Внешние биллиарды вне правильных многоугольников: множества полной меры, апериодические точки и множества периодов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат наук Рухович Филипп Дмитриевич

• Рухович Филипп Дмитриевич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Рухович Филипп Дмитриевич

Глава 1. Введение

Глава 2. Внешний биллиард вне выпуклых многоугольников

Глава 3. Внешние биллиарды вне правильных многоугольников: сведение

к ограниченному случаю

3.1 Ограничение преобразования

3.2 Т' как «кусочное движение»

3.3 Преобразование первого возвращения как внешний биллиард

3.4 Нечетное т,'. доказательство теоремы

3.5 Четное п: доказательство теоремы

Глава 4. Внешние биллиарды вне правильного десятиугольника

4.1 Основные определения и компоненты

4.2 Z': описание структуры

4.3 Преобразования первого возвращения и динамическая система (X, f)

4.4 Фигура X: базовые периодические компоненты

4.5 Фигура X: самоподобие

4.6 Доказательство теоремы

4.7 Доказательство теоремы

Глава 5. Внешние биллиарды вне правильного восьмиугольника

5.1 Основные определения и компоненты

5.2 Самоподобие и его свойства

5.3 Доказательство теоремы

5.4 Доказательство теоремы

Глава 6. Внешние биллиарды вне правильного двенадцатиугольника

6.1 Компьютерные вычисления

6.2 Базовые обозначения, точки и компоненты

6.3 Преобразования первого возвращения

6.4 Самоподобие

6.5 Доказательство теоремы

6.6 Доказательство теоремы

Глава 7. Вычисление периодов и кодов периодов периодических точек

7.1 Определения, связанные с комбинаторикой слов

7.2 Внешние биллиарды: сведение к ограниченному случаю

Стр.

7.3 Вычисление периодов для случая п =

7.4 Вычисление периодов для случая п =10

7.4.1 Нахождение абелизаций кодов периодов периодических компонент дня

(*,/)

7.4.2 Нахождение абелизаций кодов периодических компонент для (V',Т')

7.4.3 Нахождение периодов и доказательство теоремы

7.5 Вычисление периодов для случая п =12

Заключение

Список литературы

Глава 1. Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Внешние биллиарды вне правильных многоугольников: множества полной меры, апериодические точки и множества периодов»

Внешний биллиард: актуальность темы.

Динамические системы являются важнейшим и активно развивающимся разделом математики, находящим свое применение в неихосоциологии, биомеханике, нейробиологии, когнитивных науках, моделировании экономики, окружающей среды и т.д.

История динамических систем берет свое начало в середине XVII века, с открытием Исааком Ньютоном дифференциального исчисления, а также законов классической механики, что позволило объяснить законы планетарного движения Кеплера. Математически, Ньютон получил аналитическое решение задачи двух тел, т.е. задачи о движении Земли вокруг Солнца, используя закон всемирного тяготения. Последующие поколения математиков пытались решить задачу о движении трех тел (т.е. Земли, Луны и Солнца), однако данная задача оказалась значительно более сложной. Позже было доказано, что в общем случае задача трех тел неразрешима в смысле получения явных форму::, описывающих движения трех тел,

В начало XIX века, Анри Пуанкаре предложил рассматривать задачу трех тол с точки зрения не количественно-аналитического, но качественного анализа. Например, одной из сформулированных Пуанкаре проблем стана проблема устойчивости Солнечной системы, т.е. вопрос о том, не разлетятся .ни рано или поздно планеты на сколь угодно большое расстояние друг от друга. Для решения вопросов подобного рода, Пуанкаре разработал мощный геометрический инструментарий, ставший основой современной науки о динамических системах. Также именно Пуанкаре впервые удалось нащупать явление хаоса, согласно которому поведение динамической системы крайне чувствительно к малым изменениям стартового состояния, что, учитывая погрешность вычислений, не дает возможности предсказывать поведение произвольной динамической системы в долгосрочной перспективе.

В первой половине XX века, развитие динамических систем в основном происходило в области нелинейных осцилляторов и их приложений в физике, таких как радио, радары, лазеры и т.п. Параллельно, благодаря работам Бирхоффа и, позже, А.Н.Колмогорова, В.И.Арнольда и Ю.Мозера, геометрические методы Пуанкаре были развиты до существенно более глубокого уровня понимания классической механики.

В 50-х годах XX века, появление компьютеров и возможности проводить компьютерные вычисления оказало серьезное влияние па изучение динамических систем, ибо такие вычисления позволили экспериментировать с системами невозможным досоле способом; именно такие эксперименты позволили Лоренцу |9| открыть знаменитый странный аттрактор, принципиально изменяющий свое поведение при сколь угодно малом изменении исходных параметров и тем самым являющийся примером той самой хаотичности, нащупанной Пуанкаре. Также с более поздней статьей Лоренца |10| связано понятие "эффекта бабочки", метафорически сравнивающее поведение хаотической системы со взмахом крыла бабочки, способное вызвать .лавинообразные изменения в будущем.

