Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Такмазьян, Андрей Куркенович

• Такмазьян, Андрей Куркенович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Такмазьян, Андрей Куркенович

Введение

I Математические модели течения многослойных пленок вязкой несжимаемой жидкости

1 Гранично-краевые задачи пленочных течений.

1.1 Граничная задача для уравнений Навье-Стокса

1.2 Безразмерная постановка граничной задачи.

1.3 Краевые задачи стационарных и квазистационарных пленочных течений.

2 Сведение гранично-краевой задачи к системе эволюционных уравнений для толщины пленки.

2.1 Приближение пограничного слоя.

2.2 Метод Галеркина.

II Нанесение пленки вязкой жидкости на движущуюся поверхность

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью»

Тонкая пленка жидкости на твердой поверхности — основной технологический элемент в ряде важных процессов и устройств современной техники. Можно упомянуть защитные пленки покрытия на металлических, стеклянных, пластмассовых нитях; пленки оптически активного вещества на плоских подложках для кино- и фототехники; остаточные пленки на стенках цилиндрических и плоских капилляров, образующиеся при вытеснении из них вязкой жидкости другой менее вязкой жидкостью или газом; пленки загрязнителей, образующиеся при самопроизвольном растекании капель жидкости под воздействием градиентов поверхностного натяжения или массовых сил.

В полной постановке гидродинамический расчет таких течений сводится к решению сложной многопараметрической краевой задачи для уравнений Навье-Стокса в области с неизвестной границей. Эта граница образуется свободной поверхностью жидкости или поверхностью раздела и включает зоны пленочного течения и мениска: в разных задачах граница пленки дополняется неизвестными формами движущихся фронтов или областями менисков при извлечении поверхностей из объемов жидких растворов. В общем случае течения в этих задачах очень сложны по структуре, по обилию физических процессов, определяющих пленочные образования, и пока не имеется их прямых исследований без упрощений и облегчающих задачу дополнительных ограничений. Начиная с самых первых работ по определению толщины пленок нанесения рассматривалась не система уравнений Навье-Стокса, а разумные балансовые соотношения, и справедливость их оценивали из сравнения экспериментальных толщин пленок с результатами решения. Много десятилетий эта задача была предметом обсуждений экспериментаторами и предметом сравнений различных приближений решения с количественными значениями толщины пленок в зонах асимптотического их постоянства.

Эффективный метод исследования капиллярных пленочных течений, основанный на применении приближения пограничного слоя к полной краевой задаче, был предложен в Институте Механики МГУ классической работой (Шкадов, 1967), в которой из полной краевой задачи для уравнений Навье-Стокса выведена система модельных уравнений, сохраняющая с большой точностью все свойства исходной постановки, связанные с действием сил капиллярности, вязкости, инерции, гравитации, но допускающая и то же время систематические и быстрые численные расчеты. Последнее обстоятельство особенно важно для анализа капиллярных течений с поверхностями раздела, исследование которых сводится к многопараметрическим моделям. В развитие этой работы был создан целый раздел гидродинамики волновых пленок, дано теоретическое истолкование основных экспериментальных фактов, решена знаменитая задача П. JI. Капицы (Капица, Капица, 1949) о нелинейных волнах и открыты новые свойства нелинейных волн в системах с дисперсией и диссипацией, в частности, в капиллярных движущихся пленках. И. П. Семеновой и А. Е. Якубенко в рамках метода Шкадова была рассмотрена задача стекания пленки вязкой несжимаемой жидкости по сухой вертикальной стенке с постоянной скоростью (Семенова, Якубенко, 1980). Для задачи извлечения тела из объема жидкости при конечных скоростях извлечения расчеты возмущенной поверхности жидкости, объединяющей слой увлечения и мениск, непрерывно и гладко сопрягающихся в промежуточной области, были проведены в цикле работ коллектива В. Я. Шкадов, В. П. Шкадова, А. Е. Кулаго и А. К. Такмазьян (Кула-го и др., 1993; Koulago et al, 1995; Шкадов, Шкадова, 1997; Кулаго и др., 1997; Такмазьян, Шкадов, 2002; Шкадов, Такмазьян, 2003). Плодотворность выдвинутых идей Шкадова была использована и другими коллективами в экспериментальных и теоретических исследованиях пленочных течений, результаты которых в частности отражены в монографиях (Холпанов, Шкадов, 1990; Алексеенко и др., 1992; Chang, Demekhin, 2002).

