Условия существования ненулевых периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, матрица системы линейного приближения которых имеет нулевые собственные числа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Ивличев, Павел Сергеевич

• Ивличев, Павел Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ивличев, Павел Сергеевич

Введение.

Глава I. Условия существования периодических решений 16 автономных систем дифференциальных уравнений, матрица системы линейного приближения которых имеет нулевые собственные числа.

§1. Условия существования периодических решений 17 для систем с нелинейностью, являющейся суммой форм.

§2. Достаточные условия существования ненулевых 31 периодических решений.

§3. Существование периодических решений в одном 39 специальном случае.

Глава II. Условия существования и расположение 46 периодических решений автономных систем без линейной части.

§1. Условия существования периодического решения 46 для автономных систем без линейной части.

§2. Оценка положения периодического решения.

Глава III. Достаточные условия существования а- 67 периодических решений неавтономных систем дифференциальных уравнений

§1. Ненулевые периодические решения неавтономной 67 системы дифференциальных уравнений с нулевой матрицей системы линейного приближения.

§2. Исследование конкретных систем 82 дифференциальных уравнений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Условия существования ненулевых периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, матрица системы линейного приближения которых имеет нулевые собственные числа»

Актуальность темы. В настоящей работе изучаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений, матрицы систем линейных приближений которых имеют нулевые собственные числа. Предполагается, что правые части систем являются суммами форм относительно координат векторов решения и параметра. Все исследуемые системы имеют тривиальное решение при любом значении параметра. Задачей исследования является поиск условий существования ненулевых периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений в малой окрестности нулевого решения при малом значении возмущающего параметра.

Подобная задача возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических, биофизических, экономических, социальных и других процессов [1, 2, 25, 40, 51, 52, 57, 63, 66, 68, 72, 73, 80-83]. Хотя по данной тематике существует большое количество работ, многообразие конкретных систем и значительная сложность проблемы не позволяют пока найти общего подхода к ее решению. Особый интерес представляют методы исследования нелинейных систем, которые описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка, так как именно такие модели характерны для большинства реальных объектов. Наиболее трудны для исследования нелинейные системы, матрицы линейного приближения которых имеют нулевые собственные числа. Таким образом, одна из основных задач качественной теории дифференциальных уравнений - задача поиска условия существования ненулевых периодических решений - является в данном случае весьма актуальной.

Цель работы. Рассматриваются системы дифференциальных уравнений в которых xeR" — вектор, характеризующий положение точки в пространстве, ЛеЯт - параметр внешнего воздействия, А — постоянная пхп-матрица, имеющие нулевые собственные числа, п -мерные вектор-функции /(.х,Л) и f(t,x,X) непрерывны по всем своим аргументам, и являются суммами форм по координатам векторов х и Л, f{t,x,Л) - периодическая функция с периодом со> 0. Вектор х = 0 является решением систем (0.1), (0.2), (0.3) при любом значении ЛеЯ".

Цель работы состоит в поиске достаточных условий существования ненулевых периодических решений систем (0.1), (0.2),

Методика исследования. Для получения достаточных условий существования со -периодических решений используется критерий периодичности х(а>,а,Л) = а. Посредством представления решения через начальные данные этот критерий сводится к условию разрешимости системы нелинейных алгебраических уравнений. С учетом свойств формы младшего порядка в этой системе, находится точка, в окрестности которой расположена пара начальное условие-параметр, определяющая периодическое решение систем дифференциальных уравнений (0.1), (0.2), (0.3). Доках = Ах+/(х, Я), х = /(х,Л), x = f(t,>;,Л),

0.1) (0.2) (0.3)

0.3). зательство теоремы о достаточном условии существования периодического решения проводится методом неподвижной точки нелинейного оператора. Построение такого нелинейного оператора осуществляется с помощью разложения функций по формуле Тейлора. Описывается процедура получения других достаточных условий, также основанная на разложении функций по формуле Тейлора.

Предположения задачи делают невозможными использование результатов некоторых авторов. Так, например, в отличие от работы [5], не предполагается наличие резонансов в системе, наличие нулевых собственных чисел не позволяет использовать формулы периодических решений из работы [79].