Бурное развитие теории динамических систем состоялось в 70-е годы XX века. В первую очередь это касается теории хаоса (см., например, |11|, |12|, |13|, |14|, |15|, |16|, |17|, |18|, |19|,

1201 и др.). Также примерно в это же время Б.Мапдельброт |21| популяризовал фракталы, находящие себе применение в биологии, машиностроении, географии, медицине и т.д.

Именно в 70-е годы XX века стан популярен и внешний биллиард — пример динамической системы с дискретным временем, устроенная следующим образом. Рассмотрим рис, , Пусть у - выпуклая фигура на плоскости К2, а р — точка вне ее. Проведем правую относительно р касательную к у; определим Тр = Т(р) как точку, симметричную р относительно точки касания.

Определение 1. Отображение Т называется внешним биллиардом; фигура, у называется столом внешнего биллиарда.

Т(Т(х))

X

Рисунок 1.1 — Определение внешнего биллиарда

Обратным к такому преобразованию является «лечзый» внешний биллиард; будем обозначать его как Т-1.

у

уу

то для лежащей на продолжении этого отрезка точки р правая касательная может касаться у в более чем одной точке; в этом случае будем считать, что Т(р) не определено. Аналогично, если неоднозначно определена точка левого касания, то будем считать неопределенным Т-1(р).

Особый интерес в нашей работе представляют внешние биллиарды вне правильных многоугольников. В качестве примера рассмотрим изображенный на рис. 1.2 выпуклый пятиугольник А1А2А3А4А5. Лучи А^ь, А2А1, А3А2, А4А3, А5А4 делят К2\у на пять углов И2, ..., На границах этих углов внешний биллиард не определен; однако же для внутренней части угла ] Е {1,2,3,4,5}, внешний биллиард есть центральная симметрия относительно точки А^.

Рисунок 1.2 — Внешний биллиард вне выпуклого многоугольника

у

помощью следующих трех определений.

Определение 2. Точка р Е К2\у называется граничной, если существует такое г Е Ъ, что Тх (р) не определено.

Определение 3. Точка, р Е К2\у называется, периодической, если существует такое п Е Ъ+, что Тп(р) = р. Минимальное такое п называется периодом точки р.

Определение 4. Точка, р Е К2\у называется, апериодической, если р не является, ни граничной, ни периодической.

Внешние биллиарды были введены Б.Ноймаппом в 50-х годах XX века, по стали популярны лишь в 70-х благодаря работам Ю.Мозера |22; 23|, где внешний, или двойственный биллиард был рассмотрен как игрушечная модель небесной механики. Задача об устойчивости Солнечной системы обладает тем свойством, что "легко выписать п уравнений движения частиц, по сложно попять это движение интуитивно". В связи с этим, Мозер предложил рассмотреть ранее поставленную Б.Ноймаппом задачу с тем же свойством - а именно, может

у

проблема и стана первой проблемой, связанной с внешними биллиардами.

Первые результаты по проблеме Мозера-Ноймаппа были даны самим Мозером, С помощью теории Колмогорова - Арнольда - Мозера, или КАМ-теории, Мозер выводит, что траектории внешнего биллиарда ограничены, если стол у есть (не менее чем) пятикратно дифференцируемая кривая с положительной кривизной.

Следующим важным результатом по проблеме оказались работы |24—26|, в которых был исследован внешний биллиард вне квазирациопальпых многоугольников. Формальное определение понятия "квазирациональный" технично и может быть найдено, скажем, в |26|; суть же его сводится к следующему. Пусть у есть выпуклый многоугольник. Рассмотрим точку р, расположенную достаточно далеко от многоугольника - скажем, дальше, нежели любая из точек пересечения каких-то продолжений сторон у. Тогда по свойствам центральных симметрий Т2 (р) есть удвоенный сдвиг вдоль некоторого вектора, образованного двумя вершинами у. При достаточном удалении от у можно считать, что плоскость разбивается лучами, параллельными сторонам у, на "сектора", внутри каждого из которых вектор сдвига фиксирован. Если, не сдвигая точку р, сжимать у с центром внутри у, то траектория точки р относительно Т2 будет все более и более походить на непрерывную замкнутую ломаную, по которой точка р движется с некоторой, фиксированной для каждой из сторон, скоростью. Если в ломаной к звеньев, то можно описать времена ¿1, ¿2, ..., за которые точка "проходит" по соответствующим звеньям. Эти времена определены с точностью до умножения па общий для всех константный множитель. Многоугольник называется квазирациопальпым, если числа у1, т2, ..., ^т-1 являются рациональными. Класс квазирациональных многоугольны-ков достаточно широк и включает в себя как подклассы класс решеточных многоугольников, т.е. многоугольников с вершинами в целых относительно некоторой декартовой системы координат точках, а также класс правильных многоугольников.

