Спектр пульсаций развитого турбулентного пограничного слоя на пластине в несжимаемой жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Селим Рами Салах Сабер

• Селим Рами Салах Сабер
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Селим Рами Салах Сабер

Введение

Глава 1 Формулировка спектральной задачи уравнения Орра-Зоммерфельда (УОЗ)

1.1 Математическая формулировка спектральной задачи

1.2 Свойства спектра собственных значений

1.2.1 Дискретный спектр

1.2.2 Непрерывный спектр

1.3 Спектральные свойства УОЗ

1.4 Профиль скорости Блазиуса

1.5 Профиль средней продольной скорости развитого ТПС

1.6 Выводы по Главе

Глава 2 Численные методы исследования спектральной задачи

2.1 Метод Конечных Разностей

2.2 Метод коллокаций

2.3 Решение спектральной задачи

2.3.1 Дисперсионные свойства уравнения Орра-Зоммерфельда

2.3.2 Валидация метода для профиля Блазиуса

2.4 Спектр и собственные моды развиого турбулентного ПС

2.5 Выводы по Главе

Глава 3 Исследование когерентной структуры на основе уравнений трехволнового резонанса

3.1 Постановка задачи

3.1.1 Анализ исходных уравнений задачи

3.2 Теорема Биркгофа-Хинчина

3.3 Численные результаты

3.4 Выводы по Главе

Глава 4 Пульсационные характеристики скорости в развитом турбулентном пограничном слое

4.1 Формулировка задачи

4.2 Средняя величина пульсаций продольной скорости

4.3 Напряжения сдвига Рейнольдса

4.4 Выводы по Главе

Заключение

Список литературы

Список сокращений и условных обозначений

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Приложение Г

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектр пульсаций развитого турбулентного пограничного слоя на пластине в несжимаемой жидкости»

Актуальность темы исследования.

Диccертaциoнная pa6aTa пoсвящeнa туpбулeнтнbIм тeчeниям, KoTopbie вcтpeчaются bo мнoгих пpaктичeских ситуaциях и oтличaютcя гeoмeтpиeй, мехaнизмaми вoзбуждeния туpбулeнтнoсти, физикo-химичecкими пpoцeccaми, пpoиcхoдящими в нeoднopoднbIх тeчeниях. Oдин из нaибoлee ввжных cлучaeв туpбулeнтных тeчeний - это тeчeниe ra3a и жидгаети в пoгpaничнoм слoe (ПС). Изучeнию тeчeния в туpбулeнтнoм ПС дo нacтoящeгo вpeмeни былo пoсвящeнo orpoMroe кoличecтвo тeopeтичecких и экспepимeнтaльнbIх paбoт [1-3]. Турбулентные течения представляют больший практический интерес, так как подобные течения встречаются в многочисленных применениях в авиации, флоте, турбиностроении, химических технологиях и т.п. В виду такой востребованности в технике возникает необходимость в достаточно простых и в тоже время содержательных моделях описания подобных течений. Поэтому в технике используются многочисленные так называемые инженерные модели [4]. Однако эти модели не содержат явлений, которые к настоящему времени были открыты экспериментальным путем [5, 6]. Когерентные структуры в турбулентном пограничном слое на плоской пластине являются наиболее актуальными экспериментальными явлениями турбулентности, как показано в работе [7]. В работе [8] приведены свойства организованных (когерентных) структур. В то же время общий прогресс в области динамики жидкости и тепломассообмена оказывает влияние на численное моделирование турбулентности. Отметим здесь DNS и LES модели, которые в значительной мере отслеживают все особенности турбулентного течения. Однако они требуют значительного машинного ресурса [9]. В связи с этим возникает необходимость построения таких моделей турбулентного пограничного слоя, которые содержат эти новые явления, которые устанавливают новый взгляд на стохастичность этого явления.

С помощью алгебраических ренормгрупповых методов [10, 11, 12] существует большая литература по конструированию моделей турбулентности. Однако эти методы весьма формальны и не дают физических представлений о процессах, происходящих в развитом турбулентном пограничном слое. В связи с этим отметим волноводную модель [13-20]. Оказалось, возможным использовать эти модели в связи с исследованиями в развитом ТПС [21-29], которые показывают, что она отражает многие современные достижения в турбулентном ТПС. Степень разработанности проблемы.

Прогресс изучения однородных и изотропных течений известен [30, 31], чего нельзя сказать о течениях типа пограничного слоя. В последние десятилетия был опубликован ряд работ по изучению турбулентности в турбулентных пограничных слоях. Есть существенные различия между турбулентными течениями погранслойного типа и однородными, и изотропными. В работах [5, 32] убедительно доказано существование когерентной динамической составляющей в турбулентных пограничных слоях (ТПС).

Экспериментально в пограничном слое обнаружено большое разнообразие структур [33-36], связанных с поперечной неоднородностью течение вблизи обтекаемой поверхности.

В монографии [12] приведены современные метиоды построения иннженерных моделей турбулентности, основанных на ренормгропоых подходах решения стохастических задач или так называемых подсеточных моделей. В работе [37] модель турбулентности построена на основе теории неоднородных динамических систем. В работе [38] построена модель развитого ТПС с явным выделением когерентной составляющей потока. Целью исследования

Основной целью диссертационной работы является изучение физических (спектральных) характеристик волноводной модели развитого турбулентного пограничного слоя для несжимаемой жидкости, обтекающей пластину с нулевым продольным градиентом давления. При этом решались следующие задачи:

1. Сравнительная оценка методов корректного решения спектральной задачи.

2. Получение собственных значений спектральной задачи для уравнения Орра-Зоммерфельда на профиле средней продольной скорости ТПС, дисперсионных соотношений для мод и свойств множественного трехволнового резонанса.

3. Исследование когерентной структуры с точки зрения множественного 3-волнового резонанса и изучение ее динамической системы путем применения теоремы Биркгофа-Хинчина к системе уравнений динамики амплитуд мод множественного 3-волнового резонанса.

4. Построение характеристик ТПС на основе волноводной модели и сравнение с экспериментом.

Научная новизна исследований. Работы заключается в следующем:

1. Определены с высокой точностью моды уравнения Орра-Зоммерфельда на профиле средней продольной скорости в ТПС.

2. Сформулирована и решена система обыкновенных дифференциальных уравнений для совокупности волн в состоянии множественного трехволнового резонанса, описывающая когерентную структуру.

3. Полученная система автономных уравнений для амплитуд гармоники и субгармоник сопоставлена с теоремой Биркгофа-Хинчина (в формулировке А. Н. Колмогорова) и проверено численно свойство эргодичности этой системы.

4. Определены среднеквадратичные значения пульсаций скорости, напряжения сдвига Рейнольдса. Показано, что поведение касательного напряжения имеет качественное и количественное согласие с экспериментальными данными Клебанова.

5. Установлено, что полученные статистические характеристики ТПС определяются только когерентной частью полного решения задачи.

Теоретическая и практическая значимость работы

1. Использование волноводная модель, которая сводит определение пульсаций скорости к динамике волн Т-Ш в развитом ТПС.

2. Явное выделение особенности течения (когерентной части турбулентного пограничного слоя) и определение статистических характеристик пульсаций.

3. Построена модель ТПС, которая не требует переопределения констант этой модели.

4. Математическая структура решения исходной задачи может быть полезна для построения инженерных моделей турбулентности в пограничном слое.

Методология и метод исследований

В работе использовались теория ТФКП, Фурье-преобразование, сингулярный метод теории возмущений. Машинная аналитика (пакет прикладных программ MATEMATICA Wolfram Research v.5.0) используется для более сложных аналитических и численных расчетов. Положения, выносимые на защиту

1. Решение существенных задач турбулентного движения в пограничном слое на плоской пластине при нулевом угле атаки в отсутствие продольного градиента давления.

2. Метод коллокаций для решения спектральной задачи уравнения Орр-Зоммерфельда на турбулентном профиле.

3. Определена динамическая система обыкновенных дифференциальных уравнений в состоянии множественного 3-волнового резонанса, представляющая следствие решения уравнений Навье-Стокса, моделирующая динамику турбулентных пульсаций.

4. Динамика волн Толлмина-Шлихтинга в состоянии множественного 3-волнового резонанса, удовлетворяет условиям теоремы Биркгофа-Хинчина, поэтому можно предположить, что система уравнений для амплитуд гармоники и субгармоник обладает свойством эргодичности.

5. Построена волноводная модель для изучения, развитого ТПС, позволяющая

определять статистические характеристики развитого ТПС.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность изложенных численных результатов в данной диссертации представляется достаточно высокой. В работе проведено сравнение численных результатов с результатами других авторов.

Проведено сопоставление численных результатов, полученных различными методами.

Численные результаты в данной работе хорошо согласуются с численными и экспериментальными результатами в ТПС. Соответствие диссертации паспорту научной специальности

Содержание данной работы соответствует паспорту специальности 01.02.05 -механика жидкости, газа и плазмы, в частности пунктам: п. 1 (Реологические законы поведения текучих однородных и многофазных сред при механических и других воздействиях), п. 3 (ламинарные и турбулентные течения), п. 13 (Гидродинамическая устойчивость), п.14 (линейные нелинейные волны в жидкостях и газах)

Апробация работы. Результаты данной диссертации докладывались на:

1. 61-я Всероссийская научная конференция МФТИ, Жуковский, МФТИ, 19 - 25 ноября 2018 г.

