Ненулевые периодические решения систем дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Лискина, Екатерина Юрьевна

• Лискина, Екатерина Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лискина, Екатерина Юрьевна

Введение.

Глава 1. Ненулевые периодические решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Условия существования ненулевых периодических решений системы дифференциальных уравнений

Глава 2. Существование семейства периодических решений нелинейной системы дифференциальных уравнений.

§ 1. Алгоритм разрешимости задачи о существовании ненулевых периодических решений нелинейной системы дифференциальных уравнений.

§ 2. Критерии существования ненулевых периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Глава 3. Периодические решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями специального вида.

§ 1. Преобразование системы уравнений относительно пары: начальное условие, параметр, - к специальному виду.

§ 2. Достаточные условия существования периодического решения с начальными условиями специального вида.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ненулевые периодические решения систем дифференциальных уравнений»

Актуальность темы. В настоящей работе изучается неавтономная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Правая часть системы существенно нелинейна, непрерывна по фазовым переменным и периодическая по независимой переменной. Матрица соответствующей линейной однородной системы постоянна. Изучаемая нелинейная система имеет тривиальное решение. Задача исследования: поиск условий существования ненулевых периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений в малой окрестности нулевого решения.

Необходимость решения данной задачи возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических, биофизических, экономических и других процессов [2, 3, 23, 37, 46, 47, 50, 56, 58, 60, 64, 65, 70-73, 76]. Большое количество работ, посвященных этой теме, показывает, что многообразие конкретных систем, описывающих реальные процессы, и сложность проблемы не позволяют пока найти общего подхода к ее решению. Особенно трудны для исследования и, следовательно, наиболее слабо изучены нелинейные критические случаи. Таким образом, одна из основных задач качественной теории - задача поиска условий существования ненулевых периодических решений в нелинейных критических случаях - является весьма актуальной.

Цель работы заключается в получении достаточных условий существования малых ненулевых периодических решений системы п дифференциальных уравнений х = Ах + /((,х), (0.1) в которой х - и-мерный вектор, А - постоянная пхп-матрица, f(t,x) - непрерывная по своим переменным, а>-периодическая по / «-мерная вектор-функция, а>> 0 - некоторое число, f(t,0) = 0, х = 0 является решением системы (0.1).

Методика исследования. Задача поиска условий существования малых ненулевых периодических решений системы (0.1) посредством искусственного введения параметра сводится к задаче поиска условий существования ненулевого периодического решения системы с параметром, а затем - к отысканию пары: начальное условие, параметр, - определяющей такое решение. Последняя задача решается классическим методом неподвижной точки нелинейного оператора. Построение нелинейного оператора основано как на свойствах матрицы линейного приближения, так и на свойствах нелинейных членов правой части системы.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. Основы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений были заложены А. Пуанкаре [55] и A.M. Ляпуновым [41]. Методы исследования колебаний нелинейных систем, основанные на работах Ляпунова и Пуанкаре, сводятся к представлению периодических решений исследуемых систем в виде степенных рядов, составленных по степеням малого параметра и малых начальных отклонений, абсолютно и равномерно сходящихся для этих значений на любом заданном конечном промежутке времени. Большой вклад в развитие этих методов внесли A.A. Андронов, A.A. Витт, С.Э. Хайкин [3], Б.В. Булгаков [14], И.Г. Малкин [42], Л.И. Мандельштам [45] и другие ученые. Основные идеи качественного исследования систем дифференциальных уравнений содержатся в книге В.В Немыцкого и В.В. Степанова [49].

Открытие А. А. Андроновым [3] и Е. Хопфом [74] бифуркации рождения предельного цикла из состояния равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями при изменении параметров системы легло в основу целого направления исследований. В частности, в работе [74] изучалась п-мерная автономная система дифференциальных уравнений x = f{x,/i), в которой /л - скалярный параметр, матрица fx(0,ju) имеет пару собственных значений a(/j)±ij3(ju). При ju-0 а(0)=0, /?(0)*0 и не существует других собствееных значений матрицы fx.(o,ju), кратных nß, n<aN\{l}. Действительные части других собствееных значений - отрицательны. Было установлено, что при потере устойчивости особой точки изучаемой системы появляется устойчивое периодическое решение (так называемая бифуркация Хопфа). Изучению бифуркаций Хопфа для различных классов систем посвящены работы [6, 47, 73, 75].

