Задача оптимального управления для билинейных динамических систем с терминальным квадратичным функционалом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Бобровский, Дмитрий Игоревич

• Бобровский, Дмитрий Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бобровский, Дмитрий Игоревич

1. Введение

2. Билинейные системы оптимального управления с квадратичным терминальным функционалом

2.1. Постановка задачи

2.2. Исследование свойств функционала J[u)

2.3. Выпуклость функционала

2.4. Выводы

3. Исследование структуры множества достижимости билинейной задачи ОУ.

3.1. Базовые определения

3.2. Ранговые свойства билинейных динамических систем

3.3. Свойства граничных точек множества достижимости билинейной динамической системы

3.4. Исследование выпуклости множеств достижимости

3.5. Выводы

4. Применение теории билинейных систем оптимального управления в исследовании модели «хищник-жертва» с учётом внутривидовой конкуренции

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача оптимального управления для билинейных динамических систем с терминальным квадратичным функционалом»

В теории оптимальных задач особое место занимают билинейные задачи оптимального управления. Интерес, который в последнее время вызывают билинейные задачи, во многом объясняется тем, что они занимают промежуточное положение ме жду линейными и нелинейными задачами оптимального управления. Дело в том, что линейные задачи, общая теория которых к настоящему, времени практически полностью разработана, как правило, не дают адекватного описания сколько-нибудь сложных управляемых процессов и систем. С другой стороны, современное состояние теории оптимального управления не позволяет достаточно эффективно исследовать и решать нелинейные задачи оптимального управления в общей постановке:

Вследствие этого, в связи с конкретными приложениями математической теории оптимального управления, очень часто приходится иметь дело именно с нелинейными задачами оптимального управления.

Билинейные задачи имеют достаточно широкое применение. Уже в конце 60-х - начале 70-х годов, когда основные теоретические исследования производились, в основном, в области решения линейных задач, многие исследователи отмечали, что билинейные системы позволяют лучше учесть особенности процесса. Однако, при этом не существовало каких-либо содержательных методик решения данных задач.

Одним из первых исследователей, кто описал задачи, протекающие в биосистемах, как задачи оптимального управления на билинейных динамических системах был Рональд Мохлер (37).

В то время не было цельной теории, позволяющей исследовать подобные системы, только лишь частные случаи билинейных систем, порой достаточно приближённо, что не могло дать полной исчерпывающей картины рассматриваемого процесса. Хотя с тех пор теория оптимального управления сильно развивалась, но на текущий момент теория линейных оптимальных задач, хорошо проработана, но область нелинейных, в частности, билинейных задач требует дальнейших исследований.

Основной сложностью при исследовании нелинейных систем является то, что принцип максимума Понтрягина не даёт содержательного ответа, являясь, лишь необходимым условием оптимальности; при. этом получение управляющей функции в замкнутой форме существенно затруднено.

Простейший пример такой системы:

И^Х^

Легко видеть, что даже в этом простом,примере множество достижимости системы не будет являться выпуклым, как в линейных задачах оптимального управления. В то же время, определение оптимального управления в замкнутой' форме также ост таётся непростым вопросом. В силу невыпуклости множества « достижимости нельзя однозначно говорить о выпуклости функционала задачи, что затрудняет использование различных ко-нечношаговых численных алгоритмов поиска оптимального управления.

Можно ответить, что несмотря на достаточно большое количество работ по билинейным системам, на текущий момент отсутствует единая методика решения задач оптимального управления билинейными динамическими системами.

Приведём ряд интересных теоретических и практических результатов.

В работе Хайлова E.H. (28) исследуется билинейная система вида x(t) = Ax(t) + u{t)Bx(t) + <m{t) + d, t е[0,Г] 1 х(0) = х0, при постоянных матрицах А, В и константах с, d с множеством допустимых управлений

В работе показывается, что при условии коммутирования матриц и ряде дополнительных условий точкам, лежащим на границе множества достижимости, соответствуют кусочнопостоянные управления, принимающие значения {0,/?} с оценкой числа переключений.