Согласно доказанному в [ — ], если у есть квазирациональный многоугольник, то все траектории внешнего биллиарда являются ограниченными.

Тем не менее, ответ па вопрос Мозера-Неймаппа оказался положительным. Как удалось показать Р.Шварцу |27|, траектории внешнего биллиарда могут уходить па бесконечность, если столом является четырехугольник с координатами вершин (0,1), (—1, 0), (0, —1) и (х, 0), где х есть произвольное иррациональное число между нулем и единицей. Отметим, что в случае рационального ж, четырехугольник является решеточным и, как следствие, квазирациопальпым; следовательно, все траектории вне такого четырехугольника ограничены. Таким образом, внешний биллиард вне выпуклых многоугольников вызывает интерес с точки зрения теории хаоса.

Другим примером стола внешнего биллиарда с неограниченными траекториями является полуокружность. Данный результат был предсказан компьютерными экспериментами, проведенными Табачниковым и Монро в начале 90-х годов |28|; однако формальное доказательство было получено Д.Долгопятом и Б.Фаядом .лишь в 2009 году |29|,

Внешний биллиард вне выпуклого многоугольника является классическим примером кусочной изометрии - преобразования па плоскости или любой связной фигуре па плоскости, которое долит фигуру па насколько связных кусков и двигает каждый из этих кусков таким образом, чтобы в совокупности такие куски также образовывали исходную

фигуру. Такие изометрии исследовались рядом авторов; см., например, |30—39|. Одним из классических методов, позволяющих полностью описать происходящее дня некоторых динамических систем самонодобного вида, является обнаружение ренормализациошюй схемы, Такую схему впервые обнаружил и проанализировал С,Табачников (|40; 41|, а также |42|); исследуемая им динамическая система возникла при анализе внешнего биллиарда вне правильного пятиугольника. С помощью такой схемы, Табачникову удалось доказать существование апериодической точки дня такого внешнего биллиарда; более того, оказалось, что апериодические точки образуют фрактальное множество с размерностью Хаусдорфа, равной ^("75+2)' Аналогичные ренормализационные схемы исследовались и другими авторами (напр., Дж. X. Лоуенштейном и Ф. Вивальди |31; 32|, А.Гетдем и Г.Поггиасиалла |35| и др.).

В центре нашего внимания находятся следующие открытые в общем случае проблемы периодичности:

1. Существует ли апериодическая точка дня внешнего биллиарда вне правильного п-угольника?

2. Какова мера периодических орбит внешнего биллиарда вне правильного п-угольника?

В случаях п = 3,4,6, столы являются аффинно-эквивалентными решеточным многоугольникам; как следствие вышесказанного и коммутируемости внешнего биллиарда с сохраняющими ориентацию аффинными преобразованием*!, в этих случаях все точки являются либо периодическими, либо граничными, т.е. Тк(р) не определено для некоторого к € Z [ ]; апериодические точки в этих случаях отсутствуют. По мнению Р.Шварца [ ], следующими по сложности являются случаи п = 5,10,8,12; в этих случаях для внешнего биллиарда удается построить т.н. ренормализационную схему, которая, как пишет Шварц, "позволяет дать (как минимум, в принципе) полное описание того, что происходит". Случай п = 5 был исследован в [40], [41], [44]; для этого случая, доказано существование апериодической точки, и что почти все точки - периодические. Случай п = 10 похож та случай п = 5; сходство между ними отмочено в |44|, однако полного исследования этого случая проведено не было, В монографии |43| Р.Шварц исследовал внешний биллиард вне правильного восьмиугольника и множество связанных с ним вопросов, а в монографии |45| бы,:! исследован более широкий класс "нолу-правильпых" (semi-regular) многоугольников, в который входит и правильный восьмиугольник; однако решения проблем периодичности ни для одного из случаев в указанных монографиях получено но было.

Цель работы заключается в исследовании внешних биллиардов вне правильных многоугольников, структуры порожденных ими периодических компонент, их меры, вычислении всевозможных периодов, а также в обнаружении апериодических точек и исследовании их структуры.

Научная и практическая значимость Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и стоящие за ними доказательства являют собой полное описание структуры внешнего биллиарда вне правильного n-угольника для случаев п = 10, 8,12 и представляют интерес для теории динамических систем.

Методология и методы исследования. В основе работы лежит классическая технология поиска и исследования ренормализационной схемы, В случае правильного двенадцатиугольника, часть результатов была получена с помощью доказательных компьютерных вычислений.

Основные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты, являющиеся новыми:

Основным результатом данной работы являются следующие теоремы.

Теорема 1. Для внешних биллиардов вне правильных десяти-, восьми-, и двенадцатиугольника существуют апериодические точки.

Теорема 2. В случае внешних биллиардов вне правильных десяти-, восьми-, и двенадцатиугольника, периодические точки образуют вне столов множества полной меры.