В настоящей работе приводятся результаты исследования систем модельных эволюционных уравнений применительно к пленочным течениям на поверхности вытягиваемых из жидкого объема нитей, вытеснения вязкой жидкости из цилиндрического капилляра, натекания жидкости на твердую поверхность под действием термокапиллярного эффекта Марангони. Эти три гидродинамические системы мениск-пленка рассмотрены в условиях высокоинтенсивных движений, когда требуется включения в математические модели всех главных нелинейных членов, связанных с инерционной частью уравнений и кривизной поверхности раздела в граничных условиях. Наряду с осесимметричными течениями рассматриваются также соответствующие им плоские мениски и пленки. Во всех случаях построение моделей сопровождается их численным решением и математическим моделированием путем варьирования основных свободных управляющих параметров. Результаты численного моделирования сопоставляются с имеющимися экспериментальными данными.

Нанесение пленочных покрытий вытягиванием тела из объема жидкости На поверхности твердого тела, движущегося из жидкости в газ или другую жидкость, образуется пленка. При движении тело пересекает границу раздела фаз, увлекая за собой тонкий слой жидкости — происходит покрытие поверхности тела пленкой, а сама граница раздела вблизи поверхности тела искривляется, образуя динамический мениск. Из-за небольшой толщины пленки целесообразно рассматривать движение жидкости в пленке в рамках приближения пограничного слоя, что существенно облегчает решение уравнений движения.

В первой работе (Landau, Levich, 1942), в которой было предложено решение задачи о толщине образующейся пленки на вытягиваемой вертикально вверх из объема жидкости плоской пластине, существенно предположение о порядке малости толщины пленки, таком, что силы гравитации и инерции дают пренебрежимо малый вклад в динамику жидкости в пленке и динамическом мениске. Данное предположение верно лишь при предельно малых скоростях извлечения пластины из жидкости, при Са —> 0, где

Са — число капиллярности по скорости пластины. Подход работы Ландау и Левича основан на асимптотическом сращивании профилей статического мениска и поверхности пленки, так, чтобы давление в пленке, индуцированное кривизной ее поверхности, изменялось непрерывным образом. При этом в выражении кривизны поверхности динамического мениска не учитываются нелинейные члены.

Потребности практики не могли ограничиваться только малыми скоростями вытягивания, и поэтому поиски теоретических обоснований новых экспериментальных данных, не описываемых формулой Ландау-Левича продолжались. Путем сравнения линеаризованных около асимптотического решения (в области постоянной толщины пленки) уравнения без гравитационного члена и уравнения с учетом гравитации в работе (White, Tallmadge, 1965) из формулы Ландау-Левича было получено соотношение между числом капиллярности и относительной толщиной пленки, которое применимо в более широком диапазоне по числу капиллярности. В работе (Spiers et ai, 1974) учтено в первом приближении изменение давления вдоль поперечной к пленке координате, которым в приближении пограничного слоя пренебрегают. Такое уточнение позволяет с хорошей точностью предсказывать толщину пленки, но только для достаточно вязких жидкостей, когда эффекты инерции пренебрежимо малы. Недостаток подхода работы (Landau, Levich, 1942) — разрывный профиль мениска — сохраняется и в данных работах, в них фактически используется асимптотическое сращивание профилей менисков, предложенное в (Landau, Levich, 1942). Главным результатом этих работ является отыскание зависимости безразмерной асимптотической толщины пленки вдали от мениска от числа капиллярности по скорости пластины — фактически в задаче присутствуют два безразмерных параметра (один из них неизвестен и находится при решении). Некорректность такой постановки задачи для вытягивания при конечных скоростях показана еще в работе (Tallmadge, Soroka, 1969). Задача вытягивания содержит Ф шесть размерных величин: плотность и вязкость жидкости, скорость движения пластины, толщина образующейся пленки (неизвестная), ускорение силы тяжести, поверхностное натяжение. Как легко заключить, безразмерных параметров всего три, а не два, как считается в предыдущих работах: при учете инерции кроме искомой относительной толщины пленки и числа капиллярности в задачу должен входить дополнительный параметр, выражающий физические свойства жидкости, например, число Капицы. Такие инерциальные режимы нанесения покрытий осуществляются при числах Рейнольда по толщине пленки порядка единицы: больших скоростях извлечения пластины или когда вязкость жидкости сравнительно невелика. Для жидкости, число Капицы которой существенно больше единицы, подход работ (Landau, Levich, 1942; White, Tallmadge, 1965; Spiers et al, 1974) оправдан лишь при малых скоростях извлечения, в пределе Са —> 0.

