Периодические решения неавтономных систем дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат физико-математических наук Ретюнских, Наталья Викторовна

• Ретюнских, Наталья Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ретюнских, Наталья Викторовна

Оглавление

Введение

ГЛАВА 1. Периодические решения системы дифференциальных уравнений с матрицей линейного приближения специального вида

§1. Существование периодических решений неавтономной

системы дифференциальных уравнений с параметром

§2. Достаточные условия существования ненулевых периодических решений

ГЛАВА 2. Исследование проблемы существования ненулевых

периодических решений с использованием нелинейных членов системы

§1. Признаки существования периодических решений

§2. Существование ненулевых периодических решений в случае, когда ранг матрицы Якоби меньше п

§3. Определение числа периодических решений, появляющихся при изменении параметра

ГЛАВА 3. Приведение матрицы а(1) к диагональному и треугольному виду с помощью постоянной матрицы

§1. Приведение матрицы к диагональному виду

§2. Приведение матрицы к треугольному виду

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Периодические решения неавтономных систем дифференциальных уравнений»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В настоящей работе рассматривается неавтономная система дифференциальных уравнений, зависящих от параметра с непрерывной по фазовым переменным и параметру правой частью. Предполагается, что система имеет тривиальное решение при любых значениях параметра. Задачей исследования является определение условий существования ненулевых периодических решений.

Эта проблема занимает одно из центральных мест в качественной теории дифференциальных уравнений и при исследовании качественного характера различных математических моделей в физике, химии, биофизике и других науках [1, 18, 24, 26, 48, 49, 59, 60, 62].

Изучению периодических решений посвящено большое количество работ. Однако в силу сложности проблемы и многообразия конкретных систем, описывающих реальные процессы, общего подхода к решению поставленной задачи пока не найдено. Недостаточно изучена область критических случаев, так как необходимость привлечения к рассмотрению нелинейных форм высоких порядков приводит к значительному усложнению задачи. Исключительно сложными являются также вопросы исследования существенно нелинейных систем. В связи с выше изложенным, задача поиска условий существования ненулевых периодических решений в критических случаях является весьма актуальной.

Цель работы состоит в получении достаточных условий существования в окрестности точки х = 0 ненулевых периодических решений конечномерной системы дифференциальных уравнений

i = A(t, л)х + F(t, x,ä)x , (0.1)

в которой х - п -мерный вектор, Л - малый параметр, принадлежащий т -мерному векторному пространству, правая часть системы периодична по t, F{t, 0,л) = 0, в случае, когда система x=A(t, о)х имеет нетривиальные периодические решения.

Методика исследования. Задача поиска ненулевого периодического решения системы (0.1) сводится к отысканию пары - начальное условие, параметр, которая определяет периодическое решение. Основным методом, применяемым в диссертации для решения этой задачи, является метод неподвижной точки нелинейного оператора. Построение нелинейного оператора основано как на свойствах матрицы линейного приближения, так и на свойствах нелинейной части системы. Фундаментальная матрица системы х = а(/, о)х полагается известной, для чего предполагается, что матрица A{t, о) имеет треугольный вид.

Рассмотрим кратко основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.

Основы качественной теории дифференциальных уравнений были заложены А. Пуанкаре [58] и А. М. Ляпуновым [41]. Основные идеи качественного исследования отражены в книге В.В. Не-мыцкого, В.В. Степанова [52].

Современные методы исследования колебаний нелинейных систем, основанные на работах Пуанкаре и Ляпунова, сводятся к построению периодических решений нелинейных систем с помощью рядов, расположенных или по степеням малого параметра, или по степеням малых начальных отклонений. Большой вклад в развитие этих методов внесли A.A. Андронов, A.A. Витт, С.Э. Хайкин [4],

Б.В. Булгаков [15], И.Г Малкин [42, 43], Л.И. Мандельштам [47] и другие ученые.

