Конформные отображения канонических областей на области с симметрией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Колесников, Иван Александрович

• Колесников, Иван Александрович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Колесников, Иван Александрович

Содержание

Введение

Глава 1. Вспомогательные результаты

§1. Конформное отображение на круговые многоугольники

§2. Дифференциальные уравнения класса Фукса

§3. Конформное отображение на многоугольники с границей из прямолинейных отрезков. Принцип симметрии

§4. Эллиптические интегралы

Глава 2. Конформное отображение полуплоскости на круговой

счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси

§1. Аналитическое продолжение отображения с симметрией переноса

§2. Уравнение для отображения с симметрией переноса

§3. Пример

Глава 3. Конформные отображения на области с двойной симметрией

§1. Уравнение Шварца для отображения на круговой счетноугольник с двойной симметрией

§2. Пример

§3. Интеграл Кристоффеля-Шварца для отображения на счетноугольник с двойной симметрией

§4. Примеры

§5. Конформное отображение единичного круга на круговой 2п-угольник с п-кратной симметрией вращения и с дополнительной зеркальной симметрией

Глава 4. Определение акцессорных параметров в интеграле Кри-

стоффеля-Шварца для отображения верхней полуплоскости на счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси

§1. О сходимости семейства отображений с граничной нормировкой . 65 §2. Конформное отображение полуплоскости на счетноугольник с

симметрией переноса

§3. Конформное отображение полуплоскости па счетноугольник с

двойной симметрией

§4. Пример

Литература

Приложение А. Каталог отображений

Приложение Б. Комплексная графика в Maple

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конформные отображения канонических областей на области с симметрией»

Введение

Впервые вопрос о конформном отображении одной области комплексной плоскости на другую был выдвинут Б. Риманом в 1851 г. в его диссертации [44], ставший основополагающим для дальнейших исследований в теории голоморфных функций. На ряду с прочими результатами была сформулирована знаменитая теорема о конформном изоморфизме односвязных областей. Направления теории функций, берущие свое начало от работы Римана, объединяются в настоящее время в весомый раздел геометрической теории функций комплексного переменного.

В 1867 г. Э. Кристоффелем и независимо в 1869 г. Г.А. Шварцем было получено интегральное представление (3] отображений верхней полуплоскости на одпосвязные области, граница которых состоит из прямолинейных отрезков. В работах Г.А. Шварца содержится обобщение на случай криволинейной границы и круговых многоугольников, с акцентом на нахождение конформных отображений круговых треугольников и четырехугольников, а также сформулирован принцип симметрии, часто используемый при построении конформных отображений. Нахождение конформных отображений с ггомощыо интеграла Кри-стоффеля-Шварца стало широко использоваться при решении задач: о потоке жидкости в области ограниченной многоугольником, свободного обтекания, о плоских упругих системах, теории фильтрации, теории теплопроводности, теории электромагнитного поля.

Аналитические и численные методы нахождения конформных отображений развивались параллельно с начала XX века. В 60-х годах, с появлением компьютеров, стали активно развиваться численные методы. В работах В.В. Соболева [20], |47|, ¡48], |49| предложен численный метод построения конформных отображений различных областей. Один из успешных численных методов разработал L.N. Trefethen [87], реализуемый математическим пакетом SCPACK, который позднее был адаптирован Т.A. Driscoll [62] для пакета MATLAB. В

работе |54| предложен численный метод построения конформных отображений единичного круга на многоугольники с границей, состоящей из прямолинейных отрезков, с использованием быстро мультиполирущего метода и метода Дэвиса [60] нахождения акцессорных параметров. Метод позволяет строить конформные отображения единичного круга на полигональные многоугольники с большим количеством вершин (порядка десяти тысяч). В работе [54] рассмотрен пример нахождения конформного отображения на полигональный многоугольник аппроксимирующий снежинку Коха — фрактальную область, и полигональный многоугольник аппроксимирующий многоугольник, граница которого содержит дугу окружности.

Пути развития численных и аналитических методов различаются, однако компьютерные технологии основываются на известных аналитических результатах и занимаются переводом аналитических методов на машинный язык. Формула Кристоффеля-Шварца стала популярным инструментом для решения задач в областях гибридной микроэлектроники, проектирования очень широкомасштабной интеграции (VLSI), магнетизма, теории микроволновых излучений, задачах дифракции и др. Для многих задач математической физики, использующих технику конформных отображений, представляет интерес нахождение конформных отображений канонической области на многоугольники с дополнительными геометрическими свойствами. В качестве канонической области обычно выбирают единичный круг, или верхнюю полуплоскость, а в некоторых случаях в качестве области определения рассматривают полосу, внешность единичного круга, прямоугольник [63| и др. Формула Кристоффеля-Шварца получила распространение для отображения на двусвязные [75| и многосвязные области [61], имеющие приложения к различным задачам математической физики, в том числе задачам о потоке с препятствием. Обобщение формулы Кристоффеля-Шварца для отображений на римановы поверхности находит приложение в задачах гидродинамики [69]. Формула Кристоффеля-Шварца для отображений на многоугольники в изотермических сетках |10|, [33], [83] имеет

приложения в теориях фильтрации, струй и кавитации, гидро- и аэродинамике, газовой динамике и др. В работах [45]. [46] формула Кристоффеля-Шварца обобщена на случай конформного отображения полуплоскости на полигональный многоугольник с бесконечным числом вершин при некоторых ограничениях на величины углов при вершинах и на прообразы этих вершин.

В последние десятилетия появился интерес к отображениям верхней полуплоскости на счетноугольники с симметрией переноса типа полуплоскости и типа полосы (частные случаи полигональных областей со счетным множеством вершин). Конформные отображения на счетноуголы-шк с симметрией переноса применяются в гидродинамике при изучении потока жидкости в двумерной области, ограниченной счетноугольником с симметрией переноса, в задачах о не вихревых потоках, задачах теплопроводности, электростатики, массовой диффузии, в СВЧ теории и др. В работах [79], [80] отображение на счетноуголы-шк типа полуплоскости представлено логарифмическим интегральным уравнением. Для аппроксимации уравнения используется численный метод квадратур Гаусса и метод Ныотона-Рафсона для построения отображения. J.M. Floryan |64|, |65| строит конформные отображения на основе метода покоординатного преобразования для областей типа полосы и типа полуплоскости, в том числе обладающих симметрией переноса. Рассматриваются области с границей, состоящей из прямолинейных отрезков, и с криволинейной границей. М. Brady и С. Pozrikidis [59] изучают диффузное распространение тепла, масс и импульса в области типа полосы с симметрией переноса, граница которой состоит из прямой и фрактальной ломаной, т. е. часть ломаной от точки wq до точки Wq 2к состоит из счетного числа прямолинейных отрезков. Формула Кристоффеля-Шварца для счетноугольников с симметрией переноса типа полосы используется при решении задач теплопроводности [67], для построения трехкратно периодических минимальных поверхностей в евклидовом пространстве [66]. В работе |81| изучается проблема отражения-передачи волн жидкости с большой амплитудой в мелководном канале с быстро меняющимся рельефом

с помощью численных методов на основе интеграла Кристоффеля-Шварца и моделирования методом Монте-Карло. I.L. Verbitskii [89], M. Neviere [82] показывают, что задача дифракции на произвольной периодической металлической границе может быть решена с помощью аппарата конформных отображений. A. Baron, M. Quadrio, L. Vigevano [55] изучают с помощью конформных отображений поток вдоль ребристой поверхности с симметрией переноса. С помощью пакета Дрискола SC Toolbox изучается распространение волн жидкости над дном с периодическим рельефом (68|. Формула Кристоффеля-Шварца имеет приложения в теории дифференциальных уравнений с периодическими начальными и граничными условиями |71|, [91].

