Управляемость систем обыкновенных дифференциальных уравнений в условиях неопределенности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Глухова, Наталья Александровна

• Глухова, Наталья Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Глухова, Наталья Александровна

Введение.

Глава I. Оптимизация критерия качества во внутренних точках 17 выпуклых множеств.

§1. Необходимые и достаточные условия оптимальности 17 управления.

§2. Частные случаи условий оптимальности для некоторых 27 видов функционалов.

Глава II. Решение задачи оптимизации для точек выпуклого мно- 40 гогранника.

§1. Схема поиска оптимального управления для выпуклых 40 многогранников.

§2. Минимизация радиуса конечной окрестности для линей- 64 ных систем.

Глава III. Задача оптимизации для систем с неизвестным видом 74 общего решения.

§ 1. Постановка задачи. Общий вид решения нелинейной сис- 74 темы.

§2. Критерий оптимальности для точек границы множества 82 допустимых управлений

§3. О необходимых условиях существования оптимальных 92 управлений внутри множества С. Заключение.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управляемость систем обыкновенных дифференциальных уравнений в условиях неопределенности»

Актуальность темы. В настоящей работе изучаются управляемые системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для таких систем ставится задача управления в условиях неопределенности. Целью исследования является поиск среди допустимых программных управлений оптимального, являющегося таковым для всех движений рассматриваемой системы.

Необходимость решения данной задачи возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических, социально-экономических и других процессов [5,11,12,18,30,59,62,63,81,84,86,91], так как большое число реальных процессов описывается системами дифференциальных уравнений, содержащими управляющий параметр. Например, в системе "хищник-жертва" в качестве управляющего воздействия можно рассматривать изъятие особей, при описании химических реакций - количество катализатора. Особый интерес представляют методы исследования нелинейных систем, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями высокого порядка, поскольку именно такие модели характерны для большинства реальных объектов. При этом возникает задача об управляемости системы, причем зачастую одновременно требуется оптимизировать некоторый критерий качества.

Предмет теории оптимальных процессов известен широко. Принципиальные ее положения, касающиеся математической стороны вопроса, -фундаментальный принцип максимума J1.C. Понтрягина и необходимые условия оптимальности, теория линейных систем, основы метода динамического программирования [10,29,56], - приобрели характер классических результатов. Существенный вклад в теорию управления внесли Р. Калман, Н.Н. Красовский, В.И. Зубов, Р. Беллман, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелид-зе, А.Б. Куржанский. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах Р.Ф. Габасова, Ф.М. Кирилловой, E.JL Тонкова [16,23,70,71].

Хотя математические постановки задач программного управления стимулировались практическими потребностями, классические их варианты были рассчитаны на идеальные условия, а именно, на существование безупречной по строгости математической модели системы и на полную априорную информацию об исходных данных. Однако далеко не каждая прикладная задача управления укладывается в подобные классические рамки. Неполнота исходных данных приводит к так называемым информационным задачам.

Весьма распространенной при исследовании математической модели является ситуация, когда априорные данные о неизвестных параметрах системы минимальны: какое-либо статистическое их описание отсутствует, а соответствующая информация ограничивается заданием лишь допустимых областей изменения неизвестных величин. Изучение ситуаций, характеризующихся указанными информационными ограничениями, приводит к теории управления в условиях неопределенности. Такие задачи носят весьма общий характер.

Решение задачи поиска оптимального управления в условиях неопределенности проводится в работе [37]. Оно осуществляется в рамках детерминированного подхода, основанного на методах минимакса. Однако полученная теория относится сугубо к системам, линейным как по фазовым переменным, так и по управлению. В связи с этим целесообразно рассмотреть поставленную задачу для нелинейных систем, которые наиболее часто встречаются при описании реальных объектов.

Следует заметить, что применение элементов выпуклого анализа, например, поиск выпуклой оболочки функции, верхней огибающей и т. п., само по себе является нетривиальной задачей. Поэтому представляют интерес методы, позволяющие получить ответ на вопрос об оптимальности управления без использования подобных конструкций.

Изложенные факты позволяют считать тему диссертации актуальной.