Заслуга открытия рождения предельного цикла из состояния равновесия при изменении параметров системы принадлежит A.A. Андронову. В работах A.A. Андронова и его последователей наиболее полно изучены динамические системы на плоскости при исследовании систем прикладного характера [2-5].

Малкин И.Г. в монографии [42] рассматривает неавтономную систему дифференциальных уравнений

х = Ах +p{t) +ц h(t,x,n) (2)

с Г-периодической правой частью. Причем характеристическое уравнение системы у = Ау имеет нулевой корень кратности к и г пар чисто мнимых корней вида ± ikj , к. eN , при этом всем указанным числам соответствуют простые элементарные делители. Полог

жив и = * + 2£*,, получим, что система у = Ау допускает да и только т Г-периодических решений. Предполагается, что порождающая система х = Ах + p(t) имеет семейство Г - периодических решений с да - мерным параметром М.

Решается задача существования Г-периодических решений системы (2) при малом ¡л , которое при ¡л =0 обращается в одно из порождающих решений. Задача сводится к решению уравнений у(М*,/л)= 0, i е jl, да| .В результате установлено, что если

у (М*, 0) = 0 (у - colon( у{),

i e{l, да}) при М= И* И det у (м\ о) ф 0, то система (2) имеет при малом ¡и в резонансном случае единственное Т - периодическое решение, которое при // = 0 обращается в порождающее. В случае, когда у (м\ 0) = 0 предлагается проводить

деление на ¡л, пока не придем к уравнению вида у [м*,о) = 0, а det у (м\ о) ф О. Кроме того, в работе [42] рассмотрен вопрос о периодических решениях автономных систем.

Вместе с появлением и развитием ряда новых методов, таких как асимптотические методы Н.М. Крылова, H.H. Боголюбова, Ю.А. Митропольского [11, 50], метод точечных преобразований [16, 51] и другие, дальнейшее развитие получили методы, базирующиеся на работах Пуанкаре-Ляпунова (см. например, монографии Е.А. Гребенникова и Ю.А. Рябова [25], В.И. Зубова [31], Г.В. Каменкова [32], Дж. Хейла [71], Т. Хаяси [70]).

Так, Дж. Хейл [71] предлагает эффективный метод построения периодического решения системы вида

z = Az + sZ(z, t, s),

где А = díag(o, в), В - q y q -матрица, удовлетворяющая условию: уравнение у = Ву не имеет нетривиальных периодических решений. Строятся итерации, использующие в качестве начального приближения z = colonia, о). Вектор а подбирается таким образом, чтобы в последовательных итерациях не появлялись непериодические члены. В книге [25] для квазилинейных систем вида

¿ = ^z + *F(f) + pZ(z, t, (3)

предлагается итерационный алгоритм нахождения периодических решений.

Бойчук А. А. в соавторстве с другими математиками в работах [13, 39] на основании разработанного им метода решения краевых задач [12] исследует вопрос о существовании периодических решений нелинейных автономных и неавтономных систем. В частности в работе [39] изучается квазилинейная система вида (3) в случае, ко-

гда уравнение для порождающих амплитуд имеет кратные корни. При этом отыскивается периодическое решение с периодом, близким к периоду решения порождающей системы.

В теории нелинейных колебаний широкое распространение получили асимптотические методы [И, 20, 32, 50], использующие осреднение правых частей дифференциальных уравнений по некоторым из переменных. Развивая методы Крылова-Боголюбова, различные авторы для систем уравнений вида

х = juX(x, у, ju),

y = Y0(x,y) + vY{x>y>v)

развили общий метод, основное содержание которого сводится к построению замены переменных, позволяющей отделить быстрые переменные (компоненты вектора у) от медленных (компонент вектора х) я представить решение в виде асимптотического ряда. К настоящему времени метод Крылова-Боголюбова развит для систем более общего вида.

В работе [22] уравнением сравнения является дифференциальное уравнение, не имеющее периодических решений, за исключением состояния равновесия. Близость правых частей сравниваемых уравнений порождает существование однотипных решений.

