Предельные теоремы для статистик экстремального типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Симарова Екатерина Николаевна

• Симарова Екатерина Николаевна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Симарова Екатерина Николаевна

2.4.2 Примеры

2.5 Предельное поведение 11-тах статистик для функций от сторон

и диагоналей многоугольника

2.5.1 Формулировка результатов

2.5.2 Примеры

2.6 Исследование предельных теорем для обобщенного периметра

2.7 Доказательство основной теоремы

2.7.1 Основная идея доказательства

2.7.2 Доказательства предложения

2.7.3 Доказательство предложения

3 Предельные теоремы для Ц-тах статистик в круге

3.1 Введение

3.2 Условия на ядро 11-тах статистики и распределение случайных величин

3.3 Формулировка основных результатов

3.4 Некоторые частные случаи

3.4.1 Основные формулировки

3.4.2 Примеры

3.5 Доказательство основной теоремы

3.5.1 Основная идея доказательства

3.5.2 Доказательство предложения

3.5.3 Доказательство предложения

4 Предельные теоремы для выпуклых оболочек случайных векторов с правильно меняющимся распределением

4.1 Введение

4.2 Предварительные базовые сведения

4.2.1 Слабая сходимость

4.2.2 Слабая сходимость случайных мер

4.2.3 Пуассоновский точечный процесс

4.2.4 Обратные к монотонным функциям и регулярно меняющиеся функции

4.2.5 Некоторые факты из выпуклой геометрии

4.3 Формулировка основных результатов

4.3.1 Сходимость выпуклых оболочек

4.3.2 Сходимость геометрических характеристик

4.3.3 Сходимость моментов /-вектора

4.4 Доказательства

4.4.1 Доказательство теоремы

4.4.2 Доказательство теорем 4.2 и

4.4.3 Доказательство теоремы

4.4.4 Доказательство теоремы

4.4.5 Доказательство теоремы

5 Заключение

Список литературы

Глава

Данная работа посвящена экстремальным статистикам и предельным теоремам, возникающим в связи с ними. В общем виде задачу можно сформулировать следующим образом: рассмотрим последовательность£1,£2,... ,£п независимых одинаково распределенных векторов, принимающих значения в некотором измеримом пространстве (X, и некоторую статистику Нп = Нп(£1,£2,..., £п), характеризующую экстремальные свойства данной конфигурации случайных векторов. Классическая теория экстремальных значений обычно рассматривает

Нп

значениям. Главным и самым базовым результатом в этой области является теорема Фишери Типпети Гнеденко. формулирующаяся следующим образом.

Теорема. Предположим, что существуют, такие константыЬп > 0, ап, что

где О — невырожденное распределение, тогда О с точностью до линейной замены принимает один из 3 видов:

• распределение Вейбулла

О(ж),

для некоторого а > 0;

распределение Фреше

0, ж < 0,

Фа(х)

exp{— , ж ^ 0,

для некоторого а > 0; • распределение Гумбеля (двойное экспоненциальное)

Л(x) = exp{-e~х), же R.

В дальнейшем появилось множество работ, изучающих поведение экстремальных величин в зависимости от пространства значений случайных векторов, их распределения и функции экстремальности, которая им сопоставляется (см., например, [7], [26], [36]), в зависимости от сложности и специфичности этих параметров, получаются результаты различной общности. В данной работе мы рассмотрим некоторые типы экстремальных статистик Hn и случайные распределения точек, для которых удастся установить поведение статистик Hn при n —► +оо. Свое внимание мы сконцентрируем на двух типах статистик.

Сначала мы будем обсуждать так называемые U — max статистики. Относительно недавно они были введены в рассмотрение Лао и Майером [25], [24], [29]

U

редь, детально изучались многими авторами (см., например, [9], [12], [47], [23], [27]). Определяются они следующим образом. Рассмотрим вещественнозначную симметричную относительно перестановок аргументов борелевскую функцию /(ж 1,..., жп), определенную на пространстве Xn. U — max статистика с ядром f определяется по формуле

Mn = max ffe ,...,£J, (1.1)

где n ^ m, а множество J определяется как

J = {(ii, ...,im) : 1 ^ ii< ... n}.

Аналогично определяются U-min статистики M'n.

Существует очень мало результатов об асимптотическом поведении U-max статистик, заданных на X = ^произвольной разме рности d. Одно из исключений, которое нам известно, это работа [25], где изучаются некоторые ядра степени 2, заданные на множестве точек из единичного ruapaBd. Также стоит отметить, что такой популярный объект стохастической геометрии, как диаметр

U max

статистикой с ядром /(ж ьж2) = ||xi — ж2||.

Во всех этих результатах ядра имеют степень 2. Более сложные результаты возникают в случае, когда X является единичной окружностью S1. Так в

U max

тистик, порожденных площадью, периметром и еще несколькими геометрическими характеристиками ш-угольника. Приведем типичный пример из работы 25], дающий представление о предельных теоремах такого рода.

Теорема 1.1. Пусть U1 ,U2,... - независимые и равномерно распределенные

точки на единичной окружности § , реп^, Ц, П/) — периметр треугольника, образованного тройкой точеки,ь,и^ ,П/, Мп = шах реп(Ц^Ц, Ц). Тогда, для любого £ >

lim P

n

n3(3л/3 - Mn) ^ t]= 1 - exp f

J \ 9n

В качестве комментария к этому результату заметим, что наибольшее значение периметра среди всех вписанных в окружность радиуса 1 треугольников имеет равносторонний треугольник с периметром 3\/3, см., например, [46].

Мп

этому значению. Теорема указывает нужную нормировку для этой сходимости и описывает предельное распределение. Все указанные работы, посвященные и — шах статистикам, в случае, если X = 81 или В2, имеют схожий вид. Во всех вышеперечисленных работах условия на распределение точек могут быть достаточно широкими, но в качестве ядра рассматривается конкретная функция. Мы получим теоремы такого вида для некоторого класса ядер для широкого класса распределений с носителем на единичной окружности или на единичном

шаре, а большинство результатов работ [25], [21], [50] могут быть выведены из наших результатов в качестве частных случаев.

В другой части работы рассматривается другой подход к вопросам экстремальности. Мы будем думать о выпуклой оболочке случайного набора точек как о многомерном аналоге максимума в Rd, таким образом изучение предельного поведения выпуклой оболочки точек и ее различных геометрических характеристик дает дополнительное описание вида экстремума в Rd. Объектом нашего изучения будут случайные множества точек с правильно меняющимся на бесконечности распределением. В одномерном случае класс таких случайных величин можно назвать классическим объектом теории вероятностей, традиционными учебниками по данной тематике являются монографии [5] и более поздняя [36]. Определение правильно меняющейся функции почти сто лет назад ввел в рассмотрение Карамата [20], и с тех пор мало у кого возникали сомнения в его общепринятости. Одной из причин такой важности этого класса случайных величин для теории экстремальных статистик можно назвать тот факт, что принадлежность случайной величины области притяжения макс-устойчивого закона типа II (соответствующего распределению Фреше) равносильно условию, что ее хвост является правильно меняющейся функцией (см. [26, теорема 1.6.2]). При обобщении регулярно меняющихся распределений на многомерный случай оказалось, что эмпирические меры, порожденные случайными множествами точек с правильно меняющимся распределением, тесно связаны с пуассоновскими точечными процессами. Во второй части работы мы покажем наличие связи между пуассоновским точечным процессом и выпуклыми оболочками случайного множества точек, а также их различными свойствами, и полученим новые предельные соотношения.