2. Международная многопрофильная конференция «Физические свойства материалов и дисперсных сред для элементов информационных систем, наноэлектронных устройств и экологических технологий», Москва, МГОУ, 17-18 апреля 2019 г.

3. 62-я Всероссийская научная конференция МФТИ, Жуковский, МФТИ, 1925 ноября 2019 г.

4. Международная конференция «Перспективная элементная база микро - и наноэлектроники с использованием современных достижений теоретической физики», Москва, МГОУ, 16 сентября 2020 г.

5. 63-я Всероссийская научная конференция МФТИ, Жуковский, МФТИ, 23-29ноября 2020 г.

6. Международная конференция «Перспективная элементная база микро- и наноэлектроники с использованием современных достижений теоретической физики», Москва, МГОУ, 20-23 апреля 2021 г.

Публикации

По теме диссертационного исследования опубликовано 10 печатных работ, 4 из которых входят в список, рекомендованный ВАК, две научные статьи в журнале «Ученые записки ЦАГИ», который входит в базу (ВАК, RSCI), и, 4 научные статьи, который входит в базу (Scopus).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и четырех приложений. Работа содержит в общей объем (116) страниц. В работе включены (45) рисунка, 17 таблиц и 140 источник информации. Список публикаций по теме диссертационной работы:

1. Селим, Р. С. Собственные моды уравнения Орра-Зоммерфельда в развитом турбулентном пограничном слое // Журнал Труды Маи. —2019.—. № 109. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=111352. DOI: 10.34759/trd-2019-109-5

2. Zharov, V. A. Heat transfer in the boundary layer in an compressible fluid in terms of waveguide turbulence model / V. A. Zharov, R.S. Selim // Journal of physics: Conference Series. —2019.—. Vol.1309.

3. Селим, Р. С. Собственные значения уравнения Сквайра для ламинарных и развитых турбулентных пограничных слоев // Журнал Труды Маи. —2020.— . № 112. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=116333. DOI: 10.34759/trd-2020-112-5

4. Жаров, В. А. Волновая модель организованных структур в турбулентном пограничном слое на пластине с нулевым продольным градиентом давления / В.А Жаров, И.И. Липатов, Р.С. Селим // Учёные записки ЦАГИ. — 2020. Т. — 51. — №6. — С.51-59. https://www.elibrary.ru/item.asp?id=44688158.

5. Жаров, В. А. Спектральные характеристики течения несжимаемой жидкости в турбулентном пограничном слое / В.А Жаров, И.И. Липатов, Р.С. Селим // Вестник МГОУ. Серия: Физика-Математика. —2020. —. №4. — С. 12 - 27. https://doi.org/10.18384/2310-7251 -2020-4-12-27.

6. Zharov, V. A. Mathematical Modeling of Incompressible Fluid Flow in Turbulent Boundary Layers / V. A. Zharov, I.I. Lipatov, R.S. Selim // Lecture Notes in Civil Engineering: Proceedings of the XIII International Scientific Conference on Architecture and Construction. — 2020. — P. 391 - 405.

7. R.S. Selim. Determination of Thermal Conductivity Coefficient in the Turbulent Boundary Layers // Lecture Notes of Mechanical Engineering: Safety in Aviation and Space Technologies. — 2021. — Pp. 191-200.

8. R.S. Selim. Determination of Reynolds shear stress from the turbulent mean velocity profile and spectral characteristics of Orr-Sommerfeld -Squire equations // Journal of physics: Conference Series. — 2021. — Vol 2056.

9. Селим, Р. С. Турбулентная статистика с точки зрения когерентной структуры в пограничном слое // Вестник МГОУ. Серия: Физика-Математика. —2021. —. №4. — С. 75 - 85. https://doi.org/10.18384/2310-7251-2021-4-75-85.

10. Жаров, В. А. Пульсационные характеристики скорости в рамках волноводной модели развитого турбулентного пограничного слоя / В.А Жаров, Р.С. Селим // Учёные записки ЦАГИ. — 2022. Т. — 53. — №2. — С.28-37.

Во введении. Обсуждаются инженерные модели турбулентности, широко используемые в практической деятельности аэродинамиков-вычислителей. Акцентируется внимание на их недостатках. Делается обзор современных методов построения инженерных моделей и рассматривается физическая модель турбулентности на основе волноводной модели развитого ТПС.

Глава 1. В первой главе представлена формулировка спектральной задачи во временной постановке для уравнения Орра-Зоммерфельда (УОЗ) в предположении о несжимаемом ламинарном потоке жидкости, приведены нелинейные уравнения

для вертикального компонента скорости пульсаций в одномодовом приближении. Кроме того, многомасштабный метод был использован для получения уравнения когерентной часты амплитудной волны Толлмиена Шлихтинга (Т-Ш).

Глава 2. Во второй главе, Сформулированы два численных подхода решения спектральной задачи: метод конечно-разностный и метод коллокаций и проведено сравнение между ними. Представлены результаты решения спектральной задачи уравнения Орра-Зоммерфельда (УОЗ) и его сопряженного для профиля средней продольной скорости развитого турбулентного пограничного слоя с использованием конечно-разностных и метода коллокаций. В результате этого анализа изучается поведение собственных функций и собственных значений. Определены дисперсионные зависимости волн Толлмина-Шлихтинга (Т-Ш) в широкой области волновых чисел.

Глава 3. В третьей главе получено решение уравнения когерентной части амплитудной волны Толлмиена Шлихтинга (Т-Ш). Это уравнение представляется в виде множества субгармоник в 3- волновом резонансе, которые удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Затем, методом Рунге-Кутты, эта система решается численно. При этом показано, что теорема Биркоффа-Хинчина может быть применена для вычисления среднего значения по времени каждой из амплитуд исследуемой системы уравнений.

Глава 4. В этой главе с позиций волноводной модели турбулентного пограничного слоя определены среднеквадратичные значения пульсаций скорости в турбулентном пограничном слое на пластине при нулевом угле атаки с нулевым продольным градиентом давления. Показано, что количественное и качественное соответствие волновой модели экспериментальным результатам приводит к выводу, что ее можно использовать в качестве одного из подходящих подходов к более широкому исследованию турбулентных течений.

Заключение: Формулируются основные выводы исследования, подчеркиваются предположения, на которых были основаны эти выводы, отмечаются проблемы, с которыми сталкиваются при изучении полученных уравнений, и даются решения.

Список литературы

Список сокращений и условных обозначений Приложения

Краткое обзор содержание исследований диссертации

Тема турбулентных течений постоянно привлекала внимание с момента формулировки концепции пограничного слоя. Физическое присутствие стенки, а также ограничения и влияние, которые она оказывает на внедрение технологий, связанных с управлением пограничным слоем, создают многие из этих проблем. Основные проблемы связаны с высокими частотами и малыми масштабами пристенной турбулентности относительно характерных масштабов сдвиговых потоков. Турбулентность движение жидкости - это нерегулярно состояние течение, при котором различные величины демонстрируют случайное изменение во времени и по пространстве, так, что может быть отчетливо статистически определены их средние значения [39]. Для расчёта подобных течений создаются различные инженерные модели турбулентности. В настоящее время существующие инженерные модели позволяют определить только первый момент гидродинамической величины. Кроме того, они содержат константы, которые необходимо определять при каждом изменении типа потока. Более того, они не описывают когерентные структуры, наблюдаемые в реальном турбулентном пограничном слое.

В последние годы все большее применение находят подходы к моделированию турбулентности, базирующиеся на уравнения Навье-Сто^а (метод прямого численного моделирования - в англоязычной литературе Direct Numerical Simulation или DNS и метод моделирования крупных вихрей - Large Eddy Simulation или LES). Однако, из-за крайней вычислительной трудоемкости этих подходов их широкое практическое использование при решения сложных задач аэродинамики может начаться лишь в конце нынешнего столетия [9, 40], так как известно, что для численной реализации требуются сетки с очень малым шагом с резким увеличением числа узлов по мере роста числа Рейнольдса. Следующее соотношение может быть использовано для оценки зависимости числа N узлов

L 3

сетки в одном направлении от числа Рейнольдса — Re4 [41]. В результате

прямое численное моделирование используется при умеренных числах Рейнольдса. В начале 1980-х годов был сформирован метод LES, теория, лежащая в основе LES, заключается в том, что, в отличие от "глобального" усреднения уравнений Навье-Стокса, фильтруются только коротковолновые турбулентные неоднородности [42]. Этот метод связан с доступным ресурсом вычислительных машин, кроме того, опыт использования LES убедительно свидетельствует о том, что при обрыве каскада на средних масштабах он обеспечивает высокую точность расчета не только средних первых моментов гидродинамических величин, но и пульсационных характеристик турбулентности, даже при использовании простейших подсеточных моделей, например, классической алгебраической модели Смагоринского [43].

