Вибрационный изгиб вязкоупругих пластинок и оболочек с учетом поперечных сдвигов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Барышев, Андрей Алексеевич

• Барышев, Андрей Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Барышев, Андрей Алексеевич

Введение

Глава 1. Определение напряженно-деформированного состояния 16 при вибрационном изгибе вязкоупругих оболочек с учетом поперечных сдвигов и инерции вращения

1.1 Основная система дифференциальных уравнений для 16 определения НДС при установившихся колебаниях вязкоупругих оболочек

1.2 Определение мощности источников тепла и установившейся 20 температуры саморазогрева при изгибных колебаниях вязкоупругих оболочек

Глава 2. Вибрационных изгиб вязкоупругих пластинок в 23 уточненной постановке с учетом сил инерции вращения

2.1 НДС и температура саморазогрева при изгибе прямоугольной 28 пластинки с шарнирно опертым контуром

2.1.1 Аналитическое определение НДС

2.1.2 Аналитическое определение температуры саморазогрева

2.2 Вибрационный изгиб прямоугольной пластинки при 35 шарнирном опирании двух противоположных сторон

2.2.1 Численное определение НДС пластинки

2.2.2 Численное определение температуры саморазогрева 41 пластинки

2.3 Определение НДС и теплового поля прямоугольной 48 пластинки при произвольном закреплении контура

2.3.1 Определение НДС

2.3.2 Определение температуры

2.4 Влияние анизотропии материала на НДС и тепловое поле 60 пластинки в задаче о вибрационном изгибе в уточненной постановке

Выводы по главе

Глава 3. Вибрационный изгиб вязкоупругих оболочек вращения 65 под действием осесимметричной нагрузки в уточненной постановке

3.1 Напряженно-деформированное состояние и тепловое поле при 65 изгибе тонких вязкоупругих оболочек вращения

3.2 Напряженно-деформированное состояние и тепловое поле при 72 изгибе тонких вязкоупругих цилиндрических оболочек

3.2.1 Определение НДС

3.2.2 Определение температуры

3.3 Численное исследование НДС и температурного поля при 85 установившихся осесимметричных колебаниях усеченных конических оболочек

3.3.1 Определение НДС

3.3.2 Определение температуры

3.4 Определение напряженно-деформированного состояния и 98 установившейся температуры саморазогрева при вибрационном изгибе усеченных сферических оболочек

3.4.1 Определение НДС

3.4.2 Определение температуры

3.5 Влияние кривизны образующей оболочки на НДС и 108 температуру саморазогрева при установившихся изгибных колебаниях под действием осесимметричной нагрузки.

3.6 Влияние анизотропии на НДС и тепловое поле при 112 вибрационном изгибе оболочек вращения под действием осесимметричной нагрузки

Выводы по главе

Глава 4. Вибрационный изгиб вязкоупругих оболочек вращения 118 под действием неосесимметричной нагрузки в уточненной постановке

4.1 Основные уравнения для определения НДС и температуры 118 саморазогрева

4.2 НДС и температура разогрева круговых цилиндрических 126 оболочек при неосесимметричном нагружении

4.3 О влиянии тангенциальных сил инерции и инерции вращения 131 на НДС и температурное поле круговых цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении

4.4 Влияние трансверсальной изотропии на НДС и температуру 139 круговых цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении

Выводы по главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вибрационный изгиб вязкоупругих пластинок и оболочек с учетом поперечных сдвигов»

Многие элементы конструкций современной техники выполнены в виде пластинок и оболочек различной формы и сложной структуры и находятся под действием силовых нагрузок и температурного поля.

В различных отраслях современной техники в качестве конструкционных материалов широкое применение находят полимеры и изготовленные на их основе стеклопластики. Для полимеров уже при обычной температуре характерны явления ползучести деформаций и релаксации напряжений. Поэтому расчет полимерных конструкций следует вести с учетом указанных особенностей, что можно сделать лишь на основе уравнений вязкоупругости или вязкопластичности.

Одной из отличительных особенностей вязкоупругих тел от идеально упругих является их способность к рассеиванию энергии. Так при длительном гармоническом нагружении становится возможным высокий уровень саморазогрева конструкций из таких материалов. Исследование таких процессов началось, по-видимому, только во второй половине XX столетия. Одной из первых работ, опубликованных на русском языке, в этом направлении явилась статья Москвитина В. В. [45]. Вскоре выходят переводы статей [82, 83], в которых рассматриваются вопросы диссипативного разогрева в полимерном материале. Практически одновременно с этой работой была опубликована статья J1.A. Галина [15]. В ней приведено в квазистатической постановке аналитическое решение задачи о взаимодействии механического и теплового полей при продольных гармонических колебаниях полимерного стержня. В том же году (1965) вышла в свет работа С.Б. Ратнера и В.И. Коробова [70], посвященная вопросу саморазогрева при циклическом нагружении пластмасс. Уже в 1970 г. вышла монография А.А. Ильюшина и Б.Е. Победри [28], в которой последовательно и математически строго сформулированы основные положения термовязкоупруго-сти. .

