Оптические резонансы в диэлектрических фотонных структурах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Бочек Дарья Владимировна

• Бочек Дарья Владимировна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Бочек Дарья Владимировна

Реферат

Synopsis

ГЛАВА 1. Резонансные структуры современной фотоники

1.1 Структуры со связанными состояниями в континууме

1.2 Оптика метаповерхностей

1.3 Метаповерхности на основе материалов с фазовым переходом

1.4 Резонансы в наноструктурах на поверхности оптического волокна

ГЛАВА 2. Связанные состояния в континууме в диэлектрических цилиндрах и кольцах

2.1 Связанные состояния в континууме в режимах сильной и слабой связи при переходе цилиндр - кольцо

2.2 Связанные состояния в континууме в структурах с материальными

потерями

ГЛАВА 3. Создание и оптические исследования метаповерхностей на основе GeiSbiTes

3.1 Создание метаповерхностей на основе Ge2Sb2Te5 методом трехмерной лазерной литографии. Структурные исследования

3.2 Изучение метаповерхностей на основе Ge2Sb2Te5 методом оптической

дифракции

ГЛАВА 4. Бутылочные микрорезонаторы на поверхности изогнутого оптического волокона

4.1 Методика создания бутылочного волоконного резонатора

4.2 Экспериментальное исследование бутылочного волоконного резонатора

4.3 Теоретическое обоснование экспериментальных результатов и выводы

Заключение

Список литературы

Приложение А (обязательное) Тексты публикаций

Реферат

На смену двадцатому веку, который можно считать веком электроники, пришел двадцать первый век, в котором одним из ключевых направлений технологического развития будет фотоника, и замена электронной техники на полностью оптическую станет, в конце концов, реальностью. В ближайшие годы оптические элементы и целые устройства будут шаг за шагом вытеснять электронные, и оптоволоконные кабели, которые пришли в наши дома, подтверждают этот факт. В русле данной диссертационной работы следует выделить новое оптическое направление - «резонансную полностью диэлектрическую фотонику», которое в настоящее время привлекает повышенное внимание исследователей. Полностью диэлектрическая фотоника основана на электрических и магнитных резонансах Ми в микро- и нано- структурах с высоким показателем преломления [1-4]. Уникальным преимуществом резонансных диэлектрических структур перед их плазмонными аналогами являются, в первую очередь, низкие материальные потери, что обеспечивает альтернативу металлическим компонентам в различных устройствах [5]. Кроме того, резонансные диэлектрические структуры демонстрируют ряд необычных эффектов, возникающих из-за сильной связи и интерференции нескольких резонансных мод [6]. К подобным эффектам относятся нетривиальные высокодобротные резонансы с минимальным (теоретически - нулевым) излучением и, соответственно, высокой добротностью, такие, как анаполи или связанные состояния в континууме (ССК). ССК - это общее волновое явление, которое наблюдалось для различных типов волн, таких как электромагнитные, акустические, упругие волны и волны на воде. Фотонные ССК сосуществуют с распространяющимися электромагнитными волнами и лежат в континууме, но теоретически остаются полностью замкнутыми в структуре без какого-либо излучения. Теоретически ССК являются уникальными состояниями с бесконечным временем жизни и могут возникать, когда хотя бы одно измерение структуры простирается на бесконечность, либо возникать в структурах конечной

длины, когда диэлектрическая проницаемость стремится к нулю. Однако на практике из-за конечной длины реальных объектов, тем более в современной фотонике, сконцентрированной на микро- и нано-структурах, а также с учетом материальных потерь, наблюдение истинных ССК с бесконечной добротностью нереализуемо. Поэтому в экспериментах и расчетах говорят о квази-ССК с ограниченной радиационной добротностью. Квази-СКК наблюдается, когда в резонансной структуре при изменении какого-либо параметра, добротность демонстрирует резонансную зависимость, а не изменяется монотонно, как в обычных резонаторах.

На основе диэлектрических резонансных структур уже созданы и будут создаваться в ближайшем будущем оптические элементы для различных приложений в области телекоммуникаций, детектирования, визуализации, квантовых технологий и обработки сигналов.

Данная диссертационная работа посвящена созданию, а также теоретическим и экспериментальным оптическим исследованиям диэлектрических резонансных структур.

Объекты исследования

В данной работе экспериментально и теоретически исследуются три типа фотонных диэлектрических резонансных структур:

1. Структуры со связанными состояниями в континууме - диэлектрические цилиндры и кольца, в том числе из материала Ge2Sb2Te5 (GST), который обладает фазовым переходом из кристаллической в аморфную фазу;

2. Метаповерхности на основе GST, созданные методом лазерной литографии;

3. Микрорезонаторы, изготовленные на поверхности изогнутого оптического волокна, поддерживающие моды шепчущей галереи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптические резонансы в диэлектрических фотонных структурах»

Актуальность работы определяется следующими факторами:

1. Созданием и исследованием метаповерхностей на основе халькогенида GST - материала, который в последнее десятилетние привлекает большой интерес исследователей [7, 8]. Этот материал может существовать в аморфной или кристаллической фазах и позволяет изучать оптические эффекты при фазовом переходе [9]. Обратимое переключение между фазовыми состояниями является энергонезависимым и может быть достигнуто за фемтосекунды. Благодаря таким уникальным свойствам GST можно использовать в качестве активного материала в запоминающих устройствах и для управления свойствами различных фотонных структур. Приложения включают в себя контроль излучения, резонансные характеристики наноантенн, переключение волнового фронта [10].

2. Во-вторых, актуальность работы определяется фундаментальной задачей, связанной с изучением квази-ССК при переключении диэлектрических свойств резонатора, а также в зависимости от материальных потерь. Все это можно исследовать, если соответствующий резонатор выполнен из GST. Кроме того, в качестве резонаторов в данной работе выбраны простейшие диэлектрические объекты - цилиндры и кольца, которые активно используются в качестве рабочих элементов нелинейных усилителей [11], оптических фильтров [12], интегральных схем, в устройствах квантовой обработки информации [13, 14].

3. В-третьих, актуальность работы определяется решением задачи управления модами шепчущей галереи (МШГ) в одной из самых доступных сред для распространения света - оптическом волокне посредством нано-модификации его поверхности и изгибом самого волокна. Резонаторы с МШГ являются важными элементами для фундаментальных исследований и для таких применений как создание линий задержки [15, 16], микролазеров [17, 18], оптических фильтров и переключателей, генерация оптических комбов [19], а также для различных задач детектирования [20, 21]. Одним из наиболее популярных направлений в настоящее время является детектирование биомолекул и вирусов, где информация о наличии частицы

и ее размере получается посредством измерения сдвига резонансной длины волны МШГ резонатора [22].

Целью диссертационной работы является численное и экспериментальное исследование оптических свойств диэлектрических резонансных структур, а именно:

1. Поиск и исследование квази-ССК в кольцевых резонаторах;

2. Создание методом лазерной литографии и исследование оптических свойств микро-структурированных метаповерхностей из пленок GST,

3. Создание и исследование механически перестраиваемых бутылочных волоконных резонаторов с модами шепчущей галереи, которые локализованы на поверхности оптического волокна.

Для достижения заявленных целей в рамках диссертации были поставлены и решены следующие задачи:

1. Численный расчет спектров рассеяния света на диэлектрических цилиндрах и кольцах при изменении геометрических параметров структуры, поиск резонансов, соответствующих квази-ССК;

2. Разработка технологии и изготовление высококонтрастных периодических метаповерхностей из пленок GST методом лазерной литографии. Исследование их структуры и оптических свойств, в том числе дифракционным методом;

3. Разработка технологии создания механически перестраиваемых бутылочных волоконных резонаторов с МШГ. Экспериментальное исследование спектров МШГ изогнутого оптического волокна.

Методы исследования:

В диссертационной работе использовался комплекс технологических, экспериментальных и теоретических методов.

Поиск и исследование квази-ССК при переходе от однородного диэлектрического цилиндра к кольцу с узкими стенками проводился путем расчёта спектров рассеяния с использованием коммерческого программного обеспечения COMSOL. Расчеты спектров диэлектрического цилиндра проводились на основе теории Ми. Для изучения поведения квази-ССК в цилиндрах и кольцах из аморфного и кристаллического GST, в том числе с учетом материальных потерь, были экспериментально измерены комплексные показатели преломления для обеих фаз методом эллипсометрии. Эллипсометрические спектры регистрировались при комнатной температуре при различных углах падения с помощью эллипсометра M-2000 JAWoollam.

Для изготовления пленок GST на стеклянных или сапфировых подложках применялся метод лазерного электродиспергирования. Оптимальный режим изготовления метаповерхностей из пленок GST методом лазерной литографии достигался подбором мощности излучения и количества импульсов фемтосекундного Ti:Sa лазера. Использовались различны методы характеризации изготовленных метаповерхностей, а именно сканирующая электронная микроскопия (СЭМ), атомно-силовая микроскопия (АСМ), а оптический метод -изучение картин дифракции Лауэ.

Экспериментальное исследования спектров МШГ изогнутого волоконного световода изучались методом непосредственного контакта тейперированного волокна (тейпера) с волокном, изогнутым в петлю. Тейпер, диаметр которого в перетяжке составляет ~ 1 мкм, изготавливалось методом адиабатического растяжения телекоммуникационного волокна одновременно нагреваемого СО2 лазером. Тейпер подключался к источнику света и анализатору оптического спектра с переключаемым разрешением 1/0,04 пм.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. При трансформации диэлектрической структуры от цилиндра к кольцу квази - связанные состояния в континууме (механизм Фридриха-Винтгена) сохраняются в широком диапазоне параметров, причем наблюдается переход от режима сильной связи мод (Ми и Фабри-Перо) к режиму слабой связи.

2. В диэлектрических цилиндрах и кольцах при увеличении материальных потерь (от 0 до 0.42, что соответствует Ge2Sb2Te5 в аморфной фазе) в режиме квази - связанного состояния в континууме в области антипересечения мод Ми и Фабри-Перо интенсивность низкочастотной моды уменьшается приблизительно в 2 раза, в то время как интенсивность высокочастотной моды, соответствующей связанному состоянию в континууме, уменьшается на 2 порядка.

3. Метод лазерной литографии позволяет создавать метаповерхности на основе халькогенида Ge2Sb2Te5 с разрешением 0.5 мкм, при этом для метаповерхностей на сапфировой подложке получаемое разрешение в 2 раза выше, чем на стеклянной подложке.

4. Сильный изгиб оптического волокна приводит к образованию бутылочного резонатора с вариацией радиуса, линейно пропорциональной кривизне волокна, за счет чего моды шепчущей галереи имеют аксиальную компоненту волнового вектора и появляются дополнительные резонансные моды.

Научная новизна диссертации отражена в следующих пунктах:

1. Впервые в диэлектрических кольцах наблюдались фотонные связанные состояния в континууме. Эффект определяется антипересечением ветвей Ми- и Фабри-Перо- типа.

2. Впервые для квази - связанных состояний в континууме, возникающих в соответствии с механизмом Фридриха - Винтгена, наблюдался переход от режима сильной связи мод к режиму слабой связи с пересечением фотонных ветвей.

3. При изучении зависимости квази- связанных состояний в континууме от материальных потерь обнаружено, что в области антипересечения ветвей интенсивность высокочастотной моды, соответствующей связанному состоянию, уменьшается на два порядка быстрее, чем интенсивность низкочастотной моды.

4. Созданы метаповерхности на основе Ge2Sb2Te5 методом лазерной литографии и установлено, что использование сапфировой подложки существенно улучшает качество изготовления метаповерхности.

5. Впервые экспериментально продемонстрировано, что сильным изгибом телекоммуникационного оптического волокна можно создавать бутылочный резонатор для мод шепчущей галереи на его поверхности и наблюдать локализацию мод шепчущей галереи с продольной компонентой волнового вектора.

Практическая значимость полученных результатов заключается в следующем:

1. Обнаружены квази-связанные состояния в континууме с высокой добротностью в диэлектрических кольцевых резонаторах, широко применяющихся на практике.

2. Методом лазерной литографии созданы метаповерхности на основе материала Ge2Sb2Te5, подобран оптимальный материал подложки - сапфир;

3. Продемонстрированы два механизма переключения режимов рассеяния света у структур со связанными состояниями в континууме (цилиндры и кольца) между аморфной и кристаллической фазами Ge2Sb2Te5;

4. Обнаружена локализация мод шепчущей галереи в бутылочном резонаторе, образованном сильным изгибом оптического волокна.

Достоверность полученных результатов определяется следующими факторами:

1. Для образцов, созданных по технологии лазерной литографии - полным соответствием структур, изображения которых были получены методом атомной силовой спектроскопии и сканирующей электронной микроскопии исходным моделям, воспроизводимостью результатов при одинаковых параметрах записи.

2. Для численных результатов - совпадение спектров рассеяния цилиндров с аналитическими расчетами по теории Ми.

3. Спектры мод шепчущей галереи изогнутого волоконного световода, измеренные на волокнах разной толщены, соответствуют аналитическим расчетам. Результаты не противоречат результатам, полученными другими авторами.

Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. Конференция Нелинейная фотоника 2018 (Новосибирск, 21-24 августа 2018);

2. 31st annual conference of the ieee photonics society, (United States 2018);

3. SPIE Photonics Europe, (Strasbourg, France, 2018);

4. The European Conference on Lasers and Electro-Optics (Munich, Germany, 2019)

5. МЕТАНАНО 2019 (Санкт-Петербург, 2019);

6. МЕТАНАНО 2021 (Санкт-Петербург, 2021)

7. Школа нелинейной фотоники (Новосибирск, 2022)

Личный вклад автора заключается в создании всех представленных в диссертации метаповерхностей методом лазерной литографии, участии в измерении картин дифракции Лауэ полученных структур, создании установки и проведении экспериментов по изучению локализации света в изогнутом оптическом волокне, участии в расчетах спектров рассеяния цилиндров и колец в программе COMSOL, обработке и анализе экспериментальных и численных результатов, участии в написании статей.

Структура диссертации.

В первой главе представлен обзор литературы и обоснование актуальности темы исследований. Описываются основные типы резонансов в фотонных структурах, которые могут быть использованы для управления светом. Приводится описания разных механизмов возникновения связанных состояний в континууме. Подробно рассматриваются свойства различных фотонных элементов и метаповерхностей. Рассмотрены методы создания наноструктур на поверхности оптического волокна.

