Устойчивость и несущая способность скошенных композитных панелей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Гайдаржи, Юрий Васильевич

• Гайдаржи, Юрий Васильевич
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Гайдаржи, Юрий Васильевич

Содержание

Стр.

Введение

1. Обзор исследований по устойчивости и несущей способности панелей

2. Основные соотношения механики тонкостенных композитных конструкций

2.1 Постановка задачи

ЗТ Т « V-» и

Устойчивость панелей с симметричнои структурой армирования

слоев

3.1 Устойчивость скошенных панелей

3.2 Критические усилия сжатия при изолированном нагружении

3.3 Критические усилия сдвига при изолированном нагружении

3.4 Комбинированное нагружение композитной панели

4. Закритическое деформирование слоистых симметричных панелей

4.1 Закритическое деформирование скошенных панелей

4.2 Закритическое деформирование панелей при осевом сжатии

4.3 Закритичесоке деформирование панелей при сдвиговых нагрузках

4.4 Закритическое деформирование панелей в случае комбинированного

нагружения

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость и несущая способность скошенных композитных панелей»

Введение

Металлические подкрепленные и неподкрепленные панели в настоящее время широко распространены в самолёте- и судостроении. Их применяют как в силовых элементах конструкции, так и в не силовых (в перегородках, в элементах декора и.т.д.) При этом панели могут иметь различные в плане геометрические формы: ромбовидные, треугольные, трапециевидные и т.д. Существует достаточно много публикаций, связанных с прочностным анализом традиционных панелей прямоугольной формы и практически отсутствуют данные по оценке несущей способности панелей косоугольной формы. Кроме традиционных изотропных материалов в аэрокосмической технике получили применение высокопрочные и высокомодульные композиционные материалы на основе углеродных, борных и других типов волокон, полимерных и керамических матриц. Имеющийся ограниченный опыт внедрения композитных панелей в конструкции самолетов показал, что их прочность, устойчивость и несущую способность при сжатии и сдвиге трудно прогнозировать существующими расчётными методами, а типичные для композитов локальные разрушения в значительной степени ограничивают выигрыш в эксплуатационных характеристиках по сравнению с металлами. Поэтому композиты в настоящее время используются, в основном, в тонкостенных элементах, работающих до потери устойчивости. Широкое применение композиционных материалов в скошенных тонкостенных элементах авиационной и космической технике связано с актуальной проблемой разработки прикладного метода расчета на устойчивость и несущую способность панелей с различными вариантами подкрепления контура при сжатии, сдвиге и комбинированном нагружении, а также поиском структур армирования, реализующих высокие удельные жесткостные и прочностные характеристики современных композиционных материалов.

Целью работы является разработка прикладного метода определения устойчивости и несущей способности скошенных слоистых композитных

панелей с различными граничными условиями на контуре при сжатии, сдвиге и комбинированном нагружении.

Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены следующие задачи:

- разработать прикладной метод определения устойчивости и несущей способности скошенных слоистых композитных панелей при сжатии, сдвиге и комбинированном нагружении с произвольными граничными условиями на контуре;

- исследовать влияние углов скоса, схем армирования и граничных условий на критические усилия устойчивости композитной панели при действии сжимающих и касательных усилий;

- из условия максимума критических усилий определить рациональные структуры армирования скошенных слоистых панелей;

- оценить найденные структуры армирования по несущей способности панели после потери устойчивости.

Научная новизна работы определяется:

- соотношениями механики скошенных систем;

- методом решения обобщенной задачи на собственные значения для скошенных слоистых систем;

- разработанным методом решения геометрически нелинейных задач в конечных разностях без использования фиктивных точек;

- найденными закономерностями между геометрией контура панели, структурой армирования слоев, граничными условиями и критическими, и разрушающими усилиями для скошенных слоистых композитных панелей.

Практическая значимость работы определяется

- предложенным энергетическим методом решения задачи устойчивости скошенной панели, опирающимся на модифицированные балочные функции и позволяющим находить критические усилия сжатия и сдвига композитных панелей;

- способом решения задачи о закритическом деформировании слоистых панелей с произвольными граничными условиями в конечных разностях;

- проведенными исследованиями влияния углов скоса, структуры армирования композитных слоев и видов граничных условий на устойчивость и закритическое деформирование панелей при изолированном нагружении сжимающими и касательными усилиями, и при одновременном действии сжатия и сдвига;

- найденными из условия максимума критических усилий сжатия и сдвига рациональными структурами армирования;

- оценкой несущей способности композитных панелей, находящихся в условиях закритического деформирования при сжатии, сдвиге или комбинированном нагружении.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием общепринятых соотношений строительной механики тонкостенных конструкций и механики композитов, известными численными методами и подтверждается сопоставлением теоретических результатов с опубликованными данными.

Апробация работы. Основные результаты исследования, изложенные в диссертации, докладывались на:

-XXXVII Международной молодёжной научной конференции «Гагаринские чтения», Москва,5-8 апреля 2011г.

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации изложены в четырёх публикациях, в том числе две статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка цитируемой литературы из 101 наименования. Общий объем диссертации - 111 страниц, включая 202 рисунка и 11 таблиц.

1. Обзор исследований по устойчивости и несущей способности панелей

Тонкостенные элементы конструкций в виде гладких и подкрепленных панелей уже в течение нескольких десятилетий являются объектами многочисленных исследований в области механики твердого тела. Постоянный интерес связан с применением этих конструкций в авиационной и космической технике, в судостроении. В связи с ростом скоростей летательных аппаратов, тенденции к повышению их весовой эффективности появилась необходимость в использовании новых типов материалов, обладающих высокими характеристиками по прочности и жесткости. Такими материалами являются композиционные материалы (КМ), представляющие собой гетерогенные структуры, образованные сочетанием армирующих элементов и изотропного связующего. Эти материалы обладают целым рядом свойств в сравнении с металлическими. Прежде всего, это высокая удельная прочность, в 4-5 раз превышающая удельную прочность стали, титановых сплавов и алюминия, высокая коррозионная стойкость и циклическая прочность. С каждым годом наблюдается тенденция в развитии механических характеристик таких материалов (рис. 1.1) .

В последнее время все шире стали использовать КМ и в силовых элементах конструкции: в панелях крыльев, киле, стабилизаторах, элеронах и т.д. (рис. 1.2). При этом форма геометрии их может быть разнообразной: прямоугольная, ромбовидная, треугольная, трапециевидная.

Прочность, МПа

Модуль упругости, ГПа

270

21С

"231Г

15С

• ¡1 •' ш _

жгуты ленты ткани □ ожидаемые в 2012 г.

Щ минимальные к 2016 г. (уровень Т-700 и М46.Г) г-1 эконом-класс, требуемые к 2016г. (типа УТ-900)

жгуты

ТЯГ

ленты ткани

Рис. 1.1 Технические характеристики КМ

Крыло В-787

Рис. 1.2 Композиты в конструкциях оперения

И по сегодняшнее время существует большая необходимость в разработке новых методов расчета по нахождению напряженного состояния, критических и разрушающих нагрузок таких панелей. Большая задача стоит и по определению оптимального распределения материала в конструкции, с которой неразрывно связаны проблемы устойчивости, прочности и несущей способности.

Интерес отечественных ученых в теории слоистых пластинок и оболочек проявился еще в конце сороковых годов. В публикациях С.А. Амбарцумяна (1948, 1949), А.П.Прусакова (1949), а также во многих работах других авторов за основу построения расчетных соотношений была принята система гипотез Кирхгофа - Лява для целого пакета. Во многих случаях действительно можно было получить приемлемые результаты по такой системе. При существенно различных упругих свойствах отдельных слоев все же напрашивается исследование по созданию адекватной расчетной модели.