Эти работы привлекли внимание широкого круга исследователей, работающих в области механики деформируемого твердого тела, результатом чего явились многочисленные публикации, в которых приводились решения различных задач.

В последние десятилетия вопросы вязкоупругого поведения элементов конструкций, в том числе и вопросы термовязкоупругости, остаются предметом изучения многими авторами. Проводятся также исследования по смежным вопросам. В частности, для расчета элементов электронных приборов, изготовленных из пьезокерамик, выполняется большой цикл исследований по электротермовязкоупргости [32, 34, 68, 72] и др.

Широкое применение при изучении колебаний тонкостенных элементов конструкций из вязкоупругих материалов получила классическая теория, основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява для оболочек [14, 98] и гипотезах Кирхгофа для пластинок [91, 92]. В рамках этих гипотез в работах [39, 41, 47, 50, 58] дана общая постановка и решение задачи о взаимодействии полей деформации и температуры вязкоупругой изотропной цилиндрической оболочки. Колебания круглых и прямоугольных пластинок рассматривались в работах [5, 36, 38, 44, 46-49, 59, 75] и др. Задачам поведения ортотропных вязкоупругих оболочек посвящены статьи [40, 42]. Эти и многие другие результаты обобщены в монографиях [31, 33, 35-37, 57]. В этих монографиях также приведена обширная библиография, в том числе даются многочисленные ссылки на работы иностранных авторов.

При решении задач термовязкоупругости используются различные приближенные и численные методы [29, 30, 33, 51-53, 71, 74, 80] и др. Для решения одномерных и двумерных задач теории пластин и оболочек широко применяется метод сплайн-функций [20-25, 27, 54-56]. К числу преимуществ этого метода можно отнести устойчивость относительно локальных возмущений, хорошую сходимость сплайн-интерполяции и удобство реализации алгоритмов на ЭВМ.

Для пластин и оболочек из композитных материалов, характеризующихся анизотропией, толстостенных оболочек, подверженных локальным воздействиям, а также в ряде других случаев, необходим учет факторов, игнорируемых классической теорией.

Основные способы приведения трехмерных задач теории упругости к двумерным, согласно Гольденвейзеру A. JI. [17, 18], Новожилову В. В. [67], можно разделить на три группы: (а) метод гипотез; (б) метод разложений искомых функций по толщине; (в) асимптотический метод.

Остановимся подробнее на некоторых вариантах метода гипотез. Большую известность завоевала гипотеза прямолинейного элемента, примененная для однослойных упругих и вязкоупругих стержней, пластинок и оболочек [19, 69, 76, 77-79, 84, 87, 89, 100, 112-115 и др.]. В этой теории компоненты перемещения представляются в виде: ua(cc,p,y,t) = u(a,/3,t) + yra{a,/3,t), ир (а, Д у, t) = v(a, р, t) + уу р Д (в-1) uy(a,p,Y,t) = w{cc,f3,t).

Здесь а,/3,у - выбранные соответствующим образом координаты объекта, u(a,/3,t), v(a,/3,t), w{a,f3,i) - тангенциальные смещения и прогиб точек срединной поверхности, a ya(a,j3,t), - неизвестные функции, характеризующие углы поворота нормали к срединной поверхности. Эти гипотезы в литературе часто связывают с именем С. П. Тимошенко.

По-видимому, впервые в работах Е. Рейснера [107, 108] предложена » уточненная теория, в которой предполагается линейная зависимость некоторых напряжений от толщины. Однако подобный учет поперечных сдвигов приводит к перемещениям вида (В.1), что обсуждалось в работе [86].

В связи с тем, что линейное распределение перемещений и тангенциальных составляющих тензора напряжений по толщине не всегда хорошо согласуется с решениями трехмерных задач теории упругости, получили распространение и другие уточненные модели, например [66, 94-97, 101, 102, 104, 105, 109, 116].

Широкое признание завоевал метод, основанный на задании нелинейного закона распределения по толщине компонент вектора перемещения в виде [85, 93, 99, 103, 106, 110]: ur(a,f3,y,t)=w{a,p,t).

Следует отметить, что к этому направлению примыкают исследования, отраженные в работах [13, 81 и др.].

По-видимому, впервые в работах С. А. Амбарцумяна [1-4] предложены гипотезы о квадратичной зависимости поперечных касательных напряжений от толщины объекта:

Отметим, что существуют теории с удержанием слагаемых более высокого порядка в разложении перемещений по толщине, например [26]. Однако их применение не столь распространено.

Преобладающая часть результатов в решении задач статики и динами вязкоупругих пластин и оболочек получена с использованием метода гипотез.

Теория однослойных оболочек из вязкоупругих ортотропных материалов с учетом связанности механических и тепловых полей, по-видимому, впервые разработана в монографии [33]. В этой работе поперечные сдвиги учитываются на основе гипотезы прямолинейного элемен

1 c)w

Up{a,p,Y,i) = v(a,0,t)-y-— + y yp{a>/3,t),

В дВ aar{a,P,yj) = /О'/?,/), cjpr{a,p,y,t) = f{y}i/{cc,f3,t), uy{a,j3,y,t) = w(a,/3,t).

