Поведение жидкостей с горизонтальной поверхностью раздела при касательных вибрациях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Хилько, Григорий Леонидович

• Хилько, Григорий Леонидович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хилько, Григорий Леонидович

Содержание

Введение

Обзор литературы

Общая характеристика работы

Глава 1. Генерация средних течений в двухслойной системе под действием вибраций круговой поляризации

1.1. Постановка задачи

1.2. Квазипотенциальное приближение

1.3. Собственные колебания

1.4. Пульсационное течение

1.5. Динамический пограничный слой

1.6. Осредненное течение

1.7. Результаты численного счета

1.8. Круговые качания

Глава 2. Длинноволновая неустойчивость поверхности раздела сред в высокочастотном касательном к поверхности вибрационном поле. Невязкая теория

2.1. Постановка задачи

2.2. Приближение "мелкой воды"

2.3. Длинноволновые нелинейные режимы поведения жидкостей

2.4. Устойчивость границы раздела

2.5. Результаты численного моделирования

Глава 3. Длинноволновая неустойчивость поверхности раздела в высокочастотном горизонтальном вибрационном поле. Вязкая теория

3.1. Вывод основных уравнений

3.2. Линейная теория устойчивости. Результаты численного решения задачи о возмущениях

3.3. Решение задачи в асимптотическом случае больших вязкостей

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Поведение жидкостей с горизонтальной поверхностью раздела при касательных вибрациях»

Введение

Обзор литературы

Вибрации нередко приводят во множестве механических систем, в том числе гидродинамических, к крайне интересным резонансным и осредненным эффектам.

Даже столь простая система, как математический маятник с колеблющейся точкой подвеса демонстрирует нетривиальное поведение [1]. В отсутствии вибраций в поле тяжести маятник имеет два положения равновесия: неустойчивое верхнее и устойчивое нижнее. Вертикальные вибрации точки подвеса с частотой, равной или кратной собственной частоте маятника, могут сделать нижнее положение неустойчивым, а верхнее устойчивым. Горизонтальные высокочастотные вибрации [2] точки подвеса при достаточной интенсивности приводят к появлению новых устойчивых положений равновесия.

В экспериментах [3] наблюдались парадоксальные с интуитивной точки зрения эффекты поведения твердого тела, погруженного в жидкость, сосуд с которой совершал вертикальные колебания высокой частоты. При достаточной интенсивности колебаний тела с плотностью, превышающей плотностью жидкости, всплывали.

Хотя первые эксперименты, продемонстрировавшие осредненные эффекты были проделаны еще Фарадеем в первой половине XIX века, вновь интерес к вибрационному поведению гидродинамических систем появился лишь в середине XX века. Отчасти это было вызвано многочисленными техническими приложениями для вибраций, в том числе в космической области [4, 5].

Большое количество вибрационных эффектов описано в [6].

Рябь Фарадея

Среди тем исследований влияния вибраций на поведение гидродинамических систем с поверхностью раздела, вне всякого сомнения, одной из наиболее популярных в научной литературе является т.н. "рябь Фарадея" - параметрический резонанс при нормальных к поверхности раздела вибрациях. Первая работа, посвященная параметрическому резонансу колебаний свободной поверхности жидкости [7] была опубликована Фарадеем в 1831 г. В ней описан ряд экспериментов, в том числе эксперименты по возбуждению стоячих волн на поверхности жидкости, налитой на вибрирующую в вертикальном направлении пластинку. Теоретически эффекты в [7] были объяснены в [8, 9] Рэлеем на основе теории идеальной жидкости. Рэлей показал, что рябь Фарадея есть проявление параметрического резонанса, что объяснило наблюдавшиеся соотношения частот: частота возбуждаемых волн была равна половине частоты вибраций пластинки.

Интерес к теме вновь возродился в 50-х годах XX века, когда появились эксперименты с количественным описанием эффекта. В экспериментах Вольфа [10, 11] было обнаружено, что высокочастотные вертикальные вибрации сосуда, содержащего несмешивающиеся жидкости, могут подавить развитие неустойчивости Рэлея-Тейлора, возникающей при инверсном положении сред - тяжелая жидкость расположена поверх легкой. Ранее этот же эффект наблюдался в [12].

В работе [12] развита линейная теория ряби Фарадея для свободной поверхности невязкой жидкости. В ее рамках возбуждение возможно при сколь угодно малой амплитуде вибраций. В экспериментах, однако, рябь всегда возбуждается пороговым образом. Связано это с диссипативными эффектами, и потому порог не может быть определен в рамках модели идеальной жидкости.

Теоретически эффект изучался в [13], граница устойчивости определялась численно путем приближенного расчета определителя Хилла.

Порог возбуждения параметрических волн впервые определен в [14], где учет вязкости произведен феноменологически с проведением экспериментальной работы, путем подстановки демпфирующего слагаемого, квадратично зависящего от скорости колебания границы раздела, в уравнение Матье, описывающее поведение поверхности

о <» о

невязкой жидкости при наличии вертикальных вибрации.

Стоит отметить, что значительная часть работ по данной тематике, выполненное советскими учеными была опубликована в составе сборников статей и препринтов, а не в центральных журналах, поэтому не имеет известности в мировой науке.

Аналитически задача описания ряби Фарадея с учетом вязкости была решена в работах [15, 16, 17, 18].

В работе [16] экспериментально и аналитически рассматривалась стабилизация поверхности раздела не только вибрационными вертикальными инерционными полями, но и вращающимися электрическими и магнитными, жидкость была диэлектриком и диамагнетиком. При этом, как оказалось, для воздействия магнитными и электрическими полями также имел место параметрический резонанс.

В [17] аналитически рассматривается влияние переменных полей инерционной, электрической, магнитной природы на устойчивость равновесия плоской поверхности жидкости. Показано, что переменные поля могут предотвратить развитие неустойчивости Рэлея-Тейлора.

В [18] построена нелинейная теория параметрически возбуждаемых волн на поверхности жидкости с учетом вязкого скин-слоя. Определены области существования стационарных волновых структур, исследована их устойчивость. Основные результаты [15, 16, 17, 18] была впоследствии включены в [19].

Стоит отметить также ряд теоретических и экспериментальных работ [20, 21, 22], в которых изучались параметрические волны не на свободной поверхности жидкости, а на поверхности раздела несмешивающихся жидкостей.

На Западе впервые нелинейная теория ряби Фарадея была построена в [23] на основе модели идеальной жидкости. Вязкость либо не учитывалась, либо вводилась феноменологическим образом в предположении, что вязкая сила действующая на элементарный объем жидкости пропорциональна его скорости. В дальнейшем нелинейная теория ряби Фарадея развивалась в [24, 25, 26, 27, 28, 29, 30].

Более подробный обзор работ по ряби Фарадея есть в [19, 31, 32].

Касательные колебания линейной поляризации. Параметрический резонанс

В [33] исследовалась устойчивость плоской поверхности раздела двух осциллирующих параллельных потоков идеальных жидкостей, при этом вид вынуждающей вибрационной силы не конкретизировался, что делало рассмотрение пригодным как для вертикальных, так и горизонтальных вибраций. Рассмотрение проводилось для бесконечно глубоких жидкостей. Было показано сведение задачи о параметрическом резонансе к уравнению Матье.

В работе [34] продолжено построение теории параметрического резонанса для касательных вибраций. В отличие от [33], рассматривается случай слоев конечной глубины, для которого также выполнено сведение невязкой задачи к уравнению Матье. Численно исследована эволюция нейтральной кривой с учетом вязкости. Показано, что для значительных вязкостей наиболее опасной является часть кривой, соответствующая неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. В случае же высоких частот резонансная неустойчивость вытесняется в коротковолновую область, где она, видимо, подавляется вязкостью. При этом высказывается

предположение, что неустойчивость Кельвина-Гельмгольца слабо зависит от вязкости.

В работе [35] задача решается аналитически подстановкой демпфирующего слагаемого в уравнение Матье в приближении малых вязкостей. Результаты качественно совпали с результатами [34].

