow over smooth and rough boundaries / Grass A. J. // J. Fluid Mech. - 1971. - V. 50. - P. 223-256. Grek, G. R. Experimental analysis of the process of the formation of turbulence in boundary layer at higher degree of turbulence of wind stream / G. R. Grek, J. Dey, V. V. Kozlov [et. al.]. - TR 91-FM - 2. - Indian Institute of Science, Bangalor. - 1991. Grek, G. R. Three types of disturbances from the point source in boundary layer / G. R. Grek, V. V. Kozlov, M. P. Ramazanov. - Laminar-Turbulent Transition. Ed. V. V. Kozlov. - Berlin: Springer-Verlag, 1985. - P. 110-111.

Hall, P. Nonlinear Tollmien-Schlichting vortex interaction in boundary-layers / P. Hall, F. T. Smith // Euro. J. Mech. B - Fluids. - 1989. - V. 8. - P. 179-205. Head, M. R. Combined flow visualization and hot wire measurements in turbulent boundary layer / M. R. Head , P. Bandyopadhyay. - Lehigh Workshop on Coherent Structure of Turbulent Boundary Layers. Ed. C. R. Smith, D. E. Abbott. - 1978. -P. 98-129.

Heisenberg, W. Über Stabilität und Turbulenz von Flüssigkeitsströmen / W. Heisenberg // Ann. D. Phys. - 1924. - V. 74. - P. 577-627.

Heisenberg, W. On the theory of statistical and isotropic turbulence / W. Heisenberg // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. - 1948. - V. 195. - P. 402-406. Heisenberg, W. Zur statistishen theorie der turbulenz / W. Heisenberg // Z. Phys. -1948. - V. 124. - P. 628-657.

Herbert, T. Parabolized stability equations / T. Herbert // Ann. Rev. Fluid Mech. - 1997. - V. 29. - P. 245-283.

Herbert, T. Secondary instability of boundary layer / T. Herbert // Ann. Rev. Fluid Mech. - 1988. - V. 20. - P. 487-526.

Hinze, J. O. Turbulence. 1st Ed./ Hinze J. - New York: Mc'Graw Hill, 1959. - 586 p. Hof, B. Experimental observation of nonlinear travelling waves in turbulent pipe flow / Hof B., C. W. H. van Doorne, J. Westerweel, F. T. M. Nieuwstadt, [h gp.] // Science. - 2004. - V. 305. - P. 1594-1598.

Hopf, E. Statistical hydrodynamics and Functional Calculus / E. Hopf // J. Ratl. Mach. Annal. - 1952. - V. 1. - P. 87-123.

Hussain, A. K. M. F. Coherent structures - reality and myth / A. K. M. F. Hussain //

Phys. Fluids. - 1983. - V. 26. N. 10. - P. 2816-2863.

Hussain, A. K. M. F. Ph. D. Thesis. - Stanford University. - 1970.

Hussain, A. K. M. F. Reynolds W.C. The mechanics of an organized wave in turbulent

shear flow. Part 2. Experimental results / A. K. M. F. Hussain // J. Fluid Mech. - 1972.

V. 54. - P. 241-261.

Jang, P. S. On the origin of streamwise vortices in a turbulent boundary layer / P. S. Jang, D. J. Benney, R. L. Gran // J. Fluid Mech. - 1986. - V. 169. - P. 109-123. Jordinsson, R. The flat plate boundary layer. Part 1. Numerical investigation of the OrrSommerfeld equation / Jordinsson R. // J. Fluid Mech. - 1970. - V. 43, part 4. - P. 801811.

Kachanov, Yu. S. On resonant breakdown of laminar boundary layer / Yu. S. Kachanov.

- Proc. Fifth Natl. Cong. On Theoret. & Appl. Mech., Actual and Topical Problems of Ship Hydro- and Aerodynamics. - 1985. 3:71-1-71-11. Varna: Bulg. Ship Hydrodyn. Cent.