Для построения конформных отображений на области с симметрией переноса применялись как различные аналитические методы, так и численные. Интегральная формула Кристоффеля-Шварца записана для отображения верхней полуплоскости на счетиоугольник типа полуплоскости с симметрией переноса И.А. Александровым [2] с использованием принципа симметрии Римана-Швар-ца, С.А. Копапевым и JI.C. Копаневой [31] с помощью формулы типа формулы Шварца. Другой способ нахождения конформного отображения, в том числе на счетноугольники с симметрией переноса, с привлечением алгебры сверток и теории рядов Фробениуса предложил W.S. Hassenpflug [73]. С помощью параметрического метода Левнера записано дифференциальное уравнение [5] типа уравнения Левнера для отображений верхней полуплоскости на области с симметрией переноса.

Большое внимание в математике, особенно в прикладных вопросах, уделяется получению конформных отображений на конкретные многоугольники. Частные отображения полуплоскости на счетиоугольник с симметрией переноса получены в некоторых упомянутых работах.

Отметим еще некоторые примеры таких отображений.

В работе |85| в интегральном виде записано отображение полуплоскости на "бесконечную лестницу", представляющую собой повернутую на 45 градусов

верхнюю полуплоскость с исключенными треугольниками — частный случай счетпоуголышка. рассмотренного в примере 3.1 данной работы.

Отображения на области без разрезов, рассмотренные в примерах 3.1 и 3.2, в работе [88] приводятся в качестве примеров, имеющих приложения в СВЧ-тео-рии и теории волн.

Отображение полуплоскости на полуплоскость с исключенными вертикальными разрезами одинаковой длины, начинающимися в точках 2кт, т £ Z получено в работах |2], |5| и рассмотрено в работах [85] и [11, с. 51]. Отображение полуплоскости на плоскость с разрезами ее нижней полуплоскости rio вертикальным лучам, берущим начало на вещественной оси (частный случай области рассмотренной в примере А.2), получено в работе [2] с помощью формулы Кристоффеля-Шварца для счетноугольника с границей из прямолинейных отрезков с симметрией переноса вдоль вещественной оси па 2л. В работе [72] записано конформное отображение полосы на область с симметрией переноса, получаемую из комплексной плоскости проведением разрезов из бесконечно удаленной точки.

Конформные отображения находят также приложения в задаче Сен-Вена-па о кручении стержня. Известны точные и приближенные решения задачи о кручении стержня для разнообразных сечений: в форме эллипса, различных многоугольников, областей, обладающих симметрией вращения и др. Интерес представляют также задачи о кручении стержня с сечением, обладающим симметрией вращения.

B.R. Seth [86] решает задачу о кручении однородного стержня с поперечным сечением в форме правильного n-уголы-шка с границей, состоящей из прямолинейных отрезков. Решение представлено медленно сходящимися рядами Тейлора. W.A. Bassali [56] решает задачу о кручении стержня для некоторых сечений, обладающих симметрией вращения и имеющих криволинейную границу, аппроксимируемую дугами окружностей. Формула Кристоффеля-Шварца в работе К. Lee [78| записана для правильных n-угольников с границей, состоящей

из прямолинейных отрезков, с n-кратной симметрией вращения и применяется 13 задаче о кручении стержня. Задачу о кручении стержня, в сечении которого область с границей, состоящей из прямолинейных отрезков, в форме правильного п-уголы-шка, циклического п х m-уголы-шка (многоугольник с п-кратной симметрией вращения и п х m числом вершин), решает W.C. Hassenpflug [74] с привлечением интеграла Кристоффеля-Шварца, интеграла Трефтца, алгебры сверток. И.А. Александров [4] решает задачу о кручении стержня с поперечным сечением в форме правильного кругового п-угольника аналитическим методом, В.В. Соболев [8] предлагает численный метод (не использующий конформные отображения) решения задачи Сен-Венана о кручении стержня с произвольной односвязной областью сечения. Дифференциальное уравнение типа уравнения Девнера получено И.А. Александровым, Г.Д. Садритдиновой [7] для отображения единичного круга на область с n-кратной симметрией вращения. Задачу Сен-Венана для стержней, в сечении которых правильный многоугольник со скругленными углами решает C.Y. Wang [90| с помощью метода Ритца. Конформное отображение на круговой многоугольник с симметрией вращения имеет также приложения в гидродинамике и задачах теплопроводности.

Можно выделить два направления, в которых развивается задача построения конформного отображения с помощью интеграла Кристоффеля-Шварца. Одно из них — обобщение интеграла Кристоффеля-Шварца для областей различного специального вида, второе направление — разработка и улучшение методов определения неизвестных акцессорных параметров, входящих в интеграл Кристоффеля-Шварца. Наиболее просто вопрос определения параметров решается, если удается проинтегрировать формулу Кристоффеля-Шварца в явном виде. Однако, интеграл Кристоффеля-Шварца только в простых случаях может быть приведен к известным функциям. При отображении полуплоскости на треугольник, акцессорные параметры могут быть найдены из условия нормировки отображения. В случае отображения на прямоугольник, для определения параметров можно воспользоваться таблицей эллиптических интегралов.

В. Копенфелъс и Ф. Штальман [33] решают задачу определения акцессорных параметров отображения на круговой четырехугольник, используя гипергеометрические ряды. С. Бергман указывает два способа [57]. [58] определения

ТТ ЗтГ

параметров для n-уголы-шков, имеющих углы и Ч-р

В общем случае проблему определения акцессорных параметров можно свести к задаче решения системы уравнений, содержащей несобственные интегралы. Н.П. Стенин [14] применяет метод Ныотона-Фурье для решения системы уравнений на акцессорные параметры, несобственные интегралы, встречающиеся при этом, вычисляет по методу J1.B. Канторовича. P.J. Lawrenson и S.K. Gupta применяют метод сопряженных направлений Пауэлла для решения системы уравнений, определяющей акцессорные параметры |77], в дальнейшем эта техника получила развитие в работах L.N. Trefethen. Г.Н. Положий предложил оригинальную методику определения констант в интеграле Кристоф-феля-Шварца методом электромоделирования [43]. П.Ф. Фильчаков решает задачу определения акцессорных параметров, используя обобщенные степенные ряды [52]. В.Н. Монаховым разработан конструктивный вариационный метод циклической итерации для решения функциональных уравнений относительно параметров конформных отображений |38].

