Периодические решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Панфилова, Татьяна Леонидовна

• Панфилова, Татьяна Леонидовна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Панфилова, Татьяна Леонидовна

Периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений. ствование периодических решений систем дифферентах уравнений в критических случаях. точные условия существования ненулевых периодичес-гшений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Периодические решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений»

Актуальность темы. В данной работе изучаются автономные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра с непрерывно дифференцируемой по фазовым переменным и параметру правой частью. Предполагается, что система имеет тривиальное решение при любых значениях параметра. Задачей исследования является определение условий существования ненулевых периодических решений рассматриваемых классов систем с заранее неизвестным периодом, который является функцией начального значения и параметра, а также условий существования периодических решений фиксированного периода.

Эта проблема занимает одно из центральных мест в качественной теории дифференциальных уравнений и при исследовании качественного характера различных математических моделей в физике, химии, биофизике и других науках [ 2, 21, 27, 34, 47, 48, 53-57 ].

Изучению периодических решений посвящено большое количество работ. Однако в силу сложности проблемы и многообразия конкретных систем, описывающих реальные процессы, общего подхода к решению поставленной задачи пока не найдено. Недостаточно изучена область критических случаев, при рассмотрении которых требуется привлекать свойства нелинейных членов системы. В частности недостаточно исследована проблема существования ненулевого периодического решения, период которого зависит от начальных условий и параметра . В связи с выше изложенным, задача поиска условий существования ненулевых периодических решений в критических случаях является весьма актуальной. Все это подтверждает актуальность предлагаемой работы, посвященной поиску достаточных условий существования периодических решений в критических случаях.

Цель работы. Пусть заданы системы дифференциальных уравнений вида: в которых х е R", € eRm , Rs — s — мерное действительное векторное пространство, параметр; A, A(s) -(пхп)-матрицы, ^(^-непрерывная по s матричная функция. ДО) = от, 0т - нулевая матрица размерности (пхп), Д0„, е) = 0„, 0И-n-мерный вектор-столбец, f(x,s) = fl(x,£)+f2(x,£), где /\(х,£), /2(х,£) -однородные векторные полиномы порядка к и т>к по х соответственно; g(x,£) = 2>(< Ч*,*), /к*)-форма по(х,£) порядка к, а Нт^Ч^ИНГ1 = О, где г = со1оп(х,£) и порядок по х у вектор - функций £,(.?,£), g2(x,£) выше первого, g(0,£) = 0.

В данной работе для изучаемых классов систем ставится задача поиска условий существования ненулевых периодических решений фиксированного периода р, когда система х=Ах имеет р-периодическое решение, и условий существования ненулевых решений, период которых зависит от начальных условий и параметра.

Рассмотрим кратко основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.

Основы качественной теории дифференциальных уравнений были заложены А. Пуанкаре [52] и А. М. Ляпуновым [39]. Разрабоk=A{£)x+f (х, £),

X = g(x, £),

X = Ах + f(x, £) ,

X = Ах + А(£)х + f (х, £) ,

0.1) (0.2) (0.3) (0.4) тайные ими методы позволяют при исследовании вопросов существования периодических решений нелинейных систем осуществлять переход к более простым системам, а так же исследовать вопросы устойчивости состояний равновесия динамических систем. Основные идеи качественного исследования отражены в книге В.В. Немыцкого, В.В. Степанова [49].

Вопросы существования периодических решений и их бифуркации исследовали И.Г. Малкин [41-43], М.А. Красносельский [31-33], Ю.Н. Неймарк [50] и другие ученые [13-16, 23, 62, 63].

Заслуга открытия рождения предельного цикла из состояния равновесия при изменении параметров системы принадлежит A.A. Андронову. В работах A.A. Андронова и его последователей наиболее полно изучены динамические системы на плоскости при исследовании систем прикладного характера [6-10]. Вопросы бифуркации автономных динамических систем третьего порядка рассматриваются в работе [19]. Проблемам существования предельных циклов посвящены работы Амелькина В.В. [ 3-5 ], Черкаса JI.A. [64, 65], Бобылева H.A. [ 13, 14 ], Малышева Ю.В., Захарова В.П. [44-46]. Остановимся кратко на некоторых результатах, полученными этими исследователями. В работе [3] получены дивергентные признаки существования предельных циклов у двумерных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В статье [4] вводится понятие дивергентной замкнутой траектории, с помощью которого для автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений устанавливаются признаки существования предельных циклов изучаемого класса систем.