Другой предельный случай, Са —>• оо, обозначает режимы, когда скорости извлечения настолько высоки, что распределением давления в мениске из-за сил поверхностного натяжения можно пренебречь. Этот случай рассмотрен в работе (Cerro, Scriven, 1980). Полученное авторами значение безразмерной асимптотической толщины пленки несколько меньше наблюдаемого в экспериментах (Kizito et al, 1999), но оно может служить для проверки решения полной задачи с учетом инерционных, гравитационных и капиллярных сил в пределе при Са —> оо.

Непрерывный профиль динамического мениска построен в работе (Kheshgi et al, 1992). В ней решалось уравнение для поверхности мениска работы (Kheshgi, 1989), выведенное в первом приближении разложением по малому параметру — числу капиллярности — из полной системы уравнений Навье-Стокса с учетом инерционной и гравитационной составляющих. Такой подход дает сильно заниженное значение для толщины пленки, предел при Са оо меньше, чем результат работы (Cerro, Scriven, 1980).

Новый теоретический подход к задаче нанесения покрытий, учитывающий эффект инерции, предложен в (Кулаго и др., 1993). Он основан на сращивании решений профиля динамического и статического менисков в некоторой промежуточной точке, подбираемой в процессе решения. Такой подход дает построение гладкого с непрерывными третьими производными профиля динамического мениска и позволяет продвинуться в истолковании экспериментальных данных до умеренных значений Са, на порядки больших верхней границы применимости по Са формулы Ландау-Левича. Этот результат был получен из системы уравнений, учитывающей нелинейные конвективные члены в краевой задаче, роль которых возрастает с увеличением скорости движения твердой поверхности.

Теория, с учетом полной кривизны поверхности раздела, позволяющая получить абсолютно гладкий профиль мениска при вытягивании цилиндра из объема жидкости, построена в работах (Кулаго и др., 1993; Шкадов, Шкадова, 1997) в применении к задаче о пленке на круглом цилиндре. Расчетные значения толщины пленки показали хорошее соответствие с экспериментом (de Ryck, Quere, 1996; Quere, 1999). Экспериментальные данные демонстрировали тот факт, что при числах Са порядка 0,01 зависимость асимптотической толщины пленки от числа капиллярности существенно перестраивается, качественно отличается от зависимости Ландау-Левича. Результаты интегрирования системы уравнений, выведенных в работе (Шкадов, Шкадова, 1997) с учетом в граничных условиях производных от профиля свободной поверхности до третьего порядка, отразили с достаточной точностью это явление. Это решение было существенным продвижением в задаче извлечения нити из жидкости, так как полученные результаты пригодны до Са ~ 1.

Вытеснение вязкой жидкости из капилляров В процессе вытеснения вязкой жидкости другой жидкостью или газом из круглого капилляра возникает сложное течение с поверхностью раздела, которая включает в себя область динамического мениска вблизи передней точки движущегося фронта раздела и область кольцевой остаточной пленки асимптотически постоянной толщины вдали от передней точки. Экспериментальные исследования таких течений (Fairbrother, Stubbs, 1935; Bretherton, 1961; Taylor, 1961; Goldsmith, Mason, 1963; Aussillous, Quere, 2000) касаются, прежде всего, измерений толщины остаточного слоя на стенках капилляра и показывают, что не существует единой корреляционной кривой, которая объединяла бы все экспериментальные точки.