Цель работы. Рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений x = f(t,x,u), (0.1) в которой f(t,x,u) - «-мерная вектор-функция, xeR" — фазовая переменная, ueRr - управление, р<п. Предполагается, что начальное состояние системы неизвестно заранее, а задано лишь ограничение на допустимые значения этой величины: хп е X", где Xй - выпуклое компактное множество в R". Для системы (0.1) строится множество x(t;«(•)) = \х|х = xit;х°,«(•)),х° el"j. Определяется функционал ф(м()) = шах(р{х), x(eX(T;u(;)), где Т - фиксированное число, (р{х) - функция, определенная в R".

Ставится задача определения положения допустимого управления и°(), удовлетворяющего условию ф(м°(•))= minшах<р{х), хеХ(Т;и()). (0.2) и О л:

Целью работы является получение необходимых и достаточных условий того, что допустимое управление удовлетворяет равенству (0.2).

Методика исследования. Допустимые управления м() отыскиваются в виде и(/) = A:(f)c, где K(t) - рхп-матрица ограниченных измеримых известных функций, с е С - неизвестный постоянный вектор, С - выпуклое компактное множество в пространстве R".

Исследования опираются на свойства коэффициентов в разложении функций по формуле Тейлора в окрестности исследуемого на оптимальность управления в случае, когда известно общее решение системы (0.1), или в окрестности известного движения, если общее решение системы (0.1) неизвестно.

В случае, когда известен вид общего решения системы (0.1), необходимые и достаточные условия оптимальности управления для внутренних и граничных точек множества С формулируются в терминах разрешимости систем недифференциальных уравнений и неравенств.

Если известно только одно частное решение системы (0.1), то задача решается на сужении исходного множества С. Доказательства теорем о существовании управлений, удовлетворяющих необходимому условию оптимальности, основаны на применении метода неподвижной точки нелинейного оператора.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. Математическая теория управления возникла сравнительно недавно, ее интенсивное развитие приходится на вторую половину XX века и связано с совершенствованием техники и усложнением социальных процессов [11,30,57,58,78]. Одной из основных задач теории управления является проблема перевода управляемого объекта в заданное конечное состояние. При постановке задачи управления часто требуется оптимизировать характеристики протекающего процесса. Работы [2,10,24,49,56,60], посвященные вопросам оптимального управления, основываются на предположении об управляемости системы.

Одновременно с классической возникла информационная теория управления, исследующая задачи с неполными априорными данными или сведениями о текущем состоянии системы. Теорию стохастического управления составляют задачи, в которых описание недостающих величин носит вероятностный характер. В работе [52] неизвестные входные воздействия, начальные данные и параметры моделируются при помощи марковских случайных процессов с заранее известными характеристиками. Вопросам о наилучшей оценке положения траектории вероятностной системы по доступным измерению величинам посвящена теория стохастической фильтрации. В работах [25,83] проблема оценки положения траекторий рассматривается для линейных систем и квадратичного критерия оптимума. Ограничения на применение теории стохастического оценивания связаны с тем, что процессы, рассматриваемые во многих прикладных задачах, имеют только ограниченное число наблюдений, характеризуются неполнотой информации о данных задачи и отсутствием статистических характеристик возмущений и ошибок измерений. Часто требуется находить оценки, обеспечивающие некоторый гарантированный результат. Требования такого рода возникают в различных задачах механики, инженерии, биомедицины, проблемах, связанных с изучением окружающей среды. Они типичны для задач навигации и оценивания движения механических систем. Альтернативой вероятностному подходу к задачам оценивания стал гарантированный подход, основанный на представлении априорной информации о неизвестных параметрах при помощи задания множеств, содержащих эти параметры. На основе этого подхода получила развитие теория позиционного наблюдения. В рамках этой теории оценки состояний динамических систем с неопределенными возмущениями по данным наблюдений формируются апостериори по ходу процесса наблюдения в виде функций от наблюдаемого сигнала. Ключевым здесь является понятие информационного множества, определяемого как множество всех возможных состояний системы, совместимых с результатами измерения и априорными ограничениями на неизвестные возмущения и ошибки измерений, В работах А.Б. Куржанского [33,35,38] содержатся исследование свойств информационных множеств и минимаксных оценок, описание их динамики, изучение вопросов устойчивости, разработка вычислительных процедур для их построения. Куржан-ским А.Б. разработаны алгоритмы позиционного управления по неполным данным в условиях противодействия и помех, когда в качестве позиции рассматривается информационное множество системы, исследованы вопросы сочетания процедур управления и наблюдения [34,36]. В работе [39] созданы конструктивные методы описания семейств траекторий некоторых дифференциальных включений, сохраняющихся в течение предписанного времени в пределах заданного множества фазового пространства. В линейном случае доказана теорема о точном описании областей достижимости дифференциальных включений с фазовыми ограничениями.

