Исследование разрушения в задачах гидродинамического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Юшков, Егор Владиславович

• Юшков, Егор Владиславович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Юшков, Егор Владиславович

1 Модели гидродинамического типа

1.1 Векторные модели гидродинамического типа.

1.2 Скалярные модели гидродинамического типа.

2 Разрушение в векторных задачах гидродинамического типа

2.1 Разрушение в системах уравнений со степенными источниками.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Существование слабого обобщенного решения задачи

2.1.3 Разрушение решения и глобальная разрешимость.

2.2 Разрушение в нелокальных системах уравнений.

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Существование слабого обобщенного решения задачи

2.2.3 Единственность слабого обобщенного решения задачи и вопрос гладкости

2.2.4 Разрушение слабого обобщенного решения.

2.3 Разрушение в системах уравнений с сингулярными источниками.

2.3.1 Постановка задачи.

2.3.2 Существование и разрушение решения задачи типа Осколкова в ограниченной области.

2.3.3 Разрушение решения задачи Эйлера в ограниченной области.

2.3.4 Задача Эйлера в неограниченной области.

2.4 Разрушение в системах уравнений с нелинейной вязкостью.

2.4.1 Постановка задачи.

2.4.2 Единственность и локальная разрешимость.

2.4.3 Разрушение решения и глобальная разрешимость.

3 Метод нелинейной емкости для систем гидродинамического типа

3.1 Разрушение в системах уравнений мелкой воды.

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Разрушение в системах мелкой воды.

3.1.3 Разрушение в системах с вязкостью.

3.1.4 Разрушение в баротропных моделях газовой динамики.

3.2 Разрушение в системах типа Навье-Стокса.

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Разрушение в модельной задаче в параллелепипеде.

3.2.3 Разрушение в задаче Навье-Стокса в цилиндре.

4 Разрушение в скалярных задачах гидродинамического типа

4.1 Разрушении в системах типа Кортвега-де Фриза.

4.1.1 Постановка задачи.

4.1.2 Обобщенная система КдФ.

4.1.3 Симметричная система КдФ-КдФ.

4.1.4 Уравнение КдФ пятого порядка.

4.1.5 Несимметричная система КдФ-КдФ.

4.2 Разрушение в средах с диссипацией.

4.2.1 Постановка задачи.

4.2.2 Разрушение решения уравнения Бюргерса.

4.2.3 Разрушение решения уравнения КдФ-Бюргерса.

4.2.4 Разрушение в модифицированном КдФ-Бюргерсе.

4.2.5 Разрушение в неограниченных областях.

4.3 Разрушение в уравнениях типа Кадомдева-Петвиашвили и Захарова-Кузнецова

4.3.1 Постановка задачи.

4.3.2 Уравнение Кадомцева-Петвиашвили.

4.3.3 Уравнение Кадомцева-Петвиашвили-ББМ.

4.3.4 Уравнение Линя-Рейснера-Цзяня.

4.3.5 Уравнение Захарова-Кузнецова.

4.3.6 Уравнение Островского.

4.4 Локальная разрешимость и разрушение в уравнениях Бенжамена-Бона Махони-Бюргерса, Розенау-Бюргерса и Кортвега-де Фриза Бенжамена-Бона-Махони

4.4.1 Постановка задачи.

4.4.2 Разрушение решения уравнения ББМБ.

4.4.3 Разрушение в уравнении Розенау-Бюргерса.

4.4.4 Разрушение решения уравнения Кортевега де Фриза-Бенджамена-Бона-Махони.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование разрушения в задачах гидродинамического типа»

Диссертационная работа посвящена математическому исследованию вопроса о неограниченном росте за конечное время решений начально-краевых задач гидродинамического типа для уравнений, содержащих нелинейные слагаемые (u, V)u или (иих). Феномен неограниченного роста решений за конечное время, называемый разрушением (blow-up), характеризует временное ограничение корректности используемых моделей и описывает широкий круг явлений как в гидродинамике, так и в других областях физики - ударные волны, уединенные волны аномальной амплитуды, пробои в полупроводниках, неустойчивость в плазме, слом конструкций.