Цели и задачи диссертационной работы.

U max

же различных характеристик выпуклой оболочки случайного многогранника. Оба этих класса можно отнести к статистикам экстремального типа. Мы хотим установить их асимптотические свойства и получить новые предельные соотношения.

Основные результаты, выносимые на защиту, и краткое содержание работы.

Во-первых, в случае, если точки распределены на единичной окружности, удалось получить предельное соотношение для U — max статистик, порожденных некоторым довольно широким классом ядер. Его можно сформулировать следующим образом:

lim P

n^-oo

пл-( max /([жь...,жт]) - Mn) ^ t =1- e", (1.2)

X1 ,...,XmE X

С

где Mn из (1.1), а константы A, B, C явным образом зависят от n, N, распределения точек, а также ядра f. Рассматриваемые ядра должны обладать несколькими важными свойствами. Так, мы рассматриваем характеристикиш-угольника, не зависящие от порядка его вершин, а только от его набора, не зависящие от системы координат, а также достигающие максимального значения на конечном

ш

f

A, B, C

формулировке основных результатов. Как будет видно из §2.4 и §2.5, достаточно много геометрических характеристик удовлетворяют этим условиям, в качестве

ш

ничения на плотность p также присутствуют, но имеют своей целью исключить выроженные случаи. Как было указано ранее, большинство результатов работ [25], [21], [50] могут быть выведены из наших результатов в качестве частных случаев, но мы также приводим несколько новых примеров. Этому результату посвящена глава

В случае, если точки распределены в единичном круге с враспределением (или распределением, похожим на него (см. §3.3)), нам также удалось полу-

U max

ff

го случая добавится условие, что его максимум достигается на невырожден-ш

f.

с изменением области значений случайных точек. Более подробно необходимые

требования указаны в §3.2. Все константы, фигурирующие в предельном соотношении, в этом случае также выражены явно, их формулу можно найти в §3.3. В качестве частных случаев, можно получить предельные теоремы для диаметра случайного ^-политопа, а также для U — max статистик, порожден-

ш

в главе

Глава 4 посвящена свойствам выпуклых оболочек случайных независимо распределенных векторов с регулярно меняющимся на бесконечности распределением. Было установлено, что для таких случайных величин, удовлетворяющих небольшим дополнительным ограничениям, можно говорить о слабой сходимости выпуклых оболочек набора точек к выпуклой оболочке правильно подобранного пуассоновского точечного процесса. Также показано, что это утверждение можно обратить. Кроме того, в рассматриваемом случае были получены предельные теоремы о сходимости правильно нормированных геометрических характеристик, таких как количество k-мерных граней, объем выпуклой оболочки или к-й внутренний объем к соответствующим характеристикам выпуклой оболочки пуассоновского точечного процесса. В качестве этих характе-

U max к

к

пуассоновского точечного процесса.

Методы. В настоящей диссертации используются различные методы современной теории вероятностей. Прежде всего это метод пуассоновской аппроксимации. Также используются методы переноса слабой сходимости в другие пространства. Используется теория экстремальных статистик в R1 и их связь с теорией регулярно меняющихся функций.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации новые.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных областях теории вероятностей и математической статистики.

Степень достоверности, публикации и апробация результатов.

Все полученные в этой диссертационной работе результаты являются математически достоверными фактами. Материалы диссертации опубликованы в статьях [35, 52, 53, 54, 55] в рецензируемых журналах, которые входят в список рекомендованных ВАК.

Также результаты по теме диссертации были доложены на международных конференциях «Stochastic models II» (Санкт-Петербург, май 2019 г.), «Stochastic Geometry» (Санкт-Петербург, сентябрь 2019 г.), «New Trends in Mathematical Stochastic» (Санкт-Петербург, сентябрь 2021 г.), «Предельные теоремы теории вероятностей и математической статистики» (г. Ташкент, сентябрь 2022 г.), «St. Petersburg Youth Conference in Probability and Mathematical Physic» (Санкт-Петербург, декабрь 2019 г., декабрь 2020 г.), на Санкт-Петербургском Городском семинаре по теории вероятностей и математической статистики под руководством академика РАН И. А. Ибрагимова (Санкт-Петербург, ноябрь 2020 г., декабрь 2022 г.) и на школе-конференции по теории точечных процессов (г. Суздаль, ноябрь 2022 г.).

Личный вклад.

Результаты работ [52, 53, 54, 55] получены соискателем единолично. В совместной работе [35] Никитину Я. Ю. принадлежит постановка задач и определение общего направления и подходов к их решению, все доказательства получены соискателем.

Благодарности.

Автор выражает свою благодарность своему научному руководителю, Запорожцу Дмитрию Николаевичу, за постановку задач и неоценимую помощь в написании этой работы. Также автор благодарен своему первому научному руководителю, Якову Юрьевичу Никитину, без которого эта работа могла никогда не появиться.

Глава

и- IXlci^C статистики из« окружности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Предельные теоремы для статистик экстремального типа»

2.1 Введение

U max

статистик, порожденных ядрами, обладающими свойством инвариантности от-

X

ность. Результаты, изложенные здесь, опубликованы в работах [53], [54], [35].

Эта глава устроена следующим образом. Сначала в §2.2 будут введены основные обозначения и ограничения, необходимые в данной задаче, а затем в §2.3 будут сформулированы полученные нами общие предельные соотношения. Далее, в §§2.4 и 2.5 мы применяем наши результаты к более узким классам ядер, для которых проверяется выполнение всех требуемых условий, выведены точные и

U max

ской природы и приводятся конкретные примеры. В §2.6 будут рассмотрены некоторые примеры, к которым полученные результаты неприменимы. В конце главы в §2.7 будут изложены доказательства основных результатов.

2.2 Условия на ядро 11-тах статистики и распределение случайных величин

В этом параграфе мы введем несколько условий и обозначений, необходи-

U max

рованным ядром f, зависящим от m точек Ui,..., Um, лежащих на единичной окружности S1 с центром O в начале координат, то есть

f(Ui,...,Um) : (S1)оо}.

Чтобы избежать рассмотрения тривиальных случаев, с этого момента мы будем считать, что m ^ 2.