Здесь <p(a,fi,t), y/(a,j3,t) - неизвестные функции, характеризующие сдвиговые деформации, а функция /(у) считается заданной. та. Однако при этом также предполагалось, что температура по толщине оболочки меняется по линейному закону или постоянна. В работе [39] рассматриваются вынужденные изгибные колебания и диссипативный разогрев составных стержней с учетом деформации поперечного сдвига и инерции вращения. Последние факторы учитываются на основании гипотезы плоских сечений, справедливых по всей толщине стержня. Вынужденные колебания многослойной цилиндрической оболочки вращения, сог стоящей из чередующихся слоев двух типов: армирующего (упругий материал) и заполнителя (вязкоупругий материал), под воздействием гармонического нагружения исследуются в [43]. В качестве основной принята модель теории оболочек типа Тимошенко, позволяющая учитывать потери механической энергии вследствие возникновения сдвиговых деформаций. В [114] обсуждаются вопросы теории вязкоупругих балок Тимошенко, учитывающей сдвиговые деформации. Изучены некоторые частные случаи, соответствующие известным реологическим моделям (например, стандартного вязкоупругого тела). На основе уточненной теории (предполагается квадратичное изменение деформаций поперечного сдвига по толщине) развит конечноэлементный метод расчета динамического поведения оболочек вращения из анизотропного вязкоупругого материала при нестационарном нагружении в работе [71].

Вопросу погрешности гипотез классической теории в теории упругости посвящена не одна сотня публикаций. Однако в задачах вибрационного изгиба вязкоупругих пластин и оболочек этот вопрос остается актуальным и на сегодняшний день. Работы, в которых проводится подобный анализ на основе трехмерных уравнений, только начинают появляться [60-65, 73] и полная картина станет ясна далеко не сегодня.

Приведенный далеко не полный обзор литературы и сделанные выше замечания свидетельствуют о большой актуальности проблемы колебаний вязкоупругих тел и о том, что она еще далека от завершения.

В связи с этим, несмотря на многочисленные публикации, посвященные вопросу применения неклассических теорий, в задачах об установившихся поперечных колебаниях изотропных и анизотропных вязкоупру-гих тонкостенных элементов несомненный теоретический и практический интерес представляют вопросы сравнительного анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) и теплового поля, получаемых по классической и уточненным теориям.

В диссертации такой анализ выполнен для трех различных моделей. Общими для этих моделей являются предположения о неизменности прогиба по толщине оболочки (пластинки) и малости напряжения сгу по сравнению с остальными напряжениями. Модели отличаются законами изменения тангенциальных смещений по толщине.

Эти законы записываются в виде ur{a,fi,y,t) = w(a,J3,t).

Здесь а = х, р-у - декартовы координаты на срединной плоскости пластинки, для оболочки-а и /? отсчитываются вдоль линий главной кривизны ее срединной поверхности; у — координата нормали к срединной плоскости пластинки или срединной поверхности оболочки. В формулах (В .2) ya{a,J3,t), yp(a,j3,t) - неизвестные функции, u(a,/3,t), v(a,/3,t) и w(a,j3,t) - тангенциальные смещения и прогиб точек срединной поверхности; А = А{а,0), В = В(а,0) — коэффициенты первой квадратичной формы срединной поверхности (для пластинки А = В = 1), Я - коэффициент, определяющий вариант теории. иа (а, Д у, t) = и(а, /7, t)+ууа (а, /?, t)- ~(уа (a, j3,t)+~ ^^ & ,

3 h \ А да J

4 у3

Up (а, Р, y,t)=v(a, A t) + уур (а, /?> 0- --у

5 п

Up

При Х = 0 и = = по

V ) А да гр\ ) в др ле перемещений (В.2) соответствует классической модели (в дальнейшем, КМ) изгиба оболочек, согласно которой отрезок нормали к недеформиро-ванной срединной поверхности остается прямолинейным и перпендикулярным к срединной поверхности после деформации.

При X = О имеем гипотезы прямолинейного элемента, где

У и ~ У а a,/3,t) и ур = yp{a,P,t) - неизвестные функции, характеризующие углы поворота нормали к срединной поверхности. В этой модели отрезок нормали к недеформированной срединной поверхности остается прямолинейным, но перестает быть перпендикулярным к деформированной срединной поверхности. Далее в работе для этой модели принято обозначение МТТ.

Положим X = 1 и

8 ' Л да

Ясно, что при этом составляющие компонент деформации е£р к = 1,2) будут изменяться по толщине по кубическому закону, а е^, по квадратичному закону. В этом случае отрезок нормали к недеформированной срединной поверхности, как и в модели МТТ, перестает быть перпендикулярным к срединной поверхности после деформации и при этом искривляется. Подобный учет поперечных сдвигов соответствует гипотезам, предложенным в работах С. А. Амбарцумяна. В дальнейшем для этой модели принято сокращение МТА.

