О периодических траекториях динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Поликарпов, Сергей Алексеевич

• Поликарпов, Сергей Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Поликарпов, Сергей Алексеевич

Введение.

Глава I. Динамические биллиарды.

§1. Динамический биллиард, отображение последования.

§2. Биллиард в поле тяжести.

§3. Круговой биллиард.

§4. Биллиард в магнитном поле.

§5. Условия устойчивости двузвенных траекторий биллиарда в однородном магнитном поле.

Глава II. Неконсервативные динамические системы.

§1. Рождение изолированных периодических решений.

§2. Устойчивость периодических решений.

§3. Расщепление сепаратрис и долгопериодические решения.

§4. Математический маятник с трением и периодическим возмущением.

§5. Замкнутые траектории биллиарда с неупругими отражениями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О периодических траекториях динамических систем»

Динамические системы - обширная область современной математики с сильно развитыми методами исследования и областью приложений. Большое количество работ по качественной теории посвящено обсуждению различных режимов движения, свойственных динамическим системам, и, в частности, их периодическим траекториям - часто встречающимся в задачах видом движения, периодического во времени [3, 24].

Популярной моделью динамической системы, проявляющей свойства, характерные для многих задач, является биллиард - задача о движении материальной точки внутри плоской области с отражением от границы. Впервые она обсуждалась в работах Биркго-фа (см., например, [11]). При этом область движения точки предполагается выпуклой, движение между соударениями с границей происходит по инерции, а отражение точки от кривой считается абсолютно упругим.

Биркгоф сформулировал два основных подхода к задаче о нахождении периодических траекторий биллиарда (см. [11], Гл. б, §5-9). Вначале существование некоторых траекторий было установлено им при помощи наглядных геометрических рассуждений об экстремальности периметра многоугольников, соответствующих периодическим траекториям, вписанных в граничную кривую биллиарда.

Это - вариационные методы, которые широко применяются для доказательства существования периодических траекторий уравнений динамики. Если речь идет о консервативных системах, то фиксируют значение полной энергии и рассматривают функционал действие (по Мопертюи-Якоби) на пространстве замкнутых кривых. При определенных условиях точки экстремума этого функционала отвечают периодическим траекториям с заданным выше значением полной энергии. Особенно просто существование таких траекторий доказывается в случае, когда конфигурационное пространство неодносвязно (имеются нестягиваемые в точку замкнутые кривые). Этот случай рассмотрен в классических работах Адамара, Уиттекера и др. авторов (см. [11, 43], а также [3,14, 17]). В работах В.В. Козлова и С.В. Болотина [6, 8, 18] эти методы распространены на случай, когда область возможности движения имеет непустую границу.

Односвязный случай - более сложный. Впервые он рассматривался Пуанкаре [39] в задаче о наличии замкнутых геодезических на выпуклой поверхности рода нуль.

В случае сильно сплющенной поверхности задача о существовании замкнутых геодезических эквивалентна задаче о существовании периодических траекторий биллиарда с выпуклой границей. Биркгофом [11] было дано строгое доказательство существования бесконечного количества пар периодических траекторий биллиарда. Доказательство было основано на построении отображения в себя двумерной поверхности, соответствующей положению материальной точки на границе биллиарда, и использовании геометрической теоремы Пуанкаре-Биркгофа. Периодическим траекториям биллиарда соответствовали неподвижные точки этого отображения. Эта идея содержится уже в классической работе Пуанкаре [38]. Полное вариационное доказательство теоремы Биркгофа о существовании пар периодических траекторий биллиарда дается в работе Д.В. Трещева [41].

Свойства орбитальной устойчивости периодических траекторий биллиарда Биркгофа изучались многими авторами при помощи подхода, связанного с построением отображения последования (или, как его часто называют, отображения Пуанкаре). Условия устойчивости двузвенной траектории в линейном приближении имеются, например, в [22]. Они получены В.М. Бабичем и B.C. Бул-дыревым в связи с задачей о распространении волн в лучевом приближении [4]. При помощи техники, развитой в [28], в работе А.А. Маркеева [48] проводится анализ нелинейных резонансных эффектов в задаче об устойчивости двузвенной траектории.

В работе [20] поиск двузвенных траекторий выпуклого биллиарда и анализ их устойчивости проводится на основании исследования длины хорды, соединяющей точки граничной кривой и перпендикулярной кривой в одном из концов. Оказывается, что если каустика границы биллиарда целиком лежит внутри биллиарда, и все стационарные точки функции длины невырождены (и тогда каждая из них соответствует периодической траектории биллиарда), то имеется четное число двузвенных траекторий, причем половина из них имеет гиперболический тип и, следовательно, неустойчивы, а другая половина имеет эллиптический тип.