Наиболее полно исследованы вопросы существования, устойчивости и бифуркаций периодических решений динамических систем на плоскости в работах A.A. Андронова и его коллег [3-5].

Методы качественного исследования разрабатываются как для автономных, так и для неавтономных систем. В монографии А.Д. Брюно [13] предложен метод нормальных форм, посредством которого исходная система дифференциальных уравнений приводится к такой системе, которая либо легко интегрируется, либо получает более простой вид. При этом требуется определить вид нормализующего преобразования. В ряде работ [19, 20, 30] и, в частности, в работе Ю. В. Малышева [44] вопросы существования, поиска и устойчивости периодических решений автономных систем решаются с помощью построения функций Ляпунова. В статьях H.A. Бобылева и его коллег [8-10] предложены способы доказательства существования циклов в автономных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, базирующиеся на методах апостериорных оценок, функционализации параметра и направляющих функций.

Много внимания в качественной теории дифференциальных уравнений уделяется поиску периодических решений систем, содержащих малый параметр. Исследование ведется как итерационными методами, базирующимися на работах Пуанкаре и Ляпунова [24, 30, 34, 59, 69], так и новыми, к которым относят асимптотические методы Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского

11, 67], метод точечных отображений [3, 15, 48], проекционные методы [34, 59].

Наиболее полно изучены квазилинейные системы при отсутствии резонанса и в критических случаях первого порядка. И.Г. Малкин в монографии [42] рассматривал систему х = Ах + /(() +/л х, /л) (0-2) с 2л--периодической правой частью и скалярным параметром. Предполагалось, что, во-первых, матрица А имеет к нулевых собственных чисел и г пар собственных чисел вида ±1р}, каждое из которых определяет групп решений системы у = Ау, всем указанным числам соответствуют простые элементарные делители (другими словами, г система у = Ау допускает ровно да = £ + 2]Гк линейно неза

7=1 висимых 2л--периодических решений), а во-вторых, порождающая система х = Ах + /{!) имеет семейство 2 п-периодических решений с т-мерным параметром М. Задача о существовании при малом /л такого 2 п-периодического решения системы (0.2), которое при ц = 0 обращается в одно из порождающих решений, сводилась к решению га-мерного уравнения ()(м,/л) = 0. Было установлено, что если существует М = М0 такое, что О{м0,о) = 0 и &х()'м{м,0)^0, то существует единственное решение задачи. Для случая 0{М0,0) = 0 предлагалось проводить деление на /л до тех пор, пока не получится уравнение вида

0. Так же в работе рассмотрен вопрос о периодических решениях автономных систем. В книге [24] для системы вида (0.2) предложен итерационный алгоритм вычисления периодических решений.

A.A. Бойчук и его коллеги [12, 39] изучают критический случай второго порядка (уравнение порождающих амплитуд имеет кратные корни) и распространяют на него метод простых итераций работы [24].

Дж Хейлом [69] был предложен эффективный метод построения периодического решения системы вида z = Az + s Z{z,t,e), где А = diag{0p, в), 0р - нулевая рхрматрица, В — qxq-матрица, удовлетворяющая условию: уравнение у-Ву не имеет нетривиальных периодических решений. Установлены необходимые и достаточные условия существования 7-периодических решений данной системы. Решения строятся методом итераций. В качестве начального приближения используется z = colon(a,0). Вектор а подбирается так, чтобы в последующих итерациях не появлялись непериодические члены.

Э.И. Грудо в работе [25] рассматривает периодическую систему вида x = X(x,yY,.,ym,z,t,fi), yk=Jkyk+Yk(x,yu.,ym,z,t,ju), z = Bz + Z(x,yl,.,ym,z,t,ju), k = \,m, для которой устанавливает условия существования семейства периодических решений в общем критическом случае. Семейство решений может быть представлено сходящимися рядами.

В статье [61] существование периодического решения счетной системы дифференциальных уравнений с малым параметром устанавливается с использованием принципа Шаудера.

Особый интерес представляет поиск периодических решений системы

Ы (о.з) с нелинейной, непрерывной и периодической по г правой частью, и в частности, системы вида (0.1). В.А. Плисс в статье [52] устанавливает достаточные условия существования периодического решения системы вида (0.3) с помощью индекса Пуанкаре.