Kachanov, Yu. S. Physical Mechanisms of Laminar - Boundary - Layer Transition. / Yu. S. Kachanov // Annual Review of Fluid Mechanics, - 1994. - V. 26. - P. 411-482. Kaftory, D. Particle behavior in the turbulent boundary layer. I. Motion, deposition, and entrainment / D. Kaftory, G. Hetsroni, S. Banerjee // Phys. Fluids. - 1995. - V. 7, N. 5.

- P. 1107-121.

Karman, T. The fundamentals of the statistical theory of turbulence / T. Karman // J. Aero. Sci. - 1937. -V. 4. - P. 131-138.

Keller, L. Differentialgleichungen fur die turbulence Bewegung einer inkopressiblen Flussiglein / L. Keller, A. Friedmann. - Proc. 1st Int. Congr. Appl. Mech. - 1924. -P. 395.

Kendall, J. M. Experimental study of disturbances in a pre-transitional laminar boundary layer by weak freestream turbulence / J. M. Kendall // AIAA Paper. - 1985. -N. 1695.

Kerswell, R. R. Recent progress in understanding the transition to turbulence in a pipe / R. R. Kerswell // Nonlinearity. - 2005. - V. 18. - P. R17-R44.

272

Kerswel,l R. R. Recurrence of travelling waves in transitional pipe flow / R. R. Kerswell, O. R. Tutty // J. Fluid Mech. - 2007. - V. 584. - P. 69-102.

Kerswell, R. R. Kerswell R. R., Tutty O. R., Drazin P. G. Steady nonlinear waves in diverging channel flow / R. R. Kerswell, O. R. Tutty, P. G. Drazin // J. Fluid Mech. - 2004. - V. 501. - P. 231-250.

Khujadze, G. Khujadze G, Nguen Van Yen R., Schneider K., Oberlack M., Farge M. Coherent vorticity extraction in turbulent boundary layers using orthogonal wavelets / G. Khujadze, Van Yen R. Nguen, K. Schneider, [et al.]. - 13th Europian turbulence Conference. Book abstracts. Warsaw, 12-15 September 2011. Poland. Kim, J. Large eddy simulation of turbulent boundary layers - experiments, theory and mode-ling / J. Kim , P. Moin. - Proc. AGARD Conference. The Hague, Netherlands. N. 271.

Klebanoff, P. S. The three-dimensional nature of boundary layer instability / P. S. Klebanoff, D. K. Tidstrom, L. M. Sargent // J. Fluid Mech. - 1962. - V. 12, pt. 1. -P. 1-34.

Kline, S. J. Runstadler P. W. The structure of turbulent boundary layers / S. J. Kline, W. C. Reynolds , F. A. Schraub // J. Fluid Mech. - 1967. - V. 30. - P. 741-773. Knapp, C. F. A combined visual and hot wire anemometer investigation of boundary-layer transition / C. F. Knapp, P. J. Roach // AIAA J. - 1968. - V. 6. - P. 29-36. Kovasznay, L. S. G. Spectrum of locally isotropic turbulence / L. S. G. Kovasznay // J. Aeronaut. Sci. - 1948. - V. 15. - P. 745-753.

Kovasznay, L. S. G. Large scale motion in the intermittent region of a turbulent boundary layer / L. S. G. Kovasznay, V. Kibens, R. Blackwelder // J. Fluid Mech. -1970. - V. 41. - P. 283-325.

Kozlov, V. V. Origination of 3-D structures in boundary layer transition. / V. Kozlov, V. Ya. Levchenko, V. S. Saric (USA). - Preprint. ITPM SO AN SSSR. N. 10-83. Novosibirsk. - 1983.

Kraichnan, R. H. Inertial - range transfer in two- and three-dimensional turbulence / R. H. Kraichnan // J. Fuid Mech. - 1971. - V. 47. - P. 525-535.

Kraichnan, R. H. Dynamics of Nonlinear Stochastic Systems / R. H. Kraichnan // J. Math. Phys. - 1961. - V. 2. - P. 124-148.