Один из эффективных методов определения акцессорных параметров предложил П.П. Куфарев [1], [34]. Используя параметрический метод Левнера, II.П. Куфарев показал, что для отображения с внутренней нормировкой определение акцессортгьгх параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца может быть сведено к задаче интегрирования некоторой системы дифференциальных уравнений с начальными условиями Коши. Первые численные расчеты выполнены Ю.В. Чистяковым |53]. Метод получил развитие в работе [76], в работе [70] распространен на случай конформного отображения верхней полуплоскости на многоугольник при наличии граничной нормировки. JI.IO. Низамиевой в работе [42] с использованием идеи П.П. Куфарева и аппарата краевых задач Гильберта с кусочно-гладкими коэффициентами и вариации решений таких задач

получен новый приближенный метод нахождения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца, в работе [41] предложен так называемый метод движущегося разреза для решения смешанной обратной краевой задачи по параметру х с известной полигональной частью границы. Метод нахождения акцессорных параметров, предложенный Л.ЬО. Низамиевой, получил обобщение для многолистных многоугольников [391.

Рассмотрим схематически, как работает метод П.П. Куфарева. Пусть требуется построить конформное отображение / единичного круга на многоугольник О, содержащий точку ноль, отображение удовлетворяет условию внутренней нормировки /(0) = 0, /'(0) > 0. Обозначим вершины многоугольника И через Л], А2,..., Ап и углы при этих вершинах через фхя, Ф2Я,..., фпл соответственно. Процесс нахождения акцессорных параметров в интеграле Кристоф-феля-Шварца для отображения единичного круга на многоугольник с п вершинами можно разбить на п шагов. На первом шаге записываем отображение /'] единичного круга на плоскость с разрезом, берущим начало в какой-нибудь вершине многоугольника, пусть это будет вершина А2, и уходящего по лучу, который лежит на стороне А1А2 многоугольника, на бесконечность. Отображение имеет вид

где а,и — прообраз бесконечно удаленной точки, — прообраз вершины А2. Интеграл Кристоффеля-Шварца, соответствующий отображению содержит всего три параметра с\. ац, X], которые не сложно определить из условий внутренней нормировки.

Вторым шагом выбираем на луче вершину, пусть это будет Авыпускаем из нее вдоль стороны А2А3 разрез переменной длины, зависящий от вещественного параметра I и записываем формулу Кристоффеля-Шварца для отображения ¡2 единичного круга на получившуюся область (рисунок 0.1), которая представляет собой плоскость с разрезом по ломаной, состоящей из двух звеньев,

о

отображение имеет вид ¡2 (2,0 = С! СО

1 -

г

1

2

Ф2-1

Ы"0/ V агзМ

1 -

2

1--ф2

а21('0.

1 -

2

-3

^22(0.

с1г.

где а22(0 ~~ прообраз бесконечно удаленной точки, <22з(^); 0,21 (¿) — прообразы двух вершин, находящихся в точке А2, А,2(0 ~~ прообраз подвижного конца разреза.

оо

0 "Т>

ША

Рисунок 0.1.

Значения всех пяти акцессорных параметров а21(£), а^СО; а2з("0) с1.(£) за_

висят от параметра /;, который регулирует длину разреза. Прообразы вершин находятся на границе единичного круга и с изменением длины проводимого разреза перемещаются по окружности, но для их аргументов соблюдается неравенство

ащ <222 < ал^а2з(£) < Х2М - а2г("0 < а^а2г(£) + 2л.

С помощью дифференциального уравнения Левнера П.П. Куфарев получил систему дифференциальных уравнений, которая позволяет определить значение акцессорных параметров для любых допустимых значений параметра t. Если разрез стереть, то три прообраза <223(¿)> <221 при соответствующем £

совпадут, и вместе с остальными параметрами примут значения, известные из предыдущего шага, послужив начальными условиями для системы дифференциальных уравнений. Интегрируя систему дифференциальных уравнений для

параметра /;. соответствующего разрезу, проведенному до точки у4.3, находим конформное отображение единичного круга на плоскость с разрезом по ломаной из двух звеньев, одно из которых совпадет со стороной многоугольника Л2Л3. В следующем шаге неизвестных параметров станет на 2 больше, соответственно в системе ОДУ будет 7 уравнений.

На п-м шаге строим семейство отображений единичного круга на плоскость с разрезом по ломаной, идущей из бесконечно удаленной точки, крайнее звено которой подвижно. В силу теоремы Каратеодори о сходимости последовательности областей к ядру, при замыкании разреза на себя, семейство отображений сходится равномерно внутри круга к искомому отображению /, переводящему единичный круг на заданный многоугольник И.

Цели и задачи диссертационной работы:

- Обобщить дифференциальное уравнение Шварца для отображения на круговые многоугольники на случай круговых счетноугольников типа полуплоскости с симметрией переноса вдоль вещественной оси.

- Обобщить дифференциальное уравнение Шварца для отображения на круговые многоугольники на случай круговых счетноугольников типа полуплоскости с симметрией переноса вдоль вещественной оси и симметрией относительно вертикальной прямой {го € С : Лего = тс}.

- Обобщить формулу Крисгоффеля-Шварца на случай счетноугольников типа полуплоскости с прямолинейной границей, с симметрией переноса вдоль вещественной оси и симметрией относительно вертикальной прямой {го £ С : Пек; = л}.

- Получить конформное отображение единичного круга {г £ С. : \г\ < 1} на круговой 2п-угольник с п-кратной симметрией вращения относительно начала координат и симметрией относительно прямой {го Е С : а^го = Ц}.

- Распространить метод П.Г1. Куфарева определения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца на случай конформного отображения с граничной нормировкой верхней полуплоскости на счетноугольник с сим-

метрией переноса вдоль вещественной оси.

- Получить конформные отображения верхней полуплоскости на конкретно заданные счетноуголышки с симметрией переноса вдоль вещественной оси.

Методология и методы исследования. В работе используются общие методы математического анализа, методы теории функций комплексного переменного, геометрической теории конформных отображений, теории дифференциальных уравнений, метод П.П. Куфарева определения акцессорных параметров, теория специальных функций.

Научная новизна. Основные результаты диссертационного исследования, полученные автором, являются новыми.

Положения, выносимые на защиту:

- Конформное отображение верхней полуплоскости на круговой счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси представлено в виде дифференциального уравнения третьего порядка, типа дифференциального уравнения Шварца для круговых многоугольников. Конформное отображение на круговой счетноугольник с симметрией переноса и симметрией относительно вертикальной прямой представлено в виде дифференциального уравнения такого же типа.

- Конформное отображение верхней полуплоскости на счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси и симметрией относительно вертикальной прямой, граница которого состоит из прямолинейных отрезков и лучей, представлено интегралом типа интеграла Кристоффеля-Шварца.

- Получено конформное отображение единичного круга {г £ С : \г\ < 1} на круговой 2п-угольник с п-кратной симметрией вращения относительно начала координат и симметрией относительно прямой {ю £ С : а = Ц}.