Вторая глава посвящена результатам исследования ССК в диэлектрических цилиндрах и кольцах, в том числе с учетом материальных потерь. В разделе 2.1 представлены результаты исследования квази-ССК при переходе от однородного диэлектрического цилиндра в воздушной среде к кольцу с узкими стенками при постепенным увеличением диаметра внутреннего воздушного цилиндра. Результаты демонстрируют переход квази-ССК от режима сильной связи мод Ми (ТЕ110) и Фабри-Перо (ТМ111) к режиму слабой связи, который проявляется в переходе от антипересечения ветвей к их пересечению с сохранением квази-ССК.

Механизм образования квази-ССК в области антипересечения двух мод описывается моделью Фридриха-Винтгена [23], когда из-за деструктивной интерференции в дальней зоне одна из взаимодействующих мод практически не

наблюдается, и ее добротность резко возрастает. Истинное теоретическое ССК представляет собой темное безизлучательное состояние с бесконечной добротностью и, соответственно, должно проявляться в спектрах рассеяния в виде провала точно до нуля. Для одиночного диэлектрического цилиндра квази-ССК возникает, когда две собственные моды, связанные с резонансом Ми и резонансом Фабри-Перо, в режиме сильной связи образуют область антипересечения. Эти моды ортогональны внутри цилиндра и интерферируют преимущественно снаружи, реализуя квази-ССК, в результате чего возникает состояние с экстремально высоким значением добротности.

Мода типа Ми

Рисунок 1 - Волны с ТЕ- и ТМ-поляризацией, возбуждаемые в кольцевом резонаторе с диэлектрической проницаемостью £± = 80, внутренним радиусом Rin, внешним радиусом Rout и толщиной L. Кольцо находится в вакууме, £2 = 1

Для изучения трансформации квази-ССК при переходе структуры резонатора от диэлектрического цилиндра к кольцу были проведены численные расчеты спектров рассеяния с использованием программного обеспечения COMSOL. Рассматривались структуры с внутренним радиусом Rin, внешним радиусом Rout и длиной L, с однородной диэлектрической проницаемостью £± = 80 и нулевыми потерями. Резонатор помещался в среду с £2 = 1. Соотношение

радиусов Ят/Яош варьировалось в пределах от 0 до 0.6, и аспектное отношение Яоиг/Ъ для каждого значения Rin варьировалось в таком диапазоне, чтобы наблюдать квази-ССК при антипересечении двух резонансных мод Ми - TE1,1,0 и Фабри-Перо - TM1,1,1 (Рисунок 1). Расчеты спектров рассеяния диэлектрического цилиндра проводилось на основе теории Ми [24].

На Рисунке 2 обобщены результаты, представленные в разделе 2.1. Монотонные зависимости добротности и частоты резонансов не оставляют сомнений в том, что квази-ССК сохраняется в случае пересечения ветвей и далее, с увеличением Ят/Я0ш, когда частота квази-ССК типа Ми оказывается ниже резонансной частоты второй интерферирующей моды Фабри-Перо при том же значении Яоиг/Ъ.

Рисунок 2 - Связанные состояния в континууме в диэлектрических кольцах. (А) Эволюция добротности в зависимости от соотношения Rin/Rout для ветвей с квази-ССК (синяя кривая) и без квази-ССК (зеленая кривая). (В) Преобразование формы кольца (отношения Ь, ЯоШ и ) с квази-ССК для пары мод ТЕ1,1,о и ТМщ. (С) Зависимость расщепления Раби (Л = ш2 — между ветвью с квази-ССК и ветвью без квази-ССК в области антипересечения от соотношения Ят/Я0ш

В разделе 2.2 представлены результаты исследования квази-ССК в зависимости от материальных и радиационных потерь на примере материала Ge2Sb2Te5 с фазовым переходом и двух типов резонаторов в виде цилиндра и кольца, поддерживающих квази-ССК по механизму Фридриха-Винтгена. Экспериментально измерен комплексный показатель преломления аморфной и кристаллической фаз Ge2Sb2Te5. Было обнаружено, что по мере увеличения материальных потерь до значения <в> = 19 + i0.42, соответствующего аморфной фазе GST, квази-ССК практически становится темной модой, в то время как обычные собственные моды резонатора остаются достаточно интенсивными. При этом сила связи мод не изменилась, таким образом расщепление Раби остается прежним в исследованном диапазоне потерь.

Были проведены расчеты спектров рассеяния цилиндров с внешним радиусом г и длиной I с использованием программного обеспечения COMSOL. В кольцах отношение радиусов было постоянным и составляло rin/r = 0.4. Соотношение сторон г/1 варьировалось в таком диапазоне, чтобы наблюдать квази-ССК, образованное антипересечением двух резонансных мод ТЕ012 и

ТЕ0>2,0.

Для исследования трансформации квази-ССК при изменении мнимой части диэлектрической проницаемости от 0 (в случае отсутствия материальных потерь) до экспериментально полученного значения i0.42 для халькогенида Ge2Sb2Te5 были использованы численные расчеты спектров рассеяния. Для аморфной фазы проведены расчеты для большого набора диэлектрических цилиндрических и кольцевых резонаторов с однородной диэлектрической проницаемостью s = s' + is" , где s' = 19.0, а г" изменяется от 0 до 0.42 с шагом 0.02. Для кристаллической фазы рассматривались резонаторы с диэлектрической проницаемостью 41.6 + i17.5. Среда была вакуумной evac = 1.

Рисунок 3 - Рассчитанные спектры рассеяния цилиндра и кольца для аспектного отношения г/1, соответствующих квази-ССК (синяя линия), и их разложение на два контура, соответствующих низкочастотной (зеленая линия) и высокочастотной (красная линия) ветвям. Две левые панели соответствуют диэлектрической проницаемости 19+Ю, две центральные панели соответствуют диэлектрической проницаемости 19+Ю.20, а две правые панели - 19+Ю,42.

Параметр х = гы/с

Результаты разложения спектров на две компоненты, соответствующие двум интерферирующим модам, показаны на Рисунке 3 для цилиндра и кольца при трех значениях диэлектрической проницаемости. Из Рисунка 3 получен следующий результат: при увеличении материальных потерь от 0 до 0.42 низкочастотный пик слабо меняется по амплитуде, а высокочастотный пик, соответствующий квази-ССК, уменьшается по амплитуде примерно на два порядка. При этом уменьшение амплитуды квази-ССК в спектре цилиндра значительнее, чем в спектре кольца.

Наконец, рассмотрим трансформацию спектров рассеяния при переходе GST из аморфной фазы в кристаллическую с учетом реальных потерь. На Рисунке 4 показан результат переключения GST из состояния с комплексной диэлектрической проницаемостью 19.0 + i0.42 (аморфная фаза GST) в состояние с комплексной диэлектрической проницаемостью 41.6 + i17.5 (кристаллическая фаза). На рисунке 4 представлены два различных механизма переключения спектров в результате фазового перехода аморфный-кристаллический GST. Первый механизм, отмеченный красными стрелками на Рисунке 4, связан с исчезновением резонансной модовой структуры в спектрах рассеяния кристаллической фазы. Более интересен второй механизм, отмеченный на Рисунке 4 зелеными стрелками. Форма резонансных мод как цилиндра, так и кольца описывается контурами Фано, а в области антипересечения, соответственно, — двумя контурами Фано по следующей формуле:

SCS(w) = Ал-^--+ А2-, (1)

1 1 + а12 2 1 + п22

где q1i2 — параметры Фано, П.12 = 2[ы — (M0)1i2]/r1i2, где Г12 и (ы0)12— ширина и частота резонанса соответственно для двух резонансных мод. При учете материальных потерь в аморфной фазе, s" = 0.42, полоса высокочастотной квази-ССК-компоненты на два порядка слабее низкочастотной, и для описания спектра достаточно использовать один контур Фано в Формуле (1). Характерной особенностью контура Фано является то, что его амплитуда обращается в нуль ровно на частоте, соответствующей условию обращения в нуль числителя формулы Фано q1 + ^ = 0. В спектре аморфного GST интенсивность контура обращается в ноль при нормированной частоте 1.22 для цилиндра и 1.43 для кольца. Для реализации режима переключения второй механизм более эффективен, так как интенсивность одного из состояний близко к нулю.

Рисунок 4 - Расчетные спектры рассеяния цилиндра (а) и кольца (b) в аморфной (синяя линия) и кристаллической (коричневая линия) фазах GST в области антипересечения спектров TE0, 2, о и TE0, 1, 2. Сиреневая пунктирная линия указывает на нулевую интенсивность рассеяния. Параметр х = гш / с. ТЕ-

поляризованная падающая волна

Подытоживая результаты, представленные в параграфе 2.2. отметим, что при увеличении потерь вдали от области квази-ССК обе моды уменьшаются по интенсивности примерно одинаково. Однако для аспектного отношения г/1, соответствующего минимальной разнице между низкочастотной и высокочастотной ветвями, квази-ССК становится темной модой, в то время как низкочастотная мода остается достаточно интенсивной. При этом основной эффект связан не с уширением линий, а с уменьшением амплитуды. Наши расчеты показали, что материальные потери, существенно снижающие добротность, в исследованном диапазоне от 0 до 0,42 практически не влияют на силу связи мод.

По результатам главы 2 опубликовано 4 работы и на защиту выносится 2 положения:

1. При трансформации диэлектрической структуры от цилиндра к кольцу квази - связанные состояния в континууме (механизм Фридриха-Винтгена)

сохраняются в широком диапазоне параметров, причем наблюдается переход от режима сильной связи мод (Ми и Фабри-Перо) к режиму слабой связи.

2. В диэлектрических цилиндрах и кольцах при увеличении материальных потерь (от 0 до 0.42, что соответствует Ge2Sb2Te5 в аморфной фазе) в режиме квази - связанного состояния в континууме в области антипересечения мод Ми и Фабри-Перо интенсивность низкочастотной моды уменьшается приблизительно в 2 раза, в то время как интенсивность высокочастотной моды, соответствующей связанному состоянию в континууме, уменьшается на 2 порядка.

В третьей главе описана технология создания перестраиваемых периодических метаповерхностей методом лазерной литографии из пленок Ge2Sb2Te5, напыленных на стеклянные и сапфировые подложки, результаты исследования структурных и оптических свойств полученных образцов.

В разделе 3.1 показано, что использование сапфировой подложки существенно улучшают качество изготавливаемых метаповерхностей за счет более высокой теплопроводности. Сравнительный анализ изготовленных структур методами атомно-силовой микроскопии (АСМ) и сканирующей электронной микроскопии (СЭМ) позволяет сделать вывод, что методика лазерной литографии гарантирует быстрое изготовление качественных метаповерхностей с периодом около 3 мкм.

Метаповерхности на основе GST в данной работе были созданы в Университете ИТМО на установке трехмерной лазерной литографии, которая была произведена в Германии (фирма Laser Zentrum Hannover). В состав установки входит твердотельный фемтосекундный лазер российского производства TiF-100, генерирующий импульсы длительностью 50 фс на длине волны 790 нм с частотой следования 80 МГц; акустооптический модулятор -затвор, который модулирует лазерный луч путем выключения-включения; оптический аттенюатор для регулировки мощности, который представляет собой

поляризатор и полуволновую пластину, три транслятора с линейными характеристиками и пневматической (воздушной) подвеской фирмы Aerotech Inc. Два транслятора обеспечивают сканирование образца в плоскости XY, а объектив, который фокусирует луч лазера на образец, установлен на третьем трансляторе с перемещением по оси z. Параметры трансляторов: высокая скорость перемещения до 10 мм/сек при уникальной точности позиционирования, которая достигает 50 нм на 1 мм смещения.

На Рисунке 5 представлены СЭМ-изображения изготовленных посредством абляции массивов отверстий в пленках GST, нанесенных на стекло (Рисунок 5(а)) и на сапфир (Рисунок 5(b)) в диапазоне флюенса энергии от 0.042 Дж/см2 до 0.06 Дж/см2, и экспозиции от 60 до 300 импульсов. Рисунок 5 демонстрирует матрицу отверстий, их величину и форму в зависимости от этих двух параметров. Отверстия наиболее правильной формы расположены по диагонали матрицы. Основной вывод (Рисунки 5(c) и 5(d)), заключается в том, что сапфировая подложка обеспечивает формирование отверстий с более правильной формой по сравнению с отверстиями на стеклянной подложке, при этом форма отверстий слабо зависит от изменения параметров.

На Рисунке 6 представлены СЭМ-изображения метаповерхностей с квадратной решеткой (период решетки 3 мкм), изготовленных при оптимальных режимах для каждой подложки. Режимы обеспечивают полное удаление материала и четкую форму сегментов метаповерхности в результате процесса абляции. Для стеклянной подложки (Рисунок 6(а)) скорость транслятора была установлена равной 100 мкм/с (8х105 импульсов на мкм), мощность лазера — 90 мВт (флюенс энергии 4.2 х 102 Дж/см2), а для сапфировой подложки (Рисунок 6(b)) скорость транслятора была установлена на 100 мкм/с, мощность лазера 95 мВт (4.4 х 102 Дж/см2).

60

90

я о 120

^J л ч 150

в т Л 180

S

о 210

ч

и Я 240

у 270

300

20 }im

1» v вдШ. v Б U

я ■ ир И^Е

Щ шЯШЭВ 6 Ш

о

ч

и

а У

аГ шш ОШ Щ ВО

4.2 4.6 5.0 5.4 5.8

Флюенс энергии, Дж/см" г хЮ"2

(с) лклЖ ■ t А •. и V

ш Щй. ■г 11л1

Шт г'ц . - ' V, ' tw

•i Jh в Н* ' ■

СТЕКЛО Щ : ш& ft? Шяз НИ;

(Ь) 20

г

С О О О - Г е о с о о о

о э о э 1

Флюенс энергии, Дж/см2 х 10"

(d)

САПФИР

Флюеис энергии, Дж/см2

Флюенс энергии, Дж/см2 х 10

Рисунок 5 - СЭМ-изображения массивов отверстий в пленке GST на стеклянной

(а) и сапфировой (b) подложках, изготовленных в диапазоне флюенса энергии 0.042 Дж/см2 - 0.06 Дж/см2 и диапазоне экспозиций от 60 до 300 импульсов. (с) -увеличенная область СЭМ-изображения, выделенная на (а), и (d) - увеличенная область СЭМ-изображения, выделенная на (b)

Рисунок 6 - СЭМ-изображения метаповерхностей (шаг решетки 3 мкм) на стеклянной (а) и сапфировой (б) подложках при оптимальных параметрах

изготовления

На Рисунке 7 представлены СЭМ-изображения структур размером 20x20 мкм с периодом 3 мкм, изготовленных с плавным изменением мощности лазера и скорости линейных трансляторов. Величина флюенса энергии варьировалась в диапазоне 0.04-0.07 Дж/см2, а диапазон скорости поступательного движения составлял 50-150 мкм/с. На увеличенном участке СЭМ-изображения, обведенном на Рисунке 7(е), видно, что при наименьшем значении флюенса энергии линия реза достаточно тонкая, так что происходит сплавление сегментов метаповерхности (Рисунок 7(т)), а при значениях флюенса энергии 0.07 Дж/см2 и выше квадраты становятся слишком маленькими и не сохраняют заданную форму элементов (Рисунок 7(р)).