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. Основы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений были заложены А. Пуанкаре [62] и A.M. Ляпуновым [46]. Методы исследования колебаний нелинейных систем, основанные на работах Ляпунова и Пуанкаре, сводятся к представлению периодических решений исследуемых систем с помощью степенных рядов, составленных по степеням малого параметра, начальных отклонений, абсолютно и равномерно сходящихся для этих значений на любом заданном конечном промежутке времени. Большой вклад в развитие этих методов внесли А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин [2], Е.А. Леонтович, Б.В. Булгаков [16], И.Г. Малкин [47], Л.И. Мандельштам [50], Б. Хэссард [79] и другие ученые. Основные идеи качественного исследования систем дифференциальных уравнений содержатся в книге В.В. Не-мыцкого и В.В. Степанова [54].

Открытие А.А. Андроновым [2] и Е. Хопфом [85] бифуркации рождения предельного цикла из состояния равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями при изменении параметров системы легло в основу целого направления исследований. Е. Хопф в работе [85] изучает и-мерную автономную систему дифференциальных уравнений со скалярным параметром. Предполагается, что матрица системы имеет пару чисто мнимых собственных значений, а действительные части остальных собственных значений отрицательны. Устанавливается, что при потере устойчивости особой точки появляется устойчивое периодическое решение (так называемая бифуркация Хопфа). Изучению бифуркации Хопфа для различных систем посвящены работы [8, 19, 52, 53,67, 71, 76, 83, 86, 87, 88,90].

Б. Хэссардом в работе [79] приводится приложение теоремы Хопфа к различным системам со скалярным параметром. Исследование проводится с помощью привлечения разложения по формуле Маклорена. Выводятся формулы для периода и разложения решения по формуле Маклорена при условии, что собственные числа матрицы правой части системы ненулевые.

Наиболее полно исследованы вопросы существования, устойчивости и бифуркаций периодических решений динамических систем на плоскости в работах А.А. Андронова и его коллег [2-4]. В работе [7] В.Н. Белых и А.Н. Щепин рассматривают семейство гомоклинических траекторий в семействе нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений Лурье, не содержащих малых параметров. Сведением к двумерным системам сравнения доказываются нелокальные теоремы существования гомоклинических траекторий и их бифуркаций. З.С. Баталовым и Н.В. Киселевой [6] рассмотрены задачи о колебании маятника под действием периодического момента, построены диаграммы устойчивости периодических движений, выяснены бифуркации, приводящие к их возникновению и смене характера устойчивости.

В.А. Громовым [27] рассмотрен способ сведения автономных и неавтономных уравнений типа Дуффинга к системам, к которым применим метод Пуанкаре для отыскания периодических решений. В.Н. Лаптинский и В.А. Ливинская [42] для уравнения AA(t)X + Z2XB(t)+F(t) получают коэффициентное условие однозначной разрешимости задачи существования периодического решения.

Вопросы бифуркации предельных циклов для различных систем рассмотрены в работах [4, 8, 17, 20, 28, 31, 52, 70, 72]. В частности М.В. Долов в статье [31] рассматривает систему со скалярным параметром х = 0+ Л)х- (2 + Л)(х+2 у\х2 + у2)+ (4у+х%с2 + у2 )2 у = {\ + Х)у-{2 + фх-у^х2 +у2)+(у-4xix2 +y2f Сложность прямой задачи привела к появлению работ, в которых исследуются системы, не имеющие периодических решений. В статье [84] рассмотрены достаточные условия отсутствия периодических решений в окрестности кратной сингулярной точки в классе систем нелинейных дифференциальных уравнений.

Кроме метода Пуанкаре для качественного исследования систем дифференциальных уравнений применяется метод нелинейного анализа, предложенный А.Д. Брюно [15]. Этот метод состоит в сведении с помощью нормальных форм исходной системы к такой системе, которая либо легко интегрируется, либо является более простой. Для исследования этим методом требуется определить нормализующее преобразование.

В ряде работ [21, 22, 33], а также в работе Ю.В. Малышева [49] вопросы существования и устойчивости периодических решений для автономных систем решаются с помощью построения функции Ляпунова. В статьях Н.А. Бобылева [10-12] предложены способы доказательства существования циклов в автономных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, базирующиеся на методах оценок, функционализации параметра и направляющих функций.

