Квазипериодические решения систем дифференциальных уравнений в некоторых критических случаях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Перегудин, Александр Иванович

• Перегудин, Александр Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Перегудин, Александр Иванович

Введение

Глава 1. Двухчастотные колебания в автономной дифференциальной системе с двумя парами чисто мнимых собственных чисел матрицы линейного приближения

1.1. Построение первых интегралов.

1.2. Приведение системы первых интегралов к нормальной форме. Вещественные решения.

1.3. Построение двухчастотных решений.

1.4. Устойчивость двухчастотных решений.

Глава 2. Периодические решения автономной дифференциальной системы с заданным первым интегралом

2.1. Построение дифференциальной системы по заданному первому интегралу.

2.2. Преобразование дифференциальной системы и её первого интеграла к специальному виду.

2.3. Построение периодических решений периода, зависящего от начальных условий.

2.4. Устойчивость периодических решений.

Глава 3. Многочастотные колебания в дифференциальной системе, близкой к автономной с заданным первым интегралом

3.1. Преобразование дифференциальной системы к специальному виду.

3.2. Построение многочастотных решений в резонансном случае.

3.3. Устойчивость решений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазипериодические решения систем дифференциальных уравнений в некоторых критических случаях»

Актуальность проблемы. Широкий класс механических, физических, экономических, биологических и других систем описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений в критических случаях. Кроме того, критический случай может иметь место в системе обыкновенных дифференциальных уравнений, восстановленной по первому интегралу. Поведение решений таких систем во многом определяется их стационарными решениями — положениями равновесия, периодическими, почти периодическими, квазипериодическими и другими. Поэтому актуальна задача отыскания достаточных условий существования стационарных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений в критических случаях, построения этих решений и исследования их на устойчивость (задача Л). Эта задача еще не получила законченного решения для частных случаев таких систем относительно конкретных классов стационарных решений.

В диссертации задача Л решается относительно квазипериодических решений в окрестности устойчивого по Ляпунову положения равновесия в начале координат автономной аналитической системы дифференциальных уравнений в R4 в критическом случае двух пар чисто мнимых корней с двумя аналитическими первыми интегралами; периодических решений в окрестности устойчивого по Ляпунову положения равновесия в начале координат автономной аналитической системы дифференциальных уравнений в R3, восстановленной по определенно положительному первому интегралу, в критическом случае нулевого и пары чисто мнимых корней; резонансного квазипериодического решения возмущенной квазипериодической системы дифференциальных уравнений с малым параметром в окрестности условно устойчивого по Ляпунову и условно орбитально асимптотически устойчивого периодического решения порождающей системы из предыдущего пункта.

Цель работы. 1. В R4 в окрестности D = {\xi\ < R, R> 0} устойчивого по Ляпунову положения равновесия х = 0 исследуется автономная система дифференциальных уравнений

X2S-1 = -UsX2s +P2s-l(x) = P2s-l(x), ^

X2s = VsX2s-1 + P2s(x) = P2s (x), S = 1,2 в критическом случае двух пар чисто мнимых корней d:icj2- Предполагается, что:

QJJ

1) рп £ C°°{D)\ следовательно, в окрестности D \рп\ < М, -т-^- < L (М, L дх[ некоторые положительные постоянные) и функции рп(х) представимы абсолютно и равномерно сходящимися степенными рядами

Рп(х) = р{2](х) + . . . + р{п)(а;) + ., п = М, где Рк*\х) — однородные многочлены степени к > 2 относительно координат вектора х. По теореме Коши существует единственное решение х = x(t,x°), х(0,х°) = х°, х° £ Д причем ||я0|| = fi > 0, где // — малый параметр.

2) Базисные частоты ш2 вектора ш = (uji,uj2) рационально независимы и удовлетворяют условию "сильной" несоизмеримости m, w>| > Л||т||-а (0.2) для любого ненулевого целочисленного вектора m и некоторых постоянных А > 0, а > 2; здесь (га, а;) = mitoi + т2ш2, ||т|| = |mi| + |т2|.