При приближении к стенке типичный размер вихрей уменьшается, а требования к сетке возрастают, поэтому использование метода моделирования крупных вихрей связано с большими затратами. С использованием подхода усреднения, предложенного Рейнольдсом в его классической работе [44] можно построить систему уравнений Рейнольдса (RANS) в случае несжимаемой жидкости, которые не являются замкнутыми. Полуэмпирические модели турбулентности помогают замкнуть эти уравнения с помощью гипотезы Буссинеска, которая определяет связь между тензором напряжений Рейнольдса и параметрами усредненного потока. RANS является наиболее широко используемым методом для практических расчетов турбулентных течений, так как в нем допускается использование упрощенных уравнений (двумерных, стационарных), тем более что он намного экономичнее, чем LES и, более того, DNS. Однако такой вещи, как "универсальная модель турбулентности", не существует, и каждая модель имеет свой собственный диапазон применения. Невозможно гарантировать высокую точность расчетов, даже если модель тщательно подобрана. Наиболее точные модели турбулентности позволяют с высокой степенью точности рассчитать некоторые типы потоков, такие как пограничные слои. Модели, способствующие получению турбулентных напряжений, классифицируются на алгебраические [44, 45] и дифференциальные

«-параметрические. Существует множество таких моделей, но, ни одна из них не является идеальной [4]. Хотя существует большое разнообразие моделей турбулентности, среди них можно выделить несколько основных типов, таких как алгебраические модели [46] (гипотеза Прандтля о перемешивании) и дифференциальная модель турбулентности с одним уравнением (модель Спаларта-Аллмареса SA, модель Секундова — 92 [4]) и двумя уравнениями (модели типа к-е, модели типа к-ю).

В дополнение к инженерным моделям турбулентности существуют другие подходы для изучения турбулентности, например, метод ЯО [10, 47] или г-КЫО. Метод г-КЫО разработан для гидродинамической турбулентности и позволяет построить модели для сжимаемых турбулентных течений [12].

В монографии [48] представлен подробный обзор новых явлений, наблюдаемых в развитом ТПС. В ней рассморены исследования, посвященные когерентным структуром в пограничном слое на плоской пластине. Эти проблемы ранее поднимались в исследованиях [49-51]. Начало этим исследованиям, по-видимому, было положено в работах [52, 53].

Свойства динамических когерентных структур тщательно исследованы. В работе [5] доказано существование когерентной динамической составляющей в турбулентных потоках, которые отличаются от кинематических когерентных структур [54]. В работе [55], представлен процесс создания кинематических когерентных структур, связанный с введением стохастического набора вихревых волн, что приводит к деформации поля завихренности, которое напоминает структуру бёрстов в пристеночной части пограничного слоя.

В работе [32] когерентная структура определяется как связанная, крупномасштабная турбулентная жидкая масса с завихренностью, с коррелированной по фазе во всей области пространства, занимаемого структурой. Таким образом, скрытые трехмерные случайные вихревые флуктуации, характеризующие турбулентность, являются организованной компонентой завихренности, которая с коррелирована по фазе (т. е. когерентна) во всей области

расположения структуры ^м. также работы [56, 57]). В работе [58] представлен сценарий перходных явлений в пограничном слое. Этот сценарий состоит из трех форм резонанса в предпереходной области: гармонического, параметрического и трехволнового [58-61], которые распространяются в пространстве волновых чисел вследствие взаимного взаимодействия и, тем самым, вовлекают другие масштабы в динамику возникающих возмущений.

В последнее время идеи, связанные с "берстингом" и структурами, возникающими в процессе его протекания, находят подтверждение в работах [62, 63]. В работах [64-69] были исследованы асимптотические методы описания структуры пограничного слоя. В работе [70], ряд задач турбулентного движения жидкости был исследован численно. В Кармановской лекции в 1976 г, генерация «рациональных» численных моделей, соответствующих исследуемому явлению, предложенная Белоцерковским, была основной идеей исследования структурной турбулентности.

Однако понимание процесса, вызывающего турбулентность, по-прежнему остается сложной задачей. В работе [71] рассмотрели множество исследований турбулентности за последние 100 лет и пришли к выводу, что мы все еще далеки от всеобъемлющей теории и окончательного решения проблемы турбулентности.

Волноводная модель построена на физических принципах. И есть основания считать, что эта модель содержит достаточное количество свойств ТПС. Цель работы: изучить физические свойства этой модели и сравнить их с экспериментом.

ГЛАВА 1 Формулировка спектральной задачи уравнения Орра-Зоммерфельда (УОЗ).

Задача на собственные значения строится в результате дискретизации дифференциального УОЗ с граничными условиями. Цель решения - получить спектр. Этот спектр найден для ламинарных и турбулентных профилей продольной скорости ПС.

1.1 Математическая формулировка спектральной задачи

В этом исследовании рассмотрен случай обтекания плоскости под нулевым

углом атаки. Предполагается, что поток является несжимаемым, поэтому исходные

уравнения (Навье-Стокса) имеют вид:

Зщ Зщ dp 1 д2щ dt J dXj dxi Res dxj dxj

(1.1)

дщ

dxt '

мгновенное поле ut(x,t), p(x,t) может быть разложено на стационарный составляющую и изначально малое возмущение, такое, что

ui(x, t) = щ(х) + и'(х, t),

p(x,t) = р(х) + р'(x,t). (1.2)

Предполагается, что эти пульсации статистически стационарны и однородны в

направлениях (х, z). Вставляя (1.2) в уравнение Навье Стокса (1.1), затем усредним

его по следующей формуле в работе [18].

- 1 1 [to \

и\ и', = ( lim — I ( lim — I u'j dt0 )dt1),

J t^ntiJo \to^™t0J0 J ) (1.3)

здесь (...) - среднее по ансамблю. Вычтя его из основной системы, получим систему уравнений для возмущений:

ди\ _ ди\ дщ др' 1 д2и'I 2

£Т1 — Е У» (14)

ди\

дхь

= 0,

где Tt = (и\ u'j — u'i u'j), - это пульсационные напряжения и Qt определяется

dxj

по формуле:

du du dv dv' _ dw'

Qx = u' — + v —, Qy = v' — + v -—, Qz = v ——.

dx dy y dy ду dy (15)

При этом компоненты, которые входят в (1.5) определяются по уравнению непрерывности и нормальной составляющей завихренности:

du' dv' dw' t du' dw'

dx dy dz ' ^ dz dx' (1.6)

Здесь s2 = — - малый параметр, определяющий соотношение между

характерными поперечным и продольным масштабом и (tq'J^^) временные масштабы:

S** t £ t t Um = TT't0 =~,T1 =— '11=~' 1 =Г--i'^Imax = min ^kU

um T0 T0 T1 I^Imaxl k

где Um— скорость набегающего потока и L - характерный продольный масштаб, определяемый через декремент наименее затухающей волны Т-Ш в развитом ТПС [18]. Следуя работе [18] исключим из системы уравнений (1.4) давление р', тогда получим вертикальный компонент скорости и завихренности:

d d \ _ , d2u dv' 1 . ,

W —^г ---V4v' = £ Dosi Ti — £2 Dosi Qi'

dy2 dx Res 0Sl 1 osivi,

id - d\ (Ш + П dx)

(d d \ , du dv 1 _ ,

+ й — )л' +— ---VV = £ Dsai Ti — e2Dsai Qi'

\dt dx ' dy dz Res sqi 1 sq

(1.7)

(1.8)

D . = (—J^ JL + Л___d— D . = (±o—~)

U°Sl ( dx dy'dx2 + dZ2' dz dy )' UsV \dz'°' dx)'

С помощью Фурье - преобразование для вертикального компонента скорости и завихренности соответственно

ук(у) = ^ ехр (—¿(к • г — ш йг (1.9)

от от

Лк(у) = ехр (—1(к •г — ш ^(х,у,г,€) йг

(1.10)

— I

г = (х,у,г).

Для простоты далее мы используем обозначения вместо у',ц'

соответственно. Для ук, , где ук, - Фурье - преобразование от V, ц получим:

Ч а \ \ (111)

д \{ а2

— Vk + Lo-s VII = £ доз1 Ть— г2 доз1 QKi, (1.12)

2 \ 1 / ¿2 \ 2

&2 Л ё2и 1 ( &

д \( ё2

= й — и05)[ — — к2\ — 1 а — — — 1 — — к2

{^+1 а>зч)(^2 — к2) + и-<1 £ Ьзщ Т1 — г2 Qki, (1.13)

ёй 1 / ё2

2

Т>оз1 = —{^ а — , к2л р — ); д81 = (1 Р,0,—Ь а).