Цель работы:

• построение без каких-либо предварительных предположений о характере изменения температуры по толщине пластинки (оболочки) полных систем разрешающих уравнений для определения НДС и температуры диссипативного разогрева при вибрационном изгибе пластинок, осесим-метричных и неосесимметричных колебаниях оболочек вращения из трансверсально изотропного линейного вязкоупругого материала, свойства которого зависят от частоты внешнего возбуждения и температуры;

• для трансверсально изотропных вязкоупругих пластинок, свойства которых не зависят от температуры (несвязанные задачи), получение точных аналитические решений для характеристик НДС и температуры саморазогрева при некоторых простых способах закрепления контура (модельная задача);

• разработка эффективной методики численного решения несвязанных задач при сложных способах закрепления;

• исследование влияния на НДС и температуру диссипативного разогрева трансверсальной анизотропии материала;

• оценка влияния на значения критических частот, НДС и тепловое поле при вибрационном изгибе пластинок и оболочек отдельных составляющих сил инерции;

• проведение сравнительного анализа влияния на напряженно-деформированное состояние и температурное поле разных вариантов учета поперечных сдвигов и определение интервалов толщин, в которых при различных способах закрепления рассматриваемых объектов классическая и уточненные теории дают близкие результаты.

Научная новизна.

В работе дан вывод полных систем разрешающих интегро-дифференциальных уравнений, представляющих три наиболее распространенные математические модели задач об установившихся поперечных колебаниях пластинок и оболочек из трансверсально изотропного линейного вязкоупругого материала, свойства которого зависят от температуры, при произвольном законе изменения последней по толщине объекта.

В случае материала с независящими от температуры свойствами (несвязанные задачи) получены точные аналитические решения для характеристик НДС и температуры саморазогрева пластинок при некоторых простых способах закрепления контура. При более сложных способах предложена эффективная методика численного решения.

По результатам вычислительных экспериментов сделаны выводы о существенной роли окружных сил инерции в задачах вибрационного изгиба вязкоупругих оболочек под действие неосесимметричной нагрузки. Определены области согласования «классических» и «уточненных» НДС и температуры саморазогрева. Выявлен характер влияния трансверсальной анизотропии материала в рассматриваемых задачах.

Достоверность полученных результатов обеспечивается

• в аналитических решениях — строгостью математической постановки задач и обоснованным применением соответствующего математического аппарата;

• при численном решении - хорошим совпадением результатов для модельных задач.

Практическая значимость.

Работа носит в основном теоретический характер. Однако разработанные методики могут найти применение при решении широкого класса задач об установившихся колебаниях пластинок и оболочек из трансвер-сально изотропного вязкоупругого материала в конструкторских бюро машиностроительного профиля.

Результаты проведенных исследований используются в специальном курсе по термовязкоупругости и при подготовке курсовых и дипломных работ для студентов, специализирующихся по кафедре математической теории упругости и биомеханики.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на:

• I Международной конференции молодых учёных и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2000);

• II Международной конференции молодых учёных и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2001);

• XL Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2002);

• конференциях «Актуальные проблемы математики и механики» (Саратов, 2002, 2003, 2004 г.г.);

• на научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета под руководством профессора Коссовича JI. Ю.

На защиту выносятся:

• полные системы разрешающих уравнений с учетом поперечного сдвига для определения НДС и температуры диссипативного разогрева при установившихся поперечных колебаниях пластинок и оболочек из трансверсально изотропного линейного вязкоупругого материала, свойства которого зависят от частоты внешнего возбуждения и температуры;

• точные аналитические решения несвязанных модельных задач для некоторых частных случаев нагружения и закрепления пластинок и оболочек;

• эффективные методики численного решения задач о вибрационном изгибе пластинок и оболочек вращения в рамках моделей типа Тимошенко и типа Амбарцумяна;

• оценки влияния на значения критических частот, характеристик НДС и температуры саморазогрева окружных и меридиональных составляющих сил инерции и инерции вращения при вибрационном изгибе круговых цилиндрических оболочек под действием неосесимметричной нагрузки в уточненной постановке;

• интервалы толщин рассматриваемых объектов, в которых классическая и уточненные теории дают близкие результаты, в задачах вибрационного изгиба пластинок и оболочек из изотропного вязкоупругого материала при различных способах закрепления контура и условиях теплообмена.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Барышев, Андрей Алексеевич

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

В рамках гипотез уточненных теорий построены полные системы разрешающих уравнений для определения НДС и температуры диссипативного разогрева при установившихся поперечных колебаниях пластинок и оболочек из трансверсально изотропного линейного вязкоупругого материала, свойства которого зависят от частоты внешнего возбуждения и температуры. Уравнения получены без каких-либо предварительных предположений о законе изменения температуры по толщине оболочки. Этот закон определяется в процессе решения задачи.

Для трансверсально изотропных пластинок, свойства которых не зависят от температуры, при некоторых способах закрепления контура получены точные аналитические решения для характеристик НДС и температуры саморазогрева.

Проведен анализ влияния на напряженно-деформированное состояние и температурное поле учета поперечных сдвигов и определены интервалы толщин, в которых при различных способах закрепления рассматриваемых объектов классическая и уточненные теории дают близкие результаты.

При вибрационном изгибе круговых цилиндрических оболочек под действием неосесимметричной нагрузки оценен вклад каждого из инерционных слагаемых в НДС и температуру саморазогрева.

Исследовано влияние на НДС и температуру диссипативного разогрева трансверсальной анизотропии материала.

