Правильные и апериодические структуры в пространствах постоянной кривизны тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор физико-математических наук Долбилин, Николай Петрович

• Долбилин, Николай Петрович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Долбилин, Николай Петрович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Разбиения, локальные теоремы

§ 1. Разбиение пространства, группа симметрий разбиения.

§ 2. Короны в разбиениях; перечисляющая функция.

§ 3. Локальная теорема для разбиений.

§ 4. Обобщенная локальная теорема

§ 5. О разбиениях евклидовой и гиперболической плоскостей.

ГЛАВА II. Теорема о продолжении.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Обобщенные (d — 2)-короны.

§ 3. Формулировка теоремы о продолжении.

§ 4. Доказательство теоремы.

§ 5. Приложения теоремы о продолжении.

§ 6. Кристаллографические кластеры.

ГЛАВА III. Перечисляющая функция для (г, Л)-множеств

§ 1. (г, Я)-множества, кристалл.

§ 2. Перечисляющая функция и характер множества.

§ 3. Локальная теорема для кристалла.

§ 4. Перечисляющая функция для кристалла.

ГЛАВА IV. Глобальный критерий кристалла.

§ 1. Формулировка критерия.

§ 2. Понятие р-точки.

§ 3. Доказательство глобального критерия.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Правильные и апериодические структуры в пространствах постоянной кривизны»

В диссертации рассматриваются два типа геометрических структур в полных односвязных пространствах постоянной гауссовой кривизны (в евклидовом, сферическом или пространстве Лобачевского). Это - разбиения пространств на многогранники и (г, R)-множества или, как иначе их называют, множества Делоне. В силу важности приложений нас прежде всего будут интересовать разбиения с достаточно богатой симметрией: правильные и мультиправильные (кристаллографические) множества точек и разбиения пространства. Эта область геометрии имеет древнюю историю. Проекция правильного многогранника из его центра на вписанную сферу является особым случаем правильного разбиения двумерной сферы. Список из пяти правильных многогранников представляет собой результат решения, пожалуй, первой классификационной задачи в теории правильных разбиений.

Мощный толчок развитию теории правильных разбиений и смежных вопросов дала высказанная в первой половине XIX столетия гипотеза о правильности внутреннего строения кристаллов. В работах О. Браве, Г. Фробениуса, К. Жордана, Е.С. Федорова, Г.Ф Вороного, А. Шенфлиса, Г. Минковского и других была развита теория правильных разбиений пространства, конечных групп движений и кристаллографических групп. Федоров [88] и Шенфлис [93] нашли все кристаллографические группы движений трехмерного евклидова пространства. Всего, с точностью до сопряженности в группе аффинных преобразований, трехмерных кристаллографических групп - 219. Помимо этого Шенфлис доказал, что всякая кристаллографическая группа движений в трехмерном евклидовом пространстве содержит подгруппу параллельных переносов конечного индекса. Вороной [15] разработал метод непрерывных параметров изучения параллелоэдров Дирихле-Вороного, в частности построил алгоритм для нахождения типов параллелоэдров Дирихле-Вороного. Минковс-кий создал новое направление - геометрию чисел, которая имеет многочисленные приложения в теории кристаллических решеток [70].

В 1900 г. Д. Гильберт [18] в XVIII проблеме, состоящей из двух вопросов, поставил задачу обобщить для пространства любой размерности теорему Шенфлиса. Л.Бибербах ([8],[9]) доказал существование в любой «¿-мерной кристаллографической группе трансляционной подгруппы конечного индекса (1911 г.).

Актуальность исследований в теории правильных разбиений и (г, Д)-множеств стала несомненной после открытия явления дифракции рентгеновских лучей на кристаллах (М. Лауэ, 1912). Это открытие окончательно подтвердило, что внутреннее строение кристаллов имеет периодическую структуру.

Большой вклад в изучение правильных разбиений и точечных (г, Л)-множеств (преимущественно в евклидовом пространстве) был сделан Б.Н. Делоне, Б.А.Венковым, А.Д.Александровым, С.С.Рышковым, В.С.Макаровым (в основном в пространстве Лобачевского), Е.П.Барановским, М.И.Штогриным, Р.В.Галиулиным и др. ([1], [32], [81], [65], [94], [16]).

