Обобщенная периодическая задача нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметром тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Талалаева, Екатерина Александровна

• Талалаева, Екатерина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Талалаева, Екатерина Александровна

Введение.

Глава I. Применение матрицанта системы линейного приближения к решению периодической задачи неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром.

§ 1. Представление матрицанта системы линейного приближения.

§ 2. Структура решения системы (1.1) в случае, когда нелинейная часть представима в виде произведения матрицы и неизвестного вектора.

§ 3. Структура решения системы (1.1) в случае, когда нелинейная часть представима в виде суммы вектор-форм по неизвестному вектору и параметру.

Глава II. Периодические решения краевой задачи неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром в случае особого вида начального значения.

§ 1. Условия существования ненулевых периодических решений исследуемой системы дифференциальных уравнений.

§ 2. Решение обобщенной периодической краевой задачи неавтономной системы дифференциальных уравнений.

Глава III. Периодическая краевая задача неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром в случае, когда нелинейная часть системы представима в виде суммы векторформ.

§ 1. Периодическое решение системы в случае, когда порядок нелинейного части выше, чем матрицы системы линейного приближения.

§ 2. Периодическое решение системы в случае, когда порядок нелинейного части ниже или равен порядку матрицы системы линейного приближения.

§3. Решение обобщенной периодической краевой задачи системы дифференциальных уравнений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенная периодическая задача нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметром»

Актуальность темы. В настоящей работе изучаются неавтономные нелинейные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра, с переменной матрицей системы линейного приближения. Предполагается, что система обладает нулевым решением при любом значении параметра. Краевые условия задаются с помощью векторного функционала, определенного на множестве решений исходной системы. Задачей исследования является поиск условий существования ненулевых периодических решений в окрестности нулевого.

Проблема нахождения периодического решения является одной из центральных проблем качественной теории дифференциальных уравнений. Подобная задача возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических, биофизических, экономических, социальных и других процессов [1, 2, 21, 31, 42, 49-51, 61, 70, 77, 80]. В частности, системы дифференциальных уравнений с переменной матрицей линейного приближения возникают в многоуровневой модели противоопухолевых реакций [24], в балансовых экологических уравнениях [66]. Еще большие трудности появляются при исследовании систем с дополнительно наложенными краевыми условиями. Как, например, при моделировании процесса конкуренции за питательный субстрат между гиперциклами (белковонуклеотидными комплексами), суммарная концентрация которых принята постоянной [64].

Несмотря на то, что изучению периодических решений систем дифференциальных уравнений посвящено большое количество работ, многообразие конкретных систем и значительная сложность проблемы не позволяют пока найти общего подхода к ее решению. Так, мало изученным является вопрос о построении фундаментальной матрицы системы линейного приближения в явном виде в случае, когда матрица линейной части зависит от времени.

Таким образом, задача определения условий существования ненулевых периодических решений системы дифференциальных уравнений с краевыми условиями в рассматриваемом случае представляется весьма актуальной.

Цель работы. Рассматривается система дифференциальных уравнений x = A{t,X)x + f(t,x,X), (0.1) где х - п -мерный вектор, X - т -мерный параметр, матрица A(t, X) и вектор-функция f(t,x,X) непрерывны по совокупности переменных и со-периодические по t. Вектор х = 0 является решением системы (0.1) при любом значении параметра X. На множестве решений системы (0.1) заю со дан векторный функционал J = fe(t,x,X)dt, J<J>(r,0,X)dt = a, где Ф((,х,Х) о о непрерывная к -мерная вектор-функция, а - постоянный к -мерный вектор. Ставится задача определения условий существования ненулевого со-периодического решения системы (0.1) в окрестности нулевого, при котором векторный функционал J сохраняет постоянное значение а.

Рассмотрим кратко основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.

Основы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений были заложены А. Пуанкаре [60] и A.M. Ляпуновым [41]. Методы исследования колебаний нелинейных систем, основанные на работах Ляпунова и Пуанкаре, сводятся к представлению периодических решений исследуемых систем с помощью степенных рядов, составленных по степеням малого параметра, начальных отклонений, абсолютно и равномерно сходящихся для этих значений на любом заданном конечном промежутке времени. Большой вклад в развитие этих методов внесли А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин [2], Б.В. Булгаков [И], И.Г. Малкин [44], Л.И. Мандельштам [48], Б. Хэссард [77] и другие ученые.