В работе исследуется появление разрушения в нелинейных моделях идеальной жидкости, вязкой ньютоновской жидкости, вязкоупругой неньютоновской жидкости Кельвина-Фойгта. Для рассматриваемых задач методом конечномерной аппроксимации Галеркина решаются вопросы локальной разрешимости, гладкости и единственности. С помощью модификации энергетического метода X. Левина вычисляются достаточные условия разрушения решений, строятся двухсторонние оценки на время и скорость разрушения, демонстрируется переход к глобальной разрешимости при изменении начальных данных.

Для одномерных приближений задач гидродинамки, приводящих к нелинейным уравнениям Кортвега-де Фриза, КдФ-Бюргерса, Бенжамена-Бона-Махони, Розенау-Бюргерса, Кадомцева-Петвиашвили, Захарова-Кузнецова, Хохлова-Заболоцкой, Линя-Рейснера-Цзяня, Островского, доказывается наличие разрушения при определенных граничных и начальных условиях. С помощью метода нелинейной емкости, развитого в работах С.И. Похожаева и X. Митидиери, исследуется влияние граничных условий на возникновение разрушения, время разрушения и его скорость.

Современное состояние проблемы и актуальность ее исследования Изучение движения жидкостей является источником большого числа математических задач. Однако, при попытках изучения даже самых простых теоретических моделей возникают проблемы, многие из которых не удается решить до сих пор. К примеру, пока остаются открытыми вопросы глобальной по времени разрешимости начально-краевых задач для классических систем уравнений Эйлера и Навье-Стокса при гладких начальных данных.

Значительного прорыва в изучении разрешимости удалось достичь во второй половине XX века с применением обобщенной постановки начально-краевых задач и использованием равенства соответствующих функционалов. Многие вопросы теории обобщенных решений для задач гидродинамики, а также первые функциональные методы их исследования были предложены и изучены в работах выдающихся математиков: Ж. Лере, O.A. Ладыженской, Ю. Шаудера, С.Л. Соболева и Р. Темама. Обычно переход от классической постановки к обобщенной обусловлен тем, что существование, а иногда и единственность, обобщенного решения доказывать значительно проще с помощью идей функционального анализа и теории вложения функциональных пространств. Например, O.A. Ладыженской удалось получить наиболее полные и математически строгие результаты по разрешимости начально-краевых задач для стационарных и нестационарных уравнений Навье-Стокса в некоторых областях фиксированной формы в классе функций с конечным интегралом Дирихле, что стимулировало в последующие годы исследование течений в областях со свободными границами, развитие теории устойчивости и бифуркации вязких жидкостей, исследование задач статистической гидромеханики и гидромеханики неньютоновских жидкостей. Но несмотря на всестороннее изучение эволюционных задач гидродинамики в этом направлении, доказать общую глобальную во времени разрешимости так и не удалось.

После перехода к обобщенной постановке задач появились первые методы функционального анализа, позволяющие исследовать необычное явление, в определенном смысле противоположное глобальной во времени разрешимости - явление разрушения решения. Под разрушением решения понимается его неограниченный рост в некоторой норме на конечном промежутке времени, то есть отсутствие глобальной разрешимости при наличии локальной. В настоящее время теория разрушения, зародившаяся как вопрос об ударной волне, привлекает все большее внимание. В наше стране к классикам теории разрушения можно отнести A.A. Самарского, O.A. Ладыженскую, А.Г. Свешникова, С.А. Габова, С.И. Похожае-ва, М.О. Корпусова, А.П. Осколкова, А.И. Кожанова, В.К. Калантаров и С.П. Курдюмов. За рубежом широко известны H.A. Levine, Е. Mitidieri, S.A. Messaudi, V.A. Galaktionov, D. Chae, E. Tadmor, R.B. Pelz, J. Deng, J. Evans P. Souplet, H. Fujita, G. Todorova, Zhang Jian, L. Pain, D.H. Sattinger, J. J. Rasmusen, A. Constantin. К сожалению, не существует справочников, классифицирующих основные результаты этих исследований, но некотрые обзоры можно найти в монографиях А.Г. Свешникова, М.О. Корпусова, В.А. Галактионова и С.И. Похожаева.