М.А. Красносельский [32, 33, 35, 36] использует тот факт, что периодические решения полностью определяются неподвижными точками оператора сдвига по траекториям системы (0.3). Доказательство существования неподвижных точек опирается на метод направляющих функций, суть которого заключается в построении некоторых функций, заданных в выпуклой области фазового пространства, и последующей оценке вращения векторного поля на границе этой области. В монографиях [32, 33, 36] содержится обоснование метода направляющих функций и его применение к доказательству существования периодических, положительных и ограниченных решений, а в книге [35] -теория вращения векторных полей. Метод направляющих функций используется и в работе [79].

В статье Е. В. Воскресенского [21] развивается разновидность метода сравнения, основанного на подборе системы дифференциальных уравнений, обладающей решениями с заведомо известными свойствами. Близость правых частей сравниваемых уравнений порождает существование однотипных решений.

Работы [27, 28] посвящены определению условий существования периодических и условно-периодических решений системы (0.3) и основаны на развитии идей Ж.Л. Массера.

Проблемы существования и устойчивости периодических решений рассмотрены так же в работах [17, 18, 43, 51, 77, 78].

М.Т. Терехиным [62-65] и его учениками [1, 16, 53, 57] так же исследовались вопросы существования периодических решений, бифуркации и устойчивости систем дифференциальных уравнений. Так в работе [62] изложены некоторые вопросы теории бифуркаций систем обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих как от скалярного, так и от векторного параметра. В статье [1] вопрос о существовании периодических решений системы вида (0.3) решается посредством искусственного введения параметра по независимой переменной. Работы [16, 57] посвящены поиску достаточных условий существования периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений с параметром методом неподвижной точки нелинейного оператора. В статье [53] найдены достаточные условия существования аналитического семейства периодических решений автономной системы нелинейных дифференциальных уравнений.

Содержание работы. Настоящая работа содержит результаты исследования системы (0.1) с точки зрения существования ненулевых периодических решений в малой окрестности тривиального решения, тогда как работы [21, 32, 33, 52] предполагают поиск условий существования периодических решений в окрестности некоторого ненулевого решения. Более того, в перечисленных работах предложены способы доказательства существования хотя бы одного периодического решения, а в предлагаемой диссертации получен метод поиска целого семейства таких решений. Результаты настоящей работы применимы и для исследования систем дифференциальных уравнений, зависящих от параметра, при изучении критических случаев порядка выше первого. При этом при ¡л = 0, в отличие от работ [12, 24, 39, 42], не нужно требовать обращения одного из решений системы с параметром в решение порождающей системы.

Во введении содержатся: обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы. Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы.

В §1 главы 1 рассматривается замена переменных, приводящая систему (0.1) к системе с параметром. В отличие от работы [1], в предлагаемой диссертации параметр вводится не по переменной /, а по переменной х. Его размерность может быть выбрана произвольным конечным натуральным числом из соображений удобства. Доказаны теоремы о совпадении решений полученной системы с параметром с решениями соответствующей системы в вариациях. Найдено приближенное представление для фундаментальной матрицы решений системы с параметром. Задача поиска ненулевого периодического решения системы с параметром сводится к отысканию пары: начальное условие, параметр, - удовлетворяющей некоторой системе уравнений.

В § 2 главы I получены признаки существования ненулевых периодических решений системы с параметром, а вместе с ней и системы (0.1). В доказательстве используется структура матрицы линейного приближения системы с параметром при условии, что нелинейные члены можно представить в виде о(|Ы|)+о(Ы|) ( lim o(||er||)=0, lim о^ЫОЫГ1 = 0,

41 ' v " ИИ . ¡ни """ " a&R" — вектор начальных условий). Результаты основных теорем 1.3, 1.4, 1.6 применяются для исследования системы дифференциальных уравнений, моделирующей химическую реакцию Белоусова-Жаботинского [23].

В главе 2 получены условия существования ненулевых периодических решений системы с параметром, а вместе с ней и системы (0.1), с привлечением нелинейных членов. В § 1 разработан алгоритм разрешимости задачи существования семейства малых ненулевых а>-периодических решений при условии, что из нелинейных по параметру и фазовой переменной членов системы можно выделить непрерывные формы порядка к по совокупности компонент параметра и фазовых переменных (2 <к<1). Алгоритм состоит из чередующейся последовательности достаточных условий отсутствия и существования ненулевых «-периодических решений системы с параметром в окрестности решения = Основные теоремы 2.1, 2.2, 2.3.