Метод малого параметра Пуанкаре, опирающийся на выделение основной системы с малым параметром и порождающей системы, в которую первая переходит при нулевом значении параметра, применяется во многих исследованиях [8, 43, 76, 85].

Ключевые идеи качественного исследования систем дифференциальных уравнений содержатся в книге В.В. Немыцкого и В.В. Степанова [54].

Открытие А.А. Андроновым [2] и Е. Хопфом [83] бифуркации рождения предельного цикла из состояния равновесия при изменении параметров системы легло в основу целого направления исследований. Е. Хопф в работе [83] устанавливает, что при потере устойчивости особой точки появляется устойчивое периодическое решение (так называемая бифуркация Хопфа). Изучению бифуркации Хопфа для различных систем посвящены работы [50, 53, 67, 77, 86]. Наиболее полно исследованы вопросы существования, устойчивости и бифуркаций периодических решений динамических систем на плоскости в работах А.А. Андронова и его коллег [2-4].

Вопросам бифуркации предельных циклов для различных систем посвящены работы Бобылева Н.А. [5,6], Малышева Ю.В., Захарова В.П. [46, 47], Черкаса JI.A. [78] и других авторов [12, 17, 70, 86]. Остановимся кратко на некоторых полученных результатах. В работе [5] определение условий существования предельного цикла системы обыкновенных дифференциальных уравнений опирается на метод функциона-лизации параметра и построение операторного уравнения, решения которого и позволяют определить наличие изолированных предельных циклов. Апостериорная оценка дает возможность при этом получить еще и локализацию решения. В статье [46] для установления существования предельного цикла используются мешок Бендиксона и обобщенные функции Ляпунова, которые предполагается удовлетворяют некоторым условиям.

Обобщенные функции Ляпунова применяются в ряде работ для нахождения условий существования периодических решений. Так в работе Малышева Ю.В. и Захарова В.П. [47] для построения области, содержащей устойчивый предельный цикл, предлагается математическая процедура посекториального использования нескольких функций Ляпунова. Описанный метод применяется к двумерной автономной системе дифференциальных уравнений. Воскресенский Е.В. [18] использует построение функций Ляпунова для исследования проблемы существования периодических решений у существенно нелинейных дифференциальных уравнений и применяет полученные таким образом результаты к уравнениям, описывающим нелинейные колебания. Функции Ляпунова используются для установления существования и устойчивости решений в работах [45, 55, 90]

Сложность прямой задачи привела к появлению работ, в которых исследуются системы, не имеющие периодических решений. В статьях [82, 89] рассмотрены достаточные условия отсутствия периодических решений в классе систем нелинейных дифференциальных уравнений.

Для качественного исследования систем дифференциальных уравнений применяется локальный метод нелинейного анализа, предложенный А.Д. Брюно [10]. Этот метод состоит в сведении исходной системы с помощью локальной замены к такой системе, которая либо легко интегрируется, либо является более простой. В сложных случаях исследуемая окрестность определенным образом разбивается на куски. Для исследования этим методом требуется определить нормализующее преобразование.

Малкин И.Г. в монографии [44] рассматривает неавтономную систему дифференциальных уравнений с Г-периодической правой частью и скалярным параметром. Ставится задача о существовании Т-периодического решения при малом значении параметра, которая сводится к решению недифференциального уравнения. Доказана единственность периодического решения при условии разрешимости этого уравнения и описана процедура получения других уравнений для поиска периодических решений. Также И.Г. Малкиным рассмотрены автономные системы и предложен итерационный алгоритм построения периодического решения для неавтономных систем. Вопросы устойчивости периодических решений исследовались в работе [45].

Для построения периодических решений многими исследователями используется метод итераций. Так в работе [9] итерационный алгоритм применяется к слабовозмущенным автономным нелинейным системам в критических случаях при кратных корнях уравнения для порождающих амплитуд. При этом отыскивается периодическое решение с периодом близким к периоду решения порождающей системы. Лаптин-ским В.Н. в статье [36] рассматриваются уравнения вида

Для уравнения (0.2) решение строится в виде рядов, содержащих целые отрицательные степени параметра. Приводится модифицированный алгоритм построения последовательных приближений для уравнения (0.3), в котором каждое приближение является ©-периодической функцией. Итерационные алгоритмы применяются в работах Бобылева Н.А. [6], Вавилова С.А. и Юхневича С.В. [15,16], а также других авторов

В работе Гребенникова Е.А.и Рябова Ю.А. [22] описаны различные конструктивные методы построения периодических решений, в частности, итерационный метод, метод усреднения, асимптотический метод. Метод усреднения состоит в построении для системы дифференциальных уравнений с помощью некоторого оператора усреднения так называемой усредненной системы. При этом оператор усреднения подбирается таким образом, чтобы исследование усредненной системы оказаx = A(t)x + f(t), x = A(t)x + f(t,x).