Предложенный в работе [19] подход позволяет для систем с неопределенностью при двойных ограничениях x(t) = В (t)u(t), = t е [/0, ] указать области достижимости и разрешимости. В работе [76] свойства множества достижимости исследуются для нелинейной системы x = Ax + u<p(x)b + d со скалярным ограниченным управлением. Никольским М.С. [51] для системы x = f(x,u) получена оценка изнутри для множества достижимости d(t): OeintAT c:d{t), где к - некоторый эффективно вычислимый выпуклый компакт. Для системы х = Ах + Ви в банаховом пространстве X с линейным оператором В множество достижимости строится в работе [89], там же указываются условия управляемости. Задача определения области управляемости для указанной системы с постоянными параметрами, в которой х a R", ueRr, ||м|| <М > 0, рассматривается в работах [10,25,26,41,56,60,74,75], получено ее исчерпывающее решение. Нармано-вым А .Я., Петровым Н.Н. [49] рассматривается вопрос о структуре множества управляемости, в частности, о его размерности и границе. В работе [90] получены условия управляемости и достижимости линейных систем с переключениями, дана полная геометрическая характеристика этих множеств.

Проблема управляемости дифференциальных уравнений исследуется в работе [29] Красовского Н.Н. Для системы линейных уравнений x = A(t)x + B(t)u + w(t), x{ta ) = xa задача об управлении рассматривается как проблема моментов. Формулируются необходимые и достаточные условия существования оптимального решения, определяется его зависимость от краевых условий. Там же ставится задача управления квазилинейными объектами, поведение которых в окрестности точки х = 0 описывается системой вида х = f(t,x)+g(t,x)u, x(ia)-xa, В предположении, что система линейного приближения вполне управляема на отрезке \ta,tp\, методом последовательных приближений доказывается существование релейного управления, разрешающего краевую задачу и отличающегося от оптимального на величину второго порядка малости по .

Исследованию квазилинейных систем уделяли внимание Альбрехт Э.Г., Соболев О.Н. В работах [3,4] для управляемой системы х = A(t)x + b(t)u + /jf(x,t), x(ta)=/, x{tp) = О в предположении о полной управляемости системы первого приближения указывается итерационный метод построения оптимального управления.

Проблеме синтеза управления, разрешающего краевую задачу, много внимания уделяется Зубовым В.И. [23]. В ряде случаев им синтезируется семейство требуемых управлений, с помощью метода последовательных приближений рассматривается возможность численного решения задачи.

Исследованию свойств локальной управляемости систем посвящены работы [46,47,48,49,54,65,69]. В работах [65,69] изучаются системы, не являющиеся в общем случае управляемыми, исследуется проблема определения множества управляемости.

Пантелеевым В.П. в работе [54] устанавливается критерий локальной управляемости линейной по состоянию нестационарной динамической системы х - A{t)x + b(t, u).

В работах [46,47,48] Митрохиным Ю.С., Степановым А.Н. исследуется система вида х= /(*)+ Ви. В случаях, когда система линейного приближения неуправляема, формулируются необходимые и достаточные условия управляемости нелинейной системы в малом.

В работе Тонкова Е.Л. [70] в предположении полной управляемости системы линейного приближения получены достаточные условия управляемости нелинейной системы. Проблема полной управляемости линейных нестационарных систем рассмотрена в статье [45].

Львовой JI.JI. [42,43] для нелинейной системы в предположении, что система линейного приближения может не быть вполне управляемой, получены условия существования пары "управление-параметр", которая переводит объект из нулевого начального в нулевое конечное состояние. В работах [79,80] Шарафеевым Д.Р. найдены условия существования тройки "начальное значение-управление-параметр", разрешающей периодическую краевую задачу. Устойчивость управления по параметру исследуется в работах [66,67]. В работах [21,22] получены достаточные условия существования кусочно-постоянного управления, разрешающего глобальную краевую задачу.