д _ д — , к2,1 В — ду ду

Здесь 1>031, 05Ч1 являются компонентами Фурье 0031, соответственно, и 10-Д^ч - Операторы Орр-Зоммерфельд и Сквайр соответственно. В общем случае необходимо учитывать, как дискретное, так и непрерывное спектральное решение уравнения Орра-Зоммерфельда. Далее будет рассмотрено одномодовое приближение [13]

V], = Ак (0 рк(у) е-1ш(к) к г°, (1.14)

где Лк (¿) обозначет - амплитуд волн, ^(к), Фь(у) - собственное значение, собственное функиций спектральная задача уравнение Орра-Зоммерфельдав (1.12) соответстовно. Подставим разложение (1.14) в уравнение Орра-Зоммерфельда (1.12), а затем умножим его скалярно на собственное решение сопряженного уравнения Орра-Зоммерфельда ф^(у). Тогда получим:

Шоз)Ак ИФкМ = £ (ф1>п051 Т^ + £2(ф1,в051 Qki).

Круглые и квадратные скобки обозначают скалярное произведение функций [72]:

ж

(ФКУ),Фъ(У)) = I Фк(у) ФкСу) ¿У,

-Ж (1.15)

Шу) <Рк(у)11о*= I ^ + ЙОО ъ(у))чу.

1(

— ПО N

&у &у

Предположим, что функции нормированы так, что \\фк(у) фк(у)\\оз = 1. Тогда, окончательно уравнение для комплексных волновых амплитуд Ак примет вид:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Селим Рами Салах Сабер, 2022 год

Список литературы.

1. Xiaohua Wu., Parviz Moin. Transitional and turbulent boundary layer with heat transfer // physics of fluids. — 2010. —V. 22, p. 085105.

2. Hussein Togun, S.N. Kazi, Ahmed Badarudin. Review of Experimental Study of Turbulent Heat Transfer in Separated Flow // Australian Journal of Basic and Applied Sciences. — 2011. —V. 5, — No.10.— p. 489 - 505.

3. Kenzo Sasaki, Ricardo Vinuesa, André V. G. Cavalieri, Philipp Schlatter and Dan S. Henningson. Transfer functions for flow predictions in wall-bounded turbulence // J. Fluid Mech. —2019. —V. 864. — p. 708-745.

4. Гарбарук А.В. Моделирование турбулентности в расчетах сложных течений: учебное пособие / A.B. Гарбарук М.Х. Стрелец, М.Л. Шур. — СПб: Изд-во Политехн. унта. — 2012. —88 с.

5. Cantwell B.J. Organized motion in turbulent flow // Ann. Rev. Fluid Mech. 1981. — V.13. — p. 457 - 515.

6. Катасонов М.М. Возникновение и развитие локализованных возмущений в круговой трубе и пограничном слое: учеб. Пособие / М.М. Катасонов, В. В. Козлов, Н.В. Никитин, А.С. Сбоев. — Новосибирск: РИЦ НГУ. — 2014. — 222 с.

7. Kline J., Reynolds W.C., Schraub F.A., Runstadler P.W. The structure of turbulent boundary layers // J. Fluid Mech. —1967. —V. 30. — p. 741-773.

8. Горелов С.Л. Жаров В.А., Хлопков Ю.И. Когерентные структуры в турбулентном пограничном слое // M: МФТИ. — 2002. — c. 267

9. Spalart P. R. Strategies for turbulence modeling and simulations // Int. J. Heat Fluid Flow. —2000. — V. 21.— p. 252-263.

10.Yakhot V., Steven A. Orszag. Renormalization Group Analysis of Turbulence // Journal of Scientific Computing. — 1986. —V. 1, — No. 1.

11. Branko Kosovic. Subgrid-scale modeling for the large-eddy simulation of high-Reynolds-number boundary layers // J. Fluid Mech. — 1997. —V.336. — p. 151182.

12. Хлопков Ю.И., Жаров В.А., Горелов С.Л. Ренормгрупповые методы описания турбулентных движений несжимаемой жидкости // М.: МФТИ. — 2006. — с. 492.

13. Landahl M. T. A wave-guide model for turbulent shear flow // J. Fluid Mech.— 1967. —V. 29, No. 3. — p. 441 - 459.

14. Кадомцев Б.Б. Турбулентность плазмы. В кн.: Вопросы теории плазмы / Б.Б. Кадомцев. — М.: Атомиздат. — 1964. — вып. 4. — С. 188-339.

15. Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. Слаботурбулентная плазма в магнитном поле // ЖЕТФ. —1962. —Т. 43, №5 (12). — с. 2234-2244.

16. Davidson R.C. Methods in nonlinear plasma theory: Pure and applied physics // N.Y.; L.: Acad. Press. — 1972. —V.37. — p. 356.

17. Захаров В.Е., Львов В.С. О статистическом описании нелинейных волновых полей // Изв. Вузов. Радиофизика. — 1975. - Т. XVIII, №10. —c.1470 -1487.

18. Жаров В. А. Волноводная модель когерентной и стохастической составляющих развитого турбулентного пограничного слоя // Труды ЦАГИ. — 2014а. — вып. 2731. — c. 3 - 48.

19. Жаров В.А. Модельное представление когерентной структуры в развитом турбулентном пограничном слое // Ученые записки ЦАГИ. —2014б. — Т. XLV, №5. - c.33-46.

20. Жаров В.А. Волноводные модели когерентных структур в ламинарном и турбулентном пограничных слоях: диссертация: дис... д-ра Физ.-Мате. наук: 01.02.05 / Жаров, Владимир Алексеевич. - Жуковский., 2016. - 293 с.

21. Селим Р. С. Собственные моды уравнения Орра-Зоммерфельда в развитом турбулентном пограничном слое // труды Маи. — 2019. —№ 109. DOI: 10.34759/trd-2019-109-5.

22. Zharov V. A. Heat transfer in the boundary layer in an compressible fluid in terms of waveguide turbulence model / V. A. Zharov, R.S. Selim // Journal of physics: Conference Series. —2019.—. Vol.1309.

23. Селим Р. С. Собственные значения уравнения Сквайра для ламинарных и развитых турбулентных пограничных слоев // Журнал Труды Маи. — 2020.—. № 112.

24. Жаров В. А., Липатов И. И., Селим Р. С. Волновая модель организованных структур в турбулентном пограничном слое на пластине с нулевым продольным градиентом давления // Научные записки ЦАГИ. — 2020. — Т.51, №6. C.-51-59.

25. Zharov V. A. Mathematical Modeling of Incompressible Fluid Flow in Turbulent Boundary Layers / V. A. Zharov, I.I. Lipatov, R.S. Selim // Lecture Notes in Civil Engineering: Proceedings of the XIII International Scientific Conference on Architecture and Construction. — 2020. — P. 391 - 405.

26. Selim R.S. Determination of Thermal Conductivity Coefficient in the Turbulent Boundary Layers // Lecture Notes of Mechanical Engineering: Safety in Aviation and Space Technologies. — 2021. — Pp. 191-200.

27. Selim R.S. Determination of Reynolds shear stress from the turbulent mean velocity profile and spectral characteristics of Orr-Sommerfeld -Squire equations // Journal of physics: Conference Series. — 2021. — Vol 2056.

28. Селим Р. С. Турбулентная статистика с точки зрения когерентной структуры в пограничном слое // Вестник МГОУ. Серия: Физика-Математика. —2021. —. №4. — С. 75 - 85.

29. Жаров, В. А. Пульсационные характеристики скорости в рамках волноводной модели развитого турбулентного пограничного слоя / В.А Жаров, Р.С. Селим // Учёные записки ЦАГИ. — 2022. Т. — 53. — №2. — С.28-37.

30. Аджемян Л.Ц., Антонов Н.В., Васильев А.Н. Квантово-полевая ренормализационная группа в теории развитой турбулентности // УФН. — 1996. —Т. 166, №2. — С. 1257-1284.

31. Теодорович Э.В. Применение метода ренормализационной группы для описания турбулентности (обзор) // Изв. АН Физика атмосферы и океана. — 1993. —Т.29, №2. - С. 149 -163.

32. Hussain A.K.M.F. Coherent structures - reality and myth // Phys. Fluids. — 1983. —V. 26, N. — 10. — p. 2816 -2863.

33. Walker J.D.A., Herzog S. Eruption mechanisms for turbulent flows near walls // Proc. 2nd Int. Symp. On Transport Phenomena in Turbulent Flows. Tokyo. —1987.

34. Jang P.S., Beney D.J., Cheni Y.M. // Bull. Am. Phys. Soc. II. —1984. —V. 29, No. 9. — P. 1528.

35. Blackwelder R.F. Coherent structures associated with turbulent transport // Proc. 2ndInt. Symp. On Transport Phenomena in Turbulent Flows. Tokyo. —1987. — p. 1 - 20.

36. Williams P.R. Vortical structure in the breakdown stage of transition: Stability of Time Dependent and Spatially Varying Flows // ICASE NASA La RC Series. Springer, New York, NY. —1987. —p. 335-350.

37. Жигулев В. Н. Об уравнениях турбулентных движений газа // ДАНСССР. —1965. — Т.165, № 3.

38. Боголепов В.В., Жаров В.А., Липатов И.И., Хлопков Ю.И. Модель турбулентного пограничного слоя с явным выделением когерентной генерационной структуры // ПМТФ. —2002. —Т. 43, №4. — С.65-74.

39. Хинце И.О. Турбулентность. Её механизм и теория // Издательство: Государственноеиздательство физико-математической литературы. —1963. с —680.