0.2) (0.3)

В, 59]. лось проще, чем исходной системы, а получаемое решение мало отличалось от решения исходной системы.

Метод усреднения лег в основу исследований Д. Хейла. В работе [76] им изучены нелинейные дифференциальные уравнения, свойства которых существенно обусловливаются нелинейностью. В частности, им рассмотрена система y = B(t)y + q{t,y, е), (0.4) периодическое решение которой строится методом последовательных приближений, а устойчивость определяется с помощью характеристических показателей.

На принципе усреднения основан и асимптотический метод. Применение асимптотических методов в задаче поиска периодического решения изложено в работе [7] Е.Н. Боголюбовым и Ю.А. Митрополь-ским.

Е.В. Воскресенским в статье [19] описан способ поиска периодических решений методом сравнения. Уравнением сравнения в данной работе является дифференциальное уравнение, не имеющее Т-периодических решений, за исключением состояния равновесия (начала координат). Близость правых частей сравниваемых уравнений порождает существование однотипных решений.

В.А. Пписсом [55, 56] рассмотрены вопросы существования периодических решений и их устойчивость в большом для систем с периодической правой частью. При изучении периодических систем первого и второго порядков используется именно тот факт, что системы имеют указанный порядок, то есть обобщить методы и результаты на системы более высокого порядка нельзя. Для исследования многомерных периодических систем используются признаки существования неподвижных точек топологических преобразований евклидова пространства в себя.

М.А. Красносельский [32-33] сводит проблему существования периодических решений неавтономных систем к проблеме существования неподвижных точек оператора сдвига по траекториям системы. Доказательство существования неподвижных точек опирается на метод направляющих функций, суть которого заключается в построении некоторых функций, заданных в выпуклой области фазового пространства, и последующей оценке вращения векторного поля на границе этой области.

В работах [35, 57] исследуется проблема существования периодических решений матричного уравнения Ляпунова = XA(t)X + 7JCB{t)+XF(t). (0.5) dt

Подолян С.В. в работе [57] использует проекционный метод для получения коэффициентных условий существования и единственности периодического решения.

Лаптинским В.Н. и Титовым В.Л. в работах [37, 71, 72] рассмотрены периодические решения полулинейных дифференциальных систем вида

- = A{t,x)x + f(t). (0.6) dt

Для системы (0.6) на основе проекционно-функционального метода разработан алгоритм построения со-периодического решения, изучены вопросы локализации этого решения, а также получены эффективно проверяемые условия существования и единственности со-периодического решения в заданном представлении.

Краевая задача наряду с задачей Коши является одной из основных в теории дифференциальных уравнений. Исследованию разрешимости краевых задач для систем дифференциальных уравнений посвящены работы Бойчука А.А. [8], Ешукова Л.Н. [25], Рудакова В.П. [65] и других авторов [28, 81, 84]. Монография Бойчука А.А. [8] посвящена проблемам существования и разработки алгоритмов построения решений линейных краевых задач для слабовозмущенных линейных и нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Краевые условия задаются линейным векторным функционалом. В зависимости от конкретного вида функционала рассматриваются двух- и многоточечные, а также широко распространенные периодические краевые задачи. В частности, исследуются системы вида х = Л(0* + ф(0> (0-7) x = A(t)x + (p(t) + eZ(t,x,s), (0.8) х = A(t)x + eAl (t)x + ф(/), (0.9) краевые условия для которых задаются равенством Lx = а. Для указанных систем строится обобщенная матрица Грина, с помощью которой исследуется структура множества решений таких задач. В статье Ешу-кова JI.H. [25] краевые условия приводят к построению оператора, неподвижная точка которого и определяет решение задачи. Доказательство существования такой точки опирается на теорему Шаудера.

Метод неподвижной точки при нахождении достаточных условий существования периодических решений используется в статьях М.Т. Терехина, Н.В. Ретюнских, В.А. Ковалева, К.В. Бухенского, Е.Ю. Лис-киной, П.С. Ивличева и др. [13, 14, 26, 29, 30, 38, 39, 52, 62, 63, 68, 69, 87, 88].