3) В окрестности D существуют два аналитических первых интеграла системы (0.1) hs{х) = Cs, s = l,2, которые по доказанному имеют вид

Ы{х) =х\+х22 + hP(x) + . . . + Ц1)(х) + . . . = СЬ (ог) h2(x) = х\ + xl+ hf]{x) + . + н\2)(х) + . = С2, { ' } где h\s\x) — однородные многочлены степени / > 3 относительно координат вектора х, причем Лз^(0,0, а?з, = х2,0,0) = 0; Cs — некоторые постоянные, s = 1,2. Следовательно, положение равновесия х = 0 системы (0.1) устойчиво по Ляпунову.

Примером системы (0.1) является гамильтонова система дНг . дНг . дН2 . дН2

XI = —д—, Х2 = ——, ж3 = ———, х4 = ——, ОХ 2 ох 1 ОХ 4 ОХ 3 имеющая первые интегралы Hs(x) = Cs, где функции Hs(x) являются степенными рядами

М*) = + + £= +*<)+£

1 п=3 Z п=3 абсолютно и равномерно сходящимися в области D. В частности, функции Hs(x) являются многочленами степени р (р> 3)

Я,(») = ^(х? + xl) + £ я£>(*), н»(х) = + «2) + £ Я«>(*). n=3 ^ п=3

По теореме В. И. Зубова [26] система (0.1), (0.3) с рационально независимыми частотами ujj имеет семейство ограниченных решений при t £ R. В теореме указаны ограничения на начальные условия, при которых решения семейства являются периодическими или почти периодическими.

Для системы (0.1) требуется найти достаточные условия существования решения вида x = x(zt /i), x(z,fi) eC°°(Do), x(z + (2n),/x) = x(z, /z), где z = (21,22), zj = ЛК/^К Располагающегося в окрестности D устойчивого по Ляпунову положения равновесия х = 0. Здесь Aj(fi) = ujj + о{ц) — искомые рационально независимые и "сильно" несоизмеримые базисные частоты, Dq = {IJm^l <го, j = 1,2; 0 < /х < цо} — искомая область, символ -г + (2тт) обозначает вектор (z\ -f 27г, Z2 + 27г). Каждое такое решение, если оно существует, необходимо построить и исследовать на устойчивость.

2. В R3 в окрестности D = {\xi\ < R, R > 0} устойчивого по Ляпунову положения равновесия х = 0 исследуется автономная система дифференциальных уравнений дН дН . дН дН , . дН дН , ,п = = /ь £2= д--—~ = f2, х3 = ~— + — = /з, (0.4)

ОХ 2 ОХ 3 ОХ 1 ОХ з ОХ\ ОХ 2 восстановленная по определенно положительному первому интегралу, представимому абсолютно и равномерно сходящимся степенным рядом

H(x) = x\ + xl + x\ + Щх) + . + Нп(х) + . = а2, (0.5) где Нп — однородные многочлены степеии п относительно координат х, а — достаточно малая положительная постоянная. Система (0.4) имеет линейный первый интеграл xi + х2 + х3 = /3, (0.6) где (3 — некоторая постоянная, и рассматривается при значениях j3 € [^1 (с*) ;/?2 (<*)], соответствующих пересечению замкнутой поверхности (0.5) и плоскости (0.6). Для системы (0.4) имеет место критический случай нулевого и пары чисто мнимых ±2\/Зг корней.

Существуют такие положительные постоянные М, L, что |/5| < М, dfs\ < L при х £ D, s = 1,3. Для системы (0.4) ставится задача: требуется dxi указать достаточные условия существования решений х = x(t, х°, /3), периодических по t искомого периода Т(х0,/3), близкого к периоду То = 7г/\/3 решений линейного приближения системы (0.4). Каждое такое решение (и его период) необходимо построить и исследовать на устойчивость.

3. BR3 исследуется система дифференциальных уравнений is = f»(x) + pFs(z, х,р), s — 173, (0.7) где p — малый неотрицательный параметр, z=(z\,., Zk), причем zj = ajjt, j = 1, к. Система (0.7) при p — 0 является системой (0.4) и расматривается в области

D = {\3mzj\ <р, \х1-х^к+ъс\р)\ <r, 0</x</zi}, где р > 0, г > 0, pi > 0, j, f = 1,3, содержащей условно устойчивое по Ляпунову и условно орбитально асимптотически устойчивое 27г-периодическое по Zk+i = it решение системы (0.4) х = x(zk+i, с*, (3*) с резонансной частотой и>1+1: и*к+1 = 2тгТ~\с\П = К,а;), ||т*|| > 0.