- Получена система дифференциальных уравнений для нахождения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца для отображения с гидродинамической нормировкой на счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси и система дифференциальных уравнений для нахождения ак-

цессорных параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца для отображения с граничной нормировкой на счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси и симметрией относительно вертикальной прямой.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, изложенные в диссертации, могут использоваться при чтении спецкурсов для студентов, специализирующихся по теории функций комплексного переменного: Результаты и методы исследования данной работы могут также быть полезны при решении задач геометрической теории конформных отображений, при изучении различных классов голоморфных однолистных отображений, при исследовании задач гидромеханики, теории упругости и т. п.

Степень достоверности и апробация результатов. Все полученные в диссертации результаты имеют строгое математическое обоснование. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

- I Всероссийская молодежная научная конференция «Современные проблемы математики и механики». Томск, 13-15 октября 2010 г..

- II Всероссийская молодежная научная конференция «Современные проблемы математики и механики», Томск, 12-14 октября 2011 г.,

- VI Петрозаводская международная конференция «Комплексный анализ и приложения». 1-7 июля, 2012 г.,

- Между народная молодежная конференция «Современные методы механики», Томск, 19-20 сентября 2012 г.,

- 51-я международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 12-18 апреля 2013 г.,

-XI Казанская международная школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», 22-28 августа 2013 г.,

- Всероссийская конференция по математике и механике, посвященная 135-летию Томского государственного университета и 65-летию механико-математического факультета, Томск, 2-4 октября 2013 г.,

- XVII международная Саратовская зимняя школа «Современные пробле-

мы теории функций и их приложения». 27 января - 3 февраля 2014 г.

Публикации. Основные результаты диссертации, опубликованы в трех статьях |24]. [26], [27], в том числе в двух статьях в журналах, рекомендованных ВАК, и семи тезисах [21], [22], [23], [25], [28], [29], [30].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, библиографии и двух приложений. Диссертация изложена на 106 страницах, и содержит 18 рисунков. Библиография включает 91 наименование.

Первая глава содержит известные результаты, используемые в остальных главах диссертации. В §1 приведено определение производной Шварца и два ее свойства, приведена теорема, содержащая дифференциальное уравнение Шварца для конформного отображения полуплоскости на круговой многоугольник. Уравнение для случая, когда прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечно удаленной точке, и уравнение для отображения полуплоскости на круговой треугольник (функции Шварца) записаны отдельно. Отмечено, что дифференциальное уравнение Шварца третьего порядка для отображения на круговые многоугольники сводится к дифференциальному уравнению второго порядка. В §2 дано определение дифференциального уравнения класса Фукса. Записано уравнение класса Фукса с тремя особыми точками в канонической форме (уравнение Римана), и интегралы этого уравнения представлены в форме Р-фупкций Римана. Приводится два свойства инвариантности уравнения Римана. позволяющие свести его к дифференциальному уравнению Гаусса. В §3 содержится интегральная формула Кристоффеля-Шварца для отображения верхней полуплоскости на многоугольник. Теорема В.Я. Гутлянского. А.О. Зайдаиа, содержащая систему дифференциальных уравнений для определения акцессорных параметров в отображении с граничной нормировкой, представленном интегралом Кристоффеля-Шварца, переформулирована в обозначениях, подготавливающих ее для использования в §3 главы 4. Сформулирован принцип симметрии Римапа-Шварца. В §4 даны определения эллиптических интегралов первого и третьего родов, а также теорема для проверки интегралов

эллиптического типа на псевдоэллиптичность.

Во второй главе дифференциальное уравнение Шварца для круговых многоугольников обобщается на случай круговых счетноуголы-гиков с симметрией переноса вдоль вещественной оси.

В §1 дается определение кругового счетноуголы-шка с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2 л — односвязной области типа полуплоскости, обладающей свойством симметрии переноса вдоль вещественной оси на 2л, граница которой от точки wq до точки wq + 2л состоит из конечного числа дуг окружностей. Устанавливается, что производная Шварца отображения /', переводящего верхнюю полуплоскость на круговой счетноугольник с симметрией переноса, является однозначной и голоморфной во всей плоскости за исключением прообразов вершин кругового счетноугольника отображения /.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Колесников, Иван Александрович, 2014 год

Литература

1. Александров И. А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. - 344 с.

2. Александров И. А. Конформные отображения полуплоскости на области с симметрией переноса // Известия вузов. Математика. 1999. № 6(445). С. 15-18.

3. Александров И. А. Теория функций комплексного переменного. Томск: Томск, гос. ун-т, 2002. - 510 с.

4. Александров И. А. Кручение упругого стерж1ш с кратно-круговой областью поперечного сечения // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. № 4(12). С. 56-63.

5. Александров И. А., Копаиева JI. С. Левнеровские семейства отображений полуплоскости на области с симметрией переноса // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2004. № 284. С. 5-7.

6. Александров И. А., Пчелинцев В. А. Множество значений производной Шварца // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. № 3(11). С. 5-12.

7. Александров И. А., Садритдинова Г. Д. Отображение с симметрией вращения // Известия вузов. Математика. 1998. № 10(437). С. 3-6.

8. Александров И. А., Соболев В. В. Математические задачи теории упругости, задача Сеп-Венана. LAP Lambert, Academic Publishing, 2011. - 91 с.

9. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции, Т. 1. М.: Наука. Физматлит, 1965. - 296 с.

10. Береславский Э. Н. О дифференциальных уравнениях класса Фукса, связанных с конформным отображением круговых многоугольников в полярных сетках // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33, № 3. С. 296-301.

11. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: Физматлит, 2004. - 312 с.

12. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГТТИ, 1950.- 436 с.

13. Гол узин Г. М. Геометрическая теория функции комплексного переменного. М.: Наука. Физматлит. 1966. - 628 с.

14. Голузин Г. М., Канторович Л. В., Крылов В. И. и др. Конформное отображение одпосвязных и многосвязных областей. М.-Л.: Гостехиздат, 1937. -126 с.

15. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. - 1100 с.

16. Гурса Э. Курс математического анализа, Т. 1, Ч. 1. М.-Л.: ГТТИ. 1933. -368 с.

17. Гутляпский В. Я.. Рязанов В. И. Геометрическая и топологическая теория функций и отображений. Киев: Наукова думка, 2011. - 426 с.

18. Журавский А. М. Справочник по эллиптическим функциям. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1941. - 236 с.

19. Иванов В. И., Попов В. Ю. Конформные отображения и их приложения. М.: Едиториал УРСС, 2002. - 324 с.

20. Ищенко П. В., Соболев В. В. Комплексный алгоритм построения конформного отображения неограниченной области на внешность круга и обратного отображения // Исследования по математическому анализу и алгебре:

Сборник под ред. И. А. Александрова и др. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1998. С. 10-17.

21. Колесников И. А. Уравнение для отображения с симметрией переноса на круговой счетпоугольник // Современные проблемы математики и механики: Материалы Всероссийской молодежной научной конференции. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 2010. С. 92-94.

22. Колесников И. А. Об одном случае конформного отображения с симметрией переноса на круговой счетпоугольник // Современные проблемы математики и механики: Материалы II Всероссийской молодежной научной конференции. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 2011. С. 11-14.

23. Колесников И. А. Отображение с симметрией переноса // Комплексный анализ и приложения: Материалы VI Петрозаводской международной конференции. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2012. С. 39-42.