% 0.5 х 10

NN

I 0.8хЮ6

я

о

а

н

V

<и

9

я

| 1.6x10®

щля «я я с ' П Я Я V Я Г Г Л Я Я 8 Я Я С 1БЯ9Я ЯГ ЯЯ ЯЯЯЯГ:

гяяяяяг

Щ т ш Я #* г

пни? я я я я г

к).......

л

1 I

( I 1

| *

1 1 •

* « *

4 1 • Г.' 1 /

щ ш

9 « §

".*■ » г

Ш • I

0.04 0.05 0.06 0.07

Флюенс энергии, Дж/см2

Рисунок 7 - (а - p) СЭМ-изображения метаповерхностей с периодом 3 мкм на сапфировой подложке при различных параметрах изготовления. (т - p) -увеличенные области СЭМ-изображений, обозначенные в квадратах (е - Ь)

Раздел 3.2 посвящен созданию метаповерхностей различного качества (степени упорядоченности) на основе Ge2Sb2Te5 и изучению их структурных свойств методом оптической дифракции. Методика сводится к получению на экране ярких дифракционных картин Лауэ, наблюдению их невооруженным глазом, фотографированию и анализу тонкой структуры полученных дифракционных картин. Показано, что в оптическом эксперименте можно оценить качество изготовленных метаповерхностей, определить симметрию структуры и, кроме того, определить количество структурных элементов и период решетки метаповерхности. Точность оптической методики подтверждается сравнением с результатами исследований методом СЭМ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бочек Дарья Владимировна, 2022 год

Список литературы

1. Kuznetsov A.I. et al. Magnetic light // Sci Rep. Sci Rep, 2012. Vol. 2. P. 492.

2. Evlyukhin A.B. et al. Demonstration of magnetic dipole resonances of dielectric nanospheres in the visible region // Nano Lett. American Chemical Society, 2012. Vol. 12, № 7. P. 3749-3755.

3. Kuznetsov A.I. et al. Optically resonant dielectric nanostructures // Science (1979). American Association for the Advancement of Science, 2016. Vol. 354, № 6314.

4. Won R. Into the 'Mie-tronic' era // Nature Photonics. Nature Publishing Group, 2019. Vol. 13, № 9. P. 585-587.

5. Kivshar Y. All-dielectric meta-optics and non-linear nanophotonics // Natl Sci Rev. Oxford Academic, 2018. Vol. 5, № 2. P. 144-158.

6. Kruk S., Kivshar Y. Functional Meta-Optics and Nanophotonics Govern by Mie Resonances // ACS Photonics. American Chemical Society, 2017. Vol. 4, № 11. P. 2638-2649.

7. Wang Q. et al. Optically reconfigurable metasurfaces and photonic devices based on phase change materials //Nature photonics, 2016. Vol. 10, №. 1. P. 60-65.

8. Wuttig M., Yamada N. Phase-change materials for rewriteable data storage // Nature Materials. Nature Publishing Group, 2007. Vol. 6, № 11. P. 824-832.

9. Dyakov S.A. et al. Quasiguided modes of opaline photonic crystals covered by Ge2Sb2Te5 // Phys Rev B. American Physical Society, 2017. Vol. 96, № 4. P. 045426.

10. Odit M. et al. Observation of Supercavity Modes in Subwavelength Dielectric Resonators // Advanced Materials. John Wiley & Sons, Ltd, 2021. Vol. 33, № 1. P. 2003804.

11. Sadreev A.F., Pichugin K.N. Frequency comb generation by symmetry-protected bound state in the continuum // JOSA B. Optica Publishing Group, 2015. Vol. 32, № 8. P. 1630-1636.

12. Foley J.M., Young S.M., Phillips J.D. Symmetry-protected mode coupling near normal incidence for narrow-band transmission filtering in a dielectric grating // Phys Rev B Condens Matter Mater Phys. American Physical Society, 2014. Vol. 89, № 16. P. 165111.

13. van Loo A.F. et al. Photon-mediated interactions between distant artificial atoms // Science (1979). American Association for the Advancement of Science, 2013. Vol. 342, № 6165. P. 1494-1496.

14. Zheng H., Baranger H.U. Persistent quantum beats and long-distance entanglement from waveguide-mediated interactions // Phys Rev Lett. American Physical Society, 2013. Vol. 110, № 11. P. 113601.

15. Matsko A. B. (ed.). Practical applications of microresonators in optics and photonics. - CRC press, 2018.

16. Sumetsky M. Delay of light in an optical bottle resonator with nanoscale radius variation: Dispersionless, broadband, and low loss // Phys Rev Lett. American Physical Society, 2013. Vol. 111, № 16. P. 163901.

17. Sumetsky M. Lasing microbottles // Light: Science & Applications. Nature Publishing Group, 2017. Vol. 6, № 10. P. e17102-e17102.

18. Reynolds T. et al. Fluorescent and lasing whispering gallery mode microresonators for sensing applications // Laser Photon Rev. John Wiley & Sons, Ltd, 2017. Vol. 11, № 2. P. 1600265.

19. Kippenberg T.J., Holzwarth R., Diddams S.A. Microresonator-Based Optical Frequency Combs // Science (1979). American Association for the Advancement of Science, 2011. Vol. 332, № 6029. P. 555-559.

20. Vollmer F., Swaim J.D., Foreman M.R. Whispering gallery mode sensors // Advances in Optics and Photonics, Vol. 7, Issue 2, pp. 168-240. Optica Publishing Group, 2015. Vol. 7, № 2. P. 168-240.

21. François A. et al. ACCEPTED VERSION Combining whispering gallery mode lasers and microstructured optical fibers: limitations, applications and perspectives for in-vivo biosensing // MRS Adv. 2016. Vol. 1, № 33. P. 2309-2320.

22. Ilchenko V.S., Matsko A.B. Optical resonators with whispering-gallery modes -Part II: Applications // IEEE Journal on Selected Topics in Quantum Electronics. 2006. Vol. 12, № 1. P. 15-32.

23. Friedrich H., Wintgen D. Interfering resonances and bound states in the continuum // Phys Rev A (Coll Park). American Physical Society, 1985. Vol. 32, № 6. P. 3231.

24. Zhan J., Chylek P. Absorption and scattering of light by small particles: the interference structure // Applied Optics. Optica Publishing Group, 1990. Vol. 29, № 28. P. 3984-3984.

25. DiGiovanni D.J. et al. Surface nanoscale axial photonics: robust fabrication of high-quality-factor microresonators // Optics Letters. Optica Publishing Group, 2011. Vol. 36, № 24. P. 4824-4826.

26. von Neumann J., Wigner E.P. Über das Verhalten von Eigenwerten bei adiabatischen Prozessen // The Collected Works of Eugene Paul Wigner. Springer, Berlin, Heidelberg, 1993. P. 294-297.

27. Marinica D.C., Borisov A.G., Shabanov S. v. Bound states in the continuum in photonics // Phys Rev Lett. American Physical Society, 2008. Vol. 100, № 18. P. 183902.

28. Bulgakov E.N., Sadreev A.F. Bound states in the continuum in photonic waveguides inspired by defects // Phys Rev B. American Physical Society, 2008. Vol. 78, № 7. P. 075105.

29. Plotnik Y. et al. Experimental observation of optical bound states in the continuum // Phys Rev Lett. American Physical Society, 2011. Vol. 107, № 18. P. 183901.

30. Hsu C.W. et al. Observation of trapped light within the radiation continuum // Nature. Nature Publishing Group, 2013. Vol. 499, № 7457. P. 188-191.

31. Yang Y. et al. Analytical perspective for bound states in the continuum in photonic crystal slabs // Phys Rev Lett. American Physical Society, 2014. Vol. 113, № 3. P. 037401.

32. Monticone F., Alu A. Embedded photonic eigenvalues in 3D nanostructures // Phys Rev Lett. American Physical Society, 2014. Vol. 112, № 21. P. 213903.

33. Hsu C.W. et al. Bound states in the continuum // Nature Reviews Materials. Nature Publishing Group, 2016. Vol. 1, № 9. P. 1-13.

34. Rybin M. v. et al. High- Q Supercavity Modes in Subwavelength Dielectric Resonators // Phys Rev Lett. American Physical Society, 2017. Vol. 119, № 24. P. 243901.

35. Doeleman H.M. et al. Experimental observation of a polarization vortex at an optical bound state in the continuum // Nature Photonics. Nature Publishing Group, 2018. Vol. 12, № 7. P. 397-401.

36. Monticone F. et al. Trapping Light in Plain Sight: Embedded Photonic Eigenstates in Zero-Index Metamaterials // Laser Photon Rev. John Wiley & Sons, Ltd, 2018. Vol. 12, № 5. P. 1700220.

37. Azzam S.I. et al. Formation of Bound States in the Continuum in Hybrid Plasmonic-Photonic Systems // Phys Rev Lett. American Physical Society, 2018. Vol. 121, № 25. P. 253901.

38. Koshelev K. et al. Nonradiating photonics with resonant dielectric nanostructures // Nanophotonics. De Gruyter, 2019. Vol. 8, № 5. P. 725-745.

39. Krasnok A., Alu A. Embedded scattering eigenstates using resonant metasurfaces // Journal of Optics. IOP Publishing, 2018. Vol. 20, № 6. P. 064002.

40. Bogdanov A. A. et al. Bound states in the continuum and Fano resonances in the strong mode coupling regime //Advanced Photonics, 2019. Vol. 1. P. 016001.

41. Koshelev K. et al. Subwavelength dielectric resonators for nonlinear nanophotonics // Science (1979). American Association for the Advancement of Science, 2020. Vol. 367, № 6475. P. 288-292.

42. Bohren C. F., Huffman D. R. Absorption and scattering of light by small particles. - John Wiley & Sons, 2008.

43. Kodigala A. et al. Lasing action from photonic bound states in continuum // Nature. Nature Publishing Group, 2017. Vol. 541, № 7636. P. 196-199.

44. Ursell F. Trapping modes in the theory of surface waves // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Cambridge University Press, 1951. Vol. 47, № 2. P. 347-358.

45. Callan M., Linton C.M., Evans D. v. Trapped modes in two-dimensional waveguides // J Fluid Mech. Cambridge University Press, 1991. Vol. 229. P. 5164.

46. Cobelli P.J. et al. Experimental study on water-wave trapped modes // J Fluid Mech. Cambridge University Press, 2011. Vol. 666. P. 445-476.

47. Moiseyev N. Suppression of feshbach resonance widths in two-dimensional waveguides and quantum dots: A lower bound for the number of bound states in the continuum // Phys Rev Lett. American Physical Society, 2009. Vol. 102, № 16. P. 167404.

48. Schult R.L., Ravenhall D.G., Wyld H.W. Quantum bound states in a classically unbound system of crossed wires // Phys Rev B. American Physical Society, 1989. Vol. 39, № 8. P. 5476.

49. Cederbaum L.S. et al. Conical Intersections and Bound Molecular States Embedded in the Continuum // Phys Rev Lett. American Physical Society, 2003. Vol. 90, № 1. P. 4.

50. Ptitsyna N., Shipman S.P. A lattice model for resonance in open periodic waveguides // Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series S. 2010. Vol. 5, № 5. P. 989-1020.

51. de Guevara M.L.L., Claro F., Orellana P.A. Ghost Fano resonance in a double quantum dot molecule attached to leads // Phys Rev B. American Physical Society, 2003. Vol. 67, № 19. P. 195335.

52. Voo K.K., Chu C.S. Localized states in continuum in low-dimensional systems // Phys Rev B. American Physical Society, 2006. Vol. 74, № 15. P. 155306.

53. Alvarez C. et al. Impact of electron-vibron interaction on the bound states in the continuum // Phys Lett A. North-Holland, 2015. Vol. 379, № 14-15. P. 10621066.

54. Voo K.K. Trapped electromagnetic modes in forked transmission lines // Wave Motion. Elsevier, 2008. Vol. 45, № 6. P. 795-803.

55. Simon J.B., Hawley J.F., Beckwith K. A simple separable Hamiltonian having bound states in the continuum // J Phys A Math Gen. IOP Publishing, 1986. Vol.

19, № 18. P. 3845.

56. Duclos P., Exner P., Meller B. Open quantum dots: resonances from perturbed symmetry and bound states in strong magnetic fields // Reports on Mathematical Physics. Pergamon, 2001. Vol. 47, № 2. P. 253-267.

57. Apalkov V.M., Raikh M.E. Strongly Localized Mode at the Intersection of the Phase Slips in a Photonic Crystal without Band Gap // Phys Rev Lett. American Physical Society, 2003. Vol. 90, № 25. P. 4.

58. Joannopoulos J.D., Fan S., Suh W. Temporal coupled-mode theory for the Fano resonance in optical resonators // JOSA A. Optica Publishing Group, 2003. Vol.

20, № 3. P. 569-572.

59. Liu V. et al. Resonance-enhanced optical forces between coupled photonic crystal slabs // Optics Express. Optica Publishing Group, 2009. Vol. 17, № 24. P. 2189721909.

60. Marinica D.C., Borisov A.G., Shabanov S. v. Bound states in the continuum in photonics // Phys Rev Lett. American Physical Society, 2008. Vol. 100, № 18. P. 183902.

61. Longhi S. Transfer of light waves in optical waveguides via a continuum // Phys Rev A. American Physical Society, 2008. Vol. 78, № 1. P. 013815.

62. Fan S. et al. Theoretical analysis of channel drop tunneling processes // Phys Rev B. American Physical Society, 1999. Vol. 59, № 24. P. 15882.

63. Weimann S. et al. Compact surface fano states embedded in the continuum of waveguide arrays // Phys Rev Lett. American Physical Society, 2013. Vol. 111, № 24. P. 240403.

64. Belenov E.M. et al. Pre-print // Analysis of Dimensions in Self-similar Solutions. Preprint No. 1974. Vol. 114, № 18. P. 156.

65. Suh W., Wang Z., Fan S. Temporal coupled-mode theory and the presence of nonorthogonal modes in lossless multimode cavities // IEEE J Quantum Electron. 2004. Vol. 40, № 10. P. 1511-1518.