Одним из важных исследователей задач оптимального управления для нелинейных динамических систем является Гектор Суссманн (38,40,41).

В работах Г.Суссманн исследовал структуру орбит нелинейных динамических систем. Одной из фундаментальных теорем является теорема об орбите динамической системы (38).

Пусть М- гладкое п-мерное многообразие, Т aDer(M) -семейство гладких векторных полей на М. Обозначим через р подгруппу группы диффеоморфизмов Diff^M}, порождённую элементами вида

Орбитой 0(х) = 0(х,Т) семейства YcDer(M) векторных полей на М, проходящей через точку хе.М, называется множество

0(х) = {РЕ(х),Рер}

Орбиты семейства Т векторных полей на М индуцируют на данном многообразии топологию т.

Теорема (Стефан-Суссманн (38)).

Пусть многообразие Мснабжено орбитальной топологией г. Тогда

1. всякая связная компонента многообразия М является орбитой семейства Т;

2. всякая орбита О(х) = 0(х,Т) является гладким подмногообразием М

Данная теорема и следствия из неё существенно расширяют инструментарий при исследовании нелинейных динамических систем.

В работе (40) Суссманн рассматривает систему со скалярным* ограниченным управлением

В данной работе показывается, что при условии вещественной аналитичности- многообразия. М и выполнении требования на поля f и g, то существует кусочно-постоянное управление, такое, что l при почти всех t с оценкой числа переключений.

Также из зарубежных исследователей нелинейных задач стоит отметить Р. Броккетта, В. Джарджевича; Д*. Эллиота:

В работах Р.В: Гамкрелидзе и A.A. Аграчёва (9, 30, 31, 32, 33) вводится формализм* хронологического исчисления, который с успехом используется для> исследования нелинейных оптимальных систем.

В работе (35) рассматриваются» различные обобщения классической теоремы Р.В. Гамкрелидзе о конечности числа переключений для линейной управляемой системы на нелинейный случай.

Перспективным подходом в исследовании динамических полисистем является использование топологических методов и теории многообразий, а также теории алгебр Ли.(14).

В работе (23) М.С. Сабуровым производится развитие принципа максимума Понтрягина, предлагается «принцип оптимальности», который позволяет в ряде случаев произвести синтез оптимального управления, провести классификацию всех особых, точек и провести полноценное исследование точек переключения.

В работах Топунова М.В. (26, 27) исследуются задачи оптимального управления для билинейных динамических систем в применении к регуляции сердечно-сосудистой системы.

Необходимо отметить работу Благодатского В.И., посвященную достаточным условиям оптимальности (3).

В ряде работ исследуется задача быстрейшего попадания в начало координат для решений уравнения

Однако в предлагаемых алгоритмах решения накладываются очень жёсткие условия на параметры задачи, такие, как

В работе (21) для минимизации невырожденного квадратичного функционала применяется метод динамического программирования; решение уравнение Беллмана ищется в специальном виде, что позволяет получить матричное уравнение в частных производных, которое может быть решено в замкнутой форме в некоторых частных случаях. т т

АВ. = вл В;В. = В,Вп и] = 1

Среди работ, посвященных решению оптимальных билинейных задач с помощью аппроксимационных методов, отметим работу (39), где рассматривается задача минимизации квадратичного функционала

1 °°

J = — j(x*Qx + и

2'о

На траекториях системы х = Ах + Ви + {х/У} и,

0 = хо xJNj ,хеГ,иеГ у=1

Авторами предлагается процедура нахождения оптимального' управления на основе метода последовательных приближений для соответствующих алгебраических уравнений Ляпунова.

Важным аспектом исследования билинейных систем, определённо является их связующая роль между линейными и нелинейными задачами оптимального управления. Являясь «переходным» звеном, данные задачи позволяют, с одной стороны, частично использовать методы, полученные для линейных систем оптимального управления, с другой стороны, для данных систем могут быть выработаны подходы к исследованию, как совершенно новые, так и обобщения уже имеющихся методов для линейных систем. При этом в силу достаточной «близости» билинейных систем5 к линейным, такие закономерности могут быть значительно проще обнаружены и распространены на общие случаи:

Настоящая» работа посвящена' исследованию задач оптимального управления для билинейных динамических систем с фиксированным левым' концом. Изучаются некоторые подходы к решению данной задачи, а также ряд вопросов, связанных со структурой множеств достижимости задачи и структурой управлений.