24. Колесников И. А. Конформное отображение на круговой многоугольник с двойной симметрией // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 6(26). С. 20-26.

25. Колесников И. А. Конформное отображение на область с двойной симметрией // Труды Математического центра имени П. И. Лобачевского: материалы XI международной Казанской летней научной школы-конференции -Т. 46. - Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казань: Изд-во Казан, ун-т, 2013. С. 257-259.

26. Колесников И. А. Конформное отображение полуплоскости на круговой счетпоугольник с двойной симметрией // Проблемы анализа. 2013. Т. 2(20), № 2. С. 58-67.

27. Колесников И. А. Отображение на круговой счетпоугольник с симметрией

переноса // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 2(22). С. 33-43.

28. Колесников И. А. Отображение на область с симметрией вращения и дополнительной симметрией // Всероссийская конференция по математике и механике: Тез. докл. Томск: Изд-во "Иван Федоров", 2013. С. 42.

29. Колесников И. А. Об определении акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца для счетноуголы-шка с двойной симметрией // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы XVII международной Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во "Научная книга", 2014. С. 124-127.

30. Колесников И. А., Копанева Л. С. Конформное отображение на счетно-угольник с симметрией переноса и симметрией относительно прямой // Современные методы механики: материалы Международной конференции. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 2012. С. 10-12.

31. Копанев С. А., Копанева Л. С. Формула типа формулы Кристоффеля-Шварца для счетноуголы-шка // Вестник Томского государственного университета, Математика и механика, 2003. ДГ!! 280. С. 52-54.

32. Копанева Л. С. Геометрические и экстремальные задачи для отображений с симметрией переноса: Кандидатская диссертация / Томск, гос. ун-т. 2003. - 85 с.

33. Когшенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. - 407 с.

34. Куфарев П. П. Об одном методе численного определения параметров в интеграле Шварца-Кристоффеля // ДАН СССР. 1947. Т. 57, № 6. С. 535-537.

35. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

36. Лаврик В. И., Савенков В. Н. Справочник по конформным отображениям. Киев: Наукова думка, 1970. - 252 с.

37. Миклюков В. М. Введение в негладкий анализ. Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2008. - 424 с.

38. Монахов В. Н. Об одном методе решения задач гидродинамики со свободными границами // Сибирский математический журнал. 2000. Т. 41, № 5. С. 1106-1121.

39. Накипов Н. Н., Насыров С. Р. Асимптотика акцессорных параметров в обобщенном интеграле Кристоффеля-Шварца и решение одного операторного уравнения // Сборник научных статей Казанского федерального университета. Казань: Казан, ун-т, 2012. С. 43-46.

40. Насыров С. Р. Геометрические проблемы теории разветвленных накрытий римановых поверхностей. Казань: Магариф, 2008. - 276 с.

41. Насыров С. Р., Низамиева Л. Ю. Определение акцессорных параметров в смешанной обратной краевой задаче с полигональной известной частью границы // Известия Саратовского университета. Новая серия. 2011. Т. 11, № 4. С. 34-40.

42. Низамиева Л. Ю. О нахождении акцессорных параметров в интеграле Кри-стоффеля-Шварца // Потребительская кооперация: теория, методология, практика: Материалы международной научно-практической конференции. М.: Российский университет кооперации, 2010. С. 313-319.

43. Положий Г. Н. Эффективное решение задачи о приближенном конформном отображении односвязных и двухсвязных областей и определение постоян-

ных Кристоффеля—Шварца при помощи электрогидродинамических аналогий // Украинский математический журнал. 1955. Т. 7, Д^ 4. С. 423-432.

44. Риман Б. Сочинения. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - 543 с.

45. Салимов Р. Б., Шабалин П. Л. Отображение полуплоскости на многоугольник с бесконечным числом вершин // Известия вузов. Математика. 2009. Дга 10. С. 76-80.

46. Салимов Р. Б., Шабалин П. Л. Одно обобщение формулы Шварца-Кристоф-феля // Сибирский журнал индустриальной математики. 2010. Т. 13. № 4. С. 109-117.

47. Соболев В. В. Численный метод конформного отображения полуплоскости в себя с гидродинамической нормировкой // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2003. Дг^ 280. С. 81-85.

48. Соболев В. В. Численный метод конформного отображения полосы в себя с гидродинамической нормировкой // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2004. ДГз 1. С. 22-25.

49. Соболева Н. В.. Соболев В. В. Комплексный алгоритм численного построения конформного отображения ограниченной жордановой области на круг и обратного отображения // Научи, труды РИАТМа. вып. 2. Ростов н/Д: РИАТМ, 1995. С. 21-34.

50. Суворов Г. Д. Простые концы последовательности плоских областей, сходящейся к ядру // Математический сборник. 1953. Т. 33(75), № 1. С. 73-100.

51. Суворов Г. Д. Семейства плоских топологических отображений. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1965. - 364 с.

52. Фильчаков П. Ф. Определение констант интеграла Кристоффеля-Шварца при помощи обобщенных степенных рядов // В сб. Некоторые проблемы ма-

тематики и механики. К шестидесятилетию академика М.А. Лаврентьева. Новосибирск: Изд-во Сибирского отделения АН СССР, 1961. С. 236-252.

53. Чистяков 10. В. Численный метод определения функции, конформно отображающей круг на многоугольники: Кандидатская диссертация / Томск, гос. ун-т им. В. В. Куйбышева. 1953. - 82 с.

54. Banjai L., Trefethen L. N. A multipole method for Schwarz-Christoffel mapping of polygons with thousands of sides // SIAM Journal on Scientific Computing. 2003. Vol. 25, no. 3. P. 1042-1065.

55. Baron A., Quadrio M., Vigevano L. On the boundary layer/riblets interaction mechanisms and the prediction of turbulent drag reduction // International Journal of Heat and Fluid Flow. 1993. Vol. 14, no. 4. P. 324-332.

56. Bassali W. A. The classical torsion problem for sections with curvilinear boundaries // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1960. Vol. 8. P. 87-99.

57. Bergmann S. Ueber die Bestimmung der Verzweigungspunkte eines hyperelliptischen Integrals aus seinen Periodizitatsmoduln mit Anwendungen auf die Theorie des Transformators // Mathem. Zeitschrift. 1923. Vol. 19, no. 1-2. P. 8-25.

58. Bergmann S. Ueber die Berechnung des magnetischen Feldes in einem Emphasen-Transformator. Z. angew. // Math, and Mech. 1925. Vol. 5, no. 4. P. 319-331.

59. Brady M., Pozrikidis С. Diffusive transport across irregular and fractal walls // Proceedings the royal of society A. 1993. Vol. 442, no. 1916. P. 571-583.

60. Davis R. T. Numerical methods for coordinate generation based on Schwarz-Christoffel transformations // In 4th AIAA Comput. Fluid Dynamics Conf., Williamsburg, Va. 1979. P. 1-15.

61. Delillo T. K., Elcrat A. 11., Pfaltzgraff J. A. Schwarz-Christoffel mapping of multiply connected domains // Journal d'Analyse Mathématique. 2004. Vol. 94, no. 1. P. 17-47.