Обозначим через 0i направленный угол от вектора OU1 до вектоpa OUi+1, взятый против часовой стрелки. Будем называть такие углы центральными. Таким образом,

А = ZUiOUi+1. (2.1)

Иногда, для краткости записи мы будем использовать обозначение

в = (01,..., 0m- 1)е [0, 2Пm"1. (2.2)

Все углы, фигурирующие в данной статье, рассматриваются по модулю 2п. Все алгебраические операции от нескольких углов по умолчанию также рассматриваются по модулю 2п, если не оговорено противное. Наложим некоторые

условия, которые в дальнейшем будут нами использоваться.

f

f

f

f(Ub...,Um) = M01,.",0m-1) = HP),

где в _ это центральные углы, а Н некоторая функция

Н : [0, 2п) ^ ^ Ки{-

А2 функция / не меняется при перестановках точек П\,..., ит. СледоваН

Н

ции Н : [0, 2п]т~1 —► К и {—оо}.

А4 Функция Н достигает максимума М, причем этот максимум достигается лишь в конечном числе точек У1,..., У^ е [0, 2п]т~1. При этом предполагается, что У]_,..., Ук е (0, 2п)т~1.

В совокупности с условием А2, это условие в терминах функции / можно переформулировать следующим образом: точек максимума (Щ,..., ит) функции /, которые не могут быть получены друг из друга с помощью поворота окружности, должно быть лишь конечное число, и у всех этих точек не должно быть совпадающих компонент.

А5 Существует 6 > 0, такое что функция Н трижды непрерывно дифференцируема в 6-окрестности любой точки максимума Уг, г е {1,... ,к}.

А6 Рассмотрим матрицу Гессе Сг следующего вида:

( д2к(Уг) д2х1

д2НУ)

дх\дх2

д2ЦУг) дх^дх2 д2ЦУг) д2х2

■ д2Ь\У1) дЧу) \дхт_\дх\ дхт_\дх2

дх\д хт_ 1

д2НУ) дх^д хт-1

д2Н(У) <52хт_ 1 /

Мы потребуем, чтобы для всех г е {1,..., к} было выполнено условие

ае^С^Ф 0.

В. Условия на распределение точек:

В1 Случайные точки и,..., ип распределены на 81 независимо друг от друга в соответствии с одинаковой вероятностной плотностью р(ж).

В2 Плотность р непрерывна (поэтому ее можно рассматривать как неотрицательную непрерывную 2^-периодическую функцию р : М. —► с

2п

условием ^ р(ж) = 1). о

ВЗ Для хотя бы одной точки максимума ядра V верно, что

2п

m1

рО) П px + v* 1=1

dx ф 0.

р

Схожие условия на плотность распределения возникают в работе [50].

Замечание 2.1. Условия, наложенные на плотность, достаточно слабые. Например, непрерывно дифференцируемые отделенные от нуля плотности или непрерывно дифференцируемые плотности, принимающие значение 0 только на множестве меры, меньшей , подходят под эти условия. Типичным примером, кроме равномерного распределения, может служить распределение фон Мизеса (см. [28]).

2.3 Формулировка основных результатов

Основной результат этой главы выглядит следующим образом:

Теорема 2.1 (Основная теорема). [35]

Предположим, что ядро f и точки U1,..., Un удовлетворяют условиям А1-А6 и В1-ВЗ. Пусть Mn — это U-max статистика, построенная по ядру f

Mn= , max f(Un,...,UiJ.

Тогда для любого t > 0 выполнено предельное соотношение:

где

lim P

n^-oo

2m

n M — Mn) ^ t)

exp

m— 1

t—Km

m!

^ m ~ 1 k

2n

m^ 1

r Ж v^e^ci)

l1

(2.3)

П V/) dx , (2.4)

а М ^ из условия А4- Если также вы,полнено условие В4, то скорость сходим,ост,и, в этом предельном соотношении равна ^и) при т > 1.

Теорема 2.1 сразу влечет несколько легковыводнмых, но весьма полезных следствий. Насколько нам известно, эти следствия являются новыми.

Следствие 2.1. Теорему 2.1 можно модифицировать для рассмотрения и-шт статистик. Для этого надо максимум М заменить на минимум М, а в условиях А4, А5, А6 и ВЗ из § 2.2 рассматривать точки минимума функции. В этом случае предельное соотношение будет следующим:

lim P

n

n m^i м'п- M')^t)

i

exp

m1

t — Km

m!

где Km определена, в (2.4) с заменой det(—G{) на det(G{

Следствие 2.2 (Случай равномерного распределения). Предположим, что U1,...,Un — это независимо и равномерно распределенные на единичной окружности точки. Пусть Mn — это U-max статистика с ядром f, удовле-

t0

2m

lim P{nmmi(M- Mn) ^ t)} = 1

n

exp

m1

t — Km

m!

где Km

_1_yfc

(2^ m21 r( {= ^de^ Gi)

.

ном, соотношении, такая, же, как в (2.3).

i

i

Приведем еще одно полезное замечание, упрощающее формулировки предельных теорем.

Замечание 2.2. Рассмотрим некоторую функцию /, удовлетворяющую условиям А из §2.2. По условию А4, у всех V координаты не совпадают, поэтому все точки максимума функции соответствующей функции Н делятся на перестановочные орбиты длины (ш —1)1, при этом гессиан функции Н во всех этих точках один и тот же. Тогда, если ,..., Wr — точки максимума с упорядоченными углами, то для любого £ > 0 выполнено предельное соотношение:

Нш Р

п^-оо

2 т

пМ-Мп) £)

1

ехр

т— 1

£—Кт

ш

^ ^ т — 1 г 2п

где Кт = Фя й у^рЩ 0

Гессе в точке Wi.

т1

Р(ж) П рх + Wi1

1= 1

¿ж, а — это матрица

2.4 Предельное поведение 11-тах статистик для функций от сторон многоугольника

2.4.1 Формулировка результатов

Достаточно много геометрических характеристик могут быть записаны, как сумма функций, зависящих от длин сторон многоугольника или от его центральных углов. Например, этим свойством обладают периметр многоугольника или его площадь. В связи с этим возникает желание остановиться на ядрах такого типа более подробно. Именно этой теме и посвящен этот параграф.

Для начала формализуем вид рассматриваемых ядер. Любая инвариантная относительно поворота функция /(Ц,..., ит) : (81) —► К может быть задана как функция Н(въ ... вт-0 : [0, 2п)т~1 ^ К, гДе набор углов (01,... , ^ определяется через набор точек (Ц1,..., Ц"т) е (81)т по формуле (2.1). Функции /Н

/(иь...,Цт) = Н(0ь...,0т-0. (2-5)

Рассмотрим некоторую непрерывную функцию д : [0, 2п] —► К и построим с помощью нее функции / и Н :

лих,... ,и„,) = од,... ,вт-о = - в,- о,

(2.6)

г=1

где 0 = во ^ А ^ ... < вт-1 < вт = 2п,

а дальше доопределим функцию Н та [0, 2п]т~1 так, чтобы она была симмет-

л

дл

влетворяла требованиям А1-А6 из §2.2. Нетрудно видеть, что условия А1-АЗ

автоматически выполняются из (2.6). В следующем утверждении указаны до-

д,

ные условия тоже выполнялись, а также показано получающееся предельное соотношение.