Естественными обобщениями задачи, рассмотренной Биркго-фом, представляются так называемые динамические биллиарды. Как утверждается в [10], этот термин впервые появляется в работах В.В. Белецкого и других авторов [9, 45] и применяется для обозначения класса задач о движении материальной точки в силовом поле, причем происходит упругое отражение точки от поверхности, ограничивающей область движения.

Следует также признать, что в работе В.В. Белецкого и других авторов [10] сформулированы результаты, несколько расширяющие и обобщающие результаты, полученные в главе I данной диссертационной работы. Впрочем, [10] не содержит исчерпывающих доказательств сформулированных там общих результатов, а рассмотренные в главе I примеры касаются и систем более общего класса, чем в [10].

В данной диссертационной работе рассматриваются динамические биллиарды только в плоском случае.

В [45], при помощи подхода, связанного с построением отображения, рассмотрена задача о существовании и устойчивости периодических траекторий биллиарда в однородном поле тяжести в случае, когда область движения материальной точки является кругом. Эта задача эквивалентна задаче о периодических траекториях математического маятника, если допустить возможность ослабления натяжения нити. Она также рассмотрена в работе В.Ф. Журавлева [13], посвященной построению уравнений типа Рауса для механических динамических систем с односторонними связями. Отметим, что некоторые из найденных в [45] периодических траекторий математического маятника с односторонней связью были ранее описаны геометрами (см., например, [5], гл. 17).

В работе А.П. Маркеева [29] изучена орбитальная устойчивость подскоков материальной точки в однородном поле тяжести. Для исследования этой задачи в [29] строится соответствующее отображение (для исследования той же задачи в [16] применяется иной метод - строятся канонические уравнения для систем с идеальными односторонними связями).

Вариационный подход применяется в работах М. Робника и М.В. Берри [50, 51] для поиска периодических траекторий биллиарда, помещенного в однородное магнитное поле. Если предположить, что рассматриваемая материальная точка несет электрический заряд, то между соударениями с границей точка будет двигаться по дуге окружности радиуса Лармора. Геометрический смысл функционала действие в этом случае - сумма произведения радиуса Лармора на длину замкнутой кривой и площади области, заключенной внутри кривой. Анализ существования и устойчивости двузвенных траекторий проводится на основании исследования длины хорды, соединяющей точки границы биллиарда. При помощи рассуждений топологического характера в [51] показано существование пары двузвенных траекторий биллиарда с выпуклой границей в достаточно слабом однородном магнитном поле. Там же имеются построенные численно фазовые портреты биллиарда в однородном магнитном поле с эллиптической границей.

Биллиард в однородном магнитном поле с границей в форме окружности - вполне интегрируемая система (кроме интеграла энергии имеется интеграл, линейный по скоростям). Однако, если в качестве границы взять эллипс с неравными полуосями, то соответствующая система уже не будет допускать дополнительного аналитического первого интеграла [26]. В фазовом пространстве появляются зоны со стохастическим (квазислучайным) поведением фазовых траекторий. Собственно, даже без магнитного поля такие зоны обнаружены в случаях, когда граница отличается от эллипса [46, 47, 52]. Результаты С.В. Болотина [7] приводят к естественному предположению о том, что интегрируемым биллиардом с регулярной границей может быть только эллиптический биллиард Биркгофа.

Доказательство неинтегрируемости биллиарда в однородном магнитном поле, данное в [26], использует явление расщепления сепаратрис. Впервые оно было обнаружено Пуанкаре [37] в гамиль-тоновых системах. Он же указал на связь этого явления с отсутствием дополнительного аналитического интеграла гамильтоновой системы. В дальнейшем расщепление сепаратрис стало одним из основных инструментов при доказательстве неинтегрируемости (подробный исторический комментарий и библиография имеются в работе С.Л. Зиглина [15] и книге В.В. Козлова [24]).

Еще один способ доказательства неинтегрируемости основан на явлении рождения изолированных периодических решений [23, 37]. В [19] была установлена связь между явлением расщепления сепаратрис и рождением периодических решений в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы. Случай консервативного возмущения многомерной гамильтоновой системы рассмотрен в [53].

В общем случае, когда магнитное поле неоднородное, можно применить вариационную теорию С.П. Новикова. В рамках этой теории понятие о функционале действие и его экстремалях распространяется на случай неоднозначных функционалов, возникающих при рассмотрении движения частицы в магнитном поле. "Включение" магнитного поля выражается во введении в функционал действие дополнительного слагаемого - вектор-потенциала, отвечающего замкнутой 2-форме магнитного поля.

