Оптимальное управление в задачах с неизвестными границами и подвижными источниками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Шумкова, Дарья Борисовна

• Шумкова, Дарья Борисовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шумкова, Дарья Борисовна

Оглавление.

Введение.

Глава 1. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами (состояние и анализ проблемы).

1.1 Основные сведения теории минимизации функционалов и исследования систем с распределенными параметрами.

1.2 Вопросы разрешимости задач оптимального управления распределенными системами

1.3 Системы оптимальности для задач оптимального управления распределенными системами.

Краткие выводы и задачи исследования.

Глава 2. Оптимальное управление в задачах, описываемых уравнениями Навье-Стокса, с неизвестными границами и вариационные задачи с подвижными источниками.

2.1 Постановка и разрешимость вариационных задач, описываемых уравнениями Навье

Стокса, с неизвестными границами.

2.2 Необходимые условия разрешимости задачи оптимального управления Стокса с неизвестной 1раницей.

2.3 Разрешимость и система оптимальности в вариационных задачах с подвижными тепловыми источниками.

2.4 Задача об оптимальном управлении скоростью подвижного теплового источника.

Краткие выводы.

Глава 3. Численное исследование задач оптимального управления с неизвестными границами и подвижными источниками.

3.1 Методы отыскания неизвестных границ в задачах, описывающих течение идеальных жидкостей.

3.2 Численное исследование течений вязких жидкостей со свободной поверхностью, описываемых уравнениями Стокса.

3.3 Решение задачи оптимального управления потоком тепла от подвижного источника

3.4 Решение задачи оптимального управления скоростью подвижного теплового источника

Краткие выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальное управление в задачах с неизвестными границами и подвижными источниками»

Общая теория оптимального управления распределенными системами, т.е. системами, которые описываются с помощью краевых задач для уравнений с частными производными, изучается на протяжении многих лет, однако эта теория имеет достаточно абстрактный характер и ее применение к конкретным задачам далеко не всегда тривиально. Кроме этого, оно требует достаточной степени изученности управляемой системы, что сильно усложняет поставленную задачу оптимального управления. Эта тематика не теряет своей актуальности из-за разнообразия распределенных систем, описывающих процессы самых различных областей физики, механики, экономики. Теория оптимального управления гидродинамическими системами, в том числе и системами, описывающими течение вязких жидкостей, а также процессы тепломассопереноса, представляет интерес, связанный со спецификой краевых задач, описывающих эти физические явления. В этом смысле на первый план выступают вопросы разрешимости задач оптимального управления, а также получение систем оптимальности. Оптимальное управление в задачах с подвижными тепловыми источниками, а также в задачах, связанных с определением форм неизвестных границ, представляет не только теоретический, но и практический интерес, поскольку преобладающее большинство подобных задач непосредственно связано с процессами производства.

Теория оптимального управления распределенными системами интенсивно изучается на протяжении нескольких десятков лет. Термин "управление" был введен Л.С.Понтрягиным и его учениками [2] для задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Такие задачи долгое время составляли большую часть исследований в теории оптимального управления. Периоду строгих математических исследований в теории оптимального управления распределенными системами предшествовало изучение прикладных задач оптимального управления [14,26]. Одной из первых книг по математической теории оптимального управления распределенными системами была книга Ж.-Л. Лионса [33].

В настоящее время все больше исследуются задачи оптимального управления, использующие функциональные уравнения [3-8,15,22-24,57,5960,62-67,74-75], в том числе дифференциальные уравнения с частными производными. Кроме того, теория оптимального управления системами, которые описываются функциональными уравнениями, сопровождается более систематическим использованием понятий и методов функционального анализа. В настоящее время при решении задач оптимального управления в основном пользуются общими методами абстрактного функционального анализа, теории выпуклого и вариационного анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных, численных методов.

Приведем краткое содержание диссертационной работы. В первой главе рассмотрены основные вопросы, касающиеся постановок и разрешимости задач оптимального управления распределенными системами в общем виде, приведена классификация, связанная с различными видами целевых функций и типов управлений, приведены соответствующие определения, утверждения и теоремы, касающиеся разрешимости и единственности. Во второй главе получены условия разрешимости и системы оптимальности для распределенных систем с компромиссным управлением, построено обобщенное решение и получены условия разрешимости в задачах с жестким управлением. Так, исследованы некоторые задачи гидродинамики со свободными границами, сводящиеся к задачам оптимального управления. Для нахождения неизвестной области и состояния системы в этой области поставленная задача сводится к задаче оптимального управления областью, которая, в свою очередь, сводится к задаче граничного или распределенного управления (управление является жестким) в уже известной области, но на абстрактном и малоизученном классе функций. Трудность поставленной задачи состоит и в том, что целевая функция полученной задачи граничного управления зависит от границы неизвестной области. В работе доказано существование оптимального управления в достаточно широком классе областей с ограниченным периметром, при котором на свободной поверхности выполняются некоторые условия. Получены необходимые условия задачи минимизации целевого функционала. Кроме того, доказана разрешимость и получена оптимизационная система для задачи оптимального управления, описываемой уравнением параболического типа с подвижным тепловым источником. Задача сведена к линейной относительно функции управления задаче с распределенным управлением и распределенным наблюдением с компромиссной целевой функцией.