Билинейная, задача оптимального управления - наиболее «близкая» к линейной^ из нелинейных задач оптимального управления. Однако, при кажущейся похожести данных систем; билинейные задачи уже не обладают столь замечательными, свойствами, как1 линейные. В частности, отсутствует критери-альность принципа максимума- Понтрягина, множество* достижимости данной.задачи^необязательно будет выпуклым^а, следовательно; терминальный? функционал, необязательно' будет выпуклым на множестве допустимых управлений).

В соответствии с целью исследования.в работе были^ поставлены следующие задачи:

1. Поиск необходимых условий оптимальности для* билинейных систем ОУ с терминальным функционалом-.

2. Поиск достаточных условий оптимальности для билинейных* систем ОУ частного вида с терминальным функционалом.

3'. Поиск достаточного условия выпуклости терминального функционала для билинейных систем ОУ частного вида.

4*. Исследование структуры множеств достижимости били-нейныхсистемОУ.

5. Поиск достаточных условий выпуклости множеств достижимости билинейной системы ОУ.

Вопросы 1-3 рассматриваются в главе 2 «Билинейные системы оптимального управления с квадратичным терминальным функционалом», вопросы 4-5 рассматриваются в главе «Исследование структуры множества достижимости билинейной задачи ОУ». Практическое применение результатов исследований приведено в главе 4 на примере частной задачи.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Бобровский, Дмитрий Игоревич

3.5 Выводы.

В данной главе были рассмотрены вопросы взаимосвязи множества достижимости и множества допустимых управлений. Показана связь граничных точек множества достижимости системы (1.2) в условиях постоянства ранга отображения fît их) ' » о у и существенно граничных точек множества допустимых управлений, показаны достаточные условия выпуклости множества достижимости системы (1.2). Важным аспектом данной главы является переход на использование элементов хронологического исчисления. Действительно, если в записи сис

А х темы (1.2) матричные записи к заменить на какие-либо опе

А,(х) x(t,u) к\ /. то запись оешения V ' / раторы К \ /, то запись решения \ ' / через матрациант становится невозможной, тогда как решения, записанные через потоки, остаются в силе. При этом при условии аналитичности

А ГлЛ V / можно показать, что большая часть утверждений главы 3 сохраняется.

4. Применение теории билинейных систем оптимального управления в исследовании модели «хищник-жертва» с учётом внутривидовой конкуренции.

В качестве примера рассмотрим несколько иную модель -управляемую модель «хищник-жертва» с учётом внутривидовой конкуренции.

Изменение числа хищников и жертв во времени характеризуется следующей нелинейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

Здесь х, и х2 - количество жертв и хищников соответстчисла жертв в отсутствии хищников; е2 >0- естественное вымирание хищников, лишённых пищи; у19у2 > 0 - константы, характеризующие потребность в пище жертв и хищников соответственно; и;- часть отлова в единицу времени (управление). Управление удовлетворяет ограничениям: с начальными условиями: венно в момент времени £ е [^Г] 8Х > 0 - скорость прироста

1.9) где 0 < Ь( < 1, г = 1,2 (максимальная часть отлова жертв и хищников).

Требуется найти оптимальное управление в задаче (1.7)-(1.8), которое максимизирует прибыль фирмы, выраженную интегралом

Здесь рп( = 1,2 - стоимость хищников и жертв, с{)1 = \,2-стоимость затрат на отлов. В общем случае с. может зависеть от хг

Таким образом, поставлена задача:

Т 2

1.10)

О <м,< ¿„/ = 1,2,^^0,7],

Модифицируем данную задачу путём введения дополнительной переменной.