Численно-аналитический метод исследования периодических систем был предложен A.M. Самойленко [61]. Суть метода в построении последовательных периодических приближений. Совокупность условий, обеспечивающих применение метода к дифференциальным уравнениям, выделяет класс вполне определенных систем, условно названных им Т -системами.

В статьях [8, 9] предложен способ доказательства существования циклов в автономных системах дифференциальных уравне-

ний, базирующийся на методе апостериорных оценок, при этом для получения изолированного решения проводится операция функцио-нализации параметра.

Г.В. Каменковым [32] был развит метод исследования колебаний нелинейных систем с помощью функций Ляпунова. Он рассматривал системы как с одной, так и со многими степенями свободы, квазилинейные и существенно нелинейные. Особенно эффективный метод построения периодических решений квазилинейных и существенно нелинейных систем был предложен им при исследовании систем второго порядка. После перехода к полярным координа-

00

там г, в им была введена замена г = К + ^ ^(Vnf1 +.. .+Vm< и\щ}), где и\к)

- некоторые полиномы от sin в, cos#, подлежащие определению. Этот метод, кроме ответа на вопрос о существовании периодических решений по членам с конечной степенью ¡л и исследования проблемы устойчивости, позволяет решить задачу об оценке той величины малого параметра, при которой и менее которой построенные периодические решения существуют. Методом функций Ляпунова решается задача о существовании периодических решений у существенно нелинейных дифференциальных уравнений в статье [21].

В ряде работ Ю.В. Малышева [44-46] вопрос о существовании периодических решений систем второго порядка и предельных циклов исследован с применением обобщенных функций Ляпунова. Рассмотрены двумерные системы дифференциальных уравнений. Для отыскания и определения устойчивости предельного цикла предложена методика использования нескольких обобщенных функций Ляпунова: определены условия устойчивости предельного цикла, для конструирования кольцевой области, содержащей авто-

колебание, предложена математическая процедура посекториально-го использования нескольких функций Ляпунова, для исследования проблемы существования и выпуклости предельных циклов двумерной автономной системы применяются обобщенные функции Ляпунова, зависящие от параметра.

В работах М.А. Красносельского [35-37] используется тот факт, что периодические решения полностью определяются неподвижными точками оператора сдвига по траекториям системы. Наиболее важную роль при нахождении неподвижных точек оператора сдвига играет вращение векторного поля на границах некоторых областей. Задача оценки вращения с помощью метода направляющих функций заменяется аналитической проблемой существования некоторых заданных на фазовом пространстве функций, во многом аналогичных функциям Ляпунова. В статье [10] для нахождения неподвижной точки применяется функционализация параметра.

Для исследования автономных систем в работе Брюно А.Д. [14] предложен метод нормальных форм, с помощью которого система приводится к системе, которая или интегрируется или получает более простой вид, при этом требуется определить вид нормализующего преобразования.

Работа Е. Хопфа [76] послужила началом целого направления исследований. Изучалась п-мерная автономная система дифференциальных уравнений

* = /(*, //), (4)

где ц- скалярный параметр, а матрица /ДО,//) имеет пару собственных значений а {¡и) ± / /3 {¡и), причем при ¡л = 0 а (0) = 0, ДО) * 0 и не существует других собственных значений матрицы

/.ДО,//), кратных п(3, п еЛ^\{1}, действительные части других собственных значений - отрицательны. Было установлено, что при потере устойчивости особой точки системы (4) появляется устойчивое периодическое решение (бифуркация Хопфа). Изучению бифуркаций Хопфа для различных классов систем посвящены работы [6, 72, 74, 75]. В работе [75] привлекаются свойства нелинейных членов изучаемой системы. Приближенный метод для системы четвертого порядка с двумерным параметром предложен в статье [72].

