Влияние теплообмена пласта-коллектора с вмещающими породами на неизотермическое течение реального газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Иванов, Гаврил Иванович

• Иванов, Гаврил Иванович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Иванов, Гаврил Иванович

Оглавление

Введение

Глава 1. Математическое моделирование неизотермического течения газа в пористой среде

1.1. Неизотермическое течение газа в пористой среде

1.2. Температурное поле пласта в условии теплообмена с вмещающими породами

Выводы

Глава 2. Математическая модель отбора газа через одиночную скважину при теплообмене пласта-коллектора с окружающими горными породами

2.1. Постановка задачи

2.2. Численная реализация модели и ее алгоритм

2.3. Вычислительный эксперимент и обсуждение результатов

Глава 3. Математическая модель нагнетания газа через одиночную скважину

при теплообмене пласта-коллектора с окружающими горными породами

3.1. Постановка задачи

3.2. Численная реализация модели и ее алгоритм

3.3. Вычислительный эксперимент и обсуждение результатов

3.4. Обсуждение результатов вычислительного эксперимента нагнетания горячего газа

Заключение

Список использованной литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние теплообмена пласта-коллектора с вмещающими породами на неизотермическое течение реального газа»

Введение

Актуальность темы диссертации. В настоящее время большинство прикладных задач теории фильтрации природного газа рассматривается при следующих основных допущениях: природный газ считается совершенным (идеальным), процесс фильтрации является изотермическим. В то же время, за последние два десятилетия была выполнена серия исследований, в которых была выведена полная система уравнений неизотермической фильтрации реального газа, дана оценка влияния неизотермичности на динамику поля давления при различных режимах добычи газа и выявлен вклад различных компонентов уравнения энергии в общий тепловой баланс газоносного пласта. Эти исследования дополнялись разработкой эффективных вычислительных алгоритмов решения соответствующих начально-краевых задач.

Однако, практически все задачи неизотермической фильтрации реального газа рассматривалась в рамках математической модели теплоизолированного пласта. Такое предположение существенно ограничивает возможности изучения процессов добычи природного газа из глубоко залегающих пластов, которые характеризуются, во-первых, малой проницаемостью и, следовательно, необходимостью добывать газ при больших депрессиях. Во-вторых, вмещающие газоносные пласты горные породы имеют большую плотность и, следовательно, большую теплопроводность. Таким образом, актуальной становится задача обобщения математической модели неизотермической фильтрации реального газа на случай теплообмена газоносного пласта с окружающими его горными породами.

Цель работы: в вычислительном эксперименте изучить влияние теплообмена пласта-коллектора с вмещающими горными породами на динамику полей температуры и давления при неизотермической фильтрации реального газа при различных технологических режимах его добычи и при различных фильтрационных, емкостных и теплофизических характеристиках (проницаемость, пористость, мощность пласта-коллектора, теплопроводность вмещающих по-

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи: Выбор математической модели и разработка алгоритма численного решения сопряженной задачи определения температуры и давления газоносного пласта с учетом теплообмена через его кровлю и подошву при отборе и нагнетании реального газа через одиночную скважину (обобщение модельной задачи теории фильтрации).

Проведение вычислительного эксперимента для изучения влияния параметров математической модели и режимов отбора газа (постоянное забойное давление, постоянный массовый расход) на динамику полей температуры и давления.

Количественная и качественная оценка влияния теплообмена пласта-коллектора с вмещающими породами на неизотермическое течение реального газа.

Научная новизна диссертации заключается в следующем: В вычислительном эксперименте показано, что в практически значимом диапазоне параметров теплообмен газоносного пласта с вмещающими горными породами очень слабо влияет на динамику поля давления, тогда как это влияние на температурное поле газоносного пласта локализовано в узкой зоне вблизи кровли и подошвы, и со временем размер этой зоны увеличивается. В режиме отбора газа оно наиболее ощутимо вблизи скважины, причем этот эффект наиболее заметен для низкопроницаемых пластов. Этот результат имеет важное практическое значение, так как такие пласты расположены на больших глубинах и, следовательно, будут иметь большие величины давления и температуры. Именно в этом случае использование приближения совершенного газа приведет к значительным ошибкам в расчетах.

При нагнетании газа с постоянной температурой, равной начальной температуре пласта и вмещающих пород, ее изменение во времени носит

волновой характер, что объясняется преобладанием различных механизмов теплообмена (дросселирование, адиабатическое расширение, конвекция, теплопроводность) на различных стадиях процесса. Влияние теплообмена с вмещающими породами на температуру пласта возрастает по мере удаления от точки нагнетания.

Практическая значимость диссертации заключается в расширении возможностей проектирования разработки газовых месторождений, расположенных на больших глубинах, следствием чего является низкая проницаемость продуктивных горизонтов. Предложенные в диссертации вычислительные алгоритмы можно использовать для предварительной оценки до составления рабочих проектов.