Здесь с*,/3* — некоторые фиксированные достаточно малые положительные величины, 771* — некоторый фиксированный целочисленный вектор.

Предполагается, что: 1) Fs е C°°(D), Fs(z + (2к),х,р) = Fs(z,x,p)-, следовательно, \FS\ < M, № < L, s, I = 1,3, где M, L — некоторые положительные постоянные;

OXi

2) базисные частоты cji, . ,и>к вектора ш рационально независимы и удовлетворяют условию "сильной" несоизмеримости (0.2) для любого ненулевого целочисленного вектора m = (mi,.,mjt) и некоторых постоянных А > 0, а > к.

Для системы (0.7) ставится задача: требуется найти достаточные условия существования решения вида х = x(z, р), вещественно аналитического по координатам вектора z и р, 27г-периодического по координатам вектора z и обладающего свойством x(z, 0) = x(zk+i, с*,/?*). Необходимо, далее, это решение построить и исследовать на устойчивость по Ляпунову.

Методика исследования. 1. Поставленная для системы (0.1) задача Л решается с использованием методов теории возмущений, обусловленными введением малого параметра: методов теории ветвления решений нелинейных алгебраических уравнений [13], метода Ю. Н. Бибикова [9] построения квазипериодических решений возмущенного векторного поля на торе, метода исследования устойчивости решений на основе анализа соответствующих дифференциальных уравнений в вариациях.

Для системы (0.1), прежде всего, находятся независимые аналитические первые интегралы (0.3) из тождеств, которым они удовлетворяют на решениях системы (0.1).

С целью понижения порядка системы (0.1) уравнения (0.1) - (0.3) записываются в полярных координатах pj, 0j. Методами теории ветвления решений нелинейных уравнений построены решения алгебраической системы первых интегралов pj = pj(6,p), Pj(0,0) = 0, вещественно аналитические по и 27г-периодические по 0j при всех достаточно малых р > 0, и подставлены в систему дифференциальных уравнений относительно угловых величин j = 1,2. Полученная система z = (2:1,2:2), Zj = Xj(fi)t, Aj(0) = ujj, 6° — произвольный постоянный вектор, для тех значений р из найденного промежутка (0; ро), для которых построенные базисные частоты Xj(p) (j = 1,2) "сильно" несоизмеримы условием, аналогичным условию (0.2).

Соответствующие квазипериодические решения х = x(z,p) системы (0.1) исследованы на условную устойчивость (по Ляпунову, орбитальную) по системе дифференциальных уравнений в вариациях с применением к ним преобразования понижения порядка системы, преобразования усреднения Крылова-Боголюбова, метода функций Ляпунова, теоремы Андронова-Витта и ее обобщения.

2. Поставленная для системы (0.4) задача Л решается построением искомого периодического решения методом последовательных приближений в виде ряда по степеням начальных условий и исследованием устойчивости полученного решения по дифференциальным уравнениям в вариациях с использованием теорем Андронова-Витта и Пуанкаре.

Предварительно система (0.4) и первый интеграл (0.5) линейными неособенными преобразованиями искомых функций приводятся к каноническому виду в R2 где нелинейности Us, Q, величины А, е аналитичны относительно своих аргументов в достаточно малой окрестности их нулевых значений и в = ш + рФ(в,р),

0.8) щ = -А Ц3)и2 + Ui(u,0), й2 = А ((3)щ + U2(u,P), ul + u22 + Q(u,l3)=e2(a,/3),

0.9) (0.10)

А(0) = 2л/3, е(а, 0) = а.

Аналогично [33] доказано существование двухпараметрического семейства решений системы (0.9), (0.10) и = u(t,c,/3), щ(0, с, /3) = с, 1x2(0, с,/3) = 0, каждое из которых вещественно аналитично по с, /3 в достаточно малой окрестности их нулевых значений и периодично по t искомого периода

2тг

Т(с, /3) = щ[1 + h№c +. + + .].

Возникающие трудности построения искомого решения, вызванные аналитической структурой периода Т(с, /3), преодолеваются сведением (0.9) заменой [33] где hi(/3) — искомые величины, к системе ('= d/dr) и\ = (-и2 + A1C/i)(l + hlC + .), /л 11 \ и'2 = ( ul + \-lU2)(l + hlc+.) с искомым 27г-периодическим по г решением и = и(т, с, /3), щ(0,с,/3) = с, и2(0,с,/3)=0.