Для исследуемой нами задачи важны результаты теории С.П. Новикова, касающиеся существования замкнутых траекторий необратимых систем с компактным двумерным конфигурационным многообразием (в нашем случае это многообразие гомео-морфно двумерной сфере).

В работах С.П. Новикова и И.А. Тайманова [31, 32, 40] доказана следующая теорема: для существования замкнутой гладкой не-самопересекающейся кривой - минимума функционала действия на некотором компактном двумерном многообразии, вложенном в конфигурационное пространство, достаточно, чтобы длина границы этого многообразия, вычисленная в метрике, согласованной с кинетической энергией, была бы меньше, чем интеграл по этому многообразию от 2-формы магнитного поля.

Если магнитное поле однородно, а границей биллиарда является окружность радиуса г, условие существования хотя бы одной периодической траектории, которое дает теория С.П. Новикова имеет вид г > 2R, где R - радиус Лармора. При этих же предположениях в главе I данной диссертационной работы получено условие существования периодических траекторий в виде г < R.

Другая возможность обобщения задачи о биллиарде Биркгофа заключается в отказе от закона абсолютно упругого отражения от границы. К сожалению, рассеяние энергии не позволяет непосредственно применить в такой постановке метод отображений, предложенный Биркгофом. Дело в том, что в этом случае отображение Пуанкаре не допускает инвариантной меры и поэтому условия классической геометрической теоремы Пуанкаре-Биркгофа не выполнены. Кроме того, в этом случае положение материальной точки на граничной кривой динамического биллиарда не определяется только двумя параметрами.

Однако, если движение материальной точки между отражениями происходит по инерции (то есть форма отрезка траектории между соударениями не зависит от начальных данных), то при выполнении специальных гипотез о законе отражения двузвенные замкнутые траектории биллиарда наследуются из случая абсолютно упругого отражения (см., например, работу И.И. Чигура [44]). Построение соответствующего двумерного отображения позволяет исследовать устойчивость периодических траекторий и в этом случае.

В диссертации рассмотрен круг вопросов, часто встречающихся в задачах теоретической механики применительно к биллиардам. Доказано существование и исследованы свойства устойчивости периодических траекторий для некоторых задач - как уже обсуждавшихся ранее другими авторами, так и новых, ранее не изучавшихся.

Данная диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Поликарпов, Сергей Алексеевич, 2004 год

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: УРСС, 2000. 408 стр.

2. Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 1999. 284 стр.

3. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики М.: Эдиториал УРСС, 2002. 416 стр.

4. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. 456 стр.

5. Берже М. Геометрия. Т. II. М.: Мир, 1984. 366 стр.

6. Болотин С.В. Либрационные движения натуральных динамических систем // Вестн. Моск. Ун-та. Сер.1, Математика. Механика. 1978. №6. С. 72-77.

7. Болотин С.В. Интегрируемые бильярды Биркгофа // Вестн. Моск. Ун-та. Сер.1, Математика. Механйка. 1990. №2. С. 3336.

8. Болотин С.В. Козлов В.В. Либрация в системах со многими степенями свободы // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 2. С. 245-250.

9. Белецкий В.В., Панкова Д.В. Связка двух тел на орбите как динамический биллиард // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 1995. №7. 32 стр.

10. Белецкий В.В., Березинская С.Н., Кугушев Е.И., Сорокина О.В. О периодических движениях динамических биллиардов // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2003. № 14. 28 стр.

11. Биркгоф Д. Динамические системы. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999. 408 стр.

12. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения. Т.1. М.:Эдиториал УРСС, 1998. 336 стр.

13. Журавлев В.Ф. Уравнения движения механических систем с идеальными односторонними связями // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 5. С. 781-788.

14. Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. М.-Л.: Гостехиздат, 1938. 400 стр.

15. Зиглин С.Л. Расщепление сепаратрис и несуществование первых интегралов в системах дифференциальных уравнений типа гамильтоновых с двумя степенями свободы // Известия АН СССР. Серия математическая, 1987. Т. 51. №5. С. 1088-1103.

16. Иванов А.П., Маркеев А.П. О динамике систем с односторонними связями // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 4. С. 632-636.

17. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических. М.: Мир, 1982. 416 стр.

18. Козлов В.В. Принцип наименьшего действия и периодические решения в задачах классической механики // ПММ. 1976. Т. 40. Вып. 3. С. 399-407.

19. Козлов В.В. Расщепление сепаратрис и рождение изолированных периодических решений в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы // УМН. 1986. Т. 41. Вып.5(251). С. 177-178.

20. Козлов В.В. Двузвенные биллиардные траектории: экстремальные свойства и устойчивость // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 6. С. 942-946.