В [36] задача решалась численно другим методом для жидкостей, вязкости которых отличаются на два порядка. Были построены нейтральные кривые для различных наборов параметров системы. Построенные нейтральные кривые зачастую сильно отличаются от тех, которые рассчитываются в невязкой теории.

Касательные колебания линейной поляризации. Неустойчивость Кельвина-Гельмольца

В экспериментальной работе Вольфа [10] было обнаружено, что при горизонтальных колебаниях сосуда поверхность раздела оставалась практически плоской, пока интенсивность вибраций не достигала некоторого порогового значения. После этого поверхность раздела жидкостей могла принимать форму волнового рельефа, практически неподвижного. Сейчас это явление в литературе нередко называют "застывшей волной".

Экспериментальное исследование было продолжено в работах Безденежных [37, 38]. Было обнаружено, что после установления волнового рельефа при дальнейшем увеличении значения вибрационного параметра в системе удваивался пространственный период, а при еще большем росте вибрационного параметра происходило разбиение системы на последовательность чередующихся вертикальных страт тяжелой и легкой жидкостей.

Классическая неустойчивость Кельвина-Гельмгольца на поверхности раздела сред для стационарного потока имеет место, например, при

генерации волн на воде ветром. Впервые она теоретически была рассмотрена Кельвином [39] для невязкой жидкости. Однако, оказалось, что модель Кельвина дает сильно завышенные значения для критической разности скоростей для порога устойчивости, в частности из-за вязкости жидкости. Грубые эмпирические подходы по учету вязкости в задаче о неустойчивости Кельвина-Гельмгольца использовались в частности в [40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47]. Особенность отличий вибрационной задачи, таких как вид невозмущенного течения, делает неперспективным применение этих методов для ее решения.

В случае горизонтальных вибраций теория, описывающая в невязком приближении неустойчивость Кельвина-Гельмгольца и образование "застывших волн", была построена в [48] еще до решения в [34] задачи о параметрическом резонансе. При этом рассматривалась серия нейтральных квазиравновесных возмущений, а прямо устойчивость не анализировалась, что сделало теорию [48] весьма компактной. Выражение для критического значения вибрационного параметра по форме аналогично выражению для неустойчивости Кельвина-Гельмгольца для стационарных потоков. В [48] рассматривались слои равной, но конечной глубины, было показано, что для глубоких слоев жидкости наиболее опасны возмущения с длиной волны порядка капиллярно-гравитационного масштаба, а для тонких слоев имеет место длинноволновая неустойчивость.

Особо случай тонких слоев, когда неустойчивость носит длинноволновый характер, рассмотрен аналитически в [49]. Обнаружено, что в подкритической области существует стационарный режим с солитонной формой поверхности раздела, высказано предположение, что он может быть устойчив. Работа [49] наиболее близка к теме второй главы настоящей диссертации, где эта теория получает дальнейшее развитие.

В работе [50] численно-аналитически рассматривается эволюция возмущений в длинноволновом случае. Авторы [50] не нашли устойчивых квазистационарных режимов, подобных волновому рельефу,

наблюдаемому в случае толстых слоев, удалось наблюдать лишь опрокидывание слоя нижней жидкости к одной из стенок сосуда.

Для глубоких слоев аналитическое и численное рассмотрение поведения системы при горизонтальных вибрациях после прохождения порога неустойчивости выполнено в [51, 52, 53]. В [51] аналитически рассматриваются предельные случаи малых скоростей вибраций (произведения амплитуды на частоту), когда поверхность раздела деформирована слабо, и больших скоростей вибраций, когда тяжелая жидкость в сосуде "опрокидывается" на одну из сторон, вытесняя в другую сторону легкую. Также в [51] сформулирован вариационный принцип для задачи о квазиравновесии, с использованием которого доказывается, что эволюция системы всегда приводит ее к квазиравновесному состоянию. В [53] вариационный принцип был использован для численного поиска квазиравновесных состояний методом минимизации. При этом показана постепенная эволюция системы по мере увеличения параметра скорости вибраций. Показано также, что при одном и том же значении вибрационного параметра система имеет несколько возможных квазиравновесных конфигураций. При этом рассматривался прямоугольный сосуд, с соразмерными высотой и шириной.

В [54] удалось провести слабо-нелинейный анализ при малых надкритичностях с выявлением областей параметров жесткого и мягкого характера неустойчивости в зависимости от высот слоев и соотношения плотностей. Показано в частности, что для случая тонких слоев, когда неустойчивость носит длинноволновый характер, возбуждение всегда носит жесткий характер.

В [55] авторы при моделировании системы развивают подход Level Set. В гидродинамических системах при моделировании методом сеток возникает ряд сложностей при описании поверхностей раздела. Типично это решается введением маркерной функции, в роли которой может выступать плотность, для пограничных ячеек задающей объемную долю

той или иной фазы. В методе Level Set вводится эмпирическая объемная сила, "стягивающая" жидкость к поверхности раздела и препятствующая диффузии маркерной функции. Более подробное описание метода есть в [56, 57]. В [55] искалось течение с квазиравновесной поверхностью раздела, что минимизировало сеточную диффузию маркерной функции и размытие границы раздела. В [55] также наблюдались известные из экспериментов [37, 38] эффекты удвоения пространственного периода и разбиения системы на страты при росте интенсивности вибраций.

В [58] численные расчеты были проведены заново с использованием технологий параллельных вычислений, основные эффекты были подтверждены.

Все основные результаты [39, 48, 49, 52, 53, 54, 55] включены в [19].

Описывая экспериментальное исследование неустойчивости Кельвина-Гельмгольца для касательных вибраций, следует помимо работ Вольфа [10] и Безденежных [37, 38] рассмотреть также более поздние эксперименты.

В [59] был проведен эксперимент, причем кинематическая вязкость верхней жидкости была огромной. Удалось обнаружить неустойчивость Кельвина-Гельмгольца и увидеть образование волнового рельефа.

В экспериментальной работе [60] в качестве жидкостей использовались жидкий углекислый газ и его пары возле критической точки. Причиной столь необычного выбора сред было желание авторов уменьшить капиллярно-гравитационный масштаб, сделав его много меньше размера сосуда. Был получен ряд результатов, в том числе зависимость периода рельефа от отклонения температуры от критической, однако, критическое значение вибрационного параметра было определено грубо, что не позволяло проводить сравнение с [48], можно говорить лишь о качественном соответствии.

Ранее с такой же системой работали в [61], однако, наблюдали иной эффект - вместо квазистационарного рельефа был обнаружен волновой

рельеф, медленно двигающийся в одном направлении со скоростью много меньше скорости вибраций. Пространственный период рельефа в [61] был на порядок больше капиллярно-гравитационного масштаба. Кроме этого наблюдался эффект, не описывающийся теорией [48] - рост порогового значения амплитуды при росте частоты. Возможно, это связано с тем, что с ростом частоты вибраций усиливались также идущие от стенок пульсационные гравитационно-капиллярные волны, оказывающие в нормальных условиях на квазистационарный рельеф разрушительное воздействие. Не исключено, что в [61] наблюдался эффект совершенно другой природы.

В [62] также был поставлен эксперимент, вязкость верхней жидкости была велика, порог устойчивости для высоких частот оказался близок к теоретическому предсказанию [48]. Для случая более низких частот критический вибрационный параметр был даже больше. Хотя здесь необходимо отметить, что в этом случае амплитуда вибраций не была много меньше характерного пространственного масштаба - капиллярно-гравитационного .

В эксперименте [63], где также верхняя жидкость было более вязкой, но уже не на два, а на три порядка, пороговое значение вибрационного параметра оказалось почти в два раза ниже даже для достаточно высоких частот. В [63] была рассмотрена, строго говоря, иная система -поверхность раздела при касательных вибрациях круговой поляризации. Однако, в рамках линейной теории возмущений легко показать, что пороговое значение вибрационного параметра в обоих случаях должно быть одинаковым.