В статье [28] приводятся достаточные условия существования семейства управлений и(х(),х' )(•), переводящих точку х°еЛл в точку xr е R" и непрерывно зависящих от х°,хт, для систем, матрица коэффициентов систем линейного приближения которых является треугольной. В качестве следствия получена полная управляемость равномерно ограниченных возмущенных систем данного класса при условии глобальной липшевости правой части по * и и.

Проблема управляемости исследуется Воскресенским Е.В. В работах [13,14,15] методом сравнения определены условия управляемости нелинейных систем как за конечное, так и за бесконечное время.

Метод сравнения используется в работах Павлова А.Ю. В статье [53] dx система — = A(t)x + B(t)u + f(t,x,u)+F(t) сравнивается с соответствующей ли-dt нейной системой в предположении, что в фиксированном классе допустимых управлений система сравнения управляема.

Для поиска управлений, разрешающих краевую задачу, Терехин М.Т., Землякова JI.C. [68] предлагают метод вариации промежуточной точки, Га-басов Р.Ф., Кириллова Ф.М. [16] используют метод приращений, рассматриваемых на траекториях системы.

Задачам управления и оценке координат системы в условиях неопределенности посвящена монография Куржанского А.Б. [37]. В ней рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений х = A(t)x + B(t)u + w(t), tQ<t<t^ с управлением u(t). Управление следует подобрать так, чтобы привести весь ансамбль траекторий в заданное конечное положение, оптимизируя при этом некоторый критерий качества. Постановки и решения задач проводятся в рамках детерминированного подхода, основанного на методах минимакса. Для линейных систем формулируются необходимые и достаточные условия оптимальности, использующие понятия выпуклого анализа.

Задача управления по неполным данным исследуется в работе Ананьиной Т.Ф. [8]. В ней рассматривается управляемая система х = f(t,x,u) и доказывается, что управление и°() является оптимальным, если выполнено условие maxminmin Js(r |/,дг°,м°())Щт,х(т \ х°,и°(•)),и0(г))(«(г)- и 0 (г))/г = 0,

О х t h где s(r) = s(r |/,х",ы0(-)) - решение сопряженной системы.

В статье [88] рассматриваются параметрические управляемые системы, описываемые нелинейными эволюционными уравнениями. Доказывается теорема существования для соответствующей минимаксной задачи. Рассмотрены также непараметрические задачи с немонотонными операторами.

В статье [20] рассматривается задача программного управления обыкновенным дифференциальным уравнением в классе ограниченных измеримых функций. Функционалом качества является

•),!/(•),*,)=sup ^F{x,u,y,v)dt. Ставится задача минимизации этого функциоогеЛ , h нала при известных ограничениях. Указываются необходимые условия того, что тройка лг°(-), и0 (•),*, является оптимальным процессом поставленной задачи.

В работе [9] для задачи оптимального управления х = f(x,uj), = t е [r(),/(], u(t)eU, <p(x(tj)) —» min строится третья вариация приращения оптии мизируемого функционала качества (p(x{t^))~(p{x{tx)) на пакете вариаций управления.

В статьях [31,32] рассмотрены задачи оптимального управления линейными системами при различных ограничениях на фазовые координаты системы, выявлены некоторые свойства оптимальных решений.

В работе [19] Дарьиным А.Н., Куржанским А.Б. рассматривается задача о нелинейном синтезе управления в системе с линейной структурой x(t) = B(t)u(t), £(/)=||м(/)||2, t е [f0,f,] при одновременном воздействии двух виi дов ограничений на управление - интегральных |]|м(/|2Л < k{tn) и геометрио ческих < ц. Решение задачи проводится на основе метода динамического программирования. Указывается структура разрешающих стратегий. Предложенный авторами подход допускает распространение на системы с неопределенностью.

В работе [82] задача оптимизации квадратичного функционала на траекториях системы у = Ау + f(s,y)+Bu на [0;Г] также решается с помощью методов динамического программирования.

Авторами работы [87] получен аналог критерия Калмана для систем с запаздыванием. Применению критерия Калмана к исследованию систем посвящена статья [85].