Методом последовательных приближений построено двухпарамет-рическое семейство решений и = и(т,с,/3), ui(0, с,/3) = с, «2(0, с, /3) = 0, вещественно аналитических по г, с, /3 и 27г-периодических по г в достаточно малой окрестности с = /3 = 0. Из условий 27Г-периодичности по г приближений найдены величины /i/(/3) последовательно для I > 1.

Формулы перехода от (0.4) к (0.11) позволяют свести исследование устойчивости Т(с, /3)-периодических решений системы (0.4) к исследованию устойчивости соответствующих 27г-периодических по т решений системы (0.11). Достаточные условия условной устойчивости (неустойчивости) по Ляпунову и условной орбитальной асимптотической устойчивости (ор- . битальной неустойчивости) получены по дифференциальным уравнениям в вариациях с использованием теоремы Флоке, теоремы Андронова-Витта и теоремы Пуанкаре.

3. Построение резонансного квазипериодического решения х = х(z, ц) системы (0.7) в критическом случае линейными неособенными заменами искомых функций, преобразованием Крылова-Боголюбова сведено к построению методом последовательных приближений [26, §17] единственного квазипериодического решения £ = €(z,fi) квазилинейной системы дифференциальных уравнений с постоянной некритической матрицей системы линейного приближения.

Достаточные условия асимптотической устойчивости соответствующего решения х = x(z,/i) системы (0.7) получены в результате применения теорем Флоке, Ляпунова и преобразований Ляпунова, Крылова-Боголюбова к дифференциальным уравнениям в вариациях, составленным относительно квазипериодического решения й = u(z, /2) вспомогательной системы дифференциальных уравнений, полученной в процессе перехода от (0.7) к последней системе.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений в критических случаях отличаются сложностью решения задачи Л и наиболее часто встречаются в прикладных задачах. В работе А. Н. Вейссенберга [14] указаны возможные типы критических случаев для уравнений Лагранжа второго рода с точки зрения структуры действующих сил.

Основы теории периодических решений (одночастотных колебаний) линейных и нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений заложены фундаментальными исследованиями А. Пуанкаре [47],

A. М. Ляпунова [32] и продолжены исследованиями А. А. Андронова [4], И. Г. Малкина [33, 34], Г. В. Каменкова [28], В. И. Зубова [25] - [27],

B. А. Плисса [46], В. А. Якубовича и В. М. Старжинского [56], В. Г. Вере-тенникова [15], Ю. Н. Бибикова [9] и других.

Теория Флоке-Ляпунова о структуре матрицанта линейной системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами послужила началом многочисленных последующих исследований. В монографии В .А. Якубовича, В. М. Старжинского [56] развита теория гамильтоновых систем, систем общего вида, систем, зависящих аналитически от малого параметра, систем с параметрическим резонансом. Полученные результаты использованы в прикладных задачах.

Методы Пуанкаре и Ляпунова исследования колебаний в нелинейных системах сводятся к построению периодических решений этих систем' в виде степенных рядов по степеням малого параметра, начальных отклонений, абсолютно и равномерно сходящихся в некоторой окрестности их нулевых значений на любом конечном промежутке времени.

Теория А. А. Андронова [4] о бифуркации рождения периодического решения из положения равновесия динамической системы на плоскости с чисто мнимыми характеристическими корнями матрицы линейного приближения при изменении параметров системы нашла развитие в исследованиях отечественных и зарубежных ученых.

В исследованиях И. Г. Малкина [33] развиты методы построения периодических решений многомерных квазилинейных автономных и периодических неавтономных систем с малым параметром в случае, когда порождающая система имеет семейство периодических решений.

В. И. Зубов [26] доказал теорему: для того, чтобы аналитическая автономная система дифференциальных уравнений порядка 2s с s парами чисто мнимых корней dziuik характеристического уравнения с рационально несоизмеримыми положительными частотами которым соответствуют простые элементарные делители, имела s-параметрическое семейство ограниченных решений, необходимо и достаточно, чтобы эта система имела s независимых аналитических первых интегралов, не содержащих времени t. В теореме указаны условия существования периодических и почти периодических решений семейства.