В работе [78] изучаются вопросы существования, единственности и устойчивости периодического решения системы х = /(х, г) с периодической чисто нелинейной правой частью.

Проблемы существования периодических решений рассмотрены также в работах [19, 28, 55, 56, 69].

Теория бифуркации применяется к исследованию состояния равновесия системы, моделирующей пару последовательно соединенных химических реакторов с непрерывным перемешиванием [73]. Также исследуются вопросы применения бифуркации к объектам социологии, экономики [77].

Вопрос существования периодических колебаний для системы

описывающей процессы в химическом реакторе, решается в статье

Наряду с вопросами существования, бифуркации периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений рассматриваются и проблемы устойчивости решений. Этой проблематике посвящена монография Малкина И. Г. [43].

[54].

М.Т. Терехиным [63-66] и его учениками [29, 30, 34, 53] также исследовались вопросы существования периодических решений, бифуркации и устойчивости систем дифференциальных уравнений. Так, в работе [63] изложены некоторые вопросы теории бифуркаций систем обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих как от скалярного, так и от векторного параметра. В статье [29] рассматривается задача о локальном рождении периодических решений из особой точки системы трех дифференциальных уравнений вида х = А(Я)х + /(/, х, Л) при бифуркационном значении параметра, соответствующем состоянию равновесия с нулевыми корнями характеристического уравнения. Статья [30] посвящена исследованию неавтономных систем дифференциальных уравнений вида (0.1) второго и третьего порядков. Т.Л. Панфиловой в работе [53] рассмотрен вопрос о существовании р -периодического решения системы х = Ах + /(х,£) в случае, когда система х = Ах имеет р - периодическое решение, р = р* + рх+ о(р1, е).

Содержание работы. Настоящая работа содержит результаты исследования системы (0.1) с точки зрения существования в окрестности состояния равновесия (х = 0) ненулевых периодических решений. Предполагается, что у системы (0.1) при каждом значении параметра существует тривиальное решение. Большинство методов [9, 11, 42, 71] в этом случае не позволяют установить существование ненулевых периодических решений. Также в отличие от работ [И, 42, 51, 71] в предлагаемой диссертации параметр 1еГ.

В введении содержатся обоснование актуальности темы, цели работы, краткое изложение результатов других авторов, излагается методика исследования и краткое содержание работы.

Диссертация состоит из трех глав. В § 1 главы 1 производится линеаризация системы (0.1). Доказана теорема о совпадении периодических решений системы (0.1) и линеаризованной системы. Показано, что фундаментальную матрицу линеаризованной системы можно представить в виде суммы фундаментальной матрицы системы х = а(/, о)х и матриц, стремящимся к нулевым матрицам при стремлении параметра и начального данного решения системы (0.1) к нулю. Далее задача поиска ненулевого периодического решения сводится к отысканию пары начальное условие, параметр, удовлетворяющей некоторой системе уравнений.

В § 2 главы 1 доказаны признаки существования ненулевых периодических решений системы (0.1), основные условия наложены на элементы матрицы линейного приближения. Приведены примеры. Результаты теорем 1.4, 1.5 используются при исследовании системы Ресслера [24].

В § 1, 2 главы 2 определяются условия существования периодических решений системы (0.1), когда задачу не удается решить по линейным членам системы. Доказан признак отсутствия периодических решений (т. 2.1). В отличие от работ [12, 13, 25, 39], в которых исследуются квазилинейные системы (системы, в которых малый действительный параметр является множителем нелинейной части), в настоящей работе на изучаемую систему не накладывается условие обращения нелинейной её части в ноль при нулевом значении параметра, в том числе система (0.1) может вообще не включать параметр.

В большинстве работ, посвященных проблеме существования ненулевых периодических решений систем дифференциальных уравнений [13, 14, 30, 34, 53], ставится задача определения условий,

при которых система уравнений имеет хотя бы одно периодическое решение. В § 3 главы 2 настоящей диссертации при определенных условиях устанавливается число периодических решений для любого значения параметра вида Л = рХ , где р е (0, е), s - некоторое достаточно малое число, 2 - некоторое фиксированное значение параметра. Приведены примеры.