Теорема 2.2. Предположим, что точки и1,..., ип независимо распределены на 81 с общей непрерывной плотностью р(х), для которой

2п 1

Р т— 1

/п

п 1=0

( 2п/\ , п

р х Н--ах > 0.

V т

Рассмотрим непрерывную функцию д : [0, 2п] —► К трижды непрерывно дифференцируемую в некоторой окрестности точки т, для которой д"(2П) ^ 0.

л, д

положим, что оно достигает своего максимума только в вершинах правиль-т

Тогда для и — шах статистики Мп с ядром / для любого £ > 0 вы,полнено предельное соотношение:

Нш Р

п

2 т

п т-1

тд ( —) - Мп т

^ £

1

ехр

т1

£ ~ К

т

(2.7)

го- 1

(2П ~

К

'2п т^ 1

$ П р> + 2П) ^ . 0 1=0

т т—1 •

(-9" (£)) 2 г (т^) у'т

Замечание 2.3. В случае равномерного распределения константа Кт из теоремы 2.2 приобретает следующий вид:

Кт = -¿1-. (2-8)

("2П0" ©) 2 Г (тг) л/т

Доказательство теоремы 2.2. Докажем, что для функции / и плотностир выполнены нужные условия А и В из §3. Выполнение условий А1, А2, АЗ было установлено ранее. Условие А4 следует из того, что правильный многоугольник — это единственная точка достижения максимума функции /. Условие А5 следует из формулы (2.6), а также предположения о том, что функция д е С3 в окрестности точки т. Условия В1 и В2, очевидно, выполняются по условию данной теоремы. Таким образом, для того, чтобы можно было применить теорему 2.1, осталось проверить условие А6 и ВЗ.

В соответсвии с замечанием 2.2 можно рассматривать только случай, когда 0 ^ в1 ^ ... ^ вт-1 ^ 2п. Конфигурации точек (Щ,... ,ит), соответ-

т

V* = (V1,... , Vт~^, где Vг = в случае упорядочивания углов. Таким образом, условие о том, что максимум функции / достигается только на правильном т-угольпике означает, что точка V* является единственной точкой максимума функции Н в случае упорядочивания углов. В совокупности с условием ^Шо1 Р(х + ^ > 0 это означает выполнение условия ВЗ. Для выполнеН

V* и убедиться, что он отличен от нуля. Это будет означать выполнение всех условий А и В, далее подставив в формулу следствия 2.2 значение определителя ранее посчитанного гессиана функции Н в точке V*, получим (2.7).

С помощью несложных вычислений мы видим, что

¿2Н

$ X1 X 2

(V

0, если |г — ^| > 1,

2д" (2П), если 2=

—д" (2п) , если —

Следовательно, матрица Гессе в точке V* будет равна

«(П = д" (I'

2-100 -12-10 0 1 2 1

у 0 0 0 0 ... 2у

0 0 0

д

" (2А I

I -I т

т

т—1.

(2.9)

Определитель трехдиагопальпой матрицы /т_ 1 проще всего вычислить непосредственно с помощью рекуррентного соотношения. Обозначим за ¿(к) определитель такой матрицы размера к х к. Тогда верно, что

1) 2) а(к)

2, 3,

2^(к — 1)- а(к- 2).

Отсюда мы видим, что

а(к) = к + 1.

(2.10)

Следовательно,

'2п\

т1

ае^= т • ^-д" ^^ ) Ф 0.

Итак, необходимые условия для выполнения теоремы 2.1 выполнены. Подставим значение гессиана в формулу замечания 2.2 и получим требуемое предельное соотношение. □

Условие о правильности экстремальных многоугольников, возникающее в теореме 2.2, в стохастической геометрии выполняется достаточно часто. Это можно видеть на примере следующей несложной леммы.

Лемма 2.1. Для строго вогнутых функцийд : [0, 2п] —► К максимум функции, /, определенной в формуле (2.6)7 достигается только в вершинах выпуклого т-угольника.

Доказательство. Будем считать, что 0 ^ в1 ^ ... ^ вт-1 ^ 2п. Докажем, что точка V* = (V1,..., Vт~^, где Vг = 2т, является единственной точкой максимума данной функции в случае упорядочивания углов. Действительно, по неравенству Йенсена

т

т,..., ит) = (А - Ь-тд1вттв0 ) = (2.11) = тд (2п)= Е д(УV - ч.

д,

функции д равны между собой, перавенство (2.11) будет строгим. □

д

рассматривать непрерывную, строго вогнутую функцию д : [0, 2п] —► К, трижды непрерывно дифференцируемую в окрестности точки т, для которой так-

д

(тО

0,

(2.6) функция / и и — шах статистика Мп удовлетворяют предельному соотношению (2.7) из теоремы 2.2.

Замечание 2.4. Если в теореме 2.2 рассматривать функции /, для которых

и

шт статистик М'п, порожденных ядром /, выполнено предельное соотношение аналогичное (2.7): для любого £ > 0:

Нш Р

п

п МП- тд( ^Л) ^

1 — ехр

т— 1

£ ~ К

т

Km

(2

п

щ — 1 2

йге1 ^ dx

щ1

(ff" (£)) 2 г Ж v^

Например, аналогично лемме 2.1 это имеет место, если рассматривать строго выпуклые функции д.

2.4.2 Примеры

Теперь приведем несколько примеров U — max статистик, удовлетворяющих условиям предыдущего параграфа. Мы рассмотрим как уже рассмотренные в литературе примеры, которые могут быть получены в качестве частных случаев наших утверждений, так и несколько новых.

Пример 2.1. Максимальный периметр вписанного многоугольника. Рассмотрим максимальный периметр вписанного выпуклого ш-угольпика со случайными вершинами на окружности. Это U-max статистика с ядром f вида (2.6), где

g(x) = 2 sin ^I).