Из-за сложность аналитического изучения нелинейных уравнений и их многообразия к сегодняшнему дню не разработано единого подхода к исследованию проблематики разрушения. Однако, можно выделить три наиболее развиваемых метода: энергетический метод Х.А. Левина, метод нелинейной емкости С.И. Похожаева и Э.Л. Митидиери и метод автомодельных режимов, основанный на различных признаках сравнения и развитый в работах A.A. Самарского, В.А. Галактионова, С.П. Курдюмова и А.П. Михайлова. Помимо этих методов существует большое количество сильно различающихся подходов к частным задачам, которые трудно обобщить или классифицировать.

Актуальность исследования явления разрушения обусловлена возможностью теоретического получения оценки времени разрушения решения модели, которая по существу дает оценку на время корректности ее использования. Однако, если модель является детально проработанной, то само явление неограниченного роста может иметь прямые физические аналоги, например, в виде перехода от ламинарного к турбулентному течению или возникновения волн аномально большой амплитуды. Слабая изученность этого явления для задач гидродинамики, вероятно, связана с отсутствием единого метода анализа. Представленная работа в некотором смысле является продолжением серии работ А.Г. Свешникова, С.И. Похожаева и М.О Корпусова, в которых удалось получить достаточные и близкие к достаточным условия разрушения, оценки на времена разрушений, асимптотики сингулярных решений в задачах для идеальных и вязких стратифицированных, вращающихся жидкостей, скалярного приближения мелкой воды - уравнения Кортвега-де Фриза. В работе также предлагаются общие методы исследования разрушения: модифицированный энергетический метод М.О. Корпусова и А.Г. Свешникова для начальных задач и метод нелинейной емкости С.И. Похожаева для краевых, что повышает ее практическую ценность.

Целью диссертационной работы является

1. Изучение локальной и глобальной разрешимости широкого класса начальных и начально-краевых нелинейных задач гидродинамики для системы дифференциальных уравнений Осколкова, интегро-дифференциальных систем Кельвина-Фойгта и предложенных в 1967 году O.A. Ладыженской систем с нелинейной вязкостью, а также задач для скалярных нелинейных уравнений типа Кортвега-де Фриза.

2. Исследование влияние нелинейных сингулярных и регулярных источников на появление феномена разрушения решения данных задач в неограниченных и ограниченных областях, при различных начальных и граничных условиях.

3. Получение необходимых и достаточных, а также достаточных, близких к необходимым, условий разрушения решений, двусторонних оценок времени разрушения, оценок на скрость разрушения.

4. Исследование возможности глобальной разрешимости при наличии степенных и сингулярных источников. Изучение гладкости получаемых сингулярных и регулярных решений. Научное значение, новизна и практическая значимость работы.

1. В работе изучались задачи, описывающие процессы в вязко-упругой жидкости Кельвина-Фойгта, в ограниченной и неограниченной области. Впервые показано наличие явления разрушения для задач такого типа и влияние на него внешних и интегральных слагаемых.

2. Показано наличие разрушения решений задач для систем Навье-Стокса и Эйлера при специальных граничных условиях, что является существенным вкладом в изучение вопроса о глобальной неразрешимости этих задач.

3. Рассмотрен класс начально-краевых задач для нелинейных уравнений типа Кортвега-де Фриза на ограниченных и неограниченных областях, включающий в себя широко используемые в настоящее время уравнения Бенжамена-Бона-Махони-Бюргерса, Розенау-Бюргерса, КдФ-Бюргерса, Кадомцева-Петвиашвили, Захарова-Кузнецова, Хохлова-Заболоцкой, Островского, Липя-Рейснера-Цзяня. Для этого класса впервые найдены достаточные условия разрушения решений задач с естественными граничными условиями.

4. Получены оценки времени разрушения решений рассматриваемых задач, то есть времени корректного описания данными моделями соответствующих физических явлений.

5. Полученные результаты и предложенные методики, позволяют получать временные оценки корректности решений прикладных задач нелинейной физики, использующих данные модели.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Впервые исследовано явление разрушения в задачах для систем уравнений типа Осколкова с источниками, описывающих процессы в неньютоновских жидкостях. Изучены достаточные условия разрушения, получены оценки на время и скорость разрушения решения задач с сингулярными и регулярными источниками.