В работах [36, 64] авторы провели эксперимент и численный расчет поведения системы вязких жидкостей при горизонтальных вибрациях линейной поляризации. Для жидкостей с большими значениями вязкости было обнаружено значительное отклонение поведения системы от предсказаний невязкой теории. В случае, когда хотя бы одна из жидкостей

имеет кинематическую вязкость порядка 1 Ст и вязкость верхней жидкости значительно больше вязкости нижней, пороговое значение вибрационного параметра оказывалось меньше, чем в невязкой теории. Результат эксперимента подтвердил выводы [62]. Кроме того, численный анализ показал, в частности, изменение длины волны наиболее опасных возмущений из-за вязкости. Также было показано, что ограниченность размеров сосуда не оказывает значимого эффекта уже при горизонтальных размерах в несколько десятков капиллярно-гравитационных масштабов.

Отличительной особенностью большинства экспериментов является выбор жидкостей, при котором верхняя имеет кинематическую вязкость не менее 1 Ст или даже на порядок больше. Исключение составляют эксперименты с углекислым газом [60, 61], для которых кинематическая вязкость обеих сред имеет порядок 10_3 Ст, и эксперименты [37, 38], где нижняя жидкость была более вязкой, но, наверное, только на один порядок (использовался глицерин и трансформаторное масло, вязкость трансформаторного масла указана не была). Причиной этого являются пульсационные гравитационно-капиллярные волны, идущие от боковых стенок к центру сосуда. При этом, естественно, квазиравновесного течения в центральной части сосуда просто не образуется. Вязкость является единственным известным способом подавить эти волны, ограничив эффективное расстояние их затухания до нескольких сантиметров или миллиметров возле стенки. В связи с этим странно, что в экспериментах [60, 61] вообще удалось получить волновой рельеф. Однако, при этом эксперименты [36, 59, 63, 64] с сильно вязкими жидкостями демонстрируют серьезное расхождение с предсказаниям невязкой теории [48] о критическом значении вибрационного параметра. В [59, 63, 64, 36] верхняя жидкость на порядки более вязкая, чем нижняя, и пороговое значение вибрационного параметра для появления волнового рельефа меньше теоретического в несколько раз.

В [58] проведен ряд численных расчетов с параметрами эксперимента [64]. При этом все они дали в целом один результат - порог неустойчивости ниже, чем предсказывает [48].

Это делает актуальным вопрос построения теории неустойчивости Кельвина-Гельмгольца с учетом вязкости по крайней мере в одной жидкости.

В недавней работе [65] построена численно-аналитическая теория неустойчивости Кельвина-Гельмгольца с учетом вязкости для случая слоев жидкостей бесконечной равной толщины. Авторам [65] удалось добиться хорошего соответствия с [64]. Работа [65] особенно близка к теме третьей главы настоящей диссертации, где та же задача рассмотрена в противоположном случае тонких слоев.

Для случая касательных вибраций эксперименты с тонкими слоями жидкости не проводились.

Любопытно распространение теории [48] на рассмотрение системы жидкость-взвесь. В этом случае, если диссипация взвешенных частиц крайне медленна, то можно считать в грубом приближении взвесь отдельной жидкостью с несколько модифицированной плотностью. А поверхность раздела жидкость-взвесь в таком случае обладает уникальным свойством строгого равенства нулю коэффициента поверхностного натяжения. При этом теория [48] приводит к выводу о беспороговом образовании волнового рельефа, причем длина его волны должна монотонно возрастать с увеличением интенсивности вибраций.

В [66, 67, 68] была экспериментально рассмотрена система жидкость-взвесь, было произведено сравнение с предсказаниями теории [48] для отсутствующего поверхностного натяжения. При качественном соответствии эксперимента с теорией, было обнаружено несколько новых эффектов. Так, волновой рельеф на поверхности раздела не был строго стационарным, а медленно двигался. Причиной несоответствия, видимо,

является отсутствия учета инерционных свойств жидкости и взвешенных частиц.

В теоретической работе [69] введена концентрация частиц взвеси и межфазное трение. При ненулевом отношении времени релаксации скоростей фаз к периоду вибраций появлялось новое существенное отличие - эффективный скачок касательных напряжений на поверхности раздела сред. Для всех конечных значений этого отношения задача об устойчивости решалась численно, и было показано, что качественных изменений нейтральная кривая монотонной неустойчивости не претерпевала, однако, происходила стабилизация, что объяснялось тем, что частицы не успевали среагировать на изменения пульсационной скорости. Эксперименты свидетельствовали о повышении пороговой амплитуды скорости с ростом частоты. Кроме того, наряду с неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца, была обнаружена новая колебательная мода неустойчивости, в некотором диапазоне волновых чисел она была наиболее опасной.

В [70] рассматриваются вибрации эллиптической поляризации в двухмерной задаче. Обнаружено, что даже при слабых поперечных колебаниях результаты сильно отличаются от [48] и [69]. Фрагменты нейтральных кривых монотонной и колебательной мод сложным образом переплетаются при росте амплитуды вертикальных колебаний, в общем случае граница устойчивости образована массой пересекающихся нейтральных кривых. С увеличением амплитуды вертикальных вибраций вначале происходила дестабилизация системы, потом вновь стабилизация. Специфика в том, что вертикальные вибрации не приводят к неустойчивости поверхности раздела в случае двух жидкостей, только в случае жидкость-взвесь, когда колеблющиеся частицы взвеси могут создать неустойчивость. Кроме того, при строго вертикальных вибрациях неустойчивость носит длинноволновый характер. В случае взвеси, кроме того, всегда есть медленное среднее течение, то есть состояние

квазиравновесия не было строгим. Было показано, что колебательная неустойчивость возникает в результате сдвига фаз между жидкостью и частица взвеси.

Ранее похожими задачами о движении песка при вибрации воды над ним занимались с другими теоретическими подходами и экспериментальными постановками в [71, 72, 73, 74, 75, 76, 77]. Отличие [71, 72, 73, 74, 75, 76, 77] было в том, что песок во всех этих работах был не взвешенным, а осевшим на подкладке, естественным следствием чего являлось значительно большее время формирования рельефа, порядка часа и более, в то время, как для систем жидкость-жидкость и жидкость-взвесь рельеф формировался за минуты. В [71] экспериментально наблюдалась эволюция рельефа песка под слоем вибрирующей жидкости. В [72] аналитически рассматривается генерация осредненного течения

__о е/ 1

пульсирующим потом жидкости возле твердой стенки волновой формы. Картина течения в [72] показывает течение жидкости от низин рельефа к его вершинам. Видимо, это же течение переносит песок и реализует рост амлитуды рельефа. В [73] теория развита далее, проведен численный счет. В [74, 75] аналитически рассматривается задача об эволюции рельефа дна при гармонических волнах на свободной поверхности жидкости.

В [78] был проведен более подробный экспериментальный анализ слабо-нелинейных режимов с квазистационарным волновым рельефом на поверхности раздела.

В [79] изучалась длинноволновая неустойчивость горизонтального слоя жидкости налитого на колеблющуюся в горизонтальном направлении пластинку. В [80] это теория получила развитие, были рассмотрены возмущения конечной длины волны.

Интересно, что, как показано в [47] для простой неустойчивости Кельвина-Гельмгольца, результаты вязкой теории при малых вязкостях (характерных порядков для большинства жидкостей, но конечных) и невязкой сильно различаются.

Касательные колебания круговой поляризации.

Теория неустойчивости поверхности раздела при воздействии на систему вибраций круговой поляризации была разработана в [19, 81] как дальнейшее развитие [48]. В ее рамках рассматривается ряд возмущений различной геометрической структуры: плоские, квадратные и гексагональные. Показано, что критическое значение вибрационного параметра соответствует значению для плоской задачи, кроме того, для возмущений всех видов неустойчивость начинается с одного значения вибрационного параметра. Возмущения какого вида реализуются зависит от их конкуренции между собой. Для сравнимых по плотностям жидкостей только гексагональные возмущения имеют жесткий характер возбуждения. Вопрос о том, будут ли в свою очередь проявившиеся виды рельефа устойчивы к возмущениям вида друг друга, не разрешается аналитически.