Kraichnan, R. H. The structure of isotropic turbulence at very high Reynolds numbers / R. H. Kraichnan // J. Fuid Mech. -1959. - V. 5. - P. 497-543.

Landahl, M. T. A wave-guide model for turbulent shear flow / Landahl M. T. // J.Fluid Mech. - 1967. - V. 29, pt. 3. - P. 441-459.

Laslie, D. C. The application of turbulence theory to the formulation of subgrid modelling procedures / D. C. Laslie, G. L. Quarini // J. Fluid Mech. - 1979. - V. 91. -P. 65-91.

Lin, C. C. On the stability of two-dimensional parallel flows. Part 1-3 / C. C. Lin // Q. Appl. Math. - 1945/46. - V. 3 - P. 117-218.

Luchik, T. S. Time scale and structure of ejections and bursts in turbulent channel flows / T. S. Luchik , W. G. Tiederman // J. Fluid Mech. - 1987. - V. 174. - P. 529-552. Mack, L.M. A numerical study of the temporal eigenvalue spectrum of the Blasius boundary layer / L.M. Mack // J. Fluid Mech. - 1976. - V. 73. - P.497-520. Mankbadi, R. R. A critical layer analysis of the resonant triad in boundary-layer transition - nonlinear interactions / R. R. Mankbadi, X. Wu, S. S. Lee // J. Fluid Mech. - 1993. - V. 256. - P. 85-106.

Mankbadi, R. R. Mankbadi R. R. Transition, turbulence, and noise: theory and applications for scientists and engineers / Mankbadi R. R. - NASA Lewis Research Center. Kluver Academic pablishers. Boston, Dordrecht/London. - 1994. - 381 p. Maslov, V. P. Asimptotic theory of interactions of waves in weakly nonlinear media. Tr. Vsesoyuzn. Konf. "Nonlinear Science" / Maslov V. P. - M. : Nauka, 1991. Mathematica 5.0. Users Guid. Wolfram Research, - 2003.

McComb, W. D. The Physics of Fluid Turbulence / W. D. McComb. - Oxford : Oxford University Press. - 1990. - 572 p.

Medeiros, M. A. F. The production of subharmonic waves in the nonlinear evolution of wave packets in boundary layers. / M. A. F. Medeiros, M. Gaster // J. Fluid Mech. -1999. - V. 399. - P. 301-18.

Messiter, A. F. Boundary-layer flow near the trailing edge of a flat plate / A. F. Messiter // SIAM J. Appl. Math. - 1970. - V. 18. - P. 241-257.

Milton, Van Dyke. Computer-extended series / Van Dyke Milton // Ann. Rev. Fluid Mech. - 1984. - V. 16. - P. 287-309.

Moston, J. On the nonlinear growth of two-dimensional Tollmien-Schlichting waves in a flat-plate boundary layer / J. Moston, P. A. Stewart, S. J. Cowley // J. Fluid Mech. -2000. - V. 425. - P. 259-300.

Musker, A. J. Explicit expression for the smooth wall velocity distribution in a turbulent boundary layer / A. J. Musker // AIAA Journal. - 1979. - V. 17, N. 6. - P. 655-657. Nayfeh, A. H. Perturbation Metyhods. / A. H. Nayfeh // Wily. - 1973. - 425 p. (Найфэ А. Методы возмущений. М.: Наука. - 1986. - 454 с.)

Nazarenko, S. WKB theory for rapid distortion of inhomogeneous turbulence / S. Nazarenko, N. K.-R. Kevlahan, B. Dubrulle // J. Fluid Mech. - 1999. - V. 390. -P. 325-348.

Nobutake, I. Another rout to the three-dimensional development of Tollmien-Schlichting waves with finite amplitude / Nobutake I. // J. Fluid Mech. - 1987. -V. 181. - P. 1-16.

Oberlack, M. Applications of the new symmetries of the multi-point correlation equations / M. Oberlack, A. Rosteck. - Proceedings of 13th Turbu,ence Conference. Warsaw, 12 - 15 September 2011.

Onsager, L. Statistical hydrodynamics / L. Onsager // Nuovo Cimento Supl. - 1949. -V. 6. - P. 279-287.