В работе [65] рассматривается вопрос о числе предельных циклов, при этом не требуется проводить предварительную локализацию предельных циклов. Для автономных систем дифференциальных уравнений на плоскости в критическом случае в статье [64] доказаны достаточные условия устойчивости особого цикла, определение которого дано в этой работе.

В ряде работ [5, 44-46] вопрос о существовании периодических решений систем второго порядка и предельных циклов исследован с применением обобщенных функций Ляпунова. Так в статье [5] рассмотрена автономная система дифференциальных уравнений второго порядка, при этом период решения зависит от начальных условий. Даются необходимые и достаточные условия существования замкнутых решений, сплошь заполняющих некоторую область, причем определенные условия накладываются на функцию Ляпунова. В работах [44-46] рассмотрены двумерные системы дифференциальных уравнений. Для отыскания и определения устойчивости предельного цикла предложена методика использования нескольких обобщенных функций Ляпунова: определены условия устойчивости предельного цикла, предложена математическая процедура посекториального использования нескольких функций Ляпунова, исследуется проблема существования предельных циклов двумерной автономной системы дифференциальных уравнений методом обобщенных функций Ляпунова.

В работах [13, 14] предложен способ доказательства существования циклов в автономных системах дифференциальных уравнений, базирующийся на методе апостериорных оценок, при этом для получения изолированного решения проводится операция функционали-зации параметра.

Работа Е. Хопфа [71] послужила началом целого направления исследований. Изучалась n-мерная автономная система дифференциальных уравнений = /(■*, м), (1) где /л- скалярный параметр, а матрица /х(0,/л) имеет пару собственных значений a {ju)±i р (//), причем при // = 0 , а (0) = 0, ДО) * 0 и не существует других собственных значений матрицы /,(0,^) кратных пр, п €iV\{l}, действительные части других собственных значений - отрицательны. Было установлено, что при потере устойчивости особой точки системы ( 1 ) появляется устойчивое периодическое решение ( бифуркация Хопфа ). Изучению бифуркаций Хопфа для различных классов систем посвящены работы [11, 37, 38, 48]. В работах [66-70,73] обобщались условия на собственные числа матрицы линейного приближения, привлекались свойства нелинейных членов изучаемой системы [70,72]. В ряде работ для системы вида (1) в случае кратности нулевых и чисто мнимых собственных значений матрицы линейного приближения, посредством приведения системы к нормальной форме на инвариантной поверхности, получены условия существования периодических решений [17, 18, 37, 38].

В работе [74] изучаются вопросы существования, единственности и устойчивости периодического решения системы х = /(х,т) с периодическои чисто нелинейной правой частью.

Проблемы существования периодических решений и их бифуркации рассмотрены в работах [58, 59].

На основе метода сравнения, в работе [24] решается задача существования периодических решений у нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Малкин И.Г. в монографии [42] рассматривает неавтономную систему дифференциальных уравнений х = Ах+рф+р Щг,л:,//) (2) с Т- периодической правой частью. Причем характеристическое уравнение системы у = Ау имеет нулевой корень кратности к и г пар чисто мнимых корней вида ±0с] , к} , при этом всем указанным числам соответствуют простые элементарные делители. г

Положив т = , получим , что система у-Ау допускает т и только т Г-периодических решений. Предполагается, что порождающая система х-Ах + р(г) имеет семейство Г-периодических решений с т-мерным параметром М.

Решается задача существования Г-периодических решений системы (2) при малом ¡л , которое при ¡л =0 обращается в одно из порождающих решений. Задача сводится к решению уравнений % (М*, ¿и ) =0, I е /и} .В результате установлено, что если у (М*,0) = 0 (у = со1оп( у 1 ) , / € {1, /и} ) При М= л/ И у'(м*,6) * 0, то система (2) имеет при малом ц в резонансном случае единственное Т- периодическое решение, которое при ц =0 обращается в порождающее. В случае, когда у (м*,о) г о предлагается проводить деление на /и пока не придем к уравнению вида у (л/,о) = 0, а с!е1 /(м*,о) * 0. Кроме того, в работе [42] рассмотрен вопрос о периодических решениях автономных систем х-Ах + ц к{х,/л). (3)

Система вида (2) рассматривается в работе Гребенникова Е.А., Рябова Ю. А. [26], где авторы предлагают разработанный ими итерационный алгоритм нахождения периодических решений, изучаемых классов систем.