Достоверность полученных результатов подтверждается:

• соответствием математической модели исследуемых процессов основным положениям теории фильтрации и термодинамики, а также использованием современных достижений прикладной математики при создании вычислительных алгоритмов и реализующих их программ;

• отсутствием принципиально важных допущений, которые могли бы повлиять на достоверность выводов или снизить точность выполненных расчетов;

• качественным соответствием полученных результатов имеющимся физическим представлениям о физике изучаемых процессов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование развития Северных территорий РФ» (Якутск, 2008); III Всероссийской научной конференции «Информационные технологии в науке, образовании и экономике» (Якутск, 2008); II Всероссийской научной конференции и VII Всероссийском школе-семинаре «Математическое моделирование развития Северных территорий РФ» (Якутск, 2009); XIV научной конференции «Лаврентьевские чтения» (Якутск, 2010); VI Международной конференции по математическому модели-

рованию (Якутск, 2011); III Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование развития Северных территорий РФ» (Якутск, 2012); «Аспирантских чтениях СВФУ» (Якутск, 2012); IV Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Информационные технологии в науке, образовании, экономике» (Якутск, 2012); научном семинаре научно-исследовательской кафедры Вычислительные технологии ИМИ СВФУ (Якутск, 2014); VII Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 2014).

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, в котором содержатся основные выводы, списка литературы (88 наименований), 88 рисунков. Общий объем диссертации 91 страница.

Во введении приводится краткое содержание диссертации, обсуждаются актуальность, цели исследований и основные научные и практические результаты работы.

Первая глава посвящена анализу научных публикаций по теме диссертационной работы. В первом параграфе приведен обзор исследований по математическому моделированию течения газа в пористой среде, дается вывод уравнений неизотермической фильтрации реального газа. Во втором параграфе анализируются научные публикации, посвященные математическому моделированию температурного поля пласта с учетом теплообмена с вмещающими породами, а также - немногочисленные результаты анализа этого процесса, полученные методами вычислительного эксперимента.

Во второй главе детально описывается математическая модель отбора газа через одиночную скважину при теплообмене пласта-коллектора с вмещающими породами через кровлю и подошву. Первый параграф посвящен решению этой модельной задачи теории фильтрации с целью определить влияние интенсивности теплообмена с вмещающими породами на динамику полей температуры и давления. Расчеты выполнялись для математической модели, в которой пренебрегалось теплопроводностью пласта в направлении его простирания по сравнению с конвективным теплопереносом. При этом

краевые условия соответствовали отбору газа с постоянным забойным давлением при непроницаемой и теплоизолированной внешней границе пласта. Во втором параграфе описан алгоритм решения разностной задачи, основанный на расщеплении исходного уравнения энергии по пространственным переменным методом слабой аппроксимации. Соответствующие разностные схемы для определения давления и для определения температуры по вертикальной координате строятся методом баланса; а для определения температуры по радиальной координате используется схема бегущего счета. В третьем параграфе анализируются результаты вычислительного эксперимента. Из них следует, что теплообмен газоносного пласта с вмещающими горными породами практически не влияет на динамику поля давлений, а его влияние на температурное поле локализовано в узкой зоне вблизи кровли и подошвы пласта, но размер этой зоны со временем увеличивается. Это изменение наиболее ощутимо вблизи скважины, а сам эффект наиболее ярко выражен для низкопроницаемых пластов.

Третья глава посвящена решению задачи о нагнетании реального газа в пласт через одиночную скважину с учетом его теплообмена с окружающими породами. В первом параграфе дается постановка задачи закачки газа с постоянным массовым расходом, когда внешние границы пласта непроницаемы и теплоизолированы, а теплообмен через кровлю и подошву происходит по закону Ньютона — Рихмана. Эта краевая задача численно реализуется во втором параграфе с использованием разностных схем, полученных методом баланса, а в вычислительном алгоритме используется метод простых итераций. В третьем и четвертом параграфах результаты вычислений для двух вариантов: нагнетание холодного и горячего газа, соответственно. При нагнетании газа с постоянной температурой равной начальной пластовой ее изменение во времени носит волновой характер, что объясняется преобладанием различных механизмов теплообмена (дросселирование, адиабатическое расширение, конвекция, теплопроводность) на различных стадиях процесса. Здесь влияние теплообмена с вмещающими породами на температуру пласта возрастает по мере

удаления от точки нагнетания. При нагнетании горячего газа температура пласта представляет собой возрастающую (практически всюду) во времени функцию, а влияние теплообмена с вмещающими породами наиболее ощутимо вблизи скважины, где преобладает конвективная составляющая.

В заключении приведены наиболее значимые результаты исследований и выводы, сделанные на их основании.