Это строго вогнутая функция, поэтому предельные теоремы можно получить из теоремы 2.2 подстановкой. В работе [21] было найдено предельное поведение U max

результат совпадает с подстановкой данной функцииg в (2.7), так что результат [21] может быть получен как частный случай наших результатов. В явном виде это предельное соотношения выглядит так:

щ1 -t—

щ— 1

шуШ (п sin (m))2 г

lim P

n^-oo

. /П\

nщ-1 ( 2ш sin — ш

MJ < t

exp

1

В случае произвольного распределения, удовлетворяющего условиям В1-ВЗ, предельное соотношение принимает вид

lim P

n^-oo

nmm í 2msin ( —J — Mn \ ^t \mJ

1 — exp

m— 1 / . ч m — 1

t —(4n)—

'2n m^ 1

i п p{x+m)dx . 0 1=0

m\/m sin —

m

m— 1

in Ш) 2 r (mfL)

Пример 2.2. Максимальная площадь вписанного многоугольника. Другой V-тах статистикой, встречавшейся в работе [21], была площадь вписанного выпуклого т-угольника. Она порождена ядром / вида (2.6), где

9{х) = 1 sin х. 2

Максимум функции f достигается только на правильном ш-угольнике, см., например, [46, задача 57а]. Следовательно, предельные теоремы для этой Umax статистики получаются из теоремы 2.2 подстановкой. Результаты [21] и несколько более общие результаты [50] снова вытекают из наших в качестве простых частных случаев. Предельное соотношение из [21] было получено для равномерного случая и имеет вид

lim P

n

2m

n m-1

m sin (—)

m

Mn t

1 exp

m1 -t—

m1

m^/m(n sin 2 Г (m±L)

В работе [50] было получено соотношение для произвольного распределения с

2п

условием ^ Orno Р (х + 2Пг) dx > 0, оно имеет вид о

lim P

n

2m i m sin (—)

n mmi -iM _ M

n

t

1 exp

m 1 m 1

t 4n)—

'2n m^ 1

j np^ 2m1) dx . 0 1=0

m^/m (sin (2^))^ Г (m2L)

2

Аналогичные утверждения справедливы и для площадей и периметров описанных случайных многоугольников, рассматривавшихся в [21].

Пример 2.3. Сумма расстояний от центра до вершин описанного многоугольника. Рассмотрим пример ядра, не возникавшего ранее в литературе, посвященной изучению предельного поведения U-min статистик. Определим ядро f : (S1)m —► R и {+оо} следующим образом: построим описанный выпуклый ш-угольник с вершинами в точках A1,..., Am, стороны которого касаются окружности S1 в точках U1,... , Um. Определим функцию

m

f(Ui, . . . , Um) =

i=1

ш

При этом возможен случай, когда некоторая вершина A попала па бескопеч-

f U1 , . . . , Um .

f

(cos (I))_1, если 0 ^ x < п, +оо иначе.

Случай g(x) = +оо соответствует тому, что вершина A попала на бесконечность. Заметим, что

1 + sin2 Ц

tf"(x) = —-Q > 0 при x G [0,п),

^ ^ /I /-! ✓"Ч 3 I ^ *

4cos3 ( |

поэтому функция будет строго выпукла на x е [0,п). По замечанию 2.4 мини-

U min

статистики M'n: порожденной ядром f, можно написать предельное соотношение, верное для любого t > 0:

lim P

n

' 2m . Ш \ '

n "" rn" Ы

m

1 — exp

m — I

t — K

ш

Пример 2.4. Обобщенный периметр многоугольника. Рассмотрим обобщение понятия периметра. Пусть г = 1,..., т — стороны вписанного т-угольнпка с вершинами их,..., ит. Определим при у е М. величину /у(V,..., Пт) = 2т 1 ^У и назовем ее обобщенным периметром многоугольника. Заметим, что обобщенный периметр может быть представлен в виде (2.6) с функцией

Функция д выпукла при отрицательных y и вогнута при y е (0,1], поэтому предельное соотношение, полученное в этих случаях для Umin и U-max статистик, тоже является частным случаем формулы (2.7). Этому примеру посвящен целый параграф §2.6, в котором в том числе явно указаны предельные соотношения, получающиеся для обобщенного периметра. Такое внимание к этому примеру вызвано тем, что свойствам обобщенного периметра и предельным теоремам, получающимся в связи с ним в случае равномерного распределения точек, посвящены работы [53] и [54] автора этой диссертации. Именно с этих

U max

тистик. Уже в этот момент удалось обобщить некоторые результаты работ [25], y1

удалось получить более общие результаты, изложенные в этой главе, и результат работы [53] стал частным случаем более общего факта.

Кроме этого, в работе [54] было показано, что при y е (1, 2], ш = 3 функция д не является вогнутой, но функция f снова достигает своего максимума только в вершинах правильного треугольника (см. §2.6), что позволяет написать

U max

Пример 2.5. Дальнейшее обобщение периметра. Понятие обобщенного периметра, введенное в [53], допускает дальнейшее обобщение. Предположим, что

ядро f задается соотношением

f(Ui,...,Um) = £r(|U¿Ui+i|), (2.12)

i=i

в случае, если точки U1,..., Um идут именно в таком порядке при обходе против часовой стрелки, а также оно обладает свойством перестановочности. Через |U¿U¿+11 обозначена длина стороны многоугольника с концами в вершинах U и Ui+1. В этом случае функция f является суммой значений функции r, зависящей от сторон многоугольника. Обобщенный периметр, введенный в [53] и [54], соответствует функции г(ж) = xy.

В случае, если функция r : [0,2] —► R непрерывна, строго вогнута, возрастает и трижды непрерывно дифференцируема в окрестности точки 2 sin m, причем r"(2 sin m) Ф 0, функция д(ж) = r(2 sin |) является строго выпуклой функцией. По лемме 2.1 максимум будет достигаться в вершинах правильного ш-угольника, и можно записать предельное соотношение для U-max статистик из теоремы 2.2. При этом условия строгой вогнутости и возрастания можно заменить на условия вогнутости и строгого возрастания.

r

жды непрерывно дифференцируемая в окрестности точки 2 sin m и r"(2 sin m) Ф 0, функция д(ж) = r(2 sin |) является строго выпуклой функ-

U min

статистик. При этом условие строгой выпуклости и убывания можно заменить на условие выпуклости и строгого убывания.

Пример 2.6. Рассмотрим пример 2.5 с функцией г(ж) = б"а|жь(ln (|) )c, рассматривавшейся Александером и Столярским в [1]. Функция т(а, b, c) означает строгую выпуклость и убывание, если ее значение равно 1 и строгую вогнутость и возрастание, если ее значение равно -1. Тогда верно следующее соотношение из работы [1]:

г

(—1)c, если а ^ 0, b ^ 0, c е N, 1, если а ^ 0, b ^ 0, c = 0, а2 + b2 ф 0,

1, а 0, 0 b 1, c 0.

т а, b, c

Это соотношение появлялось в работе [1] и описывало, в каких случаях пра-т

же верно, что в этих же случаях функция г будет обладать и указанными выше свойствами. Это также нетрудно видеть, посмотрев вид производных и их знаки в этих случаях:

г\х) = г(х)\— а + Ь + °

x ln( f) x

(Ul Ь c У b c(ln( f) +1)

r (x) = r(x ) I — a H— 2

__2-

x ln(f)x^ x2 (ln(f)x)

В силу примера 2.5, можно изучить предельное поведение U-max (U-min) статистик Hn с ядром f, построенным по формуле (2.12), в случае, если т = —1 т = 1). Для этого ^^до ^^дотавить в теорему 2.2 g{x) = r(2 sin f).