Теорема 3. Пусть В2 = {5(6+2 — (—1)), 5(9 * 6г+1 + 2 * (—1)), 20 * 6, 30, 90 * 6, 10,5, 20((78 + 120&) * 6 — (к + 1) * (—1)), 7((276 + 240&) * 61 — (2к + 3) * (—1)), 7((234 + 180&) * 6 + (2к + 4) *

(—1)'), 5((34+40&)*6' + (2к+1)*(—1)), 10((20+40&)*б' + (2к+2)*(—1)), 40к+70, 7((306+180^)* 61 + (2к+2)*(—1)), 40^+50, 60к+40, 30к+35, 20к+30, 20к+20,10к+15,1°(6+2 — (—1)), ±0((276+ 240&) * 6 — (2к + 3) * (—1)), 10((34 + 40к) * 61 + (2к + 1) * (—1)), 60к + 70, 20к + 30|&, I е ^0}.

Тогда, В2 есть множество всевозможных периодов периодических точек для внешнего биллиарда вне правильного десятиугольника.

Теорема 4. В случае правильного восьмиугольника, всевозможные периоды периодических точек образуют множество

{—4 * (—3)* + 12 * 9к, 4 * 9к, 4 * (—3)* + 12 * 9к, 81 + 8, — 4(—3)* + (36 + 24/) * 9к, (8/ + 12) * 9к, +4(—3)* + (36 + 24/) * 9к | к,1 е

Теорема 5. Введем, следующие матрицы:

Мб8 :=

1 0 0 0 0 0 0 о ^ 0 0 0 0 0 0^

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 ,Мбб =

0 0 0 1 8 18 13 24 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 2 7 14 29 5 4 3 2 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 20 50 26 50 \

2 2 2 2 20 50 26 50

4 4 4 4 42 107 74 145

2 2 2 2 50 48 94

М88 := 20

0 1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 8 18 13 24

0 0 1 0 0 0 0 0

Пусть

G := {

F := {

M

0 0 0 1

W

/0\ 1

0 0 0 0

0 0

/0\

0 0 1

0 0

0\

0 1 0 0 0

0 0

0\

0 0

24

36 0

( 9\

2 5 2 0 0

0 0

0 0 0 18

36 0

6\

4 10 4 0 0

0 0

0\

0 0 1

2 0

0\

0 2 3 0 0

1

0

0\

0 0 1

1

0

24 \

24 120 102 0 0

18 0

0\

0 0 2

1

0

48 \

48 156 108 0 0

24 0

0\

0 0 1

3 0

4\ 1\ 0\ 2\ 0\ 6\

4 0 0 2 0 6

9 0 1 4 7 13

4 0 1 2 8 6

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 1 2

0 0 0 0 0 0

Пусть H : {12 f1

(Мб^Мб8М88/ 1 1 1 lih

f E F, к, n e Z^0} U {M6fc6g | g e G,k e Z>0], и пусть | h E H}. Множество всевозможных периодов точек

В

нод(12, ^1 2 3 4 5 6) h)

В2

{2 * b\b E В,Ь нечетно}.

В

Также в статье установлена в общем виде связь между внешними биллиардами вне правильных п- и ^-угольника, если п четно, а Щ нечетно, А именно, доказана

Теорема 6. Пусть п € п четно, а пнечетно. Пусть Тп и Тц — внешние биллиарды вне правильных п- и Щ-угольника, соответственно. Тогда:

— Апериодическая точка существует для, Тп, если и только если для, Т« существует апериодическая точка;

Тп п

множество полной меры, если и только если, периодические относительно Т« точки, образуют вне правильного Щ-угольника-стола множество полной меры.

Другими словами, проблемы периодичности для внешних биллиардов вне правильных Щ-угольпика эквивалентны, если п четно, а п нечетно. Еще одним важным результатом оказывается

Теорема 7. Пусть п € п четно, у правильныи п-угольник, а, Тп — внешний биллиард вне у. Тогда, существует ограниченная, область X С Е2\у, т.ч. Тп(Х) С X, и для, Тп выполнены следующие утверждения:

— Апериодическая точка р € Е2\у существует, если и только если, существует апериодическая точка р € X;

— Периодические точки образуют вне у множество полной меры, если и только если, периодические образуют в X множество полной меры.

Степень достоверности и апробация работы. Все результаты строго доказаны, В случае п =12, использованы доказательные компьютерные вычисления.

По теме диссертации были сделаны доклады на следующих конференциях:

— 57-я научная конференция МФТИ (Долгопрудный, 2014 г.);

— 58-я научная конференция МФТИ (Долгопрудный, 2015 г.);

}

— 59-я научная конференция МФТИ (Долгопрудный, 2016 г.);

— "Ломопосов-2017! (Москва, 2017 г.);

— Combinatorics on Words, Calcnlability and Automata research school (CIRM, Marseille, France, 3 February 2017);

— Tiling Dynamical System research school (CIRM, Marseille, France, 21 November 2017);

— "Ломопосов-2018" (Москва, 2018 г.).