Проблемы и результаты расчета слоистых оболочек освещены весьма подробно также в монографии и обзорах С. А. Амбарцумяна (1961, 1962, 1964), а достаточно богатый к этому времени справочный материал по формулам расчета и экспериментам — в книге А. Я. Александрова, Л. Э. Брюкнера, Л. М.

Куршина и А.П. Прусакова(1960).

Вопросы устойчивости анизотропных пластин разрабатывались С.Г.Лехницким (1941-1947) и С. А. Амбарцумяном (1961). Нелинейные уравнения анизотропных многослойных оболочек при произвольном нагреве, с использованием гипотезы прямых нормалей в каждом слое, приведены Э. И. Григолюком и П. П. Чулковым (1965).

Обширная литература посвящена устойчивости трехслойных пластин с мягким и жестким заполнителями: А. П. Прусаков (1951), Э. И. Григолюк (1957, 1958), Л. М. Куршин (1958), А. Я. Александров, Л. Э. Брюккер, Л. М. Куршин и А. П. Прусаков (1960), А. В. Иванов (1964). Э. И. Григолюк (1957, 1958) при построении геометрически нелинейной теории трехслойных оболочек симметричной структуры исходил из предположений, что в отношении среднего слоя применимы гипотезы Тимошенко, а внешний слой следует гипотезам Кирхгофа — Лява. Прогибы всех слоев принимались равными. Обобщение этих результатов на оболочки несимметричной структуры дал X. М. Муштари (1961). Слабым местом этого варианта теории является предположение о том, что вектор поворота нормали у крайних слоев одинаков и равен градиенту прогиба.

Устойчивость биметаллических пластин рассматривалась Э. И. Григолюком (1953). Теория многослойных пластин, состоящих из чередующихся жестких и мягких слоев, была дана В. В. Болотиным (1963); теория была применена к расчету пластин на общую и локальную устойчивость Л. П. Помази (1965) и Е. Н. Синицыным (1966).

Большой вклад в разработку новых методов расчета и проектирования конструкций из КМ внесли С.А.Амбарцумян, Н.А.Алфутов, Г.А.Ванин, В.В.Васильев, А.Н.Елпатьевский, В.А.Бунаков, Н.В.Баничук, А.А.Дудченко, В.И.Королев, Я.М.Григоренко, И.Ф.Образцов, П.А.Зиновьев, С.Н.Сухинин, В.Д.Протасов, Ю.В.Немировский и другие.

В монографиях В.В.Васильева [16], И.Ф.Образцова, В.В.Васильева, В.А.Бунакова [37], Obraztsov J.F., Vasiliev V.V. [74], Н.А.Алфутова, П.А.Зиновьева, Б.Г.Попова [7] сформулированы теоретические основы проектирования оптимальных композитных конструкций, найдены важные для практического приложения оптимальные структуры укладки волокон цилиндрических оболочек, баллонов давления, панелей и других конструкций. В 1967 году А.А.Буштырков [14] исследовал устойчивость и закритическое напряженно-деформированное состояние квадратной пластины из стеклопластика при одноосном сжатии. Свои результаты он подкрепил экспериментальными данными. Несколько позже экспериментом и аналитическим исследованием механизма процесса потери устойчивости при продольном сжатии многослойных прямоугольных панелей занимались Suemasu Hiroshi, Kumagai Tatsuya, Gozu Katsuhisa [93] , Drapier S., Rahier O., Daridon L., Grandidier J.-C., Potier-Ferry M. [49]. Аналогичная работа была представлена Tuttle M., Singhatanadgid P., Hinds. G [97], но в случае биосевого нагружения в плоскости. Для замеров величин перемещений были использованы механические датчики и оптический метод муаровой интерферометрии.

Влиянием жесткостных характеристик на амплитуду прогиба пластины при сжатии занимались С.А.Корзон [28] , Biggers Sherrill В., Srinivasan Sundar [46] при различных сочетаниях граничных условий. Подобная задача рассмотрена в статье M. Stein [92], где оценивалось влияние параметров на деформации и кривизны. Если для критических усилий определяющим параметром является жесткость пакета, то в закритической стадии деформирования пластины влияние амплитуды прогиба на деформации и кривизны становится соизмеримым, а при некоторых структурах пакета и уровнях нагружения и более существенным. Prabhakara М.К. [78], Chia С.Y. [79] пошли дальше. В своих работах они исследовали влияние геометрических и жесткостных свойств пластин из различных КМ (стеклопластик, боропластик и углепластик)

на амплитуду прогиба и изгибные напряжения при различных сочетаниях продольного сжатия и поперечного давления. Несколько позже в статье [80] была рассмотрена слоистая панель с ограниченным числом слоев в поперечном пакете ( к<6 ) при двухосном сжатии. Были найдены зависимости для относительного прогиба анизотропной пластины с углами армирования слоев а = +45° и ортотропной - с углами армирования а =±45°, показавшие, что критические усилия и закритические прогибы анизотропных панелей ниже аналогичных величин ортотропных. Сравнение безразмерного прогиба w/h при одинаковом уровне нагружения для а = 0°, 15°, 30°, 45° позволило сделать вывод о том, что по мере увеличения числа слоев амплитуда прогиба уменьшается.

Э.М.Гинесина [19] в своих исследованиях изучала большие прогибы ортотропных пластин с несмещающимися продольными кромками при поперечном давлении. Задача решалась методом конечных разностей. Было показано, что для сравнительно толстых панелей при незначительном нагружении расчет можно производить в геометрически линейной постановке. В статье Васильева В.В., Войткова Н.И. [17] при исследовании проблемы устойчивости композитных тонкостенных конструкций показано влияние эффекта несмещающихся продольных кромок на величины критических усилий сжатия. Сжатые в осевом направлении панели с такими кромками находятся, по существу, в условиях двухосного сжатия. Этот эффект тем сильнее проявляется, чем выше коэффициенты Пуассона. В работах Лопатина A.B. [32], Darvizeh М., Darvizeh A., Ansari R., Sharma С. В. [48], Singh Gajbir, Rao Y.V.K. Sadasiva [87] были проанализированы зависимости параметра устойчивости от особенностей строения КМ ( геометрические размеры, жесткостные свойства, структура армирования ), граничных условий и условия нагружения. Установлено, что при простом креплении квадратной пластины несимметричного КМ нагрузка потери устойчивости резко возрастает с увеличением количества слоев; при количестве

слоев более 6 решение приближается к ортотропному случаю. Для двухслойных пластин нагрузка потери устойчивости максимальна при продольном расположении волокон и минимальна - при поперечном; для КМ из 4 и 6 слоев параметр устойчивости максимален при чередовании слоев ±45°. Отмечены тенденции зависимостей сопротивления потери устойчивости от модулей и от параметра толщины пластин. На основе трёхмерной линеаризованной теории устойчивости Чехов Вик. Н. и Шаповалова А.И. [42] установили, что при увеличении количества слоев в пакете зависимость между параметрами нагружения и волнообразования может принимать немонотонный характер.

Рябовым В.М., Паршиной J1.B., Ярцевым Б.А. [40] разработаны алгоритмы расчета прочности, устойчивости, и диссипативно-жесткостных характеристик слоистых анизотропных пластин. Это позволило на основе метода Ритца со специальными координатными функциями:

1) свести задачу определения НДС к решению системы линейных алгебраических уравнений; 2) вычислить величину критического параметра нагрузки на основе решения алгебраической задачи на собственные значения. В реферате [8] были представлены результаты теоретических и численных исследований многослойных анизотропных оболочек и панелей. Дана оценка влияния на характеристики НДС и критические параметры устойчивости таких факторов, как поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали, моментность основного равновесного состояния, докритические деформации. Авторами предложен и реализован метод численного решения краевых задач неклассической теории многослойных оболочек, основанный на идеях инвариантного погружения.