66. Neukammer J. et al. Autoionization Inhibited by Internal Interferences // Phys Rev Lett. American Physical Society, 1985. Vol. 55, № 19. P. 1979.

67. Lepetit T. et al. Resonance continuum coupling in high-permittivity dielectric metamaterials // Phys Rev B Condens Matter Mater Phys. American Physical Society, 2010. Vol. 82, № 19. P. 195307.

68. Gentry C.M., Popovic M.A. Dark state lasers // Optics Letters. Optica Publishing Group, 2014. Vol. 39, № 14. P. 4136-4139.

69. Tribelsky M.I., Miroshnichenko A.E. Giant in-particle field concentration and Fano resonances at light scattering by high-refractive-index particles // Phys Rev A (Coll Park). American Physical Society, 2016. Vol. 93, № 5. P. 053837.

70. Arruda T.J. et al. Fano resonances in plasmonic core-shell particles and the purcell effect // Springer Series in Optical Sciences. Springer Verlag, 2018. Vol. 219. P. 445-472.

71. Rybin M. v et al. Mie scattering as a cascade of Fano resonances // Optics Express. Optica Publishing Group, 2013. Vol. 21, № 24. P. 30107-30113.

72. Rybin M. v. et al. Switching from Visibility to Invisibility via Fano Resonances: Theory and Experiment // Scientific Reports. Nature Publishing Group, 2015. Vol. 5, № 1. P. 1-6.

73. Shelby R.A., Smith D.R., Schultz S. Experimental Verification of a Negative Index of Refraction // Science (1979). American Association for the Advancement of Science, 2001. Vol. 292, № 5514. P. 77-79.

74. Smith D.R., Pendry J.B., Wiltshire M.C.K. Metamaterials and Negative Refractive Index // Science (1979). American Association for the Advancement of Science, 2004. Vol. 305, № 5685. P. 788-792.

75. Shalaev V.M. Optical negative-index metamaterials // Nature Photonics. Nature Publishing Group, 2007. Vol. 1, № 1. P. 41-48.

76. Soukoulis C.M., Wegener M. Past achievements and future challenges in the development of three-dimensional photonic metamaterials // Nature Photonics 2011 5:9. Nature Publishing Group, 2011. Vol. 5, № 9. P. 523-530.

77. Veselago V.G. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями s и ^ // Uspekhi Fizicheskih Nauk. Uspekhi Fizicheskikh Nauk (UFN) Journal, 1967. Vol. 92, № 7. P. 517.

78. Yu N. et al. Light propagation with phase discontinuities: Generalized laws of reflection and refraction // Science (1979). American Association for the Advancement of Science, 2011. Vol. 334, № 6054. P. 333-337.

79. Apollonov V. v. High power optics and its new manifestations // Nat Sci (Irvine). Scientific Research Publishing, Inc, 2013. Vol. 05, № 05. P. 653-671.

80. Pendry J.B. et al. Magnetism from conductors and enhanced nonlinear phenomena // IEEE Trans Microw Theory Tech. 1999. Vol. 47, № 11. P. 2075-2084.

81. Sievenpiper D. et al. High-impedance electromagnetic surfaces with a forbidden frequency band // IEEE Trans Microw Theory Tech. 1999. Vol. 47, № 11. P. 2059-2074.

82. Boltasseva A., Atwater H.A. Low-Loss Plasmonic Metamaterials // Science (1979). American Association for the Advancement of Science , 2011. Vol. 331, № 6015. P. 290-291.

83. Martin-Moreno L. et al. Theory of Extraordinary Optical Transmission through Subwavelength Hole Arrays // Phys Rev Lett. American Physical Society, 2001. Vol. 86, № 6. P. 1114.

84. Engheta N. Thin absorbing screens using metamaterial surfaces // IEEE Antennas and Propagation Society, AP-S International Symposium (Digest). 2002. Vol. 2. P. 392-395.

85. Grober R.D., Schoelkopf R.J., Prober D.E. Optical antenna: Towards a unity efficiency near-field optical probe // Appl Phys Lett. American Institute of PhysicsAIP, 1998. Vol. 70, № 11. P. 1354.

86. Novotny L., van Hulst N. Antennas for light // Nature Photonics. Nature Publishing Group, 2011. Vol. 5, № 2. P. 83-90.

87. Chen W.T., Zhu A.Y., Capasso F. Flat optics with dispersion-engineered metasurfaces // Nature Reviews Materials. Nature Publishing Group, 2020. Vol. 5, № 8. P. 604-620.

88. Mandal A. et al. Reconfigurable chalcogenide phase change metamaterials: a material, device, and fabrication perspective // Journal of Physics: Photonics. IOP Publishing, 2021. Vol. 3, № 2. P. 022005.

89. He J. et al. Terahertz Tunable Metasurface Lens Based on Vanadium Dioxide Phase Transition // Plasmonics. Springer, 2016. Vol. 11, № 5. P. 1285-1290.

90. Shportko K. et al. Resonant bonding in crystalline phase-change materials // Nature Materials. Nature Publishing Group, 2008. Vol. 7, № 8. P. 653-658.

91. Tittl A. et al. A Switchable Mid-Infrared Plasmonic Perfect Absorber with Multispectral Thermal Imaging Capability // Advanced Materials. John Wiley & Sons, Ltd, 2015. Vol. 27, № 31. P. 4597-4603.

92. Chen Y. et al. Engineering the Phase Front of Light with Phase-Change Material Based Planar lenses // Scientific Reports. Nature Publishing Group, 2015. Vol. 5, № 1. P. 1-7.

93. Yin X. et al. Beam switching and bifocal zoom lensing using active plasmonic metasurfaces // Light: Science & Applications. Nature Publishing Group, 2017. Vol. 6, № 7. P. e17016-e17016.

94. Ruiz de Galarreta C. et al. Nonvolatile Reconfigurable Phase-Change Metadevices for Beam Steering in the Near Infrared // Adv Funct Mater. John Wiley & Sons, Ltd, 2018. Vol. 28, № 10. P. 1704993.

95. Wang Q. et al. Optically reconfigurable metasurfaces and photonic devices based on phase change materials // Nature Photonics. Nature Publishing Group, 2015. Vol. 10, № 1. P. 60-65.

96. Gorodetsky M.L., Savchenkov A.A., Ilchenko V.S. Ultimate Q of optical microsphere resonators // Optics Letters. Optica Publishing Group, 1996. Vol. 21, № 7. P. 453-455.

97. Su J., Goldberg A.F.G., Stoltz B.M. Label-free detection of single nanoparticles and biological molecules using microtoroid optical resonators // Light: Science & Applications. Nature Publishing Group, 2016. Vol. 5, № 1. P. e16001-e16001.

98. Sumetsky M. et al. Surface nanoscale axial photonics // Optics Express. Optica Publishing Group, 2011. Vol. 19, № 27. P. 26470-26485.

99. Monberg E.M. et al. Surface nanoscale axial photonics: robust fabrication of high-quality-factor microresonators // Optics Letters. Optica Publishing Group, 2011. Vol. 36, № 24. P. 4824-4826.

100. Shen F. et al. Fabrication of surface nanoscale axial photonics structures with a femtosecond laser // Optics Letters. Optica Publishing Group, 2016. Vol. 41, № 12. P. 2795-2798.

101. Dong C.H. et al. Fabrication of high-Q polydimethylsiloxane optical microspheres for thermal sensing // Appl Phys Lett. American Institute of PhysicsAIP, 2009. Vol. 94, № 23. P. 231119.

102. Manzo M. et al. A photonic wall pressure sensor for fluid mechanics applications // Review of Scientific Instruments. American Institute of PhysicsAIP, 2012. Vol. 83, № 10. P. 105003.

103. Grudinin I.S., Maleki L. Efficient Raman laser based on a CaF2 resonator // JOSA B. Optica Publishing Group, 2008. Vol. 25, № 4. P. 594-598.

104. Ilchenko V.S. et al. Whispering-gallery-mode-resonator-based ultranarrow linewidth external-cavity semiconductor laser // Optics Letters. Optica Publishing Group, 2010. Vol. 35, № 16. P. 2822-2824.

105. Suchkov S. v., Sumetsky M., Sukhorukov A.A. Frequency comb generation in SNAP bottle resonators // Optics Letters. Optica Publishing Group, 2017. Vol. 42, № 11. P. 2149-2152.

106. Savchenkov A.A. et al. Kerr combs with selectable central frequency // Nature Photonics. Nature Publishing Group, 2011. Vol. 5, № 5. P. 293-296.

107. Li J. et al. Low-pump-power, low-phase-noise, and microwave to millimeter-wave repetition rate operation in microcombs // Phys Rev Lett. American Physical Society, 2012. Vol. 109, № 23. P. 233901.

108. Del'Haye P. et al. Octave spanning tunable frequency comb from a microresonator // Phys Rev Lett. American Physical Society, 2011. Vol. 107, № 6. P. 063901.

109. Toropov N.A., Sumetsky M. Permanent matching of coupled optical bottle resonators with better than 0.16 GHz precision // Optics Letters. Optica Publishing Group, 2016. Vol. 41, № 10. P. 2278-2281.

110. Sumetsky M. et al. SNAP: Fabrication of long coupled microresonator chains with sub-angstrom precision // Optics Express. Optica Publishing Group, 2012. Vol. 20, № 25. P. 27896-27901.

111. Dmitriev A., Toropov N., Sumetsky M. Transient reconfigurable subangstrom-precise photonic circuits at the optical fiber surface // 2015 IEEE Photonics Conference, IPC 2015. Institute of Electrical and Electronics Engineers Inc., 2015.

112. Mangan B.J. et al. Tunable SNAP microresonators via internal ohmic heating // Optics Letters. Optica Publishing Group, 2018. Vol. 43, № 17. P. 4316-4319.

113. Pöllinger M. et al. Ultrahigh-Q Tunable Whispering-Gallery-Mode Microresonator // Phys Rev Lett. American Physical Society, 2009. Vol. 103, № 5. P. 053901.

114. Seo I.C. et al. Fourier-plane investigation of plasmonic bound states in the continuum and molecular emission coupling // Nanophotonics. De Gruyter Open Ltd, 2020. Vol. 9, № 15. P. 4565-4577.

115. Lee S.G., Kee C.S., Kim S.H. Bound states in the continuum (BIC) accompanied by avoided crossings in leaky-mode photonic lattices // Nanophotonics. De Gruyter Open Ltd, 2020. Vol. 9, № 14. P. 4373-4380.

116. Zhang K., Li D. Electromagnetic theory for microwaves and optoelectronics // Electromagnetic Theory for Microwaves and Optoelectronics. Springer Berlin Heidelberg, 2008. P. 1-711.

117. Limonov M.F. et al. Fano resonances in photonics // Nature Photonics. Nature Publishing Group, 2017. Vol. 11, № 9. P. 543-554.

118. Pilipchuk A.S., Pilipchuk A.A., Sadreev A.F. Bound states in the continuum in open spherical resonator // Phys Scr. IOP Publishing, 2020. Vol. 95, № 8. P. 085002.

119. Khitrova G. et al. Vacuum Rabi splitting in semiconductors // Nature Physics. Nature Publishing Group, 2006. Vol. 2, № 2. P. 81-90.

120. Dong T. et al. Ultra-low-loss on-chip zero-index materials // Light: Science & Applications. Nature Publishing Group, 2021. Vol. 10, № 1. P. 1-9.

121. Tang H. et al. Low-Loss Zero-Index Materials // Nano Lett. American Chemical Society, 2021. Vol. 21, № 2. P. 914-920.

122. Hayran Z., Monticone F. Capturing Broadband Light in a Compact Bound State in the Continuum // ACS Photonics. American Chemical Society, 2021. Vol. 8, № 3. P. 813-823.

123. Pevtsov A.B. et al. Light control in Ge2Sb2Te5-coated opaline photonic crystals mediated by interplay of Wood anomalies and 3D Bragg diffraction // J Appl Phys. American Institute of PhysicsAIP, 2013. Vol. 113, № 14. P. 144311.

124. Dyakov S.A. et al. Quasiguided modes of opaline photonic crystals covered by Ge2Sb2Te5 // Phys Rev B. American Physical Society, 2017. Vol. 96, № 4. P. 045426.

125. Hase M. et al. Femtosecond structural transformation of phase-change materials far from equilibrium monitored by coherent phonons // Nature Communications. Nature Publishing Group, 2015. Vol. 6, № 1. P. 1-6.

126. Abdollahramezani S. et al. Tunable nanophotonics enabled by chalcogenide phase-change materials // Nanophotonics. De Gruyter, 2020. Vol. 9, № 5. P. 1189-1241.

127. Odit M. et al. Observation of Supercavity Modes in Subwavelength Dielectric Resonators // Advanced Materials. John Wiley & Sons, Ltd, 2021. Vol. 33, № 1. P. 2003804.

128. WeLnic W. et al. Unravelling the interplay of local structure and physical properties in phase-change materials // Nature Materials. Nature Publishing Group, 2005. Vol. 5, № 1. P. 56-62.

129. Zheludev N.I. The Road Ahead for Metamaterials // Science (1979). American Association for the Advancement of Science, 2010. Vol. 328, № 5978. P. 582583.

130. Liu Y., Zhang X. Metamaterials: a new frontier of science and technology // Chem Soc Rev. The Royal Society of Chemistry, 2011. Vol. 40, № 5. P. 2494-2507.

131. Ou J.Y. et al. An electromechanically reconfigurable plasmonic metamaterial operating in the near-infrared // Nature Nanotechnology. Nature Publishing Group, 2013. Vol. 8, № 4. P. 252-255.

132. Driscoll T. et al. Memory metamaterials // Science (1979). American Association for the Advancement of Science, 2009. Vol. 325, № 5947. P. 1518-1521.

133. Kolobov A. v. et al. Understanding the phase-change mechanism of rewritable optical media // Nature Materials. Nature Publishing Group, 2004. Vol. 3, № 10. P. 703-708.

134. Liu F.R. et al. An explanation of the crystallization of amorphous Ge2Sb2Te5 films induced by a short Gaussian laser pulse // Appl Phys Lett. American Institute of PhysicsAIP, 2013. Vol. 103, № 5. P. 051905.

135. Olivieri A. et al. Plasmonic Nanostructured Metal-Oxide-Semiconductor Reflection Modulators // Nano Lett. American Chemical Society, 2015. Vol. 15, № 4. P. 2304-2311.

136. Hsiao H.-H. et al. Fundamentals and Applications of Metasurfaces // Small Methods. John Wiley & Sons, Ltd, 2017. Vol. 1, № 4. P. 1600064.