В работах [82, 83] получены аналогичные результаты при исследовании поведения жидкого диэлектрика (магнетика) в нормальном к невозмущенной поверхности постоянном электрическом (магнитном) поле. При напряженности поля, превышающей некое пороговое значение, плоская поверхность становится неустойчивой - реализуется так называемая неустойчивость Тонкса-Френкеля. Нелинейный анализ в [82, 83] привел к тем же результатам, если провести в конечных уравнениях замену плотностей на диэлектрическую (магнитную) проницаемость среды. Это так называемая электровибрационная аналогия. Интересно отметить, что для трехмерных режимов и линейно-поляризованных вибраций она отсутствует, но имеет место для двухмерных режимов.

В [63] описан эксперимент. В силу большой вязкости порог неустойчивости сильно отличается от предсказаний невязкой теории. Наблюдался рельеф гексагональной, квадратной и прямоугольной симметрии. Также описана тангенциальная пульсационная волна, идущая в сосуде вдоль стенок. Был обнаружен новый неожиданный эффект:

осредненное вращение трассеров, стянутых радиальным течением в аккумуляционное кольцо некоторого радиуса. Было высказано предположение, что причиной является генерация вихрей в вязких слоях возле торцов сосуда и их перенос к поверхности раздела, либо генерация осредненного течения непосредственно на поверхности раздела. Любопытно, что обнаруженное осредненное вращение вне всяких сомнений является следствием неоднородности поля пульсационных скоростей, тогда как задача об устойчивости решается в приближении бесконечно протяженных слоев и однородного основного вибрационного течения.

Дальнейшее экспериментальное рассмотрение системы уже в случае круговых качаний идет в [84, 85] для системы жидкость-воздух. При круговых качаниях роль силы инерции, аналогичной для случая вибраций линейной поляризации, играет сумма силы тяжести, чье направление в системе отсчета, связанной с сосудом не является стационарным, и линейной компоненты силы инерции, появляющаяся при колебаниях с ненулевым плечом. В [84, 85] не исследуется вопрос о границе неустойчивости Кельвина-Гельмгольца, рассматривается исключительно генерации осредненных течений. Показан резонансный характер течения, кроме того, обнаружен гистерезис скорости вращения аккумуляционного кольца возле резонансных частот. Вывод основных уравнений для задачи о круговых качаниях есть в [86], однако детальный анализ случаев, когда можно инерциально-гравитационное поле при качаниях аппроксимировать полем для вибраций круговой поляризации, в [84, 85, 86] отсутствует.

В [39] рассматривалась задача о собственных колебаниях слоя жидкости со свободной поверхностью в сосуде цилиндрической формы под действием гравитационной силы, направленной вдоль оси цилиндра. При этом считалось, что толщина слоя много меньше радиуса.

В [87] показано, что до достижения вибрационным параметром критического значения и начала развития неустойчивости Кельвина-

Гельмгольца, касательные вибрации подавляют другой известный вид неустойчивости - рэлеевскую капиллярную, приводящую к разбиению столба жидкости на капли.

Генерация осреднепных течений

В вибрационных гидродинамических системах нередко наблюдается класс эффектов генерации пульсационным течением медленного осредненного движения. Механизмы этой генерации течений могут иметь различную природу. Один из этих механизмов связан с различием между эйлеровским и лагранжевым пониманием скорости - даже когда средняя по времени скорость в каждой точке жидкости равна нулю, частицы жидкости совершают медленное смещение за счет неоднородности поля скорости - имеет место явление, называемое дрейфом Стокса. Впервые оно было описано в [88] Стоксом для волн конкретного вида. В более общем виде теория явления есть в частности в [89, 90].

Часто генерация среднего течения связана с влиянием вязкости возле твердой стенки или поверхности раздела. Трудности описания вязкого течения во всем массиве жидкости могут быть преодолены с использованием теории пограничного слоя. Как показано в частности в [89], генерация средних течений в пограничных слоях высокочастотными пульсационными течениями может быть описана с помощью эффективных граничных условий для течения в основном потоке. При этом значение скорости среднего течения на внешней границе пограничного слоя сносится для основного течения на твердую стенку, хотя физически они соответствуют значениям на внешней границе пограничного слоя.

Говоря более конкретно о влиянии вязкости на генерацию осредненных течений, необходимо рассмотреть механизмы Дора и Шлихтинга.

Генерацию осредненного течения в случае произвольного потока несжимаемой жидкости возле твердой стенки впервые описал Шлихтинг [91]. В настоящее время течения генерируемые вибрациями в несжимаемой жидкости возле твердых стенок называют шлихтинговскими, хотя обобщенное граничное условие того же вида присутствует также на границе раздела жидкостей.

Эффективным граничным условием Дора называется условие на разрыв касательных напряжений на поверхности раздела сред.

В [92] приведен вывод граничного условия Дора без учета генерации Шлихтинга. В [93] формула Шлихтинга была обобщена для трехмерных течений возле твердой стенки, но лишь для однородных по фазе потоков. Для двумерного течения в [94] приведен вывод условия Шлихтинга для однородных по фазе вибраций для системы жидкость-жидкость, включающей в себя случай жидкость-стенка как предельный. Вместе с тем в [94] для однородных по фазе вибраций выведено условие Дора, составляющая вместе с условием Шлихтинга систему граничных условий для разрывов величин на поверхности раздела, описывающую эффекты вязкой погранслойной генерации.

В [95] рассматривается вопрос о генерации осредненных течений при неоднородном по фазе пульсационном течении, но только возле твердой стенки.

Также важно отметить, что в [95] указан вывод квазипотенциального приближения Рувинского-Фрейдмана, выписанного, однако, для случая свободной поверхности. Ранее же условие Рувинского-Фрейдмана иным методом было получено в работах [96, 97].

В [98] рассмотрен еще один механизм генерации осредненных течений, связанный с капиллярными эффектами на переднем фронте гравитационной волны, но этот механизм, видимо, важен только для свободной поверхности жидкости.

Говоря об исследовании осредненных изотермических течений нужно указать, что в экспериментальных работах используется внесение в жидкость мелких частиц, трассеров. Ожидается, что пассивная частица движется так же, как элемент жидкости. Массивные трассеры, однако, могут при внесении в поток жидкости, неоднородный на масштабах размера трассера, существенно влиять на вид течения в своей окрестности.

Вопрос об аккумуляции частиц в потоке жидкости в некоторой области рассматривался во множестве работ. Задача о движении сферического трассера в неоднородном потоке рассматривалась в частности в [99, 100].

Общая характеристика работы

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех содержательных глав и заключения. Во введении представлен обзор литературы, содержание и основные цели диссертационной работы.

В первой главе рассматривается задача о генерации осредненных течений в цилиндрическом сосуде, содержащем несмешивающиеся жидкости и совершающем поступательные колебания круговой поляризации в горизонтальной плоскости. Выведено эффективное граничное условие типа условия Рувинского-Фрейдмана для учета вязкости в вихревом слое, с его помощью решена задача о пульсационном течении в системе. Выведены граничные условия, аналогичные условиям Дора и Шлихтинга для трехмерного случая неоднородного по фазе вибрационного потока. Эти условия применены к задаче нахождения осредненного течения, генерируемого пульсационным потоком. Проведен анализ ряда экспериментов для близкой системы круговых качаний.

Во второй главе рассматривается двухмерная задача о поведении системы тонких слоев невязких несмешивающихся жидкостей при горизонтальных гармонических вибрациях сосуда. Выведены эволюционные уравнения, описывающие поведение системы в приближении "мелкой воды", когда горизонтальные размеры как сосуда, так и гидродинамических структур значительно превосходят вертикальные размеры. Аналитически найдены стационарные режимы в подкритической и надкритической областях, проведен анализ устойчивости всех режимов. Представлены результаты численных экспериментов.