40. Иевлев В.М. Численное моделирование турбулентных течений // М.: Наука. —1990. — с. 216 —ISBN 5-02-006735-0.0000.

41. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика // М.: Наука. —1986. — с.736

42. Berselli L.C., Iliescu T., Layton W.J. Mathematics of Large Eddy Simulation of Turbulent Flows // Publisher: Springer-Verlag. —2006.— с. 356.

43. Волков К.Н. Моделирование крупных вихрей в расчетах турбулентных течений / К.Н. Волков, В.Н. Емельянов. - М.: Физматлит. — 2008. с - 368.

44. Рейнольде О. "Динамическая теория движения несжимаемой вязкой жидкости и определение критерия". Проблемы турбулeнтнoсти // - М. Л.: ОНТИ. — 1936. —С. 135- 227.

45. Boussinesq J. Essai sur la theorie des eaux courantes. Memoires presentes par diver's savants a l'Academie des Sciences de l'Institut National de France. —1877. —T. XXIII, No 1. Imprimerie Nationale, Paris.

46. Prandtl L. Uber die ausgebildete Turbulenz," Z. Angew // Math. Mech. —1925. —V 5. — p. 136 -139.

47.Wilson K.G. Renormalization Group and Critical Phenomena. I. Renormalization Group and the Kadanoff Scaling Picture // Phys. Rev. B. —1971. —V.4, 3174.

48. Белоцерковский О.М., Жаров В.А., Т. Тун, Хлопков Ю.И. Моделирование турбулентного перехода в пограничном слое методом Монте-Карло // Ж. Вычисл.Мат. и Мат. Физ. — 2009. —Т.49, № 5. — С. 923-928.

49. Струминский В.В., Филиппов В.М. Система ультрамикроскопа с оптической компенсацией движения наблюдаемых тел для исследования структуры потоков жидкости и газа. М.: Тр. ЦАГИ. —1969. — Вып. 1129.

50. Репик Е.У., Соседко Ю.П. Исследование прерывистой структуры течения в пристенной области турбулентного пограничного слоя. Турбулентные течения. — М: Наука. —1974. — 226 с.

51. Власов Е.В., Гиневский А.С. Когерентные структуры в турбулентных струях и следах. Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ АН СССР. —1986. —Т. 20.

52. Петров Г.И. Об устойчивости вихревых слоев. М.: Тр. ЦАГИ. — 1937. — вып. 304. — 24 с.

53. Петров Г.И. О распространении колебаний в вязкой жидкости и возникновение турбулентности. М.: Тр. ЦАГИ. —1938. — Вып. 345. — 28с.

54. Кляцкин В.И., Гурарий Д. Когерентные явления в стохастических динамических системах // УФН. — 1999. — Т. 169, —№ 2. — С. 171-207.

55. Chernyshenko S.I., Baig M.F. The mechanism of streak formation in near-wall turbulence // J. Fluid Mech.— 2005. —V. 544, — P. 99 - 131.

56. Довгаль А.В., Козлов В.В., Левченко В.Я. Экспериментальные исследования реакции пограничного слоя на внешние периодические возмущения // МЖГ. — 1980. —№4. — C.155 -159.

57. Grek G.R., Kozlov V.V., Ramazanov M.P. Three types of disturbances from the point source in boundary layer // Laminar-Turbulent Transition. Berlin: SpringerVerlag. —1985. — P. 267 -272.

58. Kachanov Yu.S. On resonant breakdown of laminar boundary layer. Proc. Fifth Natl. Cong. On Theoret. & Appl. Mech., Actual and Topical Problems of Ship Hydro- and Aerodynamics. — 1985. 3:71-1-71-11. Varna: Bulg. ShipHydrodyn. Cent.

59. Kachanov Yu. S. Physical Mechanisms of Laminar-Boundary - Layer Transition. Annual Review of Fluid Mechanics. —1994. —V. 26. — P. 411 -482.

60. Зельман М.Б. О нелинейном развитии возмущений в плоскопараллельных потоках // Изв. СО АН СССР. Сер. Техн. Наук. —1974. — Т. 3. Вып. 13. — С. 16 -21.

61. Zelman M.B., Maslennikova I.I. Tollmien-Schlichting-wave resonant mechanism for sub harmonic-type transition // J. Fluid Mech. — 1993. — V. 252. — P. 449 - 478.

62. Zhou J., Adrian R.J., Balachandar S., Kendall T.M. Mechanisms for generating coherent packets of hairpin vortices in channel flow // J. Fluid Mech. — 1999. — V. 387. — P. 35 -396.

63. Khujadze G, Nguen Van Yen R., Schneider K., Oberlack M., Farge M. Coherent vorticity extraction in turbulent boundary layers using orthogonal wavelets. 13thEuropian turbulence Conference. Book abstracts. Warsaw, 12-15 September 2011, Poland.

64. Stewartson K. On the flow near the trailing edge of a flat plate. Part II // Mathematica. —1969. — V. 16. — P. 106 - 121.

65. Нейланд В.Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. — 1969. —№ 4. — C. 53-57.

66. Messiter A.F. Boundary-layer flow near the trailing edge of a flat plate // SIAM J. Appl. Math. —1970. — V. 18. — P. 241 - 257.

67. Сычев В.В., Сычев Вик. В. О структуре турбулентного пограничного слоя // ПММ. —1987. —Т. 51. — вып.4. —C. 593-599.

68. Вигдорович И.И. Асимптотическое исследование при больших числах Рейнольдса турбулентного пограничного слоя на плоской пластине // МЖГ. — 1993а.— №4. — С.106 - 117.

69. Михайлов В.В. Универсальный закон дефекта скорости для турбулентного пограничного слоя // Изв. РАН, МЖГ. — 2005. — №2. — С. 89 -101.

70. Белоцерковский О.М., Хлопков Ю.И., Жаров В.А., Горелов С.Л., Хлопков А.Ю. Организованные структуры в турбулентных течениях. Анализ экспериментальных работ по турбулентному пограничному слою. М.: МФТИ. -2009. - 302 с.

71. Lumley J.L., and Yaglom A.M. A Century of Turbulence // Flow, Turbulence and Combustion. — 2001. —V.66. — P. 241-286.

72. Salwen H. & Grosch C. E. The continuous spectrum of the orr-Sommerfeld equation. Part 2. Eigenfunction expansions. J. Fluid Mech. —1981. —V. 104. P. 445 - 465.

73. Nayfeh A.H. Perturbation methods // John Wiley & Sons. —2008. — 441 p.

74. Арнольд В. И. Устойчивые колебания с гармонической по пространству и периодической по времени потенциальной энергией // ПММ. —1979. — Т.43, №2. — С.360-363

75. Craik A.D.D. Non-linear resonant instability in boundary layers // J. Fluid Mech. -1971. - V. 50, - P. 393 - 413.

76. Robinson S.K. Coherent motions in the turbulent boundary layer // Annual Review of Fluid Mechanics. — 1991. — V. 23. — P. 601 - 639.

77. Grosch C. E. & Salwen, H. The continuous spectrum of the Orr-Sommerfeld equation. Part 1. The spectrum and eigenfunctions. J. Fluid Mech.—1978. V. — 87.— P. 33-54.

78. Jordinson R. Spectrum of eigenvalues of the Orr-Sommerfeld equation for Blascius flow // Phys. Fluids. — 1971. — V.14, 2536.

79. Osborne M. R. S I A M J. Appl. Math. — 1967. —V.15, —No. 3. — p. 539.

80. Lennon Ó Dalaigh., Peter D. M. Spelt. An analytical connection between temporal and spatio-temporal growth rates in linear stability analysis // Proceedings of The Royal Society A Mathematical Physical and Engineering Sciences. — 2013. http://dx.doi.org/10.1098/rspa.2013.0171.

81. Жигулев В.Н., Сидоренко Н.В., Тумин А.М. О генерации волн неустойчивости в пограничном слое внешней турбулентностью // ПМТФ. — 1980. — Т. 21, №6. — С. 43-49.

82. Schlichting H. and Gersten K. Boundary Layer Theory // Springer. 8th Ed., Berlin. —2000.— P.145-494.

83. Mathematica 5.0, User's Guide, Wolfram Research. — 2003. — 1301 p.

84. Musker A. J. Explicit expression for the smooth wall velocity distribution in turbulent boundary layer //AIAA Journal. — 1979.—V.17, No. 6. —P. 655 - 657.

85. Кадер Б.А., Яглом А.М. Законы подобия в пристенных турбулентных течениях. М.: ВИНИТИ. —1980. —Т. 15. — С. 81-155. (Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа).

86. Anthony Kendall, Manoochehr Koochesfahani. A method for estimating wall friction in turbulent wall-bounded flows // Experiments in Fluids volume. — 2008. —V. 44. —P. 773-780.

87. Osterlund J.M. Experimental Studies of Zero Pressure-Gradient Turbulent Boundary Layer Flow. —1999, PhD thesis, Royal Inst Techn, KTM, Stockholm.

88. Nagano Y, Tagawa M and Tsuji T. Effects of adverse pressure gradients on mean flows and turbulence statistics in a boundary layer 8th Symp. On Turbulent Shear Flows, Munich, Germany. —1991. — P. 231-236.