Анализ результатов выполненных вычислительных экспериментов показал, что в случае вибрационного изгиба

• учет поперечного сдвига при определении НДС и температурного поля вязкоупругих пластинок средней толщины (h0 < 0,05 ) не существенно влияет на значения критических частот, амплитуд характеристик НДС и температуру саморазогрева.

• При изгибных колебаниях вязкоупругих оболочек учет поперечного сдвига не существенен даже для достаточно толстых оболочек при первой критической частоте. Однако при второй и третьей критических частотах «уточненные» НДС и установившаяся температура саморазогрева оболочек значительно отличаются от «классических» результатов при толщине h0 > 0,04.

• Влияние инерции вращения не существенно отражается на качественной картине и количественных значениях НДС и температурного поля, как в уточненных теориях, так и в рамках классической модели для рассмотренных объектов.

• В случае установившихся колебаний достаточно длинных (L/R>3) круговых цилиндрических оболочек под действием неосесимметричного нагружения существенные поправки в напряженно-деформированное состояние и температурное поле вносит учет окружных сил инерции. Влияние меридиональных сил инерции не столь значительно.

• При определении НДС и температуры диссипативного разогрева трансверсально изотропных вязкоупругих пластинок и оболочек, в случае, когда Ех »Е[, результаты, полученные без учета поперечного сдвига, непригодны для расчета реальных конструкций.

• В пластинках и оболочках даже при симметричных условиях теплообмена на лицевых поверхностях, в том числе и при теплообмене по закону Ньютона, тепловое поле меняется по толщине по нелинейному закону.

145

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Барышев, Андрей Алексеевич, 2004 год

1. Амбарцумян С. А. К теории изгиба анизотропных пластинок // Известия ОТН АН СССР. 1958. - №5. - С. 67-71.

2. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных оболочек. М.: 1961. 384 с.

3. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. М.: 1967. 268 с.

4. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: 1974. -448 с.

5. Барышев А. А. Связанная задача термовязкоупругости об установившихся поперечных колебаниях вязкоупрутой пластины-полосы // Актуальные проблемы современной науки: Тез. докл. 1-ой междунар. конф. молодых ученых. Самара, 2000. С.70.

6. Барышев А. А., Недорезов П. Ф. Задача об установившихся поперечных колебаниях вязкоупрутой прямоугольной пластины в уточненной постановке // Актуальные проблемы современной науки. Тез докл 2-ой междунар. конф. молодых ученых Самара, 2001. С. 135.

7. Барышев А А Задачи об установившихся поперечных колебаниях вязкоупрутой прямоугольной пластины в уточненной постановке // Студент и научно-технический прогресс: Мат. XL междунар науч. студ. конф Новосибирск, 2002. С.90.

8. Барышев А. А., Недорезов П. Ф. Постановка задач вибрационного изгиба вязкоупругой прямоугольной пластины с учетом поперечных сдвигов и инерции вращения // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Вып. 4. Саратов, 2002. С. 169-171.

9. Барышев А.А. Об учете поперечных сдвигов при изгибе тонких вязкоупругих оболочек вращения под действием неосесимметричной нагрузки // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Вып. 6. Саратов, 2004. -С. 159-161. (в печати).

10. Власов Б.Ф. Об уравнениях теории изгиба пластинок // Известия ОТН АН СССР. 1957. - №12.

11. Власов В. 3. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М -JI.: Гостехиздат, 1949. -784 с.

12. Галин JI. А. О действии вибрационной нагрузки на полимерные материалы // Изв. АН СССР. Механика. 1965. - № 6. - С. 53-58.

13. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем однородных линейных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1961.- 16, №3.-С. 171-174.

14. П.Гольденвейзер A. JI. Методы обоснования и уточнения теории оболочек // ПММ. 1968. - Вып. 4. - С. 684-695.

15. Гольденвейзер A. JI. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. - 512 с.

16. Григоренко Я. М., Василенко А. Т., Панкратова Н. Д. К расчету напряженного состояния толстостенных неоднородных анизотропных оболочек // Прикл. механика. 1974. - 10, № 5. - С.86-93.t

17. Григоренко Я. М., Беренов М. Н. Решение двумерных задач об изгибе прямоугольных пластин на основе сплайн-аппроксимации // Докл. АН УССР. Сер. А. 1987. - № 8. - С. 22-25.

18. Григоренко Я. М., Беренов М. Н. О численном решении задач статики пологих оболочек на основе метода сплайн-коллокации // Прикп. механика. 1988. - 24, № 5. С. 32-36.

19. Григоренко Я. М., Беренов М. Н. О решении задач статики пологих оболочек и пластин с шарнирно опертым и жестко закрепленным противоположными краями // Прикл. механика. 1990. - 26, № 1. С. 30-38.

20. Григоренко Я. М., Крюков Н. Н. Решение задач теории пластин и оболочек с применением сплайн-функций (Обзор) // Прикл. механика. -1995.-31, №6. -С. 3-27.

21. Григоренко Я.М. Некоторые подходы к численному решению линейныхи нелинейных задач теории оболочек в классической и уточненнойiпостановках (Обзор) // Прикл. механика. 1996. - 32, №6. - С. 3-39.

22. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Урусова Г.П. К решению задач о напряженном состоянии анизотропных оболочек в неклассической постановке // Прикл. механика.

23. Завьялов Ю. С., Квасов Ю. И., Мирошниченко В. М. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

24. Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. 280 с.

25. Карнаухов В. Г. О приближенном методе решения динамических задач термовязкоупругости // Тепловые напряжения в элементах конструкций. -1967.-Вып. 12.-С. 27-35.

26. Карнаухов В. Г., Киричок И. Ф. Численное решение задач о вынужденных колебаниях вязкоупругих тел // Прикл. механика. 1974. -10, №6.-С. 43-48.

27. Карнаухов В. Г. Связанные задачи термовязкоупругости. Киев: Наук, думка, 1982. - 260 с.

28. Карнаухов В. Г., Киричок И. Ф. Уточненная теория слоистых вязкоупругих пьезокерамических оболочек с учетом теплообразования // Прикл. механика. 1985. - 21, № 6. - С. 53-60.

29. Карнаухов В. Г., Киричок И. Ф. Связанные задачи теории вязкоупругости пластин и оболочек. Киев: Наук, думка, 1986. 224 с.

30. Карнаухов В. Г, Киричок И. Ф. Электротермовязкоупругость // Механика связных полей в элементах конструкций. Киев- Наук, думка, 1988. Т. 4. 320 с

31. Карнаухов В. Г., Сенченков И. К., Гуменюк Б. П. Термомеханическое поведение вязкоупругих тел при гармоническом нагружении Киев. Наук думка, 1985.-288 с

32. Карнаухов В. Г, Гуменюк Б. П. Термомеханика предварительно деформированных вязкоупругих тел. Киев, 1990.

33. Карнаухов В. Г., Киричок И. Ф. Вынужденные гармонические колебания и диссипативный разогрев вязкоупругих тонкостенных элементов (Обзор) // Прикл механика. 2000. - 36, № 2. С. 39-62.

34. Киричок И. Ф., Карнаухов В. Г. Термомеханическое поведение гибких вязкоупругих пластин и оболочек при циклических нагрузках // Проблемы прочности. 1979. - № 3. - С. 10-14.

35. Киричок И. Ф. Влияние деформации сдвига и инерции вращения на термомеханическое поведение вязкоупругих стержней при изгибных колебаниях // Прикл. механика. 1991. - 27, № 1. - С. 84-89.

36. Коваленко А. Д. Развитие исследований в области термоупругости, термопластичности и термовязкоупругости // Прикл. механика. 1969. - 5, № 12.С. 1-16.

37. Коваленко А. Д., Карнаухов В. Г. Уравнения и решения некоторых задач теории вязкоупругих оболочек // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1967. - Вып. 7. - С. 11-24.

38. Коваленко А. Д., Карнаухов В. Г., Кильчинский А. А. О теплообразовании в ортотропных вязкоупругих цилиндрических оболочках при поперечных колебаниях // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1970. - Вып. 10. - С. 5-11.

39. Кривошеева Т. Н. Стационарные колебания многослойной цилиндрической оболочки // Тр. Междунар. науч.-практ. конф. "Стр-во-98", Ростов-на-Дону, 1998. - С. 105-106.

40. Марчук Г И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. -456 с.

41. Москвитин В. В. Температурные напряжения вследствие внутреннего трения материалов // Изв вузов, физика. 1960. - № 6. - С. 20-28.

42. Недорезов П. Ф. Установившиеся поперечные колебания пластинки из вязкоупругого материала // Мех. деформ. сред. Межвуз. науч. сб. Изд-во Сарат. ун-та, 1979. Вып. 6. С. 27-34.

43. Недорезов П. Ф. К определению температурного поля в полимерной цилиндрической оболочке при циклическом нагружении (техническая теория) // Прикладная теория упругости. Саратов: Изд-во Сарат. политех, ин-та, 1980. - С. 28-33.

44. Недорезов П. Ф. Об определении температурного поля при вибрационном изгибе полимерной пластинки с шарнирно опертыми сторонами // Мех. деформ. сред. Межвуз. науч. сб. Изд-во Сарат. ун-та, 1982. Вып. 7.-С. 57-65.

45. Недорезов П. Ф. Установившиеся поперечные колебания вязкоупругой пластинки с шарнирно опертыми сторонами // Мех. деформ. сред. Межвуз. науч. сб. Изд-во Сарат. ун-та, 1983. Вып. 8. С. 114-125.

46. Недорезов П. Ф. Вибрационное осесимметричное нагружение полимерной оболочки вращения // Мех. деформ. сред. Межвуз. науч. сб. Изд-во Сарат. ун-та, 1985. Вып. 9. С. 94-100.

47. Недорезов П. Ф., Сироткина Н. М. Численное решение задачи о вибрационном изгибе вязкоупругой пластинки с шарнирно опертыми сторонами // Сарат. гос. ун-т. Деп. в ВИНИТИ 16.11.1994 № 2612-В94. 10 с.

48. Недорезов П. Ф. Применение В-сплайнов в задаче определения НДС при установившихся колебаниях прямоугольной пластинки извязкоупругого материала // Сарат. гос. ун-т. Деп. в ВИНИТИ 04.04.1997, № 1093-В97. 12с.