Также результаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах:

— Кафедральный семинар кафедры дискретной математики ФИВТ МФТИ иод руководством д.ф.-м.н,, профессора А.М.Райгородского (Москва, 2013, 2015 г.);

— Межкафедральпый семинар под руководством д.ф.-м.н,, профессора А.М.Райгородского (Долгопрудный, 2018 г.);

— Научный семинар "Узлы и теория представлений" кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ иод руководством д.ф.-м.н., профессора В.О.Мантурова, к.ф.-м.н. Д.П.Илыотко, к.ф.-м.п. И.М.Никопова и к.ф.-м.п. Д.А. Федосеева (Москва, 2018 г.);

— Научно-исследовательский семинар по математической логике иод руководством академика РАН С.И.Адяна, чл.-корр. РАН Л.Д.Беклемишева и академика РАН А.Л.Семенова (Москва, 2019 г.);

— Семинар кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ иод руководством академика РАН А.Т.Фоменко (Москва, 2019 г.);

— Студенческий семинар но динамическим системам Междисциплинарной исследовательской лаборатории имени П.Л.Чебышёва (Санкт-Петербург, 2019 г.);

— Семинар научной-учебной группы «Динамические системы» Высшей школы экономики иод руководством д.ф.-м.н. Ю. С. Ильяшенко (Москва, 2019 г.).

Публикации. Результаты опубликованы в 7 работах автора |1—7|, а также в работе |8|, примыкающей к теме диссертации. Статьи |2—4| опубликованы в ВАК-овских журналах.

Благодарности. Автор выражает огромную благодарность доктору физико-математических наук федеральному профессору А.Я.Канелю-Белову за непосредственное участие в формировании научного мировоззрения автора, за постановку задачи, неоценимую помощь в работе и всестороннюю поддержку.

Автор особо благодарит академика РАН профессора А.Л.Семенова за ценные замечания, всестороннюю поддержку и полезные обсуждения, без которых данная диссертация не могла бы быть написана.

Также автор благодарит за внимание и обсуждение работы доктора физико-математических наук профессора В.О.Мантурова, кандидата физико-математических наук И.В.Митрофанова, доктора физико-математических наук профессора А.М.Райгородского, академика РАН профессора А.Т.Фоменко и кандидата физико-математических паук Д.Д.Черкашипа.

Работа была выполнена при поддержке гранта РНФ JY2 17-11-01337.

Глава 2. Внешний биллиард вне выпуклых многоугольников

Во введении были сформулированы определения внешнего биллиарда вне выпуклого стола у С М2, а также граничных, периодических и апериодических точек, В данной главе мы сформируем, ссылаясь па |44|), классический понятийный аппарат, связанный с внешними биллиардами вне выпуклых многоугольников, а также сформулируем и докажем несколько важных дня дальнейшего исследования фольклорных фактов.

Во всех числовых индексах данной работы числа будем подразумевать целыми, если не сказано обратное.

Итак, пусть стол у С М2 есть произвольный выпуклый п-угольник, п ^ 3, Занумеруем его вершины как А0А\... Ап-1 против часовой стрелки. Проведем лучи А1А0, А2А1; ..., А0Ап-1; они делят М2\у на п углов, вершины которых суть вершины у; пусть У^ 0 ^ г < п, есть один из этих углов с вершиной А», На рис, изображен пример этих обозначений в случае п = 5,

VI

Рисунок 2,1 — Определение стола у, вершин и углов V

Из определения внешнего биллиарда напрямую следует

Лемма 1. Пусть р € М2\у, а, г € [0,п). Тогда преобразование Т для точки р определено и является, центральной симметрией относительно вершины А^ если и только еели, р € 1н1( У).

Поймем, как выглядит множество граничных точек.

Лемма 2. Множество граничных точек есть объединение счетного числа открытых отрезков и .лучей.

Доказательство, Если удалить из прямой, являющейся продолжением стороны у, отрезок, являющийся стороной у, то прямая распадется на два открытых луча. Проделаем такую операцию для каждой из п сторон; пусть L есть множество точек, лежащих на таким образом полученных 2п открытых лучах. Очевидно, что множество граничных точек есть [Tk(р)\р £ L,k £ Z}, т.е. результат применения неограниченного числа преобразований Та Т-1 к лучам, образующим L, Однако заметим, что если Т (или Т-1) определено для хотя бы одной точки некоторого открытого луча или отрезка, то Т (или Т-1) разделит этот луч или отрезок лучами Д(г+1) mod nAi, 0 ^ г < п, на конечное число открытых отрезков и/или лучей, для каждого из которых Т (или Т-1) есть центральная симметрия. Тогда для каждого к £ Z, Tk(L) есть объединение конечного числа отрезков и лучей, а множество граничных точек есть объединение счетного числа отрезков и лучей как объединение конечных множеств отрезков и лучей, QED, ■

Так прямая, луч и отрезок являются в R2 множествами меры нуль, то из леммы напрямую следует известный факт, важный ввиду второй проблемы периодичности.