2.5 Предельное поведение 11-тах статистик для функций от сторон и диагоналей многоугольника

2.5Л Формулировка результатов

В этом параграфе рассуждения во многом аналогичны §2.4. Здесь мы рассмотрим ядра, которые могут быть записаны как сумма функций, зависящих от сторон и диагоналей многоугольника. В качестве примера можно рассмотреть сумму попарных расстояний между вершинами многоугольника. Как и в §2.4, мы будем определять ядро / и соответствующую ему функцию Н через набор углов (в,... 1), определенных в (2.2). Связь функций / и Н также

Н

торой непрерывной функции д : [0, 2п] —► К, на которую будут наложены такие ограничения, чтобы полученная функция / удовлетворяла условиям А1-А6 из

Н

с помощью аналога формулы (2.6):

/(иь ..., ит) = ад,..., вт-1) = 2 0(1 А- - А1), где во = 0. (2.13)

(К гс^'^т— 1

Опишем экстремальные точки функции / для вогнутых д, обладающих некоторым свойством симметричности. Это аналог леммы 2.1.

Лемма 2.2. Пусть функция д : [0, 2п] — непрерывная, строго вогнутая функция, обладающая свойством д(ж) = д(2п — X. Тогда, функция / из формулы (2.13) достигает максимума только в вершинах правильного т-угольника и равна там ^¿лв=1 тд (—] •

Доказательство. Не умаляя общности, считаем, что вершины Ц,..., Цт расположены именно в таком порядке при обходе окружности. Обозначим через Р(к, иЬ . . . , Цт) сумму 1 д{вг+к- вг), СЧИТаЯ, ЧТО во = 0, вт+" = 2п + в" ПРИ ее {0,..., п — 1}. Тогда

т1

¡{ии...,ит) = 2 2 Р{1,иъ...,ит).

2 Ъ- 1

Докажем, что максимум Р(к, Ц1,..., Цт) достигается только на правильном т

Вследствие строгой вогнутости,

т /2 к\

Р(Л,Ц1,...,Ц^ £д№+к- АН тЛ ^ ,

г1

причем равенство достигается только при въ+к ^ вг = "тк ПРИ ЛК)бых 2 е {1,..., т}, {1,...,т — 1}. Следовательно максимальное значение достигается только в вершинах правильного многоугольника.

□

Теперь сформулируем аналог теоремы 2.2 для ядра/, имеющего вид (2.13).

Теорема 2.3. Предположим, что точки и1,... ,ип независимо распределены на 81 с одинаковой непрерывной плотностью р{х), для которой

1

. П р

1=о

о.

т

Рассмотрим непрерывную функцию д: [0, 2п] —► К, обладающую свойством д{х) = д{— х), а также трижды непрерывно дифференцируемую в окрестности точек ^ при вс ех ее {1,... ,т — 1}. Построим функцию / из формулы (2.13). Пусть она достигает своего максимума только в вершинах правильного т-угольника. Пусть Мп являет ся и -шах статистикой с ядром /. Рас-

смотрим следующую симметричную матрицу О = ^3)™?'=!, где

3 = 1'

д{3

—д" у^т3) , если г ф ],

т—1

2 д" ^ если г= 3.

3 = 1

(2.14)

Если det О ф 0, то для любого Ь> 0 вы,полнено предельное соотношение

Нш Р

п

т1

п--1 | - ^ тд

31

'2пв

т

Мп \ ^ г

1 — ехр

—— 1

г — кт

т

(2.15)

где

(2п)^ 52^пто12?) ¿х

кт

-2п

т1

л/^е^о г

Доказательство этой теоремы во многом аналогично доказательству теоремы 2.2 и приведено здесь не будет.

Замечание 2.5. Если значения вторых производных в точках отрицательны при всех в е {1,... ,т — 1}, то д{,{ > 2т=1тз Ььз1. Матрицы, обладающие таким свойством называют диагонально доминирующими, согласно [33, гл. 7, §1, пр. 7.1.6, с. 499], det ОФ 0.

О

Комбинируя результаты теорем 2.2 и 2.3, получим, что если функция д : [0, 2п] —► К непрерывна, строго вогнута, трижды непрерывно дифферен-

цируема в окрестности точек "п" ПРИ всех 5 е {1,...,т — 1}, а также обладает свойством д(ж) = д(2п — ж), а плотность распределения точек р непрерывна и Пто1 Р (ж + "пг) ^ж > 0, то для Ц-шах статистики Мп с ядром /, имеющим вид (2.13), выполняется соотношение (2.15) из теоремы 2.3.

Аналогично параграфу 2.4 данное утверждение можно переформулировать для Ц-шт статистик и строго выпуклых функций д.

2.5.2 Примеры

Рассмотрим несколько примеров, для которых выполнено условие теоремы 2.3, и можно написать явное предельное соотношение для получающихся U — max статистик. Естественно попробовать воспользоваться примерами, возникающими при рассмотрении ядер с более простой конструкцией из §2.4. Здесь мы видим одно из главных отличий параграфа 2.5 от 2.4, оно состоит в условии д(ж) = g(2п — ж), которого не было ранее. Это условие дает единообразие элементов, стоящих на главной диагонали, в матрице G из теоремы 2.3. Оно также означает, что выполнено д(|вг _ j) = r(|UiUj|), где \UiUj\ — длина отрезка UiUj. Таким образом, по аналогии с примером 2.5, можно сказать, что все функции f, принимающие вид (2.13), являются обобщенной суммой попарных расстояний между точками. Это показывает, что функции д(ж) из примеров 2.2 и 2.3 не могут быть использованы для построения функций f из (2.13). Но

функции д(ж) из примеров 2.1, 2.4, 2.5, 2.6 этим свойством обладают, поэтому

f

2.3. Они также будут дифференцируемы на (0, 2п), и для них будет выполнено замечание 2.5.

Также, в отличие от §2.4, в этих примерах возникает дополнительная слож-

G

не удается выразить в замкнутом виде для произвольного m. В связи с этим, в наших примерах не будет общих формул, а будут только показаны некоторые

m.

Пример 2.7. Как уже было сказано, функция д(ж), фигурирующая в примере 2.6, может быть использована и в этом случае.

Пример 2.8. Сумма попарных расстояний между вершинами. Рассмотрим снова простой случай, когда g(x) взята из примера 2.1, а получившаяся функция f(Ui,..., Um) — это сумма попарных расстояний между точками U\,..., Um. Согласно работе [42], максимум достигается в вершинах правильного многоугольника и равен

п

m ctg

2m

Предельное соотношение (2.15) выполнено, но вычислить точную константу Km для произвольного m не удается. Матрица G из теоремы 2.3 будет выглядеть так:

1 • U —jln • , • ■1 smJ——, если г ф j,

2 m ' J'

9i,j

1 cot 2, если г = j.