Б.Н.Делоне ([27], [29]) создал элементарный "метод пустого шара" который оказался полезным для изучения (г, К)-множеств и связанных с ними разбиений Вороного и Делоне. В последнее время, в связи с развитием вычислительной техники, этод метод породил целое направление в вычислительной геометрии (триангуляции Делоне). Тысячи работ посвящены изучению триангуляций и множеств Делоне и их многочисленным приложениям в математике, физике, химии, компьютерной графике и т.д.

В 1961 г. Делоне нашел оценку сверху для числа граней у выпуклого стереоэдра - многогранника правильного разбиения [31]. Отсюда была выведена конечность числа комбинаторно неэквивалентных типов нормальных правильных разбиений пространства на выпуклые многогранники. Опираясь на этот результат, а также на метод пустого шара, Б.Н.Делоне и Н.Н.Сандакова [32] построили общую теорию правильных разбиений Вороного евклидова пространства. Значительный прогресс в проблеме классификации правильных разбиений Вороного пространства для данной кристаллографической группы был достигнут за счет создания методов, соответствующих конкретным кристаллографическим группам. Чтобы найти все типы разбиений трехмерного пространства на стереоэдры Вороного для второй триклинной группы М.И.Штогрин создал метод мулъ-тирешетки. Для исследования параллелоэдров Дирихле-Вороного С.С.Рышков и Е.П.Барановский создали метод С-типов, с помощью которого они нашли все 5-мерные параллелоэдры Вороного общего типа. Область возможного применения этих методов шире, однако реализация их становится невозможной без привлечения компьютеров.

Мощный вычислительный метод в теории разбиений пространства был разработан А.Дрессом ([52], и его учениками [53]). Каждое кристаллографическое разбиение пространства на многогранники описывается при помощи некоторого конечного графа - так называемого символа Делэни. Разработанный метод с помощью этого символа позволяет эффективно описывать комбинаторные типы т-эдральных нормальных разбиений трехмерного пространства при условии, что число граней многограников, а также число многогранников, сходящихся в вершинах и ребрах разбиения ограничены константой. Однако этот метод не дает способа определять, какие из этих комбинаторных типов реализуются как кристаллографические разбиения пространства на выпуклые многогранники.

Новый шаг в теории правильных разбиений и точечных систем был сделан 25 лет назад. Благодаря так называемой локальной теореме (Делоне, Галиулин, Долбилин и Штогрин), правильность дискретной системы выводится из попарной конгруэнтности ее локальных фрагментов некоторого радиуса вокруг каждой точки системы, а в случае разбиений - из попарной конгруэнтности корон некоторого радиуса вокруг каждого многогранника. В частности, эта теорема подтверждает интуитиное представление о локальных причинах правильного строения кристаллов1: "Если атомы в веществе движутся не слишком активно, они сцепляются и располагаются в конфигурации с наименьшей энергией. Если атомы где-то разместились так, что их расположения отвечают самой низкой энергии, то в другом месте атомы создадут такое же расположение. Поэтому в твердом веществе расположение атомов повторяется . снова и снова и, конечно, во всех трех измерениях."

Однако в открытых четверть века назад мозаиках Пенроуза, как и в кристалле, каждый сколь угодно большой конечный фрагмент разбиения повторяется бесконечное число раз. Тем не менее мозаики Пенроуза не периодические, так что 'дальний порядок' и периодичность - не синонимы. В этом контексте локальная теорема приобретает особый интерес потому, что она дает четкий ответ на то, при каких локальных условиях разбиение (или множество точек) является правильным и, следовательно, по теореме Шенфлиса-Бибербаха периодическим.

В связи с этим является важной следующая задача: описать автономно от разбиения те локальные условия, которые нужно наложить на некоторую конечную совокупность многогранников (корону), которые бы гарантировали продолжение короны до правильного разбиения.

Решению этой задачи посвящена глава II. Доказываемая в ней те

1Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике , "Мир", Москва (1966) том 7, с. 5. орема о продолжении непосредственно связана с проблемой существования разбиения пространства на многогранники, конгруэнтные данному. В этой проблеме, одной из центральных в теории разбиений, можно выделить три задачи.

A) Дан многогранник Р, описать условия, при которых он допускает какое-либо разбиение пространства, то есть условия, при которых существует разбиение пространства на многогранники, конгруэнтные данному.

B) Описать условия на многогранник, при которых он допускает правильное разбиение пространства.

C) При каких условиях многогранник является фундаментальной областью некоторой дискретной группы движений?

Наиболее общая задача (А) не решена.