Решение задачи о толщине остаточной пленки на стенках капилляра при Са —0 в рамках асимптотического подхода работы Ландау и Ле-вича для задачи о пленке на пластине, вытягиваемой из объема жидкости, было предложено в работе (Bretherton, 1961). Асимптотический метод (Bretherton, 1961) развит в работе (de Ryck, 2002), где сделана попытка учесть вклад инерции при малых инерционных членах в уравнении Навье-Стокса и использована поправка в уравнениях приближения смазки, введенная в (Spiers et al., 1974) для задачи о пленке на вытягиваемой пластине. При этом в (de Ryck, 2002) критерий для определения предельной толщины пленки выбирался исходя из эмпирических соображений.

Новый подход к задаче нанесения покрытий, заключающийся в построении системы уравнений, допускающей сквозной счет от асимптотических условий постоянства толщины пленки до передней точки динамического мениска (Шкадов, Шкадова, 1997) был применен и к процессу вытеснения жидкости из капилляра как при малых, так и при больших значениях Са (Кулаго и др., 1997). Было получено хорошее согласие теоретических решений с экспериментальными данными (Fairbrother, Stubbs, 1935; Bretherton, 1961; Taylor, 1961) и обнаружен немонотонный характер формы вытеснения в интервале капиллярных чисел от Са = 0, 05 до Са = 0, 5.

В настоящей работе дано развитие гидродинамической теории процесса вытеснения жидкости из капилляра, обеспечивающее возможность истолкования экспериментов при различных условиях и прежде всего для инерционных режимов вытеснения, наблюдавшихся в работе (Aussillous, Quere, 2000). Для этого система уравнений работы (Кулаго и др., 1997) обобщается посредством учета сил инерции; выводится полная система уравнений для формы поверхности раздела жидкостей при вытеснении из капилляра с учетом взаимодействия фаз. Получены численные решения данной системы для теоретического истолкования результатов эксперимента (Aussillous, Quere, 2000). Также получены решения, соответствующие немонотонным профилям границы раздела, и обсуждена их связь с экспериментальными данными работ (Fairbrother, Stubbs, 1935; Schwartz et al, 1986; Scoffoni et al., 2001).

Течение пленки под воздействием эффекта Марангони Один из способов нанесения тонкого слоя жидкости на твердую неподвижную подложку состоит в создании градиента температуры на поверхности контакта подложки с жидкостью. Вследствие этого возникает градиент поверхностного натяжения, который служит движущей силой, вызывающей растекание жидкости по подложке (эффект Марангони). При этом движение жидкости может быть направлено против действия массовых сил. Вертикальные пленки в поле силы тяжести с движущимся вверх фронтом наблюдались в экспериментах (Ludviksson, Lightfoot, 1971; Carles, Cazabat, 1993; Fanton et al., 1996). В этом случае пленка ограничена снизу зоной мениска и сверху движущимся фронтом.

При движении фронта пленки на линии контакта поверхности пленки с твердой подложкой невозможно выполнение условия равенства нулю скорости жидкости на твердой поверхности. Это ограничение можно снять, предположив, что пленка распространяется не по сухой подложке, а поверх тонкого слоя жидкости ("предвестника"), возникшего в результате испарения жидкости из пленки и конденсации ее на подложке. Такой предвестник наблюдался в (Ludviksson, Lightfoot, 1971). Теоретические работы (Kataoka, Troian, 1997, 1998) по исследованию термокапиллярного течения на вертикальной пластине посвящены определению профиля фронта термокапиллярной пленки. Для решения такой задачи необходимо знать условия на границах исследуемой области — асимптотическую толщину пленки вдали от фронта и толщину предвестника. Толщина пленки определяется течением в области мениска — области перехода пленки в объем жидкости. Таким образом, задача определения параметров термокапиллярного нате-кания жидкости на твердую вертикальную пластину заключается в решении уравнений движения и определении формы границы течения в области динамического мениска и в области фронта пленки. В настоящей работе представлены первые результаты по этой новой задаче, полученные интегрированием системы уравнений, характерной для подхода работы (Шкадов, Шкадова, 1997) и дополненной необходимыми граничными условиями для конкретного случая термокапиллярной пленки (Такмазьян, Шкадов, 2002).