Глава 3 посвящена приведению матрицы A(t) к диагональному и треугольному виду. В большинстве работ на эту тему (см., например, [17, 28]) для приведения матрицы нужно иметь дело с фундаментальной матрицей системы дифференциальных уравнений. В данной работе приведение осуществляется без использования фундаментальной матрицы с помощью представления элементов матрицы A(t) в виде линейной комбинации конечного числа функций. Найдены необходимые и достаточные условия существования такой постоянной неособенной матрицы В, при которой матрица B~lA(t)B имеет диагональный или треугольный вид. В §1 приведен алгоритм поиска постоянной неособенной матрицы В, приводящей матрицу Ait) к диагональному виду.

Необходимые сведения по теории обыкновенных дифференциальных уравнений взяты из [7, 27, 57, 68], функциональному анализу [33, 40, 67], линейной алгебре [23, 38].

На защиту выносятся следующие положения:

1. Достаточные условия существования периодических решений в окрестности т. х = 0 для неавтономной системы дифференциальных уравнений вида (0.1) в критических случаях;

2. При определенных условиях установлено число периодических решений, появляющихся при изменении параметра;

3. Необходимые и достаточные условия существования постоянной неособенной матрицы, приводящей матрицу а{1) к диагональному или треугольному виду.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на Третьей Международной конференции " Дифференциальные уравнения и их приложения" в г. Саранске, в IV Крымской Международной математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" в г. Алушта, на Ижевском городском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления, на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в МГУ.

Основные результаты опубликованы в работах [79-84].

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Ретюнских, Наталья Викторовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа посвящена изучению ¿у-периодической системы п дифференциальных уравнений вида х = (Л( 0 + B(t, Л) + Fit, х, Л))х, (1) в которой Bit, 0) = 0, Fit, 0, Л) = 0, rangipico) - Е)

Цель работы была задача поиска достаточных условий существования ненулевых ¿у-периодических решений системы (1). Система изучалась с помощью построения операторных уравнений относительно начальных условий и параметра, определяющих искомые решения, а также с помощью теоремы Брауэра о неподвижной точке. Рассмотрены случаи, когда задача решается по свойствам матрицы Bit, Л) и по свойствам матрицы Fit, х, Л).

При определенных условиях установлено число периодических решений для фиксированного значения параметра.

Найдены необходимые и достаточные условия существования постоянной неособенной матрицы, приводящей матрицу Ail) к треугольному или диагональному виду.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ретюнских, Наталья Викторовна, 1998 год

Литература

1. Амелькин B.B. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987. 157 с.

2. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966. 568 с.

3. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. 488 с.

4. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 915 с.

5. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приёмы качественного

исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. 496 с.

6. Бибиков Ю.Н. Бифуркация типа Хопфа для квазипериодических движений//Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 9. С. 1539-1544.

7. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. шк., 1991. 303 с.

8. Бобылев H.A., Коровин С.К. Итерационный алгоритм приближенного построения циклов автономных систем // Дифференц. уравнения. 1996. Т.32. № 3. С.301-306.

9. Бобылев H.A., Булатов A.B., Коровин С.К., Кутузов A.A. Об одной схеме исследования циклов нелинейных систем // Дифференц. уравнения. 1996. Т.32. № 1. С. 3-8.

10. Бобылев H.A., Красносельский М.А. Функционализация параметра и теорема родственности для автономных систем // Дифферент уравнения. 1970. Т.6. №11. С. 1946-1952.

11. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Ассимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1955. 344 с.

12. Бойчук A.A. Конструктивные методы анализа краевых задач. Киев.: Наук, думка, 1990. 96 с.