В последнее время появились работы [6,7], направленные на численное решение задач математической теории управления. В работе [6] указывается алгоритм получения управления, переводящего систему в состояние покоя. В качестве примера рассматривается задача об управлении материальной точкой неизвестной массы, перемещающейся вдоль горизонтальной прямой. В статье [7] исследуется задача управления механической системой, представляющей собой две материальные точки, соединенные пружиной и перемещающиеся вдоль параллельных прямых. Предполагается, что массы точек и жесткость пружины неизвестны и на точки действуют силы сухого трения с неизвестными переменными коэффициентами. Строится закон управления, приводящий первую массу в заданное положение за конечное время. Эффективность предлагаемого закона управления демонстрируется с помощью численного моделирования.

Содержание работы. Работа посвящена исследованию управляемости системы в условиях неопределенности. В отличие от работ [22,42,43,67,80], в которых задано начальное положение объекта, в диссертации информация о начальных значениях ограничивается заданием допустимой области их изменения. Управление выбирается одним и тем же для всего ансамбля движений системы. Одной из основных задач, решаемых в теории оптимального управления, является выяснение условий, гарантирующих существование оптимального управления для некоторого управляемого процесса. Достаточные условия оптимальности управления, сформулированные в работе [8], опираются на выпуклость функционала качества. В настоящей работе оптимизируемый функционал не ограничен требованиями выпуклости. Задача управления в условиях неопределенности рассматривается в монографии Куржанского А.Б. В ней необходимые и достаточные условия оптимальности формулируются исключительно для систем, линейных как по фазовым переменным, так и по управлению. В данной работе для нелинейных систем приводится критерий оптимальности для граничных точек множества допустимых управлений, указываются условия, при выполнении которых возможно существование оптимальных управлений внутри рассматриваемого множества. Необходимые условия оптимальности, сформулированные в работах [8,37], используют конструкции выпуклого анализа, и их проверка сама по себе представляет нетривиальную задачу. В диссертации необходимые и достаточные условия оптимальности управления формулируются в терминах разрешимости систем недифференциальных уравнений и неравенств. Применение сформулированных условий иллюстрируется примерами.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и приложения. Во введении содержатся обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Глухова, Наталья Александровна

Заключение.

Работа посвящена изучению управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений в условиях неопределенности. Начальные значения решений не известны точно, а заданы лишь допустимые области их изменения. Проводится поиск управления, оптимизирующего некоторый критерий качества, причем оптимальное управление выбирается одним и тем же для всего ансамбля траекторий системы. Исследования опираются на свойства коэффициентов в разложении функций по формуле Тейлора. На оптимальность исследуются внутренние и граничные точки множества допустимых управлений. Необходимые и достаточные условия оптимальности управления формулируются в терминах разрешимости систем недифференциальных уравнений и неравенств. Приводится схема исследования, в результате применения которой находится управление, решающее задачу оптимизации на всем ансамбле траекторий системы. Для систем, у которых известно только одно частное решение при некотором значении управления, предлагается способ определения вида решения с точностью до членов нужного порядка. Для таких систем рассматривается случай, когда внутри множества допустимых управлений не содержится оптимальных. Для граничных точек этого множества формулируется критерий оптимальности. Указываются условия, при выполнении которых внутренние точки множества управлений могут удовлетворять условию оптимальности. При доказательстве существования таких управлений используется метод неподвижной точки нелинейного оператора. Рассмотрены примеры применения теоретических положений.

107

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Глухова, Наталья Александровна, 2003 год

1. Аваков Е.Р. Теоремы об оценках в окрестности особой точки отображения //Математические заметки. 1990. Т. 47. Вып. 5. С. 3-13.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.-432 с.

3. Альбрехт Э.Г. Об оптимальном управлении движением квазилинейных систем И Дифференциальные уравнения. 1969. Т 5. № 3. С. 430-442.

4. Альбрехт Э.Г., Соболев О.Н. Синтез систем управления с минимальной энергией // Дифференциальные уравнения. 1995. Т 31. № 10. С. 1611-1616.

5. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987.- 157 с.

6. Ананьевский И.М. Два подхода к управлению механической системой с неизвестными параметрами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. №2. С. 39-47.

7. Ананьевский И.М. Управление нелинейной колебательной системой четвертого порядка с неизвестными параметрами // Автоматика и телемеханика. 2001. №3. С. 3-15.