137. Yang K.Y. et al. Patterning of Ge2Sb2Te5 phase change material using UV nano-imprint lithography // Microelectron Eng. Elsevier, 2007. Vol. 84, № 1. P. 21-24.

138. Dong W. et al. Tunable Mid-Infrared Phase-Change Metasurface // Adv Opt Mater. John Wiley & Sons, Ltd, 2018. Vol. 6, № 14. P. 1701346.

139. Hong R. et al. Tunable guided-mode resonant filter with wedged waveguide layer fabricated by masked ion beam etching // Optics Letters. Optica Publishing Group, 2016. Vol. 41, № 5. P. 982-985.

140. Rybin M. v. et al. Band Structure of Photonic Crystals Fabricated by Two-Photon Polymerization // Crystals. Multidisciplinary Digital Publishing Institute, 2015. Vol. 5, № 1. P. 61-73.

141. Rybin M. v. et al. Transition from two-dimensional photonic crystals to dielectric metasurfaces in the optical diffraction with a fine structure // Scientific Reports. Nature Publishing Group, 2016. Vol. 6, № 1. P. 1-11.

142. Yu Y. et al. Femtosecond laser-induced non-thermal welding for a single Cu nanowire glucose sensor // Nanoscale Adv. Royal Society of Chemistry, 2020. Vol. 2, № 3. P. 1195-1205.

143. Yang L. et al. Parallel direct laser writing of micro-optical and photonic structures using spatial light modulator // Opt Lasers Eng. Elsevier, 2015. Vol. 70, P. 26-32.

144. Manivannan A. et al. Femtosecond laser-induced ultrafast transient snapshots and crystallization dynamics in phase change material // Optics Letters. Optica Publishing Group, 2017. Vol. 42. № 13. P. 2503-2506.

145. Zallo E. et al. Evolution of Low-Frequency Vibrational Modes in Ultrathin GeSbTe Films // physica status solidi (RRL) - Rapid Research Letters. John Wiley & Sons, Ltd, 2021. Vol. 15, № 3. P. 2000434.

146. Zhou W.P. et al. Crystallization of amorphous Ge2Sb2Te5 films induced by an ultraviolet laser // Appl Surf Sci. North-Holland, 2013. Vol. 285, № PARTB. P. 97-101.

147. García-Santamaría F. et al. Optical diffraction and high-energy features in three-dimensional photonic crystals // Phys Rev B Condens Matter Mater Phys. American Physical Society, 2005. Vol. 71, № 19. P. 195112.

148. Rybin M. v. et al. Dimensionality effects on the optical diffraction from opal-based photonic structures // Phys Rev B Condens Matter Mater Phys. American Physical Society, 2013. Vol. 87, № 12. P. 125131.

149. Dorado L.A. et al. Experimental and theoretical analysis of the intensity of beams diffracted by three-dimensional photonic crystals // Phys Rev B Condens Matter Mater Phys. American Physical Society, 2008. Vol. 78, № 7. P. 075102.

150. Sinelnik A.D. et al. Unconventional light scattering from glassy photonic films and metasurfaces // Phys Rev B. American Physical Society, 2019. Vol. 99, № 17. P. 174204.

151. Loose W., Ackerson B.J. Model calculations for the analysis of scattering data from layered structures // J Chem Phys. American Institute of PhysicsAIP, 1998. Vol. 101, № 9. P. 7211.

152. Kildishev A. v., Boltasseva A., Shalaev V.M. Planar Photonics with Metasurfaces // Science (1979). American Association for the Advancement of Science, 2013. Vol. 339, № 6125. P. 12320091-12320096.

Приложение А (обязательное) Тексты публикаций

DE GRUYTER

Nanophotonics 2021; 10(17): 4347-4355

3

Research Article

Nikolay Solodovchenko, Kirill Samusev, Daria Bochek and Mikhail Limonov*

Bound states in the continuum in strong-coupling and weak-coupling regimes under the cylinder -ring transition

https://doi.org/10.1515/nanoph-2021-0351 Received July 6, 2021; accepted August 27, 2021; published online September 9, 2021

Abstract: Bound states in the continuum (BIC) have been at the forefront of research in optics and photonics over the past decade. It is of great interest to study the effects associated with quasi-BICs in the simplest structures, where quasi-BICs are very pronounced. An example is a dielectric cylinder, and in a number of works, quasi-BICs have been studied both in single cylinders and in structures composed of cylinders. In this work, we studied the properties of quasi-BICs during the transition from a homogeneous dielectric cylinder in an air environment to a ring with narrow walls while increasing the diameter of the inner air cylinder gradually. The results demonstrate the quasi-BIC crossover from the strong-coupling to the weak-coupling regime, which manifests itself in the transition from the avoided crossing of branches to their intersection with the quasi-BIC being preserved on only one straight branch. In the regime of strong-coupling and quasi-BIC, three waves interfere in the far-field zone: two waves corresponding to the resonant modes of the structure and the wave scattered by the structure as a whole. The validity of the Fano resonance concept is discussed since it describes the interference of only two waves under weak coupling conditions.

Keywords: avoided crossing; bound state in the continuum; dielectric resonator; Fano resonance; Mie resonance.

Corresponding author: Mikhail Limonov, Department of Physics and Engineering, ITMO University, St. Petersburg197101, Russia; and loffe Institute, St. Petersburg 194021, Russia, E-mail: [e-mail]. https://orcid.org/0000-0002-5709-8796

Nikolay Solodovchenko and Daria Bochek, Department of Physics and Engineering, ITMO University, St. Petersburg 197101, Russia, E-mail: [e-mail] (N. Solodovchenko), [e-mail] (D. Bochek)

Kirill Samusev, Departmentof Physics and Engineering, ITMO University, St. Petersburg197101, Russia; and Ioffe Institute, St. Petersburg 194021, Russia, E-mail: [e-mail]

9 Open Access. © 2021 Nikolay Solodovchenko et al., published by De Gruyter. International License.

1 Introduction

Localization of electromagnetic waves is important both for fundamental research and for many important applications. Various physical mechanisms of trapping and confining of light are exploited including bound states in the continuum (BICs), which have been actively investigated recently. BIC is a general wave phenomenon that was first mathematically proposed in 1929 by von Neumann and Wigner [1] for electronic states. Note that the initial proposal of von Neumann and Wigner was never implemented in practice, but the idea of the appearance of such a state turned out to be very fruitful; a number of other mechanisms of the BIC formation were theoretically proposed and experimentally demonstrated [2-16]. Different BICs have been observed for various types of waves such as electromagnetic, acoustic, elastic, and water waves.

Photonic BICs coexist with propagating electromagnetic waves and lie in a continuum, but theoretically remain completely confined in the structure without any radiation [8]. According to the theory, BICs are unique states with an infinite lifetime and can arise if at least one dimension of the structure extends to infinity [8] or in structures of finite length when the dielectric constant approaches zero [7, 17]. In reality, due to the finite length of the structures, material loss, and imperfection, the BICs collapse to a quasi-BIC with a limited radiation Q-factor [18]. The quasi-BIC is achieved when the Q-factor no longer changes slowly as in a conventional resonator, but instead rises rapidly, following the BIC trend, before it reaches its maximum value, due to the finite size of the resonator [19]. In accordance with the classification presented in Review [8], three types of BIC (or quasi-BIC) can be distinguished. First, there are BICs protected by symmetry and separability; second, these are BICs built using inverse construction (for example, potential, hopping rate, or shape engineering); and finally, there are BICs, achieved by setting parameters.

1 This work is licensed under the Creative Commons Attribution 4.0

In this work, we will be interested in the third type of quasi-BIC. This type of quasi-BIC occurs when two nonorthogonal modes are coupled to the same radiation channel and a strong-coupling regime of avoided crossing arises with appropriate conditions in parametric space [10, 12, 20- 23]. This regime is described by the Friedrich-Wintgen model [24] when due to destructive interference one of the emitting modes disappears and the other becomes lossier due to constructive interference. In photonic crystal slabs, such a regime was described by Tikhodeev et al. [25] and Christ et al. [26]. Recently Friedrich-Wintgen's quasi-BIC was observed and studied in detail in dielectric cylinders [9, 15]. For a single dielectric cylinder, quasi-BIC occurs when two eigen-modes with different polarizations, associated with the Mie resonances and Fabry-Perot resonances, in the strong-coupling regime form an avoided crossing region. These modes are approximately orthogonal inside the cylinder and they interfere predominantly outside, realizing the quasi-BIC when the all-dielectric resonator demonstrates extremely high values of the Q-factor.

Here, we continue the search and study of quasi-BIC in the simplest dielectric objects, which are bodies of revolution [9, 15]. We are looking for an answer to the question - what happens with the quasi-BIC during a significant transformation of the structure which even changes its topology? We analyze the transformation of quasi-BIC when adding a coaxial air hole to a cylinder with a high refractive index and gradually increasing the radius of the hole, that is, turning the cylinder into a narrow ring. As it often so happens, deviations from a perfect structure can result in higher complexity and give rise to unexpected effects. Indeed, we discovered and investigated in detail the quasi-BIC crossover from the strong-coupling to the weak-coupling regime, which manifests itself in the transition from the avoided crossing of branches to their intersection with the quasi-BIC being preserved on only one branch. We also discuss the applicability of the concept of Fano resonance, which, by definition, is realized in the two-oscillator model in the weak-coupling regime.

2 Friedrich-Wintgen model

In this section, we will briefly review the approach to describing BICs that arise from two interacting resonances via a radiation continuum due to appropriate tailoring of the structural parameters. The rigorous theory is presented in the paper by Friedrich and Wintgen [24], and its simplified versions are described in a number of works.

Following Ref. [23], we consider the case when two optical resonances are coupled to the same radiation channel; the optical interaction between them is described by the non-Hermitian Hamiltonian without taking into account the nonradiative damping terms [8,13]:

_(k k)-■(.

= ( Ei - [yi

\k - ie^vftft

fti

iv^Jh72

ev

Vñr¡ Ï2

)

k-

ie

E2

J

(1)

where, E1 and E2 are the resonance energy levels, y1 and y2 are the corresponding radiative damping rates. Parameter k denotes the internal (near-field) coupling strength between the modes and ^ft ft is the radiative coupling term, while y is the phas e difference between two modes. Therefore, parameter e"^^/ftft represents the interference of radiating waves through far-field coupling [22]. The eigenvalues of Hamiltonian (1) are determined by the secular equation and have the following form:

~ _ E1 + E2

/1 - ft2 2

Ei - E

2

-2 • fti - Y2 - — i-

2

\ 2

j + (k - ie^V^H)2

(2)

Equation (2) describes two avoided photonic bands in parametric space. Friedrich and Wintgen found a mathematical condition for one of the two eigenmodes to have a purely real eigenvalue. This condition has the form [24]:

(Ei - E2)p = k (ft - ft) (3)

A parameter p was also introduced, which describes the parity (+1 or -1) of the phase difference between the two modes (i.e., in-phase or out-of-phase), which corresponds to y = nl, where l is an integer. Using Friedrich-Wintgen condition (3) we obtain the following expressions for two complex energy levels:

~ _ E1 + E2 tA

P

k ft + ft \[ftft2

2

(4)

~ E1 + E2 , k ft + ft ., , s ,rs eb = ^ + p- i(ft1 + ft2) (5)

Thus, when condition (3) is satisfied, the first eigenmode Ea (4) becomes purely real, corresponding to a BIC. The second eigenmode EB becomes more radiative, the radiation losses of which are the sum of two initial modes, yB = y 1 + y2. It follows from Eqs. (4) and (5) that, depending on the sign of parity p or coupling strength k, the BIC can be located on either the low- or high-frequency branch in parametric space.

3 Calculation methods

To study the transformation of quasi-BIC when the structure of the resonator changes from a dielectric cylinder to a dielectric ring, we used numerical calculations, which provide key information about the optical spectrum with resonant frequencies of eigenmodes and mode Q-factor. Structures with a fixed homogeneous dielectric permittivity e1 = 0 and zero attenuation were considered. The environment was vacuum e2 = 1 (Figure 1). We have performed systematic calculations of the scattering cross-section (SCS) of a finite cylinder and a set of rings with an inner radius Rin, an outer radius Rout, and a thickness L. The ratio of the radii was varied in the wide range, and the Rout/L aspect ratio for each Rin value was varied in such a range to observe a certain quasi-BIC formed by the anti-crossing of the two resonant modes TE110 and TM^-y. The results of the study of such a quasi-BIC in a cylinder are presented in Ref. [15], where the standard nomenclature [27] of modes of a cylindrical resonator TEn kp and TMn kp is used. In these notations, n, k, p are the indices denoting the azimuthal, radial, and axial indices, respectively. Only the modes with the same azimuthal index n could interact and we consider the case n = 1. In our calculations, the magnetic field of the incident wave is polarized along the axis of rotation of the cylinder or ring (TE polarization). All the computations of SCS were performed in the frequency domain using the commercial software COMSOL. The calculations of the spectra of the dielectric cylinder were carried out on the basis of the Mie theory [28].

Mie scattering by high-contrast dielectric bodies of revolution results in an infinite series of Fano resonances where each resonance can be described by the Fano formula. The conclusion was made for the case of the dielectric cylinder [29, 30] and later for dielectric sphere [31] and core-shell sphere [32]. The Fano resonance is a consequence of the interference of two waves, which in the spectra have significantly different half-widths [33, 34]. The shape of the resulting contour of a narrower line depends on the phase difference 8 between them. The frequency and width of the Fano line are determined by the well-known formula [34]:

= D2(£±fl)2 (6) 1 ±Q2

where q = cot 8 is the Fano asymmetry parameter, 8 is the phase difference between a discrete state and a continuum, D2 = 4sin25, Q = (m — m0)/(y0/2), is the dimensionless frequency, and y0 and m0 are the width and frequency of the narrow line, respectively. All numerically obtained spectra were fitted using formula (6), as a result of which

Mie-like mode

Figure 1: TE- and TM-polarized waves incident on a dielectric ring resonator with permittivity e1 = 80, inner radius Rin, outer radius Rout, and thickness L. The ring is placed in the vacuum, e2 = 1.

the frequencies, Fano parameters q, and Q-factors of two interfering modes were determined.

When changing the aspect ratio Rout/L (for example, by changing the length L with a fixed outer radius Rout), the frequency of the resonant Fabry-Perot modes changes significantly, while the resonant Mie modes weakly (1). Therefore, the Fabry-Perot-type modes and Mie-type modes must intersect at certain parameters of the cylinder and the ring (e, Rout/L, Rin/Rout). In the case of their interaction, the avoided crossing regime will be observed, however, if there is no interaction or it is insufficient, the branches will intersect in the parametric space. Continuing the work presented in Ref. [15], we studied the behavior of two modes that have the symmetry TE1,1,0 (slow-varying Mie-type mode) and TM1,1,1 (rapidly varying Fabry-Perot-type mode).