13. Бойчук A.A., Журавлёв В.И., Чуйко В.Г. Периодические решения автономных систем в критических случаях // Укр. матем. журнал. 1990. Т.42. № 9. С. 1180-1187.

14. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 253 с.

15. Булгаков Б.В. Колебания. М.: Гостехиздат, 1954. 891с.

16. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. 384 с.

17. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966. 567 с.

18. Вавилов С.А. Критерий разрешимости резонансной периодической задачи в теории нелинейных колебаний // Докл. А.Н. СССР. 1990. Т.312. №4. С. 787-790.

19. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

20. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1984. 320с.

21.Воскресенский Е.В. О периодических решениях возмущенных дифференциальных уравнений//Изв. вузов. Математика. 1991. №1. С. 11-14.

22. Воскресенский E.B. О периодических решениях нелинейных систем и методе сравнения // Дифферента, уравнения. 1992. Т.28, № 4. С. 571-576.

23.Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

24. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. М.: Мир, 1986.

25. Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 431 с.

26. Григорьева Е.В., Кащенко С. А. Отображение Пуанкаре в моделях лазера// Дифференц. уравнения. 1995. Т.31. № 1. С.16-23.

27. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

28. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнения. Минск, 1963. 246с.

29. Заикина Т.П. О некоторых случаях зависимости решения системы дифференциальных уравнений от параметра. // Дифференциальные уравнения. Рязань, 1982. С.47-56.

30. Зубкова О.Н. Существование ненулевого периодического решения систем дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения. Рязань, 1997. С.36-38.

31. Зубов В.И. Теория колебаний. Учеб. Пособие для университетов. М.: Высш. школа, 1979. 400 с.

32. Каменков Г.В. Избранные труды, т. I. М.: Наука, 1971. 214с.

33. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 572 с.

34. Ковалев В.А. К задаче о ¿у-периодических решениях нелинейных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. Рязань, 1997. С.39-42.

35. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. 332 с.

36. Красносельский М.А. Положительное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1962. 457 с.

37. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. 511 с.

38. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ, 1963. 432 с.

39. Лыкова О.Б., Бойчук A.A. Построение периодических решений нелинейных систем в критических случаях // Укр. матем. журнал. 1988. Т.40. № 1. С. 62-69.

40. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 510с.

41. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гос-техиздат, 1950. 471 с.

42. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: ГИТТЛ, 1956. 365 с.

43. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.532 с.

44. Малышев Ю.В., Захаров В.П. Исследование существования и выпуклости предельных циклов методом обобщенных функций Ляпунова//Дифференц. уравнения. 1989. Т.25. № 2. С.212-216.

45. Малышев Ю.В., Захаров В.П. Об отыскании предельного цикла в системе дифференциальных уравнений, описывающей модель брюсселятора//Дифференц. уравнения. 1985. Т.21. № 12. С. 21732175.

46. Малышев Ю.В., Захаров В.П. Функции Ляпунова и автоколебания//Дифференц. уравнения. 1987. Т.23. № 4. С. 722-724.

47. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972. 470с.

48. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.: Мир, 1983. 397 с.

49. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее применение. М.: Мир, 1980. 367 с

50. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. К вопросу о периодических решениях систем нелинейных уравнений с малым параметром Укр. матем. журнал. 1960. Т.12. № 4. С. 391-401.

51. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 471 с.

52. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1949. 550 с.

53. Панфилова Т.Л. О периодических решениях автономных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. Рязань, 1997. С. 61-65.

54. Петрова В.В., Тонков Е.Л. Допустимость периодических процессов и теоремы существования периодических решений // Изв. вузов. Математика. 1996. №11. С. 65-72.

55. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.: Наука, 1964. 367 с.

56. Плисс В.А. О существовании периодических решений У некоторых нелинейных систем // Докл. АН СССР. 1961. Т. 137. №5. С. 1060-1073.

57. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 332 с.

58. Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука, 1971. ТЛ. 771 с.