Автор считает необходимым выразить глубокую признательность и искреннюю благодарность научному руководителю, д.т.н., профессору Эдуарду Антоновичу Бондареву, ведущему научному сотруднику ИПНГ СО РАН, к. ф.-м. н. Игорю Ивановичу Рожину за ценные консультации, сотрудникам кафедры высшей математики СВФУ им. М.К. Аммосова за постоянную поддержку.

Глава 1. Математическое моделирование неизотермического течения газа в пористой среде

1.1. Нензотермическое течение газа в пористой среде

Теория фильтрации или подземная гидродинамика далеко не сразу стала научной дисциплиной. Начиная с 1856 г., когда французский инженер Анри Дарси решал задачу водоснабжения города Дижона, и долгие годы спустя это была часть гидротехники, то есть, чисто инженерная дисциплина. И только в начале двадцатого столетия, благодаря исследованиям Н. Е. Жуковского, который, кстати, также начал с задачи водоснабжения Москвы, появились уравнения теории фильтрации, которые замыкались законом Дарси. Последний выполняет роль уравнения движения и устанавливает связь между вектором скорости фильтрации # и давлением р. В современной интерпретации данный закон имеет вид

где к - коэффициент проницаемости пласта, ¡и - вязкость фильтрующейся жидкости (газа). В свою очередь, скорость фильтрации связана со скоростью движения жидкости V в пористой среде соотношением

где т - пористость, определяемая как объем пор в единице объема пористой среды.

Закон Дарси имеет весьма широкую область приложения и на его основе получены основные результаты теории фильтрации. Существуют, однако, случаи, когда линейный закон Дарси не применим, а процесс фильтрации подчиняется двучленному закону вида grad р = Лп> + Вп'2. Коэффициент А определяется внутренним трением вязкого флюида и трением его о стенки поровых каналов, коэффициент В - преодолением инерционных сопротивлений, связанных с особенностями геометрической структуры пористой среды (числом сужений и расширений, различием и просветных площадях, степенью сжатия струек жид-

к

(1.1)

IV = ту,

(1.2)

кости и др.). В задачах теории фильтрации нефти и газа в природных пластах применение двучленного закона ограничено движением в призабойной зоне высокодебитных скважин и фильтрацией в трещиноватых средах и только лишь в изотермических случаях [8].

Начало нового этапа развития теории фильтрации связано с работами Л. С. Лейбензона, в которых уравнение движения несжимаемой жидкости в пористой среде обобщается на течение газа [42]. С развитием газовой промышленности появляются многочисленные практические задачи по расчету движения газа в пористой среде. Очень много исследований было посвящено изучению физических основ фильтрационного сопротивления, притока газа к несовершенной скважине, исследованию совместной работы группы скважин в замкнутом газовом пласте, определению параметров пласта по стационарным и нестационарным испытаниям скважин [8, 47, 48]. Все эти исследования были выполнены в рамках модели изотермического течения идеального газа.

Методы учета реальных свойств газа при обработке результатов испытаний газовых скважин были разработаны В. Н. Николаевским с соавторами [44, 45]. Ими также использовались приближенные решения соответствующих линеаризованных уравнений теории фильтрации. В работах [31, 44] показано, что реальные свойства газа необходимо учитывать при пластовых давлениях более 150 атмосфер и депрессиях, составляющих более 10% от пластового давления. Нелинейность соответствующих задач в изотермическом случае привела к широкому распространению приближенных методов решения.

Создание быстродействующих вычислительных машин чрезвычайно расширило возможности и эффективность применения математических методов в теории фильтрации. С их помощью удалось получить решение многих задач подземной гидродинамики и разработки газовых месторождений. Численное моделирование нестационарной изотермической задачи фильтрации газа было начато Дж. Арановским и Р. Дженкинсом [78], Дж. Брюсом, Г. Рэкфордом, Д. Писмэном и Т. Райсом [82], Б. Б. Лапуком и Ф. А. Требиным [32], В. Н. Щелкачевым, А. А. Самарским и Л. А. Владимировым [77].

В отечественной литературе первое исследование было выполнено Б. Б. Лапуком [31], который считал, что изменение температуры реального газа происходит исключительно за счет дросселирования, но при этом такое изменение почти не влияет на распределение давления в газоносных пластах. Позднее эти результаты были обобщены Э. Б. Чекалюком [71], который сделал первую попытку оценить относительный вклад отдельных компонент уравнения энергии (дросселирование, адиабатическое расширение, конвективный перенос и теплопроводность) в общий баланс изменения температуры. Вслед за Б. Б. Лапуком он также сделал вывод о слабом влиянии температуры на динамику перераспределения давления газа. Сделанные этими двумя исследователями выводы являются чисто качественными, так как они не подкреплены конкретными расчетами. Основная причина заключается в том, что в то время (1965 г.) такие расчеты нельзя было выполнить из-за отсутствия соответствующих вычислительных средств. Однако уже к моменту выхода монографии Бондарева Э. А., Васильева В. И., Воеводина А. Ф. с соавторами [15] такие средства вместе с разработанными эффективными алгоритмами уже появились, что и нашло отражение в указанной монографии, где впервые были приведены результаты решения модельной задачи о притоке реального газа к скважине в полной неизотермической постановке. Эти исследования были мотивированы, главным образом, возникшей в 60-х - 70-х годах прошлого века проблемой предупреждения гидратообразования при добыче газа [41].