В третьей главе построены алгоритмы отыскания управлений, доставляющих минимум функционалам, численная реализация задач, исследуемых во второй главе.

В заключении сформулированы следующие основные результаты диссертационной работы.

На защиту выносятся:

1) Новые условия разрешимости краевых вариационных задач со свободными границами с жестким управлением и соответствующие необходимые условия;

2) условия разрешимости и система оптимальности в сильной форме для задачи ОУ с подвижным тепловым источником;

3) решение задач оптимального управления с неизвестными границами, описываемых уравнениями Навье-Стокса, сравнение полученных результатов с известными;

4) решение оптимизационной системы задачи с подвижным тепловым источником, реализация метода градиентного спуска минимизации функционала.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Шумкова, Дарья Борисовна

Заключение

В последнее время проблемы оптимизации систем, состояния которых описываются дифференциальными уравнениями, приобрели большое значение с теоретической и практической точек зрения. В настоящей работе рассматриваются системы, описываемые уравнениями в частных производных (системы с распределенными параметрами). Изучены постановки задач оптимального управления в областях, часть границ которых неизвестна. Предложен метод, согласно которому они могут быть найдены в ходе решения задачи оптимального управления. При этом вариационная задача ставится как задача с граничным (стартовым, финальным, распределенным) управлением и граничным наблюдением. К таким вариационным постановкам приводит ряд задач гидродинамики, таких, как задачи о течении жидкости со свободными границами.

Основной целью исследования явились получение новых условий разрешимости и системы оптимальности для распределенных систем с компромиссным управлением, построение обобщенного решения и получение условий разрешимости в задачах с жестким управлением, а также применение предложенных методов к исследованию задач гидродинамики со свободными границами на основе реализации специального метода фиктивных областей, а также задач теплопроводности с подвижными источниками. Построение алгоритмов отыскания управлений, доставляющих минимум функционалам, численная реализация ряда исследуемых задач.

В работе получены новые условия разрешимости в вариационных задачах определения формы области, получены соответствующие необходимые условия. Разработана и реализована новая методика определения неизвестной границы для краевых задач, описываемых уравнениями Навье-Стокса, в вариационных постановках. Доказана разрешимость и получена оптимизационная система для задачи оптимального управления, описываемой уравнением параболического типа с подвижным тепловым источником, приведено соответствующее решение.

Работа носит как теоретический, так и практический характер. Разработанная методика может быть применена для изучения вопросов разрешимости и решения некоторых классов краевых вариационных задач. При этом значимым моментом является постановка задачи моделирования некоторого физического процесса как задачи оптимального управления системой с распределенными параметрами, теоретическое обоснование разрешимости и получение практических результатов. Предложенные в работе подходы могут применяться при решении конкретных задач, возникающих в математических моделях реальных процессов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шумкова, Дарья Борисовна, 2006 год

1. Акер A. (Acker A.) A free boundary optimization problem // SIAM Journ. of Math. Anal. 1978. #9. P. 1179-1191.

2. Алексеев B.M., Тихомиров B.M., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Физматлит, 2002.-320 с.

3. Алексеев Г.В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений теории тепломассопереноса//Журн. вычислительной математики и мат. физики. 2002. Т. 42, №3, С. 380-394.

4. Алексеев Г.В. Разрешимость задач управления для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой жидкости // Сиб. мат. журнал. 2004. Т.45. № 2. С. 243-262.

5. Алексеев Г.В. Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Сиб. мат. журнал. 1998. Т.39. №5. С. 982-998.

6. Алексеев Г.В., Смышляев А.Б., Терешко Д.А. Разрешимость краевой задачи для стационарных уравнений тепломассопереноса при смешанных краевых условиях // Журн. вычислительной математики и мат. физики. 2003. Т. 43, №1, С. 84-98.