Ряд работ был посвящен определению критических усилий в случае приложения сдвиговых нагрузок, а также комбинированного нагружения. Методом конечных элементов Baker Donald J. [44] исследовал прочность и устойчивость панелей из КМ, испытывающих сдвиг в своей плоскости.

Полученные результаты он сопоставил с экспериментом.

Значения коэффициентов устойчивости при сдвиге с различными геометрическими и жесткостными параметрами для шарнирно опертой прямоугольной пластины были получены Азиковым Н.С., Васильевым В.В., Патерекасом А.Д. [2]. В более поздней статье Азиков Н.С. [1] рассмотрел задачу комбинированного нагружения. В качестве аппроксимирующих функций по прогибу был выбран двойной тригонометрический ряд. В 2005 году авторами Timarci Tañer, Aydogdu Metin [96] был представлен расчет определения коэффициентов устойчивости слоистых тонкостенных конструкций при трех видах нагрузок и различных закреплениях. В решении использовалась сдвиговая теория пластин высокого порядка. В качестве аппроксимирующих функций для прогиба были заданы двойные ряды из алгебраических полиномов. Василевский В.В., Юхневский A.A. [15] в своей статье получили критические параметры свободно опертой панели при сложном комбинированном нагружении. Полная потенциальная энергия записывалась с учетом принятой гипотезы Кирхгофа-Клебша. Зависимость степени влияния поперечных сдвигов на результаты расчетов устойчивости от вида нагрузок при комбинированном нагружении и конкретной укладки монослоёв в пакете было установлено Иерусалимским К. М., Фомином В. П. [25].

Кроме решения задач, связанных с определением точек бифуркаций, ученые пытались анализировать и посткритическое состояние панели. В статьях Y.Zhang, F.L.Matthews [100] и Singh S.B., Kumar Ashwini [88] изучается закритическое деформирование однородных анизотропных пластин при сжатии и сдвиге. При анализе сходимости решения для прогиба показано, что учет 25 членов ряда дает приемлемый результат. Отмечено, что для анизотропных пластин не выполняется условие безмоментного опирания, а величина критического усилия зависит от направления действия сдвигающего

усилия. Авторы отмечают, что наилучшими характеристиками обладают панели, слои которых при сдвиге растягиваются.

Li Qi, Zhang Jianwu, Shu Yongping [70] в своей работе провели анализ потери устойчивости и показателей закритического поведения после выпучивания при сдвиге панелей. На основе теории возмущения определены критические усилия и разрушающие нагрузки. Shen Hui-Shen [86] рассмотрел ту же задачу, но при различных граничных условиях. Модель подвергалась совместному действию механических, электрических и термических нагрузок.

Методом конечных элементов определялись разрушающие нагрузки в публикациях Noor А.К., Starnes J.N. (Jr), Waters W.A. (Jr) [73], Engelstad S.P., Reddy J.N., Knight N.F. [51] . Исследовано влияние порядка укладки слоев на критическое напряжение и поведение пластины после потери устойчивости. Анализом несущей способности панелей из КМ в своих трудах занимались также такие авторы, как Hui D. [55], Arnold R. R., Mayers J. [43], Taki Toshimi, Kitagawa Tomohiro [94], Wu Jiancheng, Pan Lizhou [99], Бойко В.П., Попов Б.Г. [13], Митрофанов О.В. [34], Гришин В.И. [21].

Нередко встречаются работы, связанные с оптимизацией панели, у которых в качестве целевых функции рассматривалось условие минимальной массы, и действовали ограничения по прочности и устойчивости. К таким можно отнести следующие статьи: Joshi S.P. [57], Никифорова А.К. [35], Tvergaard V. [98], Карпова Я.С. [27], которые показали, что в зависимости от характера и величины нагрузок, оптимальными являются структуры [0], [90], [0, 90], [±о], [±ol, ±ст2], [0, ±о], [90, ±ст], [0, 90, ±а].

С помощью метода конечных элементов (МКЭ) Singha Maloy К., Ramachandra L.S., Bandyopadhyay J.N. [89] была попытка решить задачу весовой оптимизации, используя 10 переменных проектирования. Решение представлено для двух видов закреплений.

Авторами рассматривались также задачи поиска рационального распределения материала для панелей, усиленных ребрами жёсткости.

Решением задачи определения НДС, оптимальной по устойчивости прямоугольной пластинки из КМ после потери устойчивости, занимались Peng Mao-hua, Sridharan Srinivasan [76], Белубекян Э.В. [12].

В статье Крысько В.А., Бочкаревой Т.А. [31] рассматривалась задача весовой оптимизации ребристой пластины, НДС которой определялось с учетом физической и геометрической нелинейности. При этом ребра жёсткости располагались симметрично относительно её срединной плоскости . Edwards D.A., Williams F.W., Kennedy D. [50] провели сопоставление оптимальных конструкций подкреплённых авиационных панелей, найденных по критерию минимальной стоимости и критерию минимальной массы. Были показаны преимущества как одних, так и других панелей.

Авторы Андриенко В.М., Белоус В.А. [9] представили методику определения рациональных параметров композитных панелей крыла, обеспечив их минимальный вес при удовлетворении требований прочности и устойчивости.

Наряду с прямоугольными, широкое распространение получили панели других форм, в частности, ромбовидные, трапециевидные. Скошенные металлические пластины являются основными силовыми элементами кессонов крыльев и килей пассажирских и военных самолётов, обшивок авиационных и космических летательных аппаратов.

В механике сплошной среды для исследования процесса деформирования бесконечно малого элемента Б.Н.Новожиловым [36], а позднее и А.А.Ильюшиным [26] использовались эйлеровы и лагранжевы криволинейные координаты, в которых определялись компоненты ковариантных и контравариантных тензоров деформаций и напряжений. Частным случаем криволинейных координат являются координаты косоугольного базиса. Тензоры деформаций в косоугольном базисе даны А.И.Лурье в приложении к монографии [33]. Основные результаты по исследованию изгиба, устойчивости и колебаний изотропных пластин сложной формы, которые были получены к середине 60-х годов XX века, обобщены в справочнике [39]. В частности, для

определения изгибных форм колебаний панелей в виде параллелограмма использовалось дифференциальное уравнение, записанное через оператор Лапласа в координатах ^ =х,- х21%а; ¿;2 = х2 вес а . Дифференциальный оператор Лапласа в косоугольном базисе имеет вид

А = sec2 а

{ д1 „ . а2 а2 л

-2sina--ь-

д%2 j

Форма прогиба задавалась в виде балочных функций для соответствующих краевых условий. Более поздние исследования других авторов показали, что для скошенных панелей не выполняются статические граничные условия, поэтому при построении решения методом Ритца использовался функционал энергии. В отчёте S.Kitipornchai, Y.Xiang, C.M.Wang [68] при исследовании влияния углов скоса, относительной толщины и соотношения сторон на коэффициенты устойчивости при осевом сжатии изотропной пластины Миндлина в форме параллелограмма использовался функционал энергии, записанный в косоугольном базисе 3-yL\T[B\eL\dV+lcj\TleN\dV,

V V

где \_sL J - вектор линейных деформаций; [5] - матрица упругих коэффициентов; [<т_|7 - вектор напряжений; |_¿-v J - вектор нелинейных деформаций. Метрические свойства пластины определялись координатами <^ = x-ytga; r¡ = y sec а, с помощью которых находились кривизны в косоугольном базисе \_С] =L_W« ~2w$ri[ • Компоненты вектора связаны с кривизнами в

ортогональном базисе формулами wxx= wM cos а, wyy= -wM sin a + wnt]. Решение строилось при прогибе, задаваемом полиномами вида f¡ =£V(cos27r#) + £V(sin2 щ) ■ Были найдены коэффициенты устойчивости Щ