Нами полностью решена задача (В) (об этом ниже).

Более частная задача (С) имеет богатую историю, восходящую к исследованиям Пуанкаре по теории фуксовых групп (дискретных групп собственных движений на плоскости Лобачевского). Во многих работах исследовались разные классы многогранников на предмет того, являются ли они фундаментальными областями дискретных групп движений. Наиболее важными частными случаями решения этой задачи есть многогранники Коксетера, которые являются фундаментальными областями для дискретных групп, порожденных отражениями [20], а также теорема Б.А.Венкова о фундаментальных областях для дискретных групп параллельных переносов в евклидовом пространстве. Венков доказал, что евклидов многогранник, для которого выполняются три условия - (1) он имеет центр симметрии; (2) все (й— 1)-мерные грани также имеют центры симметрий; (3) проекция вдоль каждой (с? — 2)-мерной грани на дополнительную 2-плоскость является либо параллелограммом, либо центрально-симметричным шестиугольником; - является параллелоэдром. Общая теория фундаментальных многогранников для дискретных групп развивалась во многих работах (А.Д.Александров [1], Г.Абельс [86], Б.Маскит [69] и др.). Итогом этих усилий является общая теорема об условиях, при которых многогранник является фундаментальной областью дискретной группы (см. например, [14]). Предполагается, что на множестве [в, — 1)-граней ¿-мерного многогранника Р определена инволютивная подстановка, при которой для каждой грани Р определено движение др (преобразование смежности) , переводящее грань Р в соответствующую грань Р' и многогранник Р - в многогранник, лежащий по другую сторону от гиперплоскости грани Р'. Требуется также, что для каждой (с? — 2)-мерной грани многогранника Р существует последовательность преобразований смежности §1, ,., которой соответствует цепь многогранников Р» = • • • ®»Р, г — 0,. к, "обходящих" (с? — 2)-мерную грань. Если при этом з^-^вк =1с1, то группа, порожденная преобразованиями смежности, дискретна, и многогранник Р является ее фундаментальной областью. Реализация этого метода при (1 > 3, вообще говоря, наталкивается на серьезные комбинаторные и геометрические трудности.

Вернемся к задаче (В) о существовании правильного разбиения с данным многогранником независимо от того, является он фундаментальной областью для какой-либо подгруппы полной группы этого разбиения или нет. Теорема о продолжении утверждает, что данный многогранник разбивает пространство правильным образом тогда и только тогда, когда его можно окружить короной, состоящей из многогранников, конгруэнтных ему, удовлетворяющей двум условиям. Одно из них - совпадение группы симметрий короны с группой короны радиуса на единицу меньшего. Другое - существование у короны сдвигов, при которых образы короны согласованы с самой короной.

Теорема о продолжении сводит задачу перечисления всех нормальных правильных разбиений пространства на многогранники, конгруэнтные данному, к перечислению всех корон с этими условиями. Радиус корон, которые необходимо проверить для перечисления всех правильных разбиений с данным многогранником, а также количество корон каждого радиуса, могут быть ограничены в зависимости от данного многогранника.

Задача проверки существования корон, рассматриваемых в теореме о продолжении, вообще говоря, сложная, но для некоторых многогранников решается просто. В частности, из коксетеровского многогранника при помощи отражений в плоскостях его (о? — 1)-мерных граней легко построить "каноническую" корону радиуса 1, удовлетворяющую обоим условиям теоремы о продолжении. Поэтому кок-сетеровский многогранник с канонической короной допускает единственное правильное разбиение пространства. Стабилизатор многогранника в группе симметрий разбиения совпадает с группой сим-метрий многогранника. Из теоремы о продолжении вытекает также, что дискретная группа, порожденная отражениями в плоскостях его (¿— 1)-мерных граней, действует тразитивно на многогранниках разбиения, а коксетеровский многогранник является для нее фундаментальной областью. Вообще говоря, коксетеровский многогранник может допускать и другие, неканонические короны, удовлетворяющие условиям теоремы о продолжении. В этом случае многогранник допускает другие правильные разбиения. Группы симметрий этих разбиений не содержат группу, порожденную отражениями в плоскостях (с? — 1)-граней коксетеровского многогранника.

Теорема Венкова также легко следует из теоремы о продолжении потому, что из многогранника с тремя перечисленными выше условиями Венкова можно построить "каноническую" корону радиуса 1, удовлетворяющую обоим условиям теоремы о продолжении. Однако, как и многогранник Коксетера, параллелоэдр может допускать и другие короны, которые также удовлетворяют условиям теоремы о продолжении.