Отметим, что приоритет в постановке связанной задачи неизотермической фильтрации газа принадлежит Бленду [81], который в 1954 г. опубликовал вывод соответствующих уравнений для случая течения идеального газа и построил приближенные (асимптотические) решения некоторых одномерных задач, в которых массовый расход газа принимался постоянным. Его уравнения были обобщены на случай зависимости теплопроводности и вязкости газа от температуры [83, 84].

Решение стационарных задач неизотермической фильтрации идеального газа, подчиняющейся закону Дарси, сводится к решению уравнения Лапласа

относительно линейной комбинации температуры и квадрата давления. Этот факт одновременно независимо установлен в статье [86] и Э. А. Бондаревым в статье [17]. Использование конформных преобразований позволяет решать соответствующие граничные задачи для плоских областей сложной формы. Таким путем определены характеристики теплообмена ступенчатой пористой стенки и пористой стенки с периодическим расположением щелей для прохождения газа. Эти задачи рассматривались в связи с применением пористых металлических материалов для тепловой защиты сопел ракетных двигателей, дуговых электродов, возвращающихся в атмосферу летательных аппаратов и лопаток газовых турбин [86].

Стоит отметить две работы [26, 87], в которых для решения связанной задачи использовался метод малого параметра. В первой он применялся для полной системы уравнений, в которой коэффициенты дросселирования, адиабатического расширения и сверхсжимаемости считались константами [87]. Во второй та же техника использовалась для решения автомодельной задачи неизотермической фильтрации совершенного газа. Граничные условия соответствовали тепловому «удару» по полу бесконечному стержню, а в качестве малого параметра было выбрано возмущение температуры на границе относительно начального состояния. Следует заметить, что в рассмотренном в работе [26] примере этот параметр оказался больше 1.

К сожалению, в монографии [15] не был выполнен анализ полученных численных решений. Скорее, это была демонстрация возможностей вычислительной математики решать сложную нелинейную систему уравнений в частных производных параболического типа. Дело в том, что в то время сам метод вычислительного эксперимента делал только первые шаги, так что необходимые методы обработки результатов были разработаны слабо. Вычислители использовали только малую часть того огромного массива чисел, выдаваемых ЦПУ. В то же время методологическое содержание монографии [15] сохраняет свою актуальность и сегодня, и поэтому ниже мы процитируем приведенный там вывод полной связанной системы уравнений неизотермического течения

газа в недеформируемой пористой среде.

Основные уравнения теории фильтрации выводятся на основе фундаментальных законов сохранения. Так, закон сохранения массы дает уравнение неразрывности в пористой среде, которая в традиционной записи имеет вид

М + «Цу(/7Й)-0, (1.3)

Э/

где р - плотность газа.

Так как сжимаемость газа обычно на несколько порядков превышает сжимаемость пористой среды, то зависимостью пористости от давления и температуры можно пренебречь, и тогда уравнение (1.3) примет вид

т^- + &\(рй>) = 0 (1.4)

Как уже указывалось выше, в теории фильтрации роль уравнения движения играет закон Дарси, коэффициент проницаемости в котором следует рассматривать как феноменологический параметр модели. Этот закон применительно к нефтегазовым задачам записывается в виде (1.1). Многие исследователи считают его лишь частным случаем нелинейного закона, который описывается двучленной формулой вида grad р = Ам + В\\?2. Коэффициент А определяется внутренним трением вязкого флюида и трением его о стенки поровых каналов, коэффициент В - преодолением инерционных сопротивлений, связанных с особенностями геометрической структуры пористой среды (числом сужений и расширений, различием и просветных площадях, степенью сжатия струек жидкости и др.). Нелинейный закон фильтрации используется редко и только лишь для изотермических задач. Это связано с трудностями определения коэффициента В.

Если фильтрующаяся жидкость баротропна, то уравнения неразрывности (1.4) и движения (1.1) совместно с уравнением состояния газа р = р(р) образуют замкнутую систему, которая обычно используется для расчета гидродинамического состояния пласта. При исследовании термодинамического состояния пласта эта система должна быть дополнена уравнением энергии.