для различных случаев опирания пластины: шарнира, защемления, свободного края, упругого основания. Отмечалось, что с увеличением угла скоса возрастает коэффициент устойчивости. В тоже время с увеличением относительной

толщины пластины h=h/b коэффициент к: заметно снижается. J. Kennedy [62],

Ng.Simon [63], [64], М. Prabhakara [65] провели исследования нелинейного деформирования металлических и композитных трапециевидных пластин при сжатии. Авторами использовался метод малого параметра. В статье [62] было определено влияние угла скоса пластины на амплитуду прогиба и НДС пластины при нелинейном деформировании. Отмечено, что при одном и том же уровне нагружения с увеличением угла скоса амплитуда прогиба уменьшается. Максимальные усилия в пластине распределены вдоль длинных сторон и имеют пики у тупого угла. Однако последующие экспериментальные результаты, полученные на металлических пластинах с углами скоса 55° и 30°, и опубликованные в [64], этого не подтвердили. Результаты замеров показали, что усилия у кромок постоянны. K.Pandalai, V.Sathyamoorthy [75] методом Бубнова-Галёркина при одночленной аппроксимации функции прогиба исследовали деформирование сжатых ортотропных косоугольных тонкостенных конструкций после потери устойчивости, защемлённых по всем сторонам. М.А.Файзуллина [41] провела изучение нелинейного поведения пластин и пологих оболочек со сложным контуром, составленных из прямоугольников, при сжатии, сдвиге и комбинированном нагружении. В отличие от прямоугольных панелей в таких тонкостенных конструкциях сразу возникает моментное напряженное состояние, и с ростом уровня нагружения возрастает величина прогиба. Определяющим для пластин и пологих оболочек со сложным контуром является направление действия касательных усилий. Оно влияет как на НДС панелей, так и на величину минимального собственного значения, и форму волнообразования. М.С.Корнишин и Ф.С.Исанбаева [30] исследовали большое число панелей такого типа с помощью метода конечных разностей. Золотухин Н.О., Кудинов Ю.В. [24] исследовали устойчивость прямоугольной и трапециевидной пластинки с двумя свободными краями линейно изменяющейся конфигурации при сдвиге. К закреплённым сторонам приложены сдвигающие усилия. Задача решается методом Бубнова-Галёркина,

а затем методом конечных разностей. Полученные результаты приводятся в виде собственных значений. Головановым А.И., Митряйкиным В.И., Угревским C.B., Насибулиным В.Г. [20] приведены результаты исследования устойчивости ортотропных косоугольных панелей при действии на них равномерного внешнего давления при различных граничных условиях. Для определения критических нагрузок и соответствующих им собственных форм потери устойчивости использовался метод МКЭ. Аналогичный метод использован Manne Philippe M., Tsai Stephen W. [72] для проведения многоцелевой оптимизации композиционных трапециевидных пластин. Radloff Hal D., Hyer M.W., Nemeth M.P. [81] рассматривали тонкие трапециевидные пластинки под действием нагрузок, приложенных к параллельным защемленным сторонам. При этом две другие стороны либо свободны, либо свободно оперты. Решение задачи устойчивости получено методом Релея-Ритца с использованием принципа Трефтца, в котором в качестве аппроксимирующих функций использованы тригонометрические ряды. Полученные результаты сравниваются с МКЭ и с результатами экспериментов. Kolakowski Zbigniew с соавторами [69] провели оценку несущей способности на основе анализа показателей закритического поведения трапециевидных тонкостенных композитных панелей с начальными несовершенствами под действием постоянного изгибающего момента или осевой сжимающей силы. Проанализировано влияние ортотропности композитных конструкций рассматриваемых типов на величину критических нагрузок и формы глобального и локального выпучивания. В работах [60], [59] для различных геометрических параметров и граничных условий, используя метод дифференциальных квадратур, проведен расчет на равновесие, устойчивость и свободные колебания панелей трапециевидных форм. Найденные решения сравниваются с результатами по другим численным методам анализа. Singha Maloy К., Ramachandra L.S., Bandyopadhyay J.N. [90] исследовали устойчивость и закритическое деформирование косоугольных композитных пластин при

осевом сжатии и однородном нагреве. Решение задачи осуществлялось с помощью метода конечных элементов. В матрице жесткости элемента учитывалась повреждаемость слоев композиционного материала.

Теоретические исследования по нелинейному деформированию пластин и пологих панелей нуждаются в экспериментальном подтверждении в отношении напряженного состояния и несущей способности. A.C. Вольмиром [18] проведены испытания прямоугольных алюминиевых панелей с отношением сторон а/Ь = 2. В ходе экспериментов было подтверждено теоретически найденное распределение напряжений. P.W. Sharman, J.Humpherson [85] определяли прогибы прямоугольных свободно опертых пластин при сжатии и равномерном давлении. В статье Lind N.C., Ravindra М.К., Sehorn G. [71] на основе обработки большого количества испытаний стальных пластин предложена эмпирическая зависимость для оценки несущей способности металлических панелей. J. Rhodes, J. Harvey, W. Work [82] провели большую серию испытаний пластин с начальными несовершенствами со свободно опертыми и защемленными краями. Были определены прогибы и найдены редукционные коэффициенты в зависимости от уровня начального прогиба. L.Ivanov, S.Rousev [56] при обработке экспериментальных значений редукционных коэффициентов использовали статистический метод. Karnikova I., Skaloud М., Janus К. [61] провели экспериментальные исследования устойчивости стальных подкрепленных продольными ребрами пластин при действии кусочно-распределённой краевой сжимающей нагрузки. Установлено, что наибольшее влияние продольных ребер на несущую способность пластин имеет место в случае их постановки вблизи областей нагружения. Эксперименты по определению несущей способности подкрепленных пластин были также выполнены Kishida М., Fujieda Y., Fujii К. [66] и Kitada Т., Nakai R., Furuta Т. [67]. N.Popescu-Castellin [77] использовал пластиковую модель для определения формы поверхности и амплитуды прогиба пластины при сжатии.

Приспособление имитировало шарнирное опирание с несмещающимися продольными кромками.

Кроме панелей изотропных материалов, эксперименту подвергались образцы из КМ.

W. Banks, J.Harvey [45] провели испытания ортотропных прямоугольных пластин при осевом сжатии. Было выполнено сравнение теоретических и опытных результатов по кривым взаимного сближения нагруженных кромок, величинам максимального прогиба и эпюрам мембранных, и изгибных напряжений. В работе Esong I.E. [52] описана измерительная система для экспериментального исследования процесса потери устойчивости и выпучивания при осевом сжатии слоистых композитных оболочек. Использована автоматизированная бесконтактная лазерная установка для трёхмерного сканирования деформации её стенок. Обеспечиваются измерения как начальных геометрических несовершенств, так и перемещения различных точек до и после выпучивания. Полученные опытные данные сравнивались со значениями деформаций, вычисленными по методу конечных элементов. Используя голографическую интерференцию, Heslehurst R. В., Vaughan М. J., Baird J. P., Clark R. [54] исследовали устойчивость при сжатии слоистых анизотропных пластин. Установлено, что в зависимости от вида и степени анизотропии меняется форма выпучивания отслоенной поверхности. В трудах Chia G. В., Banks W. М., Rhodes J. [47] представлены результаты испытаний углепластиковых тонкостенных конструкций. Были получены величины критических нагрузок и найдено распределение усилий после потери устойчивости при отсутствии расслоений и при их наличии. Автором Zhou Zhulin [101] проведено экспериментальное и аналитическое исследование характеристик предельной прочности в закритическом состоянии под действием продольного сжатия панелей со свободными кромками. Им были сообщены результаты испытаний на сжатие 283 образцов, выполненных из волокнистого стеклопластика, длиной 200 мм, шириной от 80 до 150 мм и

толщиной от 0.6 до 1.4 мм, с анализом основных четырех характерных форм разрушения. Полученные опытные данные сопоставлены с численными результатами расчёта предельной прочности.