Onsager, L. The distribution of energy in turbulence (abstract only) / L. Onsager // Phys. Rev., 2 Ser. - 1945. - V. 68. - P. 286.

Orszag, S. A. Accurate solution of the Orr-Sommerfeld equation / S. A. Orszag // J. Fluid Mech. - 1971. - V. 50. - P. 689-703.

Payne, F. R.Large eddy structure of the turbulent wake behind a circular cylinder / F. R. Payne , J. L. Lumley J. L. // Phys. Fluids Suppl. - 1967. - V. 10. - P. 194-196. Perry, A. E. The fabric of turbulence / A. E. Perry , Lim T. T., M. S. Chong , E. W. Teh // AIAA Paper. - 1980. - N. 80-1358.

Plasting, S. C. A friction factor bound on transitional pipe flow / S. C. Plasting, R. R. Kerswell // Phys. Fluids. - 2005. - V. 17. P. 011706(4). Pope S. B. The Approach to the modeling reacting flows / S. B. Pope // Combustion and Flame. - 1976. - V. 27, N. 3. - P. 299-312.

Prandtle L. Bericht uber undersuchungen zur ausgebildeten turbulent / L. Prandtle // Z. Angew. Math. Mech. - 1925. - V. 5. - P. 136-139.

Cvitanovic, Predrag. Chaosboock.org/version 11.8 / P. Cvitanovic, R. Artuso, R. Mainieri, G. Tanner [et al.] - Aug. 30. - 2006.

Pringle, C. Asymmetric helical and mirror-symmetric travelling waves in pipe flow / C. Pringle, R. R. Kerswell // Phys. Rev. Lett. - 2007. - V. 99. Issue 7. (074502). - P. 333-371.

Rao, K. N. B. Bursting in a turbulent boundary layer / K. N. Rao , R. Narasimha , M. A. Narayanan // J. Fluid Mech. - 1971. - V. 48. - P. 339-352. Reynolds, O. On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion. / O. Reynolds // Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. - 1885. - V. 186. - P.123-161.

Richardson, L. F. Atmospherical diffusion show on a distance-neighbour graph / L. F. Richardson // Proc. Roy. Soc. Lond. - 1926. - A 110. - P.709-737. Richardson, L. F. Beitr. Phys. frei. Atmos. Hegessell-Festachrift. 1929. - P. 24-29. (Collected Papers of Lewis Fry Richardson. V1. Meteorology and numerical analysis.1993. Cambridge University Press.)

Robinson, S. K. Coherent motions in the turbulent boundary layer / S. K. Robinson // Annual Review of Fluid Mechanics. - 1991. - V. 23. - P. 601-639. Rubinstein, R. Statistical Prediction of Laminar-turbulent Transition / Rubinstein R., Choudhari M. - Hampton, Virginia. NASA/CR -2000-210638 ICASE Report No. 2000 - 50.

Salven, H. The continuous spectrum of Orr-Sommerfeld equation. Part 2. Eigenfunction expansion / H. Salven, C. E. Grosch // J. Fluid Mech. - 1981. - V. 104. - P. 445-465. Saric, W. S. Nonparallel stability of boundary layer flows / W. S. Saric, A. H. Nayfeh // Phys. Fluids. - 1975. - V. 18(8). - P. 945-950.

276

Shanks, D. Nonlinear transformations of divergent and slowly convergent sequences /

D. Shanks // J. Math. Phys. - 1955. - N. 34. - P. 1-42.

Smagorinsky J. General circulation experiments with the primitive equations. i the basic experiment. / J. Smagorinsky // Monthly Wether Rev. - 1963. - V. 91. - P. 99-164. Smith, E. T. The resonant-triad non-linear interaction in boundary - layer transition /

E. T. Smith, P. A. Stuwart // J. Fluid Mech. - 1987. - V. 179. - P. 227-252. Stewartson K. On the flow near the trailing edge of a flat plate. Part II / K. Stewartson // Mathematica. - 1969. - V. 16. - P. 106-121.