89. Kays W. M., Crawford M. E. Convective Heat and Mass Transfer. // 3rd ed. McGraw-Hill, New York. — 1993.

90. Purtell L. P. Turbulent boundary layer at low Reynolds number // Phys. Fluids. — 1981. — V. 24, Issue 5. —P.802-8011.

91. Schlatter, P., Orlu,., R. Q., Brethouwer Li, G., Fransson J., Johansson A., Alfredsson P., and Henningson D. Turbulent boundary layers up to = 2500 studied through simulation and experiment. // Phys. Fluids. —2009 b. —V. 21, 051702.

92. Dong. L, Kun. L, and Jianren. F. Direct numerical simulation of heat transfers in a spatially developing turbulent boundary layer // Physics of Fluids. —2016.— V. 28, 105104.

93. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М: Мир. —1981. — 636 с.

94. Grosch C. E. & Salwen, H. The stability of steady and time-dependent plane Poiseuille flow // J. Fluid Mech. —1968. —V.34, No.1. — P.177-205.

95. Orszag S. A. Accurate solution of the Orr-Sommerfeld stability equation // J. Fluid Mech.— 1971. — V.50.— P. 689.

96. Mack L.M. A numerical study of the temporal eigenvalue spectrum of Blasius boundary layer flow // J. Fluid Mech. —1976. —V. 73, No.3. — P.497-520.

97. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // УМН. — 1971. — Т. XXVI, вып.4. —c 160.

98. Malkus W. V. R. Outline of a theory of turbulent shear flow // J. Fluid Mech.— 1956. —V. 1, No.5. — P. 521 - 539.

99. Reynolds w. C., Tiederman, w. G. Stability of turbulent channel flow, with application to Malkus's theory // J. Fluid Mech. — 1967. —V. 27, No.2. — P. 253 - 272.

100. Hussain A. K. M. F. & Reynolds, W. C. the mechanisms of an organized wave in turbulent shear flow. Part 2. Experimental results // J. Fluid Mech.— 1972. —V. 54. —P.241-261.

101. Kitsios V., Cordier L., Bonnet J.P., Ooi, A., Soria, J. Development of a nonlinear eddy-viscosity closure for the triple-decomposition stability Analysis of a turbulent channel // J. Fluid mech. — 2010. —V. 664. — P. 74-107.

102. Illingworth, s. J., Monty, J. P. & Marusic, I. Estimating large-scale structures in wall turbulence using linear models // J. Fluid mech. —2018. —V. 842. P. 146-162.

103. Barkley D. Linear analysis of the cylinder wake mean flow // Europhys. Lett. — 2006. —V.75.—P. 750-756.

104. Kilian Oberleithner, Lothar Rules and Julio Soria. Mean flow stability analysis of oscillating jet experiments // J. Fluid Mech.—2014. — V. 757. P. 1-32.

105. Samir Beneddine, Denis Sipp, Anthony Arnault, Julien Dandois and Lutz Lesshafft. Conditions for validity of mean flow stability analysis // J. Fluid Mech. —2016. —V. 798. — P. 485-504.

106. Juan C. D., Javier r. Linear energy amplification in turbulent channels // J. Fluid Mech.—2006. —V.559. —P. 205 - 213.

107. Vidar Thomee. From Finite differences to Finite elements A short history of numerical analysis of partial differential equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2001. —V.128. — P. 1-54.

108. Mason J.C., Handscomb D.C. Chebyshev Polynomial // Chapman and Hall / CRC; 1st edition. —2002. — PP. 360.

109. Schmid P. J., Henningson, D. S. Stability and transition in shear flows // New York: Springer-Verlag. —2001.

110. Boyd J.P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods // Dover, Mineola, New York. — 2001. — 690 p.

111. She J, Tang. T. Spectral and High-Order Methods with Applications // Science Press, Beijing. — 2006. —326 p.

112. Fornberg B. A. Practical Guide to Pseudospectral Methods // Cambridge University Press. —1996. — pp. 231.

113. Kovasznay L.S.G. Spectrum of locally isotropic turbulence // J. Aeronaut. Sci. — 1948. — V. 15. — P. 745 - 753.

114. Kovasznay L.S.G., Kibens V., Blackwelder R. Large scale motion in the intermittent region of a turbulent boundary layer // J. Fluid Mech. —1970. — V. 41.

- P. 283 - 325.

115. Borodulin V.I., Kachanov Y.S., Roschektayev A.P. Experimental detection of deterministic turbulence // Journal of Turbulence. - 2011. —V. 12, No. 2. — P. 1 -34.

116. Колмогоров А.Н. Избранные труды. Кн. 1: Математика и механика // М.: Наука. —1988. — С. 281-287.

117. Pushpender K.S. and Tapan, K.S., Effect of Frequency and Wave Number on the Three-Dimensional Routes of Transition by Wall Excitation // Phys. Fluids. — 2019. —V. 31. —P.64-107.

118. Zhang W., Liu, P., and Guo, H., Conditional Sampling and Wavelet Analysis in Early Stage of Step Generated Transition // AIAA J.—2018. —V. 56. —P. 24712477.

119. Хлопков Ю. И., Горелов С. Л. Приложение методов статистического моделирования (Монте-Карло): учебное пособие. М.: МФТИ. —1994. —103 с.

120. Babolian E., Shahsavarani A. Numerical solution of nonlinear fredholm integral equations of the second kind using haar wavelets // J. Comput. Appl. Math. — 2009.

— V.225. — P. 87-95.

121. Wang X.T. Numerical solution of optimal control for scaled systems by hybrid functions Internat // J. Innovative Comput., Info. Cont. —2008. — V.4. — P. 849855.

122. Imran A., Siraj.ul.I. Wajid K. Quadrature rules for numerical integration based on Haar wavelets and hybrid functions // Computers and Mathematics with Applications.—2011. —V. 61. —P. 2770-2781.

123. Маделунг Э. Математический аппарат физики. Справочное руководство. М.: Физматлит. —1961 — 618 с.

124. Georg E.A., Ramis О, Philipp, S. Simulation and validation of a spatially evolving turbulent boundary layer up to Re = 8300 // International Journal of Heat and Fluid Flow.—2014.—V.47.—P .57-69.

125. Spalart P. R. Direct simulation of a turbulent boundary layer up to Ree = 1410 // J. Fluid Mech. —1988. —V.187. — P. 61.

126. Graaff D. B. De., Eaton J. K. Reynolds-number scaling of the flat-plate turbulent boundary layer // J. Fluid Mech. —2000. —V.422. P. 319 - 346.

127. Jiménez J., Hoyas, S., Simens, M., Mizuno, Y. Turbulent boundary layers and channels at moderate Reynolds numbers // J. Fluid Mech.—2010. —V. 657. —P. 335-360.

128. Sillero J.A., Jiménez, J., Moser, R.D. One-point statistics for turbulent wall bounded flows at Reynolds numbers up to 2000 // Phys. Fluids. — 2013. —V. 25,105102.

129. Karlsson R. I. and. Johansson. T. LDV measurements of higher order moments of velocity fluctuations in a turbulent boundary layer // International Symposium on Applications of Laser Anemometry to Fluid Mechanics, 3rd, Lisbon, Portugal, Proceedings (A87-40701 17-35). Lisbon, Instituto Superior Tecnicoin Laser Anemometry in Fluid Mechanics, (Lisbou, Portugal). —1986. — P. 273-289.

130. Iwamoto K., Suzuki, Y., Kasagi, N. Reynolds number effect on wall turbulence: toward effective feedback control // Intl J. Heat Fluid Flow. —2002. —V. 23. —P. 678-689.

131. Kawamura H., Abe, H., Matsuo, Y. DNS of turbulent heat transfer in channel flow with respect to Reynolds and Prandtl number effects // Intl J. Heat Fluid Flow. —1999. —V. 20. —P.196-207.

132. Abe H., Kawamura, H., and Matsuo, Y. Surface heat-flux fluctuations in a turbulent channel flow up to Де T= 1020 with Pr = 0.025 and 0.71 // Intl J. Heat Fluid Flow.— 2004. —V. 25. — P. 404-419.

133. Tsukahara T., Seki, Y., Kawamura, H., and Tochio, D. DNS of turbulent channel flow at very low Reynolds numbers // In Proceedings of the Fourth International Symposium on Turbulence and Shear Flow Phenomena, Williamsburg, VA.— 2005. —P. 935-940.

134. Komminaho J., and Skote, M. Reynolds stress budgets in Couette and boundary layer flows // Flow Turbul. Combust. —2002. —V. 68.—P. 167-192.

135. Schlatter P., Li, Q., Brethouwer, G., Johansson, A. V., Henningson, D. S. High Reynolds number turbulent boundary layers studied by numerical simulation // Bull. Am. Phys.Soc.—2009a. —V. 54. Pp. 59.

136. Skote M., Henningson Dan S., and Henkes R. A. W. M. Direct numerical simulation of self-similar turbulent boundary layers in adverse pressure gradients // Flow Turbulence and Combustion. —1998. —V.60, No. 1. P. 47-85.