Для системы дифференциальных уравнений x = A(t,X)x+f(t,x,X) (0.10)

Бухенским К.В. в работе [13] с использованием теоремы Боля-Брауэра доказано существование со-периодического решения с начальным значением а = (о,.Да*) в предположении, что для элементов последнего столбца матрицы A(t,x) справедливо представление ain(<a,X)=^jciJXkj + оj(Х.|j, а вектор-функция f(t,x,X) представима равенстм вом f(t,x,X)=F(t,x,X)x. При том же предположении относительно вектор-функции f(t,x,X) Терехиным М.Т. в работе [69] рассмотрены случаи, когда условия существования ненулевого периодического решения системы (0.10) определяются как свойствами элементов матрицы A(t,X), так и свойствами нелинейных членов системы.

Ковалев В.А. в статье [30] рассматривает систему (0.10), в которой матрица A(t,x) есть матрица с доминирующей главной диагональю. Фундаментальная матрица системы линейного приближения записывается в виде матрицанта, заданного рекуррентным соотношением. Строится система приближений, которая определяет оператор. Показано, что для него выполняются условия теоремы Шаудера. В силу полученных оценок из компактного множества приближений выделяется подпоследовательность, предел которой является искомым периодическим решением.

В работе [63] Ретюнских Н.В. рассматривает систему дифференциальных уравнений х = (A(t) + B(t, X) + F(t, х, Х))х. (0.11)

Показано, что условие со-периодичности решения системы (0.11) сводится к уравнению вида R(a,X)a = 0. При дополнительных предположениях относительно структуры столбцов матрицы R(a,X) получены достаточные условия существования периодического решения со специальным видом начального условия.

Методика исследования. Для получения достаточных условий существования ю-периодических решений используется критерий периодичности х(са,а,Х)=а. Посредством представления решения через правую часть системы и подстановки его в уравнение, определяющее условие постоянства векторного функционала, поставленная перед исследованием задача сводится к разрешимости системы уравнений с алгебраической главной частью. С учетом свойств формы младшего порядка в этой системе находится точка, в окрестности которой расположена пара начальное значение - параметр, определяющая периодическое решение системы дифференциальных уравнений (0.1). Доказательство теоремы о достаточном условии существования периодического решения проводится методом неподвижной точки оператора. Построение такого оператора осуществляется с помощью разложения функций по формуле Тейлора. Существование неподвижной точки оператора и доказывает наличие ненулевого периодического решения рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, сохраняющего постоянное значение векторного функционала.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы. Во введении содержатся: обоснование актуальности темы, цель работы, краткий обзор результатов других авторов, методика исследования, краткое содержание работы.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Талалаева, Екатерина Александровна

Результаты исследования проблемы существования ненулевого периодического решения применены к установлению условий разрешимости обобщенной периодической краевой задачи исходной системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрены примеры применения теоретических положений. В частности, исследованы математические модели химических, экономических и социальных процессов.

114

Заключение.

Работа посвящена поиску условий существования в окрестности нулевого решения ненулевого периодического решения нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметром, удовлетворяющего краевым условиям.

Для исследуемой системы получены представления решения через начальные значения и параметр при различных предположениях относительно структуры правой части системы. Используя эти представления решения, условия существования периодических решений сведены к условию разрешимости систем недифференциальных уравнений. Аналогичные системы получены и для определения условий существования решения обобщенной периодической краевой задачи.

Получены необходимые условия существования ненулевого решения, а также условия разрешимости недифференциальных систем, обеспечивающие достаточные условия существования периодических решений в окрестности нулевого, связанные с коэффициентами разложений функций по формуле Тейлора. Доказательства достаточных условий проводятся методом неподвижной точки оператора.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Талалаева, Екатерина Александровна, 2006 год

1. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. -М.: Наука.- 1987.- 157 с.

2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз. - 1959. - 915 с.

3. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М: Наука. - 1966.-568 с.

4. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М: Наука. -1967.-488 с.

5. Бобылев Н.А., Булатов А.В., Коровин С.К., Кутузов А.А. Об одной схеме исследования циклов нелинейных систем // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. - № 1. - С. 3-8.

6. Бобылев Н.А., Коровин С.К. Итерационный алгоритм приближенного построения циклов автономных систем // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. - № 3. - С. 301-306.