В §5 главы II также рассматриваются многогранники, у которых двугранные углы между смежными (в, — 1)-мерными гранями ^ и Fj равны 27г/т^, причем, если в многограннике для некоторого угла т^ нечетно, то многогранник симметричен относительно биссекторной гиперплоскости, проходящей через (с? — 2)-мерную грань этого угла (квазикоксетеровский многогранник). Если для всех двугранных углов гпц четны, то мы имеем дело с коксетеровским многогранником. Из всякого квазикоксетеровского многогранника также легко построить "каноническую" корону радиуса 1, удовлетворяющую условиям теоремы о продолжении. Поэтому квазикоксетеровский многогранник допускает правильное разбиение. Стабилизатор многогранника разбиения в группе симметрий этого разбиения совпадает с группой симметрий многогранника. Дискретная группа, порожденная отражениями относительно плоскостей граней многогранника, действует транзитивно на получившемся правильном разбиении. Но если хотя бы для одного двугранного угла значение Шу нечетно, то стабилизатор многогранника в этой группе нетривиален. Он является группой, порожденной отражениями в упомянутых биссекторных плоскостях.

Доказательство теоремы о продолжении опирается на теорему Александрова о разбиении односвязного пространства.

Фундаментальный для некоторой дискретной группы многогранник разбивает пространство правильным образом. Обратное, вообще говоря, неверно. Имеются правильные разбиения, которые не фундаментальны. Правильным, но не фундаментальным разбиением на сфере Э2 является проекция правильного икосаэдра из его центра на вписанную сферу. Это разбиение сферы не фундаментально потому, что всякая подгруппа группы икосаэдра, транзитивно действующая на его гранях, содержит нетривиальный стабилизатор грани. Это единственное разбиение на сфере, которое можно составить из этого правильного треугольника (проекции треугольной грани икосаэдра на сферу). Поэтому данный треугольник не является фундаментальной областью ни для какой дискретной группы, действующей на 2-сфере. Заметим, что этот треугольник является квазикоксете-ровским.

Вопрос, существуют ли в евклидовом пространстве многогранники, которые не являются фундаментальными областями группы движений, но с помощью которых можно заполнить пространство правильным образом, чрезвычайно близок ко второму вопросу, поставленному Гильбертом в XVIII проблеме: существуют ли, кроме того, такие многогранники, которые не являются фундаментальными областями группы движений, но с помощью которых все же можно заполнить все пространство без пробелов соответствующим укладыванием конгруэнтных экземпляров этих многогранников.

В 1927 г. К. Рейнхард [79] нашел 3-мерный евклидов многогранник, допускающий разбиение пространства, но не являющийся фундаментальной областью ни для какой дискретной группы. Аналогичный пример евклидова многоугольника привел X. Хееш [90]. Поставим другой, очень близкий к вопросу Гильберта, вопрос: существует ли многогранник, допускающий разбиение пространства, но ни одно из этих разбиений не является мультиправильным (кристаллографическим) .

Сравнительно недавно был обнаружен трехмерный евклидов выпуклый многогранник (бипризма Шмитта-Конвея-Данцера), для которого существуют разбиения пространства на одинаково ориентированные экземпляры [23]. Любое из этих разбиений является непериодическим, то есть группа симметрий не содержит параллельных переносов. В то же время бипризма вместе со своей зеркальной копией допускает даже правильное разбиение пространства. Однако при помощи несложной модификации бипризмы, можно получить невыпуклый многогранник, который тоже разбивает пространство (§2 главы V). Любое разбиение пространства на модифицированные бипризмы может содержать лишь одинаково ориентированные многогранники. Вследствие этого модифицированная бипризма разбивает пространство лишь некристаллографическим образом.

Рассмотрим акристаллографический многогранник, то есть такой многогранник, который допускает разбиение пространство, но каждое такое разбиение - некристаллографическое. Как следует из доказанной в диссертации теоремы о несчетности семейств, не содержащих кристаллографических разбиений, множество всех попарно различных разбиений пространства, допускаемых акристаллогра-фическим многогранником, должно быть несчетным.