137. German S., Guillermo A. Reynolds shear stress modeling in turbulent boundary layers' subject to very strong Favorable Pressure Gradient // Computers and Fluids. —2020. DOI :https: //doi. org/10.1016/j. compfluid.2020.104494.

138. Леонтьев А.Е. Волновая модель турбулентности в слое смешения // Письма в ЖТФ. — 2013. — Т .39, вып. 2.

139. Bell J.H. Mehta R.D. Development of a two-stream mixing layer from tripped and untripped boundary layers // J. AIAA. —1990. — V. 21, No. 12.

140. Klebanoff P S. Characteristics of turbulence in a boundary layer with zero pressure gradients. // NACA. —1955. Rep. 1247

Список сокращений и условных обозначений

ТПС - Турбулентный пограничный слое. УОЗ - УРАВНЕНИЯ ОРРА-ЗОММЕРФЕЛЬДА. U — продольная скорость среднего течения ТПС.

S - толщина пограничного слоя. + и

и+ = — - средняя скорость потока.

Rw ~

ит = \— - динамической скорости, tw — касательное напряжение на стенке.

+ УЩ

у+ = —— является нормальный стенки координата. Cf - коэффициент трения.

Res - число Рейнольдса, вычисленное по толщине пограничного слоя S. Ree - число Рейнольдса, вычисленное по толщине потери импулса S**. Н12 — форм-параметра.

[х, у, z, t] — пространственные координаты и время.

[и', v', w', р'] — пульсационные компоненты скорости и давление.

S**

£2 = — максимальное значение инкремента волн Толлмина-Шлихтинга. L = . U™ ., ^\max = min I ^/(k) |- Характерный продольный масштаб.

I^Imaxl k

П - вертикальная компонента завихренности. Т-Ш - Толлмина - Шлихтинга.

Ak - спектральная амплитуда вертикальной компоненты скорости волн Т-Ш. Tt, i = 0,1,2 - временные масштабы.

Lo-s, Ls-q - Операторы Орр-Зоммерфельд и Сквайр соответственно. wos(k) = wr(k) + i^j(k) - безразмерная комплексная частота моды волн Толлмина - Шлихтинга, отнесена к Um/S**.

cos (k) - безразмерная комплексная фазовая скорость моды волн Т-Ш. k = [a,ß] - безразмерный волновой вектор, отнесен к 1/8**. a,ß - соответственно продольное и поперечное волновые числа.

к0,к1,к2 - соответственно волновой вектор гармоники и волновые вектора субгармоник.

vk, П к - Фурье - преобразование от v, п.

т(п) т(д)

^к - решения дискретного и непрерывного спектров сопряженного

уравнения Орра-Зоммерфельда.

^k(n), - решения дискретного и непрерывного спектров сопряженного

уравнения Орра-Зоммерфельда.

CCM - Чебышева метод коллокаций (Chebyshev Method Collocation).

FDM - Метод Конечных разностей (Finite Difference Method).

DNS - Метод прямого численного моделирования.

LES - Моделирование методом крупных вихрей.

RANS - Осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса.

Конечно-разностные методы

Сущность метода заключается в следующем: разобьем наш интервал на малые подинтенвалы, интегрируем дифференциальное уравнение Орра-зоммерфельда (1.12) в каждой ячейке от полуузела до полуузела. При вычислении интеграла надо учесть тот факт, что значение функции берутся в центрах ячеек, а значение интеграла вычисляется по формуле:

(п+2> к

9 ¿У = 7 ( ^п+1 + 2 + р„_1), (А.1)

I

И> ' ' 4

I ^ ^ = к ((^Ч + (^Ч) (А2)

= 2(/п+1 —2— + /»4 —2—)

= к(^п+2 ^п+1 + (/п+! + /п-!) <Рп + /п_| ^п-1),

Г(п+2> Г(п+2> (п+2> Г(п+2>

I /УЧУ=| / V = (/>')( ?)-1 />'^у = (А.3)

■>н> ■/И> (п_2> 'И)*

(/п+2- к /'п+2) - "Г (/п+2-2 ^+2 + /п_2 + к /'п_2)

^ ^2 = ---.

2 2

Мы получим некоторое уравнение, которое выражает связь между значениями искомой функции в каждом узле ячеек

,(п+2>„ , ^п+1 . <Рп , ^п_1 1, . , ч (А.4)

I

= —Е--2 — + -— = - ( ^п+1 - 2 + ^п_1),

(п_2> ' " к к к к

I

(п+-)Н ( ,1Л, ,ПП ,п11

V 2) . [п+-)Н ф п + л — ф

Г,г.'пл\ 2) III III т П+1 -г

ф™аУ = (ф''')) 2 , = ф'"г — ф''' — =

ф'' — ф'' л

(А.5)

к 1

= фп+2 — 4 фп+1 +6 фп— 4 фп-1 + Фп-2).

найдя такие функции, интерполируем, получим искомую функцию. Если отрезок разбит на N ячеек, то соответственно нам надо найти N+1 значений функции в N+1 узлах. При этом у нас тоже есть N +1 точек, в которых известны значения функции и. Но в ту связь, которую мы получили, входили члены типа [п + 2] и [п - 2], т. е

должно удовлетворять условиям:

Г п>2, (А.6) {п < N — 2.

Т.е. та матрица, которую мы получаем методом коллокации, имеет размер (п — 4) X п, (п — 4) строк и п столбцов. 4 остальные строки получаются из граничных условий:

Ф(0) = 0,

ф'(0) = 0, (А.7) ф''(1) + кф'(1) = 0, ф'(1) + к ф (1) = 0.

Который формулируется в следующей форме:

<

<Ро = 0,

ф1 — фо = 0, (А. 8) фм — 2фМ-1 + Фм-2 1 Фы Фм-1 Л -к---к- =0,

х -^-+ кфи-1 = 0.

Мы имеем систему уравнений, которая имеет N +1 уравнение относительно N +1 переменных (N +1 значений функции в N +1 точках). Система уравнений полна, и

мы её можем решить, при этом значения скорости распространения волн -собственные числа матрицы.

Метод коллокаций

Чтобы использовать коллокационный метод для решения спектральной задачи уравнения Орра-Зоммерфельда (1.12), мы сначала представляем возмущения в виде разложения по полиномам Чебышева с последующим приравниваниям нулю полученных уравннений е в точках Гаусса- Лобатто. Уравнение Орра-

Зоммерфельда е имеет следующий вид:

( . и

1=° ' V 1 5 1=°

е = \аЪ ()-и- ■( )-() + (,•) + Ц-^т;-()

1 N \ N N л

к-1 (у' НЕл?" (у' Н1 11/ (у')

и=° 1=° у

¡а Яег 7=0 а

(Б1)

* (-1+У/5 ([0,10] наряду с граничными условиями, заданными как

N

Е а т: (-1) = °

1=°

N

1) = °

1=°

N

(Б.2)

N

Е «т/'(1)+к еа?; (1)=

1=0 1=0

N N

2>//"(1) + к Еа?Г(1) =

1=0 1=0

Где у* = —1 + у/5 - преобразование, рассматриваемое для решение спектральной задачи уравнения Орра-Зоммерфельда с профилем Бласиуса и у* = —1 + 2у - преобразование, рассматриваемое для решение спектральной задачи уравнения Орра-Зоммерфельда с профилем средней продольной скорости развитого ТПС соответственно. Мы можем переписать уравнение (Б.1) и граничные условия (Б.2) в виде матричного уравнения следующего вида для их численного решения

Ьха = ^Ь2а, а = (ах,а2, а3,..........а^), (Б.3)

Здесь имеет следующую форму

/

То*—)

- * -

То (-1)

Т^(-1)

- * -

(-1)

\

Лу2То*(У2) + Ву2То (У2) - СУ2Т0"(У2) Ау2Тг*(у2) + Ву2Тг (у2) - Су2Т±У(у2)

\

То (1) + кТо*(1)

5 * ^ *

То (1) + к То (1) Где Ау*, Ву*, Су* следующие,

Т± (1) + к Т±*(1)

**

Тг (1) + к Тх (1)

Ау*=а2и(у*)-и(у*)-~

а

Ву* = и(у*)+-

2а I Яех'

1

С = .

у I а Яе8

В Ь2 имеет следующую форму:

Го*(~1)

*

То (-1)

*

То (У2) - а2То(У2)

тЛ-1) ■■■

*

тх (-1) ...

£ *

т± (У2) - а2Т±(у2)

\

То (Уп-2) - а2То(Уп-2) Т'г (Уп-2) - а2Т1(уп-2)

\

То(1) + кТо*(1) Т1 (1) + кТ1*(1) ...

£ * ^ * £ * ^ * То (1) + кТо (1) Т1 (1) + кТх (1) ...

Ниже приведен более простой способ написания как Ь1, так и Ь2:

Ь1 = АуЪо + БуЪ2 - СУЪ4,

/

и = Ъо + а2ъ2.