7. Боголюбов Е.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат. - 1955. - 344 с.

8. Бойчук А.А. Конструктивные методы анализа краевых задач. -Киев: Наук, думка. 1990. - 96с.

9. Бойчук А.А., Журавлев В.А., Чуйко В.Г. Периодические решения автономных систем в критических случаях // Укр. матем. журнал. 1990. Т. 42. - № 9. с. 1180-1187.

10. Ю.Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука. - 1979. - 253 с.

11. П.Булгаков Б.В. Колебания. -М.: Гостехиздат. 1954. - 891 с.

12. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука. - 1976. - 384 с.

13. И.Бухенский К.В. К вопросу о существовании периодических решений неавтономных систем дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения (качественная теория). -1998.-№1.-С. 8-15.

14. И.Бухенский К.В. Ненулевые периодические решения неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром: Автореф. дис. на соиск. уч. степени канд. физ.-мат. наук / Мордовский гос. ун-т. Саранск: Изд-во Мордовского гос. ун-та. - 1998. - 19 с.

15. Вавилов С.А. Критерий разрешимости резонансной периодической задачи в теории нелинейных колебаний // Докл. АН СССР. -1990. Т.312. - №4. - С.787-790.

16. Вавилов С.А., Юхневич С.В. О периодических решениях автономных систем // Изв. вузов. Математика 1992. -№9. - С.13-15.

17. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука. - 1969. - 528 с.

18. Воскресенский Е.В. О периодических решениях возмущенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. — 1991. — №1.- С. 11-14.

19. Воскресенский Е.В. О периодических решениях нелинейных систем и методе сравнения // Дифференциальные уравнения. 1992. -Т. 28.-№4.-С. 571-576.

20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ. - 1953. - 492 с.

21. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. -М.: Мир. -1986.-152 с.

22. Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука. - 1979. - 431 с.

23. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука. 1967. -472 с.

24. Дибров Б.Ф., Лифшиц М.А., Волькенштейн М.В. Математическая модель иммунной реакции // Биофизика. 1977. - Т.22. - С. 313317.

25. Ешуков JI.H. Об одной функциональной задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1958. - Т. 13. -Вып. З.-С. 191-196.

26. Ивличев П.С. Достаточные условия существования периодического решения систем с особой зависимостью от параметра // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр., Ряз. гос. пед. ун-т Рязань: Изд-во РГПУ. - 2002. - С. 61-62.

27. Канторович J1.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. -М.: Наука. 1984. - 572 с.

28. Кигурадзе И.Т., Мухигулашвили С.В. О нелинейных краевых задачах для двумерных дифференциальных систем // Дифференциальные уравнения. 2004. - Т.40. - №6. - С. 747-755.

29. Ковалев В.А. Исследование свойств решений неавтономной системы дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2000. - №3. - С. 30-33.

30. Ковалев В.А. К задаче о со-периодических решениях нелинейных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (качественная теория). Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ - 1997. - С.39-42.

31. Колемаев В.А. Математическая экономика. -М.: ЮНИТИ. 1998. -245 с.

32. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука. - 1966. - 332 с.

33. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Наука. - 1962. - 457 с.

34. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ. - 1963. - 432с.

35. Лапковский В.К. Об одном представлении периодических решений матричного уравнения Ляпунова // Еругинские чтения 8: Тезисы докладов Международной математической конференции. -Брест: Изд. С.Б. Лавров. - 2002. - С.102.

36. Лаптинский В.Н. К вопросу о построении периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1983.-Т. 19. - №8. - С. 1335-1343.

37. Лаптинский В.Н., Титов В.Л. Алгоритм построения периодических решений полулинейных дифференциальных систем // Еругинские чтения 6: Тезисы докладов международной математической конференции. - Гомель. - 1999. - С. 76-67.

38. Лискина Е.Ю. О периодических решениях систем дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2000. - №3. - С. 60-65.

39. Лискина Е.Ю. Об использовании векторного параметра при получении достаточных условий существования малых периодических решений системы дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2002. - №6. - С. 67-71.

40. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.-М.: Наука. 1965.-510 с.

41. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гос-техиздат. - 1950. - 471 с.

42. Максимов В.П. О некоторых обобщениях некоторых дифференциальных уравнений, краевых задач и их приложения к задачам экономической динамики // Функционально дифференциальные уравнения. Вестник ПГТУ. - Пермь: Изд-во ПГТУ. - 1997. - №4. -С.103-120.

43. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: ГИТТЛ. - 1949. - 246 с.

44. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. -М.: Гостехиздат. 1956. - 491 с.

45. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука. - 1966. -532 с.

46. Малышев Ю.В., Захаров В.П. Исследование существования и выпуклости предельных циклов методом обобщенных функций Ляпунова // Дифференциальные уравнения. 1989. - Т. 25. - № 2. -С. 212-216.

47. Малышев Ю.В., Захаров В.П. Функции Ляпунова и автоколебания // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т.23. - №4. - С.722-724.

48. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука. -1972.-470 с.

49. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.: Мир. - 1983. - 400 с.

50. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее применение. М.: Мир. - 1980. - 367 с.

51. Милованов В.П. Об одном подходе к моделированию механизмов ценообразования // Экономика и математические методы. 1994. -Т.ЗО. -вып.1. - С.137-147.

52. Моисеев Д.С. О периодических решениях нелинейных автономных систем дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2004. - №8. - С. 57-62.

53. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. - 1972. - 471 с.

54. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ. - 1949. - 550 с.

55. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.: Наука. - 1964.-367 с.

56. Плисс В.А. О существовании периодических решений у некоторых нелинейных систем // Доклады АН СССР. 1961. - Т. 137. - № 5.-С. 1060-1073.

57. Подолян С.В., Юрасова Л.П. Проекционные метод отыскания периодических решений матричного дифференциального уравнения Ляпунова // Еругинские чтения 6: Тезисы докладов международной математической конференции. - Гомель. - 1999. - С. 72-73.

58. Понтрягин Л.С. обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука. 1965. - 332 с.

59. Портнов М.М. Об одном подходе к построению периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Воронеж.гос.ун-т. Воронеж. 2004. - 30с. - Рус. Деп. в ВИНИТИ 06.08.2004. - №1374 - В2004.

60. Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука. - 1971. - Т. 1. - 771 с.

61. Ранцевич В.А., Самсон A.M. О предельных циклах динамической системы, моделирующей работу лазера // Дифференциальные уравнения. 1989. - Т. 25. - № 23. - С. 540-542.

62. Ретюнских Н.В. Ненулевые периодическое решения системы дифференциальных уравнений с параметром // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2000. - №3. - С. 117-120.

63. Ретюнских Н.В. Периодические решения неавтономной системы дифференциальных уравнений специального вида // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения (качественная теория). 1998. -№1.-С. 75-81.

64. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука. - 1984. - 304 с.

65. Рудаков В.П. Об одном обобщении краевой задачи Ешукова // Дифференциальные уравнения. 1991. - Т.27. - №12. - С. 21772178.

66. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука. - 1979. - 352 с.

67. Терехин М.Т. Бифуркация систем дифференциальных уравнений. М.: Прометей. - 1989. - 87 с.

68. Терехин М.Т. Периодические решения систем дифференциальных уравнений. Учеб. пос. к спецкурсу. Рязань: Изд-во РГПИ. - 1992. -88 с.

69. Терехин М.Т. Существование малых периодических решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журнал. 2001. - Т.53. - №5. - С.680-687.

70. Терехин М.Т. Устойчивость и предельные циклы в системе типа "хищник-жертва" при наличии внутривидовой конкуренции и заповедника // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. -1999.-№2.-С. 82-93.

71. Титов В.Л. Об одном представлении периодических решений полулинейных дифференциальных систем // Вестник НАН Беларуси. Физ.-мат. н.-Минск: Изд-во НАН. 1999.-№1. - С. 13-17.

72. Титов В.Л. Периодические решения полулинейных дифференциальных систем // 8 Белорусская математическая конференция: Тезисы докладов. Минск : Изд-во ИМ НАНБ. - 2000. - С. 161.

73. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. - 1980. - 496 с.

74. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука. - 1959. -Т.2. - 808 с.

75. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир.- 1970.-720 с.

76. Хейл Дж. К. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир. - 1966. 230 с.

77. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн. И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир. - 1985. - 280 с.

78. Черкас Л.А., Шевцов И.Л. Предельные циклы нормального размера квадратичных систем с негрубым фокусом // Дифференциальные уравнения. 2004. - Т.40. - №8. - С. 1076-1084.