62. Driscoll T. A. Algorithm 756: A MATLAB toolbox for Schwarz-Christoffel mapping // ACM Transactions on Mathematical Software. 1996. Vol. 22, no. 2. P. 168-186.

63. Driscoll T. A., Trefethen L. N. Schwarz-Christoffel mapping, Vol. 8 of Cambridge Monographs on Applied and Comput. Math. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. - 132 p.

64. Floryan J. M. Conformai mapping based coordinate generation method for flows in periodic configurations // Journal of Computational Physics. 1986. Vol. 62, no. 1. P. 221-247.

65. Floryan J. M. Schwarz-Christoffel methods for conformai mapping of regions with a periodic boundary // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1993. no. 46. P. 77-102.

66. Fujimori S., Weber M. Triply periodic minimal surfaces bounded by vertical symmetry planes // Manuscripta Mathematica, 2008. Vol. 129, no. 1. P. 29-53.

67. Fyrillas M. M. Shape factor and shape optimization for a periodic array of isothermal pipes // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2010. no. 53. P. 982-989.

i

68. Gamier J., Kraenkel R. A., Nachbin A. Optimal Boussinesq model for shallow-water waves interacting with a microstructure // Physical review E. 2007. Vol. 76. P. 1-11.

69. Gilbarg D. A generalization of the Schwarz-Christoffel transformation // Pro-

ceeding of the National Academy of Sciences of the USA. 1949. Vol. 35. P. 609-612.

70. Gutlyanskii V. Y., Zaidan A. O. On conformal mapping of polygonal regions // Ukrainian Mathematical Journal. 1993. Vol. 45, no. 11. P. 1669-1680.

71. Gysen 13. L. J.. Lomonova E. A., Paulides J. J. 14.. Vanclenput A. J. A. Analytical and numerical techniques for solving Laplace and Poisson equations in a tubular permanent magnet actuator: Part II. Schwarz-Christoffel mapping // IEEE Transactions on Magnetics. 2008. Vol. 44, no. 7. P. 1761-1767.

72. Hale N. On the use of conformal maps to speed up numerical computations: Dr.Sci. dissertation / Oxford University. 2009. - 122 p.

73. Hassenpflug W. S. Elliptic integrals and the Schwarz-Christoffel transformation // Computers and Mathematics with Applications. 1997. Vol. 33, no. 12. P. 15-114.

74. Hassenpflug W. S. Torsion of uniform bars with polygon cross-section // Computers and Mathematics with Applications. 2003. Vol. 46. P. 313-392.

75. Henrici P. Applied and computational complex analysis, Volume 3: Discrete Fourier analysis, Cauchy integrals, construction of conformal maps, univalent functions. New York: John Wiley and Sons, 1986. - 637 p.

76. Hopkins T., Roberts D. Kufarev's method for determining the Schwartz-Christoffel parameters // Numerische Mathematik. 1979. no. 33. P. 353-365.

77. Lawrenson P. J., Gupta S. K. Conformal transformation employing direct-search techniques of minimisation // Proceedings of the IEE. 1968. Vol. 115, no. 3. P. 427-431.

78. Lee K. Torsion of fibers of an N-sided regular polygonal cross-section // Textile Research Journal. 2007. Vol. 77, no. 2. P. 111-115.

79. MenikoíT R., Zemach C. Methods for numerical conformal mapping // Journal of Computational Physics. 1980. Vol. 36, no. 3. P. 366-410.

80. MenikoíT R., Zemach C. Rayleigh-Taylor instability and the use of conformal maps for ideal fluid flow // Journal of Computational Physics. 1983. Vol. 51. P. 28-64.

81. Nachbin A. The localization length of randomly scattered water waves // Journal of Fluid Mechanics. 1995. Vol. 296. P. 353-372.

82. Neviere M., Cadilhac M., Petit R. Application of conformal mapping to the diffraction of electromagnetic waves by a grating // Antennas propagation. 1973. Vol. 21, no. 1. P. 37-46.

83. Pearce K. A constructive method for numerically computing conformal mappings for gearlike domains // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. 1991. Vol. 12, no. 2. P. 231-246.

84. Poole E. C. C. Introduction to the theory of linear differential equations. London: Oxford University Press, 1936. - 202 p.

85. Riera G., Carrasco H., Preiss R. Schwarz-Christoffel conformal mapping for polygons with infinitely many sides // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2008. Vol. 2008. P. 1-24.

86. Seth 13. R. Torsion of beams whose cross-section is a regular polygon of n side // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1934. Vol. 30, no. 2. P. 139-149.

87. Trefethen L. N. Numerical computation of the Schwarz-Christoffel transforma-

tion // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. 1980. Vol. 1, no. 1. P. 82-102.

88. Tsarin Y. A. Conformai mapping technique in the theory of periodic structures // Microwave and Optical Technology Letters. 2000. Vol. 26, no. 1. P. 57-61.

89. Verbilskii I. L. Quasistatic green function method as a powerful tool of diffraction problems solving // Materials of the VI international conference «Mathematical methods in electromagnetic theory». Lviv, Ukraine. 1996. P. 358-361.

90. Wang C. Y. Optimization of torsion bars with rounded polygonal cross section // Journal of Engineering Mechanics. 2013. no. 139. P. 629-634.

91. Yang Z. W., Liu M. Z., Nieto J. J. Runge-Kutta methods for first-order periodic boundary value differential equations with piecewise constant arguments // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2009. Vol. 223, no. 4. P. 990-1004.

Приложение А Каталог отображений

В работах В. Копеифельса, Ф. Штальмана [33], В.И. Лаврика, В.Н. Савенкова |36], В.И. Иванова, В.Ю. Попова [19] приведены каталоги конформных отображений. Дополним их рядом примеров. Все примеры из данного приложения получены с помощью теоремы 3.2.

Пример А.1.

Пусть область Д есть верхняя полуплоскость с разрезами по отрезкам вертикальных прямых«; = 2nm-\-iv, 0 < v < h, разрезами по отрезкам вертикальных прямых w = (2т + 1)я-|-гг>, 0 < v < д, и разрезами по отрезкам вертикальных прямых w = (2т 1)л ± Ъ + iv, 0 < v < q, т G Ъ (рисунок А.1). Вершинам счетноугольника ih, 0, я — Ь, я — Ъ + iq, я — Ъ, я, я + гд соответствуют углы ajя = 2я, а2л = азя = щя = 2я, = аея = а7я = 2л, прообразами этих вершин являются точки 0 = z® ^ Z2 < Z3 < Z4 < zb < Z6 — z7 — 71 ■ Обозначим cos через к = 2,6.

Рисунок А.1.

Отображение полуплоскости на счетноуголы-шк Д имеет вид

м = * (^ы^) - п +с2) +ih,

17Де

/(а3 - cos z)(a2 - а5)

u(z) = W ----г,

у (а2 - cos z)(a3 - а5)

(«2 - Об) (аз - Qs) (а2 - аз) (^з - а6)' а2 - а3

С2

Пример А.2.