Положим

Легко видеть, что J{u) — xъ (Г). Перепишем исходную задачу.

• 2 ~~~ |У 2 У

Х2 —£^2 ^ У 2^1 -^2 ^2^2 5 (1.11)

Х\ (О — Л'10'Л:2 (О ~~ "^20' (О ~ и*12)

О < и, < Ь{, I = 1,2, Г е [70,Г] (1.13)

Требуется найти оптимальное управление и, максимизирующее функционал

J(u) = X3(T) (1.14)

Перепишем систему (1.11) в терминах векторных полей. Нестационарное векторное поле имеет вид: хх = ~ /2х\х2 ~ т\х\ ~~ щх\ i" дхх ¿>2х2 + ^х^ 1*2X2) р ох2 дх3

А исходное уравнение перепишется в виде:

И /V л Р(( = Р(( оХп

Ж 50

0>'0

Перегруппируем слагаемые. д д , V а ----к (/^х,^, + р2х2и2 - с\щ ~ с2и2 у дх] дх2 охз

Векторное поле X, представляет собой сумму стационарного и нестационарного векторных полей:

Х,=/ + А (и) где

5х, дх2

- стационарное поле,

А(г/) = -иххх —— и2х2 + (рхххщ + р2х2и2 - схих - с2и2) ^ дхх дх2 дх3

- нестационарное поле.

Соответствующие вектор-функции / = /Еи Л(и) = А(и)Е, где Е :Яп Я" - тождественное отображение на Я", записываются следующим образом:

Е{х) =

2Х2 + У2ХхХ2 О V У г

А{и)Е{х) = и 2^2

Р\Х\Щ + С2и2)

Как можно видеть, А(и)Е(х) = ихАхх + и1А1х + Ъхих + Ь2и2, соответствующие матрицы и векторы записываются как

Г-1 0 го 0 (01 ( 0 ^

4 = 0 0 0 , А^ — 0 -1 0 0 ,ь2 = 0

0 0, р2 о] v 1с\) v с2у

Рассмотрим отображение и

Г(Т,(-)9х0):иеи м>ёхр + А(и)УтЕ(х0)

Исходя из формулы для возмущённого потока, мы данное отображение может быть переписано следующим образом:

Е(Т,и,х0) = ехр |(/ + А(и)^Е(х0) = о

1.15) т( / Л / ехр | Ас1 ехр ¿/г Л °ехр |/(1тЕ(х0) о V 'о /

Так как поле / стационарно, следует, что ехр = о поэтому (1.15) можно переписать: т

Е(Т,и,х0)= ехр Ас!еИо)/) А(и)Л°е{^)?Е{х0) ц.щ о

Для дальнейших рассуждений найдём (Г,(-),х0). Для удобства введём обозначение: С (и) = | А (и).

Так как поток на М3, то постоянство ранга для отображения т (Т, и, х0) = ехр Ас! е{()? ) А (и ° е('~'о)7Я (х0) о и отображения т

Т,и,х0) -ехр Ас1 (и)с&Е(х0) эквивалентны.

Воспользуемся формулой производной потока по параметру:

1 г р.

Г, (•),*„) = Глаехр ГС(и\1т—С(и)Ж ди т оехр |с(и)<#£(х0) А о

Е'и(Г,(-),х0) = Глаёхр [с(и)с/т—С (и) Ж ди т оехр Е^Хц)

Вычислим —С(и). ди V } ди ди

1.17)

1.18) с к&е^1

Эх2 р,х1/г1 + р2х2Н2-с1к1 -с2Н2) V

Эх. з А6е((~(о)/А(к) = С(к)

Рассмотрим С (/г). Т.к. - поток на получаем, что

Г 1 д 1 д -п]х1--/г^Хо--ь сИт С(к)Е(х0) = сИт л

2^2

Эхп V

Р\ХА + Р2Х2к2 а

J Эх^ у х0), сЦт э 7 э

-п]х]--п2х?--ь V

Эх,

Эх,

Р2Х2^7

СА ~С2^2

-Л я ^

Зх^ у 3 и не зависит от и в силу начальных условии.