49. Недорезов П. Ф., Сироткина Н. М. Численные методы исследования установившихся колебаний вязкоупругих прямоугольных пластинок и круговых цилиндрических оболочек // Учебное пособие. Изд. СГУ. 1997.

50. Недорезов П. Ф. Об учете поперечных сдвигов и инерции вращения при вибрационном изгибе вязкоупругой пластинки полосы // Мех. деформ. сред, 2001. Вып. 14. Межвуз. науч. сб. Изд-во Сарат. ун-та. С. 19-27.

51. Недорезов П. Ф. Установившиеся поперечные колебания вязкоупругой пластинки-полосы // Теорет. и прикладная механика. 2002. Вып. 35. - С. 139-146.

52. Недорезов П.Ф. О колебаниях толстой вязкоупругой пластинки -полосы, свободно опертой по краям // Нелинейная динамика механических и биологических систем. Межвуз. научн. сб. Вып. 2. Изд-во: Саратове, госуд. техн. ун-та. 2004. - С. 20-27.

53. Недорезов П.Ф., Каменский А.В. Исследование температуры саморазогрева при установившихся колебаниях толстых шарнирно опертых по краям вязкоупругих пластинок // Механика деформируемых сред: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 15. Саратов, 2004.

54. Новожилов В. В., Финкелыптейн Р. О погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек // Прикл. математика и механика. 1943. Т. VII. - С. 331340.

55. Пелех Б. Л. Обобщенная теория оболочек. Львов: 1978. 159 с.

56. Ратнер С. Б., Коробов В. И. Саморазогрев пластмасс при циклической деформации // Механика полимеров. 1965. - № 3. - С. 93-100.

57. Рассказов А. О., Козлов А. В. Неосесимметричные колебания оболочки вращения из вязкоупругого материала при нестационарном нагружении // k Пробл! прочн. № 3, 1999. - С. 54-62.

58. Рогачева Н. Н. Уточненная теория пьезокерамических оболочек // Изв. АН АрмССР. Сер. Механика. 1981. - 34, № 1. - С. 55-64.

59. Савченко В. Г., Шевченко Ю. Н. Пространственные задачи термовязкоупругости // Прикл. механика. 2000. - 36, № 11. С. 3-38.

60. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. -430 с.

61. Сошественская Л. А. О вибрационном изгибе длинной прямоугольной пластинки из полимерного материала // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. Вып. 4. - С. 9-17.

62. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига / Ю. П. Артюхин, К. 3. Галимов, В. И. Дараган, С. Н. Карасев, В. А. Костин, А. В. Саченков, Н. 3. Якушев. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1977. - 211с.

63. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: 1963.-635 с.

64. Тимошенко С. П. Курс теории упругости. К.: Наук, думка, 1972. 501 с.

65. Филиппов И. Г. Уточнение уравнений колебаний вязкоупругих пластин и стержней // Прикл. механика. 1986. Т. 22. № 2. С. 71-78.

66. Численное исследование нестационарной температуры диссипативного разогрева анизотропной оболочки вращения при гармоническом нагружении / Козлов В. И., Лубков М. В. Киев, 1991. - 9 с. - Деп. В ВИНИТИ 25.06.91, № 2648-В91.

67. Шереметьев М. П., Пелех Б. Л. К построению уточненной теории пластин // Инженерный журнал. 1964. - Т. IV, вып. 3. - С. 504-509.

68. Шепери Р. А. Влияние циклического нагружения на температуру вязкоупругого материала с изменяющимися свойствами // Ракет, техника и космонавтика. 1964. Т. 2, № 5. С. 55-56.

69. Шепери Р. А. Термомеханическое поведение вязкоупругих сред с переменными свойствами при циклическом нагружении // Тр. Амер. о-ва инженеров-механиков. Сер. Е. Прикл. мех. 1965. - 32, № 3. - С. 150-151.

70. Bolle Е. Contribution au Probleme Lineaire de Flexion d'une Plaque Elastique // Bulletin Technique de la Suisse Romande. 1947. Parts 1 and 2, Vol. 73, p.p. 281-285, p.p. 293-298.

71. Blocki, J. A Higher-Order Linear Theory for Isotropic Plates-I, Theoretical Considerations // International Journal of Solids and Structures. 1992. Vol. 29, No. 7, p.p. 825-836.

72. Donnell L. H., Drucker D. C., and Goodier J. N., Discussion of the paper by Reissner, E. "The Effect of Transvesre Shear Deformation on the Bending of Elastic Plates" // ASME Journal of Applied Mechanics. 1946. Vol. 13, No.l, p.p. A249-A252.

73. Fadda Giuseppe Stability of viscoelastic beams with variable cross-section // Eur. J. Mech. A 2, 1999, V. 18. p.p. 253-269.

74. Y. M. Ghugal, R. P. Shimpi A Review of Refined Shear Deformation Theories of Isotropic and Anisotropic Laminated Plates // Journal of Reinforced Plastics and Composites, 2002. Vol. 21, No. 9. - p.p. 775-813.