В монографии В. А. Плисса [46] изложены достаточные условия существования периодических решений неавтономных периодических систем дифференциальных уравнений.

Методы исследования квазипериодических решений (многочастотных колебаний) нелинейных систем дифференциальных уравнений были введены в работах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова [И], А. Н. Колмогорова [29], В. А. Арнольда [5, 6], Ю. Мозера [42] и продолжены в работах А. М. Самойленко [48], В. И. Зубова [26], Ю. Н. Бибикова [9], Е. А. Гребе-никова, Ю. А. Рябова [17, 18] и других.

В. И. Арнольд [5, 6] доказал теорему А. Н. Колмогорова [29] о сохранении квазипериодических движений гамильтоновой системы при малом изменении функции Гамильтона.

Ю. Н. Бибиков [9] исследовал проблему существования квазипериодических решений возмущенного векторного поля на торе. Исследуемая система последовательностью преобразований искомых функций приводится к предельной системе с постоянной правой частью.

В монографии В. И. Зубова [26] методом последовательных приближений построено асимптотически устойчивое по Ляпунову квазипериодическое решение с рационально независимыми базисными частотами возмущенной квазипериодической системы с малым параметром. При этом матрица коэффициентов системы линейного приближения имеет собственные числа с отрицательной вещественной частью.

В работах В. К. Голубева [20], И. Н. Перегудина, В. Н. Щенникова [44] получены некоторые результаты по исследованию воздействий многочастотных возмущений на управляемое вращательное движение твердого тела (системы твердых тел) вокруг неподвижной точки. При этом для невозмущенных систем дифференциальных уравнений с управлениями, предложенными В. И. Зубовым [27], имеют место критические случаи нулевых и чисто мнимых корней при наличии корней с отрицательной вещественной частью.

Основы теории устойчивости решений систем дифференциальных уравнений заложены фундаментальными исследованиями А. М. Ляпунова [32]. А. М. Ляпунов сводит задачу об устойчивости частного решения системы дифференциальных уравнений к исследованию устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений возмущенного решения с помощью двух созданных им методов — метода представления решений последней системы рядами специального вида и, по современной терминологии, метода функций Ляпунова. Эти функции, если они построены, дают достаточные условия устойчивости или неустойчивости. А. М. Ляпунов исследовал критические случаи одного нулевого корня, пары чисто мнимых, двух нулевых корней.

Дальнейшее развитие теория устойчивости, включая и критические случаи, получила в работах А. А. Андронова, А. А. Витта [4], В. В. Немыц-кого, В. В. Степанова [43], Н. Г. Четаева [50, 51], Е. А. Барбашина [7, 8] и Н. Н. Красовского [30], Н. П. Еругина [22, 23, 24], Н. Н. Боголюбова [И], К. П. Персидского [45], Б. П. Демидовича [21], И. Г. Малкина [33, 34], В. И. Зубова [25] - [27], В. Г. Веретенникова [15], И. В. Матросова [39], И. В. Матросовой [40], Н. Н. Баутина и Л. П. Шильникова [54], А. Д. Брюно [12], А. Л. Куницына [31], А. А. Шестакова [53], Ю. В. Малышева [35,36, 37], А. Ю. Александрова [1] - [3] и других.

А. А. Андронов и А. А. Витт [4] доказали теорему об устойчивости по Ляпунову периодического решения автономной системы в случае, если соответствующая система дифференциальных уравнений в вариациях имеет один мультипликатор, модуль которого равен единице, а модули остальных мультипликаторов меньше единицы.

В работе Н. Н. Баутина и Л. П. Шильникова [54] показано, что поведение системы дифференциальных уравнений вблизи границы области устойчивости линейного приближения определяется ее поведением на самой границе. В связи с этим обстоятельством ими введено понятие "опасных" и "безопасных" границ области устойчивости.

В работах [12], [31] исследование устойчивости систем дифференциальных уравнений с внутренним резонансом методом нормализующих преобразований сводится к исследованию устойчивости более простой системы.

В работах [1] - [3] содержится уточнение известных критериев устойчивости по нелинейному приближению. Получен ряд новых условий устойчивости неавтономных систем в критических случаях.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты, заключения и списка использованных источников, содержащего 72 наименования, и изложена на 119 страницах. Во введении содержатся: обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Перегудин, Александр Иванович

Заключение

Работа посвящена отысканию достаточных условий существования, построению и исследованию устойчивости квазипериодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений в критическом случае двух пар чисто мнимых корней и критическом случае нулевого и пары чисто мнимых корней.