Определитель этой матрицы в общем виде вычислить мы не смогли. Он был нами вычислен для первых шести m :

9

det(—G) = — = 0.5625 для m = 3; 16

det(—G) = 3v/2 + 4 ^ 1.03033 для m = 4; 8

175 75^/5

det(—G) =-——-^ 2.6773835 для m = 5;

128

168 y^ + 291

det(—G) =-—-^ 9.0935 для m = 6.

64

Пример 2.9. Попарная сумма обратных расстояний между вершинами. Возьмем = (2вти построим ядро / по формуле (2.13). Нетрудно видеть, что построенное ядро / будет иметь вид

/№.....^ = 2 ^

3>1\ « л

— сумма обратных расстояний между вершинами и1.... . ит. Этот пример был рассмотрен еще в работе [42].

многоугольника [42] и равно

т1

т ^ пк — > еояее—.

4 т

к1

д

2 яш2 § д (ж) =-

о в1П 2

поэтому матрица О из (2.14) принимает вид

-, если г Ф

о • 3/п|г—7

дг,^ = <

т

т-1 . .

8в1п^\т) , если г =

"1

т

т

М = л/3 ^ 1.73205 при т = 3,

М = 2\/2 + 1 « 3.828427 при т = 4,

10 10

М = — = И----= ^ 6.88191 при т = 5,

л/10 - 2\/5 Л/+ 2 л/5 15

М = — + 2л/3 « 10.96410 при т = 6, 2

и

25

ае^О) = & 0.17361 при т = 3, 57 г- 9

ае^О) =-^2 н--~ 0.911017 при т = 4,

128 32

. . 15128 соя (|) + 14283

аецО) =-:-—-/ чч ^ 11.9946 при т = 5,

1 7 1600(3 — 2 соя (5))

. О 2486141 , 2224445л/3 319 19601 6

аецО) =-:—--—--^ 319.19601 при т = 6.

1 ; 13824 27648 Р

2.6 Исследование предельных теорем для обобщенного периметра

Остановимся более подробно на предельных теоремах для так называемого обобщенного периметра. Напомним, что если г = 1,..., т, — стороны вписанного т-угольника с вершинами Ц^,..., Цт, то величину

г1

мы называем обобщенным периметром многоугольника. Как было указано в примере 2.4, обобщенный периметр является частным случаем функций, зависящих только от сторон многоугольника, и может быть представлен в виде (2.6) с функцией

ж

д(ж) = 2У 81п^^ .

При у е (0,1] эта функция вогнута, поэтому, воспользовавшись теоремой 2.2, можно написать предельное соотношение для Ц — шах статистик МП т (чтобы

т, у,

Получится, что при у е (0,1] для люб ого £ > 0 справедливо равенство

11ш Р

п—>оо

2т ( / . П \ У

пт-1 ( т2У | Б1п — т

МУ . ) ^ £

п,т ' ^

ехр

т1 £ ~

К1

(2.16)

где

К1

т2 Г

з„ /т + 1

П \ "

2У^ 1уп (я1п — 1 (1 — у соя" —

т

т— 1 2

т

у0

сать соотношение для Ц — ш1п статист ик МПУт : при у < 0 для любого £ > 0 справедливо равенство

1

11ш Р

71—»СО

2т

П т-1

М^ — т2У Гб1п —) ^ т

ехр

т1 £—

К"

(2.17)

1

гдеК2(y) = m3Г (1yn (sin n)y 2 (l - y cos2 m^ 2

m — 1

Эти соотношения были получены в работе [53] до получения результатов, изложенных в теореме 2.1, с помощью методов из работ [25], [21]. Формулировки соотношений (2.16) и (2.17) схожи. Естественно поставить вопрос: будет ли выполняться аналогичная предельная теорема для обобщенных периметров при y > 1? Исследованию этого вопроса была посвящена работа [54]. Оказывается, что ответ нет. Дело в том, что единоообразие формул вытекает из того, что при y е (—оо, 0) и (0,1] правильный ш—угольник является точкой строгого экстре-

y1

ш,

котором указанное свойство нарушается.

Лемма 2.3. Для любого фиксированного y > 1 при ш > п/ arccos правильный ш—угольник не является точкой максимума обобщенного периметра fy.

Доказательство. Рассмотрим функцию l{x) = (sin x)y . Из [53] мы знаем, что fy( Uh ...,Un) = 2y V l(- + ак-"к-') , где AUk+íOUí 2пк

íH ^m 2 / m

k= 1

причем можно считать, что точки U1,... , Um расположены на окружности именно в таком порядке. Явными вычислениями получаем, что

l"(x)=y (sin x)у~2 (y cos2 x- l) , (2.18)

поэтому, при данных ограничениях наш верно, что 1'\-¡Л) > 0. При разложении обобщенного периметра

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Симарова Екатерина Николаевна, 2024 год

Список литературы

[1] Alexander R., Stolarsky K. B. Extremal problems of distance geometry related to energy integrals // Trans. Amer.Math. Soc. — 1974. — Vol. 193. — P. 1—31.

[2] Barbour A. D., Holst L., Janson S. Poisson Approximation. — London: Oxford University Press, 1992.

[3] Billingsley P. Convergence of probability measures. — New York: Wiley, 1968.

[4] Billingsley P. Weak convergence of measures: applications in probability. — Philadelphia: SIAM, 1971.

[5] Bingham N., Goldie C., Teugels J. Regular variation. — Cambridge: Cambridge university press, 1989.

[6] DasGupta A. Moment Convergence and Uniform Integrability. // In: Asymptotic Theory of Statistics and Prohahility. Springer Texts in Statistics. — New York: Springer, 2008.

[7] Gumbel E. J. Statistics of extremes. — New York: Columbia university press, 1958.

[8] de Haan L. Multivariate regular variation and applications in probability theory. // Proceedings of the International Symposium "Multivariate Analysis. VI". — Pittsburgh: Elsevier. - 1985. - P. 281^288.

[9] Haimos P. R. The theory of unbiased estimation // Ann. Math. Statist. — 1946. _ Vol. 17. - P. 34 43.

[10] Henze N., Klein T. The limit distribution of the largest interpoint distance from a symmetric Kotz sample // J. Multivariate Anal. — 1996. — Vol. 57. — P. 228-239.

[11] Henze N., Lao W. The Limit Distribution of the Largest Interpoint Distance for Power-Tailed Spherically Decomposable Distributions and Their Affine Images. — Preprint. — Karlsruhe Institute of Technology, 2010.

[12] Hoeffding W. A class of statistics with asymptotically normal distribution // Ann. Math. Statist. - 1948. - Vol. 19. - P. 293-325.

[13] Horn R. A., Johnson C. R. Matrix Analysis. — Cambridge: Cambridge University Press, 2012.