Подробное экспериментальное исследование термокапиллярной пленки на вертикальной стенке было проведено в работе (Ludviksson, Lightfoot, 1971). Авторами этой работы было экспериментально установлено, что толщина пленки линейно зависит от приложенного градиента поверхностного натяжения. Экспериментальные измерения толщины термокапиллярной пленки были проведены также в работах (Carles, Cazabat, 1993; Fanton et al, 1996). В работе (Fanton et al., 1996) было сделано обобщение формулы Ландау, из которой таким образом была получена формула для зависимости асимптотической толщины пленки от градиента поверхностного натяжения. При этом в области значений параметров, соответствующей эксперименту этой работы, данная формула требует поправки порядка 20% в градиенте поверхностного натяжения, в то время как результаты нашей работы в определении толщины пленки полностью соответствуют экспериментам (Carles, Cazabat, 1993; Fanton et a/., 1996).

В настоящей работе проведен расчет профиля мениска термокапиллярной пленки для случая свободной геометрии (когда нет влияния границ объема жидкости). Полученные результаты совпадают во всем диапазоне параметров с данными экспериментов (Carles, Cazabat, 1993; Fanton et al., 1996). Построена модель и проведены расчеты фронта термокапиллярной пленки. Рассчитанные профили фронтов хорошо соответствуют измеренным экспериментально в работе (Ludviksson, Lightfoot, 1971).

Диссертация состоит из введения и четырех глав. В первой главе формулируется общий подход, три последующие отражают результаты решения трех основных задач.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Такмазьян, Андрей Куркенович

Заключение

Разработан эффективный метод сведения краевых задач для уравнений Навье-Стокса, описывающих неоднородные течения пленок с включением зон мениска, к модельным системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Во всех трех рассмотренных частных случаях двухточечные краевые задачи для модельных систем корректны и допускают построение решений численными методами. Тем самым обеспечена возможность математического моделирования реальных пленочных течений на режимах, которые до сих пор не поддавались теоретическому истолкованию. Модифицированный вариант метода, названный методом поверхностей равных расходов, позволяет успешно исследовать также течения жидкостей и газов без поверхностей раздела, как это было продемонстрировано ранее на задаче смешения нагретых газов в дымовых трубах.

В рамках единого подхода исследованы три группы течений, в которых формирующаяся на твердой поверхности жидкая пленка соединена с жидким объемом зоной мениска. Успешно рассчитаны инерциальные режимы течений при больших значениях капиллярного числа Са, для ряда случаев впервые получено согласование расчетных и экспериментальных данных о предельной асимптотической толщине пленки и форме ограничивающей поверхности раздела. Обнаружены явления: образование немонотонных поверхностей раздела при вытеснении жидкости из капилляра; существование критического значения числа Капицы 7, разделяющего режимы извлечения плоской поверхности из жидкого объема на два типа по характеру зависимости асимптотической толщины пленки, от Са; существование двух принципиально различающихся режимов натекания жидкой пленки на твердую поверхность против действия силы тяжести, вызываемых термокапиллярным эффектом Марангони.

Вывод Представленная теория течения неоднородных пленок при больших значениях безразмерных параметров, связанных с силой тяжести и инерционными членами, представляет существенное развитие асимптотического подхода, приводящего к формуле Ландау-Левича-Дерягина, при выводе которой эти параметры полагаются равными нулю. Метод исследования может успешно применяться как к течениям с поверхностями раздела, так и к течениям однородной среды в тех случаях, когда исходная постановка задачи отбрасыванием малых членов сводится уравнениям типа пограничного слоя.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Такмазьян, Андрей Куркенович, 2003 год

1. E. P. Bretherton. The motion of long bubbles in tubes. J. Fluid Mech., 10, 166-188, 1961.

2. P. Carles, A. M. Cazabat. The thickness of surface-tension-gradient-driven spreading films. J. Colloid Interface Sci., 157, 196-201, 1993.

3. R. L. Cerro, L. E. Scriven. Rapid free surface film flows: An integral approach. Ind. Eng. Chem. Fundam., 19, № 1, 40-50, 1980.

4. H.-C. Chang, E. A. Demekhin. Complex Wave Dynamics on Thin Films. Elsevier, 2002.

5. A. de Ryck. The effect of weak inertia on emptying of a tube. Phys. Fluids, 14, № 7, 2102-2108, 2002.

6. A. de Ryck, D. Quere. Inertial coating of a fibre. J. Fluid Mech., 311, 219-237, 1996.

7. F. Fairbrother, A. E. Stubbs. The bubble-tube method of measurement. J. Chem. Soc., № 1, 527-529, 1935.

8. X. Fanton, A. M. Cazabat, D. Quere. Thickness and shape of films driven by a Marangoni flow. Langmuir, 12, 5875-5880, 1996.