П

л/(а3 - а6)(а2 - а5)' а3 ~ а5 , а2 — ¿¿4

а2 - а5

к, ?i(0)

а2 - а3

F(w(0),A:)

11_усть об.ласггь Д есть комплексная плоскость с разрезами вдоль лучей т = 2тл + гу, у £ (—оо, К] и лучей и) = (2т — 1)л + гу. у £ (—оо.д), т £ Ъ. Вершинам счетноуголы-шка Иг, — гоо, гд соответствуют углы атл = 2л, а2л = О, а3л = 2л (рисунок А.2).

Ah

р || <1 п :+ig 1 и

||-2я -я 0 я 2я 4я 6я|Г

Рисунок А.2.

Отображение полуплоскости на счетноугольник Д имеет вид f{z) = г In (l - e9~h + (1 + e9~h) cos z) - г In 2 -I- ih. Пример A.3.

Пусть область Д есть плоскость с исключенными полуполосами

{w £ С : (2ш - 1)л - d < Rew < (2т - 1)л + d, Imw < q, 0 < d < л},

rri £ Z, с разрезами вдоль вертикальных лучей w — 2шл + iv, у £ (—оо,h], и разрезами по отрезкам вертикальных прямых w = (2т — 1)л + iv, q < v < д, т £ 7L. Вершинам счетноуголы-шка ih, —гоо, л — d -Ь iq, n + iq, л + ig соответствуют углы сцл = 2л, а2л = 0, а3л = а^л — а$л = 2л (рисунок А.З), прообразами этих вершин являются точки 0 = z\ < z2 < z3 < za < zb ~ 71 ■ Обозначим cos z9 через к = 2,4.

Отображение полуплоскости на счетноуголы-шк А имеет вид

(3 ал/аз — cos z — |Зл/о,4 — cosz , ,- ,-ч

/ (z) = i— In — =— --f- 2г In (v^i — cosz-j-va3 ~~ cosz) + C.

а ал/аз — cos z + pva4 ~ cos z

где

С = ih — г— In =—i — 2i In (v&d — 1 + л/^з — l) •

a aVa3 - 1 + (3va4 - 1

a = л/а2 - a4, (3 = Va2 - «3-

ih

n-d+iq

к+ig

МШТОМШИШЦЩ

-2л

Л-с/ Л

2л

I f

4л

' « if 4 !i

6л

Рисунок А.З.

Отображение полуплоскости на плоскость с исключенными полуполосами без разрезов вдоль лучей w = 2тл 4- iv, v Е (—сю./г], т Е Z. получается при г® — = 0. без разрезов вдоль отрезков w = (2т — 1)л 4- iv, v Е (q,g], т Е Z. если положить z® = z® = л. Запишем отображение полуплоскости на плоскость с исключенными полуполосами {w Е С : (2т — 1)л — d < Re 2 < (2т — 1)л 4- d, Imz < q, 0 < d < л}, m E Z. будем иметь

. Vl-аз, у/2у/аз — cos 2 — г^/1 — a3\/l 4- cos 2

J (z) = г--=— In ---4-

V 2 V 2л/аз — cos г 4- гл/1 — 0,3 v 1 4- cos 2;

4-2г In ^л/аз — cos 2 + гл/l 4- cos 2^ + C. где С = —2i In (2л/2 4- \/аз - l) •

Пример Л.4.

Пусть область А есть верхняя полуплоскость с исключенными прямоугольниками Ет, Eq — {w G С : —d < Rew < d, 0 < Imu> < q, 0 < d < л, q > 0}, Em — Eq 2лт. В области проведены разрезы по отрезкам вертикальных прямых w = 2лт, + iv, q < v < h, разрезы по отрезкам вертикальных прямых w = (2т + 1)л -(- iv, 0 < v < д, и разрезы по отрезкам горизонтальных прямых w = 2лт ± и iq, d, < и < b, b < л, т G Z. Вершинам счетноугольника ih, iq, b iq. d, iq, d, л, л + ig соответствуют углы ахя = 2л, а2л = т|, азJt = 2л, щл — 7j. а5л = аел = а^л = 2л (рисунок А.4), прообразами этих вершин являются точки 0 = z® < z\ < г® < z\ < z® < Zq < Zj = л. Обозначим cos z®

через к — 2.6.

[ih

b+icj

n+ig

d \ d b n 2k

-2K

Рисунок A.4.

4л

6л

Отображение полуплоскости на счетноугольник А имеет вид V ci2 - aA V a2 - o5' J J

где

f ч / (a-4 - cosz)((i2 - a5)

u(z) = \ 7-v-v<

— cosz)(a4 — a5J

к = '

Ci = 2ci _.,

л/(o>2 - as)(«4 - a6)

C2 = П f-^i-^.M(O)) -

V 0,2 — 0-5 / a2 — Й4

^ (а,2 - a6)(a4 - «б)

(a2 - a5)(a4 - a6);

0,2 — 04

Пример А.5.

Пусть область Л есть верхняя полуплоскость с исключенными треугольниками Е1П, = Е0 -I- 2лт, т £ Вершины треугольника Е0 находятся в точках л — Ь, л 4- Но, л Ь, 0 < Ъ < л. В области проведены разрезы по отрезкам вертикальных прямых и) = 2кт -Мг>, 0 < V < /г, и по отрезкам вертикальных прямых и) = к(2т + 1) 4- т, Ь < V < д, т £ Ъ. Вершинам счетноугольника гк, 0, л — Ь, л 4- гЪ, л 4- гд соответствуют углы а] л = 2л. а2л = аз л =

Г\

а4л = а^ж = 2л (рисунок А.5), прообразами этих вершин являются точки 0 = < г2 < 23 < ¿4 < г® = л. Обозначим соэ^ через а^. /с = 2,4. Отображение полуплоскости на счетиоуголышк Д имеет вид

¡(г) = С] ^¿гП 4- и2Т1 - 4- г /г,

где

/ \ • 4 Л аз - соэг;

гдг) = этагссов д / л-

Х =

а4 — соэ 2 а2 — а4

а2 - а3

С! = -С1</1,2

О-З — о4

а2 - а3

1 1

Щ = —р-, и2 =

\Д-Г 1 + \Д'

С2 = Щ11 + и21[ —-^(0)

Рисунок А.5.

Пример А.6.

11усть область А есть верхняя полуплоскость с исключенными равнобедренными трапециями Ет, вершины трапеции Ео находятся в точках 0. Ь+гЬ, 2к — Ь+гЬ, 2л. 0 < Ь < л, Ет = Ео -(- 2лт. т Е В области проведены разрезы по отрезкам вертикальных прямых ги = 2кт + т, 0 < V < Н, разрезы по отрезкам вертикальных прямых ъи = л(2т + 1) + гг>, Ь < V < д. и разрезы по отрезкам горизонтальных прямых и> = 2лт±и-\-гЬ, с1 < и < Ъ, о? > 0, т £ Ъ. Вершинам счетпоугольпика Иг, 0, Ъ + гЬ, с1-\-гЪ, к-\-гЬ, к + гд соответствуют углы ах л = 2л, а2л; = азЛ = сця = 2л, аэл = аел = 2л (рисунок А.6), прообразами этих вершин являются точки 0 = г® < г® < < г® < г® < — л. Обозначим

cos zf. через п/:. k ~ 2, 5.