Лемма 3. Множество граничных точек для внешнего биллиарда вне у является, множеством меры, нуль.

Также важной являются и следующая, очевидная и важная с точки зрения второй проблемы периодичности, лемма.

Лемма 4. Пусть X С R2 — произвольное множество меры нуль. Пусть F = |/1, f2, f3,...} — счетное множество движений, плоскости. Тогда множество точек {f (х)\х £ X, f £ F} является, множеством, нулевой меры.

Введем «классическое» дня внешнего биллиарда вне правильных многоугольников кодирование.

Определение 5. Пусть р £ М2\у — периодическая или апериодическая точка. Тогда кодом р(р) = ру(р) является, последователь ность (... и-2и-1и0и1и2...), т.ч. Wi £ Z : Тг (р) £

т1(Кг )•

Определение 6. Пусть р £ R2\у — граничная, точка, последовательное применение внешнего биллиарда Т может быть выполнено ровно т раз, а преобразования, Т-1 - I раз, 0 ^ l,m ^ + ж. Тогда код р(р) = рТ(р) есть последовательность (ui),m), где щ £ [0,п) и Ui = к, если и только если, Тг (р) £ int(Vk).

Также будем обозначать элемент Ui кода как р(р)[г], а подпоследовательность uiUi+1 ...иг, —ж < I ^ г < — как р(р)[1,г].

Определение 7. Компонентой назовем, максимальное по включению ,множество точек с одинаковым кодом р; компоненту, в которой содержи,тся, точка, р, обозначим за, сотр(р).

Непосредственно из определений следует

Лемма 5. Пусть точка р обладает кодом р(р) бесконечной длины, равным

... и_2и_лщщщ .... Тогда comp (р) = П U«, где Ui есть:

iez

— int( VU0), при г = 0;

— Т-i(int(Vu,) ПТ(Ui-i)), при г > 0;

— Т-i(int(Vu,) П Т(Ui+i), гари г < 0.

Отметим, что множество Ui,i G Z представляет собой пересечение конечного числа полуплоскостей, площадь которого отлична от пуня, по может быть бесконечной. Если пересечение ограничено, то это пересечение есть выпуклый многоугольник. Неограниченное пересечение полуплоскостей будем называть бесконечным многоугольником; если же пересечение ограничено, назовем его конечным многоугольником.

Поймем, как выглядит компонента периодической точки,

m

определено Т2m(q), причем р(р)[0, 2m — 1] = р(д)[0, 2m — 1]. Тогда:

1. q - периодическая точка, с периодом, не более чем 2m;

2. q G сomp(р), т.е. р(р) = р(д).

Доказательство, Пусть v = pq. Тогда в силу одинаковости соответствующих частей кода и по свойствам центральной симметрии Тк(q) = Тк(р) + (—1)kv, к = 0,1,..., 2m; в частности, Т2m(q) = Т2т(р) + (—1)2mv = р + v = q. Таким образом, q периодична, а последовательность Т к( ) 2 m р( )

стороны, имеет период 2m и, как очевидное следствие, со впадает с р(р). ■

Прямым следствием предыдущей леммы является

m

— comp(р) = U2m (определение множества U см. в условии, леммы 5);

— все точки comp(р) периодические, причем каждая, из них обладает (возможно, не

2 m

— comp(p) есть открытый, конечный или бесконечный, выпуклый многоугольник, стороны которого параллельны сторонам у.

Ui

же устройство периодической компоненты, т.е. компоненты, содержащей периодическую точку, в бОлыних деталях нам поможет следующая лемма.

Лемма 8. Пусть р, q - две точки вне стола, у, и пусть для некоторого 1 G Z р(р) и р^)1

р( ) = р( )

Доказательство, Докажем лемму для случая I ^ 0 (случай I < 0 может быть рассмотрен

щих I. Тогда для любой точки х отрезка рд Т1 (х) определено и является последовательностью центральных симметрий относительно точек AU0, AUl, ..., AUl_^ оде ... и0и1и2 ... = р(р). По

свойствам центральных симметрий, Т1(рд) есть отрезок Т1 (р)Т1 (д). Так как р(р)г = р(я)ь т0 Т1 (р) и Т1(д) лежат в разных углах У^р и Viq^.l следовательно, от резок Т1 (р)Т1(д) пересекает границу угла (равно как и в некоторой точке у, а точка х = Т— (у) лежит на отрезке рд и является граничной точкой, С£ЕБ, ■

Такая лемма дает возможность попять, из чего состоит граница компоненты периодической точки.

Лемма 9. Пусть р - периодическая точка. Тогда дсотр(р) состоит лишь из граничных точек (точки самого стола, у будем также считать граничными).