59. Ранцевич В.А., Самсон A.M. О предельных циклах динамической системы, моделирующей работу лазера // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25. № 23.

60. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984. 304 с.

61. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования периодических систем обыкновенных дифференциальных уравнений. I // Украинский математический журнал. №4, 1965. С.82-94.

62. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1979. 352 с.

63. Терехин М.Т. Бифуркация систем дифференциальных уравнений. М.: Прометей, 1989. 87 с.

64. Терехин М.Т. К теории бифуркаций систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Укр. матем. журнал. 1984. Т.36. № 5. С. 666-669.

65. Терехин М.Т. Периодические решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр // Дифференциальные уравнения, Т. 11, №6, 1966. С.778-782.

66. Терехин М.Т. Периодические решения систем дифференциальных уравнений: Учеб. пос. К спецкурсу. Рязань: Ряз.пед.ин-т, 1992. 88 с.

67. ТреногинВ.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

68. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1966. Т.1. 608 с.

69. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1980. 720 с.

70. Хаяси Т. Вынужденные колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1957.

71. Хейл Дж. К. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966. 230 с.

72. Cendra Н., Salthu R., Torresi A. Finding nondegenerate Hopf bifurcation points for four-dimensional two-parametric systems // Comput. and Math. Appl. 1997. 33. №12. p. 115-124.

73. Dangelmayr Jerhard, Sternard Sar. Sequential Bifurcation in Continnos Stireed lank Chemical Reactors Compls in Series. S.I. A.V.I. Appl. Math., 1985,T.45, №6, p.895-918.

74. Deng Shitao. Necessary and Sufficient Condition of the Global Hopf Bifurcation for Hamiltonian Systems // Acfa. Math. Sin. New. Ser. 1983. Vol.5. № 3. p. 223-234.

75. Hayl S. Hopf bifurcation for ordinary differential equations with a zero eigenvalue // J. Math. Anal, and Appl. 1980. 74. № 1. p. 212-233.

76. Hopf E. // Ber. Math.-Phus. Sachsische Akademie der Wis-senshcaften, Leipzig, 1942. 94. S. 1-22.

77. Hristove S.J., Bainov D.D.. Periodic Solutions of Juasilinear Non-autonomons Systems with impulses. Bui. Austral Math. Soc.,31, №2, 1985, p.185-197.

78. Xiang Zigui, Tang Renhan. Periodic solution of some higher order nonlinear periodical system // Hunan. Ann. Math. 1992. 12. № 1-2. p. 56-61.

79. Ретюнских H.B. О ненулевых периодических решениях неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром / Ряз. гос. пед. ун-т. 1998. 9 с. Деп. в ВИНИТИ 20.04.98. № 1223-В98.

80. Ретюнских H.B. О существовании периодических решений системы дифференциальных уравнений, зависящих от параметра (тезисы доклада) // IV Крымская Международная математическая школа "Метод функций Ляпунова и его приложения". Тезисы докладов. Крым, Алушта, 5-12 сентября 1998 г. Симферополь: Изд-во СГУ, 1998. С. 56.

81. Ретюнских Н.В. О числе периодических решений неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром / Ряз. гос. пед. ун-т. 1998. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 20.04.98. № 1222-В98.

82.Ретюнских Н.В. Периодические решения неавтономных систем дифференциальных уравнений с параметром // Труды Третьей Международной конференции " Дифференциальные уравнения и их приложения ": Саранск, 19-21 мая 1998г. Саранск: Тип. "Крас. Okt.". 1998. С. 234.

83. Ретюнских Н.В. Приведение матрицы A(t) к треугольному и диагональному виду / Ряз. гос. пед. ун-т. 1997. 28 с. Деп. в ВИНИТИ 31.12.97. №3868-В97.

84. Ретюнских Н.В. Существование ненулевых периодических решений системы дифференциальных уравнений с параметром / Ряз. гос. пед. ун-т. 1998. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 20.04.98. № 1224-В98.