1. В евклидовом пространстве R4 исследована в окрестности устойчивого по Ляпунову положения равновесия аналитическая автономная система дифференциальных уравнений в критическом случае двух пар чисто мнимых корней с двумя аналитическими первыми интегралами. Получены достаточные условия существования вещественно аналитических квазипериодических решений с рационально независимыми и "сильно" несоизмеримыми базисными частотами, зависящими от начальных условий. Указаны достаточные условия условной устойчивости (неустойчивости) по Ляпунову и условной орбитальной асимптотической устойчивости (орбитальной неустойчивости) построенных решений.

2. В евклидовом пространстве R3 исследована в окрестности устойчивого по Ляпунову положения равновесия аналитическая автономная система дифференциальных уравнений, восстановленная по аналитическому определенно положительному первому интегралу, в критическом случае нулевого и пары чисто мнимых корней. Получены достаточные условия существования семейства вещественно аналитических периодических решений периода, аналитически зависящего от начальных условий решения. Указаны достаточные условия условной устойчивости (неустойчивости) по Ляпунову и условной орбитальной асимптотической устойчивости (орбитальной неустойчивости) построенных решений.

3. В евклидовом пространстве R3 исследована возмущенная квазипериодическая система дифференциальных уравнений с малым параметром в окрестности условно устойчивого по Ляпунову и условно орбитально асимптотически устойчивого порождающего периодического решения из пункта 2. Получены достаточные условия существования единственного резонансного квазипериодического решения с рационально независимыми и "сильно" несоизмеримыми базисными частотами, обращающегося в порождающее при равенстве нулю малого параметра. Указаны достаточные условия асимптотической устойчивости по Ляпунову построенного решения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Перегудин, Александр Иванович, 2005 год

1. Александров А. Ю. Об устойчивости одного класса нелинейных систем / А. Ю. Александров // Прикладн. матем. и механ. 2000. - Т. 64, вып. 6. - С. 545 - 550.

2. Александров А. Ю. Об устойчивости по неавтономному первому приближению / А. Ю. Александров // Изв. вузов. Математика.2000. N 10. - С. 13 - 20.

3. Александров А. Ю. Об устойчивости сложных систем в критических случаях / А. Ю. Александров // Автоматика и телемеханика.2001. N 9. - С. 3 - 7.

4. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. М.: Наука, 1981. - 568 с.

5. Арнольд В. И. Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона / В. И. Арнольд // Успехи матем. наук. 1963. -Т. 18, вып. 5. - С. 13 - 40.

6. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической небесной механике / В. И. Арнольд // Успехи матем. наук. 1963. - Т. 18, вып. 6. - С. 91 - 192.

7. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости / Е. А. Барба-шин. М.: Наука, 1970. - 223 с.

8. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова / Е. А. Барбашин. М.: Наука, 1970. - 240 с.

9. Бибиков Ю. Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации /Ю. Н. Бибиков. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1991. - 144 с.

10. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. пособие для ун-тов / Ю. Н. Бибиков. М.: Высш. школа, 1991. -303 с.

11. Боголюбов H. H. О квазипериодических решениях в задачах нелинейной механики /Н. Н. Боголюбов // Труды первой летней математической школы. Киев, 1964. - С. 11 - 102.

12. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений / А. Д. Брюно. М.: Наука, 1979. - 253 с.

13. Вайнберг М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. М.: Наука, 1969. - 527 с.

14. Вейссенберг А. Н. О возможных типах критических случаев для уравнений Лагранжа второго рода / А. Н. Вейссенберг // Прикладн. матем. и механ. 1972. - Т. 36, вып. 1. - С. 72 - 76.

15. Веретенников В. Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем / В. Г. Веретенников. М.: Наука, 1984. - 320 с.

16. Галиуллин А. С. Построение систем программного движения / А. С. Галиуллин, И. А. Мухаметзянов, Р. Г. Мухарлямов, В. Д. Фу-расов. М.: Наука, 1971. - 325 с.

17. Гребеников Е. А. Новые качественные методы в нелинейной механике / Е. А. Гребеников, Ю. А. Рябов. М.: Наука, 1971. - 442 с.