Для нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков исследование проблемы существования периодических решений может проводиться также методом монотонных итераций, который позволяет строить периодические решения таких систем. Этот метод излагается, в частности, в статье [89].

В работе В.И. Арнольда [5] приводится способ отыскания периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений в случае, когда в системе имеется резонанс.

Е.В. Воскресенским в статье [23] описан способ поиска периодических решений методом сравнения.

При отсутствии резонанса квазилинейные системы наиболее полно изучены И.Г. Малкиным, который в работе [47] рассматривал систему x = Ax+f(t)+/iF(t,x,p) с 2л--периодической правой частью и скалярным параметром. Предполагалось, что матрица А имеет часть нулевых собственных чисел, а остальные собственные числа являются чисто мнимыми. Накладывалось условие, что система х = Ах + /(/) имеет семейство 2тг -периодических решений с m -мерным параметром. Ставилась задача о существовании 2л -периодического решения при малом значении параметра, которая сводилась к решению недифференциального уравнения. Доказывалась единственность периодического решения при условии разрешимости этого уравнения и описывалась процедура получения других уравнений для поиска периодических решений. Также И.Г. Малкиным рассматривались автономные системы и описывался итерационный алгоритм построения периодического решения для неавтономных систем. Вопросы устойчивости периодических решений исследовались в работе [48]. Метод итераций также применялся в работах [14, 26].

Метод построения периодического решения был предложен Д. Хейлом в работе [78] для систем z = Az + cZ{z,t,s)i в которых матрица А содержит нулевой блок. Метод основан на построении итерационной последовательности, в качестве начального приближения выбирается такой вектор, чтобы на последующих итерациях не было непериодических членов.

Применение асимптотических методов в задаче поиска периодического решения изложено в работе [13] Е.Н. Боголюбовым и Ю.А. Митропольским.

Бесконечные системы дифференциальных уравнений рассматривались в работе [69], в которой сформулировано достаточное условие, основанное на принципе Шаудера.

Достаточно полно исследованы неавтономные системы с периодической частью. В.А. Плиссом [58, 59] установлен факт существования периодических решений с помощью индекса Пуанкаре.

М.А. Красносельский [35-39] сводит проблему существования периодических решений неавтономных систем к проблеме существования неподвижных точек оператора сдвига по траекториям системы. Доказательство существования неподвижных точек опирается на метод направляющих функций, суть которого заключается в построении некоторых функций, заданных в выпуклой области фазового пространства, и последующей оценке вращения векторного поля на границе этой области. В монографиях [35, 36, 39] содержится обоснование метода направляющих функций и его применение к доказательству существования периодических, положительных и ограниченных решений. Метод направляющих функций используется и в работе [91].

Работа [30] С.М. Дзюбы посвящена определению условий существования периодических и условно-периодических решений неавтономных систем. Исследования основаны на методе, предложенном Ж.Л. Массером.

Е.Ю. Лискина в статье [44] проводит исследование неавтономных системе методом искусственного введения параметра.

Метод неподвижной точки при рассмотрении достаточных условий существования периодических решений рассматривался в статьях М.Т. Терехина, Н.В. Ретюнских, Т.Л. Панфиловой, К.В. Бухенского, Е.Ю. Лискиной и др. [18, 43, 55, 56, 60, 64, 65, 72, 73, 74].

Т.Л Панфилова в статье [55] рассматривает вопрос о существовании периодического решения автономной системы дифференциальных уравнений, часть собственных чисел матрицы линейного приближения которой равны нулю, а остальные собственные числа являются чисто мнимыми. Период решения предполагается зависящим от параметра. Доказательство теоремы о существовании периодического решения использует метод неподвижной точки нелинейного оператора, который получен из равенства, выражающего условие периодичности решения с помощью матричного преобразования.

В работе Т.Л. Панфиловой [56] получены достаточные условия существования периодических решений для автономных систем случае, когда период является функцией начального значения и параметра.

В работе [65] изучаются условия существования со-периодических решений неавтономных систем дифференциальных уравнений с треугольной матрицей линейного приближения. Автором исследована возможность приведения произвольных систем к системам с треугольной матрицей линейного приближения, получены достаточные условия существования периодического решения.