Tadashi, Utami. Experimental study on the coherent structure of turbulent open-channel flow using visualization and picture processing / Tadashi Utami, Tetsuo Ueno // J. Fluid Mech. - 1987. - V. 174. - P. 399-440.

Taneda, Sadatoshi. Taneda Sadatoshi. Visual observation on the amplification of artificial disturbances in turbulent shear flows / Taneda Sadatoshi // Phys. Fluids. -1983. - V. 26, № 10. - P. 2801-2806.

Taylor G. I. The statistical theory of turbulence. Parts I-IV / G. I. Taylor // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. - 1935. - V. 151. - P. 421-511.

Townsend, A. A. Entrainment and the structure of turbulent flow / A. A. Townsend // J. Fluid Mech. - 1970. - V. 41. - P. 13-46.

Townsend, A. A. Measurements in the turbulent wake of a cylinder / A. A. Townsend // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. - 1947. - V. 190. - P. 551-561. Townsend, A. A. The structure of turbulent shear flow. 1st Ed / A. A.Townsend. -Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1956. - 428 p.

Von Karman, T. On the statistical theory of turbulence. / T. von Karman // Proc. Nat. Acad. Sci. - Wash. - 1937. - V. 23(2), P. 98-105.

Von Weizsacker, C. F. Von Weizsacker C. F. Das spektrum der turbulenz bei grossen Reynolds sehen zahlen / C. F. von Weizsacker // Z. Phys. -1948. -V. 124. - P. 614627.

Waleffe, F. Homotopy of exact coherent structures in plane shear flows Waleffe, F. /

F. Waleffe // Phys. Fluids. - 2003. -V. 15, - P. 1517-1534.

Waleffe, F. Exact coherent structures in channel flow / F. Waleffe // J. Fluid Mech. -2001. - V. 435. - P. 93-102.

Waleffe, F. Exact coherent structures in turbulent shear flows / F. Waleffe. -Conference on Turbulence and Interactions TI 2006, May 29. - June 2. 2006. Porquerolles, France.

Waleffe, F. Three-dimensional coherent states in plane shear flows / F. Waleffe // Phys. Rev. Lett. - 1998. - V. 81, N. 19. - P. 4140-4143.

Walker, J. D. A. Herzog S. Eruption mechanisms for turbulent flows near walls / J. D. A. Walker. - Proc. 2nd Int. Symp. On Transport Phenomena in Turbulent Flows. Tokyo, 1987.

Wedin, H. Exact coherent structures in pipe flow: travelling wave solutions /

H. Wedin, R. R. Kerswell // J. Fluid Mech. - 2004. - V. 508. - P. 333-371. Williams, P. R. Vortical structure in the breakdown stage of transition / P. R. Williams. - Proc. Symp. On Stab. Time Depend. And Spat. Varying Flows. Hampton, VA, 1985. - P. 335-350.

Willis, A. P. Critical behaviour in the relaminarisation of localised turbulence in pipe flow / A. P. Willis, R. R. Kerswell // Phys. Rev. Lett. - 2007. - V. 98. Issue

I. (014501).

Wu, X. Generation of Tollmien-Schlichting waves by convecting gusts interacting with sound / X. Wu // J. Fluid Mech. - 1999. - V. 397. - P.285-316. Wu, X. Direct numerical simulation of turbulence in a nominally zero-pressure-gradient flat-plateboundary layer / X. Wu, P. Moin // J. Fluid Mech. - 2009. - V. 630. - P. 5-41. Wu, X. On the weakly nonlinear development of Tollmien-Schlichting wavetrains in boundary layers / X. Wu, P. A. Stewart, S. J. Cowley // J. Fluid Mech. - 1996. - V. 323. - P. 133-171.

Wygnanski, I. J. On turbulent «spot» in a laminar boundary layer / I. J. Wygnanski , M. Sokolov , D. Friedman // J. Fluid Mech. - 1976. - V. 78. - P. 785-819. Yakhot, V. Renormalization Group Analysis of Turbulence. I. Basic Theory / Yakhot V., Orszag S. A. // J. Sci. Computing. - 1986. - V. 1, N. 1. - P. 3-50.