[14] Jammalamadaka S. R., J ans on S. Asymptotic distribution of the maximum interpoint distance in a sample of random vectors with a spherically symmetric distribution // Ann. Appl. Probab. - 2015. - Vol. 25, No. 6. - P. 3571-3591.

[15] Kallenberg 0. Foundations of modern probability. — New York: Springer Science+Business Media, 1997.

[16] Kabluchko Z. Angles of random simplices and face numbers of random polytopes // Adv. Math. - 2021. - Vol. 380. - Article 107612.

[17] Kabluchko Z., Marynych A., Temesvari D., et al. Cones generated by random points on half-spheres and convex hulls of Poisson point processes // Probab. Theory Relat. Fields. - 2019. - Vol. 175. - P. 1021-1061.

[18] Kabluchko Z., Temesvari D., Thaïe C. Expected intrinsic volumes and facet numbers of random beta-polytopes // Math. Nachr. — 2019. — Vol. 292. — P. 79-105.

[19] Kabluchko Z., Thaïe C., Zaporozhets D. Beta polytopes and Poisson polyhedra: f-vectors and angles // Adv. Math. - 2020. - Vol. 374. - Article 107333.

[20] Karamata J. Sur un mode de croissance régulière. Théorèmes fondamentaux // Bull. Soc. Math. Prance 1933. - Vol. 61. - P. 55-62.

[21] Koroleva E. V., Nikitin Ya. Yu. U-max-statistics and limit theorems for perimeters and areas of random polygons // J. Multivariate Anal. — 2014. — Vol. 127. - P. 99—111.

[22] Kurzhanski A., Valyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. — New York: Springer Science+Business Media, 1997.

[23] Lachieze-Rey R., Reitzner M. U-statistics in stochastic geometry. // In: Stochastic Analysis for Poisson Point Processes. — Cham: Springer, 2016. — P. 229-253.

[24] Lao W. Some weak limit laws for the diameter of random point sets in bounded regions. — Ph.D. Thesis. —Karlsruhe Institute of Technology, Germany, 2010.

[25] Lao W., Mayer M. U-max-statistics // J. Multivariate Anal. — 2008. — Vol. 99 _ P 2039-2052.

[26] Leadbetter M.. Lindgren G., Rootzen H. Extremes and related properties of random sequences and processes. — New York: Springer, 2012.

U

[28] Mardia K. V., Jupp P. E. Directional Statistics. - Wiley, 2000.

U

Bern University, Switzerland, 2008.

[30] Mayer M.. Molchanov I. Limit theorems for the diameter of a random sample in the unit ball // Extremes. - 2007. - Vol. 10. - P. 151-174.

[31] Meerschaert M. Regular variation and domains of attraction in // Stat. Proh. Lett. - 1986. - Vol. 4 - P. 43-45.

[32] Meerschaert M. Regular variation in H Proc. Am. Math. Soc. - 1988. -Vol. 102. - P. 341-348.

[33] Meyer C. D. Matrix analysis and applied linear algebra. — Siam, 2000.

[34] Molchanov S. On regularly varying multivalued functions.// in: Stability Problems for Stochastic Models, V. Kalashnikov et al. (eds.). — Berlin: SpringerVerlag, 1993. - P. 121-129.

[35] Nikitin Y., Simarova E. Generalized limit theorems for U-max statistics // J. Appl. Probab. - 2022. - Vol. 59, No. 3. - P. 825-848.

[36] Resnick S. Extreme values, regular variation, and point processes. — New York: Springer Science+Business Media, 2008.

[37] Resnick S. Heavy-Tail Phenomena: Probabilistic and Statistical Modeling. — New York: Springer, 2007.

[38] Resnick S. Point processes, regular variation and weak convergence // Adv. Appl. Probab. - 1986. - Vol. 18, No. 1. - P. 66-138.

[39] Schneider R., Weil W. Stochastic and Integral Geometry. — Heidelberg: Springer Berlin, 2008.

[40] Silverman F. В., Brown T. Short distances, flat triangles, and Poisson limits // J. Appl. Probab. - 1978. - Vol. 15. - P. 815-825.

[41] Temesvari D. Discrete stochastic geometry: beta-polytopes, random cones and empty simplices.— PhD thesis.— Ruhr University Bochum, Germany, 2019.

[42] Toth L. On the sum of distances determined by a pointset //Acta Math. Hungar. - 1956. - Vol. 7, No. 3-4. - P. 397-401.

[43] Yakymiv A. Multivariate regular variation in probability theory // J. Math. Sci. - 2020. - Vol. 246. - P. 580-586.

[44] Yakymiv A. Tauberian theorems and asymptotics of infinitely divisible distributions in a cone // Theor. Prob. Appl. — 2004. — Vol. 48, No. 3. — P. 493-505.

[45] Zorich V. A. Mathematical analysis II. — Berlin: Springer, 2016.

[46] Болтянский В. P., Яглом И. M. Выпуклые фигуры. — Москва: Гостехиз-дат, 1951.

[47] Боровских Ю. В., Королюк В. С. Теория U-статистик. — Киев: Наукова думка, 1989.

[48] Давыдов К)., Домбры К. О выпуклых оболочках случайных процессов с регулярным изменением // Зап. научн. сем,им. ПОМИ. — 2012. — Т. 408. — С. 154-174.

[49] Макаров Б. М.. Подкорытов А. П. Лекции по вещественному анализу. — Санкт-Петербург: БХВ, 2011.

[50] Никитин Я. К)., Полевая Т. А. Предельные теоремы для площадей и периметров случайных вписанных и описанных многоугольников // Зап. научн. семин. ПОМИ. - 2019. - Т. 486. - С. 200-213.

[51] Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Москва: МЦНМО, 2006.

[52] Симарова Е. Выпуклые оболочки случайных векторов с правильно меняющимся распределением // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2022. — Т. 510. — С. 225-247.

[53] Симарова Е. И. Предельные теоремы для обобщенных периметров случайных вписанных многоугольников. I // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. — 2020. — Т. 7 (65), No. 4. — С. 678—687. Engl, transl.: Е. Simarova Limit theorems for generalized perimeters of random inscribed polygons I // Vestnik St. Petersb. Univ. Math. — 2020. — Vol. 53, No. 4. — P. 434-442.

[54] Симарова E. И. Предельные теоремы для обобщенных периметров случайных вписанных многоугольников. II // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. — 2021. — Т. 8 (66), No. 1. — С. 101—110. Engl, transl.: Е. Simarova Limit theorems for generalized perimeters of random inscribed polygons II // Vestnik St. Petersb. Univ. Math. - 2021. - Vol. 54, No. 1. - P. 78-85.

[55] Симарова E. Экстремальные случайные бета политопы // Зап. научн. семин. ПОМИ. - 2021. - Т. 501. - С. 276-301. Engl, transl.: Е. Simarova

Extremal Random Beta Polytopes //J. Math. Sei. - 2023. - Vol. 273. - P. 844-860.