Это уравнение выводится из закона сохранения энергии. При его выводе используются следующие специфические особенности пористых сред, в частности, горных пород, являющихся коллекторами нефти и газа. Во-первых, при фильтрации, благодаря огромной поверхности контакта между жидкостью и твердым скелетом происходит интенсивный теплообмен и их температуры очень быстро выравниваются. Время выравнивания значительно меньше характерного времени макроскопической фильтрации [54]. Разность температур между компонентами пористой среды может сыграть некоторую роль при исследовании быстро протекающих процессов, но при изучении гидротермодинамических явлений при эксплуатации нефтяных и газовых залежей обычно принимают за основу равенство температур породы и насыщающих ее жидкостей и газов [15]. Во-вторых, в силу малых скоростей фильтрации можно пренебречь кинетической энергией. В-третьих, при моделировании отбора газа можно пренебречь работой массовых сил, т.е. исключить случаи существенного влияния естественной конвекции. Роль естественной конвекции будет велика, например, в таких специфических случаях, как теплоперенос в геотермальных резервуарах. В настоящей диссертации этот процесс не рассматривается. В-четвертых, оценки, выполненные в [6], показали, что работой касательных напряжений также можно пренебречь в силу ее малости по сравнению с работой сил давления. При этих допущениях уравнение энергии записывается в виде

тр

дТ ^дУл е..--Т

д(

v

дТ

/1

др д(

+

дТ _ Г

(1.5)

+схрх(\-т)— + рй\с ^гас!Г +

д(

У-Т

дУ дТ

§гас! р\ = сИу(Яг §гаё Т).

Если ввести коэффициент адиабатического расширения т] и коэффициент Джоуля — Томсона 8,

Л =

Т дУ

1

с/> дТ'£ ср

Т

дУ' дТ

-У

то уравнение (1.5) приводится к виду

сгЩ- = рте рйс (§гас1 Т-б§гас!р) + Л, V2Т (1.6)

<Э/ ся

где коэффициент сг рассматривается как объемная теплоемкость насыщенной газом пористой среды и определяется по формуле сг = трср + (1 - т)схрх.

Далее (1.6) удобно представить в следующей форме:

— = рт—Г1—-УТ{^ха<\Т - е^хаб. р) + к572Т (1.7)

гЗ/ сг д1

с X

где V,. - р\\>— - скорость конвективного переноса тепла; к-—- коэффициент температуропроводности газонасыщенной пористой среды. В уравнении (1.7) первый член правой части описывает изменение температуры за счет адиабатического расширения; второй - конвективный перенос тепла; третий -дросселирование газа; четвертый - изменение температуры за счет теплопроводных потоков. Уравнение (1.7) определяет поле температур в теплоизолированном пласте при фильтрации сжимаемой жидкости. Система уравнений (1.1), (1.4) и (1.7) замыкается уравнением состояния реального газа.

Для природных газов, с которыми приходится встречаться в большинстве задач добычи и транспорта, термическое уравнение состояния принято писать в виде

рУ = £ЯТ, (1.8)

где Я — газовая постоянная, а £ - так называемый коэффициент сжимаемости или коэффициент несовершенства, определяемый обычно экспериментально в зависимости от отношения давления и температуры к критическим значениям ( рс и Гс), характерным для данного газа.

Таким образом, гидротермодинамическое состояние теплоизолированного недеформируемого пласта описывается системой уравнений, состоящей из уравнения неразрывности, энергии, состояния и закона Дарси [15]: к

й> =--§гас\р, (1.9)

/И^ + СНу(/™>) = 0, (1.10)

д1

— = рт-г]—- р^—^гайТ - е%гайр) + кЧ2Т, (1.11)

сг д( сг

р = р/СЯТ, (1.12)

где т - пористость; р - плотность газа; й> - вектор скорости фильтрации; к -коэффициент проницаемости пласта; /и - динамическая вязкость газа; р — давление; Т - температура; ср - удельная теплоемкость газа; сг — объемная теплоемкость насыщенного газом пласта; адиабатический коэффициент г] и коэффициент дросселирования £ с учетом (1.8) рассчитываются по формулам

7 =

£ЯТ( | Т

СоР

ЯТ' дС

, £ = ■

срр дТ

Систему уравнений (1.9)-(1.12) называют связанной системой уравнений неизотермической фильтрации газа.

Дальнейшие исследования процесса неизотермической фильтрации газа главным образом направлены на определение границ применимости тех или иных допущений, предупреждении образования гидратов в призабойной зоне пласта, восстановлении производительности скважин с использованием различного рода нагревателей, регулировании работ газовых скважин [7, 11, 10, 12, 13, 16, 18, 22]. Во всех этих работах, кроме [22], процесс фильтрации газа моделируется в рамках теплоизолированного пласта.

В связи с тем, что аналитического решения задач теории фильтрации удается получить лишь в некоторых частных случаях, исследователи с конца 40-х годов начали строить численные методы их решения. В настоящее время имеется ряд монографий, посвященных численным методам решения разнообразных задач теории фильтрации: X. Азиза и Э. Сеттари [5], Г. Г. Вахитова [23], С. Н. Закирова и Б. Б. Лапука [27], А. Н. Коновалова [28], Г. Б. Кирчлоу [30], М. М. Максимова и Л. П. Рыбицкой [34], и многих других, а также большое число статей как отечественных, так и зарубежных авторов.