Отображение полуплоскости на счетноуголы-шк А имеет вид

f(z) = C,F[v(z),

- С2 yuiYl yu,u-^=,v(z)J - u2Tl (u2,-^=,v(z

где

/ ч - J а2-cos z а3- а5

v(z) = sin arccos \ к-, к =-

V аз — cos 2: а2 — а5

с{2\[2 \/Х(аз — а4)

Сп =

Ci =

yj(а2 - а4)(а4 - а5)

С2 = сЖ\ 2

Q2 ~ аз а2 -

-I- С2 ^П , ^М0)^) - U2TI (и2, v(0)

1

1

721

л/к- 1

, =

1 + лД'

+ ih.

10 d b п '2л

Пример А.7.

Пусть область Д есть верхняя полуплоскость с исключенными пятиугольниками Ет. вершины пятиугольника Еа находятся в точках 0, с1 + гс1, л + г(2¿ — я), 2я — й -I- гс1, 2л. 0 < с1 < л. Ет = Ео 4- 2лт, т Е X. В области проведены разрезы по отрезкам вертикальных прямых ги = 2кк -(- ъу, 0 < у < К, разрезы по отрезкам вертикальных прямых и; = я(2т + 1) + гу, 2с1, — я < у < д, и из точек 2кт ± с1, гй до точек 2ят ± Ъ + 1(2(1, — Ъ) проведены прямолинейные разрезы 0 < Ь < с!,, т 6 Ъ. Вершинам счетноуголышка к, 0, ё,-\-г(1, Ъ + г(2(1 — Ь), л ~\-г(2с1, — я), я-\-гд соответствуют углы щл = 2я, а2л = а3я = а4л = 2л, а5я = /р абл; — 2л (рисунок А.7), прообразами этих вершин являются точки 0 = г? < г2 < ^з < < г\ < гЦ = я. Обозначим совг^ через к = 2,5.

Оггображение полуплоскости на счетноуголы-шк Д имеет вид

где

. / 0,2 - С0Б2 о,3 - о5

у (г) = эт агссоэ Л А-. А. —--

о,2 - о,3

ст =г

05 — СОЭ 2 . С12\/2^(а4 — йб)

л/(^2 ~ а5)(а3 - о5)'

С2 = с1^л/2

«2 -о2 - а3

сп

Р (ф(0), - С2 („1П ^, - и2П ,(0)

1

1

щ

у/1-1

; п2 =

1 + лА'

+ г/1.

1

27Г -П 0 Ь с/ п '2к ■71 ОЯ

Пример А.8.

Пусть область Д есть верхняя полуплоскость с исключенными равнобедренными трапециями ЕП1) вершины трапеции Ео находятся в точках 0, Ь+гЬ, 2л — Ъ+гЪ, 2л. 0 < Ь < л. Е11Ь = Ео+2лт, т Е Ъ. В области проведены разрезы по отрезкам вертикальных прямых и) = 2лт гу, 0 < у < К, разрезы по отрезкам вертикальных прямых ш = л(2т+1) + гг>, Ь < у < д, и из точек 2лш±6 + г6 до точек 2лт ± с/ + гс1 проведены прямолинейные разрезы длиной — Ь), Ь < д, < л,

т £ Z. Вершинам счетноугольника г/г, 0, 6+гЬ, л+г6, л+гд соответствуют

углы а]Л = 2л, а2л = а3л = 2л, а4л = а5л = абЛ — 2л (рисунок А.8), прообразами этих вершин являются точки 0 = г® < г2 < 2з < г4 < г5 — гб = к-

Обозначим соя г® через к = 2,5.

А

¿п

/А.

-п

n+ig

(1+ и1 п

12^1

0 Ъ й Л 2 п

Рисунок А

Отображение полуплоскости на счетноугольник Д имеет вид /(г) = С1Р (^у(г)., - С2 ^П - гг2П

м +а

0;

где

у(г) = втагссоз уА,

СЛ =

а2 — сое 2 а4 — а5

-. А. = -.

а4 — соэ 2' а2 — а-0

С12л/2^(аз — а4)

у/{а2 - а4)(а4 - а5)'

С2 = С] 2

а2 — а4 а2 - а5

С0 = -С, Р ^;(0), + С2 ^П (^т, - (и2,

щ =

1

лД- 1

1

, и2

+ Иг.

Если Н, = 0. то а,2 = а\ = 0. Если д = Ъ, то = а^ = к. Если положить Ь -с1, то 0,3 = 0,4, а область А примет вид области, изображенной па рисунке А.9. Отображение /(2) при этом примет вид

¡(г) = С] ^-г^П 4- и2И (^и2, 4-+ гН,

где

у(г) = этагссоз \ X

а2 — соб г

а — соэ г Сл = ет Л/2^1,

1

1

щ =

л/1-1

и2 =

1 + >Д'

а - о5

А. =-, а = 03 = 0,4.

о,2 - о,5

я+/.е

О Ь п '2п

Рисунок А.9

6л

105

Приложение Б Комплексная графика в Maple

Приведем два примера визуализации конформного отображения верхней полуплоскости на счетноуголы-шк с двойной симметрией с помощью процедуры conformai пакета Maple. Опишем основные параметры этой процедуры: conform,al(J'{z), Zmin..Zmax,options);

здесь f(z) — функция комплексного переменного, осуществляемая конформное отображение двумерной ортогональной сетки области комплексной плоскости (U.V). Umin<U<Umax, Vmin<V<Vmax;

Zmin=Umin+I'Vmin, Zmax=Umax-|-I-Vmax, где символ I в Maple обозначает мнимую единицу;

options — список параметров, позволяющих пользователю контролировать качество графика.

Пример Б.1.

Пусть отображение / переводит верхнюю полуплоскость на счетноугольник с

вершинами в точках 2лт. л(2т + 1)-Ил. mGZ.c углами при них соответствен-

л Зл

2'

conformai для отображения /

о

но S, ЦР (см. пример 3.1). Отображение / имеет вид (3.9). Запишем процедуру

conformai ( 2 arctg il y — ctg2 ) ) — 21

arctg (^-ctg2 + л(1 + I)+

/Re

+2л • trunc i \,z = °-001 + °'001 ' L-5jI + I • л, numxy = [2000, 100], gricl = [31,15]) .

Результатом работы процедуры conformai будет рисунок Б.1. Граница счетно-угольника нарисована с помощью процедуры complexplot, позволяющей изображать па комплексной плоскости параметрически заданную кривую. Процедура trunc, вычисляющая целую часть числа, используется в связи с тем, что Maple

для многозначных функций вычисляет главное значение.

Рисунок Б.1.

Пример Б.2.

Пусть отображение / переводит верхнюю полуплоскость па счетноугольник с вершинами в точках ^-(-2л;?тг, л(2т+1)+г^, \-2тк, те2.с углами при них

ооо

соответственно ^р. 4р. ^р (см. пример А.5). Результатом работы процедуры соп/огта1 будет рисунок Б.2.

Рисунок Б.2.