Полученные результаты применяются для решения задачи о колебаниях вибратора с нелинейной восстанавливающей силой [11].

В § 2 главы 2 установлены критерии существования и отсутствия малых периодических решений при условии, что нелинейность системы по параметру и фазовой переменной позволяет выделить произведение s(a)ju, где ¿'(а) -лхш-матрица, элементами которой являются непрерывные формы порядка к-1 относительно компонент вектора а. Рассмотрены случаи т>п и т<п (т - размерность параметра, п - размерность фазовой переменной). Приводятся примеры.

В главе 3 доказаны условия существования ненулевого а -периодического решения системы дифференциальных уравнений с параметром, а вместе с ней и системы (0.1), когда вектор начальных условий имеет вид а = colon{0,. ,0,ап) или а = colon(0,., 0, аг+\, . ,ап), ссг+\ * 0, .,апФ 0, г<п.

Необходимые сведения по теории дифференциальных уравнений взяты из [7, 29, 54, 68], по качественной теории - из [4, 5, 26, 49], по функциональному анализу - из [31, 40, 66], по линейной алгебре - из [22, 38].

На защиту выносятся следующие положения:

1. Приведение системы вида (0.1) к системе с параметром. Достаточные условия существования семейства ненулевых периодических решений при условии использования структуры матрицы соответствующей линейной однородной системы.

2. Алгоритм разрешимости задачи существования семейства малых ненулевых ¿»-периодических решений при условии, что из нелинейных по параметру и фазовым переменным членов системы можно выделить непрерывные формы по совокупности компонент параметра и фазовой переменной.

3. Критерии существования периодических решений, когда нелинейность системы по параметру и фазовой переменной позволяет выделить форму особого вида.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на VII Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" в г. Дубна, на IV Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в г. Саранске, на V Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии, в V Крымской Международной математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" в г. Алушта, на семинаре Средневолжского математического общества под руководством профессора Е. В. Воскресенского.

Основные результаты исследований опубликованы в работах [80-89].

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Лискина, Екатерина Юрьевна

Заключение

Работа посвящена изучению системы дифференциальных уравнений вида х = Ах + f(t, х), где х - п-мерный вектор, А - постоянная лхи-матрица, f(t,x) - п-мерная вектор-функция, определеная и непрерывная по переменным t, х, со -периодическая по te }-оо, оо[, со> 0 - некоторое число, и удовлетворяющая условию lim f(t, х) ЦхГ1 = 0 равномерно х||н>0 по te [о, со].

Целью работы являлось нахождение достаточных условий существования ненулевых малых со -периодических решений данной системы. Исходная система с помощью замены переменных х = [е + ¿?(//)]х (е - единичная, в(/л) - непрерывная по ¡л, - пхп-матрицы) была сведена к системе с параметром. Была получена система п уравнений относительно начальных данных и параметра, определяющая искомые решения. Эта система исследовалась с помощью принципа неподвижной точки нелинейного оператора. Рассмотрены случаи, когда задача решается:

1) с использованием только матрицы линейной части системы (также найдены условия разрешимости поставленной задачи);

2) с использованием свойств нелинейных членов;

3)начальные условия имеют вид а = colon(О,.,О, ßn), ßn ИЛИ a = colon{p,.,ü,ßr+b — ,ßn)> ßr+1*0,-, ßn*0.

Рассмотрены примеры и прикладные задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лискина, Екатерина Юрьевна, 2000 год

1. Абрамов В. В. Периодические решения нелинейной системы дифференциальных уравнений // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. 1999. № 2. С. 5-8.

2. Амелькин В. В Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987. 157 с.

3. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 915 с.

4. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966. 568 с.

5. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. 488 с.

6. Бибиков Ю. Н. Бифуркация типа Хопфа для квазипериодических решений//Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, №9. С. 1539-1544.

7. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. шк., 1991. 303 с.

8. Бобылев Н. А., Булатов А. В., Коровин С. К., Кутузов А. А. Об одной схеме исследования циклов нелинейных систем // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № ГС. 3-8.

9. Бобылев Н. А., Коровин С. К. Итерационный алгоритм приближенного построения циклов автономных систем // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № 3. С. 301-306.