2. Доказана теорема о разрушении для задачи Навье-Стокса со специальными граничными условиями. На примере задачи Эйлера показано различие между эффектами разрушения в ограниченных и неограниченных областях.

3. Для ряда уравнений типа Кортвега-де Фриза доказаны теоремы разрушения решений и получены оценки времени разрушений.

4. Для уравнений Бенжамина-Бона Махопи-Бюргерса, Розенау-Бюргерса и Кортвега-де Фриза-Бюргерса доказана локальная разрешимость начально-краевых задач с естественными граничными условиями. Получена зависимость времени обострения от начальных условий.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, математического дополнения и списка литературы, включающего 128 наименование, и изложена на 190 страницах. Ниже представлено краткое содержание диссертационной работы.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Юшков, Егор Владиславович

5 Заключение

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

1. Впервые изучено явление разрушения в векторных нелинейных задачах, описывающих движение в идеальной, вязкой и вязкоупругой несжимаемой жидкости в ограниченных областях. Показано, что с помощью метода Галерки-на в обобщенной постановке удается доказать единственность и разрешимость для задач гидродинамического типа, включающих помимо общей нелинейности (У,и)и, степенные сингулярные и регулярные источники, нелинейности под знаком производной по времени и интегральные слагаемые. При наличии локальной разрешимости удается с помощью энергетического метода X. Левина получить достаточные условия разрушения, провести оценку скорости роста нормы решения, оценить время разрушения сверху и снизу.

2. Получены результаты о разрушении решения начально-краевых модельных задач гидродинамики, в частности для уравнения Навье-Стокса. Результаты получены в ограниченных областях методом нелинейной емкости С.И. Похожа-ева, не применяемого ранее для задач такого типа. Несмотря на то, что требование к граничным условиям имеет специальный вид, полученный результат о разрушении является очередным кирпичиком в разрешении вопроса глобальной неразрешимости задач гидродинамики. На примере задачи Эйлера показано различие между эффектами разрушения в ограниченных и неограниченных областях.

3. Как продолжении серии работ С.И. Похожаева о разрушении решения уравнения Кортвега-де Фриза, получены результаты для модельных систем Кортвега-де Фриза, скалярных одномерных уравнений КдФ-Бюргерса, модифицированного уравнения КдФ, многомерных аналогов - уравнения Кадомцева-Петвиашвили, Захарова-Кузнецова, Хохлова-Заболоцкой, Островского, Линя-Рейснера-Цзяня. Исследованы достаточные условия на начальные данные, при которых не имеет место глобального во времени решения. Кроме того, с помощью метода нелинейной емкости С.И. Похожаева изучено влияние граничных условий на явление разрушения, его скорость и время.

4. Для уравнений Бенжамина-Бона Махони-Бюргерса, Розенау-Бюргерса и Кортвега де Фриза-Бюргерса методом сжимающих отображений доказана локальная разрешимость и единственность начально-краевых задач с естественными граничными условиями. Для этих же граничных условий методом С.И. Похожаева исследован вопрос о разрушении. Получена зависимость времени обострения от начальной условий.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Юшков, Егор Владиславович, 2012 год

1. Звягин В.Г., Турбин М.В. Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения жидкостей Кельвина-Фойгта. Гидродинамика, СМФН, 31, РУДН, М., 2009, 3-144.

2. Калантаров В. К., Ладыженская О. А. Формирование коллапсов в квазилинейных уравнениях параболического и гиперболического типов. Записки ЛОМИ. 1977, 69, 77-102.

3. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.— 1-е изд. М., 1961, 203. с.

4. Темам Р. Уравнение Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.:Мир, 1981.

5. Шафаревич А.И. Асимптотические решения уравнений Навье-Стокса, описывающие сглаженные тангенциальные разрывы, Матем. заметки, 67:6 (2000), 938-949.

6. Al'shin А. В., Korpusov M. О., Sveshnikov A. G. Blow-up in nonlinear Sobolev type equations. De Gruyter, Series: De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications 15. 2011, 448 pp.

7. Pokhozhaev S.I. On the nonexistence of global solutions for some initial-boundary value problems for the Kortwe-de Vries equation, Differ. Equ., 47:4(2011), 488-493.

8. Корпусов M.О. Разрушение в неклассических нелокальных уравнениях, М.: Книжный дом «Либроком», 2011, 378 с.

9. Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений.//Издательство Наука,1987, С.480.

10. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. М., 1963, С.257.

11. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред.— М., 1975, С.592.

12. Ладыженская O.A. О модификаций уравнений Навье-Стокса для больших грандиентов скоростей Зап. науч. сем. ЛОМИ, 1968, Т.7, 126-154 с.

13. Leray J. Etude de diverses equations integrales ninlineaires et de quelques problèmes que pose l'hydrodynamique// J. Math. Pures Appl., 1933, V. 12, P. 1-82.

14. Leray J, Shauder J. Topologie et equations fonctionnelles. Ann. Sei. Ecole Norm, Super. Ser., 3, 1934, V. 51, P. 45-78.

15. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л., 1950, 255 с.

16. Голъдман М.Л. О вложении обобщенных гельдеровых классов, Матем. заметки, 12:3 (1972), 325-336.

17. Hopf E. Uber die Aufangswerfaufgabe fur die hydrodynamischen Grundgleichungen. Math. Nachr., 1951, Bd. 4, S. 213-231.

18. Maxwell J.C. On the dymanical theory of gases. Philos. Trans. Roy. Soc. London, 1867, V. 157, P. 49-88.

19. Maxwell J.C. On the dymanical theory of gases. Philos. Mag. London, 1868, V. 35, P. 129-145.

20. Kelvin W. On the theory viscoelastic fluids. Math. a. Phys. Pap., 1875, V. 3, P. 27-84.

21. Voight W. Uber die innere Reibung faste Korper, inslesndere der Metalle. Ann. Phys. u. Chem., 1892, Bd. 47, N.9, S. 671-693.

22. Олдройт Дж. Г. Неньютоновские течения жидкостей и твердых тел: Реология: Теория и приложения. М., 1962, с. 757-793.

23. JI.B. Овсянников, Н.И. Макаренко, В.Н. Налимов Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985.

24. Бонч-Бруевич B.JI., Калашников С.Г. Физика полупроводников,— М.:Наука, 1990. —С. 672.

25. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред.— М.:Наука, 1992. —С. 664.

26. Фурман A.C. О стратификации объемного заряда при переходных процессах в полупроводниках,- ФТТ, 1986. -Т. 28, С. 2083-2090.

27. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А. Механика сплошных сред.— М.: Наука. Физматлит, 2000. —С. 256.

28. Рейнер М. Десять лекции по теоретической реологии.— М.: Гостехиздат, 1947. —С. 134.

29. Олдройт Дж.Г. Неньютоновское течение жидкостей и твердых тел.— Реология: теор. и прил., 1962. -С. 757-793.

30. Виноградов Г.В., Малкин А.Я. Реология полимеров.— М.: Химия, 1977. —С. 438.

31. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаем,ой жидкости. М.:Наука, 1970, 288 с переиздание].

32. Свешников А.Г., Алъшин А.Б., Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д. Линейные и нелинейные уравнения Соболевского типа, 2007, Москва, Физматлит.

33. Похожаев С.И. Об отсутствии глобальных решений уравнения Кортвега-де Фриза, Уравнения в части, произ., СМФН, 39, РУДН, М., 2011, 141-150.

34. Корпусов M.O. Разрушение в неклассических волновых уравнениях, М.: Книжный дом «Либроком», 2010, 240 с.

35. Корпусов М.О., Свешников А.Г. О разрушении решений одного класса квазилинейных диссипативных волновых уравнений типа Соболева с источником, 2005, ДАН, Т.404, С.1-3.

36. Корпусов М.О., Свешников А.Г. О разрушении решений нелинейных волновых уравнений Соболева с кубическим источником, 2005, Мат.зам., Т.78, С.559-578.

37. Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов С.В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения, 2000, Новосибирск: Наука, С.336.

38. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения.//Издательство МИР,1978

39. Осколков А П. О единственности и глобальной разрешимости первой краевой задачи для системы уравнений, описывающих движение водных растворов полимеров. -Тр.Ленигр.Кораблестр.ин-та, 1972, вып.80, с.44-48.

40. Павловский В.А. К вопросу о теоретическом описаии слабых водных растворов полимеров. ДАН СССР, 1971, 200, Ш.