Содержание работы. Настоящая работа содержит результаты исследования систем (0.1), (0.2), (0.3) с точки зрения существования ненулевых периодических решений в малой окрестности нулевого решения.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и заключения. Во введении содержатся: обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Ивличев, Павел Сергеевич

Заключение.

Работа посвящена поиску условий существования периодических решений для систем, матрица линейного приближения которых имеет нулевые собственные числа.

Для таких систем получен вид решения через начальные значения (для неавтономных систем — через начальные значения и параметр). Используя этот вид решения, условия существования периодических решений сведены к условию разрешимости систем недифференциальных уравнений.

При условии разрешимости этих систем получены достаточные условия существования периодических решений в окрестности нулевого, связанные с коэффициентами в разложении функций по формуле Тейлора. Доказательства достаточных условий проводятся методом неподвижной точки нелинейного оператора.

Для автономных систем с нулевой матрицей линейного приближения приведена оценка положения периодического решения и установлено число семейств периодических решений.

Рассмотрены примеры применения теоретических положений. Некоторые из них описывают реальные физические и биологические процессы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ивличев, Павел Сергеевич, 2003 год

1. Амелькии В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987. 157 с.

2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 915 с.

3. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М: Наука, 1966. 568 с.

4. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М: Наука, 1967. 488 с.

5. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, 304с.

6. Баталова З.С., Киселева Н.В. О колебаниях маятника под действием периодического момента. // Вестник Ниж. Гос. Ун-та. 2001, №1, с. 45-49.

7. Белых В.Н., Щепин А.Н. Гомоклинические структуры в неавтономной задаче Лурье. // Вестник Ниж. Гос. Ун-та. 2001, №2, с. 189-193.

8. Бибиков Ю.Н. Бифуркация типа Хопфа для квазипериодических решений // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16, №9. С. 1539-1544.

9. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. шк., 1991. 303 с.

10. Ю.Бобылев Н.А., Булатов А.В., Коровин С.К., Кутузов А.А. Об одной схеме исследования циклов нелинейных систем // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 1. С. 3-8.

11. П.Бобылев Н.А., Коровин С.К. Итерационный алгоритм приближенного построения циклов автономных систем // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 3. С. 301306.

12. Бобылев Н.А., Красносельский М.А. Функционализация параметра и теорема родственности для автономных систем // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6, № 11. С. 19461952.

13. Боголюбов Е.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1955.344 с.

14. М.Бойчук А.А., Журавлев В.А., Чуйко В.Г. Периодические решения автономных систем в критических случаях // Укр. матем. журнал. 1990. Т. 42, № 9. С. 1180-1187.

15. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 253 с.

16. Булгаков Б.В. Колебания. М.: Гостехиздат, 1954. 891 с.

17. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. 384 с.

18. Бухенский К.В. Ненулевые периодические решения неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / Мордовский гос. ун-т. Саранск: Изд-во Мордовского гос. ун-та, 1998. 19 с.

19. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966. 567 с.

20. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

21. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1984. 320 с.

22. Воскресенский Е.В. О периодических решениях возмущенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1991. № 1.С. 11-14.

23. Воскресенский Е.В. О периодических решениях нелинейных систем и методе сравнения // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, № 4. С. 571-576.

24. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953. 492 с.

25. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. М.: Мир, 1986. 152 с.

26. Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука. 1979. 431 с.

27. Громов В.А., Мелехов С.С. Об отыскании периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений типа Дуффинга с двумя малыми параметрами. // Вестник Омского университета, 2001 №4. С. 14-15

28. Грудо Э.И. Периодические решения периодических дифференциальных систем в общем критическом случае // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18, № 5. С. 763-767.

29. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

30. Дзюба С.М. Ограниченные и периодические решения дифференциальных уравнений И Вестник ТГТУ. 1995. Т.1, № 34. С. 355-360.

31. Долов М.В. К вопросу о бифуркации предельных циклов. Кач. теория, дифф. ур-ний. В. 188, Горький ГГу, 1973, С. 13-15.

32. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1972. 664 с.

33. Каменков Г.В. Избранные труды. Т I. М.: Наука, 1971. 214с.

34. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 572 с.

35. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. 332 с.