В третьей главе рассматривается задача о влиянии вязкости на порог длинноволновой неустойчивости для случая тонких слоев. Для описания вязких эффектов, наиболее существенных вблизи поверхности раздела, использован метод многих пространственных масштабов. Уточнено критическое значение вибрационного параметра, по достижении которого режим с плоской поверхностью раздела теряет устойчивость по отношению к малым возмущениям. Для асимптотического случая больших вязкостей, при которых длина Стокса намного превышает толщину слоев жидкости, критическое значение определено аналитически.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты диссертации.

Диссертация содержит 24 рисунка, список использованной литературы содержит 107 источников.

Актуальность работы

Работа выполнена в рамках развиваемого в пермской гидродинамической школе направления фундаментальных исследований по изучению влияния вибраций на неоднородные гидродинамические системы. Известны некоторые общие для систем с поверхностью раздела эффекты, в частности, нормальные к поверхности раздела вибрации стабилизируют ее, касательные дестабилизируют, пространственно неоднородные пульсационные течения создают осредненное движение жидкости. Однако, разнообразие эффектов в специальных случаях намного больше. Это делает данное направление исследований интересным не только с практической, но и с теоретической точки зрения.

Вибрации могут не только значительно влиять на гидродинамические потоки, но и непосредственно их создавать. Так, тепловая конвекция в вибрационном поле возможна и в отсутствии поля тяжести.

В технике с одной стороны, вибрации являются трудноустранимым фактором, с другой стороны, могут быть простым и энергетически экономным методом воздействия на систему.

Гидродинамические датчики могут выступать в роли детектора вибраций в автоматических и автономных системах. Для этого используют термо-вибрационные конвективные датчики, позволяющие определять, в том числе, сейсмические колебания.

Другой перспективной областью применения вибраций является выращивание кристаллов. К примеру, полупроводники, основа электронной промышленности, получаются кристаллизацией расплавов. Их однородность является одной из ключевых характеристик. Обеспечение однородности в свою очередь требует управления течениями в расплаве. Было обнаружено, что ультразвуковые и низкочастотные вибрации могут значительно улучшать однородность расплава.

Особенно большую роль вибрации играют в условиях невесомости.

Цели работы

Основными целями диссертационного исследования являются следующие:

1. Описать пульсационное и среднее течение системы несмешивающихся жидкостей в вертикально ориентированном цилиндре при воздействии вибраций круговой поляризации

2. Исследовать нелинейные режимы при длинноволновой неустойчивости поверхности раздела при горизонтальных вибрациях

3. Исследовать влияние вязкости на критическое значение вибрационного параметра для поверхности раздела при воздействии касательных вибраций

Научная новизна результатов

1. Выведено эффективное граничное условие типа Рувинского-Фрейдмана, обобщенное на случай поверхности раздела жидкостей

2. Выведены граничные условия Шлихтинга и Дора на поверхности раздела для случая неоднородных по фазе вибраций в трехмерном случае

3. Рассчитано пульсационное течение в цилиндрическом сосуде при вибрациях круговой поляризации

4. Рассчитана генерация осредненных течений в системе двух жидкостей в сосуде цилиндрической формы при вибрациях круговой поляризации за счет вязкости и дрейфа Стокса

5. Найдено аналитическое описание нелинейных режимов в случае касательных вибраций на поверхности раздела тонких слоев жидкости. Доказана неустойчивость этих режимов

6. Проведен численный эксперимент по изучению поведения системы тонких слоев несмешивающихся жидкостей при касательных вибрациях

7. Для случая тонких слоев жидкости получено уточненное с учетом вязкости пороговое значение вибрационного параметра, при котором начинается развитие неустойчивости Кельвина-Гельмгольца

Автором представляются к защите

1. Вывод модифицированных эффективных граничных условий Рувинского-Фрейдмана, Дора и Шлихтинга для случая трехмерных течений, неоднородных по фазе

2. Результаты численного расчета профилей осредненных течений в двухслойной системе жидкостей при воздействии гармонических вибраций круговой поляризации

3. Расчет без учета вязкости подкритических режимов в случае воздействия касательных линейных вибраций на тонкие слои жидкости, анализ устойчивости

4. Результаты численного моделирования воздействия касательных вибраций на поверхность раздела тонких слоев жидкостей

5. Расчет поправки с учетом вязкости к границе устойчивости для случая воздействия линейных касательных вибраций на тонкие слои жидкости

Достоверность результатов

Достоверность обусловлена адекватностью используемых методов и подтверждается сравнением с результатами других исследований.

Эффекты, описанные в первой главе, наблюдались в работах [63, 84, 85], хотя из-за особенностей постановок экспериментов, они явно выходят

за область применимости разработанной теории и можно говорить лишь о качественном подтверждении самого эффекта генерации.

Результаты аналитических расчетов второй главы согласуются с результатами независимых численных и аналитических расчетов в [50].

Результаты третьей главы для тонких слоев жидкостей, хотя и не могут быть прямо применены к экспериментам по воздействию касательных вибраций на поверхность раздела глубоких слоев, показывают эффект дестабилизации системы в случае, когда кинематическая вязкость верхней жидкости большей нижней на два и более порядка, что наблюдалось в экспериментальных работах [59, 63, 64].

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в журнальных статьях [101, 102, 103], а также в тезисах и материалах конференций [104, 105]. Все основные расчеты в [101, 102, 103, 104, 105] выполнялись автором лично, автор принимал участие в обсуждении результатов. В [103] автор принимал участие в постановке задачи.

Апробация результатов

Результаты работы были доложены в виде выступлений на семинарах

1. Хилько Г. Л., Любимов Д. В. "Генерация течений в двухслойной системе под воздействием вибраций круговой поляризации" на Пермском гидродинамическом семинаре им. Г. 3. Гершуни и Е. М. Жуховицкого, Пермь, 17 декабря 2010 года

2. Хилько Г. Л. "Поведение поверхности раздела при воздействии касательных вибраций" на Пермском гидродинамическом семинаре им. Г. 3. Гершуни и Е. М. Жуховицкого, Пермь, 30 сентября 2011 года

и устных докладов

3. Хилько Г. Л., Любимов Д. В., [Черепанов А. А.| "Течения в двухслойной системе при горизонтальных линейных вибрациях круговой поляризации" на всероссийской конференции молодых ученых "Неравновесные переходы в сплошных средах-2009", Пермь, 4-5 декабря 2009 года

4. Хилько Г. Л., Любимов Д. В., Иванцов А. А. "Длинноволновая неустойчивость поверхности раздела сред в высокочастотном вибрационном поле" на XX всероссийской школе-конференции молодых ученых и студентов "Математическое моделирование в естественных науках", Пермь, 5-8 октября 2011 г.

Практическая ценность

Разработанные в процессе работы эффективные граничные условия Дора и Шлихтинга для неоднородного по фазе трехмерного поля пульсационных скоростей могут быть использованы в решении других задач. Изучаемые в работе механизмы осредненной генерации могут использоваться для интенсификации процессов перемешивания, важных в том числе в химической промышленности. Так же для решения других задач может оказаться полезным обобщенное на случай поверхности раздела сред условие Рувинского-Фрейдмана.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Хилько, Григорий Леонидович

Заключение

Основными результатами, полученными в данной работе, являются следующие:

Первая глава

Рассмотрена задача генерации среднего течения около поверхности раздела жидкостей при воздействии касательных вибраций круговой поляризации в горизонтальной плоскости в вертикально ориентированном сосуде цилиндрической формы. Выведено обобщенное на случай поверхности раздела сред эффективное граничное условие Рувинского-Фрейдмана, описывающие влияние вязкости структуру пульсационного течения. Были найдены как пульсационное, так и осредненное течения.

Результаты расчета осредненного течения качественно подтверждают существование эффекта вращения жидкостей и образования аккумуляционных колец [63, 84, 85] в верхней и нижней жидкостях. Однако, как показано в главе, в [63, 84, 85] главным эффектом, определяющим течение, является генерация течения не возле поверхности раздела, а возле торца сосуда. Это делает разработанную в главе теорию генерации средних течений возле поверхности раздела неприменимой для количественного сравнения с существующими на данный момент экспериментами.