Бойчук А. А. в соавторстве с другими математиками в работах [16, 36] на основании разработанного им метода решения краевых задач [15], исследует вопрос о существовании периодических решений нелинейных автономных и неавтономных систем. В частности в работе [16] изучается квазилинейная система вида (3) в случае, когда уравнение для порождающих амплитуд имеет кратные корни, при этом отыскивается периодическое решение с периодом близким к периоду решения порождающей системы.

Вавилов С. А., Юхневич С. В. задачу существования периодического решения квазилинейной системы (3) для всех достаточно малых ц с заранее неизвестным периодом р( /л) > 0 , удовлетворяющим условию 1ш\р(/л) - р*\ = 0, р* - период решения системы х = Ах, исследуют путем построения операторных уравнений и применением метода итерации для нахождения решения и периода р(р) [21,22].

Наряду с вопросами существования, бифуркации периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений рассматриваются и проблемы устойчивости решений. Этой проблематике посвящена монография Малкина И. Г. [43]. В одном критическом случае, когда матрица линейного приближения имеет только чисто мнимые собственные значения в статье [29] решается задача устойчивости нулевого решения системы х*4х+Х(х).

В работах [16,22, 36] изучаются квазилинейные системы, для которых определяются условия существования периодического решения, период которого зависит от параметра, в окрестности ненулевого порождающего решения, причем в статье [16] предполагается, что для периода решения выполняется априорная оценка \р(ц)-р*\= СО). Для исследования автономных систем в работе Брюно А.Д. [18] предложен метод нормальных форм, с помощью которого система приводится к системе, которая или интегрируется или получает более простой вид, при этом требуется определить вид нормализующего преобразования. В предлагаемой диссертационной работе такое преобразование выполнять не требуется. Существование периодического решения автономных систем в окрестности нулевого решения изучается в статье [1] в предположении, что период решения нелинейной автономной системы совпадает с периодом решения порождающей системы дифференциальных уравнений.

Методика исследования. Задача поиска ненулевого периодического решения систем (0.1 )-(0.4) сводится к отысканию пары - начальное условие, параметр, которая определяет периодическое решение. Система уравнений относительного начального условия и параметра исследуется с помощью свойств как матрицы линейного приближения так и свойств нелинейных вектор-функций, путем применения метода неподвижной точки.

Содержание работы. В введении содержатся обоснование актуальности темы, цели работы, краткое изложение результатов других авторов, излагается методика исследования и краткое содержание работы.

Диссертация состоит из трех глав. Все результаты диссертации получены без предварительного выполнения нормализующего преобразования [18] и, следовательно, могут быть непосредственно использованы при исследовании конкретных систем дифференциальных уравнений прикладного характера. В § 1 главы 1 изучается система вида х = Ах + /(х, е) , (0.1) предполагается, что матрица ^-критическая. В теореме 1.1 дано необходимое и достаточное условие существования р - периодического решения системы ( 0.1 ), когда /(*,£)- непрерывная по х, е вектор-функция, /(0, £■) = 0. Далее для системы ( 0.1 ) задача поиска ненулевого периодического решения, период которого зависит от параметра, сводится к отысканию пары - начальное условие, параметр, удовлетворяющей некоторой системе уравнений. Необходимые сведения по теории обыкновенных дифференциальных уравнений взяты из [12, 28, 51], по функциональному анализу - из [30, 60], по линейной алгебре [25, 35].

В § 2 главы 1 решение поставленной задачи проводится с помощью перехода к вспомогательной системе путем замены г = т (1 + Я («,£■)) и нахождения периодического решения фиксированного периода новой системы. В отличии от работ [16, 22], в которых рассматриваются аналогичные проблемы для квазилинейных систем, в предлагаемой диссертационной работе параметр а е К".