Zakharov, V. E. Kolmogorov spectra of turbulence 1. Wave turbulence. I. / V. E. Zakharov V. E. Zakharov, V. S. L'vov, G.Falkovich. - Springer, Berlin, 1992. -262 p.

Zelman, M. B. Tollmien-Schlichting-wave resonant mechanism for subharmonic-type transition / M. B. Zelman, I. I. Maslennikova // J. Fluid Mech. - 1993. V. A.V. 252. -P. 449-478.

Zharov, V. A. Discrete Fourier transform in the problem of the wave packet dynamics / V. A.Zharov. - 6th ISNM NSA NIS aug. 24-29, 2003. (V. A. Zharov. - Facta Universitatis. Series mechanics, automatic control and robotics. - 2003. - V. 3, N. 15. -P. 1077-1082. Жаров, В. А. Использование дискретного преобразования Фурье для изучения динамики волновых пакетов / В. А. Жаров // Прикладная механика и техническая физика. -2004. - Т. 45, № 6. - С. 31-38.).

Zharov, V. A. Gaussian approximation of a finite spase disturbance dynamics in the boundary layer / Zharov, V. A. - Proceeding of 13 th European Turbulent Conference, 12 - 15 September, 2011, Warsaw, Poland.

Zharov, V.A. Waveguid model of coherent structures in the developed turbulent boundary layer / V.A. Zharov. - Proceeding of 14th European Turbulent Conference, 1 -4 September, 2013, Lyon, France.

Zhou, J. Mechanisms for generating coherent packets of hairpin vortices in channel flow / J. Zhou, R. J. Adrian, S. Balachandar, T. M. Kendall // J. Fluid Mech. - 1999. -V. 387. - P. 35-396.

8. СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

(х, у, 7} = {х}, 1 = 1,2,3, г - пространственные координаты и время;

х, у, 2, ? - соответственно продольная, нормальная к стенке и поперечная координаты, время;

" Г» " /Л " I

+ уи 5и Ли + и * /т д и

У = —, 5+ =-, Л+ =-, и+ =—, и = ^, тж —

V V V и у р д у

- соответственно

у=0

вертикальная координата, толщина пограничного слоя, длина волны, скорость, отнесенные к соответствующим пристенным величинам.

5, 5*, 5 ** - толщина пограничного слоя по скорости, толщина вытеснения, толщина потери импульса;

5У, 5/5 = К^С (/) /2 , - вязкая длина;

С7 (/), с; - локальный коэффициент турбулентного трения пластины;

- интегральный коэффициент турбулентного трения пластины; их - скорость набегающего потока;

и,¥ - компоненты средней скорости течения в пограничном слое;

(и', V, w'} = (и}, 1 = 1,2,3, р - пульсационные компоненты скорости и давление;

и = и / иш, в V = V / иш, в и = и / иш, 8р = р / ри2 - безразмерные скорости и давление;

х. = х /5м, г = и /8**, X = х/Ь, Т = и/Ь , I = и„/шт|1ш©(к,/)| ; г0 =5**/ц,, =5**/(виш), т2 =5**/(в2^) - характерные масштабы времени;

/ = и^5** /V, / = их5/у - числа Рейнольдса соответственно по 5 ** и по 5 ;

е2 = 3**/ Ь

а - максимальное значение инкремента волн Толлмина-Шлихтинга; у - кинематическая вязкость;

Х0 - положение «центра масс» волнового пакета; х0 - скорость движения «центра масс» волнового пакета; г] - вертикальная компонента завихренности; ^ = г / х, I = 0,1,2, - время в масштабе х;

/к - спектральная амплитуда вертикальной компоненты скорости волн Толлмина - Шлихтинга;

/х - перемежаемость в переходной области пограничного слоя;

СЧк) = ас(оЦк2,аЯз„) - безразмерная комплексная частота п-й моды волн Толлмина - Шлихтинга, отнесена к и /3*