Вторая глава

Был проведен анализ поведения системы из двух тонких слоев жидкостей в горизонтальном вибрационном поле с использованием приближения мелкой воды. Обнаружены солитонный и кноидальный стационарные режимы, существующие только в подкритической области,

119 и кноидальный режим, существующий только в надкритической области. Проведен анализ устойчивости. Доказана неустойчивость кноидального и солитонного режимов в подкритической и области, неустойчивость надкритического кноидального режима, устойчивость плоской поверхности раздела в подкритической области и неустойчивость в надкритической области. С учетом того, что в литературе указан жесткий характер возбуждения для длинноволнового случая, сделано предположение о разбиении жидкостей на вертикальные страты при переходе вибрационным параметром порога устойчивости плоской поверхности раздела.

Для проверки последней гипотезы было проведено численное моделирование в пакете Ansys Fluent. Результаты продемонстрировали развитие неустойчивости в зависимости от соотношения сторон сосуда и других параметров. В качестве одного из сценариев было продемонстрировано разбиение системы жидкостей на иррегулярную последовательность вертикальных страт.

Третья глава

Рассмотрена линейная задача устойчивости поверхности раздела слоев жидкостей равной толщины в поле малоамплитудных высокочастотных гармонических вибраций с учетом вязкости. Для случая тонких слоев, когда неустойчивость носит длинноволновый характер, численно получена поправка к критическому значению вибрационного параметра в зависимости от параметров задачи.

Показано, что критическое значение вибрационного параметра с хорошей точностью пропорционально высотам слоев жидкостей. Вязкости жидкостей могут оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние на систему. Влияние это начинает сказываться, когда толщина скин-слоя становится на порядок меньше капиллярно-гравитационного масштаба. Если кинематическая вязкость тяжелой нижней жидкости больше как минимум на порядок, то вязкость стабилизирует систему и наоборот, дестабилизирует, если вязкость верхней жидкости значительно больше. Влияние вязкости тем сильнее, чем больше разница плотностей.

Также с учетом вязкости уточнена граница Ьсг(3) между областями параметров длинноволновой и ячеистой неустойчивости. Показано, что для сравнимых по вязкостям и плотностям жидкостей с ростом толщины скин-слоя Ьсг(3) растет неограниченно.

Для случая больших вязкостей, при которых длина Стокса значительно превышает толщины слоев жидкостей, получено аналитическое выражение для критического значения вибрационного параметра и критической толщины слоев жидкостей, разделяющей области длинноволновой и ячеистой неустойчивости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хилько, Григорий Леонидович, 2011 год

Список литературы

1. Капица П. Л. Маятник с вибрирующим подвесом // УФН. - 1951. - Т.

44, № 1 - С. 7-20.

2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. - М.: Наука. - 1973.

3. Челомей В. Н. Парадоксы в механике, вызываемые вибрациями //

ДАН СССР. - 1983. - Т. 270, № 1. - С. 62-67.

4. Авдуевский В. С., Бармин И. В., Гришин С. Д. и др. Проблемы

космического производства. - М.: Машиностроение. - 1978.

5. Ганиев Р. Ф., Лапчинский В. Ф.. Проблемы механики в космической

технологии (управление вибрационными процессами в невесомости) . - М.: Машиностроение. - 1978. - 118 с.

6. Блехман И. И. Вибрационная механика. - М.: Наука. - 1994. - 394 с.

7. Faraday М. On peculiar class acoustical figures and on certain forms

assumed by a group of particles upon elastic surface // Phil. Trans. Roy. Soc., London. - 1831. -V. 121. - PP. 209-318.

8. Стретт Дж. В. (лорд Рэлей). Теория звука. Т.1. - М.: ГИТТЛ. - 1955.

9. Физическая акустика Т.2. Свойства полимеров и нелинейная

акустика / Под ред. У. Мэзона. - М.: Мир. - 1969. - 420 с.

10. Wolf G. Н. The dynamic stabilization of Rayleigh-Taylor instability and corresponding dynamic equilibrium // Z. Physik. - 1969. - V. B227. -PP. 291-300.

11. Wolf G. H. Dynamic stabilization of the interchange instability of a liquid-gas interface // Phys. Rev. Lett. - 1970. - V. 24, № 9. - PP. 444446.

12. Benjamin Т. В., Ursell F. The stability of the plane free surface of a liquid in vertical periodic motion // Proc. Roy. Soc. - 1954. - V. A225, №1163.-PP. 505-515.

13. Troyon F., Grsuber R. Theory of dynamic stabilization of the Rayleigh-Taylor instability // Phys. Fluids. - 1971. - V. 14, № Ю. - PP. 20692073.

14. Сорокин В. И. Об эффекте фонтанирования капель с поверхности вертикально колеблющейся жидкости // Акуст. Журнал. - 1957. - Т. 3, № 3. - С. 262-273.

15. Безденежных Н. А., Брискман В. А., Пузанов Г. В., Черепанов А. А., Шайдуров Г. Ф. О влиянии высокочастотных вибраций на устойчивость границы раздела жидкостей // Гидродинамика и массотеплообмен в невесомости. - М.: Наука, 1982.-С. 34-39.

16. Безденежных Н. А., Брискман В. А., Черепанов А. А., Шаров М. Т. Управление устойчивостью поверхности жидкости с помощью переменных полей // Гидромеханика и процессы переноса в невесомости. - Свердловск: УНЦ АН СССР. - 1983. - С. 37-56.

17. Черепанов А. А. Влияние переменных внешних полей на неустойчивость Рэлея-Тейлора // Некоторые задачи устойчивости поверхности жидкости. - Свердловск, 1984. - С. 29-53. -(Препр./Ин-т механики сплошных сред УНЦ АН СССР.)

18. Любимов Д. В., Черепанов A.A. К нелинейной теории параметрически возбуждаемых волн на поверхности вязкой жидкости // Некоторые задачи устойчивости поверхности жидкости. - Свердловск, 1984. - С. 54-75. - (Препр./Ин-т механики сплошных сред УНЦ АН СССР)

19. Любимов Д. В., Любимова Т. П., Черепанов А. А. Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.-216 с.

20. Секерж-Зенькович С. Я., Калиниченко В. А. О возбуждвении внутренних волн в двуслойной жидкости вертикальными колебаниями // ДАН СССР. - 1979. - Т. 249, № 4. - С. 797-799.

21. Секерж-Зенькович С. Я. Параметрическое возбуждение волн конечной амплитуды на границе раздела двух жидкостей разных плотностей // ДАН СССР. - 1983. - Т. 272, № 5. - с. 1083-1084.

22. Калиниченко В. А., Нестеров С. В., Секерж-Зенькович С. Я. Параметрическое возбуждение внутренних волн // Волны и дифракция. Труды 8-го Всесоюзного симпозиума по дифракции и распространению волн. Т. 1. - М.: Наука, 1981. - С. 185-188.

23. Ockendon J. R., Ockendon H. Resonant surface waves // J. Fluid Mech.

- 1973. - V. 59, part 2. - PP. 397-413.

24. Cerda E. A., Tirapegui E. L. Faraday's instability in viscous fluids // J. Fluid Mech. - 1998. - V. 368. - PP. 195-228.

25. Becchoffer J., Ego V., Manneville S., Jonson B, An experimental study of the onset of parametrically pumped surface waves in viscous fluids // J. Fluid Mech. - 1998. - V. 288. - P. 325-350.

26. Chen P., Vinals J. Pattern selection in Faraday waves // Phys. Rev. Lett.

- 1994. - V. 14 - PP. 2670-2673.

27. Edwards W. S., Fauve S. Patterns and quasipatterns in Faraday experiments // J. Fluid Mech. - 1994. - V. 278. - PP. 123-148.

28. Edwards W. S., Fauve S. Parametrically excited quasicrystalline surface waves // Phis. Rev. - 1993. - V. E47. - PP. 788-791.