75. Hencky H. Uber die Berucksichtigung der Schubverzerrung in ebenen Platten // Ingenieur-Archiv. 1947. -Vol. 16, p p. 72-76.

76. Khaled A. Alhazza, Abdulsalam A. Alhazza A Review of the Vibrations of Plates and Shells // The Shock and Vibration Digest, Vol. 36, No. 5, September 2004, p.p. 377-395.

77. Kirchhoff G. R. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einer Elastischen Scheibe // J. Reine Angew. Math. (Crelle). 1850. -Vol. 40, p.p. 51-88.

78. Kirchhoff G. R. Uber die Schwingungen Einer Kriesformigen Elastischen Scheibe // Poggendorffs Annalen. 1850. - Vol. 81, p.p. 258-264.

79. Krishna Murty A. V. Higher Order Theory for Vibrations of Thick Plates // AIAA Journal. 1977. Vol. 15, No. 12, p.p. 1823-1824.

80. Levinson M. An Accurate, Simple Theory of the Statics and Dynamics of Elastic Plates // Mechanics: Research Communications. 1980. Vol. 7, No. 6, p.p. 343-350.

81. Lo К. H., Christensen R. М., Wu E. M. A High-Order Theory of Plate Deformation, Part-1: Homogeneous Plates // ASME Journal of Applied Mechanics. 1977. Vol. 44, p.p. 663-668.

82. Lo К. H., Christensen R. M., Wu E. M. A High-Order Theory of Plate Deformation, Part-2: Laminated Plates // ASME Journal of Applied Mechanics.1977.-Vol. 44, p.p. 669-676.

83. Lo К. H., Christensen R. M., Wu E. M. Stress Solution Determination for Higher Order Plate Theory // International Journal of Solids and Structures.1978,-Vol. 14, p p. 655-662.

84. Love A. E. H. A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, 4th ed., Dover Publ., New York, USA. 1944.

85. Mindlin R. D. Influence of Rotatory Inertia and Shear on Flexural Motions of Isotropic, Elastic Plates // ASME Journal of Applied Mechanics. 1951.-Vol. 18, p.p. 31-38.

86. Naghdi P.P. M. On the Theory of Thin Elastic Shells // Quarterly of Applied Mathematics. 1957. Vol. 14, p.p. 369-380.

87. Nelson R. В., Lorch D. R. A Refined Theory for Laminated Orthotropic Plates // ASME Journal of Applied Mechanics. 1974. Vol. 41, p.p. 177-183.

88. Рапс V. V. Verscharfte Theorie der Elastischen Platte // Ingenieur Archiv. 1964. Band xxxiii, Heft Sechstes, p.p. 351-371.

89. Pister K. S., Westmann R. A. Bending of Plates on an Elastic Foundation // ASME Journal of Applied Mechanics. 1962. Vol. 29, No. 2, p.p. 369-374.

90. Provan J.W., Koeller R. C. On the Theory of Elastic Plates // International Journal of Solids and Structures. 1970. Vol. 6, p.p. 933-950.ч

91. Reddy J. N. A Simple Higher Order Theory for Laminated Composite Plates //ASME Journal of Applied Mechanics. 1984. Vol. 51, p.p. 745-752.

92. Reissner E. On the Theory of Bending of Elastic Plates // Journal of Mathematics and Physics. 1944 Vol. 23, p.p. 184-191.

93. Reissner E. The Effect of Transverse Shear Deformation on the Bending of Elastic Plates // ASME Journal of Applied Mechanics. 1945. Vol. 12, p.p. 69-77.

94. Reissner E. On the Derivation of Boundary Conditions for Plate Theory // Proceedings of Royal Society of London. 1963. Series A, No. 1364, Vol. 276, p.p. 178-186.

95. Reissner E. On Transverse Bending of Plates, Including the Effect of Transverse Shear Deformation // International Journal of Solids and Structures. 1975.-Vol. 11, p.p. 569-573.

96. Sathyamoorthy M. Effects of transverse shear and rotatory inertia on large amplitude vibration of composite plates and shells. «Sadnana». 1987, 11, № 3-4. pp. 367-377.

97. Timoshenko S P.P. On the Correction for Shear of the Differential Equation for Transverse Vibrations of Prismatic Bars // Philosophical Magazine. 1921. Series 6, Vol. 41, p.p. 744-746.

98. Timoshenko S. P.P. On Transverse Vibrations of Bars of Uniform Cross Section // Philosophical Magazine. 1922. Series 6, Vol. 43, p.p. 125-131.

99. Xiao Can-zhang, Ji Yi-zhan, Chang Bao-ping General dynamic equation and dynamical characteristic of viscoelastic Timoshenko beams // Appl. Math, andmech. 1990.- 11, №2. p.p. 177-184.

100. Uflyand Y. S. The Propogation of Waves in the Transverse Vibrations of Bars and Plates // Prikladnaya Matematika I Mekhanika. 1948. Vol. 12, p.p. 287-300.

101. Whitney J. M., Sun С. T. A Higher Order Theory for Extensional Motion of Laminated Composites // Journal of Sound and Vibration. 1973. Vol. 30, No. l,p.p. 85-97.