79. Щенников В.Н., Шеворакова Н.А. Исследование устойчивопо-добных свойств многосвязных систем // Молодые ученые Волго-Уральского региона на рубеже веков: Материалы научной конференции молодых ученых. Уфа: Изд-во БГУ. - 2001. - С.61-62.

80. Bohl Е. On two models of the Belousov-Zhabotinskii reaction // Numerical Treatment of Differential Equation. Teubner-text zur Math-ematic/ Band 82/ BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft. Leipzig. -1986.-P. 8-13.

81. Cabada Alberto, Poulo Rodrigo L. Existence results for the problem (ф(м')) = f(t,u,u') with nonlinear boundary conditions // Nonlinear Anal. Theory, Math. and. Appl. 1999. -T.35. -№2. -P. 221-231.

82. Duan Feng. On the nonexistence of limit cycles for a class of nonlinear differential system // Changde shifan xueyuan xuebao ziran kexue ban. -2001. T.13. -№4. -P.13-15.

83. Hopf E. Abzweigung einer periodischen Losung von einer stationaren Losung eines Differential systems // Ber. Math.-Phus. Sachsische Akademie der Wissenschaften. Leipzig. 1942. - T.94. - S. 1-22.

84. Lu Wenlian, Chen Tianping. On periodic dynamical systems // Chin. Ann. Math. B. 2004. - T.25. - № 4. - P.455-462.

85. Torres Pedro J., Zanolin Falio. Periodic motion of a system of two or three charged particles // J. Math. Anal, and Appl. 2000. - T.25. -№2. -P.375-386.

86. Qu Xiu, Shen Cong. Hopf bifurcation of a class of biochemical reaction models // J. Liaoning Norm. Univ. Natur. Sci. 2004. - T.27. - №1. -P. 21-24.

87. Wang Feng, Ma Zhien. Persistence and periodic orbits for an SIS model in a polluted environment // Comput. and Math Appl. 2004. -T.47. -№4-5. - P. 779-792.

88. Wojcik Klaudiusz. On existence of positive periodic solutions // Monatsh. Math. 1998. - T.125. - №4. - P.343-350.

89. Yang Qigui, Yan Ping. On the nonexistence of periodic solution for a class of nonlinear differential system // Chin. J. Eng. Math. 1998. -T.15. -№1. - P. 113-116.

90. Zhu Ye-ming, Qiao Zong-min. The existence of almost solution of a kind of almost periodic equation // J. Anhui Norm. Univ. Natur.Sci. -2004. T.27. -№1.-P. 8-12.

91. Талалаева Е.А. О стабильной работе отраслей экономики // Национальная экономика: Проблемы и перспективы российских реформ. Материалы Всероссийской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов. Рязань: Изд-во РГПУ. - 2004. -С. 41-42.

92. Талалаева Е.А. К вопросу о представлении решения системы дифференциальных уравнений с параметром, имеющей переменную матрицу системы линейного приближения // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2005. - №9. - С. 99-105.

93. Талалаева Е.А. Условия существования периодических решений неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2005. -№9.-С. 106-114.

94. Талалаева Е.А. Математическая модель реакции окисления малоновой кислоты броматом // Нелинейный мир. Десятая междисциплинарная научная конференция: Тезисы докладов. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского. - 2005. - С. 134.

95. Талалаева Е.А. Периодическая краевая задача неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром // Ряз.гос.пед. ун-т. Рязань, 2005. - 16с. - Деп. В ВИНИТИ 19.04.2005, №543-В2005.

96. Талалаева Е.А. К вопросу о разрешимости периодической задачи неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром // Ряз. гос.пед. ун-т. Рязань, 2005. - 14с. - Деп. В ВИНИТИ 19.04.2005, №542-В2005.

97. Талалаева Е.А. Математическая модель развития отраслей экономики региона при заданном уровне потребления // Известия ТулГУ. Серия «Дифференциальные уравнения и прикладные задачи», Вып.1. Тула: Изд-во ТулГУ. - 2005. - С. 269-284.

98. Талалаева Е.А. Математическая модель реакции Белоусова-Жаботинского // Информатика и прикладная математика: Межвуз. Сб. науч. Тр., Ряз.гос.пед.ун-т. Рязань: Изд-во РГПУ. - 2005. - С. 195-198.

99. Талалаева Е.А. О математической модели боевых действий // Лобачевские чтения 2005. Материалы IV Всероссийский молодежной научной школы - конференции. - Казань: Казанское математическое общество - 2005. - Т.31. - С. 151-152.