'ж ' 3 ;

с(п)(к2,аЯз„) - безразмерная комплексная фазовая скорость п-й моды волн Толлмина - Шлихтинга;

к 2

с '(п = с (к2, а Яд) = с "(^ (к2, аЯ8) - , п = 1,2,... - фазовая скорость мод Сквайра;

к = {а, /} - безразмерный волновой вектор, отнесен к 1/3**;

а, / - соответственно продольное и поперечное волновые числа;

к, к, к2 (или к, к2, к) - соответственно волновой вектор гармоники и волновые вектора субгармоник;

е2 = шт к

1ш ^ с( к, Я ) о

■Ъ** / Ь ~ х^ /2 - малый параметр задачи;

д u д y

- касательное напряжение на стенке;

y=0

d2

(-ico + iall)\ ^—-к- к2 vk = Losvk = 0 - уравнение Орра-

4 \ dy ) dy R у dy )

Зоммерфельда в Фурье-представлении;

2

{-¡а+¡аи) Г1к + ¡р—\ - — - к2 % = = 0 - уравнение Сквайра (для

ф К ^ йу )

вертикальной завихренности) в Фурье-представлении;

U2 ^

a

{у)= Ц ехР {-¡к ■ г ) а {х, у,2У**, а {х, у,2)= тЛт И ехР {¡к ■г ) ак {У)йк,

{ 2ж)

{аЪ\ = ЦехР{-к■г)а{г)Ъ{г= кА\=т^ДОа^к^! , к2 =к-

{2п)

{аЪс}к = Ц ехр {-к ■ г ) а {г ) Ъ {г ) с {г й = 7^4 Ц а^кСкйк^к 2, кз =к-к!- ^

{ 2п )

г = {х, г), к = {а,в), йг = йхйг, йк = йайр, к = ^а2 + р2, i2 = -1 - прямое и обратное преобразование Фурье функции и произведения нескольких функций;

а- {у)=а*{у), {аЪ }к = {Ъа I> {аЪс}к = {а, { Ъс}к_к1 }к = { {аЪ К с-к1 }к - св ой ств а

преобразования Фурье произведения нескольких функций;

(рк ) {у), ) {у) {у), ^ {у), п = 1,2, ..., - собственные решения дискретного и

непрерывного спектров соответственно уравнений Орра-Зоммерфельда и Сквайра;

<Рк(п) {у), <Рк(м) {у) - решения дискретного и непрерывного спектров сопряженного уравнения Орра-Зоммерфельда;

г/1пЛ (у) - индуцированное решение уравнения Сквайра;

Моя {х{у)у))=рС—— + к2Х(Р йу - норма биортогональности решен]

4 " *0 ^ йу йу )

уравнения Орра-Зоммерфельда и союзного ему уравнения;

(и у) = Пш 1 £ I Пш 1 |о и <1 - средние безразмерные касательные

1 ч V0 о у

напряжения;

Яы = )5{к)-{й„йт\),1,т = \,2,з, - Фурье-образ тензора пульсаций;

si =

f д яЛ их, —,1/3

ду

a,=(а,,а„а.}, а.=u§+vfs а,,=v^+^ а.=;

Г 5 3 ^

ÍDos ) = - ia—,k2,ip — , (ds ,) = (iP,0,-ia),/= 1,2,3, - операторы исключения

v ' ду ду) v '

V

давления из уравнений Навье-Стокса в Фурье-представлении;

А - амплитуда волн Толлмина-Шлихтинга с волновым вектором к;

А, А =(А) - когерентная составляющая волн Толлмина-Шлихтинга;

А, {А) = 0 - стохастическая составляющая волн Толлмина-Шлихтинга;

(...) - операция осреднения по фазам парциальных волн;

<4,42МА<О,<А,<) -

корреляционные функции стохастического компонента волн Толлмина-Шлихтинга в предположении пространственной однородности;

Нк к к2, /к к ц к - матричные элементы соответственно при квадратичных и кубических членах;