Основные принципы и методы построения разностных методов решения краевых задач, в том числе и для математических моделей течения жидкостей и газов в пористых средах, разработаны в трудах А. Н. Тихонова,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Иванов, Гаврил Иванович, 2014 год

Список использованной литературы

1. Аббасов А. А. Вопросы нефтяной гидродинамики. - Баку: Азернешр, 1968.

- 138 с.

2. Авдонин Н. А. О некоторых краевых задачах математической теории теплопроводности, связанных с проблемой термического воздействия на пласт: дис. ... канд. физ.-мат. наук. / Н. А. Авдонин - Рига, 1964. - 163 с.

3. Авдонин Н. А. О некоторых формулах подсчета температурного пласта при тепловой инжекции. // Изв. вузов. Нефть и газ. - 1963. - № 3. - С. 3741.

4. Авдонин Н. А. Об одной двуслойной термоконвективной задаче. // Докл. АН СССР.- 1963.-Т. 151,№4.

5. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. -М.: Недра, 1982.-408 с.

6. Алишаев М. Г., РозенбергМ. Д., ТеслюкЕ. В. Неизотермическая фильтрация при разработке нефтяных месторождений. - М.: Недра, 1985. - 271 с.

7. Аргунова К. К., Бондарев Э. А., Рожин И. И. Влияние неизотермических эффектов на добычу газа в северных районах с учетом возможного гидра-тообразования в призабойной зоне скважин // Вестник НГУ. Математика, механика, информатика. - 2012. - Т. 12, вып. 4. - С. 9-15.

8. Баррентблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Движение жидкостей и газов в пористых пластах. - М.: Недра, 1984. - 211 с.

9. Баррентблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. - М.: Недра, 1972. - 288 с.

10. Бондарев Э. А., Аргунова К. К., Рожин И. И. Плоскопараллельная неизотермическая фильтрация газа: роль термодинамики // Наука и образование.

- 2010. -№1. - С. 4-7.

11. Бондарев Э. А., Николаев В. Е., Аргунова К. К. Вычислительный эксперимент в неизотермической фильтрации газа // Труды Международной конференции RDAMM-2001. - 2001. - Т. 6, Ч. 2 - С. 66-70.

12. Бондарев Э. А., Попов В. В. Математическая модель образования и диссоциации гидратов при добыче природного газа // 9 Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике / Аннотации докладов. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2006. - Т. 2. - С. 35-36.

13. Бондарев Э. А. О неизотермической фильтрации совершенного газа // Инженерно-физический журнал. - 1993. - Т.65, №3. - С.284-286.

14. Бондарев Э. А., Аргунова К. К., Рожин И. И. Плоскопараллельная неизотермическая фильтрация газа: роль теплопереноса // Инженерно-физический журнал. - 2009. - Т. 82, № 6. - С. 1059-1065.

15. Бондарев Э. А., Васильев В. И., Воеводин А. Ф. Термогидродинамика систем добычи и транспорта газа. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. -272 с.

16. Бондарев Э. А., Рожин И. И, Аргунова К. К. Влияние неизотермических эффектов на добычу в северных регионах // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. - Новосибирск, 2011. - Т. 14, № 1. - С. 19-28

17. Бондарев Э. А., Шадрина А. П. О неизотермической фильтрации газа // Теплофизика и механика материалов, природных сред и инженерных сооружений при низких температурах. - Якутск, 1974. - С. 127-130. - (Сб. науч. тр./ЯФ СО АН СССР).

18. Бондарев Э. А., Николаев В. Е. Особенности моделирования неизотермической фильтрации // Наука и образование. - 1997. - №4(8). - С. 98-101.

19. Бурже Ж., Сурио П., КомбарнуМ. Термические методы повышения нефтеотдачи пластов. Пер. с франц. - М.: Недра, 1989. - 422 с. — Пер. изд.: Франция, 1984.

20. Вабищевич П. Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. -М.: Изд-во МГУ, 1991. - 156 с.

21. Вабищевич П. Н. Численные методы решения задач со свободной границей. - М.: Изд-во МГУ, 1987. - 163 с.

22. Васильев В. И., Попов В. В., Тимофеева Т. С. Вычислительные методы в разработке месторождений нефти и газа. - Новосибирск: Изд-во СО РАН,

2000.- 126 с.

23. Вахитов Г. Г. Эффективные способы решения задач разработки неоднородных нефтеводоносных пластов методом конечных разностей. - М.: Гостоптехиздат, 1963. - 216 с.

24. Вахитов Г. Г., Кузнецов О. Л., Симкин Э. М. Термодинамика призабойной зоны нефтяного пласта. - М.: Недра, 1978. - 216 с.