Доказательство, Рассмотрим точку д, лежащую на границе сотр(р). Предположим, что д не является граничной; тогда д обладает бесконечным в обе стороны кодом р(д). Так как д ф

сотр(р), то р(р) = р(д); следовательно, по лемме 8 на отрезке рд существует граничная точка

■

Лемма 10. Пусть р - периодическая точка. Тогда сотр(р) есть конечный многоугольник.

А0\

V

Рисунок 2,2 — Сопаправлехшые лучи, .нежащие целиком в одном из секторов

Доказательство, Пусть это не так. Тогда по лемме сотр(р) есть бесконечный выпуклый многоугольник; следовательно, существует луч г с началом в некоторой точке с и направляющим вектором V, целиком лежащий внутри сотр(р).

Из свойств центральной симметрии следует, что Т21 (г), I Ф Z^0 есть луч, сонаправлен-ный с лучом г. Каждый из лучей Т21 (г) должен лежать целиком внутри одно го из углов У^. Заметим (см, рис, 2,2), что если рассмотреть всевозможные лучи с заданным направлением V, каждый го которых лежит целиком строго внутри какого-то из углов Уг, то эти лучи либо .нежат в одном из углов, либо в двух соседних углах, если луч еонаправлен с лучом - стороной одного из углов.

Т2 ( )

Т2 ( )

ности, Vo и V1 (нумерация углов, напомним, идет против часовой стрелки). Так как Т21 (г) есть периодическая последовательность (доказательство можно провести аналогично лемме ), то 3/0 G N : Т21°(г) С int(V0) Л Т21°+2(г) С int(Vi); следовательно, существует луч г' С int( V0), сонаправленный с г, т.ч. Т2(г') С int(Vi). По свойствам центральных симмет-рий, для г' Т2 есть параллельный перенос на вектор 2U, где и - вектор, начинающийся в вершине A0 угла V0 и заканчивающийся в некоторой другой вершине стола у. Т.к. у лежит в левой полуплоскости относительно ориентированной прямой A0A1; то и вектор U направлен «невправо» относительно прямой A0A^. Как следствие, лучи / и Т2(г') лежат в левой относительно A0A1 полуплоскости, а угол int(V1) лежит в правой относительно A0A1 полуплоскости - противоречие.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Рухович Филипп Дмитриевич, 2019 год

Список литературы

1. Рухович Ф. Внешние биллиарды // Математическое образование, — 2014, — Т. 69, — С. 42-57.

2. Rukhovich F. Outer billiards outside a regular octagon: periodicity of almost all orbits and existence of an aperiodic orbit // Dokladv Mathematics. 2018. Vol. 98, issue 1. P. 334337.

3. Rukhovich F. Outer billiards outside a regular dodecagon // Dokladv Mathematics. 2019. Vol. 99, issue 2. P. 189-194.

4. Рухович Ф. Существование апериодической траектории для внешних биллиардов вне правильных многоугольников // Труды МФТИ. — 2019. — Т. 11, вып. 4. — С. 22—25.

5. Rukhovich F. Outer billiards outside regular octagon: set of full measure and an aperiodic point (in Russian) // arXiv:1712.01130.

6. Rukhovich F. Outer billiards outside regular dodecagon: computer proof of periodicity of almost all orbits and existence of an aperiodic point (in Russian) // arXiv:1809.03791.

7. Rukhovich F. Outer billiards outside regular decagon: periodicity of almost all orbits and existence of an aperiodic point (in Russian) // arXiv:1812.01433.

8. Рухович Ф. Внешние биллиарды вне правильного десятиугольника (примыкает к теме диссертации) // Чебышевекий сборник. — 2019. — Т. 20, вып. 2.

9. Lorenz Е. N. Deterministic nonperiodie flow // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20, issue 2. P. 130-141.

10. Lorenz E. N. The predictability of a flow which possesses many scales of motion // Tel-lus. 1969. Vol. XXI, issue 3. P. 289-297.

11. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Communications in Mathematical Physics. 1971. Vol. 20, issue 3. P. 167-192.

12. May R. M. Biological populations with nonoverlapping generations, stable points, stable cycles and chaos. // Science. 1974. Vol. 186, issue 4164. P. 645-647.

13. May R. M. Biological populations obeying difference equations: stable points, stable cycles and chaos // Journal of Theoretical Biology. 1975. Vol. 51, issue 2. P. 511-524.

14. May R. M. Deterministic models with chaotic dynamics // Nature. 1975. Vol.256. P. 165166.

15. May R. M. Simple mathematical models with very complicated dynamics // Nature. 1976. Vol. 261. P. 459-467.

16. May R. M. Bifurcations and dynamic complexity in ecological systems // Annals of the New York Academy of Sciences. 1979. Vol. 316, issue 1. P. 517-529.