Теоретические и экспериментальные результаты по композиционным пластинам, нагруженных сдвиговыми усилиями, рассмотрены в статьях А.К. Noor, J.H. Starnes, W.A. Water [73], Rouse M. [84], B.E.Kaminski, J.E.Ashton [58], Thomson Rodney S., Scott Murray L. [95]. Значения теории по критическим усилиям отличались от эксперимента в пределах 10%. В работах представлены фотографии поверхностей панелей после потери устойчивости.

Существуют работы по испытаниям элементов конструкций, подкреплённых ребрами жесткости. В статье G.Romeo [83] описываются результаты опытных исследований подкреплённых композитных панелей при сжатии и изгибе. Общая устойчивость панели определялась на основе устойчивости стрингеров, а местная - на основе обшивки. Джанхотовым С.О. [22], Falzon В. G. и его соавторами [53], J.H.Starnes, M.Rouse [91] представлены результаты экспериментального исследования работ на сжатие, подкрепленных ребрами тонкостенных панелей из KM. S. P. Engelstad, J. N. Reddy, N. F.Knight [51] обработали данные, представленные в статье [91], с целью определить наиболее адекватный критерий прочности. В качестве возможных рассматривались критерий максимальных напряжений и критерий прочности Цая-Ву. В результате сравнения с экспериментальными данными было установлено, что критерий максимальных напряжений дает верхнюю оценку несущей способности, а критерий Цая-Ву - нижнюю оценку.

Обзор публикаций показал, что имеющийся теоретический и экспериментальный заделы ограничиваются устойчивостью и несущей способностью изотропных, а также слоистых прямоугольных пластин и не охватывают значительную часть конструкций других форм из композиционных материалов, в частности, ромбовидных. Это и послужило

основной к началу новой работы, посвященной устойчивости и несущей способности скошенных панелей из КМ. По этой теме были опубликованы основные результаты [5], [4].

2,Основные соотношения механики тонкостенных композитных

Рассмотрим композитную панель обшивки самолета, нагруженную в своей плоскости потоками сжимающих и касательных усилий. Пусть панель в плане представляет параллелограмм. Геометрия её определяется шагом нервюр а, расстоянием между осями лонжеронов Ь, а также углом скоса панели ^ (рис.2.1). Панель состоит из к элементарных слоев, расположенных симметрично по толщине пакета под углами ±ср. или +щ к некоторой оси а, относительно которой задается схема армирования (рис.2.2). Введём две ортогональные хуг,а/3г и одну декартову ^г системы координат (рис.2.3). Будем считать ось у совмещенной с осью г\ косоугольной системы координат . С помощью системы координат а/Зг будем определять направление и структуру армирования слоев обшивки.

Выразим координаты перемещения = [и4,ип\т, деформации

= ,£п,/, напряжения = [<г?,ап,т?Г1\т через координаты [х,у], перемещения \ и\ =[их,иу\г, деформации [_а\ху = \_ех,ву,£ху^и напряжения

конструкции

Согласно рис.2.4 координата точки О' может быть определена как

Обратные соотношения имеют вид х = ^сову = ^т% + т}.

(2.1)

(2.2)

оси лонжеронов

Рис.2.1

(а)

Рис.2.3

1

/\

б

\ \ \ \

-►

О

► х

Рис.2.4

Проекции перемещения точки О в О' через проекции могут быть

выражены следующим образом

fu{ =их sec х\ [un=-uxtgz + uy.

Обратные соотношения определяются равенствами их =и? cos %; uy=ussinz + ur

(2.3)

K)V2= uu+{w,i)212

sec % +

Ы72

tg2x-

~ + ипл + w,tw,ri)sin x sec2 X\

£y=Uy,y +

где м

9мг ди£ dw

дх

dw

obc ^ w - прогиб панели. Полагая, что

et = Щ л + ()72^,=^+К)72' ^ = л + ипл + ^Л

получим

= е( sec2 ^ + - siv sin х sec2

s =s ;

У >7'

+ sec^.

Обратные зависимости запишутся в виде

s£ = sx cos2 X + £v sin2 я + ^ sin £ cos я;

епп =Sy>

е^ =2fvsin^ + fxycosj.

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Определим полные деформации панели в ортогональной системе координат хуг и свяжем их с полными деформациями с помощью соотношений (2.5), (2.6) [3]

ex=ex-zwsx=etscc X + ^tg X-e^tgxsecj;

,XX 4

ey=sy-zw^=en;

= ^v - 2z w,y = ~2e„ tgX + e£n sec X-

n

h7! '

xy xy

где

e, = st -zw„; en = sn-zw ~ e£n = sEn -2zw. .

(2.7)

(2.8)

Вектором обозначим деформации, связанные с направлением

армирования слоев композита. Их можно выразить через вектор деформаций в ортогональной системе координат \е\ = \ех,еу,еху^ с помощью известных

соотношений [16]

еа = ех cos2 (j±(p) + еу sin2 {у±(р) + 0,5еху sin2(у±<р);

ер = ех sin2 (у ± (р) + еу eos2 (у ± <р) - 0,5еху sin2(у ± <р); (2.9)

eafi =(ey-ex)sm2(y±<p) + exycos2(y±<p).

Учитывая зависимости (2.7) и (2.9), представим деформации \_е\ с помощью деформаций в косоугольном базисе [_еJ

W^MW^MW*- (2-ю)

Здесь - квадратные матрицы:

К]

cos2{y±(p) sin2 (/ + <£>) Q,5ún2{y ±q>) sin2(/±^) cos 2{y±(p) -0,5 sin 2 (y±<p) -sin2 (y + <p) sin2(^±íz>) cos2 (y±(p)

2 2 sec x tg x

0 1

0 -2 tgX

- tgX sec X

o

sec^

С учётом введенных обозначений, запишем также соотношения для деформаций панели (2.5)

L <2Л1>

Введём векторы кривизн косоугольной панели:

; ■ (2.12)

Они связаны между собой равенствами

Обратные соотношения для кривизн представим в виде

ьмл^Па •

Перейдем теперь к напряжённому состоянию панели (рис.2.5).

Вырежем из панели треугольные элементы с гранями, параллельными осям

ортогональной (ох,оу) и косоугольной (o^,or¡) систем координат

(рис.2.6 и 2.7) и рассмотрим их равновесие.

Из равновесия элемента, показанного на (рис.2.6), следует

ап = сг, sin х tgX + cos X ~ 2тху sin Х\

а

х

► х

Рис.2.5

а из равновесия элемента, показанного на рис.2.7 -

av = ах cos2 х + ау sin2 X + sin х cos х\ ts = (ау - ах)sin х cos z + *ху (cos2 х -sin2

Gv cosX-Ts sinX = СГ^ + т^ sin x\

<r„ sin xeos x + ts eos2 ^ = (crf + cr^)sin x + ^ (l + sin2 x\

где av,xs - напряжения, действующие на косой площадке рассматриваемого элемента. Полученные равенства позволяют найти зависимость между напряжениями [_<т_| и \_о~]ху. Выполнив алгебраические преобразования,

получим [3]

а£ =axsecx;

av = sin х tgx + о у cos х - sin х; Из (2.13) найдем обратные соотношения

(2.13)

СГх=СГ^С08Х;

ау = а-( вш х Ш + <гч X + tgz;

(2.14)

Найденные напряжения свяжем с напряжениями = |_сг«'0>''г«/'_Г в

элементарном слое композитного материала (рис.2.5). Для этого воспользуемся формулами преобразования напряжений в ортогональных системах координат [16]

= с°з2 (г±<р) + вт2 (у±<р)~тар вш 2(у ±<р); = <*а ^ (у ±<р) + °> со*2 (Г±(р) + тар вт2(г±<р);

Тху = (<*а - °>)'0»5;51п2 (г ± <р) + Г ар соэ 2 (у ± <р).