Даны конечное множество (так называемое протомножество) V многогранников а также 'локальное правило', определяющее порядок примыкания многогранников друг к другу. Множество всех разбиений пространства на многогранники, конгруэнтные многогранникам из протомножества, подчиняющихся заданному локальному правилу образуют семейство. Непустое семейство разбиений пространства называется акристаллографическим, если любое разбиение в семействе не является кристаллографическим. Аналогично, непустое семейство разбиений евклидова пространства называется апериодическим, если в нем нет разбиений с трансляционной симметрией. По теореме Шенфлиса-Бибербаха апериодическое семейство является акристаллографическим.

Понятие апериодического семейства появилось в 1960-е г.г. в работах Вэнга (H.Wang) и Бергера (R.Berger) о неразрешимости "проблемы разбиений". Семейство мозаик Р.Пенроуза (1974) является апериодическим семейством разбиений на плоскости из многоугольников двух видов. Существует ли евклидов многоугольник, который допускает лишь непериодические разбиения - неизвестно. Повиди-мому, ближе всех подошел к этой задаче Р. Пенроуз [74], который нашел апериодическое семейство разбиений евклидовой плоскости, обозначенное им как 1 -\-е + £2-семейство. Протомножество Пенроуза состоит из трех многоугольников, два из которых могут быть выбраны по сравнению с третьим сколь угодно маленькими по площади.

Теорема о несчетности акристаллографических семейств естественным образом обобщает известные до этого отдельные факты о несчетности, например, семейства узоров Пенроуза, а также тех апериодических семейств разбиений, которые получаются методом сечения и проекции (cut and projection).

В связи с открытием в природе непериодических структур, обладающих 'дальним порядком', появились новые подходы к изучению таких структур. Одним из новых инструментов изучения дискретных множеств X в (¿-мерном евклидовом пространстве является перечисляющая функция Nx{p), которая, по определению, равна числу попарно неконгруэнтных окрестностей радиуса р, встречающихся в X. Вообще говоря, у дискретного множества число попарно неконгруэнтных окрестностей бесконечно. Множества, для которых эта функция определена для любого р > 0, называются множествами конечного типа. Во многих работах (М.Бааке, Д.Лагариас, Р.Муди, П.Плэзантс и др.) изучается зависимость между характером множества X конечного типа, и поведением его перечисляющей функции Nx{p)- Пусть множество X есть кристалл ( то есть дискретное множество в ¿-мерном евклидовом пространстве, состоящее из конечного числа кристаллографических орбит). Кристалл, очевидно, является примером множества конечного типа, а перечисляющая функция для него равна некоторой константе для всех р > ро. Для точечных множеств X, определенным образом ассоциированных с квазипериодическими мозаиками Пенроуза на плоскости, функция Nx(p) ведет как 0(р2). Одна из гипотез (П.Плэзантс), относящихся к перечисляющей функции, утверждает, что для каждого целого n, 1 < п < d, существует такая константа cn(d,r,R), что если для (г, Л)-множества X функция Nx(p) < cn(d,r,R)pn для всех р > ро? то множество X обладает по крайней мере (d — п + 1)-мерной трансляционной группой симметрий.

В главе III диссертации эта гипотеза доказана для п = 1. Тем самым показано, что если функция Nx{p) меньше, чем ci(d,r,R)p, то X является кристаллом, а функция Nx(p) остается равной некоторой константе т для всех р > ро> Для п > 1 задача остается нерешенной. Полученная оценка для перечисляющей функции Nx{p) неулучшае-ма с точностью до коэффициента. В § 2 главы III дается пример (г, R)-множества X С Е2 конечного типа, не являющегося кристаллом, с перечисляющей функцией Nx(p) — О(р).

Наряду с исследованиями правильных систем локального характера была обнаружена несколько неожиданная теорема (глобальный критерий кристалла). Пусть X С ~Ed - дискретное множество и у G Ed. Рассмотрим глобальную звезду StyX с центром в у - множество всех отрезков, соединяющих точку у со всеми точками х G X. В главе IV доказывается, что если для дискретного множества X в (¿-мерном евклидовом пространстве его глобальные звезды с центрами в некотором множестве Y все попарно конгруэнтны, то X -кристалл, где от множества Y центров глобальных звезд требуется, чтобы одна из его точек находилась внутри выпуклой оболочки, натянутой на остальные точки. То, что это условие является необходимым для всякого кристалла, очевидно. Достаточно взять в качестве множества Y одну из кристаллографических орбит, входящих в данный кристалл.

Следующее утверждение является частным случаем этой теоре