41. Юшков Е.В. Исследование существования и разрушения одного уравнения псевдопараболического типа / Е. В. Юшков // Дифференциальные уравнения. 2011. - Т. 47, N 2. - С. 291-295.

42. Корпусов М.О., Свешников А.Г. О разрушении решения системы уравнений Осколкова. —Матем.сб., 200:4(2009), 83-108.

43. Галахов Е.И. О разрушении решений нелинейных сингулярных уравнений в частных производных, Диссертация на соискание ст. д. ф.-м. н., МИАН им. В.А. Стеклова.

44. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика.— Издание 6-е.—М.:2006.—736 с. — ("Теоретическая физика том 4).

45. Свешников А.Г., Алъшин А.Б., Корпусов М.О. Нелинейный функиональный анализ и его приложения к уравнениям в частных производных. М.:Научный Мир, 2008. — 400 с.

46. Осколков А.П. О некоторых нестационарных линейных и квазилинейных системах, встречающихся при изучении движения вязких жидкостей. — Зап. научн. сем. ЛОМИ 59 (1976),133-177.

47. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Наука, 1970. 280 с.

48. Демидович В.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.:Наука, 1967. 472 с.

49. J.T. Beale, Т. Kato, A. Majada, "Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3-D Euler equation Comm. Math. Phys., 94, (1984), 61-66.

50. S. Friedlander, N. Pavlovic, "Blou-up in a three-dimensional vector model for the Euler equations Comm. on Pure and App. Math., 57:6, 2004, 705-725.

51. E.B. Юшков, О разрушении решения нелокальной системы уравнений гидродинамического типа, Изв. РАН. Сер. матем., 76:1 (2012),201-224.

52. Е.В. Юшков, О разрушении решения задач гидродинамического типа с сингулярным источником, ЖВМиМФ, 2012, 52, № 8, 1-13.

53. О.А. Ладыженская, О новых уравнениях для описания движений вязких несжимаемых жидкостей и разрешимости в целом для них краевых задач, Краевые задачи математической физики. 5, Тр. МИАН СССР, 102, 1967, 85-104.

54. М.О. Корпусов, А.Г. Свешников, Нелинейный функциональный анализ и математическое моделирование в физике: Геометрические и топологические свойства линеных пространств. М.: КРАСАНД, 2011. - 416 с.

55. F.E. Browder, "Existance and uniqueness theorems for solutions of nonlinear bondary value problems Proc. Sym. Appl. of Amer. Math. Soc., 1965, 17, 24-49.

56. A. Constantin, J. Escher Wave breaking for nonlinear nonlocal shallow water equations, Acta Math., 181, 1998, 229-243.

57. Y. Zhou Wave breaking for a shallow water equation, Nonlinear Analysis, 57, 2004, 137-152.

58. S. Lai, Y. Wu Global solutions and blow-up phenomena to a shallow water equation, Differ. Equ., 249, 2010, 693-706.

59. M. О. Корпусов, Разрушение решений нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений теории волн ТМФ (в печати), 2013.

60. Б. Л. Рождественсвкий, Н.Н. Яненко Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике, М.: Наука, 1968.

61. О. В. Булатов, Т.Г. Елизарова Регуляризованные уравнения мелкой воды и эффективный метод численного модерирования течений в неглубоких водоемах, ЖВМиМФ, 51:1, 2011, 170-184.

62. S.I. Pokhozhaev On the nonexistence of global solutions for some initial-boundary value problems for the Korteweg-de Vries equation, Differ. Equ., 47:4, 2011, 488-493.

63. A.H. Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

64. J.L Bona, V.A. Dougalis, D.E. Mitsotakis Numerical solution of Boussinesq systems of KdV-KdV type: II. Evolution of radiating solitaru waves, J. Nonlinearity 21 (2008) 1-24.

65. J.L Bona, Chen M., Saut J.-С. Boussinesq equations and other systems for small-amplitude Ion waves in nonlinear dispersive media: I. Derivation and linear theory J. Nonlinear Sci. 12 283-328, 2002.

66. J.P. Boyd Weakly non-local solitons for capillary-gravity waves: fifth-degree Kortweg-de Vries equation Physica D 48 129-46, 1991.