36. Красносельский М.А. Положение решения операторных уравнений. М.: Наука, 1962. 457 с.

37. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 455 с.

38. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. 511 с.

39. Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко П.П. Векторные поля на плоскости М.: ГИФМЛ, 1963.248 с.

40. Кудрявцева Е.А. Периодические движения планетной системы с двойными планетами. Обобщенная задача Хилла. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1999. № 4. С. 59-61.

41. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ. 1963. 432с.

42. Лаптинский В.Н., Ливинская В.А. К теории периодических решений матричного дифференциального уравнения второго порядка типа Ляпунова // Дифференциальные уравнения. 2002. т. 38, №8. С. 1133-1134.

43. Лискина Е.Ю. Достаточное условие существования ненулевого периодического решения для системы дифференциальных уравнений с параметром / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 1999. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 29.11.99, №3505-В99.

44. Лискина Е.Ю. Существование периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань: изд-во РГПУ, 2000. №3. С. 53-59.

45. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 510 с.

46. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950.471 с.

47. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956. 491 с.

48. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 532 с.

49. Малышев Ю.В., Захаров В.П. Исследование существования и выпуклости предельных циклов методом обобщенных функций Ляпунова // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, №2. С. 212-216.

50. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972. 470 с.

51. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.: Мир, 1983. 400 с.

52. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее применение. М.: Мир, 1980.367 с.

53. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 471 с.

54. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1949. 550 с.

55. Панфилова Т. JI. К вопросу о существовании периодических решений систем дифференциальных уравнений, зависящих от параметра //Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 1999. №2. С.72-77.

56. Панфилова T.JI. О существовании периодических решений систем дифференциальных уравнений в одном случае. // Известия РАЕН, Дифференциальные уравнения, 2001, №5, с.139-140.

57. Петрова В.В., Тонков E.JI. Допустимость периодических процессов и теоремы существования периодических решений // Известия вузов. Математика. 1996. № 11. С. 65-72.

58. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-JL: Наука, 1964. 367 с.

59. Плисс В.А. О существовании периодических решений у некоторых нелинейных систем // Доклады АН СССР. 1961. Т. 137, № 5. С. 1060-1073.

60. Погорелов И.А. Периодические решения систем дифференциальных уравнений второго порядка // Вестник РГПУ (бывш. Вестн. Ряз. пед. ин-та.). 1997. № I.e. 83-88.

61. Понтрягин JI.C. обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965. 332 с.

62. Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука. 1971. Т. 1. 771 с.

63. Ранцевич В.А., Самсон A.M. О предельных циклах динамической системы, моделирующей работу лазера // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 23. С. 540-542.

64. Ретюнских Н.В. О ненулевых периодических решениях неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 1998. 9 с. Деп. в ВИНИТИ 20.04.98, №1223-В98.

65. Ретюнскнх Н.В. Периодические решения неавтономных систем дифференциальных уравнений: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / Удмуртский гос. ун-т. Ижевск: Изд-воУГУ, 1998. 16 с.

66. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984. 304 с.

67. Самойленко A.M., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. Киев: Вища школа. Изд-во при Киев, ун-те, 1976. 180 с.

68. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1979. 352 с.

69. Сидорова Л.М. О периодических решениях счетной системы дифференциальных уравнений с малым параметром // Барнаул, гос. пед. ун-т. Барнаул, 1998. 6 с. Деп. в ВИНИТИ 08.07.98. №2144-В 98.

70. Терехин М.Т. Бифуркация систем дифференциальных уравнений. М.: Прометей, 1989. 87 с.

71. Терехин М.Т.Периодические решения систем дифференциальных уравнений. Учеб. пос. к спецкурсу. Рязань: Ряз. пед. ин-т, 1992. 88 с.

72. Терехин М.Т. Устойчивость и предельные циклы в системе типа "хищник-жертва" при наличии внутривидовой конкуренции и заповедника // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. 1999. № 2. С. 82-93.

73. Терехин М.Т., Панфилова Т.Л. Периодические решения системы Ресслера // Известия вузов. Математика. 1999. № 8. С. 70-73.

74. Терехин М. Т., Ретюнских Н. В. Периодические решения нелинейных неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений //Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. №4. с. 566-569.

75. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

76. Ухалов А.Ю. Почти периодические решения систем дифференциальных уравнений с быстрым и медленным временем в случае вырождения // Математические заметки. 1998. Т. 63. Вып. 3. С. 451-456.

77. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

78. Хейл Дж. К. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966. 230 с.

79. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн. И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир, 1985. 280 с.

80. Цегельник В.В. О решениях одной динамической системы с квадратичными нелинейностями // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, № 7. С. 1003-1004.

81. Bohl Е. On two models of the Belousov-Zhabotinskii reaction // Numerical Treatment of Differential Equation. Teubner-text zur Mathematic/ Band 82/ BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig. 1986. P. 8-13.

82. Budd С. J., Lee A.G. Double impact orbits of periodically forced impact oscillators // Proc. Roy. Soc. London. A. 1996. 452, № 1955. P. 2719-2750.

83. Cendra H., Salthu R., Torresi A. Finding nondegenerate Hopf bifurcation points for four-dimensional two-parametric systems // Math. Appl. and Comput. 1997. 33, № 12. P. 115-124.

84. Duan Feng. On the nonexistence of limit cycles for a class of nonlinear differential system // Changde shifan xueyuan xuebao ziran kexue ban. 2001 13 №4. 13-15.

85. Hopf E. Abzweigung einer periodischen Losung von einer sta-tionaren Losung eines Differential systems // Ber. Math.-Phus. Sachsische Akademie der Wissenschaften. Leipzig. 1942. 94. S. 1-22.

86. Hoyle S.L. Hopf Bifurcation for Ordinary Differential Equations with a Zero Eigenvalue // J. Math. Anal, and Appl. 1980. Vol. 74, № 1. P. 212-232.

87. Hristove S.J., Bainov D.D. Periodic solutions of quasilinear nonautonomous systems with impulses // Bui. Austral Math. Soc. 31, №2. 1985. P. 185-197.

88. Lu Xiguan, Li Yong, Su Yi. Finding periodic solutions of ordinary differential equations via homotopy method // Math. Appl. and Comput. 1996. 78, №1. P. 1-17.

89. Sang Lin, Zhang Guang-ji. Periodic solutions for higher order nonlinear differential equations. // Shenyang gongye daxue xuebao, 2002,24 №1, 78-80.

90. Xiang Zigui, Tang Renhan. Periodic solutions of some higher order nonlinear periodical systems // Hunan. Ann. Math. 1992. 12, №1-2. P. 56-61.

91. Zanolin F. Continuation theorems for the periodic problem via the translation operator // Rend. Semin. Mat. Univ. e Politecn. Torino. 1996. 54, №1. P. 1-23.

92. Ивличев П.С. Существование периодических решений автономных систем специального вида // Труды Средневолж-ского математического общества, 2002. Т. 3-4. № 1. С. 233234.

93. Ивличев П.С. Поиск периодического решения неавтономных систем // Тезисы докладов всероссийской научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики." Тула: ТулГУ, 2002. С. 34-35.

94. Ивличев П.С. Оценка положения периодического решения автономных систем // Тезисы докладов X Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование." в г. Пущино. Изд. "Регулярная и хаотическая динамика", 2003. С. 110.

95. Ивличев П.С. Условия периодичности решения автономных систем с нулевыми собственными числами // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. — Воронеж: Воронежский государственный университет, 2003, — 300с. С. 108-109.

96. Ивличев П.С. Исследование автономных систем методом неподвижной точки оператора // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр. / Ряз. гос. пед. ун-т. им. С.А. Есенина. Рязань: РГПУ, 2002. С. 57-60.

97. Ивличев П.С. Достаточные условия существования периодического решения для систем с особой зависимостью от параметра // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр. / Ряз. гос. пед. ун-т. им. С.А. Есенина. Рязань: РГПУ, 2002. С. 60-61.

98. Ивличев П.С. Условия существования периодических решений систем дифференциальных уравнений с нулевой матрицей линейного приближения // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2002. № 6. С. 48-54.

99. Ивличев П.С. Оценка положения периодического решения автономных систем.// X сборник трудов X Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование." ч. 2 р. 2. М.-Ижевск, "Регулярная и хаотическая динамика", 2003, С. 95-103.