7. Аллард В. (Allard W.) On the first variation of a varifold // Ann. Math, 1972.V.95. P.417-491

8. Андрамонов М.Ю. Методы глобальной минимизации для некоторых классов обобщенно-выпуклых функций. М.: Наука, 2001. - 270 с.

9. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. - 324 с.

10. Барбу В. (Barbu V.) The time optimal control of Navier-Stokes equation // Sistem Control Lett., 30,1997, P. 93-100

11. Бенуссан A. (Bensoussan A.) Perturbation methods in optimal control, Gauthier-Villars, Paris,1988.-335 p.

12. Болдырев В.И. Метод кусочно-линейной аппроксимации для решения задач оптимального управления // Дифференциальные уравнения и процессы управления (электронный журнал http://www.neva.ru/journal) №1,2004, С. 28-123.

13. Бутковский А.Г., Бабачев А.В., Похьолайнен С. К единой геометрической теории управления. М.: Наука, 2001. - 352 с.

14. Бутковский А.Г.Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. - 474 с.

15. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. - 622 с.

16. Гузевский Л.Г. Задача о плоском фонтане тяжелой жидкости // Известия сибирского отделения АН СССР. №3, вып.1,1976.

17. Дакоронья Б. Слабая непрерывность и слабая полунепрерывиость снизу нелинейных функционалов // Успехи мат. наук, 1989, Т.44, вып.4, С. 35-97.

18. Джусти Э. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации. М.: Мир,1989.-239 с.

19. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978.-463 с.

20. Забкзик Дж. (Zabczyk J.) Mathematical control theory: an introduction. Boston: Birkhauser, 1992.-376 p.

21. Иваненко В.И., Мельник B.C. Вариационные методы в задачах управления для систем с распределенными параметрами. Киев: Наукова Думка, 1988. - 284 с.

22. Илларионов А.А. Асимптотика решений задачи оптимального управления для уравнений Навье-Стокса // Журн. выч. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 6. С. 1061-1071.

23. Илларионов А.А. Оптимальное граничное управление стационарным течением вязкой неоднородной несжимаемой жидкости // Матем. заметки. 2001. Т. 69. Вып. 5. С. 666-678.

24. Илларионов А.А., Чеботарев АЛО О разрешимости смешанной краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса // Диф. уравнения. 2001. Т. 37, № 5. С. 689-695

25. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. - 479 с.

26. Калерман Т. (Calerman Т.) Ube rein Minimal-problem der mathematischen physic // Math. Zeitschrift.1918. S. 208-212.

27. Калугин B.T. Энтропийный метод расчета параметров отрывных течений // Механика жидкости и газа, 1997, №1, с. 122-131.

28. Корон Ж.-М. (Coron J.-M.) On the controllability of the 2-D incompressible Navier-Stokes equation with the Navier slip boundary conditions // ESIAM Control Optim. Calc/ Var., 1, 1996, P.35-75.

29. Крейн С.Г., Лаптев Г.И. К задаче о движении вязкой жидкости в открытом сосуде // Функциональный анализ и его приложения, 1968, т.2., вып.1, с. 40-50.

30. Лаврентьев Г.В. Численные расчеты задач гидродинамики со свободными границами на основе аналитического представления решений // Динамика сплошной среды, вып. VI, Новосибирск, 1970, С. 208-212.

31. Ладыженская О.А. Математическая теория вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука,1970.-235 с.

32. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. - 132 с.

33. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. - 387 с.

34. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М: Наука, 1987. -368 с.

35. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир,1971.-395 с.

36. Маклаков Д.В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. М.: Янус-К, 1997. - 280 с.

37. Митсоулис Е. (Mitsoulis Е.) Extrudate swell in double-layer flows // Journal of reology, 1986, #30, P. 23-44.

38. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. - 486 с.

39. Монахов В.А. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977. - 420 с.

40. Муравей Л.А. Задача управления границей для эллиптических уравнений // Вестник МГУ, сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика, 1998, №3, с. 7-13.

41. Муравей Л.А. О существовании решений вариационных задач в областях со свободными границами //ДАН СССР, 1984. 278, №3, с. 541-544

42. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.-345 с.

43. Осипов Ю.А., Суэтов А.П. Существование оптимальных форм эллиптических систем // Препринт Уральского отд. АН СССР. Свердловск, 1990, с. 1-9.

44. Плотников П.И. Об одном классе кривых, возникающем в задаче со свободной границей для течений Стокса // Сиб. мат. журнал, 1995, 36, №3, с. 619-627

45. Плотников П.И. Обобщенные решения задачи о движении неныотоновской жидкости со свободной границей // Сиб. мат. журнал, 1993, 34, №4, с.127-141.

46. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики М.: Физматлит, 2005. - 386 с.

47. Пухначев В.В. Взаимодействие распределенного источника с плоской свободной поверхностью вязкой жидкости //Механика жидкости и газа, 1996, №2, с. 53-65.

48. Радкевич Е.В. О разрешимости общих краевых задач со свободной границей // Успехи математических наук, 1986, т. 41, вып.5б с. 13-31.

49. Рокафеллар Р., Выпуклый анализ. М., Мир, 1973. - 326 с.

50. Романов А. С. Теоремы вложения для одного класса функций соболевского типа на метрических пространствах // Сиб. мат. журнал Т. 45, № 2, 2004. С. 452-465.

51. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы.

52. Примеры. 2-е изд., испр. - М.: Физматлит, 2002. - 320 с.

53. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. -М: Наука, 1988. 388 с.

54. Солонников В.А. Разрешимость задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости, ограниченной свободной поверхностью // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1977, Т.41. №6, с. 1388-1424.

55. Сризаран С. (Sritharan S.) An optimal control problem in exterior hydrodynamics // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 121,1992, #1-2, P. 5-32 .

56. Старовойтов B.H. Разрешимость задачи о движении жидкости с межфазной границей // Математические проблемы динамики неоднородных жидкостей со свободными границами. Дин. сплошн. ср., вып. 95. Сиб. отд. АН СССР, Новосибирск, 1990, с. 114-130.

57. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.

58. Тихомиров В.М. (Tikhomirov V. М.) Fundamental principles of the theory of external problems. Wiley: Chichester, 1986. - 458 p.

59. Тихонов A.H., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999.-432 с.

60. Фарбэ К., Пуэль Ж.-П., Зуазуа Э. (С. Farbe, J.-P. Puel, and Е. Zuazua) Approximate controllability of the semilinear heat equation // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 125,1995, #1, P. 31-61.

61. Фатторини Г.О. (H.O. Fattorini) Boundary control systems // SIAM J. Control #6,1968. P. 349-385.

62. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1987. - 324 с.

63. Фурсиков А.В. (Fursikov A.V.) Real Process Corresponding to the 3D Navier-Stokes System, and its Feedback Stabilization from the boundary, Americn Math. Soc. Transl., 2, v. 206,2002, P. 95-123.

64. Фурсиков А.В. Некоторые вопросы теории управления нелинейными системами с распределенными параметрами //Труды сем. им. Петровского, №9,1983, с.167-189.

65. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. - 350 с.

66. Фурсиков А.В., (Fursikov A.V.) Certain problems of optimal control of the Navier-Stokes system with distributed control // Optimal control of viscous flow. VI, SIAM, Philadelphia, 1998, P. 109-150.

67. Фурсиков А.В., Эмануилов O.IO. (Fursikov A.V. and Emanuilov O.Yu.) On approximate controllability of the Stokes system // Ann. Fac. Sci. Toulouse, 2,1993, #2, P. 205-232.

68. Фурсиков А.В., Эмануилов O.IO. Точная управляемость уравнений Навье-Стокса и Буссинеска // УМН, т. 54, № 3, 1999, С. 93-146.

69. Че Д., Эммануилов О.Ю., Ким С.М. (Chae D., Emanuilov O.Yu. and Kim S.M.) Exact controllability for semilinear parabolic equation with Newmann boundary conditions // J. Dynam. Control Syst., 2, #4,1996. P.449-483.

70. Чеботарев АЛО. Граничные экстремальные задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости // Сиб. мат. журнал, 1993,34, №5 с. 202-213.

71. Чеботарев А.Ю. Нормальные решения краевых задач для стационарных уравнений Навье-Стокса// Сиб. мат. журнал, 1995, 36, №4, с.934-942.

72. Ченцов А.Г. Приложения теории меры и задач управления, Свердловск, Средне-Уральское кн. изд., 1985. 336 с.

73. Шенне Д. (Chenaise D.) On the existence of a solution in a domain identification problem // Journ. of Math. Anal, and Appl. 1975. 52. P. 189-219.

74. Экланд И., Темам P. Выпуклый анализ и вариационные проблемы, М., Мир, 1979. 224 с.

75. Эмануилов 0.10. Граничная управляемость параболических уравнений // Мат. сб., 186, 1995, №6,109-132.

76. Эмануилов 0.10. О некоторых задачах оптимального управления, связанных с системой Навье-Стокса//Труды сем. им. Петровского, 15,1991, 108-127.