67. R. Grimshaw, N. Joshi Weakly nonlocal solitary waves in a singularly perturbed Korteweg-de Vries equation, SIAM, J.Appl.Math. 55 124-35, 1995.

68. Юшков E.B. О разрушении решений уравнений гидродинамического типа при специальных граничных условиях. Дифференцальные уравнения. 2012. - Т.48, №9. - С. 1234-1239.

69. P.D. Miller, P.L. Christiansen A coupled Kortweg-de Vries System and Mass Exchanges Among Solitons, Physica Scripta, Vol. 61, 518-525, 2000.

70. Рыскин H. M., Трубецков Д. И. Нелинейные волны. М.: Наука, Физматлит, 2000.-с.272.

71. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. - 623 с.

72. Коул Дж. О квазилинейном параболическом уравнении, встречающемся в аэродинамике, сб. Механика, № 2 (18), 1953, 70-82.

73. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988.

74. Габов С. Введение в теорию нелинейных волн. Изд.МГУ, 1988. — 175 с.

75. Похожаев С. И. Об одном классе сингулярных решений уравнения Кортвега-де Фриза, Докл. РАН, 435:4 (2010), 460-462.

76. Градшгпейн И. С., Рыжик И.M. Таблицы интешралов, сумм, рядов и произведений. 1992, Гос.Издат.Физ.-мат. Литературы.

77. Эльсголъц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.

78. Алъшин А. В., Корпусов М. О., Юшков Е. В. Бегущая волна как решение нелинейного уравнения в полупроводниках с сильной пространственной дисперсией. — Ж.вычисл.матем.и матем.физики.(2008),808-812.

79. S.I. Pokhozhaev Riemann quasi-invariants, Sb. Math., 202:6 (2011), 887-907.

80. S.I. Pokhozhaev Weighted Identities for the Solutions of Generalized Korteweg-de Vries Equations, Math. Notes, 89:3 (2011), 382-396.

81. J. P. Albert, On the decay of solutions of the generalized Benjamin-Bona-Mahony equation, J. Math. Anal. Appl, 141, No. 2, 527-537 (1989).

82. J. D. Avrin and J. A. Goldstein, "Global existence for the Benjamin-Bona-Mahony equation in arbitrary dimensions," Nonlinear Anal, 9, No. 8, 861-865 (1985).

83. E. Bisognin, V. Bisognin C. R. Charao, A. F. Pazoto. Asymptotic expansion for a dissipative Benjamin-Bona-Mahony equation with periodic coefficients. Port. Math. (N.S.) 60 (2003), no. 4, 473-504.

84. Т. B. Benjamin, J. L. Bona, and J. J. Mahony, "Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems," Philos. Trans. Royal Soc. London, Ser. A, 272, 47-78 (1972).

85. P. Biler, "Long-time behavior of the generalized Benjamin-Bona-Mahony equation in two space dimensions," Differ. Integral Equations, 5, No. 4, 891-901 (1992).

86. Yu. Chen, "Remark on the global existence for the generalized Benjamin-Bona-Mahony equations in arbitrary dimension," Appl. Anal, 30, Nos. 1-3, 1-15 (1988).

87. N. Hayashi, E. I. Kaikina, P. I. Naumkin, and I. A. Shishmarev, Asymptotics for Dissipative Nonlinear Equations, Springer-Verlag, New York (2006).

88. T. Hagen and J. Turi, "On a class of nonlinear BBM-like equations," Comput. Appl. Math., 17, No. 2, 161-172 (1998).

89. M. Mei, L. Liu. A better asymptotic profile of Rosenau-Burgers equation. Appl. Math. Comput. 131 (2002), no. 1, 147-170.

90. M. A. Park, "On the Rosenau equation in multidimensional space," J. Nonlin. Anal., 21, No. 1, 77-85 (1993).

91. Rosenau Ph., Extending hydrodynamics via the regularization of the Chapman-Enskog expansion. Phys. Rev. A 40(12):7193-7196 (1989).

92. Korpusov M.O. On the blow-up of solutions of the Benjamin-Bona-Mahony-Burgers and Rosenau-Burgers equations//Nonlinear Analysis 75 (2012) 1737-1743.