4 Results and discussion

This section presents the results of calculations of SCS, their treatment, and interpretation. To obtain a complete picture of light scattering in dielectric ring resonators, we repeated the calculations described in Ref. [15] for a finite dielectric cylinder and used these results as a reference point. Further, calculations were made for a large number of ring resonators with different values of the normalized inner diameter in the range 0 < Rin/Rout < 0.6. For each fixed value of Rin/Rout, the SCS of the dielectric ring resonator were calculated as a function of its aspect ratio Rout/L upon excitation by a plane TE-polarized wave (see Figure2for selected Rin/Rout). As in Refs. [9,15], the dielectric permittivity was ex = 80. With this value, firstly, the

Figure 2: Spectra of the normalized SCS (for harmonic n = 1) for cylindrical and ring dielectric resonators as a function of their aspect ratio

Rout/L.

SCS in the regions of avoided crossing (A)-(C) or crossing (D)-(F) regimes between the modes TE110 and TMWi1. The spectra marked in red correspond to quasi-BIC. Normalized size parameter (frequency)x = Rout®/c = 2xRoM/A TE-polarized incident wave. The dielectric permittivity of all structures is e1 = 80. The structures are placed in the vacuum, e2 = 1.

resonance scattering spectra have narrow peaks that are convenient for treatment and interpretation and, secondly, this value corresponds to the permittivity of water in the microwave frequency region at room temperature, which in the future may allow an experiment to be carried out and its results compared with the presented data. For generality, when demonstrating the results we use the normalized size parameter x = kRout being a product of the wavenumber k and outer radius Rout.

To fit the spectra and determine the parameters of the resonance lines, we used the Fano formula (6). For clarity, let us consider separately different regions in the parametric space: first, two regions of weak-coupling above and below the region of avoided crossing, where the corresponding branches have a linear dependence on the parameter Rout/L, and, second, a region of strong-coupling, where the avoided crossing is observed. In areas of weak interaction, asymmetric contours of resonance scattering lines are observed (Figure 2), associated with the interference of each of the two resonant modes (TE110 and TMj j j) with broadband background scattering from the dielectric object as a whole [29 -31]. As has been shown earlier, these spectra exhibit Fano resonances, a phenomenon related to the case of two weakly coupled oscillators [34]. As a result of fitting, the frequencies, Fano parameters q, and Q-factors of the pairs of lines, presented in Figures 3 and 4, were determined with high accuracy.

In the quasi-BIC region of the avoided crossing, we have the interference of three waves in the far-field, two waves are determined by the resonant modes of a cylinder or ring (TE110 and TM111), and the third wave is associated with a nonresonant background. Such complicated interference is not described by the classical Fano formula; therefore, the statement that a collapse of the Fano resonance occurs in the quasi-BIC region [12,35,36] is correct. Accordingly, one should not expect a perfect fit according to the Fano formula where the condition of its applicability is not met. Nevertheless, the shape of the resonance lines in the spectra corresponding to the avoided crossing region was successfully approximated by the Fano formula in a significant region, excluding the extremely narrow quasi-BIC zone, where the shape of the high-frequency line corresponded to the symmetric Lorentzian, the Fano parameter q tends to infinity, and the Q-factor reached its maximum value.

Quasi-BIC due to the avoided crossing of the Mie-type mode TE110 and Fabry-Perot-type mode TM111, at is observed in a cylinder with a vertical cross-section close to square Rout/L = 0.54 at a size parameter of x = 0.48 (Figure 2A). To find the avoided crossing region of interest to us in the spectra of the ring, it was necessary to significantly shift the search regions both in the frequency scale and in the Rout/L scale (Figure 2B-F). With an increase in the normalized inner radius Rin/Rout, the avoided crossing

Figure 3: Rabi splitting between the TE110 and TMU,: branches.

(A) TE110 (slow-varying Mie-type mode) and TM11:1 (rapidly varying Fabry-Perot-type mode) in finite cylindrical dielectric resonator. The parameter A corresponds to the frequency difference between the high-frequency and low-frequency branches (Rabi splitting A = rn2 — <%) at the aspect ratio for the quasi-BIC (Rout/L = 0.5412). (B) Q-factor evolution for the high-frequency branch (blue curve, quasi-BIC) and the low-frequency branch (green curve). e1 = 80, e2 = 1.

Figure 4: Results of treatment of the SCS spectra (for harmonic m = 1) usingthe Fano formula (6) for the low-frequency and high-frequency modes.

(A1)-(F1) frequencies of the TE110 (Mie-type mode) and TM111 (Fabry-Perot-type mode). (A2)-(F2) evolution of the Fano asymmetry parameter q. (A3)-(F3) evolution of the quality-factor Q. Panels with index (A) correspond to the cylinder, and those with indexes (B)-(F) correspond to rings with the ratio Rin/Rout = 0.2,0.4,0.53,0.55,0.6, respectively.

region in parametric space shifted toward thinner rings, i.e. parameter Rout/L increased. With relatively small internal holes (Rin/Rout < 0.4) the avoided crossing regime is still observed. For small values of the aspect ratio Rout/L, the Fabry-Perot resonance determines the lower-frequency mode, and the Mie resonance determines the

higher-frequency mode; above the quasi-BIC region, the resonances are reversed. In this case, outside the avoided crossing region, both resonances demonstrate a linear dependence of the frequency on the parameter ßout/L.Out-side the avoided crossing region, the frequency shifts of both Mie-type and Fabry-Perot-type modes are described

by linear relations. Nevertheless, an important tendency is observed: with an increase in the size of the inner hole Rin/Rout, the distance between the low-frequency and high-frequency resonances at the quasi-BIC frequency (Rabi splitting [37] A = m2 — ®1, Figure 3) decreases, Figure 4.

The key effect is observed in the region of the Rin/Rout = 0.53 parameter, when the lines in the spectra corresponding to the TE110 and TM111 resonances intersect and the avoided crossing effect disappears completely. The spectra clearly show a simple superposition of a narrow TE1, 10 line on a broad TM111 line without specific signs of interference (Figure 2D). It is important to note that in this case, the quasi-BIC regime is still preserved, although the maximum value of the quality factor Q = 452 decreased significantly compared to the value Q = 2843 in the cylinder. We confidently call the observed effect of quasi-BIC, since the usual resonance does not have a pronounced maximum in the parametric space, and the quasi-BIC should have such a maximum [19] that is actually observed in the spectra of the ring at Rin/R0ut = 0.53 (Figure 4D3) and moreover, with even larger values of the hole Rin/Rout = 0.55 and Rin/Rout = 0.60 (Figure 4E3 and F3).

Thus, we observe a continuous transition from the avoided crossing of two branches (strong-coupling regime) to their intersection with the preservation of the quasi-BIC (weak-coupling regime). It is a degenerate point in parametric space (Rin/R0ut = 0.53, Figure 4D1) where two dispersion curves intersect with straight lines. In the region of Rin/Rout ^ 0.53, the quasi-BIC is associated exclusively with the TE110 mode of the Mie type (Figure 4D3-F3), while in the cylinder (Figures 3 and 4A3) and ring with small holes (Figure 4B3 and C3), the quasi-BIC was determined by the strong interaction of the Mie-type TE110 and Fabry-Perot-type TM1,1,1 resonances.

Figure 5 shows a color pattern of the SCS in the size parameter and aspect ratio axes. It is clearly seen that with an increase in the size of the inner hole, the lines in the spectra are significantly broadened, especially for the ТМ1ДД Fabry-Perot-type mode. The same conclusion follows from Figure 2. The difference in the behavior of Mie-type and Fabry-Perot-type modes is qualitatively clear. Resonant Fabry-Perot modes are defined by the top and bottom faces of the cylinder or ring. With a decrease in the effective area of these faces in the ring, with an increase

Figure 5: General view of SCSs and field patterns.

Dependencies of the SCS (m = 1) of cylindrical (A) and ring (B)-(F) dielectric resonators on the aspect ratio Rout/L and normalized size parameter (frequency)x = Rout®/c = 2xRout/l for TE-polarized incident waves. The calculations are carried out with the Rout/L step of 0.02. Inserts: the calculated field patterns (total electric field amplitude |E| in the (x,z) cross-sections (resonator side view) for the high-frequency and low-frequency branches of the interacting pair of modes TE1 1 0 and TM1 1 1. The field distributions are shown for three Rout/L values - two extreme ones, shown on each of the panels and the Rout/L value corresponding to the quasi-BIC. Quasi-BIC points are marked with red dots, and points corresponding to the same Rout/L value on a different branch are marked with white dots.

in Rin, the Q-factor of the vertical resonances inevitably decreases. For Mie resonances, the situation is different, since the area of the sidewall does not depend on the diameter of the inner hole Rin. As follows from the calculations (Figure 5), the electric field of the Mie-type mode is concentrated in the inner air cylinder over the entire range of parameters. It is important to emphasize that in the avoided crossing region (especially for cylinder and ring with Rin/Rout = 0.2), the electric field amplitude |E| of the quasi-BIC is determined by the combination of the Fabry-Perot and Mie resonance fields, but in the crossing regime, the field of the quasi-BIC (red dots in Figure 5) is completely determined by Mie-type resonance.

Figure 6 summarizes the results of this work. Smooth dependences of all functions leave no doubt that the quasi-BIC is preserved in the case of crossing the branches and further, with an increase in Rin/Rout, when the frequency of the Mie-type quasi-BIC (red dots in Figure 5) turns out to be lower than the Fabry-Perot resonance frequency (white dots) for the same Rout/L value. We note that the results obtained using the Fano formula contains key information about the quasi-BIC. There is a direct relationship between the Friedrich-Wintgen quasi-BICs and Fano resonances, since these two phenomena are associated with the same physical effect - wave interference. Note the difference between quasi-BIC and true theoretical BIC, which is a dark nonradiative state with infinite Q and, accordingly, should manifest itself in the scattering spectra as a dip exactly to zero. In contrast to these properties of a true BIC, the quasi-BIC has two singular points in spectra, characterized by the Fano parameter q. The position of the quasi-BIC is determined by the maximum Q-factor of the line and corresponds to the Fano parameter q ^ ro.At this value, the Fano lineshape becomes a symmetric Lorentzian function and the resonance does not couple to the contin-

uum of states. Accordingly, the minimum of scattering does not coincide with the position of the quasi-BIC and corresponds to the antiresonance in the continuum spectrum (q = 0), and appears as a true zero in the spectrum. However, this minimum may not reach zero if more continuum states become involved in the scattering process [34]. As follows from expressions (4) and (5), the magnitude of the splitting of TE110 and TM1,1,1 branches has the form:

A~EB - Ea - 2p

k Yi + Ï2

2

i(/i + ft) (7)

As follows from Figure 6C, the difference A~ EB — EA in the avoided crossing region changes monotonically, which indicates a monotonic change in the internal coupling strength k at a constant parity parameter p which can only change in a jump from ±1 to 1. Consequently, the intersection of the TEj 10 and TM1,1,1 branches, that is, the relation Re(EB) = Re(EA) indicates the proximity to zero of the parameter k. In this case, expressions for resonant energy levels can be written in a simpler form:

E — Ei + E2

- ^ - ifri + ft)

2

(8)

(9)

Thus, the Friedrich-Wintgen model predicts that when crossing, two lines with significantly different half-widths (/A = 0 and yB = yj ± y2) will be observed in the spectra, which corresponds to the result that was obtained in our calculations. The eigenmode EA continues to be purely real and preserves the quasi-BIC regime.

It should be noted that individual regimes of strong coupling and weak coupling of two photonic modes were previously studied in various dielectric resonators. In particular, the formation of long-lived states with high Q-factor

b

0.6

^ 0.5

"J 0.4 o

0.3 0.2

Q.

V)

<o.i

\ - low-Q mode \ - quasi-BIC mode 0.6 y'W 0.6

\ 0.5 0.5 rjr„u, = 0.530¡S.

\ 0.4 / ■ 0.4 \

\ 0.3 / 0.3 | \

\ 0.2 / 0.2 \

V \ 0.1 ■ 0.1 Aw = 0 ! \

1000 2000 Q factor

3000 0.5

1.0

Aspect ratio rout/L

1.5

-0.05 0.00 0.05

Rabi splitting A = 0)2-Wi

Figure 6: BICs in dielectric rings.

(A) Q-factor evolution for branches with the quasi-BIC (blue curve) and without quasi-BIC (green curve). (B) Transformation of the shape of the ring (ratios L, Rout, and Rin) with the quasi-BIC for a pair of modes TE110 and TM1,1,1. (C) Dependence of the Rabi splitting (A = ®2 — between the branch with the quasi-BIC and a branch withoutthe quasi-BIC on the normalized radius of the inner hole Rin/Rout.

near avoided resonance crossings due to strong external coupling was studied in quasi-two-dimensional dielectric cavities with rectangular, elliptical, and stadium-shaped cross-sections [38]. External weak coupling with crossing resonant frequencies also leads to a significant increase in Q-factor, as demonstrated in the case with three dielectric nanorods [39]. This regime was achieved by tuning the rod spacing and led to an increase in the lifetime over an order of magnitude.

5 Conclusion

We have revealed that high-Q quasi-BIC exists not only in dielectric cylindrical resonators but also in dielectric ring resonators with high robustness over a wide range of internal hole sizes. The behavior of the Mie-type TE110 and Fabry-Perot-type TM1,1,1 resonances in structures with a dielectric permittivity e1 = 80 was investigated numerically. Destructive interference of antiphase waves in the far zone leads to a quasi-BIC, and constructive interference of in-phase waves leads to a decrease in the Q factor. In the quasi-BIC region of the avoided crossing, there is the interference of three waves in the far-field zone, two waves are determined by the resonant modes of a cylinder or ring (TE110 and TM1,1,1 as an example), and the third wave is associated with a nonresonant background. Such a complex interference is not described in the classical Fano model and this effect is associated with the collapse of the Fano resonance. At Rin/Rout ~ 0.53, we found a crossover from the region of an avoided crossing to the region of intersection of branches in the parametric space. The crossover occurs due to a monotonic decrease to the minimum values of the internal coupling strength k at a constant parity parameter p. In the region of intersection, the quasi-BIC is preserved and is observed in the spectra exclusively on the Mie-type TE110 line which is much narrower than the TM1,1,1 line. With a change in the aspect ratio Rout/L, the TE1,1,0 line demonstrates the maximum Q factor associated with quasi-BIC when it is at the top of the TM1,1,1 broadband.