(2.15)

Рис.2.6

Рис.2.7

С учетом соотношений (2.14) и (2.15) получим искомые зависимости Здесь [яр ] -матрица поворота осей координат.

м=

соб 2(у±(р) $>т2(у±(р) зт2 (у±ср) вт 2(у±ф) соб 2(у±(р) -$т2(у±ср) -0,5 бш 2 ± ср) 0,5 эт 2{у±ф) соэ 2 {у±<р)

соз х О О smxtg% 2tgx

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Гайдаржи, Юрий Васильевич

Заключение

На основе проведенных в диссертации исследований сформулированы следующие основные результаты и выводы:

1. Разработан прикладной метод определения устойчивости и несущей способности скошенных слоистых композитных панелей при сжатии, сдвиге и комбинированном нагружении с произвольными граничными условиями по контуру.

2. Решение задачи устойчивости слоистой скошенной панели получено в перемещениях с использованием адаптированных к задачам на собственные значения функций Крылова.

3. Построено решение геометрически нелинейной задачи в конечных разностях для определения закритических перемещений слоистой скошенной панели с произвольными граничными условиями.

4. Отмечено существенное влияние на устойчивость и несущую способность скошенных панелей направления действия касательных усилий.

5. Исследовано влияние углов скоса, схем армирования и граничных условий на критические усилия устойчивости панели при действии сжимающих и касательных усилий, а также при комбинированном нагружении. Отмечается, что в случае сжимающих усилий увеличение углов скоса приводит к росту критических усилий сжатия панелей. При действии на панель с большими углами скоса потоков касательных усилий наблюдается существенное снижение влияния граничных условий.

6. Исследовано влияние углов скоса, схем армирования и граничных условий на несущую способность слоистых композитных панелей при закритическом деформировании. Установлено, что наибольшей прочностью после потери устойчивости при сжатии, а также при комбинированном нагружении сжатием и сдвигом обладают прямоугольные панели. При действии на панель касательных усилий ее несущая способность зависит как от углов скоса, так и структуры армирования, и граничных условий. Влияние указанных параметров имеет разнонаправленный характер, поэтому не удается выявить наиболее существенный из них.

7. Из условия максимума критических усилий определены рациональные структуры армирования скошенных слоистых панелей. Однако в случае потери устойчивости панели выявлены отличные от найденных структуры, обеспечивающие максимальную несущую способность.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Гайдаржи, Юрий Васильевич, 2012 год

Литература

1. Азиков Н. С. Устойчивость пологих композитных панелей//Науч. тр. МАТИ - Рос. гос. технол. ун-т. - 2001,- № 4. - С. 524-528.

2. Азиков Н. С., Васильев В. В., Патерекас А. Д. Устойчивость композитных панелей при сжатии и сдвиге//Мех. композит, матер. (Рига). - 1990. - № 2. -С. 351-353.

3. Азиков Н.С. Устойчивость слоистых композитных косоугольных панелей//ИПРИМ РАН Механика композиционных материалов и конструкций. - 2004. - Т. 10. - №1. - С. 133-152.

4. Азиков Н.С., Гайдаржи Ю.В. Закритическое поведение скошенных

композитных панелей//Механика композиционных материалов и конструкций. -2011.- Т. 17.- №3.- С.411-420.

5. Азиков Н.С., Гайдаржи Ю.В. Устойчивость слоистых скошенных панелей//Механика композиционных материалов и конструкций. - 2010. -Т.16.-№3.-С.361-368.

6. Алфутов H.A. Основы расчета на устойчивость упругих систем. - М.: Машиностроение, 1991. - 336 с.

7. Алфутов H.A., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 1984. - 446 с.

8. Андреев А. Н., Немировский Ю. В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. - Новосибирск: Наука, 2001. - 287 с.

9. Андриенко В. М., Белоус В. А. Оптимальное проектирование композитных панелей кессона крыла по условиям прочности и устойчивости//Тр.ЦАГИ. -2001. -№2642. -С. 151-158.

10. Бабаков И.М. Теория колебаний. - М.: Гостехиздат, 1958. - 628 с.

11. Баничук Н.В., Кобелев В.В., Рикардс Р.Б. Оптимизация элементов конструкций из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 1988.-224 с.

12. Белубекян Э. В. Закритическая прочность оптимальной по устойчивости прямоугольной пластинки из композиционного материала, усиленной по краям ребрами жесткости//Изв. Нац. АН Армении. Мех. - 1998. - Т.51.

- С.8-13.

13. Бойко В. П., Попов Б. Г. Оценка несущей способности удлиненной композитной панели//Изв. вузов. Машиностр. - 1998. - № 4-6. - С. 36-40

14. Буштырков A.A. Закритическое напряженно-деформированное состояние квадратной ортотропной пластины из стеклопластика. - Рига: Механика полимеров, 1967. - № 3. - С.544-552.

15. Василевский В. В., Юхневский А. А. Устойчивость прямоугольных свободно опертых пластин при сложном нагружении/ЛТроблемы и перспективы развития вагоностроения. - 2004. - С.26-27.

16. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. -М.Машиностроение, 1988. - 270 с.

17. Васильев В.В., Войтков Н.И. Устойчивость слоистых ортотропных пластин,сжатых в одном и двух направлениях//РТМ: "Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционных материалов". - Изд. ЦАГИ. -1981. -Вып.8. -С.28-34.

18. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. - М. :Наука, 1967. -983 с.

19. Гинесина Э.М. Расчет прямоугольных пластин из стеклопластика при поперечном изгибе с учетом геометрической нелинейности при несмещающихся кромках//Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1966.

- №3. -С.74-78.

20. Голованов А. И., Митряйкин В. И., Угревский С. В., Насибулин В. Г. Устойчивость ортотропных цилиндрических панелей неканонического очертания//Актуал. пробл. мех. оболочек. - 2000. - С.31-32.

21. Гришин В. И., Митрофанов О. В. Проектирование тонкостенных конструкций с учетом закритического поведения композитной обшивки//Учен. зап. ЦАГИ. - 2003. № 3-4. - Т.34. - С.123-134, 148.

22. Джанхотов С. О. Экспериментальное исследование деформирования и несущей способности при сжатии тонкостенных панелей из композиционных материалов // Прочность, колебания и ресурс авиационных конструкций и сооружений: Сборник статей (к 75-летию со дня рождения Иосифа Алексеевича Ляховенко). - М.: ЦАГИ, 2009. - С. 115120.

23. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. - М.: Мир, 1986.-318 с.

24. Золотухин Н. О., Кудинов Ю. В. Устойчивость пластинки с двумя свободными краями линейно изменяющейся конфигурации при сдвиге. Всерос. молод, науч.-техн. конф. "Пробл. энергомашиностр.".- Уфа, 25-26 дек. 1996. - Тез. докл., - 1996. - С.72-73.

25. Иерусалимский К. М., Фомин В. П. Влияние жесткости поперечного сдвига на устойчивость слоистой ортотропной пластинки при комбинированном нагружении//Тр. ЦАГИ.- 2001. № 2646. - С.25-35.

26. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. - М.: МГУ, 1978. - 287 с.

27. Карпов Я. С. Оптимизация структуры композиционного материала панелей летательных аппаратов при ограничениях по прочности, устойчивости и прогибу//Пробл. прочн. - 2004. - №6. - С.33-47.

28. Корзон С. А. Послекритическое поведение анизотропных пластин// Сб.трудов Ленингр.инж.-строит.ин-та. -1975. -Вып.7. -С.54-62.

29. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1968. - 720 с.

30. Корнишин М.С., Исанбаева Ф.С. Гибкие пластины и панели. - М.: Наука, 1968.-260 с.

31. Крысько В.А., Бочкарева Т.А. Оптимальное проектирование ребристых прямоугольных пластин с учетом физической и геометрической нелинейностей//Температур, задачи и устойчивость пластин и оболочек. -Саратов, 1988. - С. 119-122.

32. Лопатин А. В. Устойчивость композитной ортотропной пластины при неравномерном сжатии и изгибе//Изв. РАН. Мех. тверд, тела. - 1998. - №3 -С.98-103.

33. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 940 с.

34. Митрофанов О.В. Особенности концепции проектирования тонкостенных композитных конструкций с учетом геометрически нелинейных соотношении//Современные проблемы аэрокосмической науки и техники. - 2002. - С.141-142.

35. Никифоров А.К., Чедрик В.В. Применение метода нелинейного программирования в задаче оптимизации подкрепленных панелей по условиям прочности и устойчивости//Тр. ЦАГИ. - 1997.- №2628. - С.47-53

36. Новожилов Б.В. Основы нелинейной теории упругости. - М.: Гос. Издательство технико-теоретической литературы, 1948. - 212 с.

37. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. -М. Машиностроение, 1977.-144 с.

38. Программирование, отладка и решение задач на ЭВМ единой серии. Язык Фортран: Учебн. Пособие для ВУЗов / Под ред. И.А.Кудряшова. - Л.: Энергоатомиздат, Ленингр. Отделение, 1988. - 208 с.

39. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник т.З / Под ред. И.А.Биргера и Я.И.Пановко. -М.: Машиностроение, 1968. - 568 с.

40. Рябов В. М., Паршина Л. В., Ярцев Б. А. Методы решения задач прочности, устойчивости и затухающих колебаний слоистых анизотропных пластин из

полимерных композиционных материалов: Международная научная конференция по механике "4 Поляховские чтения". - 2006. - С. 210.

41. Файзуллина М.А. Исследование устойчивости и закритического поведения шарнирно опертых пластин и цилиндрических панелей со сложным сочетанием контура//Статика и динамика оболочек. -Казань, 1979. -Вып.12, - С.103-112.

42. Чехов Вик. Н., Шаповалова А. И. О некоторых расчетных схемах в задаче устойчивости слоистых композитных материалов//Проблемы механики деформируемого твердого тела. - 2006. - С. 154-156.

43. Arnold R.R., Mayers J. Buckling, postbuckling and crippling of materially nonlinear laminated composite plates//Int. J. Solid and Struct. -1984. №.9-10. -P.863-880.

44. Baker Donald J. : Evaluation of thin Kevlar-epoxy fabric panels subjected to shear loading//J. Aircraft 1. - 2000. - Vol.37. - P.138-143.

45. Banks W.M., Harvey J.M. Experimental study of stability problems in composite materials//Stab. Probl. Eng. Struct, and Components. -Cardiff, 1978. -London, 1979. -P. 1-22.

46. Biggers Sherrill В., Srinivasan Sundar. Compession buckling response of tailored rectángulas composite plates//AIAA Journal. - 1993. - Vol.31, №3. - P. 590-596.

47. Chia G.B., Banks W.M., Rhodes J. Experimental study on the buckling and postbuckling of carbon fiber composite panels with and without interply disbouds// Proc. Inst. Mech. Eng.: Conf. "Design Compos. Mater.". -London, 1989-P.69-85.

48. Darvizeh M., Darvizeh A., Ansari R., Sharma С. B. Buckling analysis of generally laminated composite plates (generalized differential quadrature rules versus Rayleigh-Ritz method)// Compos. Struct. № 1. - 2004. - Vol.63. - P.69-74

49. Drapier S., Rahier O., Daridon L., Grandidier J.-C., Potier-Ferry M. Resistance en compression des stratifies, une confrontation entre theorie et experiences// Ann. compos. 1. - 1998. - P.31-45.

50. Edwards D.A., Williams T.W., Kennedy D. Cost optimization of stiffened panels using VICONOPT//AIAA Journal. - 1998. -Vol.36, №2. - P.267-272.

51. Engelstad S.P., Reddy J.N., Knight N.P. Postbuckling response and failure prediction of graphite-epoxy plates loaded in compression//AIAA Journal. -1992. -Vol.30, №8. -P.2106-2113.

52. Esong I. E., Elghazouli A. Y., Chryssanthopoulos M. K. Measurement techniques for buckling sensitive composite shells// Strain 1. - 1998. - Vol.34. -P.11-17.

53. Falzon B. G., Stevens K. A., Davies G. O. Postbuckling behaviour of a blade-stiffened composite panel loaded in uniaxial compression// Compos. A. - 2000. Vol.31, №5.-P. 459-468.

54. Heslehurst R. B., Vaughan M. J., Baird J. P., Clark R. Experimental validation of delamination buckling characteristics //2nd Pacif. Int. Conf. Aerospace Sci. and Technol. and 6th Austral. Aeronaut. Conf. (PICAST 2 - AAC 6). Melbourne. -1995. - Proc. Vol. 1. -P. 199-204.

55. Hui David. Shear buckling of anti-symmetric cross ply rectangular plates//Fibre Sci. and Technol. -1984. -Vol.21, №4. -P.327-340.

56. Ivanov L.D., Rousev S.G. Statistical estimation of reduction coefficient of ship's hull plates with initial deflection//Nav.Archit.-1979. -№ 4. -P.158-160.

57. Joshi S.P., Iyengar N.G.R. Optimal design of laminated composite plates under axial compression//Trans. Can. Soc. Mech. Eng. -1985. -Vol.9, №1. -P.45-60.

58. Kaminski B.E., Ashton J.E. Diagonal tension behavior of Boron-Epoxy shear panels//J. Composite Materials. - 1971. - Vol.5. -P.553-558.

59. Karami G., Ahahpari S. Ali, Malekzadeh P. DQM analysis of skewed and trapezoidal laminated plates//Compos. Struct. - 2003. - Vol.59, № 3,- P.393-402.

60. Karami G., Malekzadeh P. Static and stability analyses of arbitrary straight-sided quadrilateral thin plates by DQM//Int. J. Solids and Struct.- 2002. -V.39, №19.

- P.4927-4947.

61. Karnikova Irena, Skaloud Miroslav, Janus Karel. Effect of longitudinal stiifening on the ultimate strength of thin webs under patch loading//Stabil. Steel Struct. 2nd Reg. Collog. Tihany. -1986. Mem. Otto Halasz. -Vol.2. -Budapest. -1988. -P.695-701.

62. Kennedy J.B. Influence of Poisson's ratio on maximum stress in thin parallelogrammic panels//Canad. Aeronaut, and Space Journal. -1967.-Vol. 13, №.7. -P.315-317.

63. Kennedy J.B., Ng. Simon. Analysis of skewed plate structures with clamped edges//Trans.Eng.Inst.Canada.-1965.-Vol.8,№.A9.

64. Kennedy J.B., Ng. Simon. Linear and nonlinear analysis of skewed plates//Trans.ASME.-1967.-E34, №2.-P.271-277.

65. Kennedy J.B., Prabhakara M.K. Post-buckling of orthotropic skew plate structures//J. Struck. Div. Proc. ASCE. -1980. -Vol.106, №7. -P. 1497-1513.

66. Kishida Mitsuhiro, Fujieda Youji Fujli Katashi. Experiments on axial compressive strength of stiffened plate with a hole//Bull. Pac. Eng. Hirosima Univ. -1991. - Vol 39, № 2. -P. 141-149.