Отсюда можно получить, что искомое управление является существенно граничным. Это справедливо в силу того, что для оптимальной траектории для расширенной системы точка х* (Г) лежит на границе множества достижимости.

5. Заключение.

В целом, вопросы, связанные с нелинейными системами оптимального управления на текущий момент исследованы не в достаточной мере. Это связано со сложностью изучения данных систем классическими методами вариационного исчисления. Можно отметить два наиболее перспективных подхода к исследованию данных систем: геометрический подход на основе хронологического исчисления и исследование алгебр Ли соответствующих билинейных и аффинных систем ОУ. Необходимы исследования в отношении синтеза оптимального управления для билинейных и аффинных систем, рассмотрение билинейных систем с функционалами общего вида, рассмотрение вопросов выпуклости множества достижимости для аффинных задач в общем виде.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бобровский, Дмитрий Игоревич, 2010 год

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. - 3 изд., испр. идоп. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2007.

2. Болтянский' ВТ. Математические методы оптимального управления. -2 изд., перер. и доп. М.:Изд. Наука, 1969.

3. Благодатский В.И. Достаточные условия оптимальности. Изв. АН. 1974.Т.38. №3.

4. Гамкрелидзе Р.В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных, системах // Известия АН СССР. Сер. мат. 1958. Т.22. №4. С. 449-474.

5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

6. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли: Пер. с англ. М::Мир, 1987.

7. Кларк, Ф. Оптимизация и негладкий ? анализ: Пёр. с англ./Под ред. Благодатских В.И. М.:Наука,> 1988.

8. Вахрамеев С.А. Замечание о выпуклости в> гладких, нелинейных системах. Итоги* науки* и техн: Сер. Соврем? мат. и: ее прил. Темат. обз., 1998, 60, 42-73.

9. Аграчёв A.A., Сачков Ю:Л. Геометрическая теория управления. М.ФИЗМАТЛИТ, 2005.

10. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

11. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.:Наука, Глав. ред. Физ.-мат. Лит., 1985.

12. Колмогоров А.Н:, Фомин C.B., Элементы-теории функций и функционального анализа. 7-е изд. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004.

13. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии: Mi:Изд. Мир, 1970.

14. Сачков Ю.Л. Управляемость и симметрии инвариантных сисетм на группах Ли и однородных пространствах. -М.:ФИЗМАТЛИТ, 2007.

15. Дмитрук A.B. Квадратичные условия понтрягинского минимума для особых экстремалей в задачах оптимального управления. Докт. Дисс., 1994.

16. Дмитрук A.B. Квадратичные условия слабого минимума для особых режимов в задачах оптимального управления // ДАН СССР. 1997. Т. 233. №4. С.523-526.

17. Зеликин М.И. К теории задач, линейных по управлению // ДАН СССР. 1984. Т. 277. №4. С. 782-785.

18. Карулина Н.И. Необходимое условие оптимальности для билинейных систем // Совр. мат. в физ.-техн. задачах. М., 1986. С.44-47.

19. Карулина Н.И. Синтез оптимального управления для одного класса билинейных^ систем // Автоматика и телемеханика. 1987. №7. С. 31.

20. Киселёв В.В. О числе переключений в задаче оптимального быстродействия для билинейных систем // Оптим. и управление мех. системами. Ленинград, 1983. С. 16-22.

21. Королёва Н.О. О синтезе билинейных систем // Математика и программное обеспечение информационных и управляемых систем. М.:МИЭМ, 1989. С. 155-157.

22. Мороз А.И. Синтез оптимальных по времени законов управления для линейных нестационарных систем // Вестник МГУ. Сер. 15: Вычислительная математика и кибернетика. 1980. №4. С. 33-38.

23. Сабуров М.С. О теоремах существования в ряде задач оптимального управления // Межвузовский сборник научных трудов «Математическая физика». М.'Прометей, 1986. С. 148-157.89

24. Смирнов H.B. Задача синтеза для билинейных систем. Деп. ВИНИТИ 10.07.92. №2239-В92.

25. Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Об управляемости одного класса билинейных систем // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тульский государственный технический университет. Тула. 1994.

26. Топунов М.В. Задача о регуляции в сердечно-сосудистой системе как билинейная задача оптимального управления // Научные труды Московского государственного педагогического университета им. В.И.Ленина. М.:Прометей, 1997. С. 216-219.

27. Топунов М.В. Об одной нестационарной билинейной задаче оптимального быстродействия // Автоматика и телемеханика. 1998. №7. С.43-54.

28. Хайлов E.H. О некоторых оценках экстремальных управлений в задаче быстродействия для одного класса билинейных систем // Труды института математики и механики УрО РАН. 1995. №3. С.201-210.

29. Шудуев А.Т. Синтез оптимальных траекторий для билинейных управляемых систем // Вопр. вычислит, матем. М.:МГУ, 1988. С. 187-202.

30. Аграчёв A.A., Вахрамеев С.А., Гамкрелидзе Р.В. Дифференциально-геометрические и теоретико-групповые методы в теории оптимального управления // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. 1983. Т. 14. С. 3-56.

31. Аграчёв A.A., Гамкрелидзе Р.В. Экспоненциальное представление потоков и хронологическое исчисление // Матем. сб. 1978. 107(149):4(12). С. 467-532.

32. Аграчёв A.A., Гамкрелидзе Р.В. Хронологические алгебры и нестационарные векторные поля // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. 1980. 11. С. 135-176.

33. Аграчёв А.А., Вахрамеев С.А., Гамкрелидзе Р.В. Дифференциально-геометрические и теоретико-групповые методы в теории оптимального управления // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. 1983, 14, С.3-56.

34. Вахрамеев С.А. Теорема релейности с конечным числом переключений для нелинейных гладких управляемых систем // Соврем. Матем. и её прил. Темат. Обзоры. Динамические системы. М.:ВИНИТИ. 1995. Т.23.

35. Вахрамеев С.А. Теоремы релейности и смежные вопросы // Труды математического института им. В.А. Стеклова. 1998. Т.220. С.49-112.

36. Baillieul J. Geometric methods for nonlinear optimal control problems // Journal Optim. Theory Appl., 1978. Vol. 25. №4. P. 519548.

37. Mohler R.R. Bilinear control processes with'applications to engineering, ecology and medicine. Academic Press: New York and London, 1973.

38. Orbits of families of vector fields and integrability of distributions. Trans. Amer. Math. Soc., 1973, 180, 171-188.

39. Aganovic Z., Gajic Z., Procedure the successive approximation the equilibrium optimal* control for bilinear« systems // Journal Optim. Theory.Appl. 1995. Vol. 84. №2. p.273-291

40. Sussman H. J. The "bang-bang" problem for certain controlsystems in //SIAMJournal Control Optim. 1972. Vol. 10.3. P. 470-476.

41. Sussman H.J. Bang-bang theorem with bounds on the number of switchings // SIAMs Journal Control Optim. 1979. Vol.17. №5. P. 629-651.

42. Орлов M.B. Оптимальное управление. Конспект лекций. Сост.: Ларионов В.Б., Матвеев С.А., Фёдорова B.C., М., 2005.91

43. Бобровский Д.И. Исследование ранговых свойств билинейных систем и структуры множества достижимости. Труды института системного анализа РАН. Под. Ред. Ю.С. Попкова. Т.32(3). М.: Изд. ЯКИ, 2008, с.8-14

44. Бобровский Д.И. Исследование свойств билинейных систем оптимального управления. Труды института системногоанализа РАН. Под. Ред. Ю.С. Попкова. Т.32(3). М.: Изд. ЯКИ, 2008, с.14-19.

45. Бобровский Д.И. Задача билинейного оптимальногосеминара'«Современные проблемы математического моделирования». Ростов-на-Дону, изд. Южного федерального университета, 2007, с.48-55

46. Бобровский Д.И. Исследование коммутативных билинейных систем с квадратичным функционалом. Тезисы докладов