9. H. L. Goldsmith, S. G. Mason. The flow of suspensions through tubes: II. single large bubbles. J. Coll. Sci., 18, 237-261, 1963.

10. P. Groenveld. High capillary number withdrawal from viscous newtonian liquids by flat plates. Chem. Eng. Sci., 25, № 3, 33-40, 1970.

11. C. Gutfinger, J. A. Tallmadge. Films of non-newtonian fluids adhering to flat plates. AIChE J., 11, № 3, 403-413, 1965.

12. D. E. Kataoka, S. M. Troian. A theoretical study of instabilities at the advancing front of thermally driven coating films. J. Colloid Interface Sci., 192, 350-362, 1997.

13. D. E. Kataoka, S. M. Troian. Stabilizing the advancing front of thermally driven climbing films. J. Colloid Interface Sci., 203, 335-344, 1998.

14. H. S. Kheshgi. Profile equtions for film flows at moderate Reynolds numbers. AIChE J., 35, № 10, 1719-1727, 1989.

15. H. S. Kheshgi, S. F. Kistler, L. E. Scriven. Rising and falling film flows: Viewed from a first-order approximation. Chem. Eng. Sci., 47, № 3, 683-694, 1992.

16. J. P. Kizito, Y. Kamotani, S. Ostach. Experimental free coating of flows at high capillary and reynolds number. Experiments in Fluids, 27, 235-243, 1999.

17. A. Koulago, V. Shkadov, D. Quere, A. de Ryck. Film entrained by a fiber quickly drawn out of a liquid bath. Phys. Fluids, 7, № 6, 1221-1224, 1995.

18. D. Landau, V. G. Levich. Drag of a liquid by a moving plate. Acta Phys. Chim. USSR, 17, 42-54, 1942.

19. C. Y. Lee, J. A. Tallmadge. Meniscus shapes in withdrawal of flat sheets from liquid baths. Dynamic profile data at low capillary numbers. Ind. Eng. Chem. Fundam., 13, № 4, 356-360, 1974.

20. V. Ludviksson, E.N. Lightfoot. The dynamics of thin liquid films in the presence of surface-tension gradients. AIChE J., 17, 1166-1173, 1971.

21. D. Quere. Fluid coating a fiber. Annu. Rev. Fluid Mech., 31, 347-384, 1999.

22. S. Radev, V. Shkadov. On a stability of two-layer capillary jet. Theor. Appl. Mech, № 16, 68-75, 1985.

23. C. Ruyer-Quil, P. Manneville. Modeling film flows down inclined planes. Eur. Phys. J. B, 6, 277-292, 1998.

24. W. Schwartz, R. A. Cairncross, D. E. Weidner. Anomalous behavior during leveling of thin coating layers with surfactant. Phys. Fluids, 8, № 7, 1693-1695, 1996.

25. W. Schwartz, H. M. Princen, A. D. Kiss. On the motion of bubbles in capillary tubes. J. Fluid Mech., 172, 259-275, 1986.

26. J. Scoffoni, E. Lajeunesse, G. M. Homsy. Interface instabilities during displacement of two miscible fluids from a vertical pipe. Phys. Fluids, 13, № 3, 553-556, 2001.

27. E. Scriven, W. L. Suszynski. Take a closer look at coating problems. Chem. Eng. Progr., , 24-29, September 1990.

28. V. Ya. Shkadov. Hydrodynamics of slopped falling films. In M. G. Velarde, R. Kh. Zeytounian, editors, Interfacial phenomena and the Marangoni effect, pages 191-224. Springer-Verlag, 2002.

29. R. I. Spiers, С. V. Subbaraman, W. L. Wilkinson. Free coating of a newtonian liquid onto a vertical surface. Chem. Eng. Sci., 29, 389-396, 1974.