18. Гребеников Е. А. Условно периодические решения канонических систем дифференциальных уравнеий при остром резонансе / Е. А. Гребеников, С. Г. Журавлев, Ю. А. Рябов. - М.: ИТЭФ, 1976. - 46 с.

19. Гребеников Е. А. Введение в резонансную аналитическую динамику / Е. А. Гребеников, Ю. А. Митропольский, Ю. А. Рябов. М.: Янус-К, 1999. - 320 с.

20. Голубев В. К. О многочастотных колебаниях систем в критическом случае / В. К. Голубев // Дифференциальные и интегральные уравнения: Межвуз. сб. Горький, 1978. - Вып. 2. - С. 56 - 60.

21. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. М.: Наука, 1967. - 472 с.

22. Еругин Н. П. О некоторых вопросах устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений / Н. П. Еругин. // ПММ. 1950. - Т. 14, Вып. 5. - С. 459 - 512.

23. Еругин Н. П. Некоторые общие вопросы теории устойчивости движения / Н. П. Еругин. // ПММ. 1951. - Т. 15, Вып. 2. - С. 227 -236.

24. Еругин Н. П. Качественные методы в теории устойчивости / Н. П. Еругин. // ПММ. 1955. - Т. 19, Вып. 5. - С. 588 - 616.

25. Зубов В. И. Колебания в нелинейных и управляемых системах / В. И. Зубов. JL: Судпромгиз, 1962. - 632 с.

26. Зубов В. И. Теория колебаний / В. И. Зубов. М.: Высш. школа, 1979. - 400 с.

27. Зубов В. И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов. М.: Наука, 1975. - 496 с.

28. Каменков Г. В. Устойчивость и колебания нелинейных систем / В. Г. Каменков. М.: Наука, 1972. - 214 с.

29. Колмогоров А. Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона / А. Н. Колмогоров // Докл. АН СССР. 1954. - Т. 98, N 4. - С. 527 - 530.

30. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красовский. М.: Физматгиз, 1959. - 211 с.

31. Куницын А. Л. Некоторые задачи устойчивости нелинейных резонансных систем / А. Л. Куницын, Л. Т. Ташимов. Алма-Ата: Гы-лым, 1990. - 196 с.

32. Ляпунов А. М. Общая задача устойчивости движения / А. М. Ляпунов. М.: Гостехиздат, 1950. - 472 с.

33. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний / И. Г. Малкин. М.: Гостехиздат, 1956. - 491 с.

34. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Малкин. М.: Наука, 1966. - 533 с.

35. Малышев Ю.В. Качественное исследование критических случаев устойчивости движения / Ю. В. Малышев. // Дифференциальные уравнения. 1984. - Т. 20., N 10. - С. 1715 - 1720.

36. Малышев Ю.В. Методы обобщенных функций Ляпунова и приложения / Ю. В. Малышев. //В кн.: Метод функций Ляпунова и его приложения Новосибирск: Наука, 1984. - 258 с.

37. Малышев Ю.В. Теоремы устойчивости движения и примеры / Ю. В. Малышев. // Дифференциальные уравнения. 1993. - Т. 29., N 10. - С. 717 - 718.

38. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н. М. Матвеев. М.: Высш. школа, 1967. -564 с.

39. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем / В. М. Матросов. М.: Физ-матлит, 2001. - 384 с.

40. Матросова Н. И. Вектор-функции Ляпунова в изучении критических случаев / Н. И. Матросова. // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988. - С. 195 - 203.

41. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике / Ю. А. Митропольский. Киев: Наукова думка, 1964. - 440 с.

42. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах / Ю. Мозер. М.: Мир, 1973. - 168 с.

43. Немыцкий В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В. В. Немыцкий, В. В. Степанов. М. - Л.: ГИТГЛ, 1949. -550 с.

44. Перегудин И. Н. О многочастотных колебаниях, описываемых квазилинейной дифференциальной системой в одном критическом случае / И. Н. Перегудин, В. Н. Щенников // Исследования по прикладной математике. Саранск, 1982. - С. 93 - 99.

45. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений / В. А. Плисс. М.: Наука, 1977. - 303 с.

46. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики: Избр. тр.: В 3 т. Т. 1 / А. Пуанкаре. М.: Наука, 1971. - 771 с.

47. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний / А. М. Самойленко. -М.: Наука, 1987. 302 с.

48. Сарычев В. А. Вопросы ориетации искусственных спутников / В. А. Сарычев. М.: Наука, 1987. - 302 с.

49. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике /Н. Г. Четаев. М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 535 с.

50. Четаев Н. Г. Устойчивость движения /Н. Г. Четаев М.: Наука, 1965. - 208 с.

51. Шестаков А. А. Об асимптотическом поведении многомерных систем дифференциальных уравнений / А. А. Шестаков // Ученые записки кафедр высш. математ. и теор. механ. М.: МПС ВЗИИТ, 1961. -Вып. 7. - С. 3 - 104.

52. Шестаков А. А. О степенной асимптотике неавтономной однородной и квазиоднородной системы / А. А. Шестаков // Дифференциальные уравнения. 1975. - Т. 11., N 8. - С. 1427 - 1436.

53. Якубович В. А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В. А. Якубович, В. М. Старжинский. М.: Наука, 1972. - 720 с.

54. Antosievicz N. A. A servey of Lyapunov's second method. Contributions to the theory of nonlinear oscilations / N. A. Antosievicz // Princetion univ. press. 1958. - V. 4. -P. 141 - 166.

55. Antosievicz N. A. Recent contributions to Lyapunov's second method. Les vibrations forsees dans les systems nonlineares / N. A. Antosievicz. // Collog. Internat. center nat. rech. scient. 1965. - V. 148. -P. 29 - 37.

56. Hahn W. Theory und Anwedung der directen Methode von Lyapunov / W. Hahn. Berlin - Gottingen. - Heidelderg.: Sprinder Verlag, 1959. -248 p.

57. Hahn W. Theory stability of motion / W. Hahn. Berlin - Heidelderg -New-York.: Sprinder Verlag, 1967. - 446 p.

58. La Salle J.P. Stability theory for ordinary differential equations / J. P. La Salle. // J. of Different. Equations. -1968. N 4. -P. 57 -65.

59. Massera J.L. On Liapunoffs conditions of stability of motion / J. L. Massera. // Annals of Math. 1949. - V. 50. - N 3. - P. 705 -721.

60. Salvadori L. Sulla stabilita del movimento / L. Salvadori. // Mathe-matiche. 1969. - V. 24. - P. 218 - 239.

61. Yoshizawa T. Stability theory by Lyaunov's second method / T. Yoshizawa. Tokio : Math. Soc. Japan. -1966. - 223 p.

62. Yoshizawa T. Stability theory and existence of periodic solutions almost periodic solutions / T. Yoshizawa. New York. - Heidelberg - Berlin. -1975. - 223 p.

63. Перегудин А. И. Многочастотные колебания в системах Ляпунова / А. И. Перегудин, И. Н. Перегудин // "Огаревские чтения". Науч. конф. (27; 1998 г.; г. Саранск): Материалы науч. конф.: В 5 ч. Саранск, 1998. - Ч. 5. - С. 141 - 143.

64. Перегудин А. И. Ветвление решений нелинейной системы двух уравнений / А. И. Перегудин // Технические и естественные науки: Проблемы, теория, практика: Межвуз. сб. науч. тр. Саранск, 2000. - С. 90 -92.

65. Перегудин А. И. Периодические решения автономной системы с заданным первым интегралом / А. И. Перегудин // Технические и естественные науки: Проблемы, теория, практика: Межвуз. сб. науч. тр. -Саранск, 2000. С. 86 - 88.

66. Перегудин А. И. Многочастотные колебания автономной системы в критическом случае / А. И. Перегудин // "Огаревские чтения". Науч. конф. (30; 2001 г.; г. Саранск): Материалы науч. конф. Саранск, 2001.-С. 258 - 263.

67. Перегудин А. И. Многочастотные колебания в нелинейных системах дифференциальных уравнений в критических случаях / А. И. Перегудин // Процессы управления и устойчивость. Науч. конф.: Труды (33;2002 г.; СПб.). СПб., 2002. - С. 102 - 107.

68. Перегудин А. И. Двухчастотные колебания в автономной системе дифференциальных уравнений / А. И. Перегудин // Методы возмущений в гомологической алгебре и динамика систем: Межвуз. сб. науч. тр. Саранск, 2004. - С. 49 - 54.