25. Годунов С. К. Разностные методы решения уравнений газовой динамики. -Новосибирск: Изд-во НГУ, 1962. - 96 с.

26. Ентов В. М., Шыганаков Н. О некоторых связанных задачах фильтрации и теплопроводности в пористых средах // Инж.-физ. журн. - 1983. - Т. 45, № З.-С. 434-439.

27. Закиров С. Н., Лапук Б. Б. Проектирование и разработка газовых месторождений. - М.: Недра, 1974. - 376 с.

28. Коновалов А. Н. Задача фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 1972. - 128 с.

29. Коновалов А. И. Метод фиктивных областей в задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости с учетом капиллярных сил // Числ. методы механики сплошной среды. - 1972. - Т. 3, № 5. - С. 52-67.

30. Кричлоу Г. Б. Современная разработка нефтяных месторождений - проблемы моделирования. - М.: Недра, 1979. - 303 с.

31. Лапук Б. Б. Теоретические основы разработки месторождений природных газов. - М.; Л.: Гостоптехиздат, 1948. - 295 с.

32. Лапук Б. Б., Требин Ф. А. О состоянии и задачах дальнейшего развития теоретических основ разработки газовых месторождений // Тр. МИНХ и ГП. ГОСИНТИ. - 1961. - 112 с.

33. Латонов В. В., Гуревич Г. Р. Расчет коэффициента сжимаемости природного газа // Газовая промышленность. - 1969. - № 2. - С. 7-9.

34. Максимов М. М., Рыбицкая Л. П. Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений. - М.: Недра, 1976. - 264 с.

35. Малофеев Г. Е. Исследование распределения температуры в пласте и по-

терь в кровлю и подошву при закачке горячей воды с целью увеличения нефтеотдачи : дис. ... канд. техн. наук / Г. Е. Малофеев. - М., 1959. - 172 с.

36. Малофеев Г. Е. О моделировании процесса нагревания пласта при закачке горячей жидкости. // Изв. вузов. Нефть и газ. - 1959. - № 9. - С. 49-55.

37. Мартузан Б. я. О температурном поле трехслойного пласта при тепловой инжекции. // Теоретические и экспериментальные исследования разработки нефтяных месторождений. - Казань: Изд-во КГУ, 1964. - С. 65-69.

38. МарчукГ. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. - М.: Наука, 1982. - 319 с.

39. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1980. -536 с.

40. Марчук Г. И. Численные методы расчета ядерных реакторов. - М.: Атом-издат, 1958.-381 с.

41. Механика образования гидратов в газовых потоках / Бондарев Э. А., Бабе Г. Д., Гройсман А. Г., Каниболотский М. А. - Новосибирск: Наука, 1976,- 157 с.

42. Михайлов Г. К., Николаевский В. Н. Движение жидкостей и газов в пористых средах // Механика в СССР за 50 лет. - М., 1970. - Т.2. - С. 585-648.

43. Непримеров Н. Н., Пудовкин М. А., Марков А. И. Особенности теплового поля нефтяного месторождения. - Казань: КГУ, 1968. - 163 с.

44. Николаевский В. Н. Механика пористых и трещиноватых сред. - М.: Недра, 1984.-232 с.

45. Николаевский В. Н., Басниев К. С., Горбунов А. Г., Зотов Г. А. Механика насыщенных пористых сред. - М.: Недра, 1970. - 339 с.

46. Пудовкин М. А., Волков И. К. Краевые задачи математической теории теплопроводности в приложении к расчетам температурных полей в нефтяных пластах при заводнении. - Казань: КГУ, 1978. - 188 с.

47. Пыхачев Г. Б., Исаев Р. Г. Подземная гидравлика. - М.: Недра, 1973. - 360 с.

48. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967). - М.:

Наука, 1969.-546 с.

49. Рубинштейн JI. И. О температурном поле пласта при нагнетании в пласт горячего теплоносителя. // Тр. Уф. нефт. ин-та. - Уфа: Башгосиздат, 1958. -Вып. 2.-С. 34-37.

50. Рубинштейн Л. И. О температурном поле пласта при тепловой инжекции. // Уч. зап. Каз. ун-та, - 1961.-Т. 121, №5.-С. 12-14.

51. Рубинштейн Л. И. Об асимптотике решения одной контактной осесиммет-рической задачи при больших значениях конвективного параметра. // Уч. зап. Латв. гос. ун-та им. П. Стучки. - Рига: Изд-во ЛГУ, 1963. - Т. 47.

52. Рубинштейн Л. И. Об одной двуслойной стационарной термоконвективной задаче. // Изв. вузов. Математика. - 1962. - № 1. - С. 143-158.

53. Рубинштейн Л. И. Об одной контактной термоконвективной задаче. // Докл. АН СССР. - 1960. - Т. 135, № 4, - С. 41-44

54. Рубинштейн Л. И. Температурные поля в нефтяных пластах. - М.: Недра, 1972.-275 с.

55. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. - М.: Наука, 1971. — 552 с.

56. Самарский А. А. Вычислительный эксперимент в задачах технологии // Вестник АН СССР. - 1984. - № 11. - С. 17-29.

57. Самарский А. А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестник АН СССР. - 1979. -№ 5. - С. 38-49.

58. Самарский А. А. Об одном экономическом разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области. // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1962. -№5.-С. 787-811.

59. Самарский А. А. Теория разностных схем. -М.: Наука, 1983. - 616 с.

60. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. - М.: Наука, 1976. - 352 с.

61. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Матус П. П. Разностные схемы с операторными множителями. - Минск: ЗОА ЦОТЖ, 1998. - 442 с.

62. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. - М.: Наука, 1973.-416с.

63. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. - М.: Наука, 1989. - 429 с.

64. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978.-592 с.

65. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. -М.: Наука, 1981.-352 с.

66. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977.-735 с.

67. Турчак Л. И. Основы численных методов: Учебное пособие. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 318 с.

68. Чарный И. А. Нагревание призабойной зоны при закачке горячей жидкости в скважину. // Нефтяное хозяйство. - 1953. - № 2. - С. 10-23.

69. Чарный И. А. Подземная гидрогазодинамика. - М.: Гостоптехиздат, 1963. — 396 с.

70. Чекалюк Э. Б. Температурный профиль пласта при нагнетании теплоносителя в скважину. // Нефтяное хозяйство. - 1955. - № 4. - С.4.

71. Чекалюк Э. Б. Термодинамика нефтяного пласта. - М.: Недра, 1965. -238 с.

72. Чекалюк Э. Б. Уравнение энергии потока упругой жидкости в пористой среде // Добыча нефти (теория и практика). - М., 1964. - С. 13-24. - (Сб. науч. тр./ВНИИ).

73. Чекалюк Э. Б., ОгановК. А., Снарский А. Н., Степанченко Е. А. Тепловая обработка истощенного нефтяного пласта. // Нефтяное хозяйство. - 1954. -№1. - С. 40-49.

74. Шейнман А. Б., Малофеев Г. Е., Сергеев А. И. Воздействие на пласт теплом при добыче нефти. - М.: Недра, 1969. - 256 с.

75. Шокин Ю. И., Яненко Н. Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. - Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние,

1985.-364 с.

76. Щелкачев В. Н. Упругий режим пластовых водонапорных систем. - М.: Гостоптехиздат, 1948. - 144 с.

77. Щелкачев В. Н., Самарский А. А., Владимиров JI. А. Решение специальных краевых задач неустановившегося движения жидкости в упругом пласте с помощью электронных счетных машин // Изв. вузов. Нефть и газ. — 1965. -№ 3. - С. 77-80.

78. Яненко Н. Н. Введение в разностные методы математической физики. Ч. 2.

- Новосибирск: НГУ, 1968. - 388 с.

79. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. - Новосибирск: Наука, 1967. - 196 с.

80. Aranofsky J. S., Jenkins R. Unsteady flow of gas through porous Media, one-dimensional case // Proc. First US Nath. Congr. Appl. Vech. Engrs. - N. Y., 1952.-P. 793-771.

81. Bland D. R. Mathematical theory of the flow of a gas in a porous solid and of the associated temperature distribution // Proc. Roya; Soc. A221. - 1954. - N. 1144.-P. 1-27.

82. Bruce J. H., Rachford H. H., Peaceman D. W., Rice T. D. Calculation of unsteady-state gas flow through porous media // Tran. SPE of AIME. - 1953. -Vol. 198.-P. 271-283.

83. Couch E. L. e. a. Permaform thawing around producing oil wells // The J. of Canadian Petrol. Technol. - 1970. - Apr.-June. - P. 107-111.

84. Curry D. M., Cox J. E. Transient, compressible heat and mass transfer in porous media using the strongly implicit iteration procedure // AIAA Paper. - 1972. -N. 23.-P. 14.

85. Fayers F. J. Some Theoretical results concerning the Displacement of о viscous Oil by о hot fluid in a Porous Medium. // J. Fluid Mech. - 1962. - Vol.13., N. 9.

- P. 65-76.

86. Goldstein M., Siegel R. Analysis of heat transfer for compressible flow in two-dimensional porous media // Int. J. Heat and Mass Transfer. - 1971. - V. 14,

N. 10.-P. 1677-1690.

87. Kaleta A., Marcak H., Siemek J. Non-isothermal gas flow in a porous medium // J. of Canadian Petrol. Technol. - 1970. - Vol. 9, N. 1. - P. 38-44.

88. Lauwerier H. A. The transport of heat in an oil layer caused by the injection of hot fluid. // Appl. Scient. Res. S. A. - 1955. - Vol. 5, N. 2-3. P. 145-150.