29. Wright J., Yon S., Pozrikidis C. Numerical studies two-dimensional Faraday oscillations of inviscid fluids // J. Fluid Mech. - 1999. - V. 402. -PP. 1-32.

30. Kumar K., Tuckerman L. S., Parametric instability of the interface between two fluids. // J. Fluid Mech. - 1994. - V. 279. - PP. 49-68.

31. Неволин В. Г. Параметрическое возбуждение поверхностных волн // Инж.-физ. журн. - 1985. - № 49. - С. 1482-1494.

32. Miles J., Henderson D. Parametrically forced surface waves // Annu. Rev. Fluid Mech. - 1990. - № 22. - PP. 143-165.

33. Kelly R. E. The stability of an unsteady Kelvin-Helmholtz flow, part 3// J. Fluid Mech. - 1965. - V. 22. - PP. 547-560.

34. Khenner M. V., Lyubimov D. Y., Belozerova T. S., Roux В. Stability of plane-parallel vibrational flow in a two-layer system // Eur. J. Mech. B/Fluids. - 1999. - V. 18.-PP. 1085-1101.

35. Любимов Д. В., Хеннер M. В., Шоц M. M, Об устойчивости поверхности раздела жидкостей при касательных вибрациях // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 1998. - № 3. - С. 25-31.

36. Talib Е., Juel A. Instability of a viscous interface under horizontal oscillation. // Phys. Fluids. - 2007. - V. 19. - 092102.

37. Bezdenezhnykh N. A., Briskman V. A., Lapin A. Y., Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Tcherepanov A. A., Zakharov I. V. The influence of high frequency tangential vibrations on the stability of the fluid interface in microgravity // Int. J. for Microgravity Research and Applications. -1991. -V. IV, №2.-PP. 96-97.

38. Bezdenezhnykh N. A., Briskman V. A., Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Zakharov I. V., Tcherepanov A. A. The influence of high frequency tangential vibrations on the fluid interfaces in microgravity. Microgravity fluid mechanics / Ed. H.J. Rath. - Berlin: Springer-Verlag, 1992.-PP. 137-144.

39. Г. Ламб Гидродинамика. - M., Л.:ГИТТЛ. - 1947.

40. J. M. Hogan, P. S. Ayyaswamy Linear stability of a viscous-inviscid interface // Phys. Fluids. - 1985. - V. 28, № 9. - PP. 2709-2715.

41. J. Jeffreys, On formation of water waves by wind // Proc. Roy. Soc. -1925.-V. 107.-PP. 189-206.

42. J. W. Miles, On the generation of surface waves by shear flows. // J. Fluid Mech. - 1957. - V. 3. - PP. 185-204.

43. J. W. Miles. On the generation of surface waves by shear flows. Part 3. Kelvin-Helmholtz instability // J. Fluid Mech. - 1959. - V. 6. - PP. 583598.

44. Т. Brooke Benjamin Sheary flow over a wavy boundary // J. Fluid Mech. - 1959. - V. 6. - PP. 161-205.

45. T. Brooke Benjamin Effects of a flexible boundary on hydrodynamic stability // J. Fluid Mech. - 1960. - V. 9. - PP. 513-532.

46. M. J. Lighthill, Physical interpretation of the mathematical theory of wave generation by wind // J. Fluid Mech. - 1962. - V. 14. - PP. 385398.

47. D. Barnea, Y. Taitel. Kelvin-Helmholtz stability criteria for stratified flow: viscous versus non-viscous (inviscid) approaches // Int. J Multiphase Flow. - 1993. - V. 19, № 4. - PP. 639-649.

48. Любимов Д. В., Черепанов А. А. О возникновении стационарного рельефа на поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1986. - № 6. - С. 8-13.

49. Любимов Д. В. Хеннер М. В. О длинноволновой неустойчивости поверхности раздела жидкостей при касательных вибрациях // Гидродинамика. Вып. 11. - Пермь: ПГУ, 1998. - С. 191-196.

50. Садилов Е. С., Любимов Д. В., Любимова Т. П. Слабонадкритические режимы возбуждения рельефа на границе раздела сред под действием касательных вибраций в условиях невесомости // Материалы конференции "Неравновесные переходы в сплошных средах-2009"

51. Любимов Д. В., Саввина М. В., Черепанов А. А. О квазиравновесной форме свободной поверхности жидкости в модулированном поле тяжести // Задачи гидромеханики и тепломассообмена со свободными границами. - Новосибирск: СО АН СССР. - 1987. - С. 97-105.

52. Lyubimov D. V., Cherepanov A. A., Lyubimova Т. P., Roux В. Interface orienting by vibrations // C.R. Acad. Sci. Paris. Serie II b. -1997.-T. 325.-PP. 391-396.

53. Любимов Д. В., Любимова Т. П., Меранджи С., Морозов В. А. Квазиравновесные формы свободной поверхности раздела жидкостей в высокочастотном вибрационном поле // Вибрационные эффекты в гидродинамике Вып. 2. - Пермь, 2001, -С. 174-187.

54. Замараев А. В., Любимов Д. В„ Черепанов А. А. О равновесных формах поверхности раздела жидкости в вибрационном поле // Гидродинамика и процессы переноса. - Свердловск: УрО АН СССР, 1989.-С. 23-26.

55. Любимов Д. В., Любимова Т. П. Об одном методе сквозного счета для решения задач с деформируемой поверхностью раздела // Моделирование в механике. - 1990. - Т.4(21), № 1. - С. 136-140.

56. Smereka P., Sussman М., Osher S. A level set approach for computing solutions to incompressible two-phase flow // J. Сотр. Phys. - 1994 -V. 114.-PP. 146-159.

57. Brackbill J. U., Kothe D. В., Jemach C. A continuum method fro modeling surface tensions. // J. Сотр. Phys. - 1992. - V. 100. - PP. 335-354.

58. Любимов Д. В., Любимова Т. П., Иванцов А. О., Черепанова А. А. Использование метода сквозного счета для моделирования динамики сред с поверхностью раздела // Вычисл. мех. сплош. сред. - 2008.-Т.1, №2.-С. 53-62.

59. Shyh, С. К., Munson В. R. Interfacial instability of an oscillating shear layer // J. Fluid Eng. - 1986. - V. 108. - PP. 89-92.

60. Wunenburger R., Evesque P., Chabot C., Garrabos Y., Fauve S., BeysensD., Frozen wave instability by high frequency horizontal vibrations on a C02 liquid-gas interface near the critical point. // Phys. Rev. - 1999. - V. E59, - PP. 5440-5445.

61. W. Gonzalez-Vinas and J. Salan. Surface waves periodically excited in a C02 tube // Europhys. Lett. - 1994. - V. 26. - PP. 665-670.

62. Иванова А. А., Козлов В. Г., Эвеск П. Динамика границы раздела несмешивающихся жидкостей при горизонтальных вибрациях // Изв. РАН. МЖГ. - 2001. - № 3. - С. 28-35.

63. Иванова А. А., Козлов В. Г., Ташкинов С. И. Динамика границы раздела несмешивающихся жидкостей при поляризованных по кругу вибрациях (эксперимент) // Изв. РАН. МЖГ. - 2001. - № 6. -С. 21-30.

64. Talib Е., Jalikop S. V., Juel A. The influence of viscosity on the frozen wave instability: theory and experiment. // J. Fluid Mech. - 2007. - V. 584. - PP. 45-68.

65. H. N. Yoshikawa, J. E. Wesfreid Oscillatory Kelvin-Hemlholtz instability. Part 1. A viscous theory // J. Fluid Mech. - 2011. - V. 675 -PP. 223-248.

66. Kozlov V. G. Experimental investigation of vibrational convection in pseudoliquid layer // Rev. Proc. 1st Intern. Symp. On hydromech. And Heat/Mass Transfer in Microgravity. Perm-Moscow, 1991. -Chippenham, UK: Gordon & Breach Science Publishers, 1992. - P. 5761.