В § 1 главы 2 изучаются условия существования периодических решений системы ( 0.2 ) с фиксированным периодом р, который является периодом решения « укороченной » системы х = Ах, а так же с периодом р = р* + Я (а, е ) , где Я (а, е ) -скалярная функция. Доказаны теоремы о существовании периодических решений в случаях, когда для фундаментальной матрицы В( г) системы к = Ах имеют место равенства

В(р) = В(0) = Е, гап^В(р)- £] = к <п( теоремы 2.1, 2.2, 2.3 ).

§ 2 главы 2 посвящен изучению периодических решений систем вида (0.3), при этом период решения р является функцией параметра и начального условия . Рассмотрены случаи , когда р*(а, е ) = (1 + Л (а,е))р*, Л (а,ё) = Л1(а) + Л2(е), где ^(^-форма порядка I по а, 1>\ или А,(¿)- форма порядка « по г. Установлен критерий отсутствия периодических решений. В качестве примера рассмотрена система Рёсслера.

Глава 3 посвящена изучению систем дифференциальных уравнений вида ( 0.4 ). В § 1 исследуется вопрос существования периодических решений с некоторым фиксированным периодом.

В § 2 изучается задача существования периодического решения, когда период решения системы зависит от начального решения и параметра. При этом задача нахождения ненулевого периодического решения при определенных условиях разрешается с помощью вспомогательной системы, имеющей ненулевое периодическое решение периода 1. Приведен пример существования ненулевого периодического решения. В работе [18] аналогичные проблемы решаются с помощью метода нормальных форм.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на международной конференции по дифференциальным уравнениям в г. Самаре, на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском государственном университете.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Панфилова, Татьяна Леонидовна

Заключение

Работа посвящена изучению систем п дифференциальных уравнений вида: х = Ах + /(х,е), (1) х= Ах + А(е)х + /(х,е), (2) х=А(е)х + /(х,£), (3) х = 8(х,£), (4) в которых матрица линейного приближения критическая, /(0, £■) = ()„,/(х, е) = /,(*,*) + /2 где /¡(х,£) имеет порядок к по х, a lim ||/2 (х, £•)! • ||х|Г* = 0 равномерно по s ; g(x,£) = £g(í>(x,£),g(n(x,£)

Ы-»0" ¡=¡c форма порядка / по совокупному аргументу (х,£), причем порядок по х выше первого.

Рассмотрены случаи, когда нормированная при t = 0 фундаментальная матрица Bit) системы х = Ах удовлетворяет условию В{р) = Е или rang(B(p) ~.E) = r <п для некоторого р > 0.

Целью работы была задача поиска достаточных условий существования ненулевых периодических решений некоторого фиксированного периода или периода, являющегося функцией параметра и начального условия. Системы изучались с помощью построения операторных уравнений относительно начальных условий и параметра, определяющих искомые решения, а так же с помощью теоремы Брауэра о неподвижной точке. Рассмотрены случаи, когда задача решается по свойствам матрицы А(е) и по свойствам вектор-функций g(x,£),f(x,£).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Панфилова, Татьяна Леонидовна, 1998 год

1. Абрамов B.B. Существование ненулевого периодического решения автономной системы дифференциальных уравнений в одном критическом случае // Дифференц. уравнения (качественная теория): Сб. науч. тр. /Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 1995. С.3-11.

2. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987. 157 с.

3. Амелькин В.В. О существовании предельных циклов двумерных автономных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1988. Т.24., № 12. С. 2027-2032.

4. Амелькин В.В. Об условиях существования предельных циклов двумерных автономных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1995. Т.31. № 12. С. 2070-2072.

5. Амелькин В.В., Гайшун И.В. О периодических решениях систем второго порядка// Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10. №9.1. С. 1560 -1564.

6. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз. 1959. 915 с.

7. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966. 568 с.

8. Андронов A.A., Леонтович Е.А. Рождение предельных циклов из негрубого фокуса или центра и от негрубого предельного цикла // Матем. сборник. 1956. Т40(82):2

9. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. 488 с.

10. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука. 1976. 496с.

11. Бибиков Ю.Н. Бифуркация типа Хопфа для квазипериодических движений//Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 9. С. 1539-1544

12. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. шк., 1991. 303 с.