17. Feigenbaum M. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // Journal of Statistical Physics, 1978, July, Vol, 19, issue 1, P. 25-52,

18. Feigenbaum M. J. The universal metric properties of nonlinear transformations // Journal of Statistical Physics, 1979, Dec, Vol, 21, issue 6, P. 669-706,

19. Winfree A. T. Spiral waves of chemical activity // Science, 1972, Vol, 175, issue 4022. P. 634-636.

20. Winfree A. T. Rotating chemical reactions // Scientific American. 1974. Vol. 230, issue 6. P. 82-95.

21. Mandelbrot B. B. The fractal geometry of nature. Vol. 51. Issue 3. American Journal of Physics, 1983. P. 468.

22. Moser J. Outer billiards on kites. Vol. 77. Princeton, NJ : Princeton University Press, 1973. (Annals of Mathematics Studies).

23. Moser J. Is the solar system stable? // The Mathematical Intelligencer. 1978. Vol. 1, issue 2. P. 65-71.

24. Shaidenko A., Vivaldi F. Global stability of a class of discontinuous dual billiards // Communications in Mathematical Physics. 1987. Vol. 110, issue 4. P. 625-640.

25. Kolodziej R. The antibilliard outside a polygon // Bull. Pol. Acad. Sci. 1989. Vol.37. P. 163168.

26. Gutkin E., Simanyi N. Dual polygonal billiards and necklace dynamics // Communications in Mathematical Physics. 1991. Vol. 143, issue 3. P. 431-449.

27. Schwartz R. E. Outer billiards on kites. Vol. 171. Princeton, NJ : Princeton University Press, 2009. (Annals of Mathematics Studies).

28. Tabach/nikov S., Monroe I. Asymptotic dynamics of the dual billiard map. An example of a semicircle // preprint. 1992.

29. D. Dolgopyat B. F. Unbounded orbits for semicircular outer billiard // Ann. Henri Poincare. 2009. Vol. 10, issue 2. P. 357-375.

30. Lowenstein J. H., Vivaldi F. Continuous self-similarity in parametric piecewise isometries. // arXiv: 1508.05885. 2015.

31. Lowenstein J. H., Vivaldi F. Renormalization of one-parameter families of piecewise isometries // Dynamical Systems. 2016. Vol. 31, issue 4. P. 393-465.

32. Lowenstein J. H., Vivaldi F. Renormalizable two-parameter piecewise isometries // Chaos. 2016. Vol. 26, issue 6.

33. Goetz A., Quaz A. Global properties of a family of piecewise isometries. // Ergodic Theory & Dynamical Systems. 2009. Vol. 29, issue 2. P. 545-568.

34. Adler R., Kitchens B., Tresser C. Dynamics of non-ergodic piecewise affine maps of the torus. // Ergodic Theory & Dynamical Systems. 2001. Vol. 21, issue 4. P. 959-999.

35. Goetz A., Poggiaspalla G. Rotations by n/7 // Nonlinearitv, 2004, Vol, 17, no, 5, P. 17871802.

36. Akiyama S., Harriss E. 0. Pentagonal Domain Exchange // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2013. Vol. 33, issue 10. P. 4375-4400.

37. Lowenstein J. #., Kouptsov K. L., Vivaldi F. Recursive Tiling and Geometry of piecewise rotations by n/7 // Nonlinearitv. 2004. Vol. 17, no. 2. P. 371-396.

38. Lowenstein J. H. Aperiodic orbits of piecewise rational rotations of convex polygons with recursive tiling // Dynamical Systems. 2007. Vol. 22, no. 1. P. 25-63.

39. Lowenstein J. H. Pseudochaotic kicked oscillators. Springer, 2012.

40. Табачников С. Внешние биллиарды // Успехи математических наук. — 1993. — Т. 48, вып. 6. — С. 75—102.

41. Tabachnikov S. On the dual billiard problem // Advances in Mathematics. 1995. Vol. 115, no. 2. P. 221-249.

42. Tabachnikov S. Geometry and Billiards. Vol. 30. Providence, RI : American Mathematical Society, 2005. (Student Mathematical Library).

43. Schwartz R. E. Outer Billiards, Arithmetic Graph and the Octagon // arXiv:1006.2782. 2010.

44. Bedaride N., Cassaigne J. Outer billiards outside regular polygons // Journal of the London Mathematical Society. 2011. Oct. Vol. 84, issue 2. P. 303-324.

45. Schwartz R. E. The octagonal PETs. Vol. 197. Providence, RI : American Mathematical Society, 2014. (Mathematical Surveys and Monographs).

46. Bedaride N., Cassaigne J. Outer billiards outside regular polygons // arXiv:0912,0563, 2011.

47. Fogg N. P. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. Vol. 1794. Springer-Verlag, 2002. Lecture Notes in Mathematics. Edited by V. Berthe, S. Ferenczi, C. Mauduit and A. Siegel.

48. Jeong I. J. Outer billiards with contraction: regular polygons // Dynamical Systems. 2015. Vol. 33, no. 4. P. 565-580.