10. Бобылев Н. А., Красносельский М. А. Функционализация параметра и теорема родственности для автономных систем // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6, № 11. С. 1946-1952.

11. Боголюбов Н. 11., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1955. 344 с.

12. Бойчук А. А., Журавлев В. А., Чуйко. В. Г. Периодические решения автономных систем в критических случаях // Укр. матем. журнал. 1990. Т. 42, № 9. С. 1180-1187.

13. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М: Наука, 1979. 253 с.

14. Булгаков Б. В. Колебания. М.: Гостехиздат, 1954. 891 с.

15. Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. 384 с.

16. Бухенский К. В. Ненулевые периодические решения неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / Мордовский гос. ун-т. Саранск: Изд-во Мордовского гос. ун-та, 1998. 19 с.

17. Былов Б. Ф., Виноград Р. Э. Гробман Д. М. Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966. 567 с.

18. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

19. Веретенников В. Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М: Наука, 1984. 320 с.

20. Воскресенский Е. В. О периодических решениях возмущенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1991. № 1.С. 11-14.

21. Воскресенский Е. В. О периодических решениях нелинейных систем и методе сравнения // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, №4. С. 571-576.

22. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953. 492 с.

23. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. М.: Мир, 1986. 152 с.

24. Гребенников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука. 1979. 431 с.

25. Грудо Э. И. Периодические решения периодических дифференциальных систем в общем критическом случае // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 5. С. 763-767.

26. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

27. Дзюба С. М. Об условно периодических решениях дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №8. С. 1020-1023.

28. Дзюба С. М. Ограниченные и периодические решения дифференциальных уравнений // Вестник ТГТУ. 1995. Т. 1, № 34. С. 355-360.

29. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1972. 664 с.

30. Каменков Г. В. Избранные труды. Т. Г М.: Наука, 1971. 214 с.

31. Канторович Л. В., Акилов Г. ГГ. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 572 с.

32. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. 332 с.

33. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Наука, 1962. 457 с.

34. Красносельский М. А. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 455 с.

35. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. 511 с.

36. Красносельский М. А., Перов А. И., Поволоцкий А. И., Забрейко П. П. Векторные поля на плоскости. М.: ГИФМЛ, 1963. 248 с.

37. Кудрявцева Е. А. Периодические движения планетной системы с двойными планетами. Обобщенная задача Хилла. // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1999. №4. С. 59-61.

38. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ. 1963. 432 с.

39. Лыкова О. Б., Бойчук. А. А. Построение периодических решений нелинейных систем в критических случаях // Укр. матем. журнал. 1988. Т. 40, № 1. С. 62-69.

40. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 510 с.

41. Ляпунов. А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат. 1950. 471 с.

42. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956. 491 с.

43. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 532 с.

44. Малышев Ю. В., Захаров В. П. Исследование существования и выпуклости предельных циклов методом обобщенных функций Ляпунова//Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 2. С. 212-216.

45. Мандельштам. Л. И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972.470 с.

46. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М: Мир, 1983. 400 с.

47. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее применение. ML: Мир, 1980. 367 с.

48. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 471 с.

49. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1949. 550 с.

50. Петрова В. В., Тонков Е. Л. Допустимость периодических процессов и теоремы существования периодических решений // Известия вузов. Математика. 1996. № 11. С. 65-72.

51. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.: Наука, 1964. 367 с.

52. Плисс В. А. О существовании периодических решений у некоторых нелинейных систем // Доклады АН СССР. 1961. Т. 137, №5. С. 1060-1073.

53. Погорелов И. А. Периодические решения систем дифференциальных уравнений второго порядка // Вестник РГПУ (бывш. Вести. Ряз. пед. ин-та.). 1997. № 1. С. 83-88.

54. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965. 332 с.

55. Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука. 1971. Т. 1. 771 с.

56. Ранцевич В. А., Самсон А. М. О предельных циклах динамической системы, моделирующей работу лазера // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 23. С. 540-542.

57. Ретюнских Н. В. Периодические решения неавтономных систем дифференциальных уравнений: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / Удмуртский гос. ун-т. Ижевск: Издво УГУ, 1998. 16 с.

58. Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическая биофизика. ML: Наука, 1984. 304 с.

59. Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. Киев: Вища школа. Изд-во при Киев, ун-те, 1976. 180 с.

60. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1979. 352 с.

61. Сидорова JI. М. О периодических решениях счетной системы дифференциальных уравнений с малым параметром // Барнаул, гос. пед. ун-т. Барнаул, 1998. 6 с. Деп. в ВИНИТИ 08.07.98. № 2144-В 98.

62. Терехин М. Т. Бифуркация систем дифференциальных уравнений. М.: Прометей, 1989. 87 с.

63. Терехин М. Т. Периодические решения систем дифференциальных уравнений. Учеб. пос. к спецкурсу. Рязань: Ряз. пед. ин-т, 1992. 88 с.

64. Терехин М. Т. Устойчивость и предельные циклы в системе типа "хищник-жертва" при наличии внутривидовой конкуренции и заповедника // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. 1999. № 2. С. 82-93.

65. Терехин М. Т., Панфилова Т. JI. Периодические решения системы Ресслера // Известия вузов. Математика. 1999. № 8. С. 70-73.

66. ТреногинВ. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

67. Ухалов А. Ю. Почти периодические решения систем дифференциальных уравнений с быстрым и медленнымвременем в случае вырождения // Математические заметки. 1998. Т. 63. Вып. 3. С. 451-456.

68. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

69. Хейл Дж. К. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966. 230 с.

70. Цегельник В. В. О решениях одной динамической системы с квадратичными нелинейностями// Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 7. С. 1003-1004.

71. Bohl Е. On two models of the Belousov-Zhabotinskii reaction // Numerical Treatment of Differential Equation. Teubner-text zur Mathematic. Band 82. BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft. Leipzig. 1986. P. 8-13.

72. Budd C. J., Lee A. G. Double impact orbits of periodically forced impact oscillators // Proc. Roy. Soc. London. A. 1996. 452, № 1955. P. 2719-2750.

73. Cendra H., Salthu R., Torresi A. Finding nondegenerate Hopf bifurcation points for four-dimensional two-parametric systems // Math. Appl. and Comput. 1997. 33, № 12. P. 115-124.

74. Hopf E. Abzweigung einer periodischen Losung von einer Stationaren Losung eines Differential systems // Ber. Math.-Phus. Sachsische Akademie der Wissenschaften. Leipzig. 1942. 94. S. 122.

75. Hoyle S. L. Hopf Bifurcation for Ordinary Differential Equations with a Zero Eigenvalue // J. Math. Anal, and Appl. 1980. Vol. 74, № 1. P. 212-232.

76. Hristove S. J., Bainov D. D. Periodic solutions of quasilinear non-autonomous systems with impulses // Bui. Austral Math. Soc. 31, № 2. 1985. P. 185-197.

77. Lu Xiguan, Li Yong, Su Yi. Finding periodic solutions of ordinary differential equations via homotopy method // Math. Appl. and Comput. 1996. 78, № 1. P. 1-17.

78. Xiang Zigui, Tang Renhan. Periodic solutions of some higher order nonlinear periodical systems //Hunan. Ann. Math. 1992. 12, № 1-2. P. 56-61.

79. Zanolin F. Continuation theorems for the periodic problem via the translation operator // Rend. Semin. Mat. Univ. e Politecn. Torino. 1996. 54, № l.P. 1-23.

80. Лискина E. Ю. Об отыскании периодического решения системы дифференциальных уравнений методом малого параметра (сообщение СВМО) // Труды Средневолжского математического общества. Саранск: Изд-во СВМО, 1999. Т. 2, № 1. С. 96-97.

81. Лискина Е. Ю. Необходимое условие существования ненулевого периодического решения в окрестности начала координат системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 1999. 8 с. Деп. в ВИНИТИ 29.11.99, № 3504-В99.

82. Лискина Е. Ю. Достаточное условие существования ненулевого периодического решения для системы дифференциальных уравнений с параметром / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 1999. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 29.11.99, № 3505-В99.

83. Лискина Е. Ю. Существование периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2000. № 3. С. 53-59.

84. Лискина Е. Ю. О периодических решениях системы дифференциальных уравнений // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2000. № 3. С. 60-65.

85. Лискина Е. Ю. Существование семейства периодических решений системы дифференциальных уравнений (тезисы доклада) // Метод функций Ляпунова и его приложения. Тезисы