8. Ананьина Т.Ф. Задача управления по неполным данным // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12. № 4. С. 612 620.

9. Барбашина Е.Е. Компактная формула третьей вариации и необходимые условия оптимальности // Дифференциальные уравнения. 2002. Т 38. №3. С. 414-415.

10. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.-408 с.

11. Волков И.К., Крищенко А.П. Качественный анализ модели развития популяции // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. № 11. С. 1457-1465.

12. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.-288 с.

13. Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. Саранск: Изд-во Сарат. ун-та Саран, фил. 1999. 224 с.

14. Воскресенский Е.В. Управляемость нелинейных уравнений: докл. (Международная научная конференция "Актуальные проблемы математики и механики", Казань). // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. 2000. №5. С. 261.

15. Воскресенский Е.В., Черников П.Г. О сравнении и управляемости нелинейных систем // Труды СВМО. 1998. Т. 1. № 1. С. 37-76.

16. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. — 501 с.

17. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953. 492 с.

18. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. М.: Мир, 1986. -152 с.

19. Дарьин А.Н., Куржанский А.Б. Нелинейный синтез управлений при двойных ограничениях // Дифференциальные уравнения. 2001. Т.37. №11. С. 1476-1484.

20. Железное Е.И. Принцип максимума в одной задаче на минимакс. // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22. № 9. С. 1504-1515.

21. Землякова Л.С. Управляемость нелинейных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Меж-вуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1995. С 64-71.

22. Землякова Л.С. Управляемость систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1995. С 72-78.

23. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

24. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука, 1981. 336 с.

25. Калман Р.Е. Об общей теории систем управления // Труды I Международного конгресса ИФАК, Т.1, 2, М.: Изд-во АН СССР, 1961.

26. Канарев Л.Е. О синтезе оптимального по быстродействию управления // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика. 1962. № 2.

27. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 572 с.

28. Коробов В.И., Павличков С.С. Непрерывная зависимость решения задачи управляемости от начальных и конечных состояний для треугольных нелианеризуемых систем // Мат. физ., анал., геом. 2001. 8, №2. С. 189-204.

29. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.:Наука, 1984. 476 с.

30. Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П., Николаичев А.Н. Математические модели нелинейных динамических процессов в социологии // Математика. Компьютер. Образование. Вып. 7. Часть II. Сб. науч. тр. М.: Прогресс-Традиция. 2000. С. 437.

31. Куржанский А.Б. Задачи об управлении для системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Прикл. математика и механика. 1966. Т.30. №6. С. 1121-1124.

32. Куржанский А.Б., Осипов Ю.С. К задаче управления с ограниченными фазовыми координатами // Прикл. математика и механика. 1968. Т.32. № 2. С. 194-202.

33. Куржанский А.Б. К теории позиционного наблюдения. Общие соотношения // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1973. № 5. С. 20-31.

34. Куржанский А.Б. Оптимальные системы сочетания управления и наблюдения // Прикл. математика и механика. 1974. Т. 38. № 1. С. 12-24.

35. Куржанский А.Б., Пищулина И.Я. Минимаксная фильтрация при квадратичных ограничениях. I-III. // Дифф. уравнения. 1976. Т. 12. № 8. С. 14341446; № 9. С. 1568-1579; № 12. С. 2149-2158.

36. Куржанский А.Б., Ананьев Б.И., Шелементьев Г.С. Минимаксный синтез в задачах импульсного наведения и коррекции движения // Прикл. математика и механика. 1976. Т. 40. № 1. С. 3-13.

37. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М., 1977.-394 с.

38. Куржанский А.Б. Об информационных множествах управляемой системы // ДАН СССР. 1978. Т. 240. № 1. С. 14-17.

39. Куржанский А.Б., Филиппова Т.Ф. Об описании пучка выживающих траекторий управляемой системы // Дифф. уравнения. 1987. Т. 23. № 8. С. 1303-1315.

40. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ, 1963. 432 с.

41. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.-576 с.

42. Львова Л.Л. Условия управляемости нелинейных систем // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2000. № 3. С. 73-80.

43. Львова Л.Л. Условия управляемости нелинейных систем с параметром // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. Тамбов: изд-во ТГУ, 2000. Т. 5. Вып. 4. С. 475-476.

44. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.-510 с.

45. Минюк С.А. К теории полной управляемости линейных нестационарных систем // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. № 3. С. 414-420.

46. Митрохин Ю.С. Об управляемости в малом линейных неавтономных систем дифференциальных уравнений оптимального регулирования.: Труды Рязан. радиотехн. ин-та. Рязань, 1976, вып. 69. С. 25-30.

47. Митрохин Ю.С., Степанов А.Н. Некоторые критические случаи управляемости систем нелинейных дифференциальных уравнеий.: Труды Рязан. радиотехн. ин-та. Рязань, 1974, вып. 53. С. 62-67.

48. Митрохин Ю.С., Степанов А.Н. Критические случаи управляемости систем нелинейных дифференциальных уравнений оптимального регулирования // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Ряз. пед. ин-т, 1985. С. 61-70.

49. Нарманов А.Я., Петров Н.Н. Нелокальные проблемы теории оптимальных процессов//Дифференциальные уравнения. 1985. Т.21.№4. С. 605-614.

50. Немыцкий В.В. Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1949. 550 с.

51. Никольский М.С. Об оценке множества достижимости нелинейного управляемого объекта изнутри // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. № 11. С. 1487-1491.

52. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973.

53. Павлов А.Ю. Об управляемости нелинейных систем // Вестник Мордовского Университета, 1995. № 1. С. 54-57.

54. Пантелеев В.П. Об управляемости нестационарных линейных систем // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21. № 4. С. 623-628.

55. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965.-332 с.

56. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.

57. Приставко В.Т. Матричные модели управления. СПб: Изд-во НИИ химии СПбГУ. 2001.-254 с.

58. Ревкова Н.Д. Задача оптимального управления для одной модели из микробиологии // Научные труды мат. факультета МПГУ. М.: Прометей, 2000. С. 141-143.

59. Ройтенберг Я.Н. Некоторые задачи управления движением. М.: Физмат-гиз, 1963.- 140 с.

60. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978. 552 с.

61. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 470 с.

62. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984. 304 с.

63. Седых Л.Г. Математическая модель процесса регулирования активности поверхностно-активных веществ //Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр.Рязань:Ряз. пед. ин-т, 1985. С 61-70.

64. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М. .Наука, 1972.- 480 с.

65. Терехин М.Т. Периодические решения систем дифференциальных уравнений: Учеб. пос. к спецкурсу. Рязань: Ряз. пед. ин-т, 1992. 88 с.

66. Терехин М.Т. Устойчивость управления по параметру // Известия Росий-ской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 1998. № 1. С. 86-96.

67. Терехин М.Т. Об устойчивости управления по параметру // Известия высших учебных заведений. Математика. 2000. № 9 (460). С. 38-46.

68. Терехин М.Т., Землякова Л.С. Метод вариации промежуточной точки для исследования управляемости системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1994. С. 116-124.

69. Терехин М.Т., Землякова Л.С. Об управляемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений//Дифференциальные уравнения (Качественная теория):Межвуз. сб. науч. тр.Рязань:Изд-во РГПУ, 1995. С. 141-150.

70. Тонкое Е.Л. Управляемость нелинейной системы по линейному прибли-жению//Прикладная математика и механика. 1974. Т.38,вып. 4. С. 599-606.

71. Тонков Е.Л. О множестве управляемости линейного уравнения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 14. № 2. С. 269-278.

72. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.:Высшая школа, 1980 495 с.

73. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1970 . Т. I. 608 с.

74. Формальский A.M. Область управляемости систем, имеющих ограниченную величину и энергию управляющего воздействия // Вестник МГУ, серия "Математика и механика", 1970, № 5. С. 123-130.

75. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974. 368 с.

76. Хайлов Е.Н., Григорьева Э.В. О множестве достижимости одной нелинейной системы на плоскости // Вестн. МГУ. Сер. 15. 2001. № 4. С 27-32.

77. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Мир, 1970.-720 с.

78. Чудинов В.В., Морозкин Н.Д. Управляемость одной эволюционной системы // Вопр. мат. моделир. и мех. сплош. сред. 2000. №5. С. 73-77.

79. Шарафеев Д-Р- Существование периодических решений нелинейных управляемых систем с параметром // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2001. № 5. С. 182-188.