21. Козлов В.В. О периодических решениях уравнения Дуффин-га // Труды научного семинара под руководством академика К.В. Фролова. М., 1998. С. 75-88.

22. Козлов В.В., Трещев Д.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991. 168 стр.

23. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.: Изд-во МГУ, 1980. 232 стр.

24. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмуртского университета, 1995. 432 стр.

25. Козлов В.В., Поликарпов С.А. О периодических траекториях биллиарда в магнитном поле // ПММ (принято к публикации в 2004г.).

26. Козлова Т.В. Неинтегрируемость вращающегося эллиптического биллиарда // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 1. С. 87-91.

27. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики. Механика. Электродинамика. М.:На'ука, 1969. 272 стр.

28. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космо-динамике. М.:Наука, 1978. 312 стр.

29. Маркеев А.П. О сохраняющих площадь отображениях и их применении в динамике систем с соударениями // Известия РАН. Механика твердого тела. 1996. №2. С. 37-54.

30. Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях // Труды Московского Математического общества. 1963. Т.12. С. 3-52.

31. Новиков С.П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса // УМН. 1982. Т.37. Вып.5(227). С. 3-49.

32. Новиков С.П., Тайманов И.А. Периодические экстремали многозначных или не всюду положительных функционалов // ДАН СССР. 1984. Т. 274. №1. С. 26-28.

33. Поликарпов С.А. Расщепление сепаратрис и рождение невырожденных долгопериодических решений в случае неконсервативного возмущения гамильтоновых систем // Регулярная и хаотическая динамика. 2001. Т. 6. №1. С. 47-52.

34. Поликарпов С.А. О периодических траекториях биллиарда в однородном поле тяжести // Вестн. Моск. Ун-та. Сер.1, Математика. Механика. 2002. №5. С. 42-45.

35. Понтрягин JI.C. О динамических системах, близких к гамиль-тоновым // Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1934. Т.4. №9. С. 883-885.

36. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // В кн. Избр. труды. Т. I-II. М.: Наука, 1971. 771 стр. 1972. С. 7-356.

37. Пуанкаре А. Об одной геометрической теореме //В кн. Избр. труды. Т. II. М.: Наука, 1972. С. 775-807.

38. Пуанкаре А. О геодезических линиях на выпуклых поверхностях // В кн. Избр. труды. Т. II. М.: Наука, 1972. С. 733-774.

39. ТаймановИ.А. Несамопересекающиеся замкнутые экстремали многозначных или не всюду положительных функционалов // Изв. АН СССР. Сер. Математическая. 1991. Т.55. №2. С. 367383.

40. Трещев Д.В. К вопросу о существовании периодических траекторий бильярда Биркгофа // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1987. №5. С. 72-75.

41. Трещев Д.В. Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем. М.: ФАЗИС, 1998. 184 стр.

42. Уиттекер Э. Аналитическая динамика. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999. 588 стр.

43. Чигур И.И. О ветвящихся биллиардах // Вести. Моск. Ун-та. Сер.1, Математика. Механика. 1991. №1. С. 68-72.

44. Beletsky V.V., Kasatkin G.V., Starostin E.L. The pendulum as a dynamical billiard // Chaos, Solitons & Fractals. 1996. Vol 7. No. 8. 1145-1178.

45. Delshams A., Ramirez-Ros R. Poincare-Melnikov-Arnold method for analytic planar maps // Nonlinearity. 1996. V. 9. No. 1. P. 1-26.

46. Levallois P., Tabanov M.V. Separation des separatrices du billiard elliptique pour une perturbation dinamique et symetrique d'ellipse // C.r. Acad. Sci. Paris. 1993. V. 316. No. 6. P. 589-592.

47. Markeev A.A. The method of pointwise mappings in the stability problem of two-segment trajectories of the Birkhoff billiards // Amer. Math. Soc. Transl. 1995. Vol. 168. (2). P. 211-226.

48. Morozov A.D. Quasi-conservative systems: cycles, resonances and chaos. World Scientific Publishing Co. 1998. 326 p.

49. Robnik M. Regular and chaotic billiard dynamics in magnetic fields // Nonlinear Phenomena and Chaos. Bristol; Boston: Adam Hilger. 1986. P. 303-330.

50. Robnik M. Berry M.V. Classical billiards in magnetic fields //J. Phys. A: Math. Gen. 1985. 18. N. 9. 1361-78.

51. Tabanov M.V. Separatrices splitting for Birkhoff's billiard in symmetric convex domain, closed to an ellipse // Chaos. 1994. P. 595-606.

52. Treshev D.V. Hyperbolic tori and asymptotic surfaces in Hamiltonian systems // Russian Journal of Mathematical Physics 1991. Vol.2. No. 1. P. 93-110.