13. Бобылев H.A., Коровин С.К. Итерационный алгоритм приближенного построения циклов автономных систем // Дифференц. уравнения. 1996. Т.32. № 3. С.301-306.

14. Бобылев H.A., Булатов A.B., Коровин С.К., Кутузов A.A. Об одной схеме исследования циклов нелинейных систем // Дифференц. уравнения. 1996. Т.32. № 1. С. 3-8.

15. Бойчук A.A. Конструктивные методы анализа краевых задач. Киев.: Наук, думка. 1990. 96 с.

16. Бойчук A.A., Журавлёв В.И., Чуйко В.Г. Периодические решения автономных систем в критических случаях // Укр. матем. журнал. 1990. Т.42. № 9. С. 1180-1187.

17. Брюно А.Д. Бифуркации периодических решений в симметричном случае кратной пары мнимых собственных значений // Числовые решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: 1988. С.161-176.

18. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1979. 253 с.

19. Булгаков В.И., Гринь A.A. Об одной бифуркации негрубого фокуса автономной системы третьего порядка // Дифференц. уравнения. 1996. Т.32. №12. С. 1703.

20. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука. 1976. 384 с.

21. Вавилов С.А. Критерий разрешимости резонансной периодической задачи в теории нелинейных колебаний // Докл. А.Н. СССР. 1990. Т.312. № 4. С. 787-790.

22. Вавилов С.А., Юхневич C.B. О периодических решениях автономных систем // Изв. вузов. Математика. 1992. № 9. С. 13-15.

23. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука. 1969. 528 с.

24. Воскресенский Е. В. О периодических решениях нелинейных систем и методе сравнения // Дифференц. уравнения. 1992. Т.28, № 4. С. 571-576.

25. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. 1967. 576 с.

26. Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука. 1979. 431 с.

27. Григорьева Е.В., Кащенко С.А. Отображение Пуанкаре в моделях лазера//Дифференц. уравнения. 1995. Т.31. № 1. С. 16-23.

28. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука. 1967. 472 с.

29. Жавнерчик В.Э. Задача об устойчивости в одном критическом случае//Дифференц. уравнения. 1990. Т.26. С. 1895-1898.

30. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука. 1984. 572 с.

31. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1966. 332 с

32. Красносельский М.А. Положительное решение операторных уравнений. М.: Наука. 1962. 457 с.

33. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука. 1975. 511 с.

34. Куликов А.Н. Об одном аналоге бифуркационной теоремы Хопфа в задаче о математическом исследовании нелинейного панельного флаттера при малом коэффициенте затухания // Дифференц. уравнения. 1993. Т.29. № 5. С. 548-554.

35. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ. 1963. 432 с.

36. Лыкова О.Б., Бойчук A.A. Построение периодических решений нелинейных систем в критических случаях // Укр. матем. журнал. 1988. Т.40. № 1. С. 62-69.

37. Любасова Г.Ю. О бифуркации циклов из сложного фокуса при двукратном вырождении со слабым резонансом // Глобальный анализ и математическая физика: Сб. науч. статей. Воронеж. 1987. С. 172-177.

38. Любасова Г.Ю. О бифуркации периодических решений из сложного фокуса // Нелинейные операторы в глобальном анализе: Воронеж. 1991. С. 136-141.

39. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гос-техиздат. 1950. 471 с.

40. Магницкий H.A. Бифуркация Хопфа в системе Рёсслера // Дифференц. уравнения. 1995. Т.31. № 3. С.538-541.

41. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: ГИТТЛ. 1949.

42. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: ШТТЛ. 1956. 365 с.

43. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука. 1966.532 с.

44. Малышев Ю.В., Захаров В.П. Исследование существования и выпуклости предельных циклов методом обобщенных функций Ляпунова//Дифференц. уравнения. 1989. Т.25. № 2. С.212-216.

45. Малышев Ю.В., Захаров В.П. Об отыскании предельного цикла в системе дифференциальных уравнений, описывающей модель брюсселятора// Дифференц. уравнения. 1985. Т.21. № 12. С. 21732175.

46. Малышев Ю.В., Захаров В.П. Функции Ляпунова и автоколебания // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23. № 4. С. 722-724.

47. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.: Мир. 1983. 397 с.

48. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее применение. М.: Мир. 1980. 367 с.

49. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат. 1949. 550 с.

50. Неймарк Ю.Н. Метод точечных преобразований в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1972. 471 с.

51. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1974. 332 с.

52. Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука. 1971. Т. 1. 771 с.

53. Ранцевич В.А., Самсон A.M. О предельных циклах динамической системы, моделирующей работу лазера // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25. №2

54. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Что такое биофизика. М.: Просвещение. 1971. 135 с.

55. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука. 1984. 304 с.

56. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука. 1979. 352 с.

57. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / Абалкин В.И., Аксёнов Е.П., Рябов Ю.А. и др.; Под ред. Дубоши-наГ.Н. М: Наука. 1976. 862 с.

58. Терехин М.Т. Бифуркация систем дифференциальных уравнений. М.: Прометей. 1989. 87 с.

59. Терехин М.Т. К теории бифуркаций систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Укр. матем. журнал. 1984. Т.36. № 5. С. 666-669.

60. Треногин В.А. Функциональный анализ. 1980. 496 с.

61. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука. 1966. Т.1. 608 с.

62. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1980. 720 с.

63. Хейл Дж. К. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир. 1966. 230с.

64. Черкас Л.А. Устойчивость одного особого цикла в критическом случае //Дифференц. уравнения. 1967. Т.З. № 7. С. 1060-1069.

65. Черкас Л.А. Функция Дюлака полиномиальных автономных систем на плоскости // Дифференц. уравнения. 1997. Т.ЗЗ. № 5. С. 689-699.

66. Chafee N/ The bifurcation of one or more closed orbits from an autonomus differential equation // J. Diff. Equat. 1968. № 4. p. 661679.

67. Cronin J/ Bifurcation of ptriodic solution // J. Math. Anal, and Appl. 1979. 68. № l.p. 130-151.

68. Deng Shitao. Necessary and Sufficient Condition of the Global Hopf Bifurcation for Hamiltonian Systems // Acfa. Math. Sin. New. Ser. 1983. Vol.5. № 3. p. 223-234.

69. Gils S.A. van Krupa M., Langford W.F. Hopf bifurcation with non-semisiple 1:1 resonanse//Nonlinearty. 1990. 3. № 3. p. 825-850.

70. Hayl S. Hopf bifurcation for ordinary differential equations with a zero eigenvalue // J. Math. Anal, and Appl. 1980. 74. № 1. p. 212-233.

71. Hopf E. // Ber. Math.-Phus. Sachsische Akademie der Wis-senshcaften, Leipzig, 1942. 94. S. 1-22.

72. Hyseyn K. Atadan A.S. On the analysis of Hopf bifurcation // Int. I. Eng. Sci. 1983. 21. № 3. p. 247-262.

73. Spiring F. Sequence of bifurcations in three-dimensional system a critical point // ZAMP. 1983. 34. № 3. p. 259-276.

74. Xiang Zigui, Tang Renhan. Periodic solution of some higer order nonlinear periodical system // Hunan. Ann. Math. 1992. 12. № 1-2. p. 5661.

75. Панфилова Т.Л. Существование периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений с параметром / Ряз. гос. пед. ун-т. 1997. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 20.01.97. № 152-В97.

76. Панфилова Т.Л. Периодические решения нелинейных систем дифференциальных уравнений / Ряз. гос. пед. ун-т. 1997. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 28.04.97. № 1427-В97.

77. Панфилова Т.Л. О ненулевых периодических решениях автономных систем дифференциальных уравнений / Ряз. гос. пед. ун-т. 1997. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 24.11.97. № 3447-В97.

78. Панфилова Т.Л. О некоторых критериях существования ненулевых периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений / Ряз. гос. пед. ун-т. 1997. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 24.11.97. №3448-В97.

79. Панфилова Т.Л. Существование периодических решений систем, зависящих от параметра // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 11. С.1578.

80. Панфилова Т.Л. О периодических решениях автономных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения ( качественная теория): Сб. науч. трудов. Рязань: Изд-во РГПУ, 1997.

81. Панфилова Т.Л. Периодические решения системы дифференциальных уравнений с параметром // Дифференц. уравнения ( качественная теория ) : Сб. науч. трудов. Рязань: Изд-во РГПУ, 1997.