30. J. A. Tallmadge, A. J. Soroka. The additional parameter in withdrawal. Chem. Eng. Sci., 24, 377-383, 1969.

31. G. I. Taylor. Deposition of a viscous fluid on the wall of a tube. J. Fluid Mech., 10, 161-165, 1961.

32. G. F. Teletzke, H. T. Davis, L. E. Scriven. Wetting hydrodynamics. Rev. Phys. Appl, 23, 989-1007, 1988.

33. D. A. White, J. A. Tallmadge. Theory of drag out of liquids on flat plates. Chem. Eng. Sci., 20, 33-37, 1965.

34. С. В. Алексеенко, В. E. Накоряков, Б. Г. Покусаев. Волновое течение пленок жидкости. Новосибирск, Наука, 1992.

35. A. В. Бунов, Е. А. Демехин, В. Я. Шкадов. Бифуркации уединенных волн в стекающем слое жидкости. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ., № 2, 73-78, 1986.

36. E. А. Демехин, М. А. Каплан, В. Я. Шкадов. О математических моделях теории тонких слоев вязкой жидкости. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, № 6, 73-81, 1987.

37. B. Е. Епихин, Г. М. Сисоев, В. Я. Шкадов. Стационарное течение составных капиллярных струй. ПМТФ, № 1, 134-138, 1989а.

38. В. Е. Епихин, Г. М. Сисоев, В. Я. Шкадов. Течение двухслойных осесиммет-ричных струй с предварительной закруткой. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ., № 2, 67-71, 1989b.

39. P. X. Зейтунян. Проблема термокапиллярной неустойчивости Бенара-Марангони. Успехи физических наук, 168, № 3, 259-286, 1998.

40. П. JI. Капица, С. П. Капица. Волновые течения тонких слоев жидкости. Журн. Экспер. Теор. Физ., 19, 105-120, 1949.

41. А. Е. Кулаго, В. П. Шкадова, В. Я. Шкадов. К гидродинамической теории нанесения тонкослойных покрытий на движущиеся поверхности. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ., № 2, 95-100, 1993.

42. А. Е. Кулаго, В. П. Шкадова, В. Я. Шкадов. К задаче о вытеснении вязкой жидкости из капилляра. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ., № 4, 42-46, 1997.

43. И. П. Семенова, А. Е. Якубенко. Стационарные течения вязкой несжимаемой жидкости по сухой стенке. Отчет НИИМех МГУ, № 2381, 1-37, 1980.

44. A. К. Такмазьян, В. Я. Шкадов. Течение пленки жидкости под воздействием термокапиллярного эффекта Марангони. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ., № 3, 46-50, 2002.

45. Д. А. Тушканов, В. Я. Шкадов. Нелинейные волны в двухслойных пленках. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ. (в печати), , 2003.

46. JI. П. Холпанов, В. Я. Шкадов. Гидродинамика и тепломассообмен с поверхностью раздела. М., Наука, 1990.

47. B. Я. Шкадов. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой жидкости под действием силы тяжести. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, № 1, 43-51, 1967.

48. В. Я. Шкадов. К теории волновых течений тонкого слоя вязкой жидкости. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, № 2, 20-25, 1968.

49. В. Я. Шкадов. Некоторые методы и задачи теории гидродинамической устойчивости. М.: МГУ, 1973.

50. В. Я. Шкадов. Уединенные волны в слое вязкой жидкости. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, N2 1, 63-66, 1977.

51. В. Я. Шкадов, В. Е. Епихин, А. В. Бунов, Е. А. Демехин, Л. В. Филянд. Устойчивость течений с поверхностями раздела (слои жидкости, капиллярные струи). Отчет НИИМех МГУ, № 2564, 1-100, 1981.

52. В. Я. Шкадов, А. К. Такмазьян. Инерционные режимы вытеснения вязкой жидкости из капилляра. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ., № 3, 2003.

53. В. Я. Шкадов, В. П. Шкадова. Турбулентное смешение газов в комбинированных высотных сооружениях. Отчет НИИМех МГУ, № 4349, 1-48, 1994.

54. В. Я. Шкадов, В. П. Шкадова. Инерционные режимы течения капиллярных пленок. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ., N5 2, 45-50, 1997.1. Иллюстрации

55. Техника проведения эксперимента с вытягиванием пластиныF08 06 0.402 0• • •••