/

Производные многочленов Чебышиева оцениваются в точках коллокации Гаусса-Лобатто, и в этом контексте известен как матрица дифференцирования. Одним из главных преимуществ написания матричных задач с использованием матриц дифференцирования является то, что матрица производной может быть быстро получена с использованием рекурсивного подхода. Фундаментальный

недостаток использования матриц дифференцирования и методов коллокации в целом заключается в том, что они создают полные матрицы, которые могут быть чрезвычайно плохо обусловлены для более высокого М, создавая существенные трудности с ошибками округления.

Это исследование проводится при различных значениях параметров потока, таких как число Рейнольдса и волновое число а) на профля Блазиуса [82]:

Таблица 2.1 - Сравнение собственных значений спектра для временной стабильности профиля Блазиуса [82] при: = 580, а = 0.179, Д = 0.

моды результатами работы [96] коллокации, N = 71

1 0.3641 + 0.0081 0.364123 + 0.00795966 1

2 0.2897 — 0.27691 0.289714 — 0.2768671

3 0.4839 — 0.19121 0.48393 — 0.1920671

4 0.5572 — 0.36531 0.557195 — 0.3653412 1

5 0.6862 — 0.33071 0.686244 — 0.3307861

Таблица 2.2 - Сравнение собственных значений спектра для временной стабильности профиля Блазиуса [82] при: = 1000, а = 0.179, Д = 0.

Моёе результатами работы [96] коллокации, N = 91

1 0.3383 + 0.00481 0.338271 + 0.004835071

2 0.2408 — 0.23911 0.240797 — 0.2391351

3 0.4155 — 0.14251 0.415545 — 0.1425331

4 0.4551 — 0.31871 0.455076 — 0.3187761

5 0.5773 — 0.2731 0.577349 — 0.273051

В таблицах (2.1 - 2.5) мы отмечаем согласие между результатами работы [96] и нашими расчетами соответственно для пяти моды, а также это согласие по-прежнему приемлемо при разных значениях числа Рейнольдса, но с увеличением числа полиномов Чебышева для удовлетворения сходимости. В реальности проблем, конечно, точное решение неизвестно, но точность приближенного решения можно проверить, повторив вычисления с более высокой N. В таблицах (2.6, 2.7) мы отдельно изучаем увеличение сходимости собственных значений при двух разных значениях числа Рейнольдса = 580,1000).

Таблица 2.3 - Сравнение собственных значений спектра для временной стабильности профиля Блазиуса [82] при: = 2000, а = 0.179, Д = 0.

моды результатами работы [96] коллокации, N = 91

1 0.1918 — 0.19161 0.191776 — 0.1961091

2 0.3089 — 0.01661 0.308922 — 0.01656541

3 0.3425 — 0.08161 0.342565 — 0.08165411

4 0.3553 — 0.26481 0.355227 — 0.2649761

5 0.4651 — 0.20791 0.46526 — 0.2080371

Таблица 2.4 - Сравнение собственных значений спектра для временной стабильности профиля Блазиуса [82] при: = 5000, а = 0.179, Д = 0.

моды результатами работы [96] коллокации, N = 111

1 0.3283 — 0.02941 0.328272 — 0.0293863 1

2 0.1429 — 0.14841 0.142857 — 0.148356 1

3 0.2172 — 0.04561 0.217322 — 0.0456498 1

4 0.2603 — 0.20371 0.259969 — 0.204053 1

5 0.3471 — 0.13671 0.34723 — 0.136943 1

Таблица 2.5 - Сравнение собственных значений спектра для временной стабильности профиля Блазиуса [82] при: = 10000, а = 0.179, Д = 0.

моды результатами работы [96] коллокации, N = 121

1 0.325 — 0.0325 1 0.32504 — 0.0324756 1

2 0.1144 — 0.119 1 0.114396 — 0.11903 1

3 0.1684 — 0.0387 1 0.168399 — 0.0387474 1

4 0.207 — 0.1653 1 0.206925 — 0.165484 1

5 0.2686 — 0.0974 1 0.26862 — 0.0974479 1

Таблица 2.6 - Влияние увеличения числа точек коллокации на собственное значение для профиля Блазиуса [82], при Res = 580, а = 0.179, ß = 0.

моды II 4 h N = 61

1 0.364124 + 0.00794985 i 0.364124 + 0.00795966 i

2 0.287263 - 0.321473 i 0.289715 -0.276864 i

3 0.333624- 0.28673 i 0.48393- 0.192068 i

4 0.484196- 0.182253 i 0.556801 -0.365373 i

5 0.567717- 0.25333 i 0.685974-0.33101 i

Из табл. 2.6, 2.7 следует, что число полиномов Чебышева оказывает существенное влияние на точность приближенного значения как для действительной, так и для мнимой части собственных значений всех мод при Res = 580 и при Re8 = 1000.

Таблица 2.7 - Влияние увеличения числа точек коллокации на собственное значение для профиля Блазиуса [82], при Res = 1000.

моды 4 N = 61

1 0.236477-0.206486 i 0.338272 + 0.00483435 i

2 0.338265 + 0.00488605 i 0.240784-0.239057 i

3 0.124249-0.357888 i 0.415559-0.142551 i

4 0.386135 -0.148676 i 0.442881 -0.312982 i

5 0.453658-0.166228 i 0.559789-0.286173 i

В таблицах (2.8 - 2.10) представляются собственные значения уравнения Орр-Зоммерфелда на турбулентого профля средние скорости [84] при разных условях = 104,25 X 103) и (а = 10,^ = 10). Видно, что все мнимые части отрицательны. В этом случае все представленные результаты были получены с использованием от 61 до 181 точки коллокации.

Таблица 2.8 - Собственные значения спектра для профиля средней продольной скорости развитого ТПС [84], при = 104, а = 10, Д = 0.

моды N + 1 = 61 М + 1 = 81 N + 1 = 121

1 0.321402 0.319212 0.319212

— 0.145365 1 — 0.142895 1 — 0.142914 1

2 0.350212 0.566766 0.558548

— 0.2704477 1 — 0.226138 1 — 0.223538 1

3 0.513118 0.472572 0.68526

— 0.171754 1 — 0.389747 1 — 0.106219 1

4 —0.0130745 0.565684 0.704718

— 0.602604 1 — 0.252489 1 — 0.140011 1

5 0.595872 0.316625 0.746627

— 0.137129 1 — 0.600948 1 — 0.0986374 1

Таблица 2.9 - Собственные значения спектра для профиля средней продольной скорости развитого ТПС [84], при = 104, а = 10, Д = 10.

моды М + 1 = 81 N + 1 = 101 N + 1 = 121

1 0.344085 0.344086 0.344085

— 0.142927 1 — 0.142945 1 — 0.142945 1

2 0.47252 0.571097 0.571092

— 0.392085 1 — 0.229681 1 — 0.22968 1

3 0.560081 0.68459 0.68459

— 0.260356 1 — 0.108001 1 — 0.108001 1

4 0.581967 0.711494 0.711494

— 0.223518 1 — 0.136672 1 — 0.136673 1

5 0.317973 0.599574 0.599573

— 0.602593 1 — 0.423703 1 — 0.423701 1

Таблица 2.10 - Собственные значения спектра для профиля средней продольной скорости развитого ТПС [84], при = 25 X 103, а = 10, Д = 10.

моды N + 1 = 121 М + 1 = 161 М + 1 = 181

1 0.346967 0.346967 0.346967

— 0.182596 1 — 0.182604 1 — 0.182604 1

2 0.595287 0.595288 0.595288

— 0.149937 1 — 0.149942 1 — 0.149942 1

3 0.660871 0.660872 0.660872

— 0.08919 1 — 0.0891911 1 — 0.0891911 1

4 0.600726 0.692202 0.692202

— 0.325178 1 — 0.10937 1 — 0.10937 1

5 0.539813 0.72075 0.72075

— 0.423891 1 — 0.0853952 1 — 0.0853952 1

В следующей таблице приведено сравнение двух различных методов, а именно метода коллокаций и метода конечных разностей. Это сравнение получено в случае двумерного возмущения = 104, а = 0.1, Д = 0. Можно обнаружить, что при применении методов коллокации демонстрирует экспоненциальную сходимость; при малом числе узлов можно получить точное решение, для которого потребуется по меньшей мере в три раза больше конечных разностных точек, чем было испытано.

Таблица 2.11 - Сравнение собственных значений для профиля средней продольной скорости развитого ТПС [84] между метод коллокации и методами конечных разностей, при = 104, а = 0.1, Д = 0.

моды коллокации, N = 71 Конечная разность, N = 400

1 0.738836 — 0.129992 * 0.73879 — 0.12991 *

2 0.851492 — 0.0973231 * 0.85149 — 0.09732 *

3 0.879815 — 0.100648 * 0.87991 — 0.1005 1

4 0.870996 — 0.169613 1 0.87090 — 0.169261 1

5 0.832613 — 0.313823 * 0.83258 — 0.31376 *

Таблица 4.1 Численные значения ф2 при различных значениях числа Рейнольдса при к = (1, 0).

Яев ф2

1300 0.9642

1410 0.9680

7500 1.1085

Таблица 4.2 Численные значения ф2 при различных значениях числа Рейнольдса при к = (0.5, 0).

Яев ф2