In this work, we demonstrate in detail how to perform the fine tuning of structural parameters (e1, e2, L, Rin, and Rout) for designing a dielectric ring with the maximum Q factor in a certain spectral range due to the quasi-BIC regime. Note that when the size of the inner hole changes from zero in a fairly wide range, the Q-factor of the quasi-BIC changes insignificantly, demonstrating high robustness.

In this context, we would like to draw attention to chalcogenide phase-change alloys Ge-Sb-Te. In particular, the femtosecond laser-induced switching of infrared

nanoantenna resonances using a Ge3Sb3Te6 thin film was reported [40]. Another Ge-Sb-Te alloy, namely Ge2Sb2Te5, is also being actively investigated [41]. In particular, Ge2Sb2Te5 metasurfaces were created using U-shaped antennas [42] or a complex nanostructured cruciform shape developed using a genetic algorithm optimizer in combination with an efficient full-wave electromagnetic solver [43]. We believe that the use of easily manufactured cylindrical or annular metasurface elements formed from Ge - Sb - Te in the quasi-BIC mode will significantly improve the functional properties of various devices.

Acknowledgment: The authors are grateful to P.A. Belov for discussing the results.

Author contribution: All the authors have accepted responsibility for the entire content of this submitted manuscript and approved submission.

Research funding: This work was funded by the Russian Science Foundation (Project 20-12-00272). Conflict of interest statement: The authors declare no conflicts of interest regarding this article.

References

[1] E. P. Wigner and J. Von-Neumann, "Über merkwürdige eigenwerte," Z. Phys., vol. 30, p. 465,1929.

[2] D. C. Marinica, A. G. Borisov, and S. V. Shabanov, ''Bound states in the continuum in photonics,'' Phys. Rev. Lett., vol. 100, p. 183902, 2008.

[3] E. N. Bulgakov and A. F. Sadreev, ''Bound states in the continuum in photonic waveguides inspired by defects,'' Phys. Rev. B, vol. 78, 2008, Art no. 075105.

[4] Y. Plotnik, O. Peleg, F. Dreisow, et al., ''Experimental observation of optical bound states in the continuum,'' Phys. Rev. Lett., vol. 07, p. 183901, 2011.

[5] C. W. Hsu, B. Zhen, J. Lee, et al., ''Observation of trapped light within the radiation continuum,'' Nature, vol. 499,

pp. 188-191, 2013.

[6] Y. Yang, C. Peng, Y. Liang, Z. Li, and S. Noda, ''Analytical perspective for bound states in the continuum in photonic crystal slabs,'' Phys. Rev. Lett., vol. 113, 2014, Art no. 037401.

[7] F. Monticone and A. Alu, ''Embedded photonic eigenvalues in 3D nanostructures,'' Phys. Rev. Lett., vol. 112, p. 213903, 2014.

[8] C. W. Hsu, B. Zhen, A. D. Stone, J. D. Joannopoulos, and M. Soljacic, ''Bound states in the continuum,'' Nat. Rev. Mater., vol. 1, pp. 1-13, 2016.

[9] M. V. Rybin, K. L. Koshelev, Z. F. Sadrieva, et al., ''High-Q supercavity modes in subwavelength dielectric resonators,'' Phys. Rev. Lett., vol. 119, p. 243901, 2017.

[10] H. M. Doeleman, F. Monticone, W. den Hollander, A. Alu, and A. F. Koenderink, ''Experimental observation of a polarization vortex at an optical bound state in the continuum,'' Nat. Photonics, vol. 12, pp. 397-401, 2018.

[11] F. Monticone, H. M. Doeleman, W. den Hollander, A. F. Koenderink, and A. Alu, ''Trapping light in plain sight:

embedded photonic eigenstates in zero-indexmetamaterials,'' Laser Photon. Rev., vol. 12, p. 1700220, 2018.

[12] S. I. Azzam, V. M. Shalaev, A. Boltasseva, and A. V. Kildishev, ''Formation of bound states in the continuum in hybrid plasmonic-photonic systems,'' Phys. Rev. Lett., vol. 121,

p. 253901, 2018.

[13] K. Koshelev, G. Favraud, A. Bogdanov, Y. Kivshar, and A. Fratalocchi, ''Nonradiating photonics with resonant dielectric nanostructures,'' Nanophotonics, vol. 8, pp.725 — 745,2019.

[14] A. Krasnok and A. Alu, ''Embedded scattering eigenstates using resonant metasurfaces,'' J. Opt., vol. 20, 2018,

Art no. 064002.

[15] A. A. Bogdanov, K. L. Koshelev, P. V. Kapitanova, et al., ''Bound states in the continuum and Fano resonances in the strong mode coupling regime,'' Adv. Photonics, vol. 1, 2019,

Art no. 016001.

[16] K. Koshelev, S. Kruk, E. Melik-Gaykazyan, et al., ''Subwavelength dielectric resonators for nonlinear nanophotonics,'' Science, vol. 367, pp. 288 — 292, 2020.

[17] M. G. Silveirinha, ''Trapping light in open plasmonic nanostructures,'' Phys. Rev. A, vol. 89, 2014, Art no. 023813.

[18] S. I. Azzam and A. V. Kildishev, ''Photonic bound states in the continuum: from basics to applications,'' Adv. Opt. Mater., vol. 9, p. 2001469, 2021.

[19] M. Rybin and Y. Kivshar, ''Supercavity lasing,'' Nature, vol. 541, pp. 164—165, 2017.

[20] E. N. Bulgakov and D. N. Maksimov, ''Avoided crossings and bound states in the continuum in low-contrast dielectric gratings,'' Phys. Rev. A, vol. 98, 2018, Art no. 053840.

[21] M. Odit, K. Koshelev, S. Gladyshev, K. Ladutenko, Y. Kivshar, and A. Bogdanov, ''Observation of supercavity modes in subwavelength dielectric resonators,'' Adv. Mater., vol. 33, p. 2003804, 2020.

[22] S. G. Lee, S. H. Kim, and C. S. Kee, ''Bound states in the continuum (BIC) accompanied by avoided crossings in leaky-mode photonic lattices,'' Nanophotonics, vol. 9, pp. 4373—4380, 2020.

[23] I. C. Seo, S. Kim, B. H. Woo, I. S. Chung, and Y. C. Jun, ''Fourier-plane investigation of plasmonic bound states in the continuum and molecular emission coupling,'' Nanophotonics, vol. 9, pp. 4565—4577, 2020.

[24] H. Friedrich and D. Wintgen, ''Interfering resonances and bound states in the continuum,'' Phys. Rev. A, vol. 32, p. 3231, 1985.

[25] S. G. Tikhodeev, A. L. Yablonskii, E. A. Muljarov, N. A. Gippius, and T. Ishihara, ''Quasiguided modes and optical properties of photonic crystal slabs,'' Phys. Rev. B, vol. 66, 2002, Art no. 045102.

[26] A. Christ, S. G. Tikhodeev, N. A. Gippius, J. Kuhl, and

H. Giessen, ''Waveguide-plasmon polaritons: strong coupling of photonic and electronic resonances in a metallic photonic crystal slab,'' Phys. Rev. Lett., vol. 91, p. 183901, 2003.

[27] K. Zhang, D. Li, K. Chang, K. Zhang, and D. Li, Electromagnetic Theory for Microwaves and Optoelectronics, Berlin, Springer, 2008, pp. 274—283.

[28] C. F. Bohren and D. R. Huffman, Absorption and Scattering of Light by Small Particles, New York, Wiley, 1983.

[29] M. V. Rybin, K. B. Samusev, I. S. Sinev, et al., "Mie scattering as a cascade of Fano resonances,'' Opt. Express, vol. 21,

pp. 30107-30113, 2013.

[30] M. V. Rybin, D. S. Filonov, P. A. Belov, Y. S. Kivshar, and M. F. Limonov, ''Switching from visibility to invisibility via Fano resonances: theory and experiment,'' Sci. Rep., vol. 5, pp.1-6,2015.

[31] M. I. Tribelsky and A. E. Miroshnichenko, ''Giant in-particle field concentration and Fano resonances at light scattering by high-refractive-index particles,'' Phys. Rev. A, vol. 93, 2016, Art no. 053837.

[32] T. J. Arruda, A. S. Martinez, F. A. Pinheiro, R. Bachelard,

S. Slama, and P. W. Courteille, ''Fano resonances in plasmonic core-shell particles and the Purcell effect,'' in Fano Resonances in Optics and Microwaves, Cham, Springer, 2018, pp. 445-472.

[33] U. Fano, ''Effects of configuration interaction on intensities and phase shifts,'' Phys. Rev., vol. 124, p. 1866, 1961.

[34] M. F. Limonov, M. V. Rybin, A. N. Poddubny, and Y. S. Kivshar, ''Fano resonances in photonics,'' Nat. Photonics, vol. 11,

p. 543, 2017.

[35] A. S. Pilipchuk, A. A. Pilipchuk, and A. F. Sadreev, ''Bound states in the continuum in open spherical resonator,'' Phys. Scripta, vol. 95, 2020, Art no. 085002.

[36] N. Bonod and Y. Kivshar, ''All-dielectricMie-resonant metaphotonics,'' C. R. Phys., vol. 21, pp. 425-442, 2020.

[37] G. Khitrova, H. M. Gibbs, M. Kira, S. W. Koch, and A. Scherer, ''Vacuum Rabi splitting in semiconductors,'' Nat. Phys., vol. 2, pp. 81-90, 2006.

[38] J. Wiersig, ''Formation of long-lived, scarlike modes near avoided resonance crossings in optical microcavities,'' Phys. Rev. Lett., vol. 97, p. 253901, 2006.

[39] Q. H. Song and H. Cao, ''Improving optical confinement in nanostructures via external mode coupling,'' Phys. Rev. Lett., vol. 105, 2010, Art no. 053902.

[40] A.-K. U. Michel, P. Zalden, D. N. Chigrin, M. Wuttig,

A. M. Lindenberg, and T. Taubner, ''Reversible optical switching of infrared antenna resonances with ultrathin phase-change layers using femtosecond laser pulses,'' ACS Photonics, vol. 1, pp. 833-839, 2014.

[41] Q. Wang, E. T. F. Rogers, B. Gholipour, et al., ''Optically reconfigurable metasurfaces and photonic devices based on phase change materials,'' Nat. Photonics, vol. 10, pp. 60-66, 2016.

[42] C. Choi, S.-Y. Lee, S.-E. Mun, et al., ''Metasurface with nanostructured Ge2Sb2Te5 as a platform for broadband-operating wavefront switch,'' Adv. Optical Mater., vol. 7, p. 1900171, 2019.

[43] A. V. Pogrebnyakov, J. A. Bossard, J. P. Turpin, et al., ''Reconfigurable near-IR metasurface based on Ge2Sb2Te5 phase-change material,'' Opt. Mater. Express, vol. 8, p. 2264, 2018.

PHYSICAL REVIEW B 105, 165425 (2022)

Bound states in the continuum versus material losses: Ge2Sb2Te5 as an example

Daria V. Bochek Nikolay S. Solodovchenko / Denis A. Yavsin,2 Alexander B. Pevtsov ,2 Kirill B. Samusev,1,2 and Mikhail F. Limonov1,2 1 Department of Physics and Engineering, ITMO University, St. Petersburg 197101, Russia 2Ioffe Institute, St. Petersburg 194021, Russia

О (Received 29 January 2022; revised 25 February 2022; accepted 23 March 2022; published 21 April 2022)

Photonic bound states in the continuum (BICs) were investigated depending on material and radiation losses on the example of the phase-change chalcogenide Ge2Sb2Te5 and two types of resonators in the form of a cylinder and a ring which support quasi-BIC according to the Friedrich-Wintgen mechanism. The complex refractive index for the amorphous and crystalline phases of Ge2Sb2Te5 was measured experimentally. It was found that as the material losses increase, the quasi-BIC becomes practically a dark mode, while the usual resonator eigenmodes continue to remain intense. At the same time the strength of the mode coupling has been not affected, that is, the Rabi splitting remains unchanged in the studied range of losses. Photonic mode switching during the amorphous-crystalline phase transition was also investigated and two mechanisms were identified, including an efficient Fano resonance mechanism that can be used in real devices.

DOI: 10.1103/PhysRevB.105.165425

I. INTRODUCTION

Future technologies are targeting a dramatic increase in subwavelength photonic integration, far exceeding those of bulk optical components and silicon photonics. An important step along this path was the concepts of metamaterials, metasurfaces, and nanophotonics, based on the structuring of materials at subwavelength scale [1,2]. In the implementation of the concept of metamaterials, most of the created structures with a magnetic response contained metals that have high Ohmic losses at optical frequencies, which limit the efficiency and any useful characteristics. Recently, it was experimentally demonstrated that subwavelength dielectric nanoparticles have induced magnetic multipoles due to Mie resonances and, unlike plasmonic metal particles, they do not suffer from Ohmic losses due to the absence of free charges [3-5]. Unfortunately, this advantage of dielectric particles does not solve all material loss problems, since any linear and causal material necessarily contains losses, as follows from the Kramers-Kronig relations [6]. In addition to material losses, the efficiency of the resonator is reduced by radiation losses, which also include losses associated with defects and imperfections in the shape of the resonant particle. If material losses are a characteristic of a defect-free crystal structure, then radiation losses can be reduced by various methods, including the implementation of the Anderson localization regime [7], the use of photonic crystals with a complete photonic band gap [8], and the regime of bound states in the continuum (BICs) [9].

BIC is an exclusive light trapping and confinement mechanism, a wave phenomenon that was mathematically proposed in 1929 by von Neumann and Wigner [10] for electronic

'Corresponding author: [e-mail]

states. To date, a number of mechanisms of BIC formation have been theoretically proposed and experimentally demonstrated [9,11-18] for various types of waves, including electromagnetic, acoustic, elastic, and water waves. Photonic BICs coexist with propagating electromagnetic waves in a continuum, but theoretically remain completely localized in the structure without any radiation and are characterized by an infinite Q factor [9]. In real structures, due to finite dimensions, material losses, and a number of other reasons, photonic BICs (defined as quasi-BICs) have a finite lifetime, finite Q factor [17]. There are a number of physical mechanisms that lead to the formation of BICs [9]; in this work, we will be interested in quasi-BICs, which are achieved by adjusting the structural parameters of the material. This type of quasi-BIC arises when two nonorthogonal photonic modes are coupled to the same radiation channel, and a regime of avoided crossings arises at the appropriate structural parameters. This regime is described by the Friedrich-Wintgen model [19] when due to destructive interference in the far field zone one of the emitting modes disappears and becomes a quasi-BIC. This mechanism can be realized in a one-dimensional quantum potential well, owing to the destructive interference of electron paths with different spin in tilted magnetic field [20]. The photonic Friedrich-Wintgen quasi-BIC was discovered in dielectric cylinders and rings, when two eigenmodes with different polarizations associated with Mie and Fabry-Perot resonances interact strongly [21,22] near the avoided crossing regime or weakly, that is, crossing at certain values of the ring parameters [23]. Considering that cylindrical and especially ring resonators are basic elements of modern nanophotonics [24-28], we have chosen these structures to study the effect of losses on photonic resonance properties. Note that in Ref. [23] we analyzed the Friedrich-Wintgen model [19] for a cylinder and a ring by considering a non-Hermitian Hamiltonian without taking into account the nonradiative damping terms.