80. Шарафеев Д.Р. К вопросу о существовании ненулевых периодических решений нелинейных управляемых систем // Информатика и прикладная математика: Межвузовский сборник научных трудов. Рязань; РГПУ, 2001. С. 92-94.

81. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения (Качественная теория с приложениями). М.: Мир, 1986. 246 — с.

82. Bilic Natasha. Results for a optimal control problem with a semilinear state equation with constrained control. Math. slov. 2002. 52, №1. P. 109-126.

83. Kalman R.E., Bucy R.S. New Results in Linear Filtering and Prediction Theory, Trans. ASME, 83D, 1961.

84. Lefever R., Nicolis G. Chemical instabilities and sustained oscillations. J. Theor. Biol., 30, 1971.P. 267-284.

85. Lio Bao-tai, Liu You-wu. A study on criterion of controllability of systems. Tianjin Norm. Univ. Natur. Sci. Ed. 2001. 21. № 3. P. 5-7.

86. May R.M. Stability and complexity in model ecosystems. Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1973.

87. Mounier Hugues, Fliess Michel. On a class of linear delay systems often are arising in practice. // Kybernetica. 2001. № 3. P. 295-308.

88. Papageorgiou Nikolaos S., Yannakakis Nikolaos. Optimal control of nonlinear evolution equations. Discuss, math. Differ. Inch, Contr. and Optimiz. 2001. 21, № 1. P. 5-50.

89. Shklyar B. On attainable set and controllability for abstract evolution equation with unbounded input operator. Тр. Ин-та мат. HAH Беларуси. 2001, №7. С. 142-152.

90. Sun Zhendong, Ge S.S., Lee Т.Н. Controllability and reachability criteria for switched linear systems // Automatica. 2002. 38, №5

91. Zeeman E.C. Differential equations for the heartbeat and nerve impulse, Salvador Symposium on Dynamical Systens, Academc Press, 1973. P. 683-741.

92. Глухова Н.А. Оптимальность управления систем дифференциальных уравнений в условиях неопределенности // Труды Средневолжского математического общества, 2002. Т. 3-4. № 1. С. 234-235.

93. Глухова Н.А. Оптимизация управления для систем с неизвестным видом общего решения // Тезисы докладов всероссийской научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики." Тула: ТулГУ, 2002. С. 12-13.

94. Глухова Н.А. Оптимизация критерия качества для нелинейных систем // Тезисы докладов X Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование." в г. Пущино. Изд. "Регулярная и хаотическая динамика", 2003. С. 102.

95. Глухова Н.А. Схема поиска оптимального управления для выпуклых многогранников // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. Воронеж: Воронежский государственный университет, 2003, - 300с. С. 74-75.

96. Глухова Н.А. Минимизация радиуса конечной окрестности для линейных систем // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр. / Ряз. гос. пед. ун-т. им. С.А. Есенина. Рязань: РГПУ, 2002. С. 43-45.

97. Глухова Н.А. Задача оптимизации для систем с неизвестным видом решения // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр. / Ряз. гос. пед. ун-т. им. С.А. Есенина. Рязань: РГПУ, 2002. С. 46-48.

98. Глухова Н.А. Необходимые и достаточные условия оптимальности управления систем обыкновенных дифференциальных уравнений в условиях неопределенности // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2002. № 6. С. 20-28.

99. Глухова Н.А. Об оптимальности управления систем обыкновенных дифференциальных уравнений в условиях неопределенности в частных случаях // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2002. № 6. С. 29-40.

100. Глухова Н.А., Терехин М.Т. Поиск оптимального управления в условиях неопределенности // Вестник Рязанского государственного педагогического университета им. С.А. Есенина. № 1(9), 2003. С. 160-170.

101. Глухова Н.А. Оптимизация критерия качества во внутренних точках выпуклых множеств / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 2002. - 10 с. Деп. в ВИНИТИ 30.09.02, № 1645-В2002.

102. Глухова Н.А. Схема поиска оптимального управления систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 2002. - 14 с. Деп. в ВИНИТИ 30.09.02, № 1646-В2002.

103. Глухова Н.А. Управление в условиях неопределенности для систем с неизвестным видом общего решения / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 2003. -19 с. Деп. в ВИНИТИ 13.02.03, № 293-В2003.