93. Корпусов M. О. О разрушении решений трехмерного уравнения Розенау-Бюргерса, ТМФ, 170:3 (2012), 342-349.

94. Юшков Е.В. О разрушении решения уравнения, родственного уравнению Кортевега-де Фриза, ТМФ, 172:1 (2012), 64-72.

95. Галактионов В. А., Похожаев С. И. Уравнения нелинейной дисперсии третьего порядка: ударные волны, волны разрежения и разрушения. Ж. вычислит, матем. и матем. физ. 2008, 48(10), 1819-1846.

96. Pohozaev S. I. Critical nonlinearities in partial differential equations. Milan J. Math. 2009, 77:1, 127-150.

97. Pucci P. and Serrin J. Some new results on global nonexistence for abstract evolution equation with positive initial energy. Topological Methods in Nonlinear Analys, Journal of J. Schauder Center for Nonlinear Studies. 1997, 10, 241-247.

98. Pucci P. and Serrin J. Global nonexistence for abstract evolution equations with positive initial energy. J. Diff. Equations. 1998, 150, 203-214.

99. Straughan, B. Further global nonexistence theorems for abstract nonlinear wave equations. Proc. Amer. Math. Soc. 1975, 2, 381-390.

100. В. B. Kadomtsev, V. I. Petviashvili Dokl. Akad Nauk SSSR 192 753 (1970).

101. Yue Liu, "Blow up and instability of solutary-wave solutions to a generalized Kadomtsev-Petviashvili eqution"Tr. of the American Math. Soc., V.353, N.l, P.191 208.

102. Yue Liu, Xiao-Ping Wang Nonlinear Stability of Solitary Waves of a Generalized Kadomtsev-Petviashvili Equation, Commun. Math. Phys. 183, 253-266 (1997).

103. Saut, J. Remarks on the generalized Kadomtsev-Petviashvili equations, Indiana Math. J. 42(3) (1993), 1011-1026.

104. Saut, J. Recent results on the generalized Kadomtsev-Petviashvili equations, Acta Appl. Math. 39 (1995), 477-487.

105. M. Saut, J., C. Klein Numerical study of blow up and stability of solutions of generalized Radotsev-Petvishvili equations, arXiv:1010.5510vl math.AP. 26 Oct 2010.

106. M. Hadac Well-Posedness for the Kadomtsev-Petviashvili equation and generalisations, arXiv:math/0611197vl math.AP. 7 Nov 2006.

107. V.E Zakharov, and E.A. Kuznetsov, On three-dimensional solitons, Sov. Phys. JETP 39 (1974), 285-286.

108. Фаминский А. В. Задача Коши для уравнения Захарова-Кузнецова // Дифф. уравнения. 1995. Т. 31, N 6. С. 1070-1081.

109. Фаминский А. В. О нелокальной корректности смешанной задачи для уравнения Захарова-Кузнецова // Совр. математика и ее приложения. 2006. Т. 38. С. 135-148.

110. R. Н. Zeytunyan Nonlinear long waves on water surface and solitons, UFN, V 165, N 12, pp. 1403-1456.

111. M. Б. Виноградова, О. В. Руденко, А. П. Сухорукое Теория Волн. М. Наука: 1990, 432 с.1.n С. С., Reissner Е., Tsien Н. S., "On two-dimensional non-steady motion of a slender body in a compressible fluid J. Math, and Phys., 27:3 (1948), 220-231.

112. A. Ostrovsky, Nonlinear internal waves in a rotating ocean, Okeanologia, 18, (1978), 181191.

113. Mm Chen, From Boussinesq systems to KP-type equations, CANADIAN APPLIED MATHEMATICS QUARTERLY Volume 15, Number 4, Winter 2007.

114. Evans L.S. Partial differential equations, Providence: American Mathematical Society.

115. Дж.Л. Келли Общая топология. //Издательство Наука, 1968

116. Levme Н.А., Park S.R., Serrin J. Global existance and nonexistence theorems for qusilinear evolution of formally parabolic type, 1998, J.Differential equations, — V. 142. — P. 212-229.

117. Simon J. Compact sets in the space Lp(0,T; B).//Ann. Mat. Рига Appl—1987.-146 —С 6596

118. Хилле Э. Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы.— М.: Изд-во иностр. лит., 1962, С.832.