2469-9950/2022/105(16)/165425(8)

165425-1

©2022 American Physical Society

Another important choice for our work is material with noticeable optical and infrared loss. We settled on the chalco-genide Ge2Sb2Te5 (hereinafter GST) which has the additional advantage that it can exist in an amorphous or crystalline phase and makes it possible to study photonic effects during the phase transition [29-33]. Reversible switching between phase states is nonvolatile [31] and can be achieved on the femtosecond time scale [32]. Owing to these flexibilities, GST can be used as an active material in storage devices and to tune many properties; applications include control of radiation, resonance characteristics of a nanoantenna, and wave-front switching, among other applications [33].

The importance of reducing material losses in structures with quasi-BICs was noted in a number of works [34-40]. In particular, for a number of materials this problem was discussed in Ref. [34]. All-dielectric photonic crystal structures that are able to sustain effective near-zero refractive index modes coupled to quasi-BIC have been investigated [35,36]. Unfortunately, materials with such extreme refractive indices for optical frequencies have not yet been realized and researchers have to deal with conventional materials with finite losses.

As far as we know, the fundamental questions of the formation of quasi-BICs in resonators with significant material losses have never been studied before. In particular, these questions directly relate to the choice of both the shape of the resonator and its material and the division of total losses into partial contributions to optimize resonant photonic regimes. This work is devoted to a detailed study of these key questions for modern photonics.

II. EXPERIMENT: COMPLEX REFRACTIVE INDEX

To numerically investigate the optical properties of GST and, in particular quasi-BICs, it is necessary to know the complex permittivity e = e' + ie" (where e' = Ree, e" = Ime) for the crystalline and amorphous phases. These parameters can be determined on the basis of the experimentally measured complex refractive index N = n + ik, where n is the -refractive index and k is the extinction coefficient. These measurements were carried out on two GST films prepared by laser electrodispersion technique [41], which were amorphous GST films with a thickness of ~50nm on a quartz substrate, ground from the back side. To obtain the GST film in the crystalline state, one of the samples was annealed at 170 °C for 1 h. The ellipsometric spectra were collected at room temperature at different angles of incidence using a J.A. Woollam M-2000 ellipsometer. The processing of the obtained ellipsometric data was carried out using the supplied completeease software. To determine the complex refractive index [Figs. 1(a) and 1(b)], the standard model of an absorbing film on a semi-infinite quartz substrate was used. It can be seen that the crystalline phase has higher values of n and k than the amorphous phase, which corresponds to the differences in the chemical bond in GST before and after the phase transition [42,43]. Note that the spectral dependencies of the optical constants n and k for the GST films obtained under our technological conditions are in reasonable agreement with the literature data [44]. Based on these data, the spectral dependencies of the complex dielectric permittivity of GST

FIG. 1. Experimentally measured by the method of ellipsometry complex refractive index N = n + ik, n is refractive index, k is extinction coefficient) of the GST film in crystalline (a) and amorphous (b) phases. Calculated complex permittivity e = e' + is" of the GST film in crystalline (c) and amorphous (d) phases.

in the crystalline and amorphous phases were calculated as e = N2, thus Ree = n2 — k2 and Ime = 2nk, Figs. 1(c) and 1(d). Here, we will analyze the photonic properties of GST at the telecommunication wavelength 1.5 дт, at which the dielectric constant of the crystalline phase is 41.6 + ¿17.5, and that of the amorphous phase is 19.0 + ¿0.42.

III. CALCULATION METHOD

We present the results of a study of photonic peculiarities in the region of quasi-BIC in GST taking into account material losses. To study the transformation of quasi-BIC when the imaginary part of the permittivity changes from 0 (in the case of no material losses) to the experimentally obtained value, we used numerical calculations, which provide key information about the optical spectrum with resonant frequencies of eigenmodes and mode Q factors. For the amorphous phase, we performed systematic calculations for a large set of ideal dielectric cylindrical and ring resonators with a uniform dielectric permittivity e = e' + ie", where e' = 19.0, and e" varies from 0 to 0.42 with a step of 0.02. For the crystalline phase, we consider resonators with a uniform dielectric constant 41.6 + ¿17.5. The environment was vacuum evac = 1.

We have performed systematic calculations of the scattering cross section (SCS) of cylinders with an outer radius r and a length l, Fig. 2. In the rings, the ratio of the radii was constant and amounted to rin/r = 0.4. The r/l aspect ratio was varied in such a range to observe a certain quasi-BIC formed by the anticrossing of the two resonant modes TE0j1j2 and TE0j2>0. The results of the study of such a quasi-BIC in a cylinder with e = 80 + ¿0 are presented in Ref. [21], where the standard nomenclature [45] of modes of a cylindrical resonator TEmsp and TMmAP is used. In these notations, m, s, p are the indices denoting the azimuthal, radial, and axial indices, respectively. Only the modes with the same azimuthal index m could interact and we consider the case m = 0. We consider a scenario in which the structures are illuminated by a linearly polarized plane wave, the electric

FIG. 2. TE-polarized waves incident on a dielectric cylindrical resonator (a) and ring resonator (b) with complex dielectric permittivity e = e' + is". The structures are placed in the vacuum, e2 = 1. Parameters of dielectric resonators: outer radius r, inner radius rin, and length l.

field is linearly polarized in the plane perpendicular to the axes of the cylinder and ring (TE polarization). For generality, when demonstrating the results, we use the normalized size parameter x = kr = rw/c = 2n r/X being a product of the wave number k and outer radius r.

All the computations of SCS were performed in the frequency domain using the commercial software comsol. In order to obtain sufficiently accurate solutions by numerical methods a physics-controlled mesh with the "extremely fine" option was used to capture the geometric details and to resolve the curvature of resonators boundaries.

IV. SCATTERING CROSS SECTION FOR CYLINDRICAL AND RING RESONATORS OF Ge2Sb2Te5 IN AMORPHOUS PHASE

As demonstrated earlier in the cylinder as well as in the ring [21-23], there are two types of modes with different behavior depending on the aspect ratio r/l. The modes of the first type are formed mainly due to reflection from the side wall, and they are associated with the Mie resonances of an infinite cylinder. Accordingly, Mie-type modes exhibit a small frequency shift with a change in the length of the structure. The modes of the second type are formed mainly due to reflection from two parallel faces of the cylinder or ring, and they could be associated with the Fabry-Perot modes. The

FIG. 3. Calculated spectra of the normalized SCS (for harmonic m = 0) for cylindrical (a)-(c) and ring (d)-(f) GST resonators in amorphous phase as a function of aspect ratio r/l in the regions of avoided crossing regime between the Mie-type TE0j2j0 and Fabry-Perot-type TEo,1,2 modes. The spectra marked in blue correspond to quasi-BIC. For the lower and upper spectra, the modes corresponding to the Mie and Fabry-Perot resonances are marked, with the modes corresponding to the low-frequency branch marked in green, and those corresponding to the high-frequency branch in red. For a cylinder, SCS spectra are given in the range 0.58 ^ r/l ^ 0.82 with a step of 0.02, for a ring in the range 0.79 ^ r/l ^ 0.91 with a step of 0.01. Curves are shifted vertically by 2 a.u. The two left panels correspond to the permittivity 19 + i0, the two central panels correspond to 19 + i0.20, and the two right panels correspond to 19 + i0.42. Normalized size parameter x = kr = rw/c = 2nr/X. TE-polarized incident wave. The dielectric permittivity of each of the structures is indicated above the corresponding panel. The structures are placed in the vacuum, e2 = 1.

FIG. 4. Calculated SCS spectra of the cylinder and ring for the aspect ratios r/l corresponding to quasi-BIC (blue line) (Fig. 3), and their decomposition into two contours corresponding to the low-frequency (green line) and high-frequency (red line) branches. The two left panels correspond to the permittivity 19 + i0, the two central panels correspond to 19 + i0.20, and the two right panels correspond to 19 + i0.42. Normalized size parameter x = rrn/c. TE-polarized incident wave.

Fabry-perot-type modes demonstrate a strong shift to higher frequencies with increasing aspect ratio. Due to the different spectral shift of Mie and Fabry-perot modes depending on the length of the structure l, for a fixed outer radius r, they should intersect at certain points in the parameter space (r/l, x). The modes with the same azimuthal index m interact and demonstrate strong coupling the avoided crossing regime at special values of the r/l parameter. Coupling creates a point of avoided crossing behavior, with the high-frequency line nearly disappearing in the scattering spectra. The dramatic decrease in line intensity is the result of interference outside the resonator in accord with the Friedrich-Wintgen theory of BIC states. In addition, a complex interference between narrow lines and a wide background should be noted, which leads to Fano resonances [46] with asymmetric profiles of all quasi-Mie and quasi-Fabry-perot lines.

Figure 3 shows the SCS spectra of cylinders and rings in the avoided crossing regions of the TE0,2,0 and TE0,1,2 modes at three values of the dielectric permittivity 19.0 + i0, 19.0 + i0.20, and 19.0 + ¿0.42. The latter value corresponds to amorphous GST. The spectra for the case of zero material losses [Figs. 3(a) and 2(d)] clearly demonstrate that the distance of closest approach of the two lines occurs in the region r/l = 0.70 for a cylinder and 0.85 for a ring. This is the region of origin of the quasi-BIC and it practically does not change with the addition of material losses for both the cylinder and the ring. It is clearly seen that with an increase in material losses, the intensity of both lines significantly decreases, while the half-width of the lines does not undergo dramatic changes.

V. EFFECT OF MATERIAL LOSS

Earlier, in a series of works, the Fano resonance in the scattering spectra of individual dielectric particles of various shapes was theoretically analyzed and experimentally demonstrated [46,47]. In particular, this concerns cylinders and rings, in the spectra of which a series of Fano resonances were observed, caused by the interference of two waves—the emitted resonant mode and nonresonant scattering on the whole object [48-50]. Fano resonance is observed as a result of the interference of two states, one of which is spectrally narrow and the other is wide when both states are excited by some external source. Note that there is a direct relationship between the Friedrich-Wintgen quasi-BIC and Fano resonances, since these two phenomena are associated with the same physical effect of wave interference. To analyze precisely the quasi-BIC, we examine in detail the calculated SCS spectra from

Fig. 4 by decomposing them into two Fano profiles:

SCSM = + ' (1)

where q1>2 is the Fano parameter, = 2[w — (&>o)1j2]/r1j2, where r1>2 and (&>0)1j2 are the resonance width and frequency respectively for the two resonant modes. The Fano profile is generally asymmetric and determined by the parameter q, which is the only new feature in the Fano profile in comparison with the Lorentzian profile. The position of the quasi-BIC is determined by the maximum Q factor of the line and corresponds to the Fano parameter q ^to [21,22]. At this value,

FIG. 5. (a), (e) Calculated frequencies of the TE0j1j2 and TE0j2j0 modes in the avoided crossing regions for the cylinder and the ring as a function of its aspect ratio. Dependencies of the total quality factor Qtot of the high-frequency branch (red) and low-frequency branch (green) on the aspect ratio for the cylinder (b)-(d) and ring (f)-(h) for three values of the dielectric permittivity. TE-polarized incident wave, normalized size parameter x = ra/c.

the Fano line shape becomes a symmetric Lorentzian function and the resonance does not couple to the continuum of states.

The results of the decomposition of the spectra are shown in Fig. 4 for a cylinder and a ring at three values of the dielectric permittivity. If one looks at the SCS spectra corresponding to the material loss in amorphous GST [Figs. 4(c) and 4(f)], then it seems that the high-frequency mode has become completely invisible. Although it does indeed resemble a dark state, the accurate decomposition of the SCS spectrum into two Fano contours allows one to observe a clear symmetric Lorentzian line corresponding to the quasi-BIC. From Fig. 4, we obtain an important result: with an increase in material losses from 0 to 0.42, the low-frequency peak almost does not change in amplitude, while the high-frequency peak corresponding to the quasi-BIC decreases in amplitude by approximately two orders of magnitude. Moreover, the decrease in the quasi-BIC amplitude in the spectrum of the cylinder is stronger than in the spectrum of the ring.

Figure 5 demonstrates further results of processing the SCS spectra. Outside the avoided crossing regime the frequency

FIG. 6. Calculated dependencies of the total quality factor Qtot of the high-frequency branch (red) and low-frequency branch (green) on the material losses for the cylinder (a) and ring (b).

shifts of both Mie and Fabry-Perot modes are well described by a linear law. As the frequencies approach each other, a classical resonance picture of the formation of quasi-BIC according to the Friedrich-Wintgen mechanism is observed. It should be noted that the position of both peaks practically did not change and the value of the minimum splitting (Rabi splitting) did not change when the imaginary part of the permittivity e" changed from 0 to 0.42. Therefore, in Fig. 5, we present the frequency dependencies only for e" = 0.

In the avoided crossing region [Figs. 5(a) and 5(e)], the total quality factor Qtot of the high-frequency branch increases sharply, reaching in the quasi-BIC regime a value of 608 for a cylinder and 332 for a ring in the absence of losses in both resonators. As a result of the interaction of two modes, the low-frequency branch demonstrates the opposite behavior, namely, its Qtot factor has a minimum in the quasi-BIC aspect ratio region. Note that the quasi-BIC regions of the cylinder and the ring are observed at different values of the aspect ratio.

The obtained results enable us to analyze the influence of material losses on the total quality factor Qtot of the quasi-BIC in the strong coupling regime. Figure 6 shows the dependence of the factor Qtot of the high-frequency and low-frequency modes at the frequency corresponding to the quasi-BIC, depending on material losses, the level of which is determined by the value of the imaginary part of the dielectric permittivity. It can be seen that the Q factor of the high-frequency mode strongly depends on material losses, while the Q factor of the low-frequency mode in the scales shown in Fig. 6 does not practically change. The total Q factor is determined by both radiation and material losses and is expressed as [22]

'Srad + Qmat

Q-1 = Qm