67. Козлов В. Г., Иванова А. А. Поверхность песок-жидкость при вибрациях // Изв.РАН.МЖГ. - 2002. - № 2. - с. 120-138.

68. Ivanova A. A., Kozlov V. G., Evesque P., "Patterning of liquefied sand in a cylinder filled with liquid and subjected to horizontal vibrations," Europhys. Lett. - 1996. -V. 35, № 3. - PP. 159-164.

69. Лобов H. И., Любимов Д. В., Любимова Т. П. Поведение двухслойной системы жидкость-взвесь в вибрационном поле // Изв. РАН. МЖГ. - 1999. - № 6. - С. 55-62.

70. Лобов Н. И., Любимов Д. В., Любимова Т. П. Устойчивость границы раздела системы жидкость-взвесь под действием высокочастотных нелинейно-поляризованных вибраций // Изв. РАН. МЖГ. - 2005. - № 3. - С. 3-13.

71. A. Stegner and J. R. Wesfreid, "Dynamic evolution of sand ripples under water," // Phys. Rev. - 1999. - V. E60. - PP. 3487-3490.

72. W. H. Lyne. "Unsteady viscous flow over a wavy wall" // J. Fluid Mech. - 1971. -V. 50.-PP. 33-48.

73. A. Kaneko and H. Honji, "Double structures of steady streaming in the oscillatory viscous flow over a wavy wall" // J. Fluid Mech. - 1979. - V. 93.-PP. 727-736.

74. P. Blondeaux, "Sand ripples under sea-waves. Part 1. Ripple formation" // J. Fluid Mech. - 1990. -V. 218. - PP. 1-17.

75. G. Vittori and P. Blindeaux. "Sand ripples under sea-waves. Part 2. Finite-amplitude development" // J. Fluid Mech. - 1990. - V. 218. - P. 19-39.

76. Т. Hara and С. C. Mei "Oscillation flows over periodic ripples" // J. Fluid Mech.-1990,- V.211. - PP. 183-209.

77. A. Betat, V. Frette, I. Rehberg. Sand ripples introduced by water shear flow in an annular channel // Phys. Rev. Lett. - 1999. - V. 83, - PP. 8891.

78. Shreyas V. Jalikop, Juel A., Steep capillary-gravity waves in oscillatory shear-driven flows // J.Fluid Mech - 2009. - V. 640. - PP. 131-150.

79. Chia-Shun Yih Instability of unsteady flows or configurations. Part 1. Instability of a horizontal liquid layer on an oscillating plane. // J. Fluid Mech.- 1968.- V. 31. - PP. 737-751.

80. Or A. C. Finite-wavelength instability in a horizontal liquid layer on an oscillating plane // J. Fluid Mech. - 1997. - V. 335. - PP. 213-232.

81. Черепанов А. А., Шипулин Д. В. Поведение границы раздела жидкостей в вибрационном поле, поляризованном по кругу // Конвекция в системах несмешивающихся жидкостей. -Екатеринбург: РАН, 1999. - С. 134-154.

82. Gaitlitis A. Formation of the hexagonal patterns on the surface of a ferromagnetic fluid in a applied magnetic field // J. Fluid Mech. - V. 82, № 3. - PP. 401-413.

83. Кузнецов E. А., Спектор M. Д. О существовании гексагонального рельефа на поверхности жидкого диэлектрика во внешнем электрическом поле // ЖЭТФ. - 1976. - Т. 71, - вып. 1. - С. 262-272.

84. Вяткин А. А., Иванова А. А.. Движение жидкости в слое со свободной поверхностью при вибрациях круговой поляризации // Конвективные течения Перм. Гос. Пед. Ун-т, Пермь 2007, вып 3.

85. Ф. А. Звездин, В. Г. Козлов Движение жидкости в стакане, совершающем круговые качания // Конвективные течения Перм. Гос. Пед. Ун-т, Пермь 2007, вып. 3.

86. Козлов В. Г. О вибрационной тепловой конвекции в полости, совершающей высокочастотные вращательные качания // Изв.АН.СССР.МЖГ. - 1988. - №3. - С. 138-144.

87. Любимов Д. В., Черепанов А. А. Динамическая стабилизация рэлеевской капиллярной неустойчивости // Изв. АН СССР. МЖГ. -1991.- №6.-С. 3-7.

88. Stokes G. G. On the theory of oscillatory waves // Trans. Cambridge Philos. Soc. - V. 8 - 1847. - PP. 441^*73.

89. Longuet-Higgins M. S. Mass transport in water waves // Phil. Trans. Roy, Soc. London. - 1953. - V. 245. - PP. 535-581.

90. D. G. Andrews, M. E. Mclntyre - An exact theory of nonlinear waves on a Lagrangian mean flow // J. Fluid Mech. - 1978. - V. 89. - PP. 609-646.

91. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя (3-е издание). - М.: Наука. - 1974.

92. Dore D. On mass transport introduced by interfacial oscillations as a single frequency // Proc. Camb. Phil. Soc. - 1973. - V. 74. - PP. 333347.

93. W. Nyborg. "Acoustic streaming", in Physical Acoustics. Vol. 2 Pt. B. Properties of Polymers and Nonlinear Acousticas. New York. London. Academic Press - 1965. - P. 265.

94. Любимов Д. В., Перминов А. В., Черепанов А. А. Генерация осредненных течений в вибрационном поле вблизи поверхности раздела сред // Вибрационные эффекты в гидродинамике. - Пермь: ПГУ, 1998.-С. 204-221.

95. Gershuni G. Z., Lyubimov D. V. Thermal Vibration Convection. -Chichester, UK: Wiley. - 1998.

96. Ruvinsky K. D., Freidman G. J. The fine structure of strong gravity-capillary waves Nonlinear Waves: Structures and Bifurcations (ed. A.V. Gapanov-Grekhov & M. I. Rabinovich), Moscow, Nauka. - 1987. - PP. 304-326.

97. Ruvinsky K. D., Feldstein F. I. and Freidman G. I. Numerical simulations of the quasi-stationary stage of ripple excitation by steep gravity-capillary waves. // J. Fluid Mech. - 1991. - V. 30 - PP. 339353.

98. Longuet-Higgins M. S. The generation of capillary waves by steep gravity waves. // J. Fluid Mech. - 1963. - V. 16. - PP. 138-159.

99. Maxey M. R., Riley J. J. Equation of motion for small rigid sphere in a nonuniform flow // Phys. Fluids. - 1963. - V. 26. - PP. 883-889.

100. Maxey M. R. On the advection of spherical and non-spherical particles in a non-uniform flow // Phil. Trans. Roy. Soc., London. - 1990. - V. A333.-PP. 289-307.

101. Любимов Д. В., ХилькоГ. Л. Генерация средних течений в двухслойной системе под действием вибраций круговой поляризации // Изв. РАН. МЖГ. - 2011. - № 4. - С. 35-46.

102. Хилько Г. Л., Любимов Д. В. Длинноволновая неустойчивость поверхности раздела при касательных вибрациях // Вестн. Перм.

ун-та. Математика. Механика. Информатика. - 2011. - вып. 4. - С. 172-175.

103. Хилько Г. Л., Любимов Д. В. Длинноволновая неустойчивость поверхности раздела вязких сред при касательных вибрациях // Вест. Перм. ун-та. Сер. Физика. - 2011. - вып. 4. - С. 83-91.

104. Любимов Д. В., Хилько Г. Л., [Черепанов А. А.| Течения в двухслойной системе при горизонтальных линейных вибрациях круговой поляризации. // Материалы конференции "Неравновесные переходы в сплошных средах - 2009", г. Пермь, с. 157-160.

105. Хилько Г. Л., Любимов Д. В., Иванцов А. О. Длинноволновая неустойчивость поверхности раздела сред в высокочастотном вибрационном поле // Тезисы конференции "Математическое моделирование в естественных науках-2011", г. Пермь, с. 105-106.

106. Найфе А. X. Методы возмущений - М.: Мир. - 1976.

107. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров - М.: Мир. - 1974. - 882 с.