67. Kitada T., Nakai H., Furuta T. Experimental study on ultimate strength of stiffened plates subjected to longitudinal tension and transverse compression//Stab. Steel Struct. Int. Conf. Budapest. - 1990. -Vol.1. -P.409-416.

68. Kitipornchai S., Xiang Y., Wang C.M., Liew K.M. Buckling of thick skew plates. - Research Report No. CE136. September 1992. the Univercity of Queensland, Brisbane, Australia, 4072. - ISBN O 86776 4937. - 20p.

69. Kolakowski Zbigniew, Krolak Marian, Kowal-Michalska Katarzyna, Kedziora Slawomir. Estimation of load carrying capacity of thin-walled composite structures//J. Theor. and Appl. Mech. - 2000. - Vol.38, № 1,- P. 15-34.

70. Li Qi, Zhang Jianwu, Shu Yongping. Buckling and postbuckling of laminated shear-deformable plates//Shanghai jiaotong daxue xuebao. - 1998. - Vol.32, №11. -P.84-89.

71. Lind N.C., Ravindra M.K., Sehorn G. Empirical effective width formula//! Struct. Div. Proc. ASGE. - 1976.-Vol.102, №.9.-P. 1741-1757.

72. Manne Philippe M., Tsai Stephen W. Design optimization of composite plates. Part II. Structural optimization by plydrop tapering//J. Compos. Mater. - 1998. -Vol.32, №6. - P.572-598.

73. Noor A.K., Starnes J.N. (Jr), Waters W.A. (Jr). Numerical and experimental simulations of the postbuckling response of laminated anisotropic panels// AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC/ 31st Struct., Struct. Dyn. and Mater. Conf., Long Beach, Calif. Apr. 2-4, - 1990. - P. 848-861.

74. Obraztsov J.F., Vasiliev V.V. Mechanics of composites. - Mir publishers. Moscow, 1982.-280p.

75. Pandalai K.A., Sathyamoorthy V. Postbuckling behavior of orthotropic skew plates//AIAA Journal.-1973. -Vol.11, № 5.-P.731-733.

76. Peng Mao-Hua, Sridharan Srivivasan. Optimized design of stiffened panels subject to interactive buckling//AIAA /ASME / ASOE / AHS / ASC / 3 1st Struct., Struct. Dyn. and Mater. Conf., Long Beach, Calif. Apr. 1-4, -1990. -P.1279-1288.

77. Popescy-Castellin N. Use of chromoplastic models for the study of the behaviour of rectangular plates after buckling//Aircraft Eng. -1973. -№ 1.-P.4-7.

78. Prabhakara M.K. Post-buckling behaviour of simply-supported crossply rectangular plates//Aeronaut.Quart.-1976.-Vol.27, №4. -P.309-316.

79. Prabhakara M.K., Chia C.Y. Large deflection of rectangular orthotropic plates under combined transverse and in-plane loads//J. Mech. Eng. Science. -1973. -Vol.15, №5.-P.346-350.

80. Prabhakara M.K., Chia C.Y. Postbuckling of angle-ply and anisotropic plates//Int. Arch. Bd. -1976. -Vol.45, № H2. -P.131-139.

81. Radloff Hal D., Hyer M. W., Nemeth M. P. Buckling of composite plates with trapezoidal planform//36th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Struct., Struct. Dyn.,

and Mater. Conf. and AIAA/ASME Adapt. Struct. Forum, New Orleans, La. Apr. 10-13, -1995. - P.1989-1998.

82. Rhodes J., Harvey J.M., Work W.C. The load-carrying capacity of initially imperfect eccentrically loaded plates//Int. Journal Mech. Sci.-1975. -Vol.17.

- P.161-175.

83. Romeo G. Experimental investigation on advanced composite stiffened structures under uniaxial compression and bending// J.Eng.Mech.Div.proo.ASCE.-1989.-Vol.l 15, №2.-P.684-692.

84. Rouse Marshall. Postbuckling of flat unstiffened graphiteepoxy plates loaded in shear//26th Struct. Struct. Dyn. and Mater. Conf. Orlando, Pla,Apr.l5-17, -1985.-P.605-616.

85. Sharman.P.W., Humpherson J. An experimental and theoretical investigation of simply-supported thin plates subjected to lateral loaded and uniaxial compression//Aeronaut.Quart.-1968.-Vol.72, № 689. -P.431-436.

86. Shen Hui-Shen. Postbuckling of shear deformable laminated plates with piezoelectric actuators under complex loading conditions//Int. J. Solids and Struct. - 2001. -Vol.38, №44-45. - P.7703-7721.

87. Singh Gajbir, Rao Y. V. K. Sadasiva, Iyengar N. G. R. Buckling of Thick Layered Composite Plates under In-Plane Moment Loading//Compos. Struct. -1989. -№1. - P. 3548

88. Singh S.B., Kumar Ashwini. Postbuckling strength of symmetrically laminated plates//19th Int. Congr. Theor. and Appl. Mech. Kyoto, Aug.25-31, -1996.-P.634-636.

89. Singha Maloy K., Ramachandra L. S., Bandyopadhyay J. N. Optimum design of laminated composite plates for maximum thermal buckling loads//J. Compos. Mater. - 2000. - Vol.34, № 23. - P.1982-1997.

90. Singha Maloy K., Ramachandra L.S., Bandyopadhyay J.N. Stability and strength of composite skew plates under thermomechanical loads//AIAA Journal. - 2001.

- Vol.39, №8. - P. 1618-1623.

91. Starnes J.H., Rouse M. Postbuckling and failure characteristics of selected flat rectangular graphite-epoxy plates loaded in compression//AIAA Journal. -1981. -22nd SDM, p. 1. - P.423-434.

92. Stein M. Postbuckling of orthotopic composite plates loaded in compression//AIAA Journal.-1983. -Vol.21, №12.-P.1729-1735.

93. Suemasu Hiroshi, Kumagai Tatsuya, Gozu Katsuhisa. Compressive behavior of multiply delaminated composite laminates. Pt 1. Experiment and analytical development//AIAA Journal. - 1998. - Vol.36, №7. - P.1279-1285.

94. Taki Toshimi, Kitagawa Tomohiro. Postbuckling strength of composite stiffened panel under shear load//Kawasaki juko giko Kawasaki Techn.Rev.-1996.

-№ 130. -P.50-55.

95. Thomson Rodney S., Scott Murray L. Testing and analysis of thin stiffened composite shear panels//2nd Pacif. Int. Conf. Aerospace Sci. and Technol. and 6th Austral. Aeronaut. Conf. (PICAST 2 - AAC 6). Melbourne, 20-23 March,

- 1995.-P. 655-662.

96. Timarci Taner, Aydogdu Metin. Buckling of symmetric cross-ply square plates with various boundary conditions//Compos. Struct. -2005.-Vol.68, №4.

- P.381-389.

97. Tuttle M., Singhatanadgid P., Hinds G. Buckling of composite panels subjected to biaxial loading//Exp. Mech. - 1999. - Vol.39, №3. - P.191-201.

98. Tvergaard V. Influence of post-buckling behavior of optimum design of stiffened panels//Kept. Dan. Center Appl. Math, and Mech. - 1972. -№ 35. - 26p.

99. Wu Jiancheng, Pan Lizhou. Nonlinear theory of multilayer sandwich shells and its application. I. - General theory//Appl. Math, and Mech. Engl. Ed. - 1997. -Vol.18, №1.-P. 19-27.

100.Zhang Y., Matthews W.L. Postbuckling behavior of anisotropic laminated plates under pure shear and shear combined with compressive loading//AIAA Journal. -1984.-Vol.22, №2. -P.281-286.

101.Zhou Zhulin. Ultimate strength of postbuckling for simply supported rectangular

composite thin plates under compression//Appl. Math, and Mech. Engl. - 1998. -Vol.19, №4. -P.391-397.