Построение граничных аналогов метода наименьших квадратов для аппроксимации решения эллиптических дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Ануфриев, Игорь Евгеньевич

• Ануфриев, Игорь Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ануфриев, Игорь Евгеньевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПОСТРОЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ АНАЛОГОВ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧИ

ДИРИХЛЕ

§1. Построение граничного аналога метода наименьших квадратов для аппроксимации слабого решения обобщенной задачи

Дирихле

п.1. Определение слабого решения обобщенной задачи Дирихле

п.2. Представление приближенного решения

п.З. Сходимость приближенного по Г АМН К решения к точному.. 25 п. 4. Разрешимость системы линейных алгебраических уравнений ГАМНК.. 34 §2. Построение граничного аналога метода наименьших квадратов для

аппроксимации регулярного решения обобщенной задачи Дирихле

п.1. Определение регулярного решения обобщенной задачи

Дирихле

п.2. Представление приближенного решения

п.З. Сходимость приближенного по ГАМНК решения к точному

граничных задач

п.1. Построение ГАМНК для аппроксимации очень слабого

решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения

п.2. Построение ГАМНК для аппроксимации очень слабого решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ ГРАНИЧНОГО АНАЛОГА МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ, СОДЕРЖАЩИХ НЕУСТОЙЧИВЫЕ ГРАНИЧНЫЕ

УСЛОВИЯ

§1. Постановка задачи

§2. Построение граничного аналога метода наименьших квадратов для аппроксимации только слабого решения

п.1. Слабая постановка граничных задач, содержащих

неустойчивые граничные условия

п.2. Формальное построение ГАМНК

§3. Построение граничного аналога метода наименьших

квадратов для аппроксимации сильного решения

п.1. Сильное решение граничной задачи

п.2. Построение ГАМНК для аппроксимации сильного решения

пространстве

п.1. Определение решения граничных задач в

фактор-пространстве

п.2. Построение ГАМНК для аппроксимации сильного решения

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ГРАНИЧНОГО АНАЛОГА

МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

§1. Понятие вычислительной устойчивости

§2. Достаточные условия вычислительной устойчивости

граничных аналогов метода наименьших квадратов

п. 1. Устойчивость ГА МНК для аппроксимации слабого решения обобщенной

задачи Дирихле

п. 2. Устойчивость ГА МНК для аппроксимации сильного решения граничных задач, содержащих неустойчивые граничные условия, и к+1-регулярного

решения обобщенной задачи Дирихле

п.З. Устойчивость ГАМНК для аппроксимации очень слабого

решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения

п.4. Устойчивость ГАМНК для аппроксимации решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа (случай области с гладкой

границей)

п. 5. Устойчивость ГАМНК для аппроксимации решения задачи Дирихле для

уравнения Лапласа (случай области с кусочно-линейной границей)

3

§3. Численная реализация граничного аналога метода наименьших квадратов для задачи Дирихле для уравнения Лапласа

п.1. Случай области с гладкой границей

п.2. Случай области с кусочно-линейной границей

§4. Численная реализация граничного аналога метода наименьших квадратов для аппроксимации слабого решения

обобщенной задачи Дирихле

§5. Численная реализация граничного аналога метода наименьших квадратов для аппроксимации регулярного решения обобщенной задачи Дирихле и сильного решения граничных

задач, содержащих неустойчивые граничные условия

п.1. Аппроксимация регулярного решения обобщенной задачи Дирихле

неустойчивые граничные условия

ГЛАВА 4. ПОСТРОЕНИЕ ГРАНИЧНОГО АНАЛОГА МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ

§1. Определение граничного аналога метода коллокации

§2. Граничный аналог метода коллокации для аппроксимации очень слабого решения задачи Дирихле для бигармонического

уравнения

п.1. Построение ГАМК

п.2. Сходимость ГАМК

п.З. Обусловленность матрицы системы линейных

алгебраических уравнений ГАМК

§3. Граничный аналог метода коллокации для аппроксимации

слабого решения обобщенной задачи Дирихле

п.1. Построение ГАМК для преобразований Фурье

п.2. Построение ГАМК для глобальных базисных функций

§4. Построение граничного аналога метода коллокации для аппроксимации решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в многоугольных областях

ГЛАВА 5. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ АНАЛОГОВ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ И ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

§1. Аппроксимация решения различных задач о прогибе пластины

§2. Аппроксимация решения трехмерных задач теории упругости

§3. Аппроксимация решения задачи Неймана для уравнения Лапласа. .118 §4. Аппроксимация решения задачи Сен-Венана о кручении упругих призм

п.1. Постановка задачи

п.2. Аппроксимация решения при помощи ГАМНК

п.З. Аппроксимация решения при помощи ГАМК

§5. Аппроксимация решения задачи о прогибе пластины

§6. Аппроксимация решения задачи о плоском напряженном состоянии

п.1. Постановка задачи

п.2. Круг под воздействием двух сосредоточенных сил

п.З. Квадрат под воздействием двух сосредоточенных сил

п. 4. Квадрат под воздействием двух сосредоточенных сил и нагрузки

ГЛАВА 6. ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ

§1. Аппроксимация решения задач в кусочно-однородных областях

§2. Аппроксимация решения граничных задач с нелинейными

граничными условиями

§3. Аппроксимация решения граничных задач в областях с кусочно-гладкой границей

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение граничных аналогов метода наименьших квадратов для аппроксимации решения эллиптических дифференциальных уравнений»

Введение.

Для решения задач с переменными границами, задач оптимального проектирования приходится применять приближенные методы. Переменная граница приводит к значительным трудностям. При использовании методов, связанных с дискретизацией области, например метода конечных элементов, возникает необходимость перестраивать разбиэние области, что, во - первых, приводит к увеличению времени вычислений и, во - вторых, может нарушить регулярность триангуляции. Аппроксимация решения при помощи.методов, связанных с переходом к граничным интегральным уравнениям (методы граничных элементов), оказывается так же недостаточно эффективной в связи с тем, что для нахождения значения приближенного решения в каждой точке области необходимо вычислять интегралы типа потенциала. Это обстоятельство существенно и при вычислении интегральных характеристик приближенного решения, например потенциальной энергии, когда значение подынтегральной функции и ее производных выражается через интегралы по границе области. Кроме того, в оптимальном проектировании возникают задачи, гладкость данных которых не допускает слабой (обобщенной) постановки задачи и, следовательно, не позволяет применять вариационные и вариационно-разностные методы, основанные на этих постановках.

Л.В. Петухов предложил разработать метод (в применении к задачам оптимального проектирования) аппроксимации решения граничных задач для эллиптических дифференциальных уравнений и систем, основанный на разложении приближенного решения в конечный ряд по функциям, тождественно удовлетворяющим однородному дифференциальному уравнению. При таком подходе приближенное решение удовлетворяет уравнению в области, а коэффициенты разложения

находятся из аппроксимации граничных условий. Редукция на границу области существенно облегчает решение задач с изменяющейся границе^ В качестве базисных функций могут быть выбраны полиномы, тождественно удовлетворяющие однородному дифференциальному уравнению, что так же упрощает численную реализацию метода и, позволяет просто вычислить приближенное решение и значения функционалов на нем сразу для всей области. Центральным вопросом та/

кого метода, как и любого приближенного метода, является построение базисных функций и способа аппроксимации (в данном случае граничных условий), обеспечивающих сходимость и вычислительную устойчивость метода.

Вопрос построения полиномиальных решений эллиптических дифференциальных уравнений на примере уравнения Лапласа изучался математиками еще в прошлом веке. Альманси Е. в 1899г. доказал возможность однозначного представления решения многомерного /

полигармонического уравнения через гармонические функции. Первоначально построение полигармонических полиномов осуществлялось при помощи формулы Альманси, где в качестве гармонических полиномов трех переменных выбирались хорошо известные шаровые функции. Свойства шаровых функций подробно исследованы в работах Виленкина Н.Я. [27] и Гобсона Е. [28]. Затем осуществлялось преобразование шаровых функций к декартовым координатам (см. работу Барнеп-та М.П. и Отиса А.Б. [49]). Однако, оказалось, что при переходе к декартовым координатам получающиеся полиномы не обладают достаточно простыми свойствами, в частности имеют большой разброс значений коэффициентов. Обобщение шаровых функций на случай многих переменных приведено в книге [19]. Теодореску П.П. предложил [64] алгоритм непосредственного построения системы линейно независимых гармонических полиномов от трех переменных, который

I

оказался эффективнее преобразования шаровых функций к декартовым координатам. Построение бигармонических полиномов от двух переменных и их изучение проведено в книге Цвайлинга К. [67].

Большое развитие вопрос о построении полиномиальных решений дифференциальных уравнений получил в работах Бондарен-ко Б.А. [23-25]. Бондаренко Б.А. предложил операторный алгоритм постррения полиномиальных решений и нашел полиномиальные ба-

I

зисные системы многих практически важных дифференциальных уравнений. Доказано, что построенные системы являются линейно независимыми и базисными в классе всех полиномиальных решений однородных дифференциальных уравнений, т.е. любое полином, тождественно удовлетворяющий дифференциальному уравнению, является линейной комбинацией построенных полиномов. Кроме того, установлено, что для большинства из рассмотренных дифференциальных уравнений построенные системы полны в классе аналитических решений уравнения в смысле равномерного приближения по области. Вид получающихся полиномов допускает их простую алгоритмизацию. В работах Бондаренко Б.А. получены формулы дифференцирования и неопределенного интегрирования полиномиальных решений.

Вопрос о приближении решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами полиномиальными решениями этого же уравнения подробно исследован Мальгранжем Б. [38], Хёрмандером Л. [65].

Отметим, что приближенное решение граничных задач можно разыскивать в виде конечного ряда по неполиномиальным решениям однородного дифференциального уравнения. Например, в работах Купра^дзе В.Д. и Алексидзе М.А. [32], [33] на основе фундаментальных решений построены системы базисных функций для аппроксимации граничных задач для уравнения Лапласа и теории упругости. Выбира-

ется некоторая кривая, охватывающая границу области и отстоящая от нее на конечное расстояние (для многосвязных областей— соответствующее число вспомогательных кривых). На этих кривых берется всюду плотное множество точек, т.е. такое множество, чтобы сколь угодно малый участок кривой содержал по крайней мере одну точку. В качестве фундаментальных решений выбирается ядро интегрального представления решения граничной задачи, вычисленное в этих точках. Доказано, что при определенных условиях система фундаментальных решений будет линейно независимой и полной. Для большого числа уравнений фундаментальные решения приведены в книге Алексидзе М.А. [1].

Таким образом, построение решений однородных дифференциальных уравнений хорошо изучено. Вопрос о способе аппроксимации граничных условий при разложении решения граничной задачи по функциям, тождественно удовлетворяющим однородному дифференциальному уравнению, для различных частных случаев решался многими авторами. В работах Михлина С.Г. [40], [41], [45] разработан метод наименьших квадратов для аппроксимации плоских задач Дирихле, Неймана и смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа, задач плоской теории упругости. Суть предлагаемого подхода состоит в представлении приближенного решения в виде конечного ряда по полиномам от двух переменных, построенных при помощи комплексного представления решения, и приближении граничных условий в среднеквадратичном по границе области. При доказательстве сходимости приближенного решения к точному существенно используется введение функции комплексного переменного и теорема Уолша о возможности приближения комплексной аналитической функции полиномом комплексного переменного. Доказывается равномерная сходимость приближенного решения к точному внутри области. В [40] для случая

уравнения Лапласа отмечено, что повышение порядка аппроксимации на границе (аппроксимация в среднеквадратичном вместе с некоторым числом производных) влечет равномерную вместе с производными сходимость по замкнутой области. Метод обобщается на вышеперечисленные задачи в двухмерных многосвязных областях. В [41] доказано, что в случае задачи Дирихле для уравнения Лапласа в одно-связных и многосвязных областях с достаточно гладкой границей метод наименьших квадратов будет вычислительно устойчивым.

В работе Алексидзе М.А. [2] приближенное решение граничных задач представляется в виде конечного ряда по фундаментальным решениям, коэффициенты которого так же находятся из удовлетворения граничным условиям в среднеквадратичном. Равномерная сходимость внутри области устанавливается в предположении, что для решения задачи существует интегральное представление с ограниченными в среднеквадратичном по границе ядрами (ядрами интегрального представления являются, для соответствующих задач, функция Грина, матрица Сомилиана и т. п.). Разность приближенного и точного решений оценивается при помощи неравенства Коши-Буняковского.

Метод наименьших квадратов на границе для аппроксимации так называемого очень слабого решения двухмерной первой граничной задачи для бигармонического уравнения в односвязной области разработан в статье Ректориса К. и Заградника В. [55] и обобщен на случай многосвязных областей в работе Ректориса К. с соавторами [54]. Метод основан на определении очень слабого решения задачи, приведенном в книге Нечаса И. [47], (т.е. решения граничной задачи, данные которой не удовлетворяют условиям существования слабого решения) при помощи построения последовательности слабых решений граничных задач, следы которых образуют плотное множество в декартовом произведении пространств исходной задачи функций, задан-

ных на границе области. Предел последовательности (доказывается что он существует и единственен) называется очень слабым решением. Основная идея состоит в представлении приближенного решения в виде конечного ряда по системе бигармонических полиномов (в случае односвязной области) и нахождении коэффициентов разложения из условия наименьших квадратов на границе по норме вышеупомянутого декартового произведения. Отметим, что для доказательства сходимости используется известное представление Гурса бигармонической функции двух переменных через аналитические функции комплексного переменного. Сходимость внутри области следует из известной оценки для разности приближенного и точного решений с учетом линейности задачи и того факта, что приближенное решение тождественно удовлетворяет уравнению в области.

Непосредственно на разложении решения по функциям, тождественно удовлетворяющим дифференциальному уравнению, основан и метод Трефтца1. Сам Е. Трефтц предложил свой метод в 1926г. для аппроксимации решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа без доказательства сходимости. В работе Михлина С.Г. [40] дано обоснование метода Трефтца для этой задачи, получены достаточные условия сходимости. Для сходимости метода Трефтца достаточна полнота системы базисных функций в следующем смысле: любую гармоническую и квадратично суммируемую вместе с первыми производными в области функцию можно с любой^ степенью точности приблизить базисными функциями в смысле среднеквадратичного по первым производным. Общий подход к построению метода Трефца основан на построении некоторого функционала, областью определения которого

1 В технической литературе, как правило, любой метод аппроксимации решения граничных задач, связанный с разложением приближенного решения по точным решениям дифференциального уравнения, называется методом Трефтца.

являются решения дифференциального уравнения. Причем функционал строится так, чтобы он достигал минимума на решении граничной задачи. Построение функционала осуществляется при помощи так называемой обратной постановки граничных задач (например дифференциальное уравнение второго порядка домножается на пробную функцию и два раза интегрируется с учетом формул Грина). Сходимость внутри области приближенного по методу Трефтца решения к точному вместе с производными устанавливается посредством оценки интегрального представления решения при помощи неравенства Ко-ши-Буняковского. Для сходимости приближенного решения к точному необходимо, чтобы средние значения по границе приближенного и точного решений равнялись нулю. В работах Бирмана М.Ш. [20-22] построены функционалы метода Трефтца для граничных задач для уравнения Пуассона и бигармонического уравнения.

В статьях Рафальсона З.Х. [51], [52] разработан метод для аппроксимации первой граничной задачи для бигармонического уравнения, схожий с методом Трефтца. Метод основан на разложении пространства интегрируемых с квадратом по области функций в прямую сумму подпространства гармонических функций и подпространства, т. наз., негармонических остатков. В подпространстве гармонических функций выбирается полная система. С помощью этой системы находится лапласиан от искомого решения бигармонической задачи. Само решение восстанавливается при помощи выражения для объемного потенциала.

Отметим, что во всех вышеперечисленных методах способ аппроксимации граничных условий фиксирован—он не зависит ни от гладкости границы, ни от гладкости заданных на границе функций. Кроме того, как правило, устанавливается сходимость приближенного решения к точному лишь внутри области, т.е. в любой строго внутрен-

ней замкнутой подобласти. Сходимость по энергетической норме остается под вопросом, что затрудняет применение методов в задачах, где требуется минимизировать потенциальную энергию, или функционал от решения по всей области. Недостаточно изучена вычислительная устойчивость методов, что усложняет практическую реализацию.

В диссертации предложен следующий подход. Граничная задала для неоднородного дифференциального уравнения с неоднородными граничными условиями сводится (при помощи нахождения частного решения дифференциального уравнения) к граничной задаче для однородного дифференциального уравнения с соответствующим образом измененными граничными условиями. Записывается слабая постановка граничной задачи. Приближенное решение разыскивается в виде конечного ряда по функциям, тождественно удовлетворяющим однородному дифференциальному уравнению. Разность слабого и приближенного решений является (в силу линейности) слабым решением новой граничной задачи для однородного дифференциального уравнения. Коэффициенты разложения находятся из условия минимума правой части оценки слабого решения полученной граничной задачи. Оценка состоит из суммы квадратов норм (в функциональных пространствах по границе) разности заданных на границе функций и результатов действия граничных операторов на приближенное решение. Минимизируемый функционал является функционалом типа наименьших квадратов на границе. Условие его минимума приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно вектора искомых коэффициентов разложения.

Отметим причины, обусловившие выбор такого подхода. Теория граничных задач для эллиптических дифференциальных уравнений является хорошо разработанной и, в определенном смысле, замкнутой. Оказалось, что для эффективного описания решения граничных

задач и построения прямых1 приближенных методов для аппроксимации их решения недостаточно понятия классического решения граничной задачи. Первой попыткой обобщения классического решения является принцип Дирихле для уравнения Лапласа, который через довольно продолжительное время получил развитие в работах Гильберта и Ритца. Подход, связанный с обобщенными постановками граничных задач, основанными на теореме о минимуме функционала энергии, исследовался в многими учеными. Большой вклад в изучение этого вопроса внесли Ладыженская O.A., Михлин С.Г., Соболев С.Л., Ураль-цева H.H., см. работы [35], [36], [40], [61].

Дальнейшим развитием обобщен-зго решения явилось понятие слабого решения, слабой постановки граничных задач. Теория слабого решения, основанная на теореме Лакса - Мильграма, получила развитие в работах Агмона, Браудера, Лионез Ладыженской, Нечаса, Фике-ра и многих других (Подробная библисгсафия приведена в [36], [47],). Получены условия существования и еди-ственности слабого решения, установлены свойства слабого решение в зависимости от гладкости данных граничной задачи, детальный анализ проведен с помощью теорем о вложениях и теорем о следах и получены соответствующие оценки слабого решения. Слабое решение граничной задачи имеет вполне определенный физический смысл. Так например, слабая постановка задач теории упругости оснс = зна на принципе виртуальных перемещений и, по-существу, является исходной постановкой, из которой уже получаются уравнения Ламе.

Разработанный в диссертации подход позволяет строить граничные аналоги метода наименьших <задратов для аппроксимации

1 Прямые методы — приближенные методы (пс определению С.Л. Соболева [62]), которые сводят решение этих задач к конечном системам линейных алгебраических уравнений.

слабого решения с учетом гладкости границы области и заданных на границе функций. Таким образом, можно сказать о том, что в диссертации построена шкала граничных аналогов метода наименьших квадратов в зависимости от гладкости данных задачи. Сходимость приближенного решения к точному устанавливается именно в том функциональном пространстве, которому принадлежит само слабое решение граничной задачи, откуда, в частности, следует сходимость по энергетической норме. Тип сходимости внутри области легко устанавливается при помощи локальных оценок слабого решения. Оказалось, что для сходимости граничного аналога метода наименьших квадратов достаточно, чтобы любое решение однородного дифференциального уравнения можно было приблизить с любой степенью точности линейной комбинацией базисных функций в среднеквадратичном по некоторой области, содержащей исходную. Этому условию, в частности, удовлетворяют полиномиальные базисные функции, построенные в [23-25].

Однозначная разрешимость получающейся системы линейных алгебраических уравнений является следствием линейной независимости системы базисных функций и единственности слабого решения граничной задачи. Матрица системы линейных алгебраических уравнений является матрицей Грама базисных функций в соответствующим образом определенных гильбертовых пространствах на границе. Отметим, что, как правило, система базисных функций является неортогональной (более того, даже если система базисных функций ортогональна во введенных гильбертовых пространствах на границе, то при изменении границы ортогональность нарушается), поэтому матрица системы линейных алгебраических уравнений является полностью заполненной. Следовательно, особую актуальность приобретает вопрос вычислительной устойчивости.

При исследовании вычислительной устойчивости используется тот факт, что граничный аналог метода наименьших квадратов является методом Ритца, примененным к соответствующим образом построенному функционалу на границе области. Это обстоятельство позволяет применить подход, связанный с изучением устойчивости метода Ритца, получивший развитие в работах [41-43]. Вычислительная устойчивость граничного аналога метода наименьших квадратов естественным образом вытекает из устойчивости слабого решения по отношению к граничным условиям. Причем получены простые с вычислительной точки зрения достаточные условия вычислительной устойчивости, особенно эффективные при решении граничных задач с изменяющейся границей.

В диссертации показано, что на основе "приближенной факторизации" матрицы системы граничного аналога метода наименьших квадратов может быть построен граничный аналог метода коллокации, обладающий хорошими вычислительными свойствами.

Приведем качественное сравнение предлагаемого метода с существующими методами аппроксимации решения граничных задач, выявим достоинства и недостатки предлагаемого метода и определим классы задач, для аппроксимации решения которых он является наиболее эффективным. В отличие от метода конечных элементов и конечно-разностного метода, граничный аналог метода наименьших квадратов не требует дискретизации области. Это обстоятельство, во-первых, облегчает алгоритмизацию метода (особенно для многомерных областей и областей сложной формы) и, во-вторых, дает преимущества при аппроксимации решения задач с переменной границей (т.к. при каждом изменении границы не требуется перестраивать сетку). Кроме того, для задач с переменной границей особенно эффективны достаточные условия вычислительной устойчивости метода, получен-

ные в главе 3. Отметим, что при нахождении более точного решения (при увеличении числа базисных функций) часть элементов матрицы и вектора правой части системы линейных алгебраических уравнений оказывается вычисленной. Например, при увеличении вдвое числа глобальных базисных функций, 1/4 часть матрицы и 1/2 часть вектора правой части уже найдены при предыдущей аппроксимации и остается вычислить 3/4 элементов новой матрицы и 1/2 вектора правой части.

Приближенное по граничному аналогу метода наименьших квадратов решение сходится по норме в ]/\/2к{0.) к точному, а внутри области по всем производным (здесь к—половина порядка эллиптического дифференциального оператора). Метод конечных элементов обеспечивает сходимость по производным, не превосходящим порядок аппроксимации, т. к. производные более высоких порядков от базисных функций на конечных элементах будут равны нулю.

Особый интерес представляет сравнение предлагаемого метода с методом граничных элементов и методом Трефтца. Метод граничных элементов основан на переходе к граничным интегральным уравнениям с последующей аппроксимацией их решения. Нахождение значения приближенного решения в каждой точке области связано с вычислением некоторых интегралов типа потенциала. Таким образом, нахождение приближенного решения во всей области связано с большим объемом вычислений. Граничный аналог метода наименьших квадратов основан на разложении приближенного решения в конечный ряд по системе глобальных базисных функций. Соответствующим образом аппроксимируя граничные условия получаем значения коэффициентов разложения и явный вид приближенного решения для всей области.

Наиболее близко предлагаемый метод связан с методом Трефтца. Метод Трефтца строится при помощи так называемых обратных формулировок граничных задач и не дает возможности адаптации спо-

соба аппроксимации граничных условий к гладкости исходных данных задачи. Отметим, что даже на примере задачи Дирихле для уравнения Лапласа легко убедиться в том, что эти два метода отличаются друг от друга и приводят к различным системам линейных алгебраических уравнений, причем, в отличие от граничного аналога метода наименьших квадратов, метод Трефтца приводит к системе линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей, что затрудняет исследование его вычислительной устойчивости. Вычислительная устойчивость граничного аналога метода наименьших квадратов получается естественным образом из свойства устойчивости слабого решения по отношению к данным задачи.

Выбор базисных функций является важнейшим аспектом любого численного метода. Использование в качестве глобальных базисных функций полиномиальных решений однородных дифференциальных уравнений позволяет существенно упростить реализацию граничного аналога метода наименьших квадратов во многих случаях. Для случая кусочно-полиномиального задания границы возможно вычислить элементы матрицы системы линейных алгебраических уравнений (скалярные произведения базисных функций в соответствующих гильбертовых пространствах на границе) в конечном виде. Причем, вычисления можно произвести для общего случая. Это позволяет уменьшить промежуточные погрешности, повысить точность метода и сократить время вычислений.

Отметим, что основным недостатком предлагаемого метода является, по-видимому, то, что область его применения ограничена граничными задачами для уравнений с постоянными коэффициентами, так как для таких задач возможно построение глобальных базисных функций, удовлетворяющих условиям сходимости.

Учитывая вышеизложенное, можно определить область приме-

нения предлагаемого метода, в которой он дает преимущества по сравнению с существующими методами. Это граничные задачи для эллиптических дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в областях со сложной формой границы, в многомерных областях, задачи с переменной границей, задачи оптимального проектирования, задачи, требующие сходимости в области по производным высоких порядков и нахождения решения (и его производных) во всей области. Так же предлагаемый метод применим и в случае, когда гладкость данных задачи не позволяет записать вариационную постановку задачи и применить вариационные (вариационно-разностные методы). Некоторые такие случаи рассмотрены в первой главе.

Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых на параграфы, и заключения.

В первой главе дается определение слабого решения обобщенной граничной задачи Дирихле для эллиптических дифференциальных уравнений произвольного порядка в многомерной области, приводятся основные теоремы, касающиеся существования и единственности решения. Для аппроксимации слабого решения граничных задач построен граничный аналог метода наименьших квадратов. Дано определение очень слабого решения и решения, удовлетворяющего условиям /с+/-регулярности (см., например [47]) и построены граничные аналоги метода наименьших квадратов для аппроксимации этих решений вплоть до сильных решений. Получены достаточные условия сходимости на границе, установлен тип сходимости в области.

Во второй главе построен граничный аналог метода наименьших квадратов для аппроксимации решения граничных задач, содержащих

неустойчивые граничные условия1. Доказана сходимость, причем показано, что сходимость возможна лишь в случае, когда граничные условия выполняются в сильном смысле (в смысле следов).

Третья глава посвящена вопросам численной реализации разработанных в первых двух главах граничных аналогов метода наименьших квадратов. Получены простые, с вычислительной точки зрения, достаточные условия вычислительной устойчивости, особенно эффективные при аппроксимации решения задач с переменной границей. Построены соответствующие системы линейных алгебраических уравнений.

В четвертой главе приведен способ построения граничного аналога метода коллокации для нахождения коэффициентов разложения приближенного решения, основанный на "приближенной факторизации" матрицы и вектора правой части системы линейных алгебраических уравнений граничного аналога метода наименьших квадратов. Исследована сходимость граничного аналога метода кол-локации и обусловленность матрицы соответствующей системы линейных алгебраических уравнений.

Некоторые примеры построения граничных аналогов метода наименьших квадратов и метода коллокации и численные результаты (графики, таблицы) для ряда задач теории упругости представлены в пятой главе.

Шестая глава содержит возможные направления развития разработанных в диссертации методов, имеющие важное практическое значение.

В заключении к диссертации предлагаемые методы сравнивают-

1 т.е. граничные условия, содержащие дифференциальные операторы, заданные на границе, порядки которых больше или равны половине порядка дифференциального оператора самого уравнения.

ся с существующими прямыми методами и указывается область применения, в которой разработанные методы дают преимущества по сравнению с существующими методами.

Принята следующая нумерация формул, теорем, следствий, замечаний, рисунков и таблиц. Внутри параграфа используется глобальная нумерация формул (даже если параграф разделен на пункты), включающая номер параграфа. Если делается ссылка на формулу из этой же главы, то номер главы в формулу не включается, если из другой, то в начало ссылки входит номер главы. Теоремы, следствия, замечания, рисунки и таблицы нумеруются внутри параграфа без указания номера параграфа.

О результаты работы были сделаны доклады на следующих конференциях. International Workshop on New Approaches to Hi-Tech Materials, Nondestructive Testing and Computer Simulation in Materials Science and Engineering (Санкт-Петербург) 1998 и 1997гг. Международная научная конференция "Tools for Mathematica! Modelling" (Санкт-Петербург) 1997г. Международная конференция "Современные проблемы математики и механики", посвященная 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышева (Москва) 1996г. Научно-техническая конференция "Фундаментальные исследования в технических университетах" (Санкт-Петербург) 1997г. Всероссийский молодежный научный форум "Интеллектуальный потенциал России в XXI век" 1995г. Сделано три доклада на 23-ей, 24-ой и 25-ой неделях науки СПбГТУ.

Основные результаты диссертации изложены в [4-17]. Работа была поддержана персональным грантом мэрии Санкт-Петербурга для аспирантов, а также (в составе научной группы под руководством д. ф.-м. н., проф. Л.В. Петухова) грантом Фонда Сороса за №JDU100 и грантом РФФИ поддержки ведущих ученых СПбГТУ за №96-0103885.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Ануфриев, Игорь Евгеньевич

Заключение.

Диссертация посвящена разработке эффективных прямых методов для аппроксимации решения граничных задач для эллиптических дифференциальных уравнений с переменной границей (задач оптимального проектирования). Во введении к диссертации обсуждаются недостатки существующих методов при аппроксимации решения таких задач и отмечается преимущество методов, основанных на представлении приближенного решения в виде конечного ряда по системе базисных функций, которые удовлетворяют однородному уравнению в области.

Для нахождения коэффициентов разложения построена шкала граничного аналога метода наименьших квадратов. Под шкалой понимается адаптация способа построения граничного аналога метода наименьших квадратов к гладкости данных задачи (границе и заданным на границе функциям). Получены простые достаточные условия сходимости. Указанный подход, также, дает возможность выбора способа построения аппроксимации в соответствии с требуемым типом сходимости в области. Это обстоятельство позволяет применять метод в задачах, где требуется вычисление некоторого функционала от приближенного решения по всей области, зависящего от производных приближенного решения. Отметим, что в большинстве случаев сходимость приближенного решения к точному имеет место и по энергетической норме оператора граничной задачи.

В связи с неортогональностью базисных функций особую важность приобретает исследование вычислительная устойчивости. Получены простые, с вычислительной точки зрения, достаточные условия вычислительной устойчивости, особенно эффективные при аппроксимации решения задач с переменными границами. Вычислительная устойчивость позволяет получить хорошую аппроксимацию решения. Численные эксперименты, проведенные для ряда задач теории упругости, позволяют сделать вывод о хороших вычислительных характеристиках метода (сходимость и обусловленность матрицы системы линейных алгебраических уравнений).

Предложен способ построения граничного аналога метода коллокации для нахождения коэффициентов разложения приближенного решения, получающийся некоторым естественным образом из построенных граничных аналогов метода наименьших квадратов.

Выбор базисных функций является важнейшим аспектом любого численного метода. Использование в качестве глобальных базисных функций полиномиальных решений однородных дифференциальных уравнений позволяет существенно упростить реализацию граничного аналога метода наименьших квадратов во многих случаях. Для случая кусочно - полиномиального задания границы возможно вычислить элементы матрицы системы линейных алгебраических уравнений (скалярные произведения базисных функций в соответствующих гильбертовых пространствах на границе) в конечном виде. Причем вычисления можно произвести для общего случая. Это позволяет уменьшить промежуточные погрешности, повысить точность метода и сократить время вычислений.

Вопросы скорости сходимости метода и обусловленности матрицы получающейся системы линейных алгебраических уравнений изучались при помощи численных экспериментов для некоторых модельных задач теории упругости и оптимального проектирования, которые показали, что предлагаемый метод обладает хорошими вычислительными свойствами.

В диссертации выявлены достоинства и недостатки предлагаемого подхода и проведено качественное сравнение с существующими методами в приложении к задачам с переменной границей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ануфриев, Игорь Евгеньевич, 1999 год

Список литературы.

1. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач.-М.: "Наука", 1991 .-352с.

2. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям-М.: "Наука", 1978.-352с.

3. Алексидзе М.А. Об одном методе обращения симметричных матриц.// ДАН СССР, 1968.-Т.179, N5.-0.1019-1022.

4. Ануфриев И. Е., Петухов Л.В. Аппроксимация решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом наименьших квадратов.// Тезисы докладов Научно-технической конференции студентов СПбГТУ.-СПб., 1994.-С.71-72.

5. Ануфриев И.Е., Петухов Л.В. Аппроксимация граничных условий для эллиптических дифференциальных уравнений методом наименьших квадратов.// Тезисы докладов Научно-технической конференции студентов СПбГТУ.-СПб., 1995.-С.80-81.

6. Ануфриев И.Е., Петухов Л.В. Метод решения эллиптических дифференциальных уравнений, основанный на разложении решения по неортогональным базисным функциям.// Труды Всероссийского молодежного научного форума "Интеллектуальный потенциал России в XXI век",-СПб., 1995.-С. 51-52.

7. Ануфриев И. Е., Петухов Л. В. Применение граничных аналогов вариационных методов для аппроксимации решения смешанной задачи теории упругости в многосвязной области.// Тезисы докладов Научно-технической конференции студентов СПбГТУ.-СПб., 1996.-С. 127-128.

8. Ануфриев И.Е., Петухов Л. В. Метод решения эллиптических дифференциальных уравнений, основанный на разложении решения по глобальным базисным функциям.// Тезисы докладов на международной конференции "Современные проблемы математики и механики".-М., 1996.-Т.2.-С.286-288.

9. Ануфриев И.Е. Петухов Л.В. Метод решения эллиптических дифференциальных уравнений, основанный на разложении решения по неортогональным базисным функциям.//Сборник трудов СПбГТУ, 1996.-М461 .-С. 120-129.

Ю.Ануфриев И.Е., Петухов Л.В. Устойчивый метод аппроксимации слабого решения краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений.// Тезисы

докладов на международной научной конференции "Средства математического моделирования" ("Tools for Mathematical Modelling").-Cn6., 1997.-C.65.

11 .Anoufriev I. Construction of the stable analogue of the collocation method for some boundary problems in the theory of elasticity.// Proc. of International Workshop on New Approaches to Hi-Tech Materials (Nondestructive Testing and Computer Simulation in Materials Science and Engineering.-St.-Petersburg, 1997.

12. Ануфриев И. E., Петухов Л. В. Устойчивый метод разложения решения эллиптического дифференциального уравнения по глобальным базисным функциям.// Материалы научно-технической конференции "Фундаментальные исследования в технических университетах".-СПб., 1997.-С.183.

13.Ануфриев И.Е. Построение граничного аналога метода коллокации для аппроксимации очень слабого решения первой краевой задачи для бигармонического уравнения.// Вестник молодых ученых, 1997.-Серия "Прикладная математика и механика", N1 -С. 26.-32.

14.Anoufriev I., Petukhov L. Method of the approximation of the weak solution of elasticity problem.// Proc. of International Workshop on New Approaches to Hi-Tech Materials (Nondestructive Testing and Computer Simulation in Materials Science and Engineering).-St.-Petersburg, 1998.

15.Ануфриев И.E., Петухов Л~В. Применение устойчивого граничного аналога метода коллокации для аппроксимации решения некоторых задач теории упругости.// Прикладная математика и механика, 1998.-Т.62, N4.-C.633-642.

16.Ануфриев И.Е. Построение граничных аналогов прямых вариационных методов для аппроксимации решения регулярных задач для эллиптических дифференциальных уравнений. // Вестник молодых ученых, 1999-Серия "Прикладная математика и механика", N1.-C.21-31.

17.Ануфриев И. Е., Петухов Л. В. Построение граничных аналогов вариационных методов для аппроксимации слабого решения краевых задач теории упругости. // Прикладная математика и механика, 1999.-Т.63, N3.-C.497-508.

18.Баничук Н.В. Введение в оптимизацию конструкций.-М.: "Наука", 1986.-302с.

19.Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.2, 1966,- М.: "Наука".-296с.

20. Бирман М.Ш. Вариационные методы решения краевых задач, анагтсшчные методу ТрефщаУ /Вести ЛГУ, 1956.-N13, сер. матем., мех и астр, вып. 3.-С.68-89.

21.Бирман M.LU. О вариационном методе Трефтца для уравнения A2u=f.// ДАН СССР, 1955.-Т.101, N2.-C.201-204.

22. Бирман М.Ш. О минимальных функционалах для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка.// ДАН СССР, 1953.-Т.93, N6-С.953-956.

23.Бондаренко Б.А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных. -Ташкент. "ФАН", 1987.-148с.

24.Бондаренко Б.А. Операторные алгоритмы в дифференциальных уравнениях-Ташкент: "ФАН", 1984.-184с.

25.Бондаренко Б.А. Полигармонические полиномы.-Ташкент. "ФАН", 1968.-172с.

26.Векуа И.Н. О полноте системы гармонических полиномов в пространстве.// ДАН СССР, 1953.-Т.ХС, N4.-С.495-498.

27.Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп.-М.: "Наука", 1965,- 576с.

28.Гобсон Е. Теория сферических и эллипсоидальных функций.-М.: ИЛ, 1952.-476с.

29. Гольдштейн Е.Г. О наилучших приближениях гармонических функций гармоническими полиномами.// ДАН СССР, 1955.-Т.101, N1.-C.5-8.

30.Keldysh M.V., Lavrentjev M.A. Sur la suite convergente des polinomes harmoniques.// Труды Математического института Груз. ФАН СССР, 1937-Вып 1.-С.58^66.

31. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками.// Труды Московского матем. общества, 1967— Т.16.-С.219-292.

32.Купрадзе В. Д., Апексидзе М.А. Метод функциональных уравнений для приближенного решения некоторых граничных задач.// ЖВМ и МФ, 1964.-Т.4, N4.-C.683-715.

33.Купрадзе В.Д., Апексидзе М.А. Об одном приближенном методе решения граничных задач.//Сообщ. АН ГССР, 1963. Т.30, N5.-С.529-536.

34.Куршин Л.М. К задаче об определении сечения стержня максимальной крутильной жесткости.// ДАН СССР, 1975.-Т.223, N3.-C.585-588.

35.Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики.-М.: "Наука", 1973-408с.

36.Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.-М.: "Наука", 1973.-576с.

37.ЛионсЖ.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.-М.: "Мир", 1971.-372с.

38.Maigrange В. Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partialles et des équations de convolution.//Ann. Inst. Fourier Grenoble, 1955-1956-Vol. 6.-P.271—355.

ЗЭ.Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных лроизводных.-М.: "Наука", 1983.-424с.

40.Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике.-М.: "Наука", 1970.-512с.

41.Михпин С.Г. Численная реализация вариационных методов.-М.: "Наука", 1966.—432с.

42.Михлин С.Г. Некоторые условия устойчивости метода Ритца.// Вестн. ЛГУ, 1961.-N13.-C.47-53.

43.Михлин С.Г. Об устойчивости метода Ритца.// ДАН СССР, 1960.-Т.135, N1.-C.16-19.

44.Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала.-М.-Л.: Гостехиздат, 1952.-216С.

45.Михлин С.Г. Метод наименьших квадратов в задачах математической физики.// Уч. зап. ЛГУ, 1949.-N111, сер. матем. наук, вып. 16.-С.161-206.

46.Назаров С.А., Пламеневский Б.А.Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей.-М.: "Наука", 1991.-336с.

47.Necas J. Les méthodes directes en theorie des equations elliptiques.-Prague. Academia, 1967.-352c.

48.Никольский С.M- Квадратурные формулы.-М.: "Наука", 1974.-224с.

49.0tis A.B., Barnett M.P. Surface Harmonie of Products of Cartesian Coordinates.// Mathematics of Computation, 1964.-Vol.18, N88-P.635-643.

50. Петухов Л. В. Оптимальные упругие области максимальной жесткости.// Прикладная математика и механика, 1989.-Т.53, N1.-С.88-95.

51.Рафальсон З.Х. К вопросу о решении бигармонического уравнения.// Уч. зап. ЛГУ, 1952.-Сер. матем. наук, вып. 23.-С. 165-191.

52.Рафальсон З.Х. К вопросу о решении бигармонического уравнения.// ДАН СССР, 1949.-Т.64, N8.-C867-870.

53.Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике.-М.: "Мир", 1985.-5.9Qc.

54.Rektorys К., Danesova J., Matyska J., Vitner С. Solution of the First Biharmonic Problem by the Method of Least Squares on the Boundary in Multiply-Connected Domains.//Aplikace matematiky, 1977.-Vol.22. N5.-P.34-57.

55.Rektorys K., Zahradnik V. Solution of the First Biharmonic Problem by the Method of Least Squares on the Boundary//Aplikace matematiky, 1974.-Vol.19, N2.-P. 105-131.

56.Саак З.М. О регулярной аппроксимации решений комплексных эллиптических уравнений любого порядка.//Украинский математический журнал, 1966.-Т.18, N6.-C.34-49.

57.Серегин Г.А., Репин С.И., Ривкинд В.Я., Петухов Л.В. Математические методы в механике сплошной среды (учеб. пособие).-/!.: изд-во ЛГТУ, 1991.-100с.

58.Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных граничных задач.-М.: "Наука", 1990.-448с.

59.Слободянский М.Г. Об общих и полных формах решений уравнений упругости.// Прикладная математика и механика, 1959.-Т.23.-С.511-523.

60.Слободянский М.Г. Общие формы решений уравнений упругости для односвязных и многосвязных областей, выраженные через гармонические функции.// Прикладная математика и механика, 1954.-Т. 18.-С.55-74.

61.Соболев С.Л. Некоторые приложения функционального анализа к математической физике.-Изд-во ЛГУ, 1950.-256с.

62. Соболев С.Л. Уравнения математической физики, изд. 1-е. Госгехиздат, 1950.-444с.

63.Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Пространства Соболева (в сборнике "Избранные главы анализа и высшей алгебры").-Л.: Изд-во ЛГУ, 1981.-200с.

64.Teodorescu P.P. Asupra polinoamelor si biarmonice.// Studia Univer. Babes-Bolyai, 1963,-Ser. mathem.-physica, Fas. 1.-P.821-832.

65.Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными,-М,: "Мир", 1965.-380с.

66.Хорн Р, Джонс Ч. Матричный анализ.-М.: "Мир", 1989.-655с.

67.Zweiling К. Biharmonische Polynome.-Berlin. Verlag Technik, 1952.-128s.

68.Шагинян А.Л. О наилучших приближениях гармоническими многочленами в пространстве.//ДАН СССР, 1953.-Т.90, N2.-C. 158-166.

69.Юбенкс Р., Стренберг Э. О полноте функций напряжений Буссинека-Папковича.// Сб. "Механика" (перев. с англ